Bai Tap Toan 11

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Chương I. LƯỢNG GIÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1. Trên đường tròn lượng giác gốc A, cho điểm M có số đo cung AM là a thì sin a = yM. cos a = xM. sin a cos a tan a = cos a (α ≠ π/2 + kπ, k thuộc Z) cot a = sin a (α ≠ kπ, k thuộc Z) 2. Các tính chất Với mọi a ta có –1 ≤ sin a ≤ 1 hay |sin a| ≤ 1; –1 ≤ cos a ≤ 1 hay |cos a| ≤ 1 3. Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản sin² a + cos² a = 1 tan a cot a = 1 1 1 2 2 1 + tan² a = cos a 1 + cot² a = sin a 4. Công thức liên hệ góc cos(–a) = cos a cos(π – a) = –cos a cos(π + a) = –cos a sin(–a) = –sin a sin(π – a) = sin a sin(π + a) = –sin a tan(–a) = –tan a tan(π – a) = –tan a tan(π + a) = tan a cot(–a) = –cot a cot(π – a) = –cot a cot(π + a) = cot a cos(π/2 + a) = –sin a cos(π/2 – a) = sin a sin(π/2 + a) = cos a sin(π/2 – a) = cos a tan(π/2 + a) = –cot a tan(π/2 – a) = cot a cot(π/2 + a) = –tan a cot(π/2 – a) = tan a 5. Công thức cộng cos(a + b) = cos a cos b – sin a sin b cos(a – b) = cos a cos b + sin a sin b sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b sin(a – b) = sin a cos b – cos a sin b tan a  tan b tan a  tan b tan(a + b) = 1  tan a tan b tan(a – b) = 1  tan a tan b 6. Công thức nhân đôi sin 2a = 2sin a cos a cos 2a = cos² a – sin² a = 2cos² a – 1 = 1 – 2sin² a 2 tan a 2 tan 2a = 1  tan a 7. Công thức hạ bậc 1  cos 2a 1  cos 2a 2 2 cos² a = sin² a = 8. Công thức biến đổi tích thành tổng 1 cos a cos b = 2 [cos (a + b) + cos (a – b)] 1 sin a sin b = 2 [cos (a – b) – cos (a + b)] 1 sin a cos b = 2 [sin (a + b) + sin (a – b)] 9. Công thức biến đổi tổng thành tích a b a b a b a b cos cos sin cos 2 2 2 2 cos a + cos b = 2 sin a + sin b = 2 a b a b a b a b sin sin cos sin 2 2 2 2 cos a – cos b = –2 sin a – sin b = 2.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Câu 1. Tìm tập xác định của các hàm số y = cos x + sin x A. R \ {π/2 + kπ, k là số nguyên} B. R \ {π/4 + kπ/2, k là số nguyên} C. R \ {π/4 + kπ, k là số nguyên} D. R Câu 2. Tập xác định của hàm số y = tan 2x là A. R \ {π/2 + kπ, k là số nguyên} B. R \ {π/2 + kπ/2, k là số nguyên} C. R \ {π/4 + kπ, k là số nguyên} D. R \ {π/4 + kπ/2, k là số nguyên} tan x Câu 3. Tập xác định của hàm số y = 1  sin 2x A. R \ {π/2 + kπ, k là số nguyên} B. R \ {π/4 + kπ/2, k là số nguyên} C. R \ {π/4 + kπ, k là số nguyên} D. R \ {π/2 + kπ/2, k là số nguyên} Câu 4. Tập xác định của hàm số y = cot (2x – π/3) A. R \ {π/3 + kπ, k là số nguyên} B. R \ {π/3 + kπ/2, k là số nguyên} C. R \ {π/6 + kπ, k là số nguyên} D. R \ {π/6 + kπ/2, k là số nguyên} Câu 5. Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ? A. y = 2cos x B. y = x sin x C. y = sin |x| D. y = tan³ x – x Câu 6. Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn? A. y = 1 – sin x B. y = |x + cos x| C. y = |x| – cos x D. y = x – tan x Câu 7. So sánh nào sau đây sai? A. cos 15° > 0,5 B. sin 35° < 0,5 C. cot 20° > 1,5 D. tan 65° > 1,5 Câu 8. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y = 2 sin (x – π/2) + 3 lần lượt là A. –1 và 4 B. 1 và 5 C. 2 và 4 D. –1 và 5 Câu 9. Giá trị lớn nhất của hàm số y = 3 – 2 cos 2x là A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 Câu 10. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = –2 + cos (2x + 2π/3) là A. –3 B. –2 C. –1 D. 0 Câu 11. Gọi giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y = cos x + sin x lần lượt là m và M. Tính mM. A. –1 B. –2 C. 1 D. 2 Câu 12. Hàm số y = sin² x – 4sin x + 3 đạt giá trị nhỏ nhất khi A. x = π/2 + k2π, k là số nguyên B. x = –π/2 + k2π, k là số nguyên C. x = π/6 + k2π, k là số nguyên D. x = π/3 + k2π, k là số nguyên Câu 13. Giá trị lớn nhất của hàm số y = 2cos² x – 3cos x + 2 trên đoạn [–π/6; π/2] là A. 7/8 B. 1 C. 2 D. 7 Câu 14. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2 + cos (πx/6) trên đoạn [1; 4] là A. 1 B. 2 C. 3/2 D. 5/2 Câu 15. Giải phương trình sin 2x + 1 = 0 A. x = π/6 + kπ, k là số nguyên B. x = π/8 + kπ, k là số nguyên C. x = π/2 + kπ, k là số nguyên D. x = π/4 + kπ, k là số nguyên Câu 16. Giải phương trình cos x – 3 sin x = –1 A. x = π + k2π V x = π/3 + k2π (k là số nguyên) B. x = π + k2π V x = –π/3 + k2π (k là số nguyên) C. x = π/6 + k2π V x = –π + k2π (k là số nguyên) D. x = –2π/3 + k2π V x = k2π (k là số nguyên) Câu 17. Giải phương trình sin 4x – cos 4x = 1 A. x = π/8 + k2π V x = π/4 + k2π (k là số nguyên) B. x = π/8 + kπ/2 V x = π/4 + kπ/2 (k là số nguyên) C. x = π/8 + kπ/2 V x = π/2 + kπ/2 (k là số nguyên) D. x = π/4 + kπ V x = 3π/8 + kπ (k là số nguyên) Câu 18. Giải phương trình 2cos² x = 1 A. x = ±π/6 + kπ (k là số nguyên) B. x = ±π/4 + kπ (k là số nguyên) C. x = π/4 + kπ/2 (k là số nguyên) D. x = π/2 + kπ (k là số nguyên) Câu 19. Giải phương trình cos 3x – sin x = cos x – sin 3x A. x = kπ V x = π/8 + kπ/2 (k là số nguyên) B. x = kπ V x = π/4 + kπ (k là số nguyên) C. x = π/8 + kπ V x = kπ/2 (k là số nguyên) D. x = π/8 + kπ V x = kπ (k là số nguyên) Câu 20. Giải phương trình sin x – 3 cos x = 4sin x cos x.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> A. x = –π/3 + k2π V x = 4π/9 + k2π/3 (k là số nguyên) B. x = –π/3 + k2π V x = 2π/9 + k2π/3 (k là số nguyên) C. x = π/3 + k2π V x = –2π/9 + k2π/3 (k là số nguyên) D. x = 2π/3 + k2π V x = –π/9 + k2π/3 (k là số nguyên) Câu 21. Giải phương trình sin 2x + 2sin² x = 1 A. x = π/4 + kπ, k là số nguyên B. x = π/8 + kπ/2, k là số nguyên C. x = π/8 + kπ, k là số nguyên D. x = π/8 + kπ/4, k là số nguyên Câu 22. Giải phương trình 2cos² x + 5sin x – 4 = 0 A. x = π/6 + k2π V x = 5π/6 + k2π, k là số nguyên B. x = π/6 + kπ V x = 5π/6 + kπ, k là số nguyên C. x = π/3 + k2π V x = 2π/3 + k2π, k là số nguyên D. x = π/3 + kπ V x = 2π/3 + kπ, k là số nguyên Câu 23. Giải phương trình 2cos 2x – 8cos x + 5 = 0 A. x = ±π/6 + kπ, k là số nguyên B. x = ±π/3 + kπ, k là số nguyên C. x = ±π/6 + k2π, k là số nguyên D. x = ±π/3 + k2π, k là số nguyên Câu 24. Giải phương trình 2cos x cos 2x = 1 + cos 2x + cos 3x A. x = π/2 + kπ V x = ±π/6 + k2π, k là số nguyên B. x = π/2 + kπ V x = ±π/3 + k2π, k là số nguyên C. x = kπ V x = ±π/6 + k2π, k là số nguyên D. x = kπ V x = ±π/3 + k2π, k là số nguyên Câu 25. Giải phương trình 2(sin4 x + cos4 x) = 2sin 2x – 1 A. x = π/2 + kπ, k là số nguyên B. x = π/4 + kπ, k là số nguyên C. x = π/2 + k2π, k là số nguyên D. phương trình vô nghiệm Câu 26. Giải phương trình (3 + tan² x) cos x = 3 A. x = 2kπ V x = ±π/3 + k2π, với k là số nguyên B. x = 2kπ V x = ±π/6 + k2π, với k là số nguyên C. x = kπ V x = ±π/6 + kπ, với k là số nguyên D. x = kπ V x = ±π/3 + kπ, với k là số nguyên Câu 27. Giải phương trình tan x + cot x – 2 = 0 A. x = π/4 + kπ, k là số nguyên B. x = π/4 + k2π, k là số nguyên C. x = π/8 + kπ, k là số nguyên D. x = π/8 + k2π, k là số nguyên Câu 28. Giải phương trình 2sin² x – 5sin x cos x – cos² x = –2 A. x = π/4 + kπ V x = tan–1 (1/4) + kπ, k là số nguyên B. x = π/4 + kπ V x = tan–1 (1/2) + kπ, k là số nguyên C. x = –π/4 + kπ V x = tan–1 (1/4) + kπ, k là số nguyên D. x = –π/4 + kπ V x = tan–1 (1/2) + kπ, k là số nguyên Câu 29. Giải phương trình 3sin² x – 3 sin 2x – 3cos² x = 0 A. x = –π/6 + kπ V x = π/6 + kπ, k là số nguyên B. x = –π/6 + kπ V x = π/3 + kπ, k là số nguyên C. x = –π/3 + kπ V x = π/6 + kπ, k là số nguyên D. x = –π/3 + kπ V x = π/3 + kπ, k là số nguyên Câu 30. Giải phương trình 4sin² x + 3sin 2x – 2cos² x = 4 A. x = kπ V x = π/4 + kπ, k là số nguyên B. x = π/2 + kπ V x = π/4 + kπ, k là số nguyên C. x = π/3 + kπ V x = π/4 + kπ, k là số nguyên D. x = π/2 + kπ V x = kπ, k là số nguyên Câu 31. Giải phương trình 6sin x – 2cos³ x = 5sin 2x cos x A. x = π/8 + kπ/2, k là số nguyên B. x = π/4 + kπ/2, k là số nguyên C. x = π/4 + kπ, k là số nguyên D. x = π/8 + kπ, k là số nguyên Câu 32. Giải phương trình sin² x + sin 2x – 2cos² x = 1/2 A. x = π/4 + kπ V x = tan–1 (–4) + kπ, k là số nguyên B. x = π/4 + kπ V x = tan–1 (–3) + kπ, k là số nguyên C. x = π/4 + kπ V x = tan–1 (–2) + kπ, k là số nguyên D. x = π/4 + kπ V x = tan–1 (–5) + kπ, k là số nguyên Câu 33. Giải phương trình 3(sin x + cos x + 1) + 2sin x cos x = 0.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> A. x = –π/2 + kπ, k là số nguyên B. x = –π/2 + k2π V x = π + k2π, k là số nguyên C. x = π/2 + k2π V x = k2π, k là số nguyên D. x = π/2 + k2π V x = π + k2π, k là số nguyên Câu 34. Giải phương trình sin 2x + 3 = 3(sin x – cos x) A. x = π/2 + k2π V x = π + k2π, k là số nguyên B. x = –π/2 + k2π V x = π + k2π, k là số nguyên C. x = π/2 + k2π V x = k2π, k là số nguyên D. x = –π/2 + kπ, k là số nguyên Câu 35. Giải phương trình cos x + sin x + sin 2x – 1 = 0 A. x = π/2 + k2π V x = π + k2π, k là số nguyên B. x = π/2 + k2π V x = k2π, k là số nguyên C. x = π/2 + kπ V x = kπ, k là số nguyên D. x = π/2 + kπ, k là số nguyên Câu 36. Giải phương trình cos 2x + 3 cos x + 2 = 0 A. x = π + k2π V x = ±2π/3 + k2π, k là số nguyên B. x = π + k2π V x = ±π/3 + k2π, k là số nguyên C. x = π + k2π V x = ±π/6 + k2π, k là số nguyên D. x = π + k2π V x = ±5π/6 + k2π, k là số nguyên Câu 37. Giải phương trình 2 + cos 2x = –5sin x A. x = ±π/6 + k2π, k là số nguyên B. x = π/6 + k2π V x = 5π/6 + k2π, k là số nguyên C. x = π/3 + k2π V x = 2π/3 + k2π, k là số nguyên D. x = –π/6 + k2π V x = 7π/6 + k2π, k là số nguyên Câu 38. Số nghiệm của phương trình 2cos 2x + cos x = 1 trên [–π/2; 2π] A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 Câu 39. Giải phương trình 1 + 3 tan x = 2 sin 2x A. x = π/4 + kπ, k là số nguyên B. x = –π/4 + kπ, k là số nguyên C. x = ±π/4 + kπ, k là số nguyên D. x = π/3 + kπ, k là số nguyên Câu 40. Giải phương trình cos³ x – cos 2x + 2 = 0 A. x = k2π, k là số nguyên B. x = π/2 + kπ, k là số nguyên C. x = π + k2π, k là số nguyên D. x = π/2 + k2π, k là số nguyên Câu 41. Giải phương trình (tan x – 1)³ = (tan² x – 1)(tan x + 1)² A. x = kπ V x = π/4 + kπ, k là số nguyên B. x = ±π/4 + kπ, k là số nguyên C. x = kπ V x = π/3 + kπ, k là số nguyên D. x = kπ V x = π/6 + kπ, k là số nguyên Câu 42. Số nghiệm của phương trình sin 2x – cos 2x = 3 sin x + cos x – 2 trên [0; 2π] là A. 4 B. 5 C. 6 D. 3 Câu 43. Giải phương trình sin 2x + cos 2x + tan x = 2 A. x = π/4 + kπ, k là số nguyên B. x = –π/4 + kπ, k là số nguyên C. x = π/3 + kπ, k là số nguyên D. x = π/6 + kπ, k là số nguyên Câu 44. Tập hợp tất cả các nghiệm thuộc [–π; π] của phương trình 2sin² x + 2sin 2x = 3 – 2cos² x là A. {–5π/6; –π/6; π/6; 5π/6} B. {–5π/12; –π/12; π/12; 5π/12} C. {–11π/12; –7π/12; π/12; 5π/12} D. {–11π/12; –7π/12; π/6; 5π/6} Câu 45. Giải phương trình cos³ x – sin³ x = cos x + sin x A. x = kπ, k là số nguyên B. x = π/4 + kπ, k là số nguyên C. x = –π/4 + kπ, k là số nguyên D. x = π/3 + kπ, k là số nguyên Câu 46. Tổng tất cả các nghiệm thuộc [0; π] của phương trình sin³ x + cos³ x – 2(sin5 x + cos5 x) = 0 là A. 0 B. π/2 C. π D. –π/2 4 4 Câu 47. Tìm nghiệm âm lớn nhất của phương trình 3cos x – sin² 2x + sin x = 0 A. x = –3π/4 B. x = –π/3 C. x = –2π/3 D. x = –π/4 Câu 48. Giải phương trình cos³ x + sin³ x = sin 2x + sin x + cos x A. x = kπ, k là số nguyên B. x = kπ/2, k là số nguyên C. x = k2π, k là số nguyên D. x = k4π, k là số nguyên Câu 49. Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 2cos³ x + cos 2x + sin x = 0 là A. x = π/4 B. x = π/6 C. x = π/2 D. x = π/3.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Câu 50. Tổng các nghiệm thuộc (–π; 3π) của phương trình cos x – sin x + 1 + sin x cos x = 0 là A. 4π B. 2π C. 6π D. 3π Câu 51. Số nghiệm thuộc (0; 2017) của phương trình 2tan x + 3tan² x + 2cot x + 3cot² x = 2 là A. N = 640 B. N = 641 C. N = 642 D. N = 643 Câu 52. Nghiệm lớn nhất thuộc (0; 2017) của phương trình cos³ x – sin³ x + 1 = 0 là A. x = 640,5π B. x = 641π C. x = 642π D. x = 641,5π Câu 53. Giải phương trình sin4 (x/2) + cos4 (x/2) – 1 + 2sin x = 0 A. x = kπ/2, k là số nguyên B. x = π/2 + kπ, k là số nguyên C. x = kπ, k là số nguyên D. x = π/2 + k2π, k là số nguyên Câu 54. Số nghiệm nguyên của phương trình cos 3x – 2cos 2x + cos x = 0 là A. 0 B. 1 C. 2 D. vô số Câu 55. Gọi x = aπ/b (với a/b là phân số tối giản) là nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình sin 6 x + cos6 x = sin4 x + cos4 x. Giá trị a + b là A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 4 4 Câu 56. Tổng các nghiệm thuộc (–π; 2π) của phương trình sin x + cos x = cos² x là A. 3π B. 4π C. 5π D. 2π Câu 57. Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình sin² 3x – cos² 4x = sin² 5x – cos² 6x có dạng x = π/a. Giá trị của a là A. 2 B. 4 C. 6 D. 9 Câu 58. Tìm giá trị của m sao cho x = π/6 + k2π (k là số nguyên) thỏa mãn phương trình m (sin x + sin 2x) + cos x + cos 2x = 0. A. m = 2 B. m = –2 C. m = 1 D. m = –1 Câu 59. Tìm giá trị của m sao cho phương trình 3sin x + 4cos x = m có nghiệm A. m ≥ 5 B. m ≤ 5 C. –5 ≤ m ≤ 5 D. |m| ≥ 5 Câu 60. Tìm giá trị của m sao cho phương trình 2cos² x + m sin 2x = m + 3 có nghiệm A. m ≥ 3/4 B. m ≥ –3/4 C. m ≤ 3/4 D. m ≤ –3/4 Câu 61. Giải phương trình 2sin x (1 + cos 2x) + sin 2x – 2cos x – 1 = 0 A. x = π/4 + kπ V x = ±π/3 + k2π, k là số nguyên B. x = π/2 + kπ V x = ±π/3 + k2π, k là số nguyên C. x = π/2 + kπ V x = ±2π/3 + k2π, k là số nguyên D. x = π/4 + kπ V x = ±2π/3 + k2π, k là số nguyên Câu 62. Giải phương trình sin 2x + cos 2x = 1 + sin x – 3cos x A. x = ±π/6 + kπ, k là số nguyên B. x = ±π/3 + kπ, k là số nguyên C. x = ±π/3 + k2π, k là số nguyên D. x = ±π/6 + k2π, k là số nguyên Câu 63. Giải phương trình 2cos x + 2cos (5π/2 – x) – cos 2x = 0 A. x = π/4 + kπ, k là số nguyên B. x = π/3 + kπ, k là số nguyên C. x = –π/4 + kπ, k là số nguyên D. x = –π/3 + kπ, k là số nguyên TỔ HỢP XÁC SUẤT I. Quy tắc đếm 1. Quy tắc cộng: Giả sử công việc có thể tiến hành theo một trong hai phương án A và B. Phương án A có thể thực hiện bởi n cách; phương án B có thể thực hiện bởi m cách. Khi đó, công việc được thực hiện theo n + m cách. 2. Quy tắc nhân: Giả sử công việc bao gồm hai công đoạn A và B. Công đoạn A có thể thực hiện bởi n cách; công đoạn B có thể thực hiện bởi m cách. Khi đó, công việc được thực hiện bởi n.m cách. II. Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp 1. Hoán vị a. Định nghĩa: Cho tập A có n phần tử. Mỗi sự sắp xếp của n phần tử đó theo một thứ tự định trước là một phép hoán vị các phần tử của tập A. b. Định lý: Số phép hoán vị của tập hợp có n phần tử, kí hiệu Pn là: Pn = n! = 1.2.3…n Qui ước: 0! = 1 2. Chỉnh hợp a. Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử. Xét số tự nhiên k ≤ n. Khi lấy ra k phần tử trong số n phần tử rồi đem sắp xếp k phần tử đó theo một thứ tự định trước, ta được một phép chỉnh hợp chập k của n phần tử. n! A kn  (n  k)! b. Định lý: Số chỉnh hợp chập k của n phần tử là.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> 3. Tổ hợp a. Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử và số tự nhiên k ≤ n. Một tập hợp con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. n! Ckn  k!(n  k)! b. Định lý: Số tổ hợp chập k của n phần tử là k n k C kn 1 Cnk  Cnk  1 c. Hai tính chất cơ bản: Cn C n ; III. Khai triển nhị thức Newton 0 n 1 n 1 2 n 2 2 n n (a + b)n = Cn a  Cn a b  Cn a b  ...  Cn b k n k k Khai triển nhị thức Newton bậc n có n + 1 số hạng. Số hạng tổng quát thứ k + 1 là Tk+1 = Cn a b IV. XÁC SUẤT Phép thử ngẫu nhiên là phép thử không đoán trước được kết quả, mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử và được kí hiệu là Ω Biến cố là một tập con của không gian mẫu. Gọi n(A) là số phần tử của biến cố A, n(Ω) là số kết quả có thể xảy ra của phép thử. Xác suất của biến cố A là P(A) = n(A)/n(Ω) Nếu A ∩ B = Ø thì ta nói A và B xung khắc. Khi đó P(A U B) = P(A) + P(B) Định lý: P(Ø) = 0, P(Ω) = 1, 0 ≤ P(A) ≤ 1 A và B là 2 biến cố độc lập khi và chỉ khi P(A ∩ B) = P(A) P(B) Câu 1. Bạn Nam vào siêu thị để mua một áo sơ mi cỡ 40 hoặc 41. Cỡ 40 có 3 màu khác nhau, cỡ 41 có 4 màu khác nhau. Số cách chọn áo là A. 12 B. 7 C. 25 D. 24 Câu 2. Cho tập A = {1; 2; 3; 4}. Số các số chẵn gồm ba chữ số đôi một khác nhau chọn từ tập A là A. 12 B. 24 C. 18 D. 8 Câu 3. Từ tập A = {1; 2; 3; 4; 5} có thể lập được bao nhiêu số có 7 chữ số sao cho chữ số 1 xuất hiện ba lần, còn các chữ số khác xuất hiện một lần? A. N = 840 B. N = 560 C. N = 5040 D. N = 600 Câu 4. Trong mặt phẳng cho 7 điểm A, B, C, D, E, M, N khác nhau. Có bao nhiêu vectơ khác không nối hai điểm trong các điểm đó? A. N = 21 B. N = 42 C. N = 49 D. N = 35 Câu 5. Từ tập A = {0; 1; 2; 3; 4; 5} có thể lập được bao nhiêu số lẻ có 4 chữ số đôi một khác nhau? A. N = 150 B. N = 144 C. N = 180 D. N = 108 Câu 6. Cho 7 điểm phân biệt không tồn tại ba điểm thẳng hàng. Từ 7 điểm trên có thể lập được bao nhiêu tam giác? A. N = 35 B. N = 70 C. N = 49 D. N = 105 Câu 7. Một lớp có 30 học sinh. Cần chọn ngẫu nhiên một bạn làm lớp trưởng, một bạn làm lớp phó và một bạn làm thư ký. Hỏi có bao nhiêu cách chọn, biết rằng học sinh nào cũng có khả năng làm lớp trưởng, lớp phó hoặc thư ký như nhau. A. N = 4060 B. N = 23460 C. N = 4600 D. N = 24360 3 3 Câu 8. Tìm số tự nhiên n, biết 2n – 2 + Cn  Cn 1 ≥ 0. A. n = 3; 4; 5 B. n = 4; 5 C. n = 5; 6 D. n = 3; 4 Câu 9. Từ 7 chữ số {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau? A. N = 3200 B. N = 1200 C. N = 1260 D. N = 2520 Câu 10. Trong khai triển của (2x² – 1/x³)10, với x ≠ 0, số hạng không chứa x là A. 108640 B. 10640 C. 13440 D. 153090 Câu 11. Hệ số của số hạng chứa x9 trong khai triển (x³ + 1/x²)8 là A. 56 B. 64 C. 28 D. 32 Câu 12. Cho khai triển: (1 + 2x)10 = ao + a1x + a2x² +. .. + a10x10. Tìm hệ số lớn nhất A. a5 = 8064 B. a10 = 1024 C. a6 = 13440 D. a7 = 15360 Câu 13. Xác định số hạng thứ 5 trong khai triển (1 – 2x)9 theo thứ tự số mũ của biến tăng dần A. 2016x4. B. –4032x5. C. –2016x5. D. 4032x4. Câu 14. Số hạng thứ 10 trong khai triển (2 – x²)13 theo thứ tự số mũ của biến tăng dần là.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> A. 2288x10. B. –2288x9. C. 11440x10. Câu 15. Số hạng không chứa x trong khai triển (x + 1/x)8 là A. 70 B. 56 C. 64 Câu 16. Số hạng không chứa x trong khai triển (x – 2/x²)12 là A. 7920 B. 112640 C. 25344 Câu 17. Số hạng đứng chính giữa trong khai triển của (1 + x)12 là A. 924x5. B. 924x6. C. 792x5. Câu 18. Xác định hệ số của số hạng chứa x² trong khai triển (x/3 – 3/x)18. A. 39382 B. 393822 C. –48620 Câu 19. Xác định hệ số của số hạng chứa x³ trong khai triển (2/x³ – x²)14. A. 16016 B. 12012 C. –16016 Câu 20. Xác định hệ số của số hạng chứa x³ trong khai triển (x² – x + 2)9. A. 14592 B. 9216 C. –9216 0 2 4 2n C  C2n  C2n  ...  C2n Câu 21. Tính tổng S = 2n n A. S = 2 . B. S = 22n–1. C. S = 22n. 0 1 2 2 3 3 n n Câu 22. Tính tổng S = Cn  2Cn  2 C n  2 Cn  ...  ( 2) Cn. D. –11440x9. D. 28 D. 126720 D. 792x6. D. 4862 D. –12012 D. –14592 D. S = 2n–1.. A. 1 B. –1 C. (–1)n D. 3n Câu 23. Số các số tự nhiên lẻ có 6 chữ số đôi một khác nhau nhỏ hơn 600000 là A. 36960 B. 20160 C. 42000 D. 75600 Câu 24. Số các số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5 là A. 28560 B. 15120 C. 5712 D. 6048 Câu 25. Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 có thể lập được số các số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau trong đó phải có chữ số 5 là A. 1560 B. 1440 C. 1200 D. 1120 Câu 26. Từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 có thể lập được số các số chẵn có 3 chữ số đôi một khác nhau và không lớn hơn 789 là A. N = 175 B. N = 171 C. N = 179 D. N = 165 Câu 27. Một nhóm học sinh gồm 10 nam, 6 nữ. Chọn ra một tổ gồm 4 người. Số cách chọn để trong tổ có cả nam và nữ là A. 1280 B. 1250 C. 1580 D. 1560 Câu 28. Một nhóm công nhân gồm 20 người, cần bầu ra một tổ trưởng, 1 tổ phó và 3 người giám sát viên. Số cách lập tối đa là A. 308100 B. 860480 C. 15504 D. 310080 Câu 29. Số cách sắp xếp 5 học sinh A, B, C, D và E vào một băng ghế dài sao cho hai bạn A và E ngồi hai đầu ghế là A. 24 B. 12 C. 6 D. 18 Câu 30. Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng. Lấy ra đồng thời 3 viên bi từ hộp đó. Số kết quả có thể mà trong số 3 bi lấy ra không có đủ ba màu là A. N = 355 B. N = 455 C. N = 335 D. N = 435 Câu 31. Số cách xếp chỗ ngồi cho 10 người vào dãy ghế thẳng gồm 10 chỗ sao cho có 2 người trong nhóm ngồi cạnh nhau là A. 752670 B. 775650 C. 765270 D. 725760 Câu 32. Số cách chia ra 2 nhóm mỗi nhóm 5 người từ 10 người sao cho có 2 người không thể chung một nhóm là A. N = 70 B. N = 140 C. N = 100 D. N = 50 Câu 33. Một đội văn nghệ có 20 người, trong đó có 10 nam và 10 nữ. Số cách chọn ra năm người sao cho có ít nhất hai nam và ít nhất một nữ là A. 17500 B. 15000 C. 12570 D. 15720 Câu 34. Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương nhỏ hơn 9. Tính xác suất để số được chọn là số nguyên tố. A. P = 1/3 B. P = 2/3 C. P = 2/5 D. P = 4/9 Câu 35. Có 9 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 9. Chọn ngẫu nhiên đồng thời 2 tấm thẻ. Tính xác suất để tích của hai số trên hai tấm thẻ là một số chẵn. A. P = 11/18 B. P = 2/3 C. P = 13/18 D. P = 7/9 Câu 36. Tìm xác suất để khi gieo con xúc xắc 6 lần độc lập, không lần nào xuất hiện số chấm là một số chẵn..

