Dạy học thống kê và vấn đề đào tạo giáo viên

THƯ
VIỆN

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
-------------------------

Tăng Minh Dũng

DẠY HỌC THỐNG KÊ
VÀ VẤN ĐỀ ĐÀO TẠO GIÁO VIÊN

Chuyên ngành:
Lý luận và phương pháp dạy học mơn Tốn
Mã số
: 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS. LÊ THỊ HỒI CHÂU

Thành phố Hồ Chí Minh – 2009


LỜI CẢM ƠN
Tơi xin dành những dịng đầu tiên của luận văn để gửi đến PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu lời cảm
ơn chân thành vì qng thời gian được cơ tận tình hướng dẫn, giúp đỡ về mặt nghiên cứu lẫn niềm
tin để thực hiện luận văn này.
Bên cạnh đó, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đối với PGS.TS. Lê Văn Tiến, TS. Trần Lương Công

Khanh, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS. Nguyễn Chí Thành và các quý thầy cơ trường Đại học
Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy, truyền thụ những tri thức quý báu trong
suốt thời gian 3 năm của chương trình cao học chuyên ngành Lý luận và phương pháp dạy học mơn
tốn. Ngồi ra, tuy chỉ được gặp mặt trong một thời gian ngắn ngủi, nhưng các góp ý về luận văn,
những chỉ dẫn về didactic của PGS.TS. Claude Comiti, PGS.TS. Annie Bessot, TS. Alain Birebent
đã gợi mở cho tơi và các bạn học cùng khóa những quan niệm mới, rõ ràng hơn về didactic.
Tôi cũng rất cảm ơn các thầy, cơ trong khoa Tốn-Tin trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ
Chí Minh, các bạn học cùng khóa 17, ThS. Nguyễn Thị Nga và gia đình đã ln động viên, khích lệ,
quan tâm và giúp đỡ tơi trong suốt thời gian thực hiện luận văn này.
Tăng Minh Dũng


DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT
Từ viết tắt
SGV
GV
HS
SV
SP
ĐHSP Tp.HCM
THPT
đvht
tr
hcn
TK

Từ đầy đủ
Sách giáo viên
Giáo viên
Học sinh

Sinh viên
Sư phạm
Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh
Trung học phổ thơng
Đơn vị học trình
Trang
Hình chữ nhật
Thống kê


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong thời đại ngày nay, cùng với sự phát triển mạnh mẽ của một xã hội thơng tin, TK đang
chiếm vị trí ngày càng quan trọng trong mọi lĩnh vực của đời sống xã hội: chính trị, nơng nghiệp,
cơng nghiệp, kinh tế,… Ngay từ những năm đầu của thế kỷ trước, Wells (1920) đã dự đốn:
“Trong một tương lai khơng xa, kiến thức thống kê và tư duy thống kê sẽ trở thành một yếu tố không thể
thiếu được trong học vấn phổ thông của mỗi cơng dân”

Trong TK thì tri thức về đồ thị TK1 hiện diện rất phổ biến và giữ vai trị quan trọng. Nó vừa là
cơng cụ cho phép biểu diễn trực quan các dãy số liệu để từ đó có thể rút ra những nhận định được
che dấu dưới các số liệu, vừa là công cụ cho phép khái quát hoá các nghiên cứu từ một mẫu số liệu
lên một quần thể rộng lớn hơn.
Thấy được sự cần thiết của tri thức này, các nhà biên soạn chương trình đã đưa đồ thị TK vào
chương trình học các lớp 4,5,7 và lớp 10. Hẳn là việc lần đầu tiên TK được đưa vào chương trình
THPT sẽ đặt ra cho GV và nhà nghiên cứu nhiều vấn đề. Để tìm hiểu bước đầu quan niệm của GV
khi giảng dạy chủ đề này, chúng tôi đã trao đổi với một vài người trong số họ và nhận thấy:
 Nội dung TK bị các GV xem nhẹ. Họ dành phần lớn thời gian và công sức để tập trung
vào các nội dung khác (trong học kì) như Phương trình, Bất phương trình, Lượng giác.
 Mục tiêu các GV nhắm đến trong chương là giới thiệu các công thức TK và yêu cầu HS
việc sử dụng máy tính bỏ túi để tính các số đặc trưng của mẫu số liệu. Các nội dung liên

quan đến đồ thị TK bị gạt ra bên lề, thậm chí cịn bị xem là nhiệm vụ của mơn khác (mơn
Địa lí chẳng hạn).
 Việc giảng dạy nội dung TK trên lớp được tiến hành rất sơ sài, GV có khuynh hướng cho
HS tự đọc sách vì phần này theo họ là tương đối dễ. GV chỉ sử dụng hệ thống bài tập trong
SGK, không đề ra các dạng bài tập nào khác và dường như cũng không quan tâm nhiều
đến việc sửa bài tập.
Tóm lại, đối với GV THPT, dường như đồ thị TK khơng có nhiều “giá trị” trong dạy học tốn.
Như vậy, ở đây có một sự “khập khiễng” giữa vai trò của tri thức đồ thị TK trong đời sống và sự
hiện diện của nó trong thực hành giảng dạy của GV. Nguyên nhân của tình trạng này do đâu? Hiện
tượng này có tồn tại hay không ở những nước mà TK đã được xem là một nội dung dạy học truyền
thống? Dường như tình trạng trên không chỉ tồn tại ở Việt Nam. Chúng tôi ghi nhận được những ý
kiến bộc lộ nỗi băn khoăn về thực hành giảng dạy và về vấn đề đào tạo GV như sau:
3.2. Tại sao thống kê vẫn còn là một “mảnh đất nghèo nàn” trong giảng dạy?
[…]
Thiếu đào tạo giáo viên: đây là một trong những lí do chính, bởi vì việc đưa ra nghĩa cho giảng dạy thống
kê đòi hỏi một sự đào tạo nghiêm túc, vượt khỏi khuôn khổ nội dung bậc trung học, việc đào tạo đã
không bao giờ được đảm bảo. [Duperret, 2002]
[…] Ở cấp độ giảng dạy trung học, và mặc dù với những thành ý rõ ràng, tôi tự cho phép mình cảm thấy
lo lắng về chất lượng thực của những ai phải nói về thống kê.
[Bair và Hasbroeck, 2002, trích lời Dagnelie]

Liệu tình trạng này có xảy ra đối với công tác đào tạo GV dạy học chủ đề TK trong các trường
SP ở Việt Nam?
Câu hỏi đó đã dẫn chúng tôi đến với ý định cần tiến hành nghiên cứu vấn đề đào tạo GV dạy
học chủ đề TK. Để tìm hiểu nguyên nhân sự mờ nhạt của tri thức đồ thị TK trong dạy học TK,
chúng tôi chỉ giới hạn nghiên cứu trong việc đào tạo GV về dạy học nội dung đồ thị TK tại khoa
1

Chúng tôi sử dụng thuật ngữ này theo cách hiểu được nêu trong SGV Đại số 10 (bộ chuẩn):
“Đồ thị thống kê là các hình vẽ hoặc đường nét hình học, dùng để mơ tả có tính chất quy ước các tài liệu thống kê khác một cách

trực quan có hình ảnh.”


Tốn-Tin trường ĐHSP Tp.HCM2. Với đề tài này, chúng tơi mong muốn góp phần định hướng nội
dung chương trình học liên quan đến chủ đề TK, đặc biệt là tri thức về đồ thị TK ở các trường SP
đáp ứng tốt hơn yêu cầu đào tạo GV trong tương lai.
Từ những nhận định nêu trên, chúng tôi tiến hành một nghiên cứu nhằm giải đáp phần nào cho
những câu hỏi sau:
Q1’: Những đặc trưng nào đi cùng với tri thức đồ thị TK mà GV cần hiểu rõ?
Q2’: Chiến lược đào tạo GV tại khoa Toán-Tin trường ĐHSP Tp.HCM giới thiệu nội dung đồ
thị TK cho SVSP như thế nào?
Q3’: Cách giới thiệu này đã giúp SVSP chuẩn bị như thế nào cho việc dạy học nội dung đồ thị
TK?

2. Khung lý thuyết tham chiếu và mục đích nghiên cứu
Chúng tơi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi của lý thuyết didactic toán để giải quyết các
câu hỏi trên.
Xuất phát từ yêu cầu cần xem xét công tác đào tạo GV dạy học đồ thị TK tại khoa Toán-Tin
trường ĐHSP Tp.HCM (Q2’), chúng tôi chọn khung lý thuyết nhân chủng học với việc xác định
“quan hệ thể chế” đào tạo GV đối với tri thức đồ thị TK. Đây là cơ sở để chúng tơi giải thích các
ràng buộc và ảnh hưởng của nó trên “quan hệ cá nhân” của SVSP đối với tri thức này (Q3’).
Quan hệ cá nhân của một cá nhân X với đối tượng O là tập hợp những tác động qua lai mà X có thể có
với O: thao tác nó, sử dụng nó, nói về nó, nghĩ về nó,… Quan hệ cá nhân với đối tượng O chỉ rõ cách
thức mà X biết O.
[…]
Quan hệ thể chế với đối tượng O là một ràng buộc (thể chế) đối với quan hệ của một cá nhân với cùng
đối tượng O này, khi cá nhân là chủ thể của thể chế I.
[Bessot, Comiti, Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến, 2009, tr 315, 317]

Thế nhưng, bằng cách nào ta có thể vạch rõ các đặc trưng của quan hệ thể chế và quan hệ cá

nhân đối với tri thức đồ thị TK? Bosch M. và Chevallard Y. (1999) đã giới thiệu khái niệm
praxéologie để giải quyết câu hỏi phương pháp luận này.
Điều còn thiếu là thiết lập một phương pháp phân tích thực tế thể chế, cho phép mô tả và nghiên cứu các
điều kiện để thực thi. Những phát triển mới đây theo hướng lí thuyết hóa cho phép giải quyết khiếm
khuyết này. