(Sáng kiến kinh nghiệm) rèn kĩ năng giải toán về lũy thừa cho học sinh THCS

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
MÔ TẢ SÁNG KIẾN
Mã số (do Thường trực HĐ ghi):....................................
1. Tên sáng kiến: Rèn kĩ năng giải toán về lũy thừa cho học sinh THCS
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Chun mơn mơn Tốn THCS
3. Mơ tả bản chất của sáng kiến:
3.1. Tình trạng giải pháp đã biết:
Qua nhiều năm giảng dạy mơn tốn THCS, chúng tôi nhận thấy rằng hầu
hết học sinh mỗi khi gặp bài toán liên quan đến luỹ thừa là tỏ vẻ e sợ, đặc biệt là
luỹ thừa với số mũ lớn, số mũ tổng quát. Khi đó học sinh lớp 6, lớp 7 mới được
tiếp xúc với toán luỹ thừa, trong sách giáo khoa yêu cầu ở mức độ vừa phải, nhẹ
nhàng. Chính vì thế mà khi giáo viên chỉ cần thay đổi yêu cầu của đề bài là học
sinh đã thấy khác lạ, khi nâng cao lên một chút là các em gặp khó khăn chồng
chất: Làm bằng cách nào? làm như thế nào? ... chứ chưa cần trả lời các câu hỏi:
làm thế nào nhanh hơn, ngắn gọn hơn, độc đáo hơn?
3.2. Nội dung giải pháp đề nghị cơng nhận là sáng kiến:
a. Mục đích của giải pháp:
Để nâng cao và mở rộng kiến thức phần luỹ thừa cho học sinh THCS
bằng kinh nghiệm giảng dạy của mình kết hợp với sự tìm tịi, học hỏi các thầy
cơ giáo đồng nghiệp, chúng tơi muốn trình bày một số ý kiến “Rèn kĩ năng giải
toán về lũy thừa cho học sinh THCS” nhằm cung cấp những kiến thức cơ bản,
cần thiết và những kinh nghiệm cụ thể về phương pháp giải toán luỹ thừa cho
các đối tượng học sinh. Bên cạnh đó giúp học sinh rèn luyện các thao tác tư duy,
phương pháp suy luận logic.... tạo sự say mê cho các bạn u tốn nói chung và
tốn luỹ thừa nói riêng.
b. Nội dung giải pháp:
b.1. Tính mới của giải pháp:
Trong toán học, “Toán luỹ thừa’’ là một mảng kiến thức khá lớn, chứa
đựng rất nhiều các bài toán hay và khó. Để làm được các bài tốn về luỹ thừa
không phải là việc dễ dàng kể cả đối với học sinh khá và giỏi, nhất là đối với

học sinh lớp 6, lớp 7, các em mới được làm quen với môn đại số và mới được
tiếp cận với tốn luỹ thừa nên chưa có cơng cụ phổ biến để thực hiện các phép
biến đổi đại số, ít phương pháp, kĩ năng tính tốn... Để học tốt bộ mơn tốn nói
chung và “Tốn luỹ thừa’’ nói riêng, điều quan trọng là luôn biết rèn nếp suy
1


nghĩ qua việc học lý thuyết, qua việc giải từng bài tâp... qua sự suy nghĩ, tìm tịi
lời giải. Đứng trước một bài tốn khó, chưa tìm ra cách giải, học sinh thực sự
lúng túng, hoang mang và rất có thể sẽ bỏ qua bài tốn đó, nhưng nếu có được
sự giúp đỡ, gợi mở thì các em sẽ khơng sợ mà cịn thích thú khi làm những bài
tốn như vậy.
b.2. Sự khác biệt của giải pháp mới so với giải pháp cũ:
Tôi chọn chuyên đề này với mong muốn giúp học sinh học tốt hơn phần
toán luỹ thừa, giúp các em khơng cịn thấy sợ khi gặp một bài tốn luỹ thừa hay
và khó. Hy vọng rằng đây sẽ là tài liệu tham khảo bổ ích cho học sinh khi học
và đào sâu kiến thức toán luỹ thừa dưới dạng các bài tập.
b.3. Cách thức thực hiện sáng kiến
Ngay từ đầu năm học, tôi đã tham khảo sách giáo khoa, sách tham khảo
sau đó phối hợp với thầy cơ đồng nghiệp cùng nhau thực hiện chuyên đề này.
Chúng tôi thường xuyên trao đổi khả năng tiếp thu, sự hứng thú trong học tập
của học sinh thông qua các buổi họp tổ chuyên môn, cũng như tổ chức thao
giảng, hội giảng, chuyên đề của tổ.
b.4. Các bước thực hiện của sáng kiến.
Sau đây chúng tơi xin trình bày một số dạng toán và phương pháp giải từ
cơ bản đến nâng cao bằng một vài ví dụ cụ thể.
1. Dạng 1: Tìm số chưa biết
1.1. Tìm cơ số, thành phần của cơ số trong luỹ thừa
*Phương pháp: Đưa về hai luỹ thừa cùng số mũ.
Bài tập 1: Tìm x biết rằng:

a) x3 = -27

b) (2x – 1)3 = - 8

c) (x – 2)2 = 16

d) (2x – 3)2 = 9

Đối với bài toán này, học sinh chỉ cần nắm vững kiến thức cơ bản là có thể
dễ dàng làm được, lưu ý với số mũ chẵn, học sinh cần xét hai trường hợp.
Giải
a) x3 = -27

b) (2x – 1)3 = -8

x3 = (-3)3

(2x – 1)3 = (-2)3

x = -3

2x – 1 = - 2

Vậy x = - 3

x=
Vậy x =

−1
2

−1
2

c) (2x – 3)2 = 9 => (2x – 3)2 = (-3)2 = 32
=> 2x -3 =3

hoặc

2x -3 = -3
2


2x = 6

2x = 0

x=3

x=0

Vậy x = 3 hoặc x = 0 .
d ) (x - 2)2 = 16 => (x - 2)2 = (-4)2 = 42
=> x – 2 = -4

hoặc

x–2=4

x = -2

x=6

Vậy x = -2 hoặc x = 6
Bài tập 2.

Tìm số hữu tỉ x biết :

x2 = x 5

Nếu ở bài 1 học sinh làm thấy nhẹ nhàng thì đến bài 2 này khơng tránh
khỏi băn khoăn, lúng túng: hai lũy thừa đã cùng cơ số- chưa biết, số mũ- đã biếtlại khác nhau .Vậy phải làm cách nào đây ? Nhiều học sinh sẽ “ tìm mò’’ được x
= 0 hoặc x = 1, nhưng cách này sẽ khơng thuyết phục lắm bởi biết đâu cịn số x
thỏa mãn đề bài thì sao ?
Giáo viên có thể gợi ý :
x2 = x5 => x5 – x2 = 0 => x2.(x3 - 1) = 0
x 2 = 0
=>  3
 x − 1 = 0

x = 0

=> 

x = 0

=> 
3
x = 1
x = 1

Đến đây giáo viên có thể cho học sinh làm bài tập sau :
Bài tập 3 . Tìm số hữu tỉ y biết :

(3y - 1)10 = (3y - 1)20
x10 = x20

Hướng dẫn : Đặt 3y – 1 = x . Khi đó (*) trở thành :
 x 10 = 0
Giải tương tự bài 2 ở trên ta được :  10
 x − 1 = 0

