Tài liệu Mỗi tuần 1 đề luyện thi ĐH_Đề số 3 và hướng dẫn giải pdf

Trung tâm bồi dưỡng kiến thức QUANG MINH
423/27/15, Lạc Long Quân, P.5, Q.11
Nhóm giáo viên Toán trung tâm Quang Minh 1
www.trungtamquangminh.tk
ĐỀ SỐ 3

I. Phần chung
Câu 1 (2đ).
Cho hàm số:
 
 
2
2 1
1
m x m
y C
x
 



1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
 
C ứng với
1m  
.
2. Tìm m để đồ thị hàm số
 
C tiếp xúc với đường thẳng y x .
Câu 2 (2đ).
1. Giải phương trình:

2
2 3cos2 sin2 4cos 3x x x  
2. Giải hệ phương trình:
2 2
2
2
1
xy
x y
x y
x y x y

  




  


Câu 3 (1đ).
Tính tích phân:
 
2
3
0
sin
sin cos
xdx
I

x x





Câu 4 (1đ).
Cho hình lăng trụ tam giác đều .ABC A B C
  
có cạnh đáy
2a
,
 
3
,
2
a
A M ABC A M
 
 
(M là trung điểm của cạnh
BC
).Tính thể tích khối đa diện ABA B C
 
.
Câu 5 (1đ).
Cho các số ,x y là các số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2 2 2
4 4 4 4 4x y y x y y x        
II. Phần riêng (Thí sinh chỉ làm một trong hai phần).

A. THEO CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN.
Câu 6a (1đ).
1). Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Oxyz , cho 3 điểm

     
3;1;1 , 7;3;9 , 2;2;2A B C và mặt phẳng
 
P có phương trình: 3x y z   . Tìm trên

 
P điểm M sao cho 2 3MA MB MC 
  
nhỏ nhất.
2) Cho Elip có phương trình
 
2 2
: 1
100 25
x y
E   . Tìm các điểm
 
M E sao cho


0
1 2
120FMF  (
1 2
,F F là hai tiêu điểm của Elip)

Câu 7a (1đ).
Gọi
1 2 11
, ,...,a a a là các hệ số trong khai triển sau:

   
10
11 10 9
1 2 11
1 2 ...x x x a x a x a       , tìm hệ số
5
a .

B. THEO CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO.


Trung tâm bồi dưỡng kiến thức QUANG MINH
423/27/15, Lạc Long Quân, P.5, Q.11
Nhóm giáo viên Toán trung tâm Quang Minh 2
www.trungtamquangminh.tk
Câu 6b (1đ).
1) Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Oxyz , cho điểm
 
2;1;2M và đường thẳng

 
2 3
:
1 1 1
x y z

d
 
  . Tìm trên
 
d hai điểm ,A B sao cho tam giác ABM đều.
2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy , cho đường tròn

     
2 2
: 3 4 35C x y    và điểm
 
5;5A . Tìm trên đường tròn 2 điểm ,B C sao cho
tam giác
ABC
vuông cân tại A.
Câu 7b (1đ).
Giải hệ phương trình:
2009
3 3
2 2
2
log 2
y
x y
x
x y
x y
xy

 

 
 

 




 




HƯỚNG DẪN GIẢI
I. Phần chung

Câu 1 (2đ).
Cho hàm số
 
 
2
2 1
1
m x m
y C
x
 



a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
 
C hàm số
 
1 khi
1m  

b) Tìm m để đồ thị hàm số
 
C tiếp xúc với đường thẳng y x
Giải
a) Bạn đọc tự giải.
b)
 
 
2
2 1
1
m x m
y C
x
 



TXĐ:
 
\ 1D  
Đồ thị hàm số
 

C tiếp xúc với đường thẳng y x . Ta có điều kiện tiếp xúc:
 
 
 
 
 
2
2
2
2 1
*
1
1
1 **
1
m x m
x
x
m
x

 













Từ
 
** ta có
 
 
   
 
2
2 2
2
1 1
1
1 1 1
1 1 2
1
m x
x m
m
m x
m x x m
x
  





      


     




+ Với x m thay vào (*) ta có:
0 0m  
thỏa với mọi m
Vì
1 1x m x   

+ Với
2 –x m
thay vào (*) ta có:

       
2
2
2 1 2 2 2 1 4 1 0 1m m m m m m m           

1 2 1 1m x    
(loại)
Vậy với
1m 
thì đồ thị hàm số
 
C tiếp xúc với đường thẳng y x .

Trung tâm bồi dưỡng kiến thức QUANG MINH
423/27/15, Lạc Long Quân, P.5, Q.11
Nhóm giáo viên Toán trung tâm Quang Minh 3
www.trungtamquangminh.tk
Câu 2 (2đ).
1. Giải phương trình:
2
2 3cos2 sin 2 4cos 3x x x  
Giải

2
2
2 3cos2 sin 2 4cos 3
3cos2 sin 2 4cos 3 2
3 1
cos2 sin 2 cos6
2 2
x x x
x x x
x x x
  
    

  


5
cos 2 cos6
6
x x


 
  
 
 


 
 
5
6 2 2
6
,
5
6 2 2
6
5
48 4
,
5
24 2
x x k
k l
x x l
k
x
k l
l
x





 
 

  


 
 

   
 

 


 

 


  





2. Giải hệ phương trình:

 
 
2 2
2
2
1 1
2
xy
x y
x y
x y x y

  




  


Giải:
Điều kiện: 0x y 
   
  
2
2 2
2 1
1 : 1 1 2 1 0

1
1 1 2 0
xy
x y x y xy
x y x y
x y
x y x y xy
x y
 
        
 
 
 
 
 
      
 

 


 
 
 
2 2
2
1 1 0
1 0
1 0 1
xy

x y x y
x y
x y x y x y
x y y x
 
      
 

 
      
      

(vì 0x y  nên
2 2
0x y x y    )
Thế 1x y  vào
 
2 ta có:
 
2 2
1 0
1 1 2 0
2 3
x y
x x x x
x y
  

       


   


Vậy hệ có hai nghiệm:
   
1;0 , 2;3


Trung tâm bồi dưỡng kiến thức QUANG MINH
423/27/15, Lạc Long Quân, P.5, Q.11
Nhóm giáo viên Toán trung tâm Quang Minh 4
www.trungtamquangminh.tk
Câu 3 (1đ).
Tính tích phân:
 
2
3
0
sin
sin cos
xdx
I
x x





Giải
Đặt

2
x t dx dt

    
Ta có:
 
 
0
2
3 3
0
2
sin
cos
2
sin cos
sin cos
2 2
t dt
tdt
I
t t
t t



 
 
 
 

 
 

 
   
  
   
 
   
 
 

Do đó ta có:
   
2 2
3 3
0 0
sin cos
sin cos sin cos
xdx xdx
I
x x x x
 
 
 
 

Xét
   
2 2 2

3 2
0 0 0
2
cos sin 1 1
2
4
sin cos sin cos
2cos
4
x x
I dx dx d x
x x x x
x
  



 
   
 
 
 
 

 
 
  


2

0
1 1
tan tan tan tan 1
2 4 2 4 4 4
x

   
 
   
      
   
 
   
 

Vậy
1
2
I 

Câu 4 (1đ).
Cho hình lăng trụ
. ' ' 'ABC A B C
có đáy là tam giác đầu cạnh
2a
,
 
'A M ABC và
3
'

2
a
A M 
trong đó M là trung điểm của BC. Tính thể tích khối đa diện
' 'ABA B C
.
Giải

M
C
B
A'
C'
B'
A

Trung tâm bồi dưỡng kiến thức QUANG MINH
423/27/15, Lạc Long Quân, P.5, Q.11
Nhóm giáo viên Toán trung tâm Quang Minh 5
www.trungtamquangminh.tk
Vì ' 'ABB A là hình bình hành nên ta có:
. ' . ' 'C ABB C AB A
V V (đáy bằng nhau và cùng đường
cao). Mà
2 3
. '
1 1 3 3
' . .
3 3 2 4 8
C ABB ABC

a a a
V A M S  
Vậy
3 3
. ' ' . '
2 2
8 4
C ABB A C ABB
a a
V V   (đvtt)

Câu 5 (1đ).
Cho ,x y là các số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2 2 2
4 4 4 4 4A x y y x y y x         
Giải
Ta có:
   
2 2
2 2
2 2 4A x y x y x       
Xét
   
;2 , , 2a x y b x y   



Ta có:
   
2 2

2 2 2 2
2 2 4 16 2 4a b a b x y x y x x            
 
 

Suy ra
2
2 4 4A x x   
Dấu '' '' xảy ra khi và chỉ khi ,a b
 
cùng hướng hay 0y 
Dùng BĐT BCS ta có:
 
 
 
2
2 2
2 3 3 1 4 2 4 2 3x x x x       
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
2
3
x 

Do đó: 2 3 4 2 3 4 2 3 4A x x       
Vậy 4 2 3A   dấu “=” xảy ra khi
2
, 0
3
x y 

Vậy min 4 2 3A   khi
2
, 0
3
x y 

II. Phần riêng (Thí sinh chỉ làm một trong hai phần).

A. THEO CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN.

Câu 6a (1đ).
a) Trong không gian với hệ trục Oxyz cho 3 điểm
     
3;1;1 , 7;3;9 , 2;2;2A B C và mặt phẳng
 
: 3P x y z   . Tìm trên
 
P điểm M sao cho: 2 3MA MB MC 
  
nhỏ nhất.
Giải
Gọi I là điểm thỏa:
2 3 0IA IB IB  
  

, khi đó tọa độ điểm I là:
23 13 25
; ;
6 6 6
I

 
 
 

Ta có:
     
2 3 2 3 6 6T MA MB MC MI IA MI IB MI IC MI MI          
          

Do đó T nhỏ nhất MI

nhỏ nhất
M
là hình chiếu của I lên mặt phẳng
 
P .