(Sáng kiến kinh nghiệm) nâng cao kết quả học tập môn toán thông qua việc sử dụng bđtd trong dạy học

NÂNG CAO KẾT QUẢ HỌC TẬP MƠN TỐN THƠNG QUA VIỆC SỬ DỤNG BĐTD TRONG DẠY HỌC

MỤC LỤC

Nội dung

Trang
2

Tóm tắt

3

Giới thiệu

5

Phương pháp

8

Phân tích và bàn luận kết quả

11

Tài liệu tham khảo

11

Phụ lục đề tài, dạng toán 1

14

BĐTD minh họa các bài toán dạng 1

15

Dạng toán 2

18

BĐTD minh họa các bài toán dạng 1

19

Đề và đáp án kiểm tra trước và sau tác động

21

Bảng điểm kiểm tra trước và sau tác động

23

Phép kiểm chứng T-Test độc lập (Bảng excel)

TÓM TẮT ĐỀ TÀI
Mơn Tốn học nói chung là một mơn học có tính trừu tượng cao, tính logic
chặt chẽ, là mơn học công cụ, tạo nền cho việc học nhiều môn học khác. Tốn học
góp phần đào tạo người lao động tự chủ, sáng tạo có năng lực giải quyết vấn đề,
năng lực tổ chức, năng lực tự phát triển.
Hướng đổi mới phương pháp dạy học Tốn hiện nay là tích cực hóa hoạt động

học tập của học sinh, khơi dậy và phát triển khả năng tự học, nhằm hình thành cho
học sinh tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo; nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết
vấn đề; rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm,
1


NÂNG CAO KẾT QUẢ HỌC TẬP MƠN TỐN THƠNG QUA VIỆC SỬ DỤNG BĐTD TRONG DẠY HỌC

đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh. Để phát huy tốt cho mỗi giờ lên
lớp yêu cầu người giáo viên phải biết kết hợp các phương pháp truyền thống đồng
thời áp dụng những phương pháp dạy học mới như: Dạy học nêu vấn đề, đặt ra tình
huống có vấn đề; Dạy học hợp tác theo nhóm ... Tóm lại có thể nói đặc trưng cơ bản
của phương pháp dạy học đổi mới là: Dạy học thông qua việc tổ chức các hoạt động
của học sinh; Dạy học chú trọng rèn luyện phương pháp tự học. Để đáp ứng nhu cầu
đổi mới phương pháp dạy học thì có nhiều phần mềm ứng dụng cùng với các công
cụ hỗ trợ ra đời nhưng có thể nói dạy học với việc áp dụng bản đồ tư duy (BĐTD)
vào các mơn học có tính kế thừa cao các phương pháp dạy học tích cực, tiếp thu
kinh nghiệm quốc tế và đã được áp dụng thành công trong thực tế dạy học ở các nhà
trường hiện nay.
Trong chương trình Tốn lớp 6 các dạng bài tập rất đa dạng phong phú đặc
biệt là các bài tập dành cho học sinh khá giỏi, tuy nhiên, sách giáo khoa đưa ra các
dạng tốn cịn ít và đơn điệu, chưa có hệ thống các bài tập logic, chưa khai thác hết
các dạng bài tập cũng như chưa đi sâu phát triển nâng cao qua các dạng bài tập đó.
Bản đồ tư duy (BĐTD) cịn gọi là sơ đồ tư duy, lược đồ tư duy … Là hình thức
ghi chép nhằm tìm tịi, đào sâu, mở rộng một ý tưởng, hệ thống hóa một chủ đề hay
một mạch kiến thức,… bằng cách kết hợp việc sử dụng đồng thời hình ảnh đường nét
màu sắc chữ viết với sự tư duy tích cực. Bản đồ tư duy sẽ giúp học sinh trong việc
phát triển ý tưởng, ghi nhớ kiến thức, từ đó sẽ nhanh nhớ, nhớ lâu, hiểu sâu kiến thức
bằng cách tự ghi lại một bài học, một chủ đề tốn theo cách hiểu của mình. Tuy nhiên
chỉ khi nào các em tự thiết lập BĐTD và sử dụng nó trong học tập mơn Tốn thì mới

thấy rõ được hiệu quả mà khó có thể diễn tả được bằng lời của BĐTD, sẽ thích học
hơn đặc biệt là cảm nhận được niềm vui của việc học.
Nghiên cứu được tiến hành trên hai nhóm tương đương: hai nhóm nằm trong
lớp 6D trường THCS Nam Hồng. Nhóm D1 là thực nghiệm và D2 là nhóm đối
chứng. Nhóm thực nghiệm được thực hiện giải pháp sử dụng BĐTD khi dạy nội dung
các dạng tốn với chủ đề “Tìm số và tìm chữ số tận cùng”. Kết quả cho thấy tác
động đã có ảnh hưởng rõ rệt đến kết quả học tập của học sinh: Nhóm thực nghiệm đã
đạt kết quả học tập cao hơn so với nhóm đối chứng. Điểm bài kiểm tra đầu ra của
2


NÂNG CAO KẾT QUẢ HỌC TẬP MƠN TỐN THƠNG QUA VIỆC SỬ DỤNG BĐTD TRONG DẠY HỌC

nhóm thực nghiệm có giá trị trung bình là 8,09; điểm bài kiểm tra đầu ra của nhóm
đối chứng là 7,21. Kết quả kiểm chứng t-test cho thấy p < 0,05 có nghĩa là có sự khác
biệt lớn giữa điểm trung bình của nhóm thực nghiệm và nhóm đối chứng. Điều đó
chứng minh rằng sử dụng BĐTD trong dạy học làm nâng cao kết quả học tập mơn
Tốn của học sinh lớp 6 trường THCS Nam Hồng.