(*)

x = 0
x = 0

=>  10
=>  x = −1
x = 1
 x = 1

Rất có thể học sinh dừng lại ở đây, vì đã tìm được x. Nhưng đề bài yêu cầu
tìm y nên ta phải thay trở lại điều kiện đặt để tìm y.
+) Với x = 0 ta có : 3y -1 = 0 => 3y = 1 => y =

1
3

+) Với x = 1 ta có : 3y -1 = 1 => 3y = 2 => y =

2
3

+) Với x = -1 ta có : 3y – 1 = -1 => 3y = 0 => y = 0
Vậy

y=

1
2
; y= ; y=0
3
3

Bài tập 5 : Tìm x và y biết :

(3x - 5)100 + (2y + 1)200 ≤ 0

(*)

3


Với bài toán này, cơ số và số mũ của hai lũy thừa khơng giống nhau, lại phải
tìm hai số x và y bên cạnh đó là dấu “ ≤ ’’ thật là khó! Lúc này chỉ cần gợi ý
nhỏ của giáo viên là các em có thể giải quyết được vấn đề: hãy so sánh
(3x - 5)100 và (2y +1)200 với 0.
Giải
∀ x∈

Ta thấy: (3x - 5)100 ≥ 0

Q

∀ x∈ Q

(2y +1)200 ≥ 0

=> Biểu thức (*) chỉ có thể bằng 0, không thể nhỏ hơn 0
Vậy :

(3x - 5)100 + (2y + 1)200 = 0

(3x - 5)100 = (2y + 1)200 = 0

khi

3x – 5 = 2y + 1 =0
=> x =

5
3

và

y=

−1
2

Bài tập 6: Tìm các số nguyên x và y sao cho: (x + 2)2 + 2(y – 3)2 < 4
Theo bài 3, học sinh sẽ nhận ra ngay:

(x + 2)2 ≥ 0
2(y – 3)2 ≥ 0

∀ x∈

Z

∀ x∈

Z

(1)
(2)

Nhưng nảy sinh vấn đề ở “ < 4 ” , học sinh không biết làm thế nào. Giáo viên
có thể gợi ý:
Từ (1) và (2) suy ra, để : (x + 2)2 + 2(y – 3)2 < 4 thì chỉ có thể xảy ra những
trường hợp sau :
(x + 2)2 = 0

+) Trường hợp 1:

và

=> x = -2

=>
+) Trường hợp 3 :

=>

(x + 2)2 = 0

+) Trường hợp 2 :

(y – 3)2 = 0

và

y=3

(y – 3)2 = 1
y = 4

x = -2

=> 
y = 2

(x + 2)2 = 1
x + 2 = 1

=> 
 x + 2 = −1

và

=>

(y – 3)2 = 0
y=3

 x = −1

=> 
 x = −3
+) Trường hợp 4 :

(x + 2)2 = 1
 x = −1

=> 
 x = −3

và

(y – 3)2 = 1

y = 4

=> 
y = 2

Vậy ta có bảng giá trị tương ứng của x và y thỏa mãn đề bài là :
4

x

-2

-2

-2

-1

-3

-1

-3

-3

-1

y

3

4

2

3

3

4

2

4

2

Thật là một bài tốn phức tạp! Nếu khơng cẩn thận sẽ xét thiếu trường hợp,
bỏ sót những cặp giá trị của x và y thỏa mãn điều kiện đề bài.
1.2 Tìm số mũ, thành phần trong số mũ của lũy thừa.
Phương pháp: Đưa về hai lũy thừa có cùng cơ số.
Bài tập 1: Tìm n ∈ N biết:
a) 2008n = 1
b) 5n + 5n+2 = 650

c) 32-n. 16n = 1024
d) 3-1.3n + 5.3n-1 = 162

Đọc đề bài học sinh có thể dễ dàng làm được câu a
a) 2008n = 1=> 2008n = 20080 => n = 0
Nhưng đến câu b, thì các em vấp ngay phải khó khăn: tổng của hai lũy thừa có
cùng cơ số nhưng khơng cùng số mũ. Lúc này rất cần có gợi ý của giáo viên:
b) 5n + 5n+2 = 650
5n + 5n.52 = 650
5n. (1 + 25) = 650
=> 5n = 650 : 26
5n = 25 = 52

=> n = 2
Theo hướng làm câu b, học sinh có ngay cách làm câu c, và d,
c) 32-n. 16n = 1024
(25)-n. (24)n = 1024
2-5n. 24n = 210
2-n = 210
=> n = -10
d) 3-1.3n + 5.3n-1 = 162
3n-1 + 5. 3n-1 = 162
=>6. 3n-1 = 162
3n-1 = 27 = 33
=> n – 1 = 3

5


n=4
Bài tập 2: Tìm hai số tự nhiên m, n biết :
2m + 2n = 2m+n
Học sinh thực sự thấy khó khi gặp bài này, khơng biết phải làm như thế
nào để tìm được hai số mũ m và n. Giáo viên gợi ý:
2m + 2n = 2m+n
2m+n – 2m – 2n = 0
=> 2m.2n -2m -2n + 1 = 1
2m (2n - 1) – (2n - 1) = 1
(2m - 1) (2n - 1) = 1
Vì 2m ≥ 1 , 2n ≥ 1
2 m − 1 = 1
Nên từ (*) =>  n
2 − 1 = 1

∀

(*)

m, n ∈ N

2 m = 2
=>  n
2 = 2

m = 1
n = 1

=> 

Vậy: m = n = 1
Bài tập 3: Tìm các số tự nhiên n sao cho:
a) 3 < 3n ≤ 234
b) 8.16 ≥ 2n ≥ 4
Đây là dạng tốn tìm số mũ của lũy thừa trong điều kiện kép. Giáo viên
hướng dẫn học sinh đưa các số về các lũy thừa có cùng cơ số.
a) 3 < 3n ≤ 234
31 < 3n ≤ 35
=> n ∈ { 2;3;4;5}
b) 8.16 ≥ 2n ≥ 4
23.24 ≥ 2n ≥ 22
27 ≥ 2n ≥ 22
=> n ∈ { 2;3;4;5;6;7}
Bài tập 4: Tìm số tự nhiên n biết rằng:

415. 915 < 2n. 3n < 1816. 216
Với bài này, giáo viên gợi ý học sinh quan sát, nhận xét về số mũ của các lũy
thừa trong một tích thì học sinh sẽ nghĩ ngay ra hướng giải bài toán:
415. 915 < 2n. 3n < 1816. 216
(4. 9)15 < (2.3)n < (18.2)16
3615 < 6n < 3616

6


630 < 6n < 632
=> n = 31
Bây giờ, học sinh khơng những biết làm các bài tốn tương tự mà cịn có
thể tự ra các bài tốn dạng tương tự.
1. Tìm các số nguyên n sao cho:
a) 9 . 27n = 35

b) (23 : 4) . 2n = 4

c) 3-2. 34. 3n = 37

d)

2-1 . 2n + 4. 2n = 9. 25

2. Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho:
a) 125.5 ≥ 5n ≥ 5.25

b) (n54)2 = n

c) 243 ≥ 3n ≥ 9.27

d)

2n+3 2n =144

3. Tìm các số tự nhiên x, y biết rằng :
a) 2x+1. 3y = 12x

b) 10x : 5y = 20y

4. Tìm số tự nhiên n biết rằng :
411. 2511 ≤ 2n. 5n ≤ 2012.512
Dạng 2: Tìm chữ số tận cùng của một giá trị lũy thừa.
2.1 Tìm một chữ số tận cùng
* Phương pháp : cần nắm được một số nhận xét sau :
+) Tất cả các số có chữ số tận cùng là: 0; 1; 5; 6 nâng lên lũy thừa nào ( khác
0) cũng có chữ số tận cùng là chính những số đó.
+) Để tìm chữ số tận cùng của một số ta thường đưa về dạng các số có chữ số
tận cùng là một trong các chữ số đó.
+) Lưu ý: những số có chữ số tận cùng là 4 nâng lên lũy thừa bậc chẵn sẽ có
chữ số tận cùng là 6 và nâng lên lũy thừa bậc lẻ sẽ có chữ số tận cùng là 4,
những số có chữ số tận cùng là 9 nâng lên lũy thừa bậc chẵn sẽ có chữ số tận
cùng là 1 và nâng lên lũy thừa bậc lẻ sẽ có chữ số tận cùng là 9
+) Chú ý :

24 = 16

74 = 2401

34 = 81

84 = 4096

Bài tập 1: Tìm chữ số tận cùng của các số : 2000 2008 , 11112008 , 987654321 ,
204681012 .
Dựa vào những nhận xét trên học sinh có thể dễ dàng tìm được đáp án:
20002008 có chữ số tận cùng là chữ số 0.
11112008 có chữ số tận cùng là chữ số 1.
987654321 có chữ số tận cùng là chữ số 5.
204681012 có chữ số tận cùng là chữ số 6.
Bài tập 2: Tìm chữ số tận cùng của các số sau:

7


20072008 , 1358
20072007 , 10231024.

2008

, 23456 , 5235, 204208, 20032005 , 9 9 , 4 5 ,996, 81975 ,
9

67

Hướng dẫn: Đưa các lũy thừa trên về dạng các lũy thừa của số có chữ số tận
cùng là: 0; 1; 5; 6.
+) 20072008 = (20074)502 = ( ......1 )502 = ......1 nên 20072008 chữ số tận cùng là
1.

+) 13 5725 = 135724.1357 = (13574)6.1357 = ......1 . 1357 = ......7
=>13 5725 có chữ số tận cùng là 7.
+) 20072007 = 20072004.20073 = (20074)501. ......3 = ( ......1 )501. ......3 = = ......1 .
......3

=> 20072007 có chữ số tận cùng là 3.
+) 23456 = (24)864 = 16864 = ......6 => 23456 có chữ số tận cùng là 6 .
+) 5235 = 5232. 523 = (524)8. ......8 = ( ......6 )8 . ......8 = ......6 . ......8 = ......8
=> 5235 có chữ số tận cùng là 8.
+) 10231024 = (10234)256 = ( ......1 )256 = ......1 =>10231024 có chữ số tận cùng
là 1 .
+) 20032005 = 20032004. 2003 = (20034)501. 2003 = ( ......1 )501. 2003 = ......1 .
2003
=> 20032005 có chữ số tận cùng là 3 .
+) 204208 =( 2042)104 = ( ......6 )104 = ......6 => 204208 có chữ số tận cùng là 6.
67

+) Ta thấy 5 6 là một số lẻ nên 4 5 có chữ số tận cùng là 4
7

+) 1358 2008 = (13584) 502 = ( ......6 )502 = ......6 => 1358 2008 có chữ số tận
cùng là 6.
+) 81975 = 81972. 83 = (84)493. ......2
cùng là 2 .

= ......6

......2

=> 81975 có chữ số tận

+) 996 = ( 94)24 =( ......1 )24 = ......1 => 996 có chữ số tận cùng là 1 .
+) Ta thấy 99 là một số lẻ nên 9 9 có chữ số tận cùng là 9 .
9

Bài tập 3: Cho A = 172008 – 112008 – 32008 . Tìm chữ số hàng đơn vị của A.
Đây là dạng tốn tìm chữ số tận cùng của một tổng, ta phải tìm chữ số tận
cùng của tổng số hạng, rồi cộng các chữ số tận cùng đó lại.
Hướng dẫn: Tìm chữ số tận cùng của 172008 ; 112008 ; 32008 ta có :
A = 172008 – 112008 – 32008 = ......1 - ......1 - ......1 = ......0 - ......1 = ......9
Vậy A có chữ số tận cùng là 9.
Bài tập 4: Cho M = 1725 + 244 – 1321 . Chứng tỏ rằng : M  10
8


Ta thấy một số chia hết cho 10 khi có chữ số tận cùng là 0 nên để chứng
tỏ M  10 ta chứng tỏ M có chữ số tận cùng là 0.
Giải: 1725 = 1724.17 = (174)6. 17 = ( ......1 )6.17 = ......1 .17 = ......7
244 =(242)2 = 5762 = .....6
1321 = (134)5.13 = ( ......1 )5.13 = ......1 . 13 = ......3
Vậy M = ......7 + .....6 - ......3 = ......0 => M  10
Đến đây, sau khi làm bài 2, bài 3, giáo viên có thể cho học sinh làm các bài
toán tổng quát sau:
Bài 5: Tìm chữ số tận cùng của các số có dạng:
(n ∈ N, n ≥ 1)

a. A = 24n – 5

(n ∈ N)

b. B = 24n + 2+ 1

(n ∈ N)

c. C = 74n – 1

Hướng dẫn: a) Có : 24n = (24)n = 16

có chữ số tận cùng bằng 6

=> 24n – 5 có chữ số tận cùng bằng 1
(n ∈ N)

b) B = 24n + 2+ 1

Ta có 24n + 2 = 22 . 24n = 4. 16n có chữ số tận cùng là 4
=> B = 24n + 2+ 1 có chữ số tận cùng là 5
c) C = 74n – 1
Ta có 74n = (74)n = (2401)n có chữ số tận cùng là 1
Vậy 74n – 1 có chữ số tận cùng bằng 0.
Bài 6: Chứng tỏ rằng, các số có dạng:
a)

chia hết cho 5 (n ∈ N, n ≥ 2)

A = 22 −1
n

b) B = 2 4 + 4

chia hết cho 10 (n ∈ N, n ≥ 1)

c)

chia hết cho 2 (n ∈ N, n ≥ 1)

n

H = 92 + 3
n

Với dạng bài này, học sinh phải dựa vào dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5, cho
cả 2 và 5. Đọc đầu bài, học sinh sẽ định hướng được phải tìm chữ số tận cùng
như bài 5, nhưng khi bắt tay vào làm thì gặp khó khăn lớn với các lũy thừa 2 2 ,
2 4 , 9 2 , học sinh không biết phải tính như thế nào, rất có thể học sinh sẽ nhầm:
n

n

n

a 2 = 2 2n , 2 4 = 2 4n , 9 2 = 9 2n
n

n

n

Khi đó giáo viên hướng dẫn như sau:
a) Với n ∈ N, n ≥ 2, ta có :

2 2 = 2 2 .2
n

2

n−2

( )