<span class='text_page_counter'>(8)</span> A. P = 1/2 B. P = 1/3 C. P = 1/64 D. P = 1/81 Câu 37. Một bình chứa 16 viên bi, trong đó có 5 viên bi trắng, 7 viên bi đen, 4 viên bi đỏ. Lấy ra ngẫu nhiên đồng thời 5 viên bi. Tìm xác suất để lấy được 2 viên bi trắng, 2 viên bi đen và 1 viên bi đỏ. A. P = 5/26 B. P = 1/5 C. P = 3/13 D. P = 7/26 Câu 38. Một đoàn tàu có 5 toa đổ ở một sân ga. Có 5 hành khách từ sân ga lên tàu, mỗi người độc lập với nhau chọn một cách ngẫu nhiên lên một toa. Tìm xác suất để có một khách lên mỗi toa tàu. Giả sử các toa đều có thể chứa hết 5 người. A. 4/125 B. 24/625 C. 6/125 D. 26/625 Câu 39. Một bình đựng 5 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên một viên bi, rồi lấy tiếp một viên bi nữa. Tính xác suất của biến cố: “lấy lần thứ hai được một viên bi xanh” A. P = 5/8 B. P = 3/8 C. P = 3/4 D. P = 1/2 Câu 40. Hai hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất chứa 5 quả đỏ và 5 quả xanh, hộp thứ 2 chứa 4 quả đỏ và 6 quả xanh. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một quả. Tính xác suất sao cho hai quả cùng màu. A. P = 1/2 B. P = 3/50 C. P = 1/4 D. P = 3/10 Câu 41. Một hộp chứa 10 quả cầu đỏ được đánh số từ 1 đến 10 và 20 quả cầu xanh được đánh số từ 1 đến 20. Lấy ngẫu nhiên một quả. Tìm xác suất sao cho quả được chọn hoặc có màu xanh hoặc ghi số lẻ. A. P = 2/3 B. P = 5/6 C. P = 1/6 D. P = 1/3 Câu 42. Một tổ có 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên ba người. Tìm xác suất sao cho 3 người đó có ít nhất một người là nữ. A. P = 2/3 B. P = 3/8 C. P = 17/24 D. P = 3/4 CẤP SỐ CỘNG 1. Định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đỗi gọi là công sai. Gọi d là công sai, theo định nghĩa ta có: un+1 = un + d (n = 1, 2,. ..). 2. Số hạng tổng quát un = u1 + (n – 1)d 3. Tính chất các số hạng của cấp số cộng uk = (uk–m + uk+m)/2 với k > m ≥ 1 4. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng n(u1  u n ) n[2u1  (n  1)d]  2 2 Sn = Câu 1. Cho cấp số cộng 2, 5, 8,. .. Tìm u15. A. u15 = 40 B. u15 = 38 C. u15 = 30 D. u15 = 44 Câu 2. Cho cấp số cộng có công sai là 3, số hạng cuối là 120 và có tổng bằng 1830. Số hạng đầu là A. u1 = 60 B. u1 = 63 C. u1 = 66 D. u1 = 57 Câu 3. Cho cấp số cộng (un) có u2 + u5 – u3 = 10 và u4 + u6 = 26. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng (un) A. u1 = 1 và d = 3 B. u1 = –2 và d = 3 C. u1 = –2 và d = 4 D. u1 = 1 và d = 4 Câu 4. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng có 5 số hạng biết tổng là 30 và số hạng cuối là 14. A. u1 = 1 và d = 3 B. u1 = –2 và d = 3 C. u1 = –2 và d = 4 D. u1 = 1 và d = 4 Câu 5. Cho 3 số tạo thành một cấp số cộng biết số hạng đầu là 5 và tích số của chúng là 1140. Số hạng thứ hai và thứ ba lần lượt là A. 12; 19 B. 11; 17 C. 10; 15 D. 9; 13 Câu 6. Tìm chiều dài các cạnh của một tam giác vuông biết chúng tạo thành một cấp số cộng với công sai là 25 A. 45; 70; 95 B. 30; 55; 80 C. 75; 100; 125 D. 100; 125; 150 Câu 7. Cho cấp số cộng (un). Biết u1 + u4 + u7 + u10 + u13 + u16 = 147. Tính tổng S = u1 + u6 + u11 + u16. A. S = 121 B. S = 133 C. S = 145 D. S = 147 Câu 8. Một cấp số cộng (an) có a3 + a13 = 80. Tìm tổng S15 của 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó. A. S15 = 600 B. S15 = 400 C. S15 = 800 D. S15 = 300 Câu 9. Một cấp số cộng có 11 số hạng. Tổng của chúng là 154. Hiệu của số hạng cuối và số hạng đầu là 30. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó. A. u1 = 1 và d = 3 B. u1 = –1 và d = 3 C. u1 = –1 và d = 4 D. u1 = 1 và d = 4 Câu 10. Cho cấp số cộng (an) có a1 = 4, d = –3. Tính a10. A. a10 = 31 B. a10 = –23 C. a10 = –26 D. a10 = 35.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Câu 11. Tính số hạng đầu và công sai của cấp số cộng (un) biết u3 + u5 = 30; S13 = 78. A. u1 = 24 và d = –3 B. u1 = –4 và d = 13 C. u1 = –6 và d = 4 D. u1 = 12 và d = –1 Câu 12. Tính số hạng đầu và công sai của cấp số cộng (un) biết u5 = 7; u9 = 31. A. u1 = 1 và d = 2 B. u1 = –11 và d = 6 C. u1 = –25 và d = 8 D. u1 = –9 và d = 4 Câu 13. Tính số hạng đầu và công sai của cấp số cộng (un) biết S4 = 9; S6 = 45/2 A. u1 = 0 và d = 1/2 B. u1 = –1 và d = 1/2 C. u1 = 0 và d = 3/2 D. u1 = 1/2 và d = 1 Câu 14. Tính số hạng đầu và công sai của cấp số cộng (un) biết u3 + u10 = –31 và 2u4 – u9 = 7 A. u1 = 5 và d = –4 B. u1 = –21 và d = 1 C. u1 = 1 và d = –3 D. u1 = –32 và d = 2 Câu 15. Cho cấp số cộng (un) có u5 = –24, u13 = 48. Tính tổng của 20 số hạng đầu tiên. A. S20 = 450 B. S20 = 480 C. S20 = 510 D. S20 = 540 Câu 16. Cho cấp số cộng (un) có u1 = 17, d = 3. Giá trị của u20 và S20 lần lượt là A. 74 và 900 B. 74 và 910 C. 77 và 910 D. 77 và 900 Câu 17. Cho cấp số cộng (un) có u10 = –20 và d = –4. Giá trị của u1 và S10 lần lượt là A. 16; –20 B. –16; –180 C. 16; 180 D. –16; –20 Câu 18. Cho cấp số cộng (un) có u6 = 17 và u11 = –1. Công sai d và tổng S11 có gia trị lần lượt là A. 18/5 và –209 B. –18/5 và 209 C. 18/5 và –187 D. –18/5 và 187 Câu 19. Cho cấp số cộng (un) có u3 = –15, u4 = 18. Tìm tổng của 20 số hạng đầu tiên. A. 4430 B. 3450 C. 4650 D. 3650 Câu 20. Cho cấp số cộng (un) có un = 9 – 5n. Tổng của 100 số hạng đầu tiên là A. –24350 B. –23540 C. –34520 D. –52340 Câu 21. Cho các dãy số sau a. u1 = 2, un+1 = (3n + 1)/5 b. u1 = 15, u2 = 9, un+2 = 2un+1 – un. c. u1 = 0, un+1 = un – 12 d. u1 = 1, u2 = 1, un+2 = 2un+1 + 1. Số cấp số cộng trong các dãy số trên là A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 Câu 22. Nhận xét nào sau đây sai về cấp số cộng? A. Cấp số cộng không bị chặn trên nếu có công sai dương B. Cấp số cộng không bị chặn trong trường hợp công sai khác 0 C. Cấp số cộng có giá trị nhỏ nhất là số hạng đầu nếu bị chặn trên D. Cấp số cộng có công sai khác 0 không thể có đồng thời giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Câu 23. Cho cấp số cộng gồm 22 số hạng với số hạng đầu là 125 và số hạng cuối là –295. Số hạng thứ 2 là A. u2 = 114 B. u2 = 115 C. u2 = 104 D. u2 = 105 Câu 24. Tìm x sao cho 3 số a, b, c theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng, biết a = x – 9, b = 3x – 6, c = x² + 3 A. x = 0 V x = 2 B. x = 2 V x = 3 C. x = 1 V x = 3 C. x = 0 V x = 1 CẤP SỐ NHÂN 1. Định nghĩa: Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đỗi gọi là công bội. Gọi q là công bội, theo định nghĩa ta có un+1 = un.q (n = 1; 2; ...). 2. Số hạng tổng quát Định lí: Số hạng tổng quát của một cấp số nhân được cho bởi công thức un = u1.qn–1. 3. Tính chất Trong một cấp số nhân (un), uk² = uk–muk+m với k > m ≥ 1 1  qn u1 1  q (q ≠ 1) 4. Tổng n số hạng đầu của cấp số nhân với số hạng đầu u1 và công bội q ≠ 1 là Sn = Câu 1. Cho cấp số nhân có 6 số hạng biết u 1 = 243 và u5 = 3. Các số hạng từ số thứ hai đến số thứ 4 lần lượt là A. 81; 27; 9 B. 183; 123; 63 C. 99; 54; 18 D. 162; 81; 9 Câu 2. Cho cấp số nhân có q = 1/4, S6 = 2730. Tìm u1. A. u1 = 1024 B. u1 = 2048 C. u1 = 4096 D. u1 = 8192 Câu 3. Tìm u1 và q của cấp số nhân (un) có u3 = 18 và u6 = –486. A. u1 = 2 và q = 3 B. u1 = –2 và q = –3 C. u1 = 2 và q = –3 D. u1 = –3 và q = –2 Câu 4. Tìm u1 và q của cấp số nhân (un) có u4 – u2 = 72; u5 – u3 = 144 A. u1 = 2 và q = 3 B. u1 = 12 và q = 2 C. u1 = 2 và q = 4 D. u1 = 12 và q = 4 Câu 5. Tìm u1 và q của cấp số nhân (un) có u3 = 12 và u5 = 48..

<span class='text_page_counter'>(10)</span> A. u1 = 2 và q = ±2 B. u1 = 3 và q = ±2 C. u1 = 2 và q = ±3 D. u1 = 3 và q = ±3 Câu 6. Tìm u1 và q của cấp số nhân (un) có u1 + u2 + u3 = –7; u4 + u5 + u6 = 189. A. u1 = –1 và q = 3 B. u1 = 3 và q = –9 C. u1 = –1 và q = –3 D. u1 = 3 và q = 9 Câu 7. Tìm số hạng đầu của cấp số nhân (u n) biết cấp số đó có 4 số hạng có tổng bằng 360 và số hạng cuối gấp 9 lần số hạng thứ hai. A. u1 = 9 V u1 = –3 B. u1 = –18 V u1 = 3 C. u1 = –18 V u1 = 9 D. u1 = –9 V u1 = 3 Câu 8. Tổng 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng là 21. Nếu số thứ hai trừ đi 1 và số thứ ba cộng thêm 1 thì ba số mới lập thành một cấp số nhân. Tìm ba số đó. A. 3; 7; 11 hoặc 11; 7; 3 B. 12; 7; 2 hoặc 3; 7; 11 C. 12; 7; 2 hoặc 11; 7; 3 D. 12; 7; 2 hoặc 2; 7; 12 Câu 9. Cho các dãy số (un) sau a. un = 3.2n. b. un = (–2)n.3n+2. c. u1 = 2 và un+1 = 3un – 1 d. un = 3n + 2 Số cấp số cộng trong các dãy số trên là A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Câu 10. Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân (un), biết u1 + u2 + u3 = 14 và u1u2u3 = 64 A. u1 = 2 và q = 1/2 hoặc u1 = 2 và q = 2 B. u1 = 8 và q = 1/2 hoặc u1 = 2 và q = 2 C. u1 = 2 và q = 1/2 hoặc u1 = 8 và q = 2 D. u1 = 8 và q = 1/4 hoặc u1 = 2 và q = 2 Câu 11. Cho dãy số (un) có số hạng tổng quát un = (–3)n+1.2n+3. Nhận xét nào sau đây đúng? A. Dãy số trên là cấp số cộng có công sai d = 6 B. Dãy số trên là cấp số nhân giảm C. Dãy số trên là cấp số nhân lùi vô hạn D. Dãy số trên là cấp số nhân có công bội q = –6 Câu 12. Nhận xét nào sau đây sai? A. Cấp số cộng phải có chặn dưới hoặc chặn trên B. Cấp số nhân lùi vô hạn là dãy số bị chặn C. Cấp số nhân giảm không thể có công bội âm D. Cấp số nhân có công bội q > 1 thì bị chặn dưới Câu 13. Tìm 3 số hạng liên tiếp của một cấp số nhân tăng biết tổng của chúng là 19 và tích của chúng là 216. A. 4; 6; 9 B. 2; 6; 18 C. 1; 3; 9 D. 12; 18; 27 Câu 14. Xác định công bội của cấp số nhân (un) có u2 + u4 + u6 = 481 và u3 + u5 = 300 A. q = –1/2 B. q = 1/2 C. q = 3/4 D. q = 2/5 Câu 15. Tìm x, y biết 1; x²; y² là 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân và 1; x + 3; y – 3 là 3 số liên tiếp của cấp số cộng A. x = 4 và y = 16 hoặc x = –2 và y = 4 B. x = 2 và y = 4 hoặc x = –4 và y = 16 C. x = 2 và y = 4 hoặc x = 4 và y = 16 D. x = –2 và y = 4 hoặc x = –4 và y = 16 Câu 16. Cho x, y, z là ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân thỏa mãn x < y < z, xyz = 216 và x + y + z = 19. Tìm x, y, z. A. x = 2; y = –6 và z = 18 B. x = 4; y = 6 và z = 9 C. x = –9; y = –6 và z = –4 D. x = 2; y = 6 và z = 18 GIỚI HẠN DÃY SỐ 2n  1 lim n 1 Câu 1. Tìm giới hạn A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2  2n  3n  1 lim 2 n  n 7 Câu 2. Tìm giới hạn A. –1 B. –2 C. –3 D. –4 3 2 n  4n  6n  5 lim 5n 3  2n 2 Câu 3. Tìm giới hạn A. 1/2 B. 1/5 C. 1 D. 2/5 n(2n  1)(3n  2) lim 2n 3  1 Câu 4. Tìm giới hạn A. 2 B. 1 C. 3 D. 4.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> 3n  4 n2  2 Câu 5. Tìm giới hạn A. 0 B. 2 2 n (2n  1) lim (n  4)3 Câu 6. Tìm giới hạn A. 1 B. 0 7  6 n 3 lim 4n  5  n  1 Câu 7. Tìm giới hạn A. –3 B. 1 3 3 n  8n  2n  3 lim 4n 2  1  n  5 Câu 8. Tìm giới hạn A. 3 B. 1 3 3 2 n  n  1  2n lim n n 2 1  3 Câu 9. Tìm giới hạn A. 2 B. 1 5n  4n 2 1 lim 2 n Câu 10. Tìm giới hạn A. 4 B. –4 3 8n 3  27n 2  64n  8 lim n  9n 2  4n  5 Câu 11. Tìm giới hạn A. 1/2 B. 1/4 lim. Câu 12. Tìm giới hạn lim( n  n  A. 0 B. 1. D. –2. C. 2. D. 4. C. –1. D. –2. C. –1. D. –3. C. 0. D. –2. C. 3. D. –3. C. 2. D. 4. C. 1/2. D. 1/4. C. 6. D. 2. C. 3/4. D. 3. C. 2. D. 1. C. 2. D. –2. C. 1. D. 0. C. 1/4. D. 0. C. –2. D. –1. C. –2. D. 0. C. –1. D. –2. n  1). 2. 2. Câu 13. Tìm giới hạn lim( n  5n  1  A. 5/2 B. 3 2 Câu 14. Tìm giới hạn lim( 4n  n  A. 3/2 B. –3. C. 3. n  n). 4n 2  4n  5). 2. Câu 15. Tìm giới hạn lim( n  4n  n) A. –1 B. –2 2. Câu 16. Tìm giới hạn lim(3n  9n  6n ) A. –1/3 B. 1/3 3 2 3 Câu 17. Tìm giới hạn lim( n  n  n) A. 1/3 B. 1/2 3 3 Câu 18. Tìm giới hạn lim( n  n 1). A. 1/3. B. 1/2 3. 3. 2. Câu 19. Tìm giới hạn lim( n  27  n  4n ) A. 3 B. –4 1  4n 1 lim n 1 n 3 4 Câu 20. Tìm giới hạn A. 4/7 B. –4 n 3  6.4 n  5n lim n 3  3.4 n  5n Câu 21. Tìm giới hạn A. 3 B. –3.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Câu 22. Tìm giới hạn A. –2 Câu 23. Tìm giới hạn A. 1 Câu 24. Tìm giới hạn A. 2 Câu 25. Tìm giới hạn A. 2/3 Câu 26. Tìm giới hạn A. 1/2 Câu 27. Tìm giới hạn A. 0. 22n 3  3n  4n 22n  3n 1  4n 1 B. –3 C. –4 sin 2n lim n 1 B. –1 C. 0 n ( 1) (n  2) lim n2 B. 3 C. –1 1  3  5  ...  (2n  1) lim 3n 2  4 B. 1 C. 0 1  2  3  4  ...  n lim n 2  3n  2 B. 1 C. 0 1 1 1 1 lim[    ...  ] 1.2 2.3 3.4 n(n  1) lim. B. 1/2. GIỚI HẠN HÀM SỐ – HÀM SỐ LIÊN TỤC 2x 2  3x lim Câu 1. Tìm giới hạn x  2 x  2 A. 1/2 B. 1/4 2 x  3x  2 lim x 1 x2  1 Câu 2. Tìm giới hạn A. 1/2 B. 1 2 x  2x lim 2 Câu 3. Tìm giới hạn x   2 x  4 A. 1/4 B. 1/2 2 2x  4x lim 2 Câu 4. Tìm giới hạn x   x  2 A. –1 B. 1 3 lim (x  2x) Câu 5. Tìm giới hạn x   A. –∞ B. +∞ 3 x  4x lim x   4  x 2 Câu 6. Tìm giới hạn A. +∞ B. –∞ 2 x  x  1  3x lim x   3x  x 2  3 Câu 7. Tìm giới hạn A. –1/2 B. 1/2 2 x  5x  1 lim x   x  3 x 2 1 Câu 8. Tìm giới hạn A. 1/2 B. 1/4 2 x  x  3x lim x   3 x 3  3x  4 Câu 9. Tìm giới hạn A. –1 B. 1. D. –1. D. +∞. D. 0. D. 1/3. D. 1/3. C. 1. D. 1/6. C. 1. D. 0. C. 3/2. D. 2. C. –1. D. 1/3. C. –2. D. 2. C. –1. D. 1. C. –1. D. 1. C. 2. D. –2. C. 1/3. D. –1/2. C. –2. D. –4.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> lim. Câu 10. Tìm giới hạn A. 0 Câu 11. Tìm giới hạn A. +∞ Câu 12. Tìm giới hạn A. –∞ Câu 13. Tìm giới hạn A. 1/5 Câu 14. Tìm giới hạn A. 5/3 Câu 15. Tìm giới hạn A. –1 Câu 16. Tìm giới hạn A. +∞. x  . x 4x 2  3  3. x 4  3x 2  1. x 6  4x 3  2. B. 2 lim. x  . C. –2. D. –3. C. 1. D. –1. C. –2. D. +∞. C. –1. D. –1/5. C. –1. D. 3/5. C. 1. D. 5/3. C. 1. D. +∞. C. 5. D. –5. C. –∞. D. +∞. x 2  2x  1. B. –∞ 4x 2  x  3 lim x   x 2 B. 2 5x  3 4x 4  x 2  5 lim x   5x 2  6x  5 B. 6/5 x 2  3  4x lim x   4x 2  1  x B. 1 2x  9x 2  2 lim x   2x  x 2  4 B. 5 2 x  2x  5 lim x 3 (x  3) 2. B. –1 5x  2 lim Câu 17. Tìm giới hạn x  3 x  3 A. –∞ B. +∞ 2 x  5x  2 lim x  2 x 2 Câu 18. Tìm giới hạn A. 1 B. –1 2x 2  3x  1  3x  7 Câu 19. Cho hàm số f(x) =  A. 13 B. 9 1  2x 2  4  5x Câu 20. Cho hàm số f(x) =  A. 1 B. –1 2 x  2x  15 lim x 3 Câu 21. Tìm giới hạn x  3 A. 6 B. 7 2 x  2x  3 lim x 1 x2  1 Câu 22. Tìm giới hạn A. 2 B. 3 3 8x  27 lim 2 Câu 23. Tìm giới hạn x  3/2 4x  9 A. 9/2 B. 3/2 2 (x  1)(x 4  16) lim x3  8 Câu 24. Tìm giới hạn x   2 A. –3 B. –4. x 2 x2 x 1 x 1. . Tìm giới hạn C. 22. . Tìm giới hạn C. 0. lim x 2. f(x) D. không tồn tại. lim x 1. f(x) D. không tồn tại. D. 5. D. 8. C. 4. D. +∞. C. 2. D. 3. C. –8. D. 0.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Câu 25. Tìm giới hạn A. 1/2 Câu 26. Tìm giới hạn A. 1/4 Câu 27. Tìm giới hạn A. 1/2 Câu 28. Tìm giới hạn A. –1/12 Câu 29. Tìm giới hạn A. 1/2 Câu 30. Tìm giới hạn A. 17/15 Câu 31. Tìm giới hạn A. 9/8 Câu 32. Tìm giới hạn A. –1/36 Câu 33. Tìm giới hạn A. 1/3 Câu 34. Tìm giới hạn A. –1/6 Câu 35. Tìm giới hạn A. –1/20 Câu 36. Tìm giới hạn A. –1/12. x1 x 1 x  1 B. 1 3x  5  2 lim x 3 x2  9 B. 1/3 2x  3  x  1 lim x 2 x 2  2x B. 1/3 3 9x  3 lim 2 x   3 x  x  12 B. –1/21 2 x  2x  4  x lim x 2 x2  4 B. 1 3 2  17x  8 lim x 0 5x B. 17/30 x  x2 lim x 2 4x  1  3 B. 9/4 3 7 x  2 lim x  1 x 2  3  2x B. –1/12 3 x1 lim x 1 x1 B. 1 3 x 8  4 x lim x 0 x B. 1/3 x  16  2x  25  1 lim x 0 x B. –3/40 3 x  x 4 lim x 8 x 8 B. –1/18 lim. C. 1/4. D. –1. C. 1/8. D. 1/6. C. 0. D. 1/4. C. –1/18. D. –1/24. C. 2. D. 1/4. C. 17/45. D. 17/60. C. 3/4. D. 3/8. C. –1/24. D. –1/18. C. 1/2. D. 2/3. C. 1/6. D. –1/3. C. –1/40. D. –1/10. C. –1/24. D. –1/36. C. 3. D. 4. C. –2. D. –1. 2. Câu 37. Tìm giới hạn A. 1. lim ( x  4x  2  x). x  . B. 2 2. lim (2x  4x  4x  3). Câu 38. Tìm giới hạn A. 1. x  . Câu 39. Tìm giới hạn A. –1. x  . B. 2 lim ( x 2  x  1  B. 1 3. Câu 40. Tìm giới hạn. 3. lim ( x  3x  x). x  . x 2  x  1) C. 2. D. –2.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> A. 1 Câu 41. Tìm giới hạn A. 1/3. B. 0. D. 3. C. 1/2. D. 1. lim ( 3 x 3  x 2  x). x  . B. 0 3. Câu 42. Tìm giới hạn A. 2. C. 1/2. 3. 2. 2. lim ( x  3x  x  2x ). x  . B. 0 C. 1 D. –2 1 3 lim(  ) 3 Câu 43. Tìm giới hạn x  1 1  x 1  x A. 0 B. –1 C. 1 D. 2 1 2 lim(  2 ) x 2 x  2 x  2x Câu 44. Tìm giới hạn A. 1 B. 1/2 C. –1 D. 0 2  x  25 x 5   x 5  x 5 . Nhận xét nào sau đây đúng? Câu 45. Cho hàm số f(x) = 9 A. Hàm số liên tục tại xo = 5 B. Hàm số có tập xác định R \ {5} C. Hàm số xác định trên R D. Hàm số liên tục trên (–1; 10) x  5  x 5   2x  1  3  x 5 . Nhận xét nào sau đây sai. Câu 46. Cho hàm số f(x) = 3 A. Hàm số liên tục tại xo = 5. B.. lim. x  1/2. lim. f(x) = 3/2. C. Hàm số có tập xác định D = R D. x  25 f(x) = 5 2  x  2x  3 x 1   x 1  x 1 . Hàm số liên tục tại x = 1 khi và chỉ khi Câu 47. Cho hàm số f(x) = 3a  2 o A. a = 1 B. a = 2 C. a = 3 D. a = –2/3  3x  6 x  2  3  x 8 ax  3 x  2 Câu 48. Cho hàm số f(x) =  . Hàm số liên tục tại xo = –2 khi và chỉ khi A. a = 5/4 B. a = 3/8 C. a = 11/8 D. a = –3/4  2 x  1 x 1  2  x 3  2  a x  2a  3 x 1 Câu 49. Cho hàm số f(x) =  . Hàm số liên tục tại xo = 1 khi và chỉ khi A. a = 1 B. a = 2 C. a = –1 D. a = –2  x 2  2 x 2   x2  4 a x 2 Câu 50. Cho hàm số f(x) =  . Hàm số liên tục tại xo = 2 khi và chỉ khi A. a = 1/16 B. a = 1/4 C. a = 1/8 D. a = 1/2  4  3x  1 x 1   x 1 a  x x 1 Câu 51. Cho hàm số f(x) =  . Hàm số liên tục tại xo = 1 khi và chỉ khi A. a = 2 B. a = –3/2 C. a = –5/2 D. a = –4 Câu 52. Kết luận nào sau đây sai? A. Phương trình x5 – 3x4 + 5x – 2 = 0 có ít nhất 3 nghiệm phân biệt trên khoảng (–2; 5).

