DE THI HAY HAY

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Chuyên đề : Phơng trình lợng giác A.CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC I.HỆ THỨC CƠ BẢN 1. sin2a+cos2a =1 sin a cos a ,cot a= , => tan a . cot a=1 2. tan a= cos a sin a 1 1 =1+ tan 2 a =1+ cot 2 a 3. 4. 2 2 cos a sin a II. CÔNG THỨC CỘNG 1. cos(a+b)= cosa.cosb-sina.sinb 2. cos(a-b) = cosa.cosb+ sina.sinb 3. sin(a+b)= sina.cosb+ cosa.sinb 4. sin(a-b)= sina.cosb- cosa.sinb tan a+ tan b tan a − tan b 5. tan (a+b)= 6. tan (a −b)= 1 − tan a . tan b 1+ tan a . tan b cot a. cot b −1 cot a. cot b+1 7. cot(a+b)= 8. cot( a− b)= cot a+cot b cot a− cot b III. CÔNG THỨC GÓC NHÂN ĐÔI 1. sin2a=2sina.cosa 2. cos2a= cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a 2 2 tan a cot a− 1 2. tan 2 a= 4. cot 2 a= 1 − tan 2 a 2cot a III. CÔNG THỨC GÓC NHÂN BA 1. sin3a=3sina-4sin3a 3 3 tan a − tan a 3. tan 3 a= 2 1− 3 tan a IV. CÔNG THỨC HẠ BẬC 1 −cos 2 a 2 1. sin a= ; 2 3 sin a − sin3 a 3 4. sin a= 4 V. BIỂU DIỄN THEO t=tan 1. sin a=. 2t 2 1+t. 2. cos3a= 4.cos3a-3cosa 3 cot a −3 cot a 4. cot 3 a= 2 3 cot a − 1. 1+ cos 2 a ; 2 3cos a+cos 3 a 3 5. cos a= 4 2 2. cos a=. 2 3. tan a=. 1 − cos 2 a 1+cos 2 a. a 2 2. 2. cos a=. 1− t 2 1+t. 3. tan a=. 2t 2 1− t. 4. cot a=. VI. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH a+b a− b a+b a−b cos sin 1. cos a+ cos b=2 cos 2. cos a − cos b=−2 sin 2 2 2 2 a+b a− b a+b a− b cos sin 3. sin a+sin b=2 sin 4. sin a −sin b=2 cos 2 2 2 2 π π 5. cos x +sin x=√ 2sin (x+ )= √2 cos (x − ) 4 4 π π 6. cos x − sin x=√ 2cos ( x + )=− √ 2 sin( x − ) 4 4 π π 7. sin x − cos x=− √ 2 cos( x + )=√ 2 sin( x − ) 4 4 sin(a+b) sin(a− b) 8. tan a+tan b= 9. tan a − tan b= cos a . cos b cos a . cos b sin (a+b) −sin (a −b) 10. cot a+cot b= 11. cot a −cot b= sin a . sin b sin a . sin b 2 cos(a− b) 12. tan a+cot b= 13. tan a+ cot a= sin 2a cos a . sin b VII. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG. 1 −t 2 2t.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 1 1 1. cos a . cos b= (cos(a − b)+ cos( a+b)) 2. sin a . sin b= (cos( a −b) −cos (a+b)) 2 2 1 1 3. sin a . cos b= (sin(a −b)+sin(a+b)) 4. cos a . sin b= (sin( a+b) −sin(a −b)) 2 2 VIII. HAI GÓC ĐỐI NHAU 1. sin(-a)=-sina 2. cos(-a)=cosa 3.tan(-a)=-tana 4. cot(-a)=-cota IX. HAI GÓC PHỤ NHAU π π 1. sin( − a)=cos a 2. cos ( − a)=sin a 2 2 π π 3. tan ( − a)=cot a 4. cot( − a)=tan a 2 2 X. HAI GÓC BÙ NHAU 1. sin( π −a)=sin a 2. cos (π − a)=−cos a 3. tan (π − a)=− tan a 4. cot( π − a)=−cot a XI. HAI GÓC HƠN KÉM NHAU π 1. sin(a+π )=−sin a 2. cos (a+ π )=− cos a 3. tan (a+π )=tan a 4. cot( a+ π)=cot a XII.Bảng giá trị lợng giác của một số góc đặc biệt x. rad. -. độ -180o. -. -. -. -. -. -150o. -135o. -120o. -90o. -60o -. -. 0. -45o. -30o. 0. -. -. 0. 1. 1. 0. -. -. -. -1. -.  30o. 45o. 60o. 90o. 120o. 135o. 150o. 180o. sin. 0. -. -. -. -1. 0. cos. -1. -. -. -. 0. tan. 0. 1. ||. -. -1. -. 0. 1. ||. -. -1. -. 0. cot. ||. 1. 0. -. -1. -. ||. 1. 0. -. -1. -. ||. B.Ph¬ng tr×nh lîng gi¸c c¬ b¶n 1.Phöông trình sinx = sinα  x   k 2 sin x  sin    (k  Z )  x     k 2 a/ sin x  a. Ñieàu kieän :  1  a 1.  x arcsin a  k 2 sin x  a   (k  Z )  x   arcsin a  k 2 b/ c/ sin u  sin v  sin u sin( v)   sin u  cos v  sin u  sin  v    2 e/ Các trường hợp đặc biệt: sin x  0  x  k (k  Z ).   sin u  cos v  sin u  sin   v  2  d/.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> sin x 1  x .   k 2 (k  Z ) 2. sin x  1  x .   k 2 (k  Z ) 2.  sin x 1  sin 2 x 1  cos2 x  0  cos x  0  x   k ( k  Z ) 2 2. Phöông trình cosx = cosα a/ cos x  cos   x   k 2 (k  Z ) cos x  a. Ñieàu kieän :  1  a 1. b/ cos x  a  x arccos a  k 2 (k  Z )   cos u  sin v  cos u  cos   v  2  d/. c/ cos u  cos v  cos u cos(  v)   cos u  sin v  cos u  cos   v  2  e/ Các trường hợp đặc biệt:  cos x  0  x   k (k  Z ) 2 cos x  1  x   k 2 (k  Z ). cos x 1  x  k 2 (k  Z ). cos x 1  cos2 x 1  sin 2 x  0  sin x  0  x k (k  Z ) 3. Phöông trình tanx = tanα a/ tan x  tan   x   k (k  Z ). b/ tan x  a  x  arctan a  k (k  Z ) c/ tan u  tan v  tan u tan( v)     tan u  cot v  tan u  tan   v  tan u  cot v  tan u  tan   v  2  e/ 2  d/. Các trường hợp đặc biệt: tan x  0  x  k (k  Z ).  tan x 1  x   k (k  Z ) 4. 4. Phöông trình cotx = cotα cot x  cot   x   k (k  Z ). cot x  a  x  arccot a  k (k  Z ). Các trường hợp đặc biệt:  cot x  0  x   k (k  Z ) 2.  cot x 1  x   k (k  Z ) 4. C.Mét sè ph¬ng tr×nh lîng gi¸c thêng gÆp 1. Phương trình bậc 2 đối với 1 HSLG: Đặt ẩn phụ, đưa về phương trình bậc hai theo ẩn t a.sin 2 x  b.sin x  c 0  t sin x    1 ;1  a.cos 2 x  b.cos x  c 0.  t cos x    1 ;1 . a.tan 2 x  b.tan x  c 0.  t tan x  R   t cot x  R . 2. a.cot x  b.cot x  c 0 2. Phương trình bậc hai đối với sin và cos: a.sin 2 x  b.sin x.cos x  c.cos 2 x d  a,b,c 0  Cách 1 : Dùng công thức nhân đôi, hạ bậc đưa về phương trình bậc nhất với sin và cos. Cách 2 :  Xét trường hợp cosx = 0.  Với cosx  0, chia 2 vế cho cos2x . ta đợc pt: a.tan2x + b.tanx +c = d(1 + tan2x).