= 24

2n − 2

= 16 2

n−2

có chữ số tận cùng là 6

=> A = 2 2 − 1 có chữ số tận cùng là 5
n

9


Vậy A  5
b) Với n ∈ N, n ≥ 1, ta có :
n

( )

n −1

2 4 = 2 4 .4

= 24

4 n −1

= 16 4

n −1

có chữ số tận cùng là 6

=> B = 2 4 + 4 có chữ số tận cùng là 0
n

Vậy B  10
c) Với n ∈ N, n ≥ 1, ta có :
9 2 = 9 2 .2
n

( )

n −1

= 92

2 n −1

= 812

n −1

có chữ số tận cùng là 1

=> H = 9 2 + 3 có tận cùng là 4
n

Vậy H  2
2.2 Tìm hai chữ số tận cùng của một lũy thừa.
* Phương pháp: Để tìm hai chữ số tận cùng của một lũy thừa, ta cần
chú ý những số đặc biệt sau:
+) Các số có tận cùng là 01, 25, 76 nâng lên lũy thừa nào (khác 0) cũng tận
cùng bằng chính nó.
+) Để tìm hai chữ số tận cùng của một lũy thừa ta thường đưa về dạng các
số có hai chữ số tận cùng là: 01; 25 hoặc 76.
+) các số 210; 410; 165; 65; 184; 242; 684; 742 có tận cùng bằng 76.
+) các số 320; 910; 815; 74; 512; 992 có tận cùng là 01.
+) Số 26n (n ∈ N, n >1)
Bài tập 1: Tìm hai chữ số tận cùng của : 2100 ; 3100
Dựa vào nhận xét ở trên học sinh có thể dễ dàng làm được bài này:
2100 = (220)5 = ( ......76 )5 = ......76
3100 = (320)5= ( ......01 )5 = ......01
Bài tập 2: Tìm hai chữ số tận cùng của:
a) 5151

b) 9999

c) 6666

d) 14101. 16101

Hướng dẫn: Đưa về dạng các số có hai chữ số tận cùng là: 01; 25 hoặc 76.
a) 5151

= (512)25. 51 = ( ......01 )25. 51 = ......01 . 51 = ......51

=> 5151 có 2 chữ số tận cùng là 51
Tương tự:
b) 9999 =(992)49.99 = ( ......01 )49 . 99= ......01 . 99 = ......99
c) 6666 =(65)133.6 = ( ......76 )133 . 6= ......76 . 6 = ......56
d) 14101. 16101 = (14. 16)101 = 224101 = (2242)50. 224 = ( ......76 )50 . 224 =
......76 . 224 = ......24
10


Từ bài toán 2, cho học sinh làm bài toán tổng quát:
Bài tập 3: Tìm hai chữ số tận cùng của:
a) 512k;

(k∈ N*)

512k+1

b) 992n;

992n+1;

c) 65n;

(n∈ N*)

99 99 ;
99

65n+1;

(n∈ N*)

6 66 ;
66

Gợi ý:
a) 512k = (512)k = ( ......01 )k
512k+1 = 51. (512)k = 51. ( ......01 )k
b) 992n = (992)n = ( ......01 )n
992n+1 = 99. (992)n = 99. ( ......01 )n
99
2n+1
(Với n∈ N, n > 1)
99 99 , ta có 99 là một số lẻ => 99 99 có dạng 99
99

99

(Với n∈ N, n > 1

=> 99 99 = 99.(992)n = 99 . ( ......01 )n

99

c)

65n = ( 65)n = ( ......76 )n
65n+1 = 6 . ( 65)n = 6. ( ......76 )n

66
6 66 , ta có 66 là một số có tận cùng là 6 => 6 66
66

66

có dạng 65n+1 (n∈ N, n > 1)

=> 6 66 = 6 . ( ......76 )n
66

2.3. Tìm 3 chữ số tận cùng trở lên.
*Phương pháp: Chú ý một số điểm sau.
+) Các số có tận cùng 001, 376, 625 nâng lên lũy thừa (khác 0) cũng có tận
cùng bằng chính số đó.
+) Số có tận cùng 0625 nâng lên lũy thừa (khác 0) cũng có tận cùng bằng
0625.
Bài tập 1. Tìm 3 chữ số tận cùng, 4 chữ số tận cùng của 52000.
Học sinh có thể làm phần này khơng mấy khó khăn nhờ kĩ năng đã có từ các
phần trước.
52000 = (54)500 = 625500 = (0625)500
Vậy : 52000 có ba chữ số tận cùng là 625.
có bốn chữ số tận cùng là 0625.

Bài tập 2: Tìm ba chữ số tận cùng của:
a) 23n . 47n
b) 23n+3 . 47n+2

(n∈ N*)
(n∈ N)

11


Để tìm được ba chữ số cuối của một lũy thừa đã là khó với học sinh, bài
này lại yêu cầu tìm ba chữ số cuối của một tích các lũy thừa thì quả thật là rất
khó. Đối với học sinh khá, giỏi cũng cần tới sự gợi ý của giáo viên.
a) 23n . 47n

= (23)n . 47n = (8 . 47)n = 376n

376n có tận cùng là 376 => 23n . 47n có tận cùng là 376.
b) 23n+3 . 47n+2.
Dù đã làm được câu a, đến câu b học sinh cũng không tránh khỏi lúng
túng ở số mũ. Giáo viên có thể hướng dẫn:
23n+3 . 47n+2

= 23(n+1) . 47n+1 . 47
= (23)(n+1) . 47n+1 . 47
= (8.47)n+1 . 47
= 47 . 376n+1

Ta có: 376n+1 có các chữ số tận cùng là 376 => 47 . 376n+1 có chữ số tận
cùng là 672

Bài tập3: Chứng tỏ rằng:
a. 5 4 + 375  1000

( n∈ N, n ≥ 1)

b. 5 2 - 25  100

( n∈ N, n ≥ 2)

n

n

c. 2001n + 23n . 47n + 252n có tận cùng bằng 002
Nếu học sinh làm tốt các phần trước thì khi gặp bài này sẽ khơng gặp nhiều
khó khăn, tuy nhiên, rất cần đến sự tư duy logic, liên hệ đến kiến thức liên quan
và kĩ năng biến đổi.
a. Ta có: 5 4 = 5 4.4
n

n −1

= 625 4

n −1

( n∈ N, n ≥ 1)

tận cùng là 625

=> 5 4 + 375 có tận cùng 000.
n

Vậy: 5 4 + 375  1000
n

b. Ta có 5 2 = 5 2 .2 = ( 5 4 ) 2 = 625 2
n

2

n−2

n−2

n −2

( n∈ N, n ≥ 2)

Vậy 5 2 - 25 có 2 chữ số tận cùng là 00.
n

Do đó : 5 2 - 25  100
n

c. 2001n + 23n . 47n + 252n
Ta thấy : 2001n có tận cùng là 001
23n. 47n = (8 . 47 )n = 376n có tận cùng là 376
252n = (252)n = 625n có tận cùng là 625
Vậy: 2001n + 23n . 47n + 252n có tận cùng là 002.

