bai tap ve duong tron

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Phần II. Đường tròn Bài 1: Cho tam giác ABC , chứng minh rằng chin điểm: - Trung điểm của ba cạnh - Chân các đường cao - Ba trung điểm của ba đoạn nối trực tâm với ba đỉnh cùng nằm trên một đường tròn (đường tròn Ơle) Bài 2: Ba đường tròn (O1 ), (O2 ), (O3 ) có bán kính bằng nhau và bằng R cùng cắt nhau tại O. gọi giao điểm thứ hai của từng cặp hai trong số ba đường tròn là A, B, C. Chứng minh rằng: a) Đường tròn đi qua ba điểm A, B, C có bán kính bằng R. b) Ba dường thẳng xác định bởi tâm của mỗi đường tròn này và giao điểm hai đường tròn kia cắt nhau tại một điểm. Bài 3: Trong một đường tròn (O) cho một điểm A khác O. Tìm trên đường tròn này . một điểm M sao cho AMO có số đo lớn nhất. Bài 4: Cho (O;R), một điểm M nằm trên đường tròn này; dựng điểm N sao cho MN  OM đồng thời MN có độ dài bằng a cho trước. a) Tìm tập hợp điểm N b) Tìm tập hợp chân đường vuông góc hạ từ M xuống ON c) Tìm hệ thức giữa a và R để cho đường tròn (O;R) là tập hợp trọng tâm của MON Bài 5: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O;R); H là trực tâm của tam giác ABC, M là trung điểm của BC Chứng minh: AH = 2OM Bài 6: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O;R). Gọi M, N, P lần lượt là các trung điểm của các cạnh BC, AC, AB. Vẽ các đường thẳng MM’, NN’, PP’ lần lượt song song với OA, OB, OC. Chứng minh MM’, NN’, PP’ đồng quy. Bài 7: Tam giác ABC nhọn nội tiếp (O;R); H là trực tâm, G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng H, G, O thẳng hang. Bài 8: tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O); M là trung điểm của cạnh BC; H là trực tâm của tam giác ABC; K là hình chiếu vuông góc của A trên BC. Tính độ dài AK và 1 OM HK  KM 4 diện tích tam giác ABC biết và AM = 30 cm.. Bài 9: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O’;R). AN và CK là các đường cao của tam giác ABC. Đường tròn đi qua ba điểm B, K, N cắt đường tròn (O’) tại điểm thứ hai là M. Gọi O là trung điểm của AC. Chứng minh rằng: OM  MB Bài 10: Cho đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh AB, AC tại D IM DM  và E. Cho M là điểm thuộc đoạn AD; Cm cắt DE tại I. Chứng minh rằng: IC CE. Bài 11: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Đoạn MN có độ dài thay đổi; M chạy trên AB; N chạy trên AD sao cho chu vi tam giác AMN không đổi bằng 2a. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ C xuống MN. Chứng minh H nằm trên một đường tròn cố định Bài 12: Từ điểm P nằm ngoài đường tròn (O;R) vẽ hai tiếp tuyến PA, PB với đường 2 tròn (A, B là hai tiếp điểm). Gọi H là chân đường vuông góc vẽ từ A đến đường kính BC của đường tròn. Chứng minh rằng: PC cắt AH tại trung điểm I của AH..