<span class='text_page_counter'>(16)</span> B. Phương trình x³ – 3x = m(4 – x²) luôn có nghiệm với mọi số thực m C. Phương trình m(2x² – 3x + 1) = 3 – 4x luôn có ít nhất 2 nghiệm với mọi số thực m D. Phương trình cos 2x + a sin x + b cos x = 0 luôn có nghiệm với mọi số thực a, b. ĐẠO HÀM 1. Định nghĩa đạo hàm + Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) chứa xo f (x)  f (x o ) lim x  xo x  xo f′(x ) = o. + Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại xo thì hàm số liên tục tại điểm đó. 2. Ý nghĩa của đạo hàm + k = f′(xo) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại M (xo; yo) với yo = f(xo). + Phương trình tiếp tuyến tại M(xo; yo) là y = f′(xo)(x – xo) + yo. 3. Qui tắc tính đạo hàm + (C)′ = 0; x′ = 1; (xn)′ = n.xn–1 với mọi số thực n + (u + v)′ = u′ + v′; (u.v)′ = u′.v + v′.u; (u / v)′ = (u′v – v′u) / v²; (ku)′ = ku′; (1/v)′ = –v′ / v² (v ≠ 0) + Đạo hàm của hàm hợp: Nếu u(x) có đạo hàm theo x là u′(x) và hàm số y = f(u) có đạo hàm theo u là f′(u) thì hàm số y = f(u(x)) có đạo hàm tại x là y′ = f′(u).u′(x) 4. Đạo hàm của hàm số lượng giác sin x lim 1 + Giới hạn cơ bản x  0 x 1 1 2 2 + (sin x)′ = cos x + (cos x)′ = – sin x + (tan x)′ = cos x + (cot x)′ = – sin x 5. Vi phân + dy = y′dx 6. Đạo hàm cấp cao y(n) = [y(n –1)]′ với n ≥ 2 7. Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(xo; yo) là d: y = f′(xo) (x – xo) + yo a. Viết phương trình tiếp tuyến song song với đường thẳng Δ: y = ax + b + Gọi tiếp điểm là M(xo; yo) + Hệ số góc tiếp tuyến là k = f′(xo) = a + Tìm xo, yo rồi suy ra phương trình tiếp tuyến b. Viết phương trình tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng Δ: y = ax + b + Gọi tiếp điểm là M(xo; yo) + Hệ số góc tiếp tuyến là k = f′(xo) = –1/a + Tìm xo, yo rồi suy ra phương trình tiếp tuyến Câu 1. Cho hàm số y = 2x² – x + 2. Giá trị của y'(1) là A. 3 B. 1 C. 5 D. 0 Câu 2. Cho hàm số y = 3  2x . Giá trị của y'(–3) là A. 1/9 B. 1/3 C. 1/6 D. 1/12 2x  1 Câu 3. Cho hàm số y = x  1 . Giá trị của y'(0) là A. –1 B. –3 C. 3 D. 1 Câu 4. Cho hàm số y = sin x. Giá trị của y'(π/2) là A. 1 B. –1 C. 0 D. 2 Câu 5. Tính đạo hàm của hàm số y = 2x  1 2 1 A. y' = 2x  1 B. y' = 2 2x  1 C. y' = 2x  1 D. y' = 2x  1 4 Câu 6. Tính đạo hàm của hàm số y = 2x – x³ + 2x – 5 A. y' = 8x³ – 3x² + 2 B. y' = 4x³ – 3x² + 2 C. y' = 2x³ – 3x² + 2 D. y' = x³ – 3x² + 2 Câu 7. Tính đạo hàm của hàm số y = 3/x² A. y' = –6/x4 B. y' = –6/x³ C. y' = –3/x4 D. y' = –3/x³ Câu 8. Tính đạo hàm của hàm số y = (x³ – 2x)(1 – 2x²).

<span class='text_page_counter'>(17)</span> A. y' = (3x² – 2)(1 – 2x²) – 2x(x³ – 2x) B. y' = (3x² – 2)(1 – 2x²) + 2x(x³ – 2x) C. y' = (3x² – 2)(1 – 2x²) – 4x(x³ – 2x) D. y' = (3x² – 2)(1 – 2x²) + 4x(x³ – 2x) Câu 9. Tính đạo hàm của hàm số y = x²(x² – 1)(x² – 4) A. y' = 2x(x² – 1)(x² – 4) + 2x²(2x² – 5) B. y' = 2x(x² – 1)(x² – 4) – 2x²(2x² – 5) C. y' = 2x(x² – 1)(x² – 4) – 2x³(2x² – 5) D. y' = 2x(x² – 1)(x² – 4) + 2x³(2x² – 5) 3 Câu 10. Tính đạo hàm của hàm số y = 2x  3 A. y' = 3/[2(2x +3)²] B. y' = 6/(2x + 3)² C. y' = –6/(2x + 3)² D. y' = –3/(2x + 3)² 2x  1 Câu 11. Tính đạo hàm của hàm số y = 1  3x A. y' = 6/(1 – 3x)² B. y' = 5/(1 – 3x)² C. y' = –6/(1 – 3x)² D. y' = –5/(1 – 3x)² 2 2x  3x Câu 12. Tính đạo hàm của hàm số y = x  1 A. y' = 2 + 6/(x + 1)² B. y' = 2 – 5/(x + 1)² C. y' = 2 – 6/(x + 1)² D. y' = 2 + 5/(x + 1)² 1 x 2 Câu 13. Tính đạo hàm của hàm số y = 1  x  x A. y' = (2 + 2x – x²)/(x² – x + 1)² B. y' = (2 – 2x – x²)/(x² – x + 1)² C. y' = (2 + 2x + x²)/(x² – x + 1)² D. y' = (2 – 2x + x²)/(x² – x + 1)² 5 Câu 14. Tính đạo hàm của hàm số y = (1 – 2x²) . A. y' = –10(1 – 2x)4 B. y' = 20(1 – 2x)4 C. y' = –20(1 – 2x)4 D. y' = 10(1 – 2x)4 1 2 2 Câu 15. Tính đạo hàm của hàm số y = (x  2x) A. y' = –1/(x² + 2x)³ C. y' = –2(x + 1)/(x² + 2x)³. B. y' = –2/(x² + 2x)³ D. y' = –4(x + 1)/(x² + 2x)³. 2x  1 4 ) Câu 16. Tính đạo hàm của hàm số y = x  1 A. y' = 12(2x + 1)³/(x – 1)5. C. y' = 8(2x + 1)³/(x – 1)5. (. B. y' = –12(2x + 1)³/(x – 1)5. D. y' = –8(2x + 1)³/(x – 1)5.. 2 Câu 17. Tính đạo hàm của hàm số y = (x² – 2) x  2x 3x 3  5x 2 4x 3  6x 2. x 3  3x 2. 2 3 A. y' = ( x  2x ). 2 3 2 3 B. y' = ( x  2x ) C. y' = ( x  2x ) 3 Câu 18. Tính đạo hàm của hàm số y = ( 1  x  1  x ). 1 x  1 x A. y' = –3x. 1 x. 2. C. y' = –6x. 1 x. 2 3 D. y' = ( x  2x ). 1 x  1 x B. y' = 3x. 1 x  1 x 2. 2x 2. 1 x2 1 x  1 x. D. y' = 6x. 1 x2. sin x Câu 19. Tính đạo hàm của hàm số y = 1  cos x A. y' = 1/(1 + cos x)² B. y' = 2/(1 + cos x)² C. y' = 1/(1 + cos x) D. y' = 2/(1 + cos x) Câu 20. Tính đạo hàm của hàm số y = x cos x – sin x A. y' = x – sin x B. y' = –x sin x C. y' = –x cos x D. y' = x – cos x Câu 21. Tính đạo hàm của hàm số y = tan³ 2x A. y' = 3tan² 2x (1 + tan² 2x) B. y' = 6tan² 2x (1 + tan² 2x) C. y' = 6tan² 2x D. y' = 3tan² 2x Câu 22. Tính đạo hàm của hàm số y = sin 3x tan x A. y' = 3sin x + (1 + tan² x) sin 3x B. y' = –3sin x + (1 + tan² x) sin 3x C. y' = 3cos 3x tan x + (1 + tan² x) sin 3x D. y' = –3cos 3x tan x + (1 + tan² x) sin 3x Câu 23. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y = sin 2x.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> A. y(n) = 2n sin (2x + nπ/2) B. y(n) = 2n sin (x + nπ/2) C. y(n) = 2n sin (2x + nπ/4) D. y(n) = 2n sin (x + nπ/4) Câu 24. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y = 1/x A. y(n) = (–1)n.n!/xn B. y(n) = (–1)n+1.(n + 1)!/xn (n) n n+1 C. y = (–1) .n!/x D. y(n) = (–1)n+1.(n + 1)!/xn+1 Câu 25. Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = 2sin 4x. A. y" = –16sin 4x B. y" = –32sin 4x C. y" = –16cos 4x D. y" = –32cos 4x Câu 26. Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = 3tan x A. y" = 6tan x (1 + tan² x) B. y" = 3tan x (1 + tan² x) C. y" = –6tan x (1 + tan² x) D. y" = –3tan x (1 + tan² x) Câu 27. Cho hàm số y = x² – 2x + 3 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ là xo = 1. A. y = 2 B. y = x + 2 C. y = x + 1 D. y = 1 Câu 28. Cho hàm số y = x³ – 3x² + 2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) có hệ số góc k = 9. A. y = 9x + 9 B. y = 9x – 9 C. y = 9x + 7 D. y = 9x – 7 3x 1 Câu 29. Cho hàm số y = 1  x có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng Δ: y = x + 2. A. y = x – 8 V y = x + 2 B. y = x V y = x + 2 C. y = x V y = x + 8 D. y = x – 8 V y = x + 8 Câu 30. Cho hàm số y = x³ – 3x² + 2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến d với (C) biết d vuông góc với đường thẳng Δ: x – 3y = 0. A. y = x B. y = x + 1 C. y = x + 2 D. y = x – 1 Câu 31. Cho hàm số y = (x + 1)cos x. Tính y"(0). A. –1 B. 1 C. 3 D. –3 Câu 32. Tính đạo hàm cấp 3 của hàm số y = 5x4 – 2x³ + 3x² – 6 A. y(3) = 60x² – 12x + 6 B. y(3) = 30x² – 12x + 6 C. y(3) = 60x² – 12x + 12 D. y(3) = 30x² – 12x + 12 (3) Câu 33. Cho hàm số y = x sin x. Tính y (π/2) A. –1 B. 1 C. 3 D. –3 x 3 Câu 34. Tính đạo hàm cấp 3 của hàm số y = x  4 A. y(3) = 1/(x + 4)4. B. y(3) = –6/(x + 4)4. C. y(3) = 6/(x + 4)4. D. y(3) = 12/(x + 4)4. Câu 35. Cho hàm số y = x (sin x + cos x). Chọn biểu thức dưới đây đúng với mọi số thực x. A. y" + y = 2(cos x + sin x) B. y" + y = 2(cos x – sin x) C. y" + y = cos x + sin x D. y" + y = cos x – sin x 1 2 Câu 36. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y = x  3x  2 A. y(n) = (–1)n n!/(x + 1)n+1 + (–1)n+1 n!/(x + 2)n+1. B. y(n) = (–1)n+1 n!/(x + 1)n+1 + (–1)n n!/(x + 2)n+1. C. y(n) = (–1)n n!/(x + 1)n+1 – (–1)n+1 n!/(x + 2)n+1. D. y(n) = (–1)n+1 n!/(x + 1)n+1 – (–1)n n!/(x + 2)n+1. x Câu 37. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y = x  1 A. y(n) = (–1)n–1 n!/(x + 1)n+1 B. y(n) = (–1)n n!/(x + 1)n+1 (n) n–1 n+1 C. y = (–1) (n + 1)!/(x + 1) D. y(n) = (–1)n+1 (n – 1)!/(x + 1)n+1 Câu 38. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y = 2sin x cos 3x A. y(n) = 4n sin (4x + nπ/2) – 2n sin (2x + nπ/2) B. y(n) = 4n sin (4x + nπ/2) + 2n sin (2x + nπ/2) C. y(n) = 4n+1 sin (4x + nπ/2) – 2n+1 sin (2x + nπ/2) D. y(n) = 4n+1 sin (4x + nπ/2) + 2n+1 sin (2x + nπ/2) Câu 39. Cho hàm số y = A. y²y" = –1. 2x  x 2 . Chọn biểu thức đúng với mọi số thực x B. y³y" = 1 C. y³y" = –1 D. y²y" = 1.