Dạng 3: So sánh hai lũy thừa

12


* Phương pháp: để so sánh hai lũy thừa ta thường biến đổi về hai lũy
thừa có cùng cơ số hoặc có cùng số mũ (có thể sử dụng các lũy thừa trung gian
để so sánh)
+) Lưu ý một số tính chất sau :
Với a, b, m, n ∈ N , ta có: a > b  an > bn

∀ n∈

m > n  am > an

N*
(a > 1)

a = 0 hoặc a = 1 thì am = an ( m.n ≠ 0)
Với A, B là các biểu thức ta có:
An > Bn  A > B > 0
Am > An => m > n và A > 1
m < n và 0 < A < 1
Bài tập 1: So sánh :
a) 33317 và 33323
b) 200710 và 200810
c) (2008-2007)2009 và (1998 - 1997)1999
Với bài này học sinh có thể nhìn ngay ra cách giải vì các lũy thừa đã có cùng
cơ số hoặc có cùng số mũ.
a) Vì 1 < 17 < 23 nên 33317 < 33323

b) Vì 2007 < 2008 nên 200710 < 200810
(2008-2007)2009 = 12009 = 1

c) Ta có :

(1998 - 1997)1999 = 11999 = 1
(2008-2007)2009 = (1998 - 1997)1999

Vậy

Bài tập 2: So sánh
a) 2300 và 3200

e) 9920 và 999910

b) 3500 và 7300

f) 111979 và 371320

c) 85 và 3.47

g) 1010 và 48.505

d) 202303 và 303202

h) 199010 + 1990 9 và 199110

Để làm được bài này học sinh cần sử dụng linh hoạt các tính chất của lũy thừa
để đưa các lũy thừa về cùng cơ số hoặc cùng số mũ.
Hướng dẫn :

a) Ta có :

2300 = 23)100 = 8100
3200 = (32)100 = 9100

Vì 8100 < 9100 => 2300 < 3200
b) Tương tự câu a, ta có :

3500 = (35)100 = 243100
13


7300 = (73)100 = 343100
Vì 243100 < 343100 nên 3500 < 7300
c) Ta có : 85 = 215 = 2.214 < 3.214 = 3.47 => 85 < 3.47
202303 = (2.101)3.101 = (23.1013)101 = (8.101.1012)101 =

d) Ta có :
(808.101)101

303202 = (3.101)2.101 = (32.1012)101 = (9.1012)101
Vì 808.1012 > 9.1012 nên

202303 > 303202

e) Ta thấy : 992 < 99.101 = 9999 => (992)10 < 999910 hay
9920 < 999910

(1)

f) Ta có : 111979 < 111980 = (113)660 = 1331660

(2)

371320 = 372)660 = 1369660
Từ (1) và (2) suy ra : 111979 < 371320
g) Ta có : 1010 = 210. 510 = 2. 29. 510

(*)

48. 505 = (3. 24). (25. 510) = 3. 29. 510

(**)

Từ (*) và (**) => 1010 < 48. 505
h) Có : 199010 + 19909 = 19909. (1990+1) = 1991. 19909
199110 = 1991. 19919
Vì 19909 < 19919 nên 199010 + 1990 9 < 199110
Bài tập 3. Chứng tỏ rằng :

527 < 263 < 528

Với bài nà , học sinh lớp 6 sẽ không định hướng được cách làm , giáo viên
có thể gợi ý: hãy chứng tỏ 263> 527 và 263 < 528
Ta có : 263 = (27)9 = 1289
527 =(53)9 = 1259

=> 263 > 527

(1)

=> 263 < 528

(2)

Lại có : 263 = (29)7 = 5127
528 = (54)7 = 6257
Từ (1) và (2) => 527 < 263 < 52
Bài tập 4 . So sánh :
a) 10750 và 7375

b) 291 và 535

Nếu ở bài trước có thể so sánh trực tiếp các lũy thừa cần so sánh hoặc chỉ sử
dụng một lũy thừa trung gian thì bài này nếu chỉ áp dụng cách đó thì khó tìm ra
lời giải cho bài tốn.Với bài này ta cần so sánh qua hai lũy thừa trung gian:
a) Ta thấy : 10750 < 10850 = (4. 27)50 = 2100. 3150
7375 > 7275 = (8. 9)75 = 2225. 3150

(1)
(2)

Từ (1) và (2) => 10750 < 2100. 3150 < 2225. 3150 < 7375
14


10750 < 7375

Vậy

b) 291 > 290 = (25)18 = 3218
535 < 536 = (52)18 = 2518
=> 291 > 3218 > 2518 > 535
291 > 535

Vậy

Bài tập 5. So sánh:
a) (-32)9 và (-16)13

b) (-5)30 và (-3)50

c) (-32)9 và (-18)13

d) (

− 1 100
−1
) và ( )500
16
2

Hướng dẫn: Đưa về so sánh hai lũy thừa tự nhiên
a) (-32)9 = - 329 = - (25)9 = - 245
(-16)13 = - 1613 = - (24)13 = - 2 52
Vì 245 < 252 nên -245 > - 252
Vậy (-32)9 > (-16)13
b) (-5)30 = 530 = (53)10 = 12510
(-3)50 = 350 = (35)10 = 243 10
Vì 12510 < 24310 nên (-5)30 < (-3)50

c) (-32)9 = - 329 = - (25)9 = - 245
mà 245 < 252 = 1613 < 1813
=> - 245 > - 1813 = (-18)13
Vậy (-32)9 > (-18)13
d) Ta có : (

− 1 100
1
1
− 1100
) =
= 100 = 400
100
16
16
2
16

Vì 2400 < 2500 nên
Vậy (

1
2

400

>

cịn (

− 1 500
1
(−1) 500
) =
= 500
500
2
2
2

1
2 500

− 1 100
−1
) > ( )500
16
2

Bài 6. So sánh A và B biết :

2008 2008 + 1
A=
2008 2009 + 1

;

2008 2007 + 1
B=
2008 2008 + 1

Trước khi tìm lời giải bài này giáo viên có thể cung cấp cho học sinh tính
chất sau:
* Với mọi số tự nhiên a , b , c khác 0 , ta chứng minh được:
+) Nếu

a
> 1 thì
b

a a+c
>
b b+c

15


+) Nếu

a
< 1 thì
b

a a+c
<
b b+c

Ap dụng tính chất trên vào bài 6 , ta có :
2008 2008 + 1
Vì A =

< 1 nên
2008 2009 + 1
2008.(2008 2007 + 1)
2008 + 2008
2008 2008 + 1 2008 2008 + 1 + 2007
A=
<
=
=
2009
+ 2008 2008.( 2008 2009 + 1)
2008 2009 + 1 2008 2009 + 1 + 2007 2008

=

2008 2007 + 1
=B
2008 2007 + 1

Vậy A < B .
Giáo viên cũng có thể hướng dẫn học sinh giảỉ bài toán theo những cách sau :
Cách 1: Ta có : 2008.A =

2007
(2008 2008 + 1).2008 2008 2009 + 1 + 2007
=
=1+
2009
2009
2008 2009 + 1

2008
+1
2008
+1

2007
2008 2007 + 1).2008 2008 2008 + 1 + 2007
=
2008.B =
=1+
2008 2008 + 1
2008 2008 + 1
2008 2008 + 1
2007
2007
<
2009
2008
+ 1 2008 2008 + 1

Vì 20082009+1 >20082008+1 nên
=> 2008.A < 2008. B
=> A < B
Cách 2:

1
2008 2009 + 1 2008 2009 + 2008 − 2007 2008.(2008 2008 + 1) − 2007
=
=
=

A 2008 2008 + 1
2008 2008 + 1
2008 2008 + 1

= 2008 -

2007
2008 2008 + 1

1
2008 2008 + 1 2008 2008 + 2008 − 2007 2008.(2008 2007 + 1) − 2007
=
=
=
B 2008 2007 + 1
2008 2007 + 1
2008 2007 + 1

= 2008 Vì 20082008+1> 20082007 +1 nên
=> 2008 Vậy

1
1
>
A B

2007
2008 2007 + 1

2007

2007
<
2008
2008
+ 1 2008 2007 + 1

2007
2007
> 2008 2008
2008
+1
2008 2007 + 1

=> A < B

(vì A,B > 0)

Bài 8 . So sánh M và N biết:

M=

100100 + 1
100 99 + 1

;

N=

100101 + 1
100100 + 1

Hướng dẫn:
16


Cách 1 : N =

100101 + 1
>1
100100 + 1

100
100101 + 1 100101 + 1 + 99 100101 + 100 (100 + 1).100
100100 + 1
=> N = 100 > 100
= 100
=
=
=M
99
100 + 1 100 + 1 + 99 100 + 100 (100 + 1).100
100 99 + 1

Vậy M < N.
Cách 2:

99
100100 + 1 100100 + 100 − 99 (100 99 + 1).100 − 99
M=
=

=
= 100 99
99
99
100 99 + 1
100 + 1
100 + 1
100 + 1
99
100101 + 1 100101 + 100 − 99 (100100 + 1).100 − 99
N=
=
=
=
100
100100 + 1
100100 + 1
100100 + 1
100100 + 1

Vì 10099 + 1 < 100100 + 1 nên
99
100100 + 1

99
99
99
>
=> 100 < 100 99
100

100 + 1
100 + 1
100 99 + 1

Vậy M < N.
Bây giờ giáo viên có thể cho học sinh làm một số bài tập tương tự sau:
1. So sánh:
a, 528 và 2614

b, 521 và 12410

c, 3111 và 1714

d, 421 và 647

e, 291 và 535

g, 544 và 2112

h, 230 + 330 + 430 và 3. 2410
2. So sánh:
a)

1
300

2

và

1

b)

200

3

8

 1
1
c)  −  và  
 4
8

5

1
199

5

và

1
d)  
 10 

15

1
300

3

3
và  
 10 

20

3. So sánh:
a) A =

1315 + 1
1316 + 1

19991999 + 1
b) A =
19991998 + 1
100100 + 1
c) A =
100 99 + 1

và
và
và

B =

1316 + 1
1317 + 1

1999 2000 + 1
B =
19991999 + 1
100 69 + 1
B =
100 68 + 1

Dạng 4: Tính tốn trên các lũy thừa.
*Phương pháp: Vận dụng linh hoạt các cơng thức, phép tính về lũy
thừa để tính cho hợp lí và nhanh. Biết kết hợp hài hịa một số phương pháp trong
tính tốn khi biến đổi.
17


Bài tập 1: Tính giá trị các biểu thức sau với x=7.
a)
b)

2 30.5 7 + 213.5 27
A = 27 7 10 27
2 .5 + 2 .5

M = ( x − 4 ) ( x −5)

( x −6 )( x +6 )

( x +5 )

với x = 7

Hướng dẫn:
Với bài này, học sinh khơng nên tính giá trị của từng lũy thừa rồi thực hiện
các phép tính khác theo thứ tự thực hiện phép tính, mà nếu làm như vậy thì rất
khó có thể đưa ra đáp án đúng. Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh tìm thừa số
chung và đưa ra ngoài ngoặc ở cả tử và mẫu số, sau đó thực hiện việc rút gọn thì
việc tìm kết quả của bài toán nhanh đến bất ngờ.
a)

213.5 7 (217 + .5 20 )
2 30.5 7 + 213.5 27
A = 27 7 10 27 = 10 7 17 20 = 23 = 8
2 .5 (2 + 5 )
2 .5 + 2 .5

b)

M = ( x − 4 ) ( x −5 )

( x −6)( x +6)

( x+5)

Học sinh dễ phát hoảng khi nhìn thấy câu b vì số mũ của lũy thừa cứ
cao dần mà số lại chưa cụ thể. Nhưng khi thay giá trị của x vào thì M lại tìm
được một cách dễ dàng.
M = ( x − 4 ) ( x −5 )

12
113

M = 32

( x −6)( x +6)

( x+5)

= ( 7 − 4 ) ( 7 −5)

( 7 −6 )( 7 + 6 )

(7+5)

= 3 2 = 32 = 9
1

Bài tập 2: Chứng tỏ rằng:
a)

A = 102008 + 125  45

b)

B = 52008 + 52007 + 52006  31

c)

M = 88 + 220  17

d)

H = 3135 . 299 – 3136 . 36  7

Với bài toán này, học sinh phải huy động kiến thức về dấu hiệu chia hết, kĩ
năng và phương pháp biến đổi, lưu ý rằng: Nếu a  m, a  n, (m;n) = 1 thì a m.n
(a, m, n ∈ N*)
a) A = 102008 + 125  45
Ta có: 102008 + 125 =

100...0

+ 125 = 100...0125

2008 số 0

2005 số 0

A có tận cùng là 5 => A  5
Tổng các chữ số của A là: 1+1+2+5 = 9 => A  9.
Mà (5;9) = 1 => A  5.9 hay A  45
b) B = 52008 + 52007 + 52006  31

18


Ta khơng thể tính giá trị cụ thể của từng lũy thừa rồi thực hiện phép
chia. Giáo viên có thể gợi ý đặt thừa số chung.
B = 52008 + 52007 + 52006

B = 52006 .( 52 + 51 + 1)
B = 52006 . 31  31
c) M = 88 + 220  17
Cách làm tương tự như câu b, nhưng trước tiên phải đưa về hai lũy thừa có
cùng cơ số:
M = 88 + 220 = (23)8 + 220 = 224 + 220
M = 220 (24 + 1) = 220 (16 + 1) = 220 . 17  17
d) H = 3135 . 299 – 3136 . 36  7
Với câu này, học sinh cũng phải nhận ra cần đặt thừa số chung, nhưng đặt
thừa số chung nào lại là một vấn đề. Nếu đặt 313 5 làm thừa số chung thì buộc
phải tính kết quả trong ngoặc, và như vậy thì rất lâu và dễ nhầm. Khi đó, giáo
viên có thể hướng dẫn:
H = 3135 . 299 – 3136 . 36
H = 3135 . 299 – 3136 - 35. 3136
H = 3135 . (299 – 313) - 35. 3136
H = 3135 . 14 - 35. 3136
H = 7 . (3135 . 2 – 5. 3136 )  7
Bài tập 3 . Cho A = 2+ 22 + 23 +……+ 260
Chứng tỏ rằng:

A 3 , A 7 , A 5

Với bài này, giáo viên hãy hướng dẫn các em đi nhóm các lũy thừa
thành từng nhóm 2 / 3 / 4 / ….lũy thừa sao cho sau khi đặt thừa số chung ở mỗi
nhóm thì xuất hiện số cần chứng tỏ A chia hết cho nó.
Ví dụ : A = 2+ 22 + 23 +……+ 260
= (2+22)+(23+24)+(25+26)+…….+(257+258)+(259+260)
= 2.(1+2)+23.(1+2)+25.(1+2)+…….+257.(1+2)+259.(1+2)
= (1+2).(2+23+25+…..+257+259)
= 3.( 2+23+25+…..+257+259)

