Sang kien kinh nghiem Toan THCS

<span class='text_page_counter'>(1)</span>SKKN. Giải một số bài toán về số học và đại số ở bậc THCS bằng MTCT. Phần I:. MỞ ĐẦU. I) LÝ DO CHON ĐỀ TÀI: .  .  . . . . . Cùng với việc đổi mới phương pháp dạy học(PPDH) nhằm mục đích nâng cao chất lượng dạy học và kích thích ham muốn học hỏi tìm tòi khám phá trong học tập và áp dụng vào trong thực tế cuộc sống, việc hướng dẫn học sinh trung học cơ sở(THCS) nói riêng và học sinh nói chung sử dụng máy tính bỏ túi để hỗ trợ tính toán là việc làm cần thiết trong dạy học. Do tính hữu dụng và thiết thực của máy tính bỏ túi(MTBT) và điều kiện kinh tế xã hội cho phép, hoạt động ngoại khoá toán học nói chung và ngoại khoá MTBT nói riêng trong các nhà trường nhằm mục đích : Mở rộng và nâng cao phần tri thức về MTBT của học sinh đã được học ở tiểu học. Phát triển tư duy thuật toán ở HS, hợp lí hoá và tối ưu hoá các thao tác, hỗ trợ đoán nhận kết quả bằng các phép thử, để kiểm tra nhanh kết quả tính toán theo hướng hình thành các phẩm chất của người lao động có kĩ năng tính toán. Tạo ra môi trường và điều kiện cho hoạt động ngoại khoá toán phong phú ở bậc học THCS và THPT. “…Với máy tính điện tử, một dạng đề thi học sinh giỏi toán mới xuất hiện: kết hợp hữu cơ giữa suy luận toán học với tính toán trên máy tính điện tử. Có những bài toán khó không những chỉ đòi hỏi phải nắm vững các kiến thức toán (lí thuyết đồng dư, chia hết, …) và sáng tạo (cách giải độc đáo, suy luận đặc biệt, …), mà trong quá trình giải còn phải xét và loại trừ nhiều trường hợp. Nếu không dùng máy tính thì thời gian làm bài sẽ rất lâu. Như vậy máy tính điện tử đẩy nhanh tốc độ làm bài, do đó các dạng toán này rất thích hợp trong các kỳ thi học sinh giỏi toán kết hợp với máy tính điện tử”. Trong những năm qua việc sử dụng máy tính cầm tay(MTCT) được sử dụng rộng rãi trong học tập, thi cử . Nó giúp cho học sinh rất nhiều trong việc tính toán và những bài tập không thể giải bằng tay. Một trong những dạng bài tập ở trong chương trình THCS có thể dùng MTCT để giải là “các bài toán về số học vả đại số ” mà hầu hết các cuộc thi giải toán trên MTCT đều có cấu trúc chiếm tỉ lệ từ 70% trở lên trong đề . Đồng thời cũng là hai môn học cơ bản của toán học. Trong thực tế, khi bồi dưỡng các em trong đội tuyển của trường, sử dụng MTCT để dạy về giải “Một số bài toán về số học và đại số” thì phần lớn các em nắm được kiến thức nhưng sau đó việc vận dụng ,cũng như kĩ năng trình bày bài giải chưa hợp lý, chính xác. Vì vậy tôi nhận thấy giúp cho các em học sinh có kĩ năng sử dụng MTCT để giải các bài toán nói chung và về số học và đại số nói riêng một cách thành thạo và chính xác là hết sức cần thiết . Làm thế nào để cho học sinh nắm được cách giải các bài toán liên quan . Đặc biệt là các đề thi giải toán bằng MTCT đã và đang diễn ra hầu hết các tỉnh thành trong cả nước. Do đó tôi chọn đề tài:“Giải một số bài toán về số học và đại số ở bậc THCS bằng MTCT ”. II)NHIỆM VỤ ĐỀ TÀI: Nhiệm vụ chính: Đề tài này nghiên cứu với một mục đích duy nhất là nhằm trang bị cho HS những kĩ năng cơ bản cần thiết để các em có thể sử dụng thành thạo MTBT hỗ trợ cho việc học toán và các môn học khác. Nâng cao hiệu quả hướng dẫn học sinh sử dụng MTCT để giải các bài toán số học, đại số và các bài toán liện quan khác. Đối với giáo viên: Levanbinh. -1–.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> SKKN. Giải một số bài toán về số học và đại số ở bậc THCS bằng MTCT. Có được nội dung ôn tập cho học sinh khi lồng ghép các tiết giảng dạy với sự hỗ trợ của MTCT và đặc biệt cho đội tuyển đạt hiệu quả hơn. Định hướng được các dạng toán cũng như các phương pháp giải các bài toán về đa thức bằng MTCT. Đối với học sinh: Nắm được cơ sở lý luận của phương pháp giải các bài toán về số học và đại số. Vận dụng linh hoạt, có kĩ năng thành thạo. III)PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH:  Đan xen việc giải toán trên MTCT trong các tiết dạy( đưa thêm một số bài tập có số phức tạp,kết hợp nhiều phép tính,…)  Sinh hoạt ngoại khoá thực hành giải toán trên MTCT tại trường THCS Phước Hòa.( Theo kế hoạch đã được bộ phận chuyên môn nhà trường duyệt)  Bồi dưỡng đội tuyển HSG giải toán trên MTCT của trường.  Bồi dưỡng đội tuyển HSG giải toán trên MTCT của Huyện.. IV)CƠ SỞ VÀ THỜI GIAN NGHIÊN CỨU: .     . Năm học 2009-2010 lại một năm nữa tôi được nhà trường phân công bồi dưỡng đội tuyển học sinh giải toán bằng . Bản thân cũng như các đồng nghiệp khác việc bồi dưỡng học sinh giải toán bằng MTCT các cấp là một vấn đề có nhiều trăn trở và khó khăn. Qua trao đổi và học hỏi một số đồng nghiệp như: Thầy Nguyễn Chơn Bộ, Nguyễn Thành Hưng, Võ Ngọc Phương, Nguyễn Kim Dũng, cô Bùi Thị Anh Thư… Đồng thời thông qua các buổi chuyên đề, bồi dưỡng chuyên môn, thao giảng của ngành tổ chức bản thân đã đúc kết một số kinh nghiệm giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi các cấp. Bản thân hình thành và thực hiện áp dụng đề tài này từ các lớp học tại trường THCS Phước Hòa. Học sinh trường THCS Phước Hòa.(học sinh ở các khối lớp) Học sinh trường THCS Phước Hòa.(học sinh được lựa chọn ở các khối 8,9 từ 10/2009 đến 11/2009). Đội tuyển HSG giải toán trên MTCT của trường THCS Phước Hòa( Từ 2/11/2009 đến 15/11/2009). Đội tuyển HSG giải toán trên MTCT của trường THCS Phước Hòa( Từ 10/2010 đến 1/2010). Tổng hợp và viết đề tài từ năm tháng 09/2010-11/2010.. Levanbinh. -2–.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> SKKN. Giải một số bài toán về số học và đại số ở bậc THCS bằng MTCT. Phần II:. KẾT QUẢ.. A-MÔ TẢ TÌNH TRẠNG SỰ VIỆC HIỆN TẠI: Học sinh không biết giải các bài toán bằng MTCT như thế nào. Nhìn chung số em giải được là nhờ tham khảo đáp án, chưa đưa ra được hướng giải chung cho dạng bài tập này.  Trong thực tế khi giảng dạy cho HS một số các bài toán đòi hỏi phải có kĩ năng tính toán hoặc suy luận ở mức độ cao và yêu hoàn thành trong khuôn khổ thời gian hạn hẹp thì phần lớn HS thường có tâm lí căng thẳng hoặc không có hứng thú học tập, bởi lí do là các em ngại tính toán. Vì vậy để giúp HS tính toán nhanh và đơn giản hơn và đỡ lãng phí tốn thời gian đồng thời kích thích sự tập trung cao độ của HS vào việc giải toán ta nên hướng dẫn HS cách sử dụng MTBT hỗ trợ các hoạt động tính toán trong khi học. Thống kê việc sử dụng MTCT ở trường THCS Phước Hòa trong năm học 2008 – 2009 khi chưa thực hiện đề tài: BIẾT SỬ DỤNG MTCT CHƯA BIẾT SỬ DỤNG MTCT LỚP SL SL TL SL TL 7 60 10 16,7% 50 83,3% 8 80 20 25% 60 75% 9 180 46 25,6% 134 74,4%  . Thống kê việc sử dụng MTCT ở trường THCS Phước Hòa trong năm học 2009 – 2010 khi thực hiện đề tài qua 1 năm: BIẾT SỬ DỤNG MTCT CHƯA BIẾT SỬ DỤNG MTCT LỚP SL SL TL SL TL 8 80 51 63,75% 29 36,25% 9 180 112 62,22% 68 37,78% Thống kê việc sử dụng MTCT ở trường THCS Phước Hòa trong năm học 2010 – 2011 khi thực hiện đề tài qua 2 năm: BIẾT SỬ DỤNG MTCT CHƯA BIẾT SỬ DỤNG MTCT LỚP SL SL TL SL TL 9 180 167 92,77% 13 7,23%. B - NỘI DUNG VÀ GIẢI PHÁP: I/ MÔ TẢ PHƯƠNG PHÁP : A/ GIỚI THIỆU: - Các loại máy được sử dụng hiện nay ở trường phổ thông hầu hết là dòng máy casio fx: 500MS,500ES;500VN-Plus;570MS;570ES. - Tuỳ theo cách sử dụng nhưng nhìn chung có hai cách cơ bản dành cho hai dòng máy:500ES;500VN-Plus;570ES và 500MS,570MS nhưng đối với dòng máy 500ES;500VNPlus;570ES thì việc nhập dữ liệu vào máy cũng như kết quả truy xuất hiển thị giống như phép toán ở sách giáo khoa. - Các phím chức năng , các hàm cơ bản được bố trí dưới dạng hiển thị menu rất thông dụng - Trong phạm vi của đề tài này chúng ta xem như học sinh đã biết cách sử dụng MTCT. B.HƯỚNG DẪN HỌC SINH SỬ DỤNG MÁY TÍNH : Levanbinh. -3–.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> SKKN. Giải một số bài toán về số học và đại số ở bậc THCS bằng MTCT. I/ HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI CÁC BÀI TOÁN SỐ HỌC Ở THCS: DẠNG 1: TÌM ƯỚC VÀ BỘI CỦA MỘT SỐ: 1-Tìm ước của một số a: Phương pháp: Gán: A = 0 rồi nhập biểu thức A=A+1: a ÷ A Ấn nhiều lần phím  . Gán:. 0 Shift STO A. Nhập:. Alpha A Alpha  Alpha A  1 Alpha : a  Alpha A. ấn nhiều lần dấu  VD : giả sử A = Ư(120) . Các khẳng định nào sau đây là đúng : a,7  A; b,15  A; c,30  A. Giải: ấn 120  1 = Kết quả : 120 ( đúng ) Chỉnh lại thành 120  2 = Kết quả : 60 ( đúng ) Chỉnh lại thành 120  3 = Kết quả : 40 ( đúng) Chỉnh lại thành 120  4 = Kết quả : 30 ( đúng) Chỉnh lại thành 120  5 = Kết quả : 24 ( đúng) Chỉnh lại thành 120  6 = Kết quả : 20 ( đúng) Chỉnh lại thành 120  7 = Kết quả : 17,1429 ( sai) Chỉnh lại thành 120  8 = Kết quả :15 ( đúng) Chỉnh lại thành 120  9 = Kết quả : 13,3333 ( sai) Chỉnh lại thành 120  10 = Kết quả : 12 ( đúng) Chỉnh lại thành 120  11 = Kết quả : 10,909 ( sai) Chỉnh lại thành 120  12 = Kết quả : 10 ( đúng) Ta thấy : 10,909 < 11 nên ngừng ấn Vậy kết quả là Ư(120) = {2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60 } Kết quả trả lời câu hỏi ở đầu bài : a, sai b, đúng c, sai 2- Tìm bội của b: Phương pháp: Gán: A = -1 rồi nhập biểu thức A=A+1: a X A Ấn nhiều lần phím  . Ví dụ : Tìm tập hợp các bội của 7 nhỏ hơn 100 Ta gán: A = -1 Ấn nhiều lần phím  0;7;14; 21; 28;35; 42; 49;56;63;70;77;84;91;98.  Ta có: B =  3-Kiểm tra số nguyên tố: * Với nguyên tắc mọi số nguyên tố đều là số lẻ Và một số không chia hết cho thừa số nguyên tố nào là số nguyên tố Cách 1: (-1)  A A + 2  A:(Số cần xđ) ÷ A bấm = cho đến số cần dừng, nếu kết quả không là số nguyên thì số đó không phải là nguyên tố. Levanbinh. -4–.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> SKKN. Giải một số bài toán về số học và đại số ở bậc THCS bằng MTCT. Cách 2: Gán số đó vào B; Tính B = ….. (điểm dừng) B÷3= B ÷ (B ÷ Ans + 2) = … đến điểm dừng Ví dụ: Số 647 là số nguyên tố không? (-1)  A A + 2  A:647 ÷ A bấm = ….. đến A = 25 thì thương là 23,9….. Vậy 647 không chia hết cho A => 647 là số nguyên tố Ví dụ : Xét xem 10007 nguyên tố hay hợp số? 10007  B B = 100, 034…. B÷3= B ÷ (B ÷ Ans + 2) = … đến điểm dừng Ví dụ: Xét xem 8191 là số nguyên tố hay hợp số? Quan sát các kết quả ta thấy đều không nguyên, cho nên khẳng định 8191 là số nguyên tố. Ví dụ: Xét xem 99 873 là số nguyên tố hay hợp số? Quan sát màn hình thấy có kết quả nguyên là 441, cho nên khẳng định 99 873 là hợp số. Bài tập: Số nào sau đây là số nguyên tố: 403; 569; 1361; 1363 (ĐS: 569 và 1361) DẠNG 2: TÌM SỐ DƯ CỦA PHÉP CHIA CỦA SỐ A CHO SỐ B. 1-Đối với số bị chia tối đa 10 chữ số: A  A  Bx Số dư B phần nguyên của (A chia cho B ) Cách ấn: A  B  màn hình hiện kết quả số thập phân. Đưa con trỏ lên biểu thức sửa lại A  B X phần nguyên của A chia cho B và ấn  . VD : Tìm số dư của phép chia 9124565217  123456 Ta có : 9124565217  123456 = 73909,……………. Tiếp theo ta ấn 9124565217 – 123456  73909 = 55713. Vậy R = 55713 2- khi số bị chia A lớn hơn 10 chữ số : Nếu số bị chia A là số bình thường lớn hơn 10 chữ số. Ta ngắt ra thành nhóm đầu 9 chữ số ( kể từ bân trái ). Ta tìm số dư như phần a). rồi viết tiếp sau số dư còn lại là tối đa 9 chữ số rồi tìm số dư lần hai. Nếu còn nữa thì liên tiếp như vậy. VD: Tìm dư trong phép chia 2345678901234  4567 + 234567890  4567 dư 2203  + 22031234 4567 dư 26 4 Ta có: 2345678901234  4567 = ( 234567890  10 + 2201234)  4567  (2203  10 4 + 26)  4567 = 482,379…….. 4 (2203  10 + 26) - 4567  482 = 1732 Vậy dư là 1732 3- Tìm số dư của số bị chia được cho bằng dạng lũy thừa quá lớn: ta dùng phép đồng dư theo công thức sau : a m(mod p)   b n(mod p) Levanbinh. a.b m.n(mod p )  c c a m (mod p ) -5–.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> SKKN. Giải một số bài toán về số học và đại số ở bậc THCS bằng MTCT. Vd: Tìm dư của phép chia : 272002 : 13 Ta có : 27 1 ( mod 13 )  272002  12002 (mod 13)  1 ( mod 13 ) Vậy 272002 : 13 dư 1 * Khi sử dụng máy tính cần chú ý: khi thực hiện phép tính mà máy hiện kết quả là một số đủ 10 chữ số ( số nguyên ) thì phải lưu ý đó có thể là 10 chữ số của phần nguyên còn phần lẻ thập phân bị làm tròn số. DẠNG 3: TÌM ƯCLN, BCNN CỦA HAI SỐ: A. Phương pháp giải toán Bài toán 1: Tìm UCLN và BCNN của hai số nguyên dương A và B (A < B).. A B Thuật toán: Xét thương . Nếu: A 1. Thương B cho ra kết quả dưới dạng phân số tối giản hoặc cho ra kết quả dưới dạng số a thập phân mà có thể đưa về dạng phân số tối giản b (a. b là các số nguyên dương) thì:. ƯCLN(A, B) = A:a = B:b;. BCNN(A, B) = A.b = B.a. A 2. Thương B cho ra kết quả là số thập phân mà không thể đổi về dạng phân số tối giản A thì ta làm như sau: Tìm số dư của phép chia B . Giả sử số dư đó là R (R là số nguyên. dương nhỏ hơn A ) thì: ƯCLN (B, A) = ƯCLN(A, R) ( Chú ý: ƯCLN (B, A) = ƯCLN(A, B)) Đến đây ta quay về giải bài toán tìm ƯCLN của hai số A và R . R Tiếp tục xét thương A và làm theo từng bước như đã nêu trên.. Sau khi tìm được ƯCLN(A, B), ta tìm BCNN(A, B) bằng cách áp dụng đẳng thức: A.B ƯCLN(A.B).BCNN(A, B) = A.B => BCNN(A, B) = UCLN(A, B). Bài toán 2: Tìm ƯCLN và BCNN của ba số nguyên dương A, B và C. Thuật toán: 1. Để tìm ƯCLN(A,B,C) ta tìm ƯCLN(A, B) rồi tìm ƯCLN[ƯCLN(A,B), C] ... Điều này suy ra từ đẳng thức: ƯCLN(A,B,C) = ƯCLN[ƯCLN(A,B), C] = ƯCLN[ƯCLN(B, C), A] = = ƯCLN[ƯCLN(A, C), B] 2. Để tìm BCNN(A, B, C) ta làm tương tự. Ta cũng có: ƯCLN(A,B,C) = ƯCLN[ƯCLN(A,B), C] = ƯCLN[ƯCLN(B, C), A] = ƯCLN[ƯCLN(A, C), B] B. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tìm ƯCLN và BCNN của 220887 và 1697507 220887 2187 = Giải: Ta có: 1697507 16807 Suy ra:. ƯCLN(220887, 1697507) = 220887:2187 = 101; BCNN(220887, 1697507) = 220887.16807 = 3712447809 Ví dụ 2: Tìm ƯCLN và BCNN của 3995649 và 15859395 Levanbinh. -6–.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> SKKN. Giải một số bài toán về số học và đại số ở bậc THCS bằng MTCT. 3995649 = 0,2519424 Giải: Ta có: 15859395. Ta không thể đưa số thập phân này về dạng phân số tối giản được. Vậy ta phải dùng phương pháp 2. 15859395 Số dư của phép chia 3995649 là 3872428. Suy ra:. ƯCLN(15859395, 3995649) = ƯCLN(3995649, 3872428) 3872428 Ta có: 3995649 = 0,9691612051. Ta cũng không thể đưa số thập phân này về dạng phân số tối giản được. Ta tiếp tục tìm số 3995649 dư của phép chia: 3872428 . Số dư tìm được là 123221. Suy ra:. ƯCLN(3995649, 3872428) = ƯCLN(3872428, 123221) 123221 607 = Ta có: 3872428 19076 . Suy ra:. ƯCLN(3872428, 123221) = 123221:607 = 203, 15859395.3995649 203 BCNN = = 312160078125. Ví dụ 3: Tìm ƯCLN của ba số 51712, 73629 và 134431 Giải: Ta tìm ƯCLN(51712, 73629) = 101, và ƯCLN(101, 134431) = 101 => ƯCLN(51712, 73629, 134431) = 101 C. Bài tập vận dụng 1. Tìm ƯCLN và BCNN của: a. 43848 và 8879220 b. 1340022 và 622890625 c. 1527625 và 4860625 d. 1536885 và 24801105 2. Tìm ƯCLN và BCNN của 416745, 1389150 và 864360. 3. Tìm ƯSCLN của 40096920 , 9474372 và 51135438. ĐS : 678. DẠNG 4: TÌM CHỮ SỐ x CỦA SỐ n an an  1....xa0 m VỚI m  N Phương pháp: Ta thay x lần lượt từ 0 đến 9 sao cho n m Ví dụ: tìm chữ số x để 79506 x 47 23 Giải: Thay x = 0; 1; 2; ……..;9. Ta được 79506147:23 Ví dụ: Tìm số lớn nhất và số nhỏ nhất trong các số tự nhiên có dạng 1x 2 y3z 4 chia hết cho 7. Giải: số lớn nhất dạng 1x 2 y3z 4 chia hết cho 7 sẽ phải là 19293 z 4 Lần lượt thử z = 9; 8; 7………;1;0 Vậy số lớn nhất có dạng 1x 2 y3z 4 chia hết cho 7 là 1929354 Tương tự số nhỏ nhất có dạng 1x 2 y3z 4 chia hết cho 7 là 1020334 DẠNG 5: TÌM CẶP NGHIỆM (x;y) NGUYÊN DƯƠNG THỎA MÃN PHƯƠNG TRÌNH. Ví dụ: tìm cặp số (x;y) nguyên dương sao cho x2= 27 y2+1 2 Ta có x2= 27 y2+1 nên y < x suy ra x = 37 y 1. Levanbinh. -7–.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> SKKN. Giải một số bài toán về số học và đại số ở bậc THCS bằng MTCT 2. Do đó gán: Y = 0, X= 0; nhập Y=Y+1:X = 37Y  1 ấn phím = liên tục cho tới khi X nguyên KQ: x =73; y= 12 Bài tập: 1. Tìm cặp số (x;y) nguyên dương sao cho x2= 47y2+1 KQ: x= 48; y= 7 2. Tìm cặp số (x;y) nguyên dương thỏa mãn phương trình 4x3 + 17(2x-y)2 = 161312 Giải : ta có 4x3 + 17(2x-y)2 = 161312.  .......  y 2 x . 161312  4 x 3 17. 161312  4 X 3 17 Do đó gán: Y = 0; X = 0; nhập X= X+1: Y = 2X ấn dấu  liên tục cho tới y nguyên. KQ: x = 30; y = 4 DẠNG 6: SỐ THẬP PHÂN HỮU HẠN – SỐ THẬP PHÂN VÔ HẠN TUẨN HOÀN VD : phân số nào sinh ra số thập phân tuần hoàn sau : a, 0,123123123123............... = 0, (123) b, 4,353535353535............. = 4, (35) c, 2,45736736736736........ = 2,45(736). 123 đó là số 999. đó là. 4. 35 99. 45 136 245491 đó là : 2,45(736) = 2 + 0.45 + 0,00(736) = 2 + 100 + 99900 = 99900 17 VD : Tính chữ số thập phân thứ 105 của số thập phân 13 Ta có : 17  13 = 1,307692308. ( thực ra kết quả của nó là 1,307962307962....................) Ta thấy chu kì của kết quả là 1,(307692) Mặt khác 105  3 ( mod 6 )  chữ số thứ 105 trong phần thập phân của kết quả phép chia 17  13 là số 7 VD : tìm n  N nhỏ nhất sao cho n có ba chữ số biết n121 có 5 chữ số đầu đều là chữ số 3 Ta không thể dùng máy tính bỏ túi để tính n121 Nhưng ta có 123121 , 12  3121 , 1  23121 có các chữ số giống nhau  ta tính : 1  00121 =1 1  01121 = 3,333390164..................  n = 101 DẠNG 7: LÀM TRÒN SỐ Máy có hai cách làm tròn số: Làm tròn số để đọc ( máy vẫn lưu trong bộ nhớ đến 12 chữ số để tính toán cho các bài toán sau ) ở NORM hay FIXn Làm tròn và giữ luôn kết quả số đã làm tròn cho các bài toán tính sau ở FIX và RnD VD : 17  13 = 1,307692308 ( trên màn hình ) trong bộ nhớ máy vẫn lưu kết quả 1,30769230769 ( máy vẫn giữ đủ 12 chữ số và chỉ 12 chữ số ) Nếu muốn làm tròn số thì bấm MODE MODE MODE MODE 1 và chọn làm tròn từ 0 đến 9 Levanbinh. -8–.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> SKKN. Giải một số bài toán về số học và đại số ở bậc THCS bằng MTCT. Nếu chọn FIX 4 và ấn tiếp SHIFT RnD  máy sẽ hiện kết quả 1,3077 và giữ kết quả này trong bộ nhớ ( chỉ có 4 chữ số ở phần lẻ đã làm tròn )  Ans  13 = 17,0001. II/ HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ Ở THCS: DẠNG 1: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC: 1.1.TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC SỐ: VD : Tính : 1 1 1   2 2 2    1     2    3 9 27  :  3 9 27   91919191  4 4 4   1 1 1  80808080    4   1   7 49 343   7 49 343  a, A = . Đối với bài tập dạng này thì trước khi tính chúng ta phải rút gọn biểu thức rồi mới tính biểu thức như bình thường     1 1 1  1 1 1 1      2  1  3  9  27   91    3 9 27  : A  1 1 1  4  1  1  1  1    1     80     7 49 343   7 49 343     1   1 1 1   1 1  1      1     91 3 9 27   7 49 343   A    1 1 1     1 1 1   80  4  1  7  49  343    2  1  3  9  27         1 91 91 A   8 80 640 3 : 0,4  0,9 :  0,15 : 2,5  2,1  1,965 : 1,2 0,045 B  0,32 6  0,03   5,3  3,88  0,67 0,00325 : 0,013 b,. Đối với những bài như thế này chúng ta cần phải ghi các phép tính trong biểu thức vào số nhớ của máy tính : 3 : 0,4 - 0,9 :  0,15 : 2,5. SHIFT STO A. 0,32 6  0,03   5,3  3,88  0,67 SHIFT STO B  2,1  1,965 : 1,2 0,045 SHIFT STO C. 0,00325 : 0,013 SHIFT STO D. Sau khi đã ghi các phần trên vào máy như các phần hướng dẫn trước chúng ta bấm vào máy tính như sau: A ab/c B + C ab/c D = ( cách gọi số nhớ ra bằng cách ALPHA A ) 1.2. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC CHỨA BIẾN. Ta có 2 cách tính: Sử dụng cách gán giá trị (phím STO) Hoặc tính trực tiếp bằng nút Ans VD1: Tính giá trị của biểu thức: 20x2 -11x – 2006 tại a) x = 1;. b) x = -2;. c) x =. −1 2 ;. 