Tài liệu Toán 11 - Hàm số liên tục ppt

Hàm s liên tc
1

Ch :
HÀM S LIÊN TC

Ch  bám sát (lp 11 ban CB)
Biên son:  THANH HÂN
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

A/ MC TIÊU:

- Cung cp cho hc sinh mt s dng bài tp thng gp có liên
quan n s liên tc cu hàm s và phng pháp gii các dng bài ó.
- Rèn k nng bin i, din t cht ch.
- Góp phn xây dng nng lc t duy lôgic, t duy c lp sáng to.

B/ THI LNG:

3 tit

C/ NI DUNG:


Ch  gm có 3 phn:
- Phn A: Tóm tt lí thuyt.
- Phn B: Các dng bài tp thng gp.
- Phn C: Câu hi trc nghim.

D/ CHÚ THÍCH V MC  YÊU CU:

- Ch  này thuc loi ch  bám sát, nhm h thng mt s dng
bài tp c bn và k nng gii các dng bài ó, giúp nâng cao kh nng
t hc ca hc sinh di s hng dn ca giáo viên.
- ây là tài liu t hc có hng dn nhm t  c mc tiêu nh ã
nêu trên.
- Có b sung mt s ít bài tp nâng cao giúp các em hc sinh khá có
thêm tài liu tham kho.

- - - - - - - - - - - - -





Hàm s liên tc
2


A/ TÓM TT LÍ THUYT:


I. nh ngha hàm s liên tc:


1) nh ngha 1:
Gi s! hàm s
( )
f x

xác ∀nh trên khong
( )
;a b
và
( )
0
;x a b∈
.
Hàm s f  c gi là liên tc ti i#m x
0
nu
( ) ( )
0
0
lim
x x
f x f x
→
=
.
Hàm s không liên tc ti i#m x
0
 c gi là gián on ti x
0
.

2) nh ngha 2:

Hàm s f liên tc trên khong
( )

;a b
nu nó liên tc ti mi i#m
thuc khong ó.
Hàm s f liên tc trên on
[ ]
;a b
nu nó liên tc trên khong
( )
;a b
và
( ) ( ) ( ) ( )
lim , lim .
x a x b
f x f a f x f b
+ −
→ →
= =


II. Mt s nh lí c bn v hàm s liên tc:


1) nh lí 1:

a) Hàm a th∃c liên tc trên tp R.
b) Hàm phân th∃c h%u t& và các hàm s l ng giác liên tc trên t∋ng
khong cu tp xác ∀nh ca chúng.

2) nh lí 2:

Gi s!
( )
y f x=
và
( )
y g x=
là hai hàm s liên tc ti i#m x
0
. Khi
ó:
a) Các hàm s
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
, , .y f x g x y f x g x y f x g x= + = − =
liên tc ti
i#m x
0
.
b) Hàm s
( )
( )
f x
y
g x
=
liên tc ti i#m x
0
nu
( )
0
0.

g x ≠


3) nh lí 3:

Nu hàm s
( )
y f x=
liên tc trên on
[ ]
;
a b
và
( ) ( )
. 0
f a f b <
, thì tn
ti ít nht mt i#m
( )
;
c a b∈
sao cho
( )
0
f c =
.
Nói cách khác: Nu hàm s
( )
y f x=
liên tc trên on

[ ]
;
a b
và
( ) ( )
. 0
f a f b <
, thì phng trình
( )
0
f x =
có ít nht mt nghim
( )
0
;
x a b∈
.





Hàm s liên tc
3

B/ CÁC DNG BÀI TP THNG GP:

Dng1:
Xét tính liên tc ca hàm s ti im x
0

.
Phng pháp gii:

• Tính
( )
0
f x
.
• Tìm
( )
0
lim
x x
f x
→
và áp dng ∀nh ngha 1).

Ví d 1: Xét tính liên tc ca hàm s sau ti i#m x
0
= 2.

( )
3
2
8
x 2
2
10
x = 2
3

x
khi
x x
f x
khi

−
≠


− −
=





Li gii:

Ta có
( )
10
2
3
f =


( )
( )
( )

( )( )
( )
2
3 2
2
2 2 2 2
2 4
8 4 10
lim lim lim lim 2
2 1 2 1 3
x x x x
x x x
x x x
f x f
x x x x x
→ → → →
− + +
− + +
= = = = =
− − + − +
.
Vy hàm s f liên tc ti i#m x
0
= 2.
- - - - - - - - - - - - - - -
Ví d 2:
Xét tính liên tc ca hàm s sau ti i#m x
0
= 1.

( )
1
x 1
1
1 x = 1
x
khi
f x
x
khi

−
≠

=

−



Li gii:

Ta có
( )
1 1f =


( )
( )( )
( )

1 1 1 1
1 1 1 1
lim lim lim lim 1
1 2
1
1 1
x x x x
x x
f x f
x
x
x x
→ → → →
− −
= = = = ≠
−
+
− +
.
Vy hàm s f không liên tc ti i#m x
0
= 1.
- - - - - - - - - - - - - - -
Ví d 3: Xét tính liên tc ca hàm s sau ti i#m x
0
= 2.

( )
2
2

x > 2
2
5 x 2
x x
khi
f x
x
x khi

− −

=
−


− ≤


Li gii:

Ta có
( )
2 3f =


( )
( )( )
( )
( )
2

2 2 2 2
2 1
2
lim lim lim lim 1 3
2 2
x x x x
x x
x x
f x x
x x
+ + + +
→ → → →
− +
− −
= = = + =
− −
.


Hàm s liên tc
4


( ) ( )
2 2
lim lim 5 3
x x
f x x
− −
→ →

= − =
.
Suy ra
( ) ( )
2
lim 2
x
f x f
→
=

Vy hàm s f liên tc ti i#m x
0
= 2.
- - - - - - - - - - - - - - -

Bài tp t gii:


Xét tính liên tc ca hàm s sau ti i#m x
0

a)
( )
2
2
2 3
x 3
9
1

x = 3
4
x x
khi
x
f x
khi

− −
≠


−
=




(x
0
= 3).
b)
( )
3 2
x 1
1
1
x = 1
4
x

khi
x
f x
khi

+ −
≠


−
=




(x
0
= 1).
c)
( )
( )
2
5
x > 5
2 1 3
5 3 x 5
x
khi
x
f x

x khi
−


− −
=


− + ≤

(x
0
= 5).
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Dng2: nh
( )
0
f x
 hàm s f liên tc ti im x
0
.
Phng pháp gii

Tìm
( )
0
lim
x x
f x

→
và ly
( ) ( )
0
0
lim
x x
f x f x
→
=
.

Ví d 1:
∀nh
( )
0f
# hàm s sau liên tc ti x = 0.

( ) ( )
2 4
0
x
f x x
x
− −
= ≠

Li gii:

Ta có

( )
( )
( )
0 0 0 0
4 4
2 4 1 1
lim lim lim lim
4
2 4
2 4
x x x x
x
x
f x
x
x
x x
→ → → →
− −
− −
= = = =
+ −
+ −
.
Vy hàm s ã cho liên tc ti x = 0 khi
( )
1
0 .
4
f =

- - - - - - - - - - - - - - -
Ví d 2:
Cho hàm s
( )
1 2
x 3
3
x = 3
x
khi
f x
x
a khi

+ −
≠

=

−



∀nh a # hàm s ã cho liên tc ti x = 3.

Hàm s liên tc
5

Li gii:

Ta có
( )
3f a=


( )
( )
3 3 3 3
1 2 ( 1) 4 1 1
lim lim lim lim
3 4
1 2
( 3) 1 2
x x x x
x x
f x
x
x
x x
→ → → →
+ − + −
= = = =
−
+ +
− + +
.
Vy hàm s ã cho liên tc ti x = 3 khi
1

.
4
a =

- - - - - - - - - - - - - - -

Bài tp t gii:


a) ∀nh
( )
9f
# hàm s sau liên tc ti x = 9

( ) ( )
3
9 .
9
x
f x x
x
−
= ≠
−


b) Cho hàm s
( )
2
1 1

x 0
3
x = 0
x x
khi
f x
x
a khi

+ + −

≠
=




∀nh a # hàm s ã cho liên tc ti x = 0.
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -



Dng 3:
Xét tính liên tc ca hàm s trên khong, on.
Phng pháp gii:

• Dùng ∀nh ngha.
• Dùng ∀nh lí c bn.

Ví d 1: Ch∃ng minh hàm s
( )
2
8 2f x x= −
liên tc trên on
[ ]
2;2 .−

Li gii:

Hàm s
( )
2
8 2f x x= −
xác ∀nh trên on
[ ]
2;2 .−

( )
0
2;2x∀ ∈ −
ta có
( ) ( )
0 0
2 2
0 0
lim lim 8 2 8 2
x x x x
f x x x f x
→ →

= − = − =

Vy hàm s ã cho liên tc trên khong
( )
2;2 .−

Mt khác:
( ) ( )
2
( 2) ( 2)
lim lim 8 2 0 2
x x
f x x f
+ +
→ − → −
= − = = −


( ) ( )
2
2 2
lim lim 8 2 0 2
x x
f x x f
− −
→ →
= − = =

Do ó hàm s ã cho liên tc trên on
[ ]

2;2 .−

- - - - - - - - - - - - - - -