=> A 3
Tương tự, ta có : A =(2+ 22 + 23)+(24+25+26)+……+(258+259+ 260 )
= 2.(1+2+22)+24.(1+2+22)+…….+258.(1+2+22)
= (1+2+22).(2+24+27+…….+258)
= 7.(2+24+27+…….+258)
19


=> A 7
A = (2+ 23)+(22+24)+……+(257+259)+(258+ 260 )
A = 2(1+22)+22(1+22)+……+257(1+22)+258(1+22)
= (1+22).(2+22+25+26+…….+257+258)
= 5. (2+22+25+26+…….+257+258
=> A 5
Bài tập 4: Chứng tỏ rằng:
a) D = 3 + 32 + 33 + 34 +……..+ 32007  13
b) E = 71 + 72 + 73 + 74 +…. + 74n-1 + 74n  400
Hướng dẫn:
a) Ta thấy : 13 = 1 + 3 + 3 2 nên ta sẽ nhóm 3 số hạng liên tiếp của tổng
thành một nhóm như sau :
D = (3 + 32 + 33) + (34 +35 + 36) +…….+ (32005 + 32006.+ 32007)
=3.(1 + 3 + 32) +34.(1 + 3 + 32) +…….+ 32005.(1 + 3 + 32)
= 3. 13 + 34. 13 + ……..+ 32005. 13
= (3 + 34 + ……+ 32005). 13
=> D  13
b, Tương tự câu a, có : 400 = 1 + 7 + 72 + 73 nên :
E = (71 + 72 + 73 + 74) + 74. (71 + 72 + 73 + 74) + …+ 74n-4. (71 + 72
+ 73 + 74 )
= (71 + 72 + 73 + 74). (1+74 + 78 + …+74n-4)
= 7.(1 + 71 + 72 + 73 ). (1+74 + 78 + …+74n-4)

= 7.(1 + 7 + 49 + 343 ). (1+74 + 78 + …+74n-4)
= 7.400 . (1+74 + 78 + …+74n-4)  400
=> E  400
Bài tập 5:

a) Tính tổng : Sn = 1 + a + a2 + .. + an
b) áp dụng tính các tổng sau:
A = 1 + 3 + 32+ … + 32008
B = 1 + 2 + 22 + 23 + ……+ 21982
C = 71 + 72 + 73 + 74 +…. + 7n-1 + 7n

a) Đây là một bài tốn tổng qt , giáo viên có thể gợi ý trực tiếp cho học
sinh cách làm:
Để thu gọn các tổng lũy thừa nà, ta nhân cả hai vế của biểu thức với cơ số
của các lũy thừa.
20


* Xét a = 1 ta có:
* Xét a ≠ 1 ta có :

Sn = 1 + 1 + 12 +...+ 1n =( n +1).1 = n +1
Sn = 1 + a + a2 + .. + an

a. Sn = a + a2 + .. + an+1
a. Sn - Sn = an+1 – 1
=> Sn =

a n +1 − 1
a −1

b) Học sinh dễ dàng tính được tổng A, B , C nhờ công thức Sn
A = 1 + 3 + 32+ … + 32008 =

3 2009 − 1
2

B = 1 + 2 + 22 + 23 + ……+ 21982 = 21983 - 1
1

2

3

4

C = 7 + 7 + 7 + 7 +…. + 7

Bài tập 6: Thu gọn tổng sau :

n-1

7 n +1 − 7
+7 =
6
n

M = 1 - 2 + 22- 23 + … + 22008

Mặc dù đã có cơng thức tính tổng các lũy thừa viết theo quy luật ở bài 4

nhưng khi tính tổng M thì học sinh không tránh khỏi sự lúng túng với những dấu
“+”, “-“ xen kẽ. Nếu vận dụng máy móc cách tính tổng B ở câu b, bài 4: lấy 2M
- M thì sẽ khơng thu gọn được tổng M. Giáo viên cần giải thích cho học sinh
hiểu được: câu b-bài 4, ta tính hiệu hai biểu thức vì hai biểu thức có những số
hạng giống nhau; cịn bài 5 này hai tổng 2M và M lại có những số hạng đối nhau
nên ta sẽ xét hiệu của chúng:
M = 1 - 2 + 22- 23 + … + 22008
2M= 2 - 22 + 23 – 24 + … + 22009
=> 2M + M = 22009 + 1
2 2009 + 1
=> M =
3

Bài tập 7. Tính
a, A =

1 1
1
1
+ 2 + 3 + ....... + 100
2 2
2
2

b, B = 1+

1 1
1
1
+ 2 + 3 + ....... + 500

5 5
5
5

Hướng dẫn: làm tương tự bài 4
a) A =

1 1
1
1
1
+ 2 + 3 + ....... + 99 + 100
2 2
2
2
2
1
2

2A = 1+ +

1
1
1
+ 3 + ....... + 99
2
2
2
2

21


1
2

1
1
1
1 1
1
1
+ 3 + ....... + 99 ) – ( + 2 + 3 + ....... + 100 )
2
2 2
2
2
2
2
2

=> 2A – A =(1+ +
1
2

1
2

A = 1+ − +

1
1
1
1
1
1
1
− 2 + 3 − 3 + ....... + 99 − 99 − 100
2
2
2
2
2
2
2
2

1
2100

A= 1 b) B = 1+

1 1
1
1
+ 2 + 3 + ....... + 500
5 5
5
5

5B = 5+1+

1 1
1
1
+ 2 + 3 + ....... + 499
5 5
5
5
1 1
1
1
1 1
1
1
+ 2 + 3 + ....... + 499 ) – (1+ + 2 + 3 + ....... + 499 )
5 5
5 5
5
5
5
5

=> 5B – B = (5+1+

1 1 1
1
1
1
1

1
1
− + 2 − 2 + 3 − 3 + ....... + 499 − 499 − 500
5 5 5
5
5
5
5
5
5

= 5+1-1+
4B = 5 B = (5 Bài tập 8.Tính :

1
5 500
1
5 500

):4

B = 1002 - 992 + 982 – 972 + ……+22 - 1

Với bài này rất có thể học sinh nghĩ tới việc nhóm các số 100 2, 982 , …, 22
thành một nhóm và các số cịn lại thành một nhóm .
Ta có:
B = 1002 - 992 + 982 – 972 + ……+22 – 1
= (100-99).(100+99)+(98-97).(98+97)+……..+(2-1).(2+1)
= 100+99+98+97+…….+2+1
= 100.(100+1) : 2

= 5050
Bài tập9: Chứng tỏ rằng.
a, H =
b, K =

1
1
1
1
1
+ 2 + 2 + .. +
+
<1
2
2
2
3
4
2007
2008 2
1
1
1
1
1
1
1
1
+ 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 <
2

2
2
4
6
8 10
12
14

Để làm được câu a, học sinh phải nắm được các kiến thức liên quan. Những
bài tốn dạng này thực sự rất khó với học sinh. Để học sinh hiểu được phụ thuộc
hoàn toàn vào sự dẫn dắt, gợi mở của giáo viên.
1

1

1

Lưu ý: n.(n − 1) = n − n + 1

(n ∈ N*)

22


1
1
<
2
1.2
2

Ta có:
=>
Mà

H=

,

1
1
<
2
2.3
3

,

1
1
<
, ……..,
2
3.4
4

1
1
<
2

2007.2008
2008

1
1
1
1
1
1
1
1
+ 2 + 2 + .. +
+
<
+
+ .. +
2
2
2
1.2 2.3
2007.2008
2
3
4
2007
2008

(*)

1

1
1
1 1 1 1 1
1
1
1
+
+ .. +
= 1 − + − + − + ..... +
−
= 1−
<1
1.2 2.3
2007.2008
2 2 3 3 4
2007 2008
2008

Nên , từ (*) => H < 1
Qua bài tốn trên, giáo viên có thể cho học sinh làm bài toán tổng quát sau:
Bài tập 10.