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> Câu 40. Tìm giới hạn A. 3/2 Câu 41. Tìm giới hạn A. 1 Câu 42. Tìm giới hạn A. 3/5 Câu 43. Tìm giới hạn A. 1. sin 3x x  0 sin 2x B. 2/3 1  cos 2x lim x 0 x2 B. –1 tan 2x lim x  0 sin 5x B. 5/3 4  4sin x lim xπ/2  (π  2x) 2 lim. C. 9/4. D. 4/9. C. 2. D. –2. C. 2/5. D. 5/2. B. –1 C. 2 D. –2 π lim (  x) tan x  2 Câu 44. Tìm giới hạn xπ/2 A. 1 B. –1 C. 1/2 D. 2 π sin(  x) 6 lim xπ/6  3  2 cos x Câu 45. Tìm giới hạn A. 2 B. –2 C. 1 D. –1 Câu 46. Cho hàm số y = cos x + 3 sin x + 2x – 1. Giải phương trình y' = 0. A. x = 5π/6 + k2π, k là số nguyên B. x = 2π/3 + k2π, k là số nguyên C. x = 7π/6 + k2π, k là số nguyên D. x = 4π/3 + k2π, k là số nguyên Câu 47. Cho hàm số y = sin² x + 2 cos x. Giải phương trình y' = 0. A. x = k2π, k là số nguyên B. x = kπ, k là số nguyên C. x = π/2 + kπ, k là số nguyên D. x = π/2 + k2π, k là số nguyên Câu 48. Cho hai hàm số y = f(x) = sin 2x và y = g(x) = sin4 x. Giải phương trình g'(x) = f(x) A. x = kπ/4, k là số nguyên B. x = kπ/2, k là số nguyên C. x = π/8 + kπ/4, k là số nguyên D. x = π/4 + kπ/2, k là số nguyên Câu 49. Cho hai hàm số y = f(x) = 1 – x sin x và y = g(x) = x + x cos x. Giải phương trình g'(x) = f(x) A. x = π/2 + k2π, k là số nguyên B. x = π/2 + kπ, k là số nguyên C. x = k2π, k là số nguyên D. x = kπ, k là số nguyên Câu 50. Cho hai hàm số f(x) = –2/x², g(x) = x – x³. Giải bất phương trình g'(x) ≥ f(x) A. –1 ≤ x ≤ 1 B. –2 ≤ x ≤ 2 C. |x| ≤ 1 và x ≠ 0 D. |x| ≤ 2 và x ≠ 0 Câu 51. Cho hàm số y = mx³ – 3mx² + 6(m + 1)x. Tìm giá trị của m sao cho y' < 0 với mọi số thực x A. m < –2 V m > 0 B. –2 < m < 0 C. m > 0 D. m < –2 Câu 52. Cho hàm số y = x³ – 2x² + mx – 3. Tìm giá trị của m sao cho y' ≥ 0 với mọi số thực x. A. m ≥ 3 B. m ≤ 3 C. m = 3 D. m ≠ 3 Câu 53. Cho hàm số y = x³ + 3mx² + 3(3m – 2)x + 9m. Tìm giá trị của m sao cho y' < 0 với mọi số thực x. A. 0 < m < 1 B. m < 0 V m > 1 C. m < 1 V m > 2 D. 1 < m < 2 2 x  3x  2 x 1 Câu 54. Tính đạo hàm của hàm số y = A. y' = 1 – 5/(x + 1)² B. y' = 1 – 6/(x + 1)² C. y' = 1 + 5/(x + 1)² D. y' = 1 + 6/(x + 1)² 1 2 Câu 55. Tính đạo hàm của hàm số y = (2x  1) A. y' = –2/(2x + 1)³ B. y' = 2/(2x + 1)³ C. y' = –4/(2x + 1)³ D. y' = 4/(2x + 1)³ Câu 56. Tính đạo hàm của hàm số y = sin 2x (1 + cos 2x) A. y' = 2(cos 2x – cos 4x) B. y' = 2(cos 2x + cos 4x) C. y' = 2(cos 2x + cos 4x) D. y' = 2(cos 2x – cos 4x) x 2 Câu 57. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = x  1 tại điểm có tung độ yo = 0.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> A. y = x – 2 B. y = 3x – 6 C. y = x + 2 D. y = 4x – 8 Câu 58. Cho hàm số y = x³ + 3(m – 2)x² + 12(m – 3)x. Tìm giá trị của m sao cho y' > 0 với mọi số thực x A. 2 < m < 5 B. 2 < m < 4 C. 2 < m < 6 D. 2 < m < 8 HÌNH HỌC PHÉP BIẾN HÌNH Câu 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(3; 2). Tìm tọa độ điểm M’ là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo  vectơ v = (–2; 1) A. M’(1; 1) B. M’(1; 3) C. M’(5; 3) D. M’(5; 1) Câu 2. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(4; 5). Tìm điểm N sao cho M là ảnh của điểm B qua phép tịnh  tiến theo v = (2; 1) A. N(6; 6) B. N(2; 6) C. N(6; 4) D. N(2; 4) Câu 3. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(2; 3). Phép đối xứng qua trục Ox biến điểm M thành M’. Tìm tọa độ điểm M’ A. M’(2; –3) B. M’(–2; 3) C. M’(–3; 2) D. M’(3; 2) Câu 4. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d: x + y – 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh  của d qua phép tịnh tiến vectơ v = (1; 1) A. x + y – 3 = 0 B. x + y – 1 = 0 C. x + y – 7 = 0 D. x + y – 9 = 0 Câu 5. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d: 3x + 5y – 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép đối xứng trục Ox A. 3x – 5y + 4 = 0 B. –3x + 5y + 4 = 0 C. 3x + 5y + 4 = 0 D. 5x + 3y – 4 = 0 Câu 6. Trong mặt phẳng Oxy, cho diểm M(2; 3). Phép đối xứng qua gốc tọa độ biến điểm M thành điểm N. Tìm tọa độ điểm N A. (–2; 3) B. (3; 2) C. (2; –3) D. (–2; –3) Câu 7. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d: x + 2y – 5 = 0, Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d lấy đối xứng qua gốc tọa độ A. x – 2y – 5 = 0 B. x – 2y + 5 = 0 C. x + 2y + 5 = 0 D. 2x + y – 5 = 0  Câu 8. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): (x – 5)² + (y – 4)² = 36. Phép tịnh tiến theo vectơ v = (1; 2) biến (C) thành (C’). Viết phương trình của đường tròn (C’) A. (x – 6)² + (y – 2)² = 36 B. (x – 4)² + (y – 2)² = 36 C. (x – 4)² + (y – 5)² = 36 D. (x – 6)² + (y – 6)² = 36 Câu 9. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): (x + 1)² + (y – 1)² = 4 và (C’): (x – 2)² + (y – 5)² = 4. Phép biến hình nào sau đây biến (C) thành (C’)  A. Phép tịnh tiến theo vector v = (–3; –4) B. Phép đối xứng trục Ox C. Phép đối xứng tâm M(1/2; 3) D. Phép vị tự tâm M(0; –1) tỉ số k = 2 Câu 10. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): (x – 1)² + (y – 3)² = 16. Phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua tâm I(0; 2) và phép quay Q(O; 90°) biến (C) thành (C 2). Viết phương trình của đường tròn (C2) A. (x – 1)² + (y – 1)² = 16 B. (x – 1)² + (y + 1)² = 16 C. (x + 1)² + (y – 1)² = 16 D. (x + 1)² + (y + 1)² = 16 Câu 11. Cho hình vuông ABCD. Gọi I là giao điểm của hai đường chéo. Thực hiện phép quay tâm I biến hình vuông ABCD thành chính nó. Số đo của góc quay dương nhỏ nhất có thể là A. 90° B. 45° C. 60° D. 30° Câu 12. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(–2; 4). Phép vị tự tâm O tỉ số k = –2 biến điểm M thành điểm N có tọa độ là A. (4; –8) B. (6; –12) C. (1; –2) D. (–1; 2) Câu 13. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d: 2x + y – 4 = 0. Viết phương trình của d’ là ảnh của d qua phép vị tự tâm O tỉ số k = –1/2 A. 2x + y – 2 = 0 B. 2x + y – 1 = 0 C. 2x + y + 2 = 0 D. 2x + y + 1 = 0 Câu 14. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): x² + y² – 2x + 4y – 11 = 0. Viết phương trình của (C’) là ảnh của (C) qua phép vị tự tâm I(–1; 0) tỉ số k = 2 A. x² + y² – 6x + 8y – 7 = 0 B. x² + y² – 6x + 8y – 39 = 0 C. x² + y² – 4x + 8y – 12 = 0 D. x² + y² – 4x + 8y – 44 = 0.

<span class='text_page_counter'>(21)</span> Câu 15. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): (x – 1)² + (y – 2)² = 4. Phép đồng dạng thực hiện liên  tiếp phép vị tự tâm O tỉ số k = –2 và phép tịnh tiến theo vectơ v = (5; 4) biến (C) thành (C’). Viết phương trình (C’) A. (x – 3)² + (y – 1)² = 16 B. (x + 3)² + y² = 8 C. (x – 3)² + y² = 16 D. (x + 3)² + (y – 1)² = 8 Câu 16. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d: x + y + 2 = 0. Phép đồng dạng thực hiện liên tiếp phép đối xứng tâm I(–1; 3) và phép đối xứng trục Ox biến d thành d’. Phương trình d’ là A. x + y – 6 = 0 B. x – y + 6 = 0 C. x + y + 6 = 0 D. x – y – 6 = 0 BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Vấn đề 1: Tìm giao TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) ta đi tìm hai điểm chung A; B của (P) và (Q). Khi đó (P) ∩ (Q) = AB. Bài 1. Cho tứ diện ABCD có E là trung điểm của AB. Hãy xác định giao tuyến của mặt phẳng (ECD) với các mặt phẳng (ABC); (ABD); (BCD); (ACD) Bài 2. Cho tứ diện SABC và một điểm I trên đoạn SA; d là đường thẳng trong (ABC) cắt AB; BC tại H; K. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (I, d) với các mặt phẳng sau: (SAB); (SAC); (SBC) Bài 3. Cho tứ giác lồi ABCD và điểm S không nằm trong mặt phẳng chứa tứ giác. Tìm giao tuyến của a. (SAC) và (SBD) b. (SAB) và (SCD) c. (SAD) và (SBC) Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi; M là điểm trên cạnh CD. Tìm giao tuyến của các mặt phẳng a. (SAM) và (SBD) b. (SBM) và (SAC) Bài 5. Cho tứ diện ABCD; M là điểm nằm trong ΔABC; N là điểm nằm trong ΔACD. Tìm giao tuyến của a. (AMN) và (BCD) b. (CMN) và (ABD) Bài 6. Cho tứ diện ABCD. M nằm trên AB sao cho AM = MB / 4; N nằm trên AC sao cho AN = 3NC; điểm I nằm trong ΔBCD. Tìm giao tuyến của: a. (MNI) và (BCD) b. (MNI) và (ABD) c. (MNI) và (ACD) Bài 7. Cho tứ diện ABCD; gọi I; H lần lượt là trung điểm của AD; BC. a. Tìm giao tuyến của: (IBC) và (HAD) b. M là điểm trên AB; N là điểm trên AC. Tìm giao tuyến của (IBC) và (DMN) Bài 8. Cho hai đường thẳng a; b trong mặt phẳng (P) và điểm S không thuộc (P). Hãy xác định giao tuyến của mặt phẳng chứa a và S với mặt phẳng chứa b và S. Bài 9. Cho tứ diện ABCD; trên AB; AC lần lượt lấy hai điểm M và N sao cho: AM / MB ≠ AN / NC. Tìm giao tuyến của (DMN) và (BCD). Bài 10. Trong mặt phẳng (P) cho hình thang ABCD có đáy là AB; CD; S là điểm nằm ngoài mặt phẳng hình thang. Tìm giao tuyến của a. (SAD) và (SBC) b. (SAC) và (SBD) Bài 11. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang hai đáy là AD; BC. Gọi M; N là trung điểm AB; CD và G là trọng tâm ΔSAD. Tìm giao tuyến của a. (GMN) và (SAC) b. (GMN) và (SBC) Bài 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD không phải hình thang. Tìm các giao tuyến a. (SAC) ∩ (SBD) b. (SAB) ∩ (SCD) c. (SAD) ∩ (SBC) VẤN ĐỀ 2: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG VÀ BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY Bài 1. Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến d. Trên (P) lấy hai điểm A; B nhưng không nằm trên d. O là điểm ở ngoài hai mặt phẳng. Các đường thẳng OA; OB lần lượt cắt (Q) tại A’; B’. AB cắt d tại C. Chứng minh A’, B’, C’ thẳng hàng. Bài 2. Trong không gian cho ba tia Ox; Oy; Oz không đồng phẳng. Trên Ox lấy A; A’; trên Oy lấy B; B’ trên Oz lấy C; C’ sao cho AB cắt A’B’ tại D; BC cắt B’C’ tại E; AC cắt A’C’ tại F. Chứng minh D; E; F thẳng hàng. Bài 3. Cho A; B; C không thẳng hàng ở ngoài mặt phẳng (P). Gọi M; N; P lần lượt là giao điểm AB; BC; AC với (P). Chứng minh M; N; P thẳng hàng. Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành; O là giao điểm hai đường chéo; M; N lần lượt là trung điểm SA; SD. Chứng minh ba đường thẳng SO; BN; CM đồng quy. Bài 5. Cho tứ diện ABCD. Mặt phẳng (P) không song song AB cắt AC; BC; AD; BD lần lượt tại M; N; R; S. Chứng minh AB; MN; RS đồng quy. Bài 6. Chứng minh trong một tứ diện các đường thẳng nối đỉnh với trọng tâm mặt đối diện đồng quy..