0,12345 d) x = 1,23456 ;. Cách làm: Gán 1 vào ô nhớ X: Nhập biểu thức đã cho vào máy: (Ghi kết quả là -1 997) Levanbinh. -9–.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> SKKN. Giải một số bài toán về số học và đại số ở bậc THCS bằng MTCT. Sau đó gán giá trị thứ hai vào ô nhớ X: Rồi dùng phím. #. để tìm lại biểu thức, ấn  để nhận kết quả. (Ghi kết quả là -1 904)  1995. Làm tương tự với các trường hợp khác (ĐS c) Ta có thể sử dụng phím Ans: 1 = 20Ans2 – 11Ans – 2006 = VD2: Tính giá trị của biểu thức: x3 - 3xy2 – 2x2y a/ x = 2;. y = -3.. b/ x =. −3 4 ;. 2 3 y tại: 3. 3 y = -2 7. Cách làm: Gán 2 vào ô nhớ X: Gán -3 vào ô nhớ Y: (Ghi kết quả là - 4 ) Sau đó gán giá trị thứ hai vào ô nhớ X: #. 1 2 ; d) -2006,899966).. c/ x =. 2+ 7 5. 2,35 2,69 y=. Nhập biểu thức đã cho vào máy. #. Dùng phím để tìm lại biểu thức, ấn  để nhận kết quả. (Ghi kết quả là 25,12975279) Làm tương tự với trường hợp c) (Ghi kết quả là -2,736023521) 3x5  2x 4  3x2  x 4x3  x2  3x  5 khi x = 1,8165 Bài tập: 1/ Tính (Kq: 1.498465582) 3x5  2x 4  3x2  x A 4x3  x2  3x  5 khi x = 1,8165; x = - 0,235678; x = 865,321 2/ Tính A. 4 3 2 3/ a. Tính x  5x  3x  x  1 khi x = 1,35627 5 4 3 2 b. Tính P(x) 17x  5x  8x  13x  11x  357 khi x = 2,18567. 4/. æ x æ x + 9ö ÷ ç3 x + 1 ÷ ç T(x) = ç + ÷: ç ç ç ÷ ç3 + x çx - 3 x 9 - xø è è. ö 1 ÷ ÷ ÷ x÷ ø. 3 2007 . Tính T( 231007) ; T( 2008) .. 3 2007 Kq: T( 231007)   1,194910171 T( 2008) = - 0,50063173. 1.3. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA LIÊN PHÂN PHÂN SỐ Phương pháp: Tính từ dưới lên hoặc tính từ trên xuống. a0 . 1. a1 . 1. ...an  1 . 1 a an về dạng b . Dạng toán này được. Vấn đề đặt ra: hãy biểu diễn liên phân số gọi là tính giá trị của liên phân số. Với sự trợ giúp của máy tính ta có thể tính một cách nhanh chóng dạng biểu diễn của liên phân số đó. Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS) b/ c b/ c Ans ...a0  1 ab/ c Ans  Ấn lần lượt an  1  1 a an  an  2  1 a. Ví dụ: Viết A ra phân số thường và số thập phân. 5. A 3 . 4. 2. 5. 2 2. 4 2. 5 3. Giải: Levanbinh. - 10 –.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> SKKN. Giải một số bài toán về số học và đại số ở bậc THCS bằng MTCT. Cách 1: tính từ dưới lên 1 Ấn: 3 x X 5  2 . x 1 X 4  2  x 1 X 5  2  x 1 X 4  2  x 1 X 5  3   a b / c shift d / c. Ấn tiếp: Cách 2: Tính từ trên xuống. 233 1761  KQ: A= 4,6099644= 382 382 4. Nhập: 3  ( 5  (2  (4  (2  (5  (2  (4  (2  5  3))))))))  BIỂU DIỄN PHÂN SỐ RA LIÊN PHÂN PHÂN SỐ. Liên phân số (phân số liên tục) là một công cụ toán học hữu hiệu được các nhà toán học sử dụng để giải nhiều bài toán khó. Bài toán: Cho a, b (a > b)là hai số tự nhiên. Dùng thuật toán Ơclit chia a cho b, phân số b a 1 a0  0 a0  b b b a b0 b có thể viết dưới dạng:. Vì b0 là phần dư của a khi chia cho b nên b > b0. Lại tiếp tục biểu diễn phân số b b 1 a1  1 a1  b0 b0 b0 b1. b a a0  0 a0  b b a1 . 1. 1. ...an  2 . 1 an .. Cứ tiếp tục quá trình này sẽ kết thúc sau n bước và ta được: Cách biểu diễn này gọi là cách biểu diễn số hữu tỉ dưới dạng liên phân số. Mỗi số hữu tỉ có một a ,a ,...,a. n biểu diễn duy nhất dưới dạng liên phân số, nó được viết gọn  0 1 . Số vô tỉ có thể biểu diễn dưới dạng liên phân số vô hạn bằng cách xấp xỉ nó dưới dạng gần đúng bởi các số thập phân hữu hạn và biểu diễn các số thập phân hữu hạn này qua liên phân số.. 329 A  1051 3 . 1 5. Ví dụ : Tính a). 15 1 B  17 1  1. 1 1 a. 1 b. b). 329 1 1 1 1 1      1 1 1051 1051 3  64 3  1 3 3 9 1 1 329 329 5 5 5 64 1 64 7 9 9 Giải:. Vậy a= 7; b= 9 Cách ấn máy : Levanbinh. - 11 –. a. 1 b.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> SKKN. Giải một số bài toán về số học và đại số ở bậc THCS bằng MTCT. 1051 và ấn . Ghi vào màn hình: 329. 1 ấn tiếp x  (máy hiện 3. 64. ấn tiếp  3  (máy hiện 64 ấn tiếp x. 329). 329). 1.  (máy hiện 5 ấn tiếp  5  (máy hiện 9. 9 64) 64). 1. ấn tiếp x  (máy hiện 7 b) KQ: a= 7; b=2. 1. 9). KQ: a=7; b=9. Bài tập: 1. B 7 . 1. 3. 1. 3. 3. 1/ Biểu diễn B ra phân số. 15  17 1 . 1 4. 5. 1 1. 2. 1. 1. 3. 1 3 2. 4. 98    Kq : 157   . 1 5. 1 3. C=. (a = 7; b = 2). 1. 1 4/ Tính. 1 b. . 1. 5 3/ Biểu diễn M ra phân số:. 1 a. 2/ Tính a, b biết (a, b nguyên dương) M. 43 1037    B 7 142  142   . 1 4 1. 1 1. 1 4 12246 5  2107. Kq:. 1. . 101   4,208(3) 24. 1. 1. 1. 4. 1. 3 8. 1 a. 1 b. 5/ Tìm các số tự nhiên a, b sao cho (a = 2 ; b = 7) x x 4  1 1 1 4 1 1 2 3  12556 1 1 x 3 2 1459 ) 4 2 6/Giải phương trình ( 3 12585 20052006 1 a) 9   b) a  2 1 1354 2007 10  b 1 1 a c b d 7/ Tìm a, b,c,d biết : Kq: a) a = 11 ;b = 12; b) a = 9991 ; b = 29 ; c = 11 ; d = 2. Levanbinh. - 12 –.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> SKKN. Giải một số bài toán về số học và đại số ở bậc THCS bằng MTCT. 4        2 4 2   x  1  4 1   1   2  7 5  1  8  8/ Tìm x biết : 1389159 1,106910186 (x = 1254988 ).        . 1.  2. 4 . 1. 1. 1 4. 3. 2 8 9. DẠNG 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH Ghi nhớ: Trước khi thực hiện giải nên viết phương trình (hệ phương trình) dưới dạng chính tắc để khi đưa các hệ số vào máy không bị nhầm lẫn. Ví dụ Dạng chính tắc phương trình bậc 2 có dạng: ax2 + bx + c = 0 Dạng chính tắc phương trình bậc 3 có dạng: ax3 + bx2 + cx + d = 0 Dạng chính tắc hệ phương trình bậc 2 có dạng:. a1x  b1y c1  a2 x  b2 y c2. a1x  b1y  c1z d1  a2 x  b2 y  c2 z d 2 a x  b y  c z d 3 3 3 Dạng chính tắc hệ phương trình bậc 3 có dạng:  3. Dạng 3.1. Giải phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a≠0) 3.1.1: Giải theo chương trình cài sẵn trên máy Ấn MODE MODE 1  2 nhập các hệ số a, b, c vào máy, sau mỗi lần nhập hệ số ấn phím  giá trị mới được ghi vào trong bộ nhớ của máy tính. Ví dụ: (Sở GD TPHCM, 1996) Giải phương trình: 1,85432x2 – 3,21458x – 2,45971 = 0 -- Giải -Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS) MODE MODE 1  2 1 . 85432  (  ) 3 . 321458  (  ) 2 . 45971   x1 = 2.308233881    x2 = -0.574671173 . Chú ý: Khi giải bằng chương trình cài sẵn trên máy nếu ở góc trái màn hình máy hiện R  I thì nghiệm đó là nghiệm phức, trong chương trình Trung học cơ sở nghiệm này chưa được học do đó không trìn bày nghiệm này trong bài giải. Nếu có một nghiệm thực thì phương trình có nghiệm kép, cả hai nghiệm đều là nghiệm phức coi như phương trình đó là vô nghiệm. 3.1.2: Giải theo công thức nghiệm 2 Tính  b  4ac + Nếu  > 0 thì phương trình có hai nghiệm:.  b  2a b  2a. x1,2  x1,2. + Nếu  = 0 thì phương trình có nghiệm kép: + Nếu  < 0 thì phương trình vô nghiệm. Ví dụ: (Sở GD Đồng Nai, 1998) Giải phương trình 2,354x2 – 1,542x – 3,141 = 0 -- Giải -Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS) ( ) 1 . 542 x2  4 2 . 354  ( ( ) 3 .141 ) SHIFT STO A (27,197892). Levanbinh. - 13 –.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> SKKN. Giải một số bài toán về số học và đại số ở bậc THCS bằng MTCT. ( 1 . 542 . ALPHA A ) 2 2 . 354 . ( 1 . 542 . ALPHA A ) 2 2 . 354 . (x1 = 1,528193632) (x2 = - 0,873138407). Chú ý:  Nếu đề bài không yêu cầu nên dùng chương trình cài sẵn của máy tính để giải.  Hạn chế không nên tính.  trước khi tính các nghiệm x1, x2 vì nếu vậy sẽ dẫn đến sai. số xuất hiện trong biến nhớ  sau 10 chữ số làm cho sai số các nghiệm sẽ lớn hơn.  Dạng toán này thường rất ít xuất hiện trực tiếp trong các kỳ thi gần đây mà chủ yếu dưới dạng các bài toán lập phương trình, tìm nghiệm nguyên, chứng minh nghiệm đa thức, xác định khoản chứa nghiệm thực của đa thức, …. Cần nắm vững công thức nghiệm và Định lí Viét để kết hợp với máy tính giải các bài toán biến thể của dạng này. Dạng 3.2. Giải phương trình bậc ba ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a≠0) 3.2.1: Giải theo chương trình cài sẵn trên máy Ấn MODE MODE 1  3 nhập các hệ số a, b, c, d vào máy, sau mỗi lần nhập hệ số ấn phím  giá trị mới được ghi vào trong bộ nhớ của máy tính.. Ví dụ: (Sở GD Cần Thơ, 2002) Tìm tất cả các nghiệm gần đúng với 5 chữ số thập phân của phương trình x3 – 5x + 1 = 0. -- Giải -Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS) Ấn các phím MODE MODE 1  3 1 0  ( ) 5 1 (x1 = 2, 128419064) (x2 = -2, 33005874) (x3 = 0, 201639675). Chú ý: Khi giải bằng chương trình cài sẵn trên máy nếu ở góc trái màn hình máy hiện R  I thì nghiệm đó là nghiệm phức, trong chương trình Trung học cơ sở nghiệm này chưa được học do đó không trìn bày nghiệm này trong bài giải. 3.2.2: Giải theo công thức nghiệm Ta có thể sử dụng công thức nghiệm Cardano để giải phương trình trên, hoặc sử dụng sơ đồ Horner để hạ bậc phương trình bậc 3 thành tích phương trình bậc 2 và bậc nhất, khi đó ta giải phương trình tích theo các công thức nghiệm đã biết. Chú ý:  Nếu đề bài không yêu cầu, nên dùng chương trình cài sẵn của máy tính để giải. Dạng 3.3. Giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn Ấn MODE MODE 1 2 nhập các hệ số a1, b1, c1, a2, b2, c2 vào máy, sau mỗi lần nhập hệ số ấn phím  giá trị mới được ghi vào trong bộ nhớ của máy tính. Ví dụ: (Thi vô địch toán Flanders, 1998). 83249x  16751y 108249 x  Nếu x, y thỏa mãn hệ phương trình 16751x  83249y 41715 thì y bằng (chọn một trong 5. đáp số) A.1. B.2. C.3. D.4. E.5. -- Giải – Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS) Ấn. các. phím. 83249 16751 108249 16751 83249 41751 (1, 25) = (0, 25). Ấn tiếp: MODE 1 1 . 25 a Vậy đáp số E là đúng. Levanbinh. b/ c. 0 . 25  (5). - 14 –. MODE MODE 1 2.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> SKKN. Giải một số bài toán về số học và đại số ở bậc THCS bằng MTCT. Chú ý: Nếu hệ phương trình vô nghiệm hoặc vô định thì máy tính sẽ báo lỗi Math ERROR. Dạng 3.4. Giải hệ phương trình nhất ba ẩn Giải theo chương trình cài sẵn trên máy Ấn MODE MODE 1 3 nhập các hệ số a1, b1, c1, a2, b2, c2, a3, b3, c3 vào máy, sau mỗi lần nhập hệ số ấn phím  giá trị mới được ghi vào trong bộ nhớ của máy tính. 3x  y  2z 30  2x  3y  z 30  x  2y  3z 30 . Ví dụ: Giải hệ phương trình Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS) MODE MODE 1 3 3 1 2 30 2 3 1 30 1 2 3 30 (x = 5) (y = 5) (z = 5). Chú ý: Cộng các phương trình trên vế theo vế ta được x + y + z = 15 suy ra x = y = z = 5. Nhận xét:  Dạng toán 3 là dạng bài dễ chỉ đòi hỏi biết sử dụng thành thạo máy tính và các chương trình cài sẵn trên máy tính. Do đó trong các kỳ thi dạng toán này rất ít chúng thường xuất hiện dưới dạng các bài toán thực tế (tăng trưởng dân số, lãi suất tiết kiệm, …) mà quá trình giải đòi hỏi phải lập phương trình hay hệ phương trình với các hệ số là những số lẻ. Bài tập tổng hợp Bài 1: Giải các phương trình: 1.1. (Sở GD Hà Nội, 1996, Thanh Hóa, 2000): 1,23785x2 + 4,35816x – 6,98753 = 0 1.2. (Sở GD TPHCM 1998): 1,9815x2 + 6,8321x + 1,0581 = 0 1.3. x3 + x2 – 2x – 1 =0 1.4. 4x3 – 3x + 6 = 0 Bài 2: Giải các hệ phương trình sau: 1,372x  4,915y 3,123  2.1. (Sở GD Đồng Nai, 1998) 8,368x  5,214y 7,318 13,241x  17,436y  25,168  2.2. (Sở GD Hà Nội, 1996) 23,897x  19,372y 103,618 1,341x  4,216y  3,147  2.3. (Sở GD Cần Thơ, 2002) 8,616x  4,224y 7,121 2x  5y  13z 1000  3x  9y  3z 0 5x  6y  8z 600 . 2.4.. DẠNG 3: BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨC Dạng 2.1. Tính giá trị của đa thức Bài toán: Tính giá trị của đa thức P(x,y,…) khi x = x0, y = y0; … Phương pháp 1: (Tính trực tiếp) Thế trực tiếp các giá trị của x, y vào đa thức để tính. Phương pháp 2: (Sơ đồ Horner, đối với đa thức một biến) n n 1 Viết P(x) a0 x  a1x  ...  an dưới dạng P(x) (...(a0 x  a1 )x  a2 )x  ...)x  an. Vậy P(x 0 ) (...(a0 x 0  a1 )x 0  a2 )x 0  ...)x 0  an . Đặt b0 = a0; b1 = b0x0 + a1; b2 = b1x0 + a2; …; bn = bn-1x0 + an. Suy ra: P(x0) = bn. Từ đây ta có công thức truy hồi: bk = bk-1x0 + ak với k ≥ 1. Giải trên máy: - Gán giá x0 vào biến nhớm M. - Thực hiện dãy lặp: bk-1 ALPHA M + ak Levanbinh. - 15 –.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> SKKN. Giải một số bài toán về số học và đại số ở bậc THCS bằng MTCT. Ví dụ 1: (Sở GD TP HCM, 1996) Tính. A. 3x 5  2x 4  3x 2  x 4x3  x 2  3x  5 khi x = 1,8165. Cách 1: Tính nhờ vào biến nhớ Ans An phím: 1 . 8165  ( 3 Ans ^ 5  2 Ans ^ 4  3 Ans x 2  Ans  1 )  ( 4 Ans ^ 3  Ans x 2  3 Ans  5 ) . Kết quả: 1.498465582 Cách 2: Tính nhờ vào biến nhớ X An phím: 1 . 8165 SHIFT STO X ( 3 ALPHA X ^ 5  2 ALPHA X ^ 4  3 ALPHA X x 2  ALPHA X  1 )  ( 4 ALPHA X ^ 3  ALPHA X x 2  3 ALPHA X  5 ) . Kết quả: 1.498465582 Nhận xét:  Phương pháp dùng sơ đồ Horner chỉ áp dụng hiệu quả đối với máy fx-220 và fx500A, còn đối với máy fx-500 MS và fx-570 MS chỉ nên dùng phương pháp tính trực tiếp có sử dụng biểu thức chứa biến nhớ, riêng fx-570 MS có thể thế các giá trị của biến x nhanh bằng cách bấm CALC , máy hỏi X? khi đó khai báo các giá trị của biến x ấn phím là  xong. Để có thể kiểm tra lại kết quả sau khi tính nên gán giá trị x 0 vào một biến nhớ nào đó khác biến Ans để tiện kiểm tra và đổi các giá trị. 3x5  2x 4  3x2  x 4x3  x 2  3x  5 khi x = 1,8165; x = - 0,235678; x = 865,321 Ví dụ: Tính  . Khi đó ta chỉ cần gán giá trị x = - 0,235678 vào biến nhớ X: 235678 SHIFT STO X A. 1. Dùng phím mũi tên lên một lần (màn hình hiện lại biểu thức cũ) rồi ấn phím  là xong.  Trong các kỳ thi dạng toán này luôn có, chiếm 1 đến 5 điểm trong bài thi. Khả năng tính toán dẫn đến sai số thường thì không nhiều nhưng nếu biểu thức quá phức tạp nên tìm cách chia nhỏ bài toán tránh vượt quá giới hạn bộ nhớ của máy tính sẽ dẫn đến sai kết quả (máy tính vẫn tính nhưng kết quả thu được là kết quả gần đúng, có trường hợp sai hẳn). Bài tập Bài 1: (Sở GD Hà Nội, 1996) Tính giá trị biểu thức: 4 3 2 a. Tính x  5x  3x  x  1 khi x = 1,35627 b. Tính P(x) 17x  5x  8x  13x  11x  357 khi x = 2,18567 Dạng 2.2. Tìm dư trong phép chia đa thức P(x) cho nhị thức ax + b Khi chia đa thức P(x) cho nhị thức ax + b ta luôn được P(x)=Q(x)(ax+b) + r, trong đó r là 5. 4. 3. một số (không chứa biến x). Thế. 2. x . b b  a ta được P( a ) = r.. b Như vậy để tìm số dư khi chia P(x) cho nhị thức ax+b ta chỉ cần đi tính r = P( a ), lúc này . dạng toán 2.2 trở thành dạng toán 2.1. x14  x9  x5  x 4  x 2  x  723 x  1,624 Ví dụ: (Sở GD TPHCM, 1998) Tìm số dư trong phép chia:P=. Số dư r = 1,62414 - 1,6249 - 1,6245 + 1,6244 + 1,6242 + 1,624 – 723 Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS) Ấn các phím: 1 . 624 SHIFT STO X Levanbinh. - 16 –.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> SKKN. Giải một số bài toán về số học và đại số ở bậc THCS bằng MTCT. ALPHA X ^ 14  ALPHA X ^ 9  ALPHA X ^ 5  ALPHA X ^ 4  ALPHA X ^ 2  ALPHA X  723 . Kết quả: r = 85,92136979 Bài tập Bài 1:. (Sở. GD. Đồng. Nai,. 1998). Tìm. số. dư. trong. phép. chia. x  6,723x  1,857x  6,458x  4,319 x  2,318 5. 3. 2. P. Bài 2: (Sở GD Cần Thơ, 2003) Cho  x  P(x) cho x – 2 và x-3. Tìm BCNN(r1,r2)?. x 4  5x 4  4x 2  3x  50. . Tìm phần dư r1, r2 khi chia. Dạng 2.3. Xác định tham số m để đa thức P(x) + m chia hết cho nhị thức ax + b Khi chia đa thức P(x) + m cho nhị thức ax + b ta luôn được P(x)=Q(x)(ax+b) + m + r. Muốn . b a ). Như vậy bài toán trở về dạng toán. P(x) chia hết cho x – a thì m + r = 0 hay m = -r = - P( 2.1. Ví dụ: Xác định tham số 4 3 2 1.1. (Sở GD Hà Nội, 1996, Sở GD Thanh Hóa, 2000). Tìm a để x  7x  2x  13x  a chia hết cho x+6. 2 a   ( 6)4  7( 6)3  2   6   13   6     Số dư. - Giải Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS) Ấn các phím:. ( ). 6 SHIFT STO X. ( ) ( ALPHA X ^  ALPHA X x 3  ALPHA X x 2  )  4 7 2 13 ALPHA X. Kết quả: a = -222 1.2. (Sở GD Khánh Hòa, 2001) Cho P(x) = 3x + 17x – 625. Tính a để P(x) + a 2 chia hết cho x + 3? -- Giải – 3.  3   3 3  17   3   625  3   3 3  17   3  625     => a =  Số dư a2 = - . Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS) ( ) ( 3 ( ( ) 3 ) x3  17 ( (  ) 3 )  625 ) . Kết quả: a = 27,51363298 Chú ý: Để ý ta thấy rằng P(x) = 3x + 17x – 625 = (3x – 9x + 44)(x+3) – 757. Vậy để P(x) chia hết cho (x + 3) thì a2 = 757 => a = 27,51363298 và a = - 27,51363298 Dạng 2.4. Tìm đa thức thương khi chia đa thức cho đơn thức Bài toán mở đầu: Chia đa thức a0x3 + a1x2 + a2x + a3 cho x – c ta sẽ được thương là một đa thức bậc hai Q(x) = b0x2 + b1x + b2 và số dư r. Vậy a0x3 + a1x2 + a2x + a3 = (b0x2 + b1x + b2)(xc) + r = b0x3 + (b1-b0c)x2 + (b2-b1c)x + (r + b2c). Ta lại có công thức truy hồi Horner: b 0 = a0; b1= b0c + a1; b2= b1c + a2; r = b2c + a3. Tương tự như cách suy luận trên, ta cũng có sơ đồ Horner để tìm thương và số dư khi chia đa thức P(x) (từ bậc 4 trở lên) cho (x-c) trong trường hợp tổng quát. Ví dụ: Tìm thương và số dư trong phép chia x7 – 2x5 – 3x4 + x – 1 cho x – 5. -- Giải -Ta có: c = - 5; a0 = 1; a1 = 0; a2 = -2; a3 = -3; a4 = a5 = 0; a6 = 1; a7 = -1; b0 = a0 = 1. Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS) 3. Levanbinh. 2. - 17 –.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> SKKN. Giải một số bài toán về số học và đại số ở bậc THCS bằng MTCT. ( ) 5 SHIFT STO M 1  ALPHA M  0  (-5)  ALPHA M  2 (23)  ALPHA M  ( ) 3 (-118)  ALPHA M  0 (590)  ALPHA M  0 (-2950)  ALPHA M  1 (14751)  ALPHA M  ( ) 1 (-73756). Vậy x7 – 2x5 – 3x4 + x – 1 = (x + 5)(x6 – 5x5 + 23x4 – 118x3 + 590x2 – 2590x + 14751) – 73756. Dạng 2.5. Phân tích đa thức theo bậc của đơn thức Áp dụng n-1 lần dạng toán 2.4 ta có thể phân tích đa thức P(x) bậc n theo x-c: P(x)=r 0+r1(xc)+r2(x-c)2+…+rn(x-c)n. Ví dụ: Phân tích x4 – 3x3 + x – 2 theo bậc của x – 3. -- Giải -Trước tiên thực hiện phép chia P(x)=q1(x)(x-c)+r0 theo sơ đồ Horner để được q1(x) và r0. Sau đó lại tiếp tục tìm các qk(x) và rk-1 ta được bảng sau: 1 -3 0 1 -2 x4-3x2+x-2 3 1 0 0 1 1 q1(x)=x3+1, r0 = 1 3 1 3 9 28 q2(x)=x3+3x+1, r1 = 28 3 1 6 27 q3(x)=x+6, r0 = 27 3 1 9 q4(x)=1=a0, r0 = 9 4 3 2 Vậy x – 3x + x – 2 = 1 + 28(x-3) + 27(x-3) + 9(x-3)3 + (x-3)4. Dạng 2.6. Tìm cận trên khoảng chứa nghiệm dương của đa thức Nếu trong phân tích P(x) = r0 + r1(x-c)+r2(x-c)2+…+rn(x-c)n ta có ri  0 với mọi i = 0, 1, …, n thì mọi nghiệm thực của P(x) đều không lớn hơn c. Ví dụ: Cận trên của các nghiệm dương của đa thức x 4 – 3x3 + x – 2 là c = 3. (Đa thức có hai nghiệm thực gần đúng là 2,962980452 và -0,9061277259) Nhận xét:  Các dạng toán 2.4 đến 2.6 là dạng toán mới (chưa thấy xuất hiện trong các kỳ thi) nhưng dựa vào những dạng toán này có thể giải các dạng toán khác như phân tích đa thức ra thừa số, giải gần đúng phương trình đa thức, ….  Vận dụng linh hoạt các phương pháp giải kết hợp với máy tính có thể giải được rất nhiều dạng toán đa thức bậc cao mà khả năng nhẩm nghiệm không được hoặc sử dụng công thức Cardano quá phức tạp. Do đó yêu cầu phải nắm vững phương pháp và vận dụng một cách khéo léo hợp lí trong các bài làm. Bài tập tổng hợp Bài 1: (Sở GD Lâm Đồng, 2005) a. Tìm m để P(x) chia hết cho (x -13) biết P(x) = 4x5 + 12x4 + 3x3 + 2x2 – 5x – m + 7 b. Cho P(x) = ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f biết P(1) = P(-1) = 11; P(2) = P(-2) = 47; P(3) = 107. Tính P(12)? Bài 2: (Sở GD Phú Thọ, 2004) Cho P(x) là đa thức với hệ số nguyên có giá trị P(21) = 17; P(37) = 33. Biết P(N) = N + 51. Tính N? Bài 3: (Thi khu vực 2004) Cho đa thức P(x) = x3 + bx2 + cx + d. Biết P(1) = -15; P(2) = -15; P(3) = -9. Tính: a. Các hệ số b, c, d của đa thức P(x). b. Tìm số dư r1 khi chia P(x) cho x – 4. c. Tìm số dư r2 khi chia P(x) cho 2x +3. Bài 4: (Sở GD Hải Phòng, 2004) Cho đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c. Biết P(1) = -25; P(2) = -21; P(3) = -41. Tính: a. Các hệ số a, b, c của đa thức P(x). Levanbinh. - 18 –.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> SKKN. Giải một số bài toán về số học và đại số ở bậc THCS bằng MTCT. b. Tìm số dư r1 khi chia P(x) cho x + 4. c. Tìm số dư r2 khi chia P(x) cho 5x +7. d. Tìm số dư r3 khi chia P(x) cho (x+4)(5x +7). Bài 5: (Sở GD Thái Nguyên, 2003) a. Cho đa thức P(x) = x4+ax3 + bx2 + cx + d. Biết P(1) = 0; P(2) = 4; P(3) = 18; P(4) = 48. Tính P(2002)? b. Khi chia đa thức 2x4 + 8x3 – 7x2 + 8x – 12 cho đa thức x – 2 ta được thương là đa thức Q(x) có bậc 3. Hãy tìm hệ số của x2 trong Q(x)? Dạng 2.7.Phân tích đa thức f(x) thành nhân tử. Cơ sở: “Nếu tam thức bậc hai ax2 + bx + c có 2 nghiệm là x 1, x2 thì nó viết được dưới dạng ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2)”. p “Nếu đa thức f(x) = anxn + an-1xn-1+... + a1x + a0 có nghiệm hữu tỷ q thì p là ước của a0, q là. ước của a0”. Đặc biệt: “Nếu đa thức f(x) = anxn + an-1xn-1+... + a1x + a0 có a1 = 1 thì nghiệm hữu tỷ là ước của a0”. Nếu đa thức f(x) có nghiệm là a thì đa thức f(x) chia hết cho (x – a). Ví dụ 1: Phân tích đa thức f(x) = x2 + x - 6 thành nhân tử? Dùng chức năng giải phương trình bậc hai cài sẵn trong máy để tìm nghiệm của f(x) ta thấy có 2 nghiệm là x1 = 2; x2 = -3. Khi đó ta viết được: x2 + x – 6 = (x – 2)(x + 3) Ví dụ 2: Phân tích đa thức f(x) = x3 + 3x2 - 13 x - 15 thành nhân tử? Dùng chức năng giải phương trình bậc 3 cài sẵn trong máy để tìm nghiệm của f(x) ta thấy có 3 nghiệm là x1 = 3; x2 = -5; x3 = -1. Khi đó ta viết được: x3 + 3x2 - 13 x - 15 = 1.(x - 3)(x + 5)(x + 1). Ví dụ 3: Phân tích đa thức f(x) = x3 - 5x2 + 11 x - 10 thành nhân tử? Dùng chức năng giải phương trình bậc 3 cài sẵn trong máy để tìm nghiệm của f(x) ta thấy có 1 nghiệm thực là x1 = 2. Nên ta biết được đa thức x3 - 5x2 + 11 x - 10 chia hết cho (x - 2). Sử dụng sơ đồ Hoocner để chia x3 - 5x2 + 11 x - 10 cho (x - 2) ta có: Khi đó bài toán trớ về tìm thương của phép chia đa thức f(x) cho (x – 2). Khi đó ta có f(x) = (x - 2)(x2 - 3x + 5) Tam thức bậc hai x2 - 3x + 5 vô nghiệm nên không phân tích thành nhân tử được nữa. Vậy x3 - 5x2 + 11 x - 10 = ( x - 2)(x2 - 3x + 5) Ví dụ 4: Phân tích đa thức f(x) = x5 + 5x4 – 3x3 – x2 +58x - 60 thành nhân tử? Nhận xét: Nghiệm nguyên của đa thức đã cho là Ư(60). Ta có Ư(60) = { 1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60} Lập quy trình để kiểm tra xem số nào là nghiệm của đa thức: Do vậy ta biết x = -3 là một nghiệm của đa thức đã cho, nên f(x) chia hết cho (x + 3). Khi đó bài toán trớ về tìm thương của phép chia đa thức f(x) cho (x - 3). Khi đó ta có f(x) = (x + 3)(x4 + 2x3 - 9x2 + 26x - 20) * Ta lại xét đa thức g(x) = x4 + 2x3 - 9x2 + 26x - 20 Nghiệm nguyên là ước của 20. Dùng máy ta tìm được Ư(20) = { 1; 2; 4; 5; 10; 20} Lập quy trình để kiểm tra xem số nào là nghiệm của đa thức g(x): Do vậy ta biết x = -5 là một nghiệm của đa thức đã cho, nên f(x) chia hết cho (x + 5). Khi đó bài toán trớ về tìm thương của phép chia đa thức f(x) cho (x+5). Khi đó ta có g(x) = (x + 5)(x3 - 3x2 + 6x - 4) Levanbinh. - 19 –.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> SKKN. Giải một số bài toán về số học và đại số ở bậc THCS bằng MTCT. Tiếp tục dùng chức năng giải phương trình bậc 3 để tìm nghiệm nguyên của h(x) = x3 - 3x2 + 6x 4 Kết quả, là đa thức h(x) có nghiệm là x = 1 nên chia h(x) cho (x-1) ta được: h(x) = (x - 1)(x2 - 2x + 4). Ta thấy đa thức (x2 - 2x + 4) vô nghiệm nên không thể phân tích thành nhân tử. Vậy f(x) = (x + 3)(x + 5)(x - 1)(x2 - 2x + 4) III/ TRÁNH NHỮNG SAI SÓT TRONG QUÁ TRÌNH SỬ DỤNG MTBT ĐỂ GIẢI TOÁN: 1/những sai sót do chức năng hiển thị kết quả : Với máy tính FX-500MS màn hình hiển thị gồm 2 dòng, dòng trên hiển thị biểu thức nhập vào từ phím, dòng dưới hiển thị kết quả phép toán. -Khả năng nhập tối đa 79 ký tự, dữ liệu là số thực, số phức. màn hình nhập hiển thị và cách nhập gần giống như cách viết thông thường trên giấy. - khả năng hiển thị kết quả không quá 10 chữ số, nếu các chữ số của của kết quả vượt quá 10 chữ số thì kết quả được hiển thị ở dạng khoa học hoặc làm tròn. a) Kết quả là số thập phân vượt quá 10 chữ số máy tính sẽ hiển thị kết quả sau khi làm tròn : Khi kết quả của phép tính là số thập phận vượt quá 10 chữ số( tổng các chữ số của phần nguyên và phần thập phân) thì máy tính sẽ cát bớt chữ số thập phân đi và làm tròn chữ số thập phân thứ 11 theo quy tắc. Ví dụ : số 1:23 có là số thập phân vô hạn tuần hoàn(TPVHTH) không? Nếu là số TPVHTH hãy xác định chu kỳ của số đó. + Thực hành trên máy : 1:23 = cho kết quả là : 0.04347826 và học sinh thản nhiên kết luận số trên không phải số TPVHTH điều đó nếu ta không hiểu tính năng của máy tính thì ta dễ dàng thừa nhận kết quả trên. + Nhưng thực tế không phải thế mà số 1:23 là một số TPVHTH là: 1: 23 = 0. (0434782608695652173913) thật bất ngờ. * Nguyên nhân : Do chức năng hiển thị của máy tính, thì ký tự thứ 11 máy tính không hiển thị do vậy nó cắt đi và làm tròn theo quy tắc . * Cách khác phục : Khi có kết quả phép toán là số TP đủ 10 chữ số ta cần kiểm tra lại, tính toán thử trên giấy, và khả năng kết quả trên chỉ là gần đúng “»” . b) Kết quả đúng là phân số nhưng máy tính hiển thị số TP. 2005 Ví dụ : tính : 1 + 2006. + Thực hành trên máy : 1 + 20005┘2006 = thì kết quả hiển thị là : 1.999950015 . nhưng 4011 khi thực hành trên giấy ta dễ có kết quả là : 2006. * Nguyên nhân: Do chức năng hiển thị của máy tính thì tổng ký tự ở tử và mẫu vượt quá 10 ký tự của phân số thì máy tự động thực hiện phép chia, sau đó hiển thị kết quả là số TP. * Cách khác phục : Khi xảy ra hiện tượng trên ta cần xác định kết quả đó là gần đúng “»”, muốn có kết quả đúng ta cần kiểm tra lại, tính toán trên giấy. c) Kết quả là số nguyên vượt quá 10 chữ số máy tính sẽ hiển thị dạng khoa học ax10n sau khi làm tròn. Ví dụ : giải phương trình : x 2 - 11111111110x – 11111111111 = 0 ( 1 ) . + Thực hành trên máy tính : MODE MODE 1 ► 2 Nhập hệ số: a? 1 = ; b? -11111111110 = ; c? -11111111111 = Kết quả : x1 = 1.111111111x1010 ; x2 = -0.995 . Nhưng khi tính trên giấy ta có : a - b + c = 0 do đó x1 = -1 ; x2= 111111111111. Levanbinh. - 20 –.

<span class='text_page_counter'>(21)</span> SKKN. Giải một số bài toán về số học và đại số ở bậc THCS bằng MTCT. * Nguyên nhân : Do chức năng hiển thị của máy tính thì tổng ký tự nhập vào của mỗi hệ số vượt quá 10 chữ số thì máy tính bị tràn bộ nhớ do đó kết quả sai, hoặc máy tính hiển thị kết quả là số dạng khoa học. * Cách khác phục : Khi xảy ra hiện tượng trên ta cần xác định kết quả đó là sai, muốn có kết quả đúng ta cần kiểm tra lại, và thực hành tính toán trên giấy . d) Kết quả đúng là số vô tỉ nhưng máy tính hiển thị kết quả là số TP. Ví dụ : thực hiện phép tính : 4 2 +2006 – 5 2 + Thực hành trên máy tính : (4 2 ) +2006 – (5 2 ) = thì kết quả sẽ hiển thị là : 2004.585786 . Nhưng thực tế phép toán trên ta nhẩm ngay được kết quả là 2006- 2 . * Nguyên nhân : Do chức năng hiển thị của máy tính gần như cách viết thông thường. Riêng kết quả là biểu thức chứa dấu căn thì các nhà sản xuất chưa thể hiện được đây là nhược điểm của thế hệ máy tính này. Song khi bán máy thì các nhà sản xuất không thông báo cho khách hàng, khi gặp những bài toán như trên máy tính hiển thị kết quả là số TP. * Cách khác phục : Khi xảy ra hiện tượng trên ta cần xác định kết quả đó là gần đúng "»”, muốn có kết quả đúng ta cần kiểm tra lại, và thực hành tính toán trên giấy. e)Kết quả nghiệm của hệ PT hay phương trình trên tập số phức nhưng học sinh vẫn công nhận nghiệm đó trên số thực . Ví dụ : Giải phương trình : x 2 + 2x + 2006 = 0. + Thực hành trên máy tính : MODE MODE 1 ► 2 + Nhập hệ số : a? 1 = ; b? 2 = ; c? 2006 = thì kết quả hiển thị là : x1 = -1 ; x2 = -1 .Nhưng thực tế khi giải phương trình trên bằng công thức nghiệm ta có ngay phương trình vô nghiệm. * Nguyên nhân : Do chức năng xử lý của máy tính là giải toán trên cả trường số phức. Do đó phương trình trên vô nghiệm trên trường số R nhưng có nghiệm trên trường số phức. Học sinh không hiểu ký hiệu R- l trên góc trên bên phải màn hình máy tính là thông báo cho biết kết quả trên máy đang ở trường số phức. * Cách khác phục : Khi xảy ra hiện tượng trên ta cần xác định kết quả đó là sai trên trường số thực, muốn có kết quả đúng ta cần kiểm tra lại, và thực hành giải phương trình trên bằng công thức nghiệm. 2/ Những sai sót về kết quả do thứ tự ưu tiên các phép toán gây ra : Nhà sản xuất máy tính FX-500MS đã thiết kế cho máy tính những phép toán cơ bản với mức độ ưu tiên của các phép toán như quy tắc ưu tiên của toán học. Nhưng thực tế máy FX500MS có thêm những tính năng về mức độ ưu tiên nếu chúng ta không nghiên cứu khi thực hành giải toán sẽ cho kết quả sai, mặc dù chúng ta nhập đúng biểu thức và giá trị của biểu thức đó và máy tính không báo lỗi. Người sử nhận kết quả sai mà cứ chắc chắn là một kết quả đúng. a) Phép nhân không dấu được ưu tiên hơn phép nhân có dấu : Nếu ta không biết tính năng này thì khi thực hành trên máy dễ nhận được kết quả sai mà không hay biết.Ví dụ : thực hiện phép tính: 3 : 4 x(5-3) . + Thực hành trên máy: Cách 1 ; 3┘4(5-3) = cho kết quả là : 0.375 hay 3┘8 (phép toán không có dấu x trước ngoặc đơn) và học sinh thản nhiên công nhận kết quả trên. Cách 2 : 3┘4x(5-3) = cho kết quả là : 1.5 hay 3┘2 (phép toán có dấu x trước ngoặc đơn) một lần nữa học sinh lại vô tư nhận lấy kết quả .Thật sự bế tắc cho giáo viên để khảng định một kết quả đúng, nếu ta không nắm vứng tính năng của máy tính . * Nguyên nhân : Do tính năng của máy tính đã thiết kế mức độ ưu tiên của phép toán nhân không có dấu được ưu tiên hơn phép nhân có dấu.. Levanbinh. - 21 –.

<span class='text_page_counter'>(22)</span> SKKN. Giải một số bài toán về số học và đại số ở bậc THCS bằng MTCT. * Cách khác phục : Khi có kết quả phép toán ở kết quả cách 1 là sai, kết quả đúng ở cách 2 , Giáo viên cần giải thích khắc sâu cho học sinh tính năng này, và khắc sâu các quy tắc ưu tiên mà toán học đã quy định. Nhập lại biểu thức trên máy và kiểm tra lại trên giấy. b) Phân số thực hiện tối giản trước, trước khi thực hiện các phép toán khác : Nếu ta không biết tính năng này thì khi thực hành trên máy dễ nhận được kết quả sai mà không hay biết. Ví dụ : thực hiện phép tính : A= ( 18 )/2 + Thực hành trên máy : Cách 1: 18 ┘2 = cho kết quả là : A = 3 (phân số thực hiện tối giản trước khi khai căn ) và học sinh thản nhiên công nhận kết quả trên. + Cách 2 : ( 18 )┘2 = cho kết quả là : A = 2.121320344 (phân số tối giản sau khi khai căn) một lần nữa học sinh lại vô tư nhận lấy kết quả.Thật sự bế tắc cho giáo viên để khảng định một kết quả đúng, nếu ta không nắm vứng tính năng này của máy tính. *Nguyên nhân : Do tính năng của máy tính đã thiết kế mức độ ưu tiên tối giản phân số trước khi thực hiện các phép toán khác trong biểu thức tính. * Cách khác phục : Khi có kết quả phép toán ở kết quả cách 1 là sai, kết quả đúng ở cách 2, giáo viên cần giải thích khắc sâu cho học sinh tính năng này và khắc sâu các quy tắc ưu tiên mà toán học đã quy định. Nhập lại biểu thức trên máy nếu tử và mẫu có những biểu thức phức tạp tốt nhất ta nên cho các biểu thức ở tử hay mẫu vào trong ngoặc, sau đó kiểm tra lại trên giấy.. Phần III:. KẾT LUẬN. 1.Khái Quát Cục Bộ : Qua thực tế dạy – học về sử dụng MTCT để giải toán, thầy và trò cần nắm vững chu trình tổng quát :. Levanbinh. - 22 –.

<span class='text_page_counter'>(23)</span> SKKN. Giải một số bài toán về số học và đại số ở bậc THCS bằng MTCT. Muốn đạt được kết quả cao khi giải các bài toán đa thức bằng MTCT chúng ta cần nắm vững một số vấn đề: 1.Tính năng của các phím, chủng loại máy, 2.Dạng bài, kiểu bài, … định hướng đi. 3.Các phép biến đổi, thuật toán,… Dãy lệnh cho máy. 4.Trình bày bài làm(lộ trình đối với những bài tập yêu cầu viết qui trình hoặc kết quả). Đề tài: “Một số kinh nghiệm về giải các bài toán số học và đại số ở bậc THCS bằng MTCT ” giúp chúng ta định hướng cho học sinh các dạng toán và phương pháp giải những dạng toán đó. Giúp cho học sinh tự tin hơn trong việc giải các dạng bài tập về đaị số và số học một cách sáng tạo, phối hợp nhịp nhàng giữa tư duy và phương tiện bổ trợ, sử dụng có hiệu quả và khai thác hết chức năng của MTCT. Đối với khối đại trà thì 100% học sinh có MTCT đều sử dụng thành thạo và giải được hầu hết các bài toán liên quan . Điều này đã kích thích được lòng ham mê môn học và dẫn đến các em yêu quý môn học hơn. Kì thi HSG giải toán trên MTCT cấp huyện: 1.Nguyễn Như Thanh Trâm (lớp 9A6 ) 2. Trịnh Thị Thanh Lài (lớp 9A3) Hai học sinh vào đội tuyển cấp huyện tham gia kì thi HSG giải toán trên MTCT cấp Tỉnh: 2. Lợi Ích Và Khả Năng Vận Dụng: - Giáo viên định hướng cách giải các bài tập về đa thức bằng MTCT. - Có được tài liệu về việc giải toán bằng MTCT đan xen trong các tiết dạy chính khoá và sử dụng trong các buổi sinh hoạt ngoại khoá về giải toán trên MTCT. - Học sinh nắm được phương pháp giải, vận dụng hợp lý, sáng tạo sử dụng hiệu quả MTCT trong việc giải toán. Kết hợp giữa tư duy và thực hành bước đầu hình thành nề nếp làm việc với MTĐT phù hợp với xu thế phát triển của CNTT. 3. Đề Xuất Kiến Nghị: - Giáo viên tự rèn, dạy rộng rãi MTCT nghiên cứu chuyên sâu phục vụ đội tuyển và nâng cao chất lượng các kì thi. - Thư viện trường cần tổng hợp nhiều nội dung ,kiến thức liên quan đến MTCT phục vụ cho việc giảng dạy. - Lãnh đạo: Chỉ đạo, kiểm tra, giám sát phát triển rộng khắp việc sử dụng MTCT trong dạy học Với kinh nghiệm còn ít mặc dù đã cố gắng tìm tòi nghiên cứu nhưng không tránh những thiếu sót. Mong quý đồng nghiệp hãy thử áp dụng vào quá trình giảng dạy và đóng góp ý kiến để hoàn thiện đề tài tốt hơn. /. NHỮNG TÀI LIỆU THAM KHẢO: – SGK toán 6, 7 ,8, 9 tập 1 – SGK toán 6, 7, 8, 9 tập 2 – Tạp chí toán tuổi thơ 2 – Hướng dẫn hoạt động ngoại khoá Toán bằng MTBT Số 8685/ THPT ngày 15/09/1999 của Bộ GD & ĐT – Giải toán trên MTĐT - Nguyễn Trường Chấng – Giải toán trên MTĐT - Tạ Quang Phượng – 7. Bộ đề thi HSG “ Giải toán trên máy tính Casio” – Sách hướng dẫn sử dụng và giải toán trên máy tính casio.( Nhà xuất bản GD) – Đề kiểm tra HSG – Giải toán trên máy tính casio của các tỉnh, thành phố.(Từ năm 1998 đến nay) Levanbinh. - 23 –.

<span class='text_page_counter'>(24)</span> SKKN. Giải một số bài toán về số học và đại số ở bậc THCS bằng MTCT. Phước Hòa, ngày 21 tháng 11 năm 2010 Người viết. Lê Văn Bính. Levanbinh. - 24 –.

<span class='text_page_counter'>(25)</span>