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Bài 13: Cho đường tròn (O;r) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC tại D; vẽ đường kính DE của đường tròn (O); AE cắt BC tại M. Chứng minh: BD = CM Bài 14: Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC tại D; đường tròn (I) là đường tròn bang tiếp trong góc A của tam giác ABC vá tiếp xúc với cạnh BC tại F. Vẽ đường kính DE của đường tròn (O). Chứng minh rằng: ba điểm A, E, F thẳng hàng Bài 15: Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC tại D; đường tròn (I) là đường tròn bang tiếp trong góc A của tam giác ABC vá tiếp xúc với cạnh BC tại F. Gọi K và R lần lượt là trung điểm của các đoạn AD và DF. Chứng minh rằng: ba điểm K, O, R thẳng hàng Bài 16: tam giác ABC nhọn, O là trung điểm của BC. Dựng đường tròn tâm O đường kính BC, vẽ đường cao AD của tam giác ABC và các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O), M, N là các tiếp điểm. Gọi E là giao điểm của MN với AD. Chứng minh: AE . AD = AM2 Bài 17: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) đường kính AC. Trên tia AB lấy điểm D sao cho AD = 3AB. Đường thẳng Dy vuông góc với DC tại D cắt tiếp tuyến Ax của đường tròn (O) tại E. Chứng minh rằng: tam giác BDE cân. Bài 18: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, C là một điểm thuộc nửa đường tròn. Qua C kẻ tiếp tuyến d với nửa đường tròn. Kẻ các tia Ax và By song song với nhau cắt d theo thứ tự tại D và E. CMR: AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính DE Bài 19: Cho tam giác ABC cân tại A có số đo góc A bằng  , đường cao AH = h, vẽ đường tròn (A;h), một tiếp tuyến bất kì khác BC của đường tròn (A) cắt các tia AB, AC tại các điểm lần lượt là B’ và C’. a) CMR: diện tích tam giác ABC nhỏ hơn diện tích tam giác AB’C’ b) Trong các tam giác có một góc bằng  , đường cao hạ từ đỉnh của góc này xuống cạnh đối diện bằng h. tam giác nào có diện tích nhỏ nhất. Bài 20: Tìm tất cả bộ ba số tự nhiên a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác nội tiếp đường tròn đường kính 6,25. Bài 21: Một đường thẳng chia một tam giác thành hai phần có diện tích bằng nhau và chu vi bằng nhau. CMR: tâm đường tròn nội tiếp tam giác nằm trên đường thẳng ấy. Bài 22: Đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC, tiếp xúc với AB tại D. Tính số do góc C biết: AC . BC = 2AD . DB Bài 23: Tam giác ABC có chu vi bằng 80 cm ngoại tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến của đường tròn (O) song song với BC cắt AB, AC theo thứ tự tại M và N. a) Biết MN = 9,6 cm. Tính BC b) Biết AC – AB = 6 cm. Tính AB, AC, BC để MN có giá trị lớn nhất Bài 24: Cho tam giác ABC có đường tròn (I) là đường tròn nội tiếp. Đường thẳng vuông góc với CI tại I cắt AC, BC lần lượt tại M và N. CMR: a) AM . BN = IM2 = IN2 IA2 IB 2 IC 2   1 b) bc ca ab. (a=BC, b=AC, c=AB) Bài 25: Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O). Các tiếp tuyến của đường tròn song song với các cạnh của tam giác cắt các cạnh của tam giác tại các điểm M, N, P, Q, R, S (MN//BC; RS//AC; PG//AB; M, S  AB; N, P  AC) a) CMR: MN = RQ; SM = PQ; RS = NP và MQ, NR, PS cùng đi qua một điểm.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> b) Gọi r1 , r2 , r3 , r lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp các tam giác AMN, BRS, CPQ, ABC. Chứng minh rằng: r r1  r2  r3 c) Gọi S1, S2, S3, S lần lượt là diện tích của các tam giác AMN, BRS, CPQ, ABC. S1  S2  S3 S Tìm giá trị nhỏ nhất của tỉ số: khi đường tròn (O) cố định, tam giác. ABC có ba đỉnh thay đổi Bài 26: Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I;r); các bán kính của ba đường tròn bàng tiếp là ra , rb , rc . Chứng minh: ra  rb  rc 9 r. Bài 27: Cho tam giác ABC vuông tại A, r là bán kính đường tròn nội tiếp; BC = a. a 2( 2  1) r. Chứng minh: Bài 28: Đường tròn (O) nội tiếp tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC tại M, N, P, gọi p là nửa chu vi tam giác ABC. Xác định góc của tam giác ABC biết: AP 2009 BM 2009 CN 2009   p PB 2008 MC 2008 NA2008. Bài 29: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi (O;r), (O 1;r1), (O2;r2) theo thứ tự là đường tròn nội tiếp tam giác ABC, tam giác BAH, tam giác ACH. a) CMR: AH = r + r1 + r2 b) Chứng minh: r2 = r12 + r22 c) Tính O1O2 biết AB = 3 cm, AC = 4 cm d) Chứng minh: AH2 = r1p2 + r2p1 (p1 và p2 lần lượt là nửa chu vi của các tam giác AHB và AHC) Bài 30: Cho nửa đường tròn (O) đường kính BC. A là điểm di động trên nửa đường tròn, vẽ AH vuông góc với BC tại H. Các đường tròn (I;r), (I 1;r1), (I2;r2) là các đường tròn nội tiếp tam giác ABC, tam giác HAB, tam giác HAC. Tìm vị trí của A để: a) r + r1 + r2 lớn nhất b) Độ dài I1I2 lớn nhất Bài 31: Cho tam giác ABC cân tại A. Một đường tròn tiếp xúc trong với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và tiếp xúc với các cạnh AB, AC lần lượt tại các điểm P và Q. CMR: Trung điểm của PQ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Bài 32: Gọi R và r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác cân ABC. Chứng minh rằng: Khoảng cách giữa hai tâm đường tròn bằng R( R  2r ) Bài 33: Cho tam giác ABC có trọng tâm G nằm trong đường tròn nội tiếp tam giác. CMR: Max{a2; b2; c2} < 4.min{bc, ca, ab}. Trong ddos a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác Bài 34: Cho đường tròn (O; r) nội tiếp tam giác ABC. Đường thẳng qua O cắt hai cạnh CA và CB của tam giác ABC tại M và N. Đường thẳng MN ở vị trí nao thì diện tich tam giác CMN nhỏ nhất. Bài 35: Cho góc xOy có số đo bằng 90 0. Đường tròn (I; r) tiếp xúc với hai cạnh của góc tại M và N. Một đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (I) và cắt hai cạnh Ox, Oy của góc tại A và B. Xác định vị trí của d để diện tích tam giác AOB nhỏ nhất (d tiếp xúc với (I) sao cho tiếp điểm thuộc cung lớn MN).

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Bài 36: Hai đường tròn có bán kính R và r (R > r) tiếp xúc trong với nhau. Xác định bán kính của đường tròn thứ ba tiếp xúc với hai đường tròn đã cho đồng thời tiếp xúc với đường nối tâm của hai đường tròn ấy. Bài 37: Cho hai đường tròn đồng tâm bán kính R và r (R > r). Tìm hai cạnh của hình vuông có hai đỉnh nằm trên đường tròn bán kính r và hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn bán kính R. Tìm tỷ số giữa R và r để bài toán giải được. Bài 38: Chu vi của hình bình hành ABCD (AD > AB) bằng 26, góc ABC bằng 120 0. Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác BCD bằng 3 . Tìm cạnh của hình bình hành..

<span class='text_page_counter'>(5)</span>