GIỚI THIỆU
- Khi dạy bồi dưỡng học sinh giỏi khối 6 tôi thấy thực tế một bộ phận lớn học
sinh cịn ngại giải tốn vì học sinh đang yếu về khả năng vận dụng các tính chất,
chưa biết cách phối hợp các phương pháp và đặc biệt học sinh đang giải các bài tập
một cách máy móc theo một cơng thức nào đó chưa sáng tạo cho các bài tập tương
tự.
- Trong quá trình giảng dạy của bản thân và dự giờ của một số đồng nghiệp
đối với những giờ luyện tập cũng như ôn tập chương … Những giờ dạy này học sinh
phải tiếp thu và làm nhiều dạng bài tập nhưng hầu như những giờ học đó giáo viên
chỉ mới chú trọng được các bài tập ở SGK chưa hệ thống được các dạng bài tập có
tính liên kết với nhau một cách khoa học, chính vì vậy chưa phát huy tính tích cực

của học sinh trong cách giải bài tập tại lớp và tìm hiểu thêm các dạng bài tập khác có
tính nâng cao bồi dưỡng chuyên đề cho học sinh khá giỏi.
- Việc áp dụng BĐTD trong các giờ học thực tế đang còn máy móc và mang
tính đối phó hiệu quả chưa cao, chưa rèn được cho học sinh kỷ năng sử dụng nó như
một cơng cụ để ghi nhớ kiến thức của mình, muốn vậy người giáo viên phải nghiên
cứu bài dạy tìm ra bài nào, chương nào cần tổ chức hướng dẫn cho học sinh tự chủ
tìm ra phương pháp để gắn kết các kiến thức lại với nhau ghi nhớ bằng cách vẽ
BĐTD.
- Trong năm học này tôi được nhà trường phân cơng dạy mơn Tốn lớp 6 và
đồng thời bồi dưỡng học sinh khá giỏi khối 6, tôi nhận thấy nếu giáo viên có sự trăn
trở cho mỗi giờ dạy trước khi lên lớp hay nghiên cứu kỹ càng cho mỗi chuyên đề
trước khi bồi dưỡng thì hiệu quả của giờ dạy sẽ rất cao. Đặc biệt trong các giờ luyện
tập, ơn tập những giờ học mà địi hỏi phải tổng hợp một lúc nhiều lượng kiến thức cả
3


NÂNG CAO KẾT QUẢ HỌC TẬP MƠN TỐN THƠNG QUA VIỆC SỬ DỤNG BĐTD TRONG DẠY HỌC

về lý thuyết lẫn bài tập thì giáo viên nên hướng dẫn cho học sinh vẽ BĐTD để các em
có tính hệ thống hóa, nâng cao kiến thức phục vụ cho việc lưu nhớ lý thuyết và áp
dụng vào giải các bài tập, điều này tơi đã thực hiện và áp dụng có hiệu quả mỗi giờ
lên lớp.
Giải pháp thay thế: Sử dụng BĐTD trong giờ dạy cho học sinh quan sát, nêu
hệ thống câu hỏi dẫn dắt giúp học sinh phát hiện kiến thức, tổng hợp và ghi nhớ kiến
thức một cách có hệ thống.
Về vấn đề đổi mới PPDH trong đó có ứng dụng CNTT trong dạy học, đã có
nhiều bài viết được trình bày trong các hội thảo liên quan.
Ví dụ:
- Bài Công nghệ mới với việc dạy và học trong các trường Cao đẳng, Đại học
của GS.TSKH. Lâm Quang Thiệp.

- Bài Những yêu cầu về kiến thức, kĩ năng CNTT đối với người giáo viên của
tác giả Đào Thái Lai, Viện Khoa học Giáo dục Việt Nam.
- Sáng kiến kinh nghiệm: Ứng dụng công nghệ thông tin trong dạy học của cô
giáo Trần Hồng Vân, trường tiểu học Cát Linh Hà Nội.
- Các đề tài :+ Ứng dụng CNTT trong dạy học mơn Tốn của Lê Minh Cương –
MS 720.
Các đề tài này đều đề cập đến những định hướng, tác dụng, kết quả của việc đưa
CNTT vào dạy và học.
Nhiều báo cáo kinh nghiệm và đề tài khoa học của các thầy cô giáo trường
CĐSP cũng đã đề cập đến vấn đề ứng dụng CNTT trong dạy học.
Các đề tài, tài liệu trên chủ yếu bàn về sử dụng CNTT như thế nào trong dạy học
nói chung mà chưa có tài liệu, đề tài nào đi sâu vào việc sử dụng BĐTD trong dạy
học.
Từ thực tế dạy học tôi muốn có một nghiên cứu cụ thể hơn và đánh giá được
hiệu quả của việc đổi mới PPDH thông qua việc sử dụng BĐTD hỗ trợ cho giáo viên
khi dạy bài học về Tìm số cũng như Tìm chữ số tận cùng. Qua nguồn cung cấp thơng
tin sinh động đó, học sinh tự khám phá ra kiến thức khoa học. Từ đó, truyền cho các

4


NÂNG CAO KẾT QUẢ HỌC TẬP MƠN TỐN THƠNG QUA VIỆC SỬ DỤNG BĐTD TRONG DẠY HỌC

em lòng tin vào khoa học, say mê tìm hiểu khoa học cùng các ứng dụng của nó trong
đời sống.
Vấn đề nghiên cứu: Việc sử dụng BĐTD trong dạy học sẽ nâng cao kết quả học tập
mơn tốn học sinh lớp 6 khơng?
Giả thuyết nghiên cứu: Sử dụng BĐTD trong dạy học sẽ nâng cao kết quả học tập
mơn tốn học sinh lớp 6 trường THCS Nam Hồng.