<span class='text_page_counter'>(22)</span> Bài 7. Cho tứ diện ABCD. Lấy hai điểm M, N lần lượt trên cạnh AB, AC sao cho MN không song song với BC. Dựng mặt phẳng (α) đi qua M, N sao cho (α) cắt CD, BD lần lượt tại H, G. a. Chứng minh rằng HG luôn đi qua một điểm cố định khi mặt phẳng (α) đi động nhưng M, N cố định. b. Tìm quỹ tích giao điểm I = MH ∩ NG. Vấn đề 3: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Bài 1. Cho tứ diện ABCD có M là trung điểm AB, N và P lần lượt là các điểm nằm trên AC, AD sao cho AN / AC = 3 / 4, AP / AD = 2 / 3. a. Tìm giao điểm MN với (BCD) b. Tìm giao điểm BD với (MNP) c. Gọi Q là trung điểm NP. Tìm giao điểm của MQ với (BCD) Bài 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi M; N lần lượt là trung điểm của AC; BC. Trên đoạn BD lấy P sao cho BP = 2PD. Tìm giao điểm của CD với (MNP) và của AD với (MNP) Bài 3. Cho hình chóp S.ABC có O là điểm trong ΔABC; D và E là các điểm năm trên SB; SC. Tìm giao điểm của DE với (SAO) và của SO với (ADE) Bài 4. Cho tứ diện SABC. I; H lần lượt là trung điểm SA; AB. Trên đoạn SC lấy điểm K sao cho CK = 3KS. a. Tìm giao điểm của đường thẳng BC với (IHK). b. Gọi M là trung điểm HI. Tìm giao điểm của đường thẳng KM với (ABC). Bài 5. Cho hình chóp SABCD đáy là hình thang ABCD đáy lớn AB. I; H; K là ba điểm trên SA; SB; SC. Tìm giao điểm IK và (SBD); giao điểm (IHK) và SD; SC. Bài 6. Gọi I; H lần lượt là hai điểm nằm trong ΔABC; ΔABD của tứ diện ABCD. M là điểm tuỳ ý trên CD. Tìm giao điểm IH và mặt phẳng (AMB) Bài 7. Hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành ABCD. M là trung điểm SD a. Tìm giao điểm I của BM và (SAC). Chứng minh: BI = 2IM. b. Tìm giao điểm H của của SA và (BCM). Chứng minh H là trung điểm SA. c. N là điểm tùy ý trên BC. Tìm giao điểm của MN với (SAC). Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, SC. a. Xác định I = AN ∩ (SBD) và K = MN ∩ (SBD) b. Tính các tỉ số IN/IA; KM/KN; IB/IK Bài 9. Cho hình chóp S.ABC. Gọi I, H lần lượt là trung điểm của SA, AB. Trên đoạn SC lấy điểm K sao cho CK = 3KS. a. Tìm giao điểm của BC và mặt phẳng (IHK). b. Gọi M là trung điểm của IH. Tìm giao điểm của KM và mặt phẳng (ABC) Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Một mặt phẳng (P) lần lượt cắt các cạnh SA, SB, SC tại A’, B’, C’. a. Dựng giao điểm D của mặt phẳng (P) với SD. b. Gọi I là giao điểm của A’C’ và SO. Chứng minh rằng SA/SA’ + SC/SC’ = 2SO/SI. c. Chứng minh SA/SA’ + SC/SC’ = SB/SB’ + SD/SD’. Vấn đề 4: THIẾT DIỆN TẠO BỞI MẶT PHẲNG VỚI KHỐI ĐA DIỆN Bài 1. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi M; N; P lần lượt là trung điểm của AA’; AD; DC. Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNP) với hình lập phương. Bài 2. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M; N; P lần lượt là trung điểm DC; AD; BB’. Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNP) với hình hộp. Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E; F; K lần lượt là trung điểm của SA; AB; BC. Xác định thiết diện của hình chóp và mặt phẳng đi qua ba điểm E; F; K. Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi A’; B’; C’ lần lượt là các điểm nằm trên SA; SB; SC. Xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng (A’B’C’) với hình chóp. Bài 5. Cho tứ diện ABCD; điểm I nằm trên BD và ở ngoài BD sao cho ID = 3IB; M; N là hai điểm thuộc cạnh AD; DC sao cho 2MA = MD; 2ND = NC. a. Tìm giao tuyến PQ của (IMN) với (ABC). b. Xác dịnh thiết diện tạo bởi (IMN) với tứ diện. c. Chứng minh MN; PQ; AC đồng qui. Bài 6. Cho tứ diện ABCD; điểm I; H lần lượt là trọng tâm ΔABC; ΔDBC; M là trung điểm AD. Tìm tiết diện tạo bởi (MHI) và tứ diện..

<span class='text_page_counter'>(23)</span> Bài 7. Cho hình chóp S.ABCDE. Lấy ba điểm M; N; K lần lượt trên SA; BC; SD. Xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNK) với hình chóp. Bài 8. Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang với AB là đáy. Gọi M; N là trung điểm SB; SC. a. Tìm giao tuyến của (SAD) và (SBC). b. Tìm giao điểm của SD với mặt phẳng (AMN). c. Tìm tiết diện tạo bởi mặt phẳng (AMN) với hình chóp Bài 9. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm SC. a. Tìm giao điểm I của AM với (SBD). Chứng minh IA = 2IM. b. Tìm giao điểm F của SD với (AMB). Chứng minh F là trung điểm SD. c. Xác định hình dạng tiết diện tạo bởi (AMB) với hình chóp d. Gọi N là một điểm trên cạnh AB. Tìm giao điểm của MN với (SBD). Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M; N; P lần lượt là trung điểm SB; SD; OC. a. Tìm giao tuyến của (MNP) với (SAC). b. Dựng thiết diện của (MNP) với hình chóp. c. Tính tỉ số mà (MNP) chia cạnh SA; BC; CD. Bài 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành; gọi M là trung điểm SB; G là trọng tâm ΔSAD a. Tìm giao điểm I của GM với (ABCD). b. Chứng minh (CGM) chứa đường thẳng CD và (CGM) đi qua trung điểm SA. c. Dựng thiết diện của (CGM) với hình chóp. Bài 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi I; H lần lượt là trọng tâm của ΔSAB và ΔSAD. a. Tìm giao điểm của HI với (SAC). b. Dựng thiết diện tạo bởi (HIO) với hình chóp. Bài 13. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi I; M; N là ba điểm trên SA; AB; CD. a. Tìm giao tuyến của (SAN) và (SDM). b. Hãy xác định thiết diện tạo bởi (IMN) với hình chóp. Bài 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi F là trung điểm CD; E là điểm trên cạnh SC sao cho SE = 2EC. Tìm tiết diện tạo bởi (AEF) với hình chóp. Bài 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD không phải hình thang. Gọi F là trung điểm SC; E là điểm trên cạnh BC sao cho BE = 2EC. a. Tìm tiết diện tạo bởi mặt phẳng (AEF) với hình chóp. b. Tìm giao điểm của SB với mặt phẳng (AEF). Bài 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi H, K lần lượt là trung điểm các cạnh CB, CD. Gọi M là điểm trên cạnh SA. Dựng thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MHK) và hình chóp. Vấn đề 5: HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VÀ ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG Bài 1. Cho tứ diện ABCD có I, H lần lượt là trọng tâm ΔABC, ΔABD. Chứng minh rằng IH // CD Bài 2. Cho hình chóp S. ABCD có đáy hình thang đáy lớn AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm SA, SB. a. Chứng minh rằng: MN // CD b. Tìm giao điểm P của SC và (AND) c. AN cắt DP tại I . Chứng minh rằng: SI // AB // CD. Tứ giác SABI là hình gì? Bài 3. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình bình hành, có M, N, P, Q lần lượt nằm trên BC, SC, SD, AD sao cho MN // SB, NP // CD, MQ // CD. a. Chứng minh rằng: PQ // SA b. Gọi K là giao điểm MN và PQ. Chứng minh rằng: SK // AD // BC Bài 4. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình bình bình hành. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm BC, CD, SB, SD. a. Chứng minh rằng: MN // PQ b. Gọi I là trọng tâm ΔABC, H thuộc SA sao cho HA = 2HS. Chứng minh IH // SM Bài 5. Cho hình chóp S. ABCD đáy là hình bình hành. a. Tìm giao tuyến của (SAD) & (SBC); (SAB) & (SCD) b. Lấy M thuộc SC. Tìm giao điểm N của SD và (ABM). Tứ giác ABMN là hình gì? Bài 6. Cho hình chóp S. ABCD đáy là hình bình hành. Gọi M, H, K lần lượt là trung điểm AD, SA, SB. a. Tìm giao tuyến d của (SAD) và (SBC) b. Tìm giao tuyến của (SCD) và (MHK).

<span class='text_page_counter'>(24)</span> c. Tìm giao điểm N của BC và (MHK). Tứ giác MHKN là hình gì? Bài 7. Cho hình chóp S. ABCD đáy là hình thang (AB đáy lớn). Gọi I, H, K là trung điểm AD, BC, SB. a. Tìm giao tuyến của (SAB) và (SCD); (SCD) và (IHK) b. Tìm các giao điểm M = SD ∩ (IHK); N = SA ∩ (IHK) c. Xác định thiết diện của hình chóp tạo bởi (IHK). Thiết diện là hình gì? Bài 8. Cho hình chóp S. ABCD, đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P là trung điểm SB, BC, SD a. Tìm giao tuyến của (SCD) và (MNP) b. Tìm giao điểm của CD và (MNP), của AB và (MNP) c. Tìm giao tuyến của (SAC) và (MNP), suy ra thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP). Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD, có ABCD là hình thang với hai đáy AD và BC (AD > BC). Gọi M, E, F là trung điểm AB, SA, SD. a. Tìm giao tuyến (MEF) và (ABCD). b. Tìm giao điểm BC và (MEF) c. Tìm giao điểm SC và (MEF) d. Gọi O = AC ∩ BD. Tìm giao điểm SO và (MEF). Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm OB, SO, BC. a. Tìm giao tuyến (NPO) và (SCD); (SAB) và (AMN) b. Tìm giao điểm E của SA và (MNP) c. Chứng minh rằng: ME // PN d. Tìm giao điểm MN và (SCD) và xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng (MNP) Bài 11. Cho hình chóp S.ABC. Gọi M, N, P là trung điểm AB, BC, SC. Cho SB = AC. a. Tìm giao điểm E của SA và (MNP) b. Chứng minh NP // ME // SB. Tứ giác MNPE là hình gì? c. Tìm giao tuyến (ANP) và (SMC) d. Tìm giao điểm SM và (ANP) Bài 12. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P là trung điểm SB, SD, OD. a. Tìm giao điểm I của BC và (AMN); tìm giao điểm H của CD và (AMN) b. Tìm giao điểm K của SA và (CMN) c. Tìm giao tuyến của (NPK) và (SAC) d. Tìm giao điểm của SC và (NPK). Tìm thiết diện của hình chóp tạo bởi mặt phẳng (AMN) Bài 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của SA, SB. Trên cạnh SC lấy điểm M. Chứng minh HK // CD. Dựng thiết diện của hình chóp tạo bởi (MHK). Bài 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi. Gọi M, N lần lượt là trọng tâm của tam giác SAB và SAD. Gọi E là trung điểm của BC. a. Chứng minh MN//BD b. Dựng thiết diện của hình chóp và mặt phẳng (MNE) c. Gọi H, K lần lượt là giao điểm của (MNE) với SB, SD. Chứng minh rằng LH//BD. Bài 15. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm AB, CD, SA. a. Chứng minh MN // (SBC); MN // (SAD). b. Chứng minh SB // (MNP); SC // (MNP). Bài 16. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm ΔABD, M thuộc BC sao cho MB = 2 MC. Chứng minh rằng: MG // (ACD) Bài 17. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi I, H lần lượt là trung điểm của BC, SC. Lấy điểm K thuộc SD sao cho 2SK = KD. a. Chứng minh OH // (SAD), OH // (SAB) b. Chứng minh IO // (SCD), IH // (SBD) c. Gọi M là giao điểm của AI và BD. Chứng minh rằng: MK // (SBC) Bài 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm SB, SO, OD. a. Chứng minh rằng: MN // (ABCD), MO // (SCD) b. Chứng minh rằng: NP // (SAD), NPOM là hình gì? c. Gọi I là điểm trên cạnh SD sao cho SD = 4 ID. Chứng minh rằng: PI // (SBC), PI // (SAD) Bài 19. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không đồng phẳng có tâm lần lượt là I và H. a. Chứng minh IH // (ADF) và IH // (BCE).