Chứng tỏ :

a) H =

1
1
1
1

1
+ 2 + 2 + .. +
+ ..... + 2 < 1
2
2
2
3
4
2003
n

b) K =

1
1
1
1
1
1
1
1
+ 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2<
2
2
2
4
6
8 10
12
14

(n∈ N * , n ≠ 1)

Hướng dẫn:
1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

− = 1− < 1
a) H < 1.2 + 2.3 + ..... + (n − 1).n = 1 − + − + − + ..... +
2 2 3 3 4
n −1 n

n

Nên H < 1
b) K =

1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 ) < 2 (1+1) = 2 .2 =
2 (
2
2
2
3
4
5
6
7
2
2

(Vì theo câu a,
Vậy K <

1
1
1
1
1
1
+ 2 + 2 + 2 + 2 + 2 < 1)
2
2
3
4
5
6
7

1
.
2

Bây giờ giáo viên có thể cho học sinh làm một số bài tập luyện tập sau:
1.Chứng tỏ rằng các biểu thức sau đều viết được dưới dạng số chính
phương:
M = 13+23

Q = 13+23+33+43+53

N = 13+23+33

R = 13+23+33+43+53+63

P = 13+23+33+43

K = 13+23+33+43+53+63+73

2. Tính A và B bằng hai cách trở lên:
A = 1+2+22+23+24+…….+2n (n ∈ N*)
B = 70+71+72+73+74+……+7n+1

(n ∈ N)

3. Viết tổng sau dưới dạng một lũy thừa của 2;
T = 22+ 22 + 23 +24+25+……+ 22008
4. So sánh:
a) A = 1+2+ 22 + 23 +24+25+……+ 22008 và B = 22009 – 1
23


b) P = 1 + 3 + 32+ … + 3200 và Q = 3201
c) E = 1 + x + x2+ … + x2008

và F = x2009

(x ∈ N*)

5. Chứng tỏ rằng:
a, 13+33+53+73 23
(n ∈ N*)

b) 3+33+35+37+……+32n+1 30

c) 1+5+ 52 + 53 +…….+ 5403+5404

31

d) 1+4+ 42 + 43 +44+……+ 499 và B = 4100
6. Tìm số dư khi chia A cho 7, biết rằng:
A = 1+2+ 22 + 23 +……+ 22008 + 22002
7. Tính:
a) 3S – 22003 biết S = 1 – 2 + 22 - 23 +……+ 22002
b) E = 2100 – 299 – 298 – 297 - … - 22 - 2 – 1
H = 1 + 3+ 32 + 33 +……+ 320

c) H – K biết:

K = 321 : 2
8.Tìm :
a) Số tự nhiên n biết: 2A + 3 = 3n . Với A = 3+ 32 + 33 +……+ 3100
b) Chữ số tận cùng của M biết : M = 2+ 22 + 23 +….. + 220
9. Chứng tỏ rằng :
a) 87 – 218 14

h, 122n+1 + 11n+2 133

c) 817 – 279 - 913 405
b) 106 – 57 59

i, 70+71+72+73+…..+7101 8
k, 4+ 42 + 43 +44 +……+ 416 5

d) 1099+23 9

l, 2000+20002+20003 + ……+20002008 2001

e) 1028 + 8 72

m, 3+ 35 + 37 +……+ 31991 13 và 41

10. Chứng tỏ rằng:
a)

1
1
1
1
1
+ 2 + 2 + .. +
<
2
2
2
2
4
6
100

b)

1 1
1
1

1
1
< 2 + 2 + 2 + .. +
<
2
6 5
4
6
7
100

Dạng 5: Tốn có lời văn với lũy thừa.
Dạng tốn đố với lũy thừa có một số bài chủ yếu liên quan đến số chính
phương. Số chính phương là bình phương của một số tự nhiên.
*Phương pháp: Cần nắm được một số kiến thức sau:
+) Số chính phương chỉ có thể tận cùng là 0, 1 , 4, 5, 6, 9 và không thể tận cùng
bằng 2, 3, 7, 8.
+) Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số
nguyên tố với số mũ chẵn, không chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ.
24


+) Số lượng các ước của một số chính phương là một số lẻ. Ngược lại một số
có số lượng các ước là một số lẻ thì số đó là số chính phương.
Bài tập 1: Trong buổi họp mặt đầu xuân Tân Mùi 1991, bạn Thủy đố các bạn
điền các chữ số vào dịng chữ sau để được phép tính đúng
MÙI . MÙI = TÂN MÙI

(*)

Bạn hãy trả lời giúp.
Phân tích đề bài:
Đề bài rất hay, nhưng khi tìm câu trả lời thì thật là khó. Ta phải tìm câu
trả lời thích hợp thay cho dịng chữ (*)
MÙI là số có 3 chữ số
Theo (*) thì (MÙI)2 có tận cùng là mùi và có 6 chữ số.
Đi tìm đáp án:
Gọi MÙI = a. Ta có:
a2 = 1000. TÂN + a

hay

a2 – a = 1000. TÂN
=> a.(a-1) 1000

Ta thấy a-1 và a là hai số liên tiếp
1000 = 125 . 8 với (125 ; 8 ) = 1
Vậy có thể xảy ra :
+) a 125 và a – 1 8

=> a = 625

+) a 8 và a-1 125

=> a = 376

Do đó: 625 . 625 = 390625
376 . 376 = 141376

(thỏa mãn)

(khơng thỏa mãn ,vì chữ T khác chữ N)

Vậy MÙI . MÙI = TÂN MÙI

chính là 625 . 625 = 390625

Bài tập 2: Đố bạn: số chính phương nào có 4 chữ số được viết bởi các chữ
số: 3, 6, 8, 8.
Với bài toán này, ta phải sử dụng phương pháp loại trừ để tìm ra đáp án:
Gọi số chính phương phải tìm là n2
Số chính phương khơng tận cùng bằng 3, 8 nên n2 có tận cùng là 6
Số tận cùng là 86 thì chia hết cho 2, khơng chia hết cho 4 nên khơng phải
là số chính phương. Vậy n2 có tận cùng là 36.
Do đó số chính phương cần tìm là 8836
Bài tập 3.
Bạn hãy tìm số chính phương có 4 chữ số sao cho hai chữ số đầu giống
nhau, hai chữ số cuối giống nhau.

25