PHƯƠNG PHÁP
a. Khách thể nghiên cứu
Tôi lựa chọn trường THCS Nam Hồng vì trường có những điều kiện thuận lợi
cho việc nghiên cứu ứng dụng.
* Giáo viên:
Tôi là người trực tiếp giảng dạy tại trường và đã có nhiều năm giảng dạy lớp
chọn và lớp 6D là lớp chọn tơi đang trực tiếp giảng dạy có số lượng học sinh tương
đối đồng đều. Tôi trực tiếp tách lớp thành hai nhóm như sau:
Nhóm D1 (Nhóm thực nghiệm)
Nhóm D2 (Nhóm đối chứng)
* Học sinh:
Hai nhóm được chọn tham gia nghiên cứu có nhiều điểm tương đồng nhau về
tỉ lệ giới tính, dân tộc. Cụ thể như sau:
Bảng 1. Giới tính và thành phần dân tộc của HS lớp 6D trường THCS Nam Hồng.

Số HS các nhóm
Dân tộc
Tổng số
Nam
Nữ
Kinh Mường Thái
Tày Nùng
6D1
16
8
8
16
0
0
0

0
6D2
16
8
8
16
0
0
0
0
Về ý thức học tập, tất cả các em ở hai nhóm này đều tích cực, chủ động.
Về thành tích học tập của năm học trước, hai nhóm tương đương nhau về điểm
số của tất cả các môn học.
Thiết kế: Chọn hai nhóm của một lớp nguyên vẹn 6D: Nhóm D1 là nhóm thực
nghiệm và D2 là nhóm đối chứng. Tơi dùng bài kiểm tra học kì I mơn Tốn làm bài
5


NÂNG CAO KẾT QUẢ HỌC TẬP MƠN TỐN THƠNG QUA VIỆC SỬ DỤNG BĐTD TRONG DẠY HỌC

kiểm tra trước tác động. Kết quả kiểm tra cho thấy điểm trung bình của hai nhóm có
sự khác nhau, do đó chúng tơi dùng phép kiểm chứng T-Test để kiểm chứng sự chênh
lệch giữa điểm số trung bình của 2 nhóm trước khi tác động.
Kết quả:
Bảng 2: Kiểm chứng để xác định các nhóm tương đương
Đối chứng

Thực nghiệm

7,375

7,438

TBC

p=
0,3647
p = 0,3647 > 0,05, từ đó kết luận sự chênh lệch điểm số trung bình của hai nhóm TN
và ĐC là khơng có ý nghĩa, hai nhóm được coi là tương đương.
Sử dụng thiết kế 2: Kiểm tra trước và sau tác động đối với các nhóm tương
đương (được mơ tả ở bảng 2):
Bảng 3: Thiết kế nghiên cứu:
Nhóm

Kiểm tra trước

Thực nghiệm

thực nghiệm
O1

Đối chứng

O2

Tác động
Dạy học có sử dụng BĐTD
Dạy học khơng sử dụng

Kiểm tra sau

thực nghiệm
O3

BĐTD
ở thiết kế này, tôi sử dụng phép kiểm chứng T-Test độc lập

O4

c. Quy trình nghiên cứu:
* Chuẩn bị bài của giáo viên:
 Dạy lớp đối chứng: Thiết kế kế hoạch bài học khơng sử dụng BĐTD quy trình
chuẩn bị bài như bình thường.
 Dạy lớp thực nghiệm:
- Gv cung cấp cung cấp cho học sinh kiến thức cơ bản một cách vững chắc từ các
bài toán cơ bản biết khai thác nhiều bài toán nâng cao.
- Xây dựng phương pháp giải phù hợp cho từng dạng bài toán đưa ra.
- Tổ chức học sinh học các chủ đề mà giáo viên đưa ra theo từng nhóm nhỏ rồi sau
đó thảo luận với nhau đi đến thống nhất cách làm cho từng tập.
- Dẫn dắt học sinh bằng các câu hỏi khoa học dễ hiểu để khai bài toán mới.
6


NÂNG CAO KẾT QUẢ HỌC TẬP MƠN TỐN THƠNG QUA VIỆC SỬ DỤNG BĐTD TRONG DẠY HỌC

- Giáo viên để học sinh tự vẽ BĐTD theo cách hiểu của mình. Sau đó giáo viên nhận
xét chấm và sữa chữa sai sót nếu có. Cuối cùng giáo viên định hướng khai thác cách
thiết kế BĐTD
Thiết kế kế hoạch bài học có sử dụng BĐTD và tham khảo các bài giảng của
đồng nghiệp (Đ/c Đinh Thị Ngọc Bé, Đ/c Kiều Mạnh Hoàng, Đ/c Nguyễn Duy Thái
– Tổ Toán lý trường THCS Nam Hồng v.v...)