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Đặt t = tanx. Đưa về phương trình bậc hai theo t. 3. Phương trình bậc nhất với sin và cos: a.sin x  b.cos x c  a , b , c 0  2. 2.  Chia hai vế cho a  b . a b     cos  ; sin      0;   2 2 2 2  2   a b  Đặt: a  b sin  x    sin   Đưa về phương trình : Lưu ý : Các phép biến đổi :.  a.sinx + b.cosx =.  a.sinx + b.cosx =. a  cos   2 a  b2   b sin    a 2  b2 Với . a 2  b 2 .sin  x   . a  sin   2 a  b2   b cos    2 a  b2 Với . a 2  b 2 .cos  x   .     2.sin  x    2.cos  x   4 4  .  sinx + cosx = 4. Phương trình đối xứng: a  sin x cos x   b.sin x.cos x  c 0.   t sin x cos x  2.sin  x   4   Đặt.   2.sin  x   4 . ; sinx – cosx =. Điều kiện  2 t  2 t 2− 1 th× sin x .cos x = 2 2 th× sin x .cos x = 1 −t 2. Khi đó nếu : * đặt t = sin x + cos x * đặt t = sin x + cos x  Đưa về phương trình bậc hai theo t . D.Mét sè bµi tËp VËn dông: Bµi 1: Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt. x    3 1 sin     cos   2 x   2 2 2 3 6  1) ;2) 3) 4)     3 0 tan  3 x    1 cot  2 x   1 cot 3 x  10  tan  2 x  1  3 6 3   3 7) 5) 6) 8)     cos  x   cos  2 x   sin  3 x  1 sin  x  2  3 6   10) ; 11) 12) cos3 x sin 2 x sin  3 x  1 . 1 2. cos x  150 . . . . 2 2. .     cos  2 x    cos  x   0 3 3   13) ; 14)         tan  3 x   tan  x   cot  2 x   cot  x   4 6  ;17) 4 3     16) sin x  1200  cos 2 x 0. . . cos x 2  x 0. . . 18) Bµi 2:Ph¬ng tr×nh bËc 2: 1 ) 2sin2x + 5cosx + 1 = 0 2 4) tan x   1 . 3  tan x . ; 20).  x sin 3 x  sin    0  4 2 15) 18). tan  2 x  1  cot x 0. sin x 2  2 x 0. . . ;2) 4sin2x – 4cosx – 1 = 0 ;3) 4cos5x.sinx – 4sin5x.cosx = sin24x 3 0 ;5) 4sin 2 x  2  3  1 sin x  3 0. ;6) tan2x + cot2x = 2.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> 8) 4sin23x + 2  3  1 cos3 x  3 = 4 ; 9) cos2x + 9cosx + 5 = 0 1   3  3  tan x  3  3 0 2 2 2 10) 4cos (2 – 6x) + 16cos (1 – 3x) = 13 11) cos x 7) cot22x – 4cot2x + 3 = 0. 3 12) cos x + tan2x = 9 1. 4. 1. 2 13) 9 – 13cosx + 1  tan x = 0. 2 14) sin x = cotx + 3. x 2. 4 17) 2cos2x + tanx = 5. 4 cos2. 2. 15) cos x + 3cot2x = 5 15) cos2x – 3cosx = Bài 3:Phơng trình bậc nhất đối với sin x và cos x 1) cos x  3 sin x  2 ;. 2). 6 2 ; 3) 3 cos3 x  sin 3 x  2   3 sin 2 x  sin   2 x  1 2 2  7) 2sin x  3 sin 2 x 3. sin x  cos x . 4) sin x  cos x  2 sin 5 x 5) 6). 8) sin 8 x  cos 6 x  3  sin 6 x  cos8 x    3 sin x 2 cos   x  3  10) cosx – Bài 4: Phơng trình đẳng cấp bậc 2:. 9). 2 b. 2sin 2 x  3cos x  5sin x cos x  2 0. 2. d. sin 2 x  2sin x 2cos 2 x e. 2sin2x + 3sinx.cosx - 3cos2x = 1. 3 1  sin x cos x. 11) sin5x + cos5x =. 2 2 a. 2sin x  sin x cos x  3cos x 0. 2 2 c. sin x  sin 2 x  2cos x 0,5. 8cos x . 2 cos13x.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>