<span class='text_page_counter'>(25)</span> b. Gọi M, N lần lượt là trọng tâm ΔACE và ΔADF. Chứng minh rằng: MN // (CDEF) Bài 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là điểm di chuyển trên cạnh AB. Gọi (α) là mặt phẳng đi qua M và (α) song song với hai cạnh SA, AD. a. Dựng thiết diện của (α) với hình chóp S.ABCD. Chứng minh rằng thiết diện là hình thang. b. Tìm quỹ tích giao điểm hai cạnh bên của thiết diện khi M di chuyển trên cạnh AB. Bài 21. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AB. Gọi M là điểm trên cạnh BC, (α) là mặt phẳng đi qua M và song song với hai cạnh AB, SC. a. Tìm giao tuyến của (SAD) và (SBC). b. Dựng thiết diện của (α) và hình chóp S.ABCD. c. Chứng minh giao tuyến của (α) và (SAD) song song với SD. Bài 22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB. Gọi P là điểm di chuyển trên cạnh BC. a. Chứng minh rằng CD // (MNP) b. Dựng thiết diện của mặt phẳng (MNP) với hình chóp S.ABCD. Chứng minh rằng thiết diện là hình thang. c. Gọi I là giao điểm hai cạnh bên của thiết diện. Tìm quỹ tích của I. Vấn đề 6: HAI MẶT PHẲNG SONG SONG Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi H, I, K lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC. a. Chứng minh (HIK) // (ABCD). b. Gọi M là giao điểm của AI và KD, N là giao điểm của DH và CI. Chứng minh (SMN) // (HIK). Bài 2. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. a. Chứng minh (BA’D) // (B’D’C). b. Chứng minh AC’ qua trọng tâm G và G’ của tam giác A’BD và CB’D’. Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, CD. a. Chứng minh (OMN) // (SBC). b. Giả sử tam giác SAD, ABC đều cân tại A. Gọi AE, AF là các đường phân giác trong của tam giác ACD và SAB. Chứng minh EF // (SAD). Bài 4. Cho hai hình vuông ABCD, ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. Trên các đường chéo AC, BF lần lượt lấy các điểm M, N sao cho AM = BN. Các dường thẳng song song với AB vẽ từ M, N lần lượt cắt AD, AF tại M’, N’. a. Chứng minh (CBE) // (ADF). b. Chứng minh (DEF) // (MNN’). Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm SA, SD, AB, ON. a. Chứng minh (OMN) // (SBC). b. Chứng minh PQ // (SBC). Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P là trung điểm SA, CD, AD. a. Chứng minh rằng: (OMN) // (SBC) b. Gọi I là điểm trên MP. Chứng minh rằng: OI // (SCD) Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q là trung điểm BC, AB, SB, AD. a. Chứng minh (MNP) // (SAC) và PQ // (SCD) b. Gọi I là giao điểm AM và BD, H thuộc SA sao cho AH = 2HS. Chứng minh IH // (SBC) c. Gọi K thuộc AC. Tìm giao tuyến (SKM) và (MNP) Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, H, G, P, Q là trung điểm DC, AB, SB, BG, BI. a. Chứng minh (IHG) // (SAD) và PQ // (SAD). b. Tìm giao tuyến của (SAC) và (IHG); của (ACG) và (SAD) Bài 9. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không đồng phẳng. Gọi I, H, K lần lượt là trung điểm của AB, CD, EF. Chứng minh (ADF) // (BCE) và (DIK) // (HBE) Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I là trung điểm của SD. a. Tìm giao điểm K của BI và mặt phẳng (SAC) b. Trên IC lấy điểm H sao cho HC = 2HI. Chứng minh rằng KH//(SBC) c. Gọi N là điểm thuộc cạnh SI sao cho SN = 2NI. Chứng minh rằng (KHN)//(SBC). Vấn đề 7: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và hai mặt phẳng vuông góc Bài 1. Cho hình chóp S. ABC đáy là ABC vuông cân tại B, SA vuông góc với (ABC) a. Chứng minh rằng: các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông b. Kẻ đường cao AD của ΔSAB và đường cao AE của ΔSAC. Chứng minh rằng ΔADE vuông và SC vuông góc với DE..

<span class='text_page_counter'>(26)</span> Bài 2. Cho hình chóp S. ABCD đáy là hình vuông, SA vuông góc với (ABCD). a. Chứng minh rằng: BC vuông góc với (SAB) và CD vuông góc với (SAD) b. Chứng minh rằng: BD vuông góc với (SAC) c. Kẻ AE vuông góc với SB. Chứng minh rằng: SB vuông góc với (ADE) Bài 3. Cho hình chóp S. ABCD đáy là hình vuông, SA = SB = SC = SD. a. Chứng minh SO vuông góc với (ABCD) và BD vuông góc với (SAC) b. Gọi I là trung điểm AB. Chứng minh rằng: AB vuông góc với (SOI) c. Kẻ đường cao OH của SOI. Chứng minh rằng SA vuông góc với OH Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông tâm O cạnh a. SA vuông góc với (ABCD) và SA = a√3. a. Chứng minh mỗi mặt bên của hình chóp là tam giác vuông b. Tính góc giữa SD và (ABCD); SC và (SAD) c. Vẽ AH vuông góc với SB, AK vuông góc với SD. Chứng minh rằng: AH vuông góc với (SBC); SC vuông góc với (AHK) d. Chứng minh rằng: BD vuông góc với (SAC). Tính góc giữa SD và (SAC) Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thoi tâm O. Hai tam giác SAB và SAC vuông ở A, cho SA = a, AC = 2a√3 a. Chứng minh SA vuông góc với (ABCD) và BD vuông góc với SC. b. Vẽ AH là đường cao của SAO. Chứng minh rằng: AH vuông góc với (SBD) c. Tính góc giữa AO và (SBD). Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông tâm O, SO vuông góc với (ABCD), SO = a√3, AB = a√2. a. Chứng minh rằng: BD vuông góc với SA; AC vuông góc với SB b. Vẽ CI vuông góc với SD, OH vuông góc với SC. Chứng minh SD vuông góc với (ACI); SC vuông góc với (BDH) c. K là trung điểm SB. Chứng minh rằng: OK vuông góc với OI d. Tính góc giữa SA và (ABCD) Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông, SA vuông góc với (ABCD) a. Chứng minh rằng: (SAC) vuông góc với (SBD) b. Gọi BE, DF là đường cao ΔSBD. Chứng minh (AEF) vuông góc với (SAC) Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông tâm O cạnh a, SA = a, SA vuông góc với (ABCD) a. Chứng minh: (SBC) vuông góc với (SAB); (SCD) vuông góc với (SAD) b. Chứng minh rằng: (SAC) vuông góc với (SBD) c. Gọi AI, AH là đường cao SAB, SAC. Chứng minh rằng: (SCD) vuông góc với (AIH) d. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) & (ABCD), (SBD) & (ABCD) Bài 9. Cho tứ diện ABCD, AD vuông góc với (ABC), DE là đường cao của ΔBCD a. Chứng minh rằng (ABC) vuông góc với (ADE) b. Vẽ đường cao BF và đường cao BK của ΔABC và ΔBCD. Chứng minh rằng (BFK) vuông góc với (BCD) Bài 10. Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. Gọi I, H lần lượt là trung điểm của AB, CD. Trên đường thẳng vuông góc với (ABCD) tại I lấy S. a. Chứng minh rằng: BC vuông góc với (SAB), CD vuông góc với (SIH) b. Chứng minh rằng: (SAD) vuông góc với (SBC), (SAB) vuông góc với (SIH) c. Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh rằng: (SIM) vuông góc với (SBD) d. Cho SI = a. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) Bài 11. Cho hình chóp đều S. ABCD, O là tâm ABCD. Gọi I là trung điểm AB, cho SA = a, AB = a. a. Chứng minh rằng: (SAC) vuông góc với (SBD), (SOI) vuông góc với (ABCD) b. Chứng minh rằng: (SIO) vuông góc với (SCD) c. Gọi OH là đường cao SOI. Chứng minh rằng: OH vuông góc với SB d. Gọi BK là đường cao SBC. Chứng minh rằng: (SCD) vuông góc với (BDK) e. Tính góc giữa mặt bên và mặt đáy. Bài 12. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình chữ nhật, (SAB) vuông góc với (ABCD). Cho AB = a, AD = a√2. a. Chứng minh rằng: SA vuông góc với (ABCD), (SAD) vuông góc với (SCD) b. Gọi AH là đường cao ΔSAB. Chứng minh rằng AH vuông góc với (SBC), (SBC) vuông góc với (AHC) c. Chứng minh rằng: DH vuông góc với SB d. Tính góc giữa (SAC) và (SAD).

<span class='text_page_counter'>(27)</span> Bài 13. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a tâm O, SA = a. Cho (SAB) vuông góc với (ABCD), (SAD) vuông góc với (ABCD). a. Chứng minh rằng: SA vuông góc với (ABCD), BD vuông góc với (SAC) b. Gọi AH, AK là đường cao. Chứng minh rằng: AH vuông góc với BD, AK vuông góc với (SCD) c. Chứng minh rằng: (SAC) vuông góc với (AHK) d. Tính góc giữa (SAC) và (SCD) Bài 14. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a tâm O, SA vuông góc với đáy, SA = a. a. Chứng minh: BD vuông góc với SC b. Tính các góc giữa SC và (ABCD); (SBD) và (ABCD) c. Tính góc giữa (SCD) & (ABCD). Tính diện tích hình chiếu của ΔSCD trên (ABCD) Vấn đề 8: Khoảng cách – diện tích – hình chiếu Bài 1. Cho tứ diện SABC, ΔABC vuông cân tại B, AC = SA = 2a và SA vuông góc với (ABC) a. Chứng minh rằng (SAB) vuông góc với (SBC) b. Tính diện tích của tam giác SBC và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) c. Gọi O là trung điểm của AC. Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC) Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a tâm O; SA vuông góc với (ABCD) và SA = 2a; vẽ BK vuông góc với SC tại K. a. Chứng minh rằng SC vuông góc với (DBK) b. Tính diện tích mỗi mặt bên của hình chóp S.ABCD c. Tính d(A, (SBC)); d(A, (SDC)); d(O, (SBC)) d. Tính d(BD, SC); d(AD, BK) Bài 3. Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bên bằng 2a, cạnh đáy bằng a. Gọi I, H lần lượt là trung điểm AB, CD. a. Chứng minh rằng (SIH) vuông góc với (SAB) b. Tính các khoảng cách từ O và I đến mặt phẳng (SCD) c. Tính d(SC, BD); d(AB, SD) Bài 4. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a, góc A = 60° và đường cao SO = a. Tính d(O, (SBC)) và d(AD, SB) Bài 5. Cho tam giác ABC đều cạnh a, nằm trong mặt phẳng (α). Trên đường vuông góc với (α) tại B, C; vẽ BD, CE sao cho CE = 2BD = a và D, E nằm cùng phía so với mặt phẳng (α). a. Chứng minh tam giác ADE vuông và tính diện tích tam giác ADE. b. Tìm góc tạo bởi hai mặt phẳng (ADE) và (α). Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a, góc BAD = 60°; SA = SB = SD = a√3. a. Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD). Chứng minh (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) b. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) Bài 7. Cho tam giác ABC đều cạnh a. Từ các đỉnh A, B, C vẽ các nửa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa ABC. Trên các nửa đường thẳng đó lần lượt lấy D, E, F sao cho AD = a, BE = 2a, CF = x. a. Tìm x để tam giác DEF vuông tại D. b. Với x vừa tìm được ở câu trên, tìm góc giữa (ABC) và (DEF). Bài 8. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = 2a, BC = a√(3), SA vuông góc với mặt đáy, SA = 2a. Gọi I là trung điểm của AB. a. Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp S.ABC đều là tam giác vuông b. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SIC) và (ABC) c. Gọi N là trung điểm của AC, tính khoảng cách từ N đến mặt phẳng (SBC). Bài 9. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại B, AB = BC = a và góc ABC = 120°. Biết hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy là trung điểm H của AC. Cạnh SB tạo với mặt đáy góc 60°. a. Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) b. Tính diện tích của ΔSAC Bài 10. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, BC = 2a, AB = a, SAB tạo với đáy góc 30°. Biết SA = SB = SC. Tính diện tích tam giác SBC. a. Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) b. Tính diện tích ΔSBC. c. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (ABC).

<span class='text_page_counter'>(28)</span>