* Tiến hành dạy thực nghiệm:
Thời gian tiến hành thực nghiệm vẫn tuân theo kế hoạch dạy học của nhà
trường và theo thời khóa biểu để đảm bảo tính khách quan. Cụ thể:
Bảng 4: Thời gian thực nghiệm
Thứ ngày
Ba
11/12/12
Tư
12/12/12
Ba
25/12/12
Tư
26/12/12
d. Đo lường

Mơn/Lớp

Học buổi 2

Tên bài dạy

Tốn/6D1

Chiều

Một số bài tốn tìm số

Tốn/6D2

Chiều

Một số bài tốn tìm số

Tốn/6D1

Chiều

Một số bài tốn tìm chữ số tận cùng

Tốn/6D2

Chiều

Một số bài tốn tìm chữ số tận cùng

Bài kiểm tra trước tác động là bài thi học kì I mơn Tốn, do phịng Giáo dục
Hồng Lĩnh ra đề thi chung cho các trường.
Bài kiểm tra sau tác động là bài kiểm tra sau khi học xong các bài có nội dung
trong chủ đề “Tìm số” và “Tìm chữ số tận cùng”, do tơi dạy lớp 6D thiết kế (xem
phần phụ lục). Bài kiểm tra sau tác động gồm 10 câu hỏi trong đó có 6 câu hỏi trắc
nghiệm dạng nhiều lựa chọn và 3 câu hỏi tự luận.
* Tiến hành kiểm tra và chấm bài:
Sau khi thực hiện dạy xong các bài học trên tôi tiến hành bài kiểm tra 1 tiết
(nội dung kiểm tra trình bày ở phần phụ lục).
Sau đó tơi tiến hành chấm bài theo đáp án đã xây dựng.

7


NÂNG CAO KẾT QUẢ HỌC TẬP MƠN TỐN THƠNG QUA VIỆC SỬ DỤNG BĐTD TRONG DẠY HỌC

PHÂN TÍCH DỮ LIỆU VÀ BÀN LUẬN KẾT QUẢ
Bảng 5: So sánh điểm trung bình bài kiểm tra sau tác động
Đối chứng

Thực nghiệm

ĐTB

7,750

8,6875

Độ lệch chuẩn

0,829

0,682

Giá trị P của T- test
0,001
Chênh lệch giá trị TB chuẩn (SMD)
1,095
Như trên đã chứng minh rằng kết quả 2 nhóm trước tác động là tương đương.
Sau tác động kiểm chứng chênh lệch ĐTB bằng T-Test cho kết quả P = 0,001, cho
thấy: sự chênh lệch giữa ĐTB nhóm thực nghiệm và nhóm đối chứng rất có ý nghĩa,
tức là chênh lệch kết quả ĐTB nhóm thực nghiệm cao hơn ĐTB nhóm đối chứng là
khơng ngẫu nhiên mà do kết quả của tác động.
Chênh lệch giá trị trung bình chuẩn SMD =

8, 6875  7, 750
 1, 095 . Điều đó cho
0,856

thấy mức độ ảnh hưởng của dạy học có sử dụng BĐTD đến TBC học tập của nhóm
thực nghiệm là rất lớn.
Giả thuyết của đề tài “Sử dụng
BĐTD trong dạy học làm nâng cao
kết quả học tập mơn tốn của học
sinh lớp 6” đã được kiểm chứng.

Hình 1. Biểu đồ so sánh ĐTB trước tác động và sau tác động
của nhóm thực nghiệm và nhóm đối chứng

BÀN LUẬN
Kết quả của bài kiểm tra sau tác động của nhóm thực nghiệm là TBC = 8,6875,
kết quả bài kiểm tra tương ứng của nhóm đối chứng là TBC = 7,750. Độ chênh lệch
điểm số giữa hai nhóm là 0,9375; Điều đó cho thấy điểm TBC của hai lớp đối chứng
8


NÂNG CAO KẾT QUẢ HỌC TẬP MƠN TỐN THƠNG QUA VIỆC SỬ DỤNG BĐTD TRONG DẠY HỌC

và thực nghiệm đã có sự khác biệt rõ rệt, lớp được tác động có điểm TBC cao hơn lớp
đối chứng.
Chênh lệch giá trị trung bình chuẩn của hai bài kiểm tra là SMD = 1,095. Điều
này có nghĩa mức độ ảnh hưởng của tác động là rất lớn.
Phép kiểm chứng T-test ĐTB sau tác động của hai lớp là p = 0.001< 0.05. Kết
quả này khẳng định sự chênh lệch ĐTB của hai nhóm khơng phải là do ngẫu nhiên
mà là do tác động.

* Hạn chế:
Nghiên cứu này sử dụng BĐTD trong giờ học mơn Tốn là một giải pháp rất
tốt nhưng để sử dụng có hiệu quả, người giáo viên cần phải có trình độ về cơng nghệ
thơng tin, có kĩ năng thiết kế giáo án điện tử, biết khai thác và sử dụng các nguồn
thông tin trên mạng Internet, biết thiết kế kế hoạch bài học hợp lí.

KẾT LUẬN VÀ khuyẾn NGHỊ
* Kết luận:
Việc sử dụng BĐTD vào giảng dạy nội dung các dạng tốn thuộc chủ đề “Tìm
số và tìm chữ số tận cùng ” mơn Tốn lớp 6 ở trường THCS Nam Hồng đã nâng cao
hiệu quả học tập của học sinh.
* Khuyến nghị:
Để đáp ứng không ngừng việc đổi mới phương pháp dạy học, cũng như sự đổi
mới trong cách dạy của thầy và cách học của trò, nhằm đạt hiệu quả dạy học cao
nhất thì buộc người thầy phải truyền thụ kiến thức một cách thật sáng tạo việc tổ
chức các tình huống học tập, các câu hỏi dẫn dắt để khai thác bài tốn mới có tác
dụng gây sự tập trung chú ý, kích thích hứng thú học tập của học sinh. Hệ thống câu
hỏi, nêu ra từ dễ đến khó đã lơi cuốn học sinh vào hoạt động tự lực đề xuất bài toán
mới làm học sinh có niềm vui, sự thích thú khi giải bài tập tốn. Vì thế học sinh say
mê học tập hơn, khả năng tổng quát hóa, tương tự hóa… được phát triển.
9


NÂNG CAO KẾT QUẢ HỌC TẬP MƠN TỐN THƠNG QUA VIỆC SỬ DỤNG BĐTD TRONG DẠY HỌC

Học sinh biết so sánh các bài toán trong từng dạng, biết xâu chuỗi các bài tốn
từ dễ đến khó, các em tự tìm tòi, khám phá biết quy lạ thành quen, biến phức tạp
thành đơn giản.
Đối với các cấp lãnh đạo: Cần quan tâm về cơ sở vật chất như trang thiết bị
máy tính, máy chiếu Projector hoặc màn hình ti vi màn hình rộng có bộ kết nối... cho

các nhà trường. Mở các lớp bồi dưỡng ứng dụng CNTT, khuyến khích và động viên
giáo viên áp dụng CNTT vào dạy học.
Đối với giáo viên: Không ngừng tự học, tự bồi dưỡng để hiểu biết về CNTT,
biết khai thác thông tin trên mạng Internet, có kĩ năng sử dụng thành thạo các trang
thiết bị dạy học hiện đại.
Với kết quả của đề tài này, tôi mong rằng các bạn đồng nghiệp quan tâm, chia
sẻ và đặc biệt là có thể ứng dụng đề tài này vào việc dạy các môn học khác trong nhà
trường để tạo hứng thú và nâng cao kết quả học tập cho học sinh.

TÀI LIỆU THAM KHẢO
- Tài liệu tập huấn Nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng. Dự án Việt Bỉ - Bộ
GD&ĐT.
- Sách giáo khoa và sách bài tập Toán 6,. NXB GD
- Sách nâng cao và phát triển Tốn 6 tập 1 –Vũ Hữu Bình NXB GD Việt Nam
- Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 6 – Bùi Văn Tuyên NXB GD
- Phần mềm iMindMap Trial
- Tài liệu hội thảo tập huấn:
+ Đổi mới nội dung và phương pháp dạy học ngành sư phạm
+ Đổi mới nội dung và phương pháp dạy. Chủ đề ứng dụng CNTT 5/2007.
-

Mạng

Internet:

;

thuvientailieu.bachkim.com;

thuvienbaigiangdientu.bachkim.com; giaovien.net ....

10


NÂNG CAO KẾT QUẢ HỌC TẬP MƠN TỐN THƠNG QUA VIỆC SỬ DỤNG BĐTD TRONG DẠY HỌC

I. KẾ HOẠCH BÀI HỌC
1.1. Kế hoạch bài học: Một số dạng tốn Tìm số
Ví dụ 1: Một số dạng tốn tìm số. Giáo viên đưa ra từ khóa là “Tìm số” Giáo viên có
thể yêu cầu học sinh tự nêu ra một số dạng tốn tìm số mà em đã học:
Sau đây là một số dạng toán, mỗi nhánh cấp 1 là một bài toán, phân bổ ở các
nhánh cấp 2 là cách giải hoặc hướng dẫn, chú ý hoặc một số nhận xét và các bài tập
tương tự. Học sinh có thể tùy ý vẽ theo sự hiểu biết tìm tịi sáng tạo của các em,
không hạn chế số lượng bài tập và dạng bài tập.
Nhánh 1.1: Giáo viên đưa ra bài tốn sau:
Tìm a là số tự nhiên nhỏ nhất sao cho a chia 5 dư 3, chia 7 dư 5, chia 9 dư 7
Giải: Theo bài ra ta có: a-3 chia hết cho 5; a-5 chia hết cho 7; a-7 chia hết cho 9 suy
ra a + 2 là bội chung của 5, 7, 9.
Vì a nhỏ nhất nên: a + 2 = BCNN (5,7,9) = 315.
Vậy a = 315.
Các bài tốn tương tự:
1, Tìm a nhỏ nhất sao cho a : 5 dư 3; a : 7 dư 5; a : 9 dư 8.
2, Tìm a nhỏ nhất sao cho a : 8 dư 7; a : 9 dư 6; a : 15 dư 9
Nhánh 1.2: Ta có thể chọn bài tập này:
Tìm hai số tự nhiên, biết tổng của chúng bằng 180 và ƯCLN của chúng là 15.
Giải: Gọi a, b là hai số cần tìm ta có a, b thuộc N
với a + b = 180 và ƯCLN(a,b) = 15.
Suy ra:

a

15

b
15

Đặt a1  ; b1 

thì a1  a2 180 : 15 12
với  a1 , b1  1 .
Các cặp số nguyên tố cùng nhau có tổng bằng 12 chỉ có thể là 1và 11 hay 5 và 7.
Suy ra a = 15; b = 165 hoặc a = 75, b = 105.
11


NÂNG CAO KẾT QUẢ HỌC TẬP MƠN TỐN THƠNG QUA VIỆC SỬ DỤNG BĐTD TRONG DẠY HỌC

Chú ý: Ta đã sử dụng tính chất: Với mọi a, b, k thuộc N*
thì ƯCLN(ka,kb) = k.ƯCLN(a,b).
Các bài tốn tương tự:
1.Tìm hai số tự nhiên biết tích của chúng là 8748, ƯCLN của chúng là 27.
2.Tìm hai số tự nhiên, biết chúng có tổng là 27, ƯCLN của chúng là 3, BCNN của
chúng là 60.
3. Tìm a, b  N biết a  b 30 và  a, b 6 a, b  .
Nhánh 1.3: Một dạng tốn tìm số ngun mà thường gặp khi học phần bội và ước
của số nguyên.
Tìm x, y  Z biết xy  2 x  2 y 5
Giải: Ta viết đẳng thức đã cho như sau:

xy  2 x  2 y  4 5  4
x( y  2)  2( y  2) 1

( x  2)( y  2) 1
Vậy x  2 và y  2 là ước của 1.
Ta tìm được các cặp số  x, y  thỏa mãn là  3, 1 ;  1, 3
Các bài toán tương tự:
Tìm x, y  Z biết:
a, xy  3x  2 y 9
b, xy  5 x  5 y 0
c,7 x  xy  2 y 18
d ,3 x  4 y  xy 16

Nhánh 1.4: Liên quan đến cách tính tổng các số tự nhiên liên tiếp.
Tìm số tự nhiên n biết rằng: 1  2  3  ...  n 820
Giải: Tính tổng vế trái:
Ta có: 1  2  3  ...  n 
Suy ra:

n(n  1)
2

n(n  1)
820  n(n  1) 1640 .
2

Ta tìm được số n 40
12


NÂNG CAO KẾT QUẢ HỌC TẬP MƠN TỐN THƠNG QUA VIỆC SỬ DỤNG BĐTD TRONG DẠY HỌC

Các bài toán tương tự:

Tìm n  N * biết
a, 2  4  6  ...  2n 210
b, 1  3  5  ...  (2n  1) 225
Nhánh 1.5: Cách tìm một số khi biết số lượng ước tự nhiên của nó.
Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có 9 ước
Giải: Gọi số cần tìm là N a x .b y , trong đó a, b là các số nguyên tố đôi một khác
nhau, x, y là các số tự nhiên khác 0.
Số ước của N bằng ( x  1)( y  1) 9 (*). Vì x  1; y  1 là các số tự nhiên lớn hơn hoặc
bằng 2, nên từ (*) suy ra x y 2 . Ta có N a 2 .b 2 để N nhỏ nhất thì a, b phải nhỏ
nhất, do đó a 2, b 3 . Vậy số N 2 2.32 36
Các bài tốn tương tự:
1, Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có 12 ước
2, Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có 15 ước
Sau đây là BĐTD ghi lại quá trình làm dạng toán trên:

13


NÂNG CAO KẾT QUẢ HỌC TẬP MƠN TỐN THƠNG QUA VIỆC SỬ DỤNG BĐTD TRONG DẠY HỌC

14


NÂNG CAO KẾT QUẢ HỌC TẬP MƠN TỐN THƠNG QUA VIỆC SỬ DỤNG BĐTD TRONG DẠY HỌC

Ví dụ 2: Các bài toán liên quan đến chữ số tận cùng
Giáo viên có thể chọn từ chìa khóa là Chữ số tận cùng
Cách hướng dẫn như ví dụ 1.
Nhánh 1.1: Chọn bài tốn chữ số tận cùng của một lũy thừa
Tìm chữ số tận cùng của

a, 21000; b, 31993; c, 4161; d, 19841; e, 71929
Giải:
a, 21000 (2 4 ) 250 (16) 250  A6
b, 31993 (34 ) 498 .3 81498.3 B3
c, 4161 (4 2 )80 .4 (16)80 .4 C 4
d, 19841 (19 2 ) 420 .19 (361) 420 .19 D9
e, 71929 (7 4 ) 482 .7 (2301) 482 .7 E 7
Từ bài tốn trên ta có thể cho học sinh tự rút ra một số nhận xét như sau:
Nhận xét:
1, Các số tự nhiên tận cùng là 0, 1, 5, 6 dù nâng lên bất kỳ lũy thừa tự nhiên nào khác 0
cũng vẫn có tận cùng bằng những chữ số đó.
2, Tích của một số tự nhiên tận cùng là 0 với bất kỳ một số tự nhiên nào cũng cho ta một số
tận cùng là 0.
3, Tích của một số tự nhiên tận cùng là 5 với bất kì số tự nhiên lẻ nào cũng cho ta một số tận
cùng là 5
4, Các số có chữ số tận cùng là 2, 4, 8 khi nâng lên lũy thừa bậc bội của 4 thì có chữ số tận
cùng là 6.
5. Các số có chữ số tận cùng là 3, 7, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc bội của 4 thì có chữ số tận
cùng là 1.
6. Các số có chữ số tận cùng là 4, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc lẻ thì có chữ số tận cùng là 4,
9.
Bài tập tương tự:
Tìm chữ số tận cùng của các số sau:
15


NÂNG CAO KẾT QUẢ HỌC TẬP MƠN TỐN THƠNG QUA VIỆC SỬ DỤNG BĐTD TRONG DẠY HỌC

a, 5151 ; b, 9999;
c, 6666; d, 14101;

e, 16101; f, 32

1930

Nhánh 1.2: Chọn một bài tốn để hướng dẫn cách tính tổng các lũy thừa cùng cơ số với số
mũ là các số tự nhiên liên tiếp tăng dần.
Tổng sau có chữ số tận cùng là bao nhiêu
S 21  2 2  23  ...  2100

Giải:
Nhân 2 vào hai vế của đẳng thức ta được:
2.S 2 2  23  2 4  ...  2101
2.S  S 2101  2 Suy ra S 2101  2

Mà 2101 (2 4 ) 25 (16) 25 .2 (...6).2 ...2
nên S 2101  2 ...2  2 ...0 . Vậy S có chữ số tận cùng là 0
Bài tập tương tự:
1. Cho S 51  52  53  ...  596
a, Chứng minh S chia hết cho 126
b, Tìm chữ số tận cùng của S.
Nhánh 1.3: Bài tốn liên quan đến số chính phương
Cho S 1  3  32  33  ...  330 Tìm chữ số tận cùng của S từ đó suy ra S khơng phải là số
chính phương.
Giải:
Tổng S có 31 số hạng, nhóm các số hạng từ trái sang phải, mỗi nhóm 4 số hạng, cịn thừa 3
số hạng cuối là 328  329  330 . Trong mỗi nhóm, chữ số tận cùng của tổng là 0. Vậy chữ số tận
cùng của tổng S là chữ số tận cùng của tổng 328  329  330 .
Ta có 328 có chữ số tận cùng là 1; 329 có chữ số tận cùng là 3; 330 có chữ số tận cùng là 9.
Tổng S có chữ số tận cùng là (1+3+9)=…3.
Số chính phương khơng tận cùng bằng 3 suy ra S khơng phải là số chính phương.

Chú ý: Số chính phương chỉ có thể tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9, khơng có tận cùng bằng
2, 3, 7, 8.
Bài tập tương tự:
16


NÂNG CAO KẾT QUẢ HỌC TẬP MƠN TỐN THƠNG QUA VIỆC SỬ DỤNG BĐTD TRONG DẠY HỌC

1. Tìm số chính phương có bốn chữ số, được viết bởi các chữ số 3, 6, 8, 8.
2. Một số tự nhiên gồm một số chữ số 0 và sáu chữ số 6 có thể là số chính phương
khơng?
Nhánh 14: Một bài tốn khá đơn giản liên quan đến chia hết
Chứng tỏ rằng các tổng hiệu sau chia hết cho 10

a, A 51n  47102 n  N
b, B 4343  1717
Cách giải:
a, Ta có 51n có tận cùng là 1; 47102 (47 4 ) 25 .7 2 (...1) 25 .49 ...9 có tận cùng là 9 do đó A có tận
cùng là 0 suy ra A chia hết cho 10
b, Ta có 4343 4340.433 ...1....7 ...7 ; 1717 1716.17 ...1.17 ...7 Vậy B có tận cùng là 0 nên B
chia hết cho 10.
Bài tập tương tự:
1. Chứng tỏ rằng tổng hiệu sau không chia hết cho 10
A = 98.96.94.92 – 91.93.95.97
B 405n  2 405  m 2 (m, n  N , n 0)
2. Chứng tỏ 0,3(20131993 +20171997) là số tự nhiên.

Ta có BĐTD sau:

17

NÂNG CAO KẾT QUẢ HỌC TẬP MƠN TỐN THƠNG QUA VIỆC SỬ DỤNG BĐTD TRONG DẠY HỌC

18


NÂNG CAO KẾT QUẢ HỌC TẬP MƠN TỐN THƠNG QUA VIỆC SỬ DỤNG BĐTD TRONG DẠY HỌC

II. ĐỀ VÀ ĐÁP N KIM TRA SAU TC NG
Đề Kiểm tra sau tác ®éng
Họ và tên: ....................................................... Lớp ...................................
Đề ra
Bài 1 : 1. Tìm chữ số tận cùng của các số sau:
a) 571999

b) 931999

2. Cho A= 9999931999 - 5555571997. Chứng minh rằng A chia hết cho 5.

Bài 2: Tìm số a nhỏ nhất sao cho a : 11 dư 9, a :17 dư 3, a :7 dư 5.
Bài 3: Cho S = 5 + 52 + 53 + …+ 596
a, Chứng minh SM126
b, Tìm chữ số tận cùng của S
Bµi 4: Sè HS của một trờng trong khoảng từ 2500 đến 2600. Nếu
toàn thể HS của trờng xếp hàng 3 thì thừa một bạn, xếp hàng 4
thì thừa 2 bạn, xếp hàng 5 thì thừa 3 bạn, xếp hàng 7 thì thừa
5 bạn. TÝnh sè HS cña trêng ?
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
Bài 1

1. Để tìm chữ số tận cùng của các số chỉ cần xét chữ số tận cùng của từng số :
a) 571999 ta xét 71999
Ta có: 71999 = (74)499.73 = 2041499. 343 Suy ra chữ số tận cùng bằng 3
Vậy số 571999 có chữ số tận cùng là : 3 ( 0, 75 đ)
b) 931999 ta xét 31999
Ta có: 31999 = (34)499. 33 = 81499.27
Suy ra chữ số tận cùng bằng 7

(0,75 đ)

2. Cho A = 9999931999 - 5555571997 . chứng minh rằng A chia hết cho 5
19


NÂNG CAO KẾT QUẢ HỌC TẬP MƠN TỐN THƠNG QUA VIỆC SỬ DỤNG BĐTD TRONG DẠY HỌC

Để chứng minh A chia hết cho 5 , ta xét chữ số tận cùng của A bằng việc xét chữ số
tận cùng của từng số hạng.
Theo câu 1b ta có: 9999931999 có chữ số tận cùng là 7
Tương tự câu 1a ta có: (74)499.7 =2041499.7 có chữ số tận cùng là 7 ( 1,5 đ)
Bài 2
Vì a :11 dư 9
a :17 dư 3

nên a + 167 chia hết cho 11, 17

suy ra a + 167 thuộc BC(11, 17) (0,5đ)
a+ 167 =187k suy ra a :187 dư 20
mặt khác a : 7 dư 5
a :187 dư 20 suy ra a + 541 chia hết cho 7, 187(0,5đ)

vì a nhỏ nhất nên a + 541 = BCNN(7,187)
mà BCNN(7,187) = 1309 suy ra a+541 =1309 suy ra a = 768 (1đ)
Bài 3:
Giải
a, Ta có:
S = (5 +54) + (52 + 55) +…+ (593 + 596) = 5(1 + 53) + 52(1+ 53) +…+(593 + 596)
= 126.5 + 126.53 + …+ 126.593

= 126.(5 + 52 + …+ 593)M126.

Vậy SM126. (1,5 đ)
b, Ta có tất cả các số hạng của S chia hết cho 5 suy ra S M5. Mặt khác SM126 � SM2
mà (2,5) = 1. Vậy S M10. Chữ số tận cùng của S là 0. (1,5)
Bi 4:
Giải: Gọi số HS của trờng là x (x �N, 2500 < x < 2600)
Tõ gi¶ thiÕt suy ra a + 2 là số chia hết cho cả 3, 4, 5 và 7.
Mà BCNN(3,4,5,7) = 420 nên a + 2 chia hÕt cho 420, v× 2503 chia
cho 420 b»ng 5 d 403 vµ 2601 chia 420 b»ng 6 d 81 nên a + 2 =
420.6 tức là a = 2518
VËy sè HS cđa trêng lµ 2518 em.( 2đ)

20


NÂNG CAO KẾT QUẢ HỌC TẬP MƠN TỐN THƠNG QUA VIC S DNG BTD TRONG DY HC

bảng điểm
LP THC NGHIM

TT

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16

H và tên
Nguyễn Quỳnh Châu
Trần Hoàng Anh
Nguyễn Huyền Anh
Nguyễn Phương Anh
Vũ Quỳnh Anh
Lê Thị Quỳnh Anh
Nguyễn Thị Tú Anh
Nguyễn Phan Quốc Bảo
Trần Linh Chi
Nguyễn Đình Minh Chiến
Đặng Đình Cường
Lê Mạnh Cường

Trần Việt Cường
Hồ Thái Dũng
Mai Quốc Đạt
Lê Thị Cẩm Tú
Giá trị trung bình

Điểm kiểm tra
trước tác động
7
8
8
7
7
7
8
7
7
7
7
8
8
7
7
8
7,375

Điểm kiểm tra
sau tác động
8
10

8
8
9
8
9
9
9
9
8
10
9
8
8
9
8,688

LỚP ĐỐI CHỨNG
TT
1
2

Họ và tên
Mai Minh Hiếu
Trần Nguyễn Thái Hiếu

Điểm kiểm tra
trước tác động
7
8

Điểm kiểm tra sau
tác động
8
8
21


NÂNG CAO KẾT QUẢ HỌC TẬP MƠN TỐN THƠNG QUA VIỆC SỬ DỤNG BĐTD TRONG DẠY HỌC

3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16

Trần Thị Diệu Huyền
Trần Thị Khánh Hương
Lê Bảo Khanh
Phan Trần Lê Na
Phan Thúy Nga
Nguyễn Cảnh Ngun

Đinh Nho Khơi Ngun
Nguyễn Thống Nhất
Nguyễn Thị Quỳnh Phương
Ngun Huy Hoµng
Nguyễn Thị Phương Thảo
Nguyễn Quỳnh Trang
Nguyễn Tiến Đạt
Dương Thị Thanh Tú
Giá trị trung bình

7
8
7
8
7
7
8
7
7
7
7
7
8
8

8
9
8
7
8

8
8
7
9
7
7
6
9
7

7.438

7.750

Phép kiểm chứng T-Test độc lập

TT
1
2
3
4
5
6

Nhóm thực nghiệm
KT trước TĐ KT sau TĐ
7
8
8
10

8
8
7
8
7
9
7
8

Nhóm đối chứng
KT trước TĐ KT sau TĐ
7
8
8
8
7
8
8
9
7
8
8
7
22


NÂNG CAO KẾT QUẢ HỌC TẬP MƠN TỐN THƠNG QUA VIỆC SỬ DỤNG BĐTD TRONG DẠY HỌC

7
8

9
10
11
12
13
14
15
16

Giá trị TB
Độ lệch chuẩn
p

8
7
7
7
7
8
8
7
7
8
7.375
0.484
0.365

9
9
9

9
8
10
9
8
8
9
8.688
0.682
0.001

7
8
8
7
7
7
7
7
8
8
7.438
0.496

8
8
8
7
9
7

7
6
9
7
7.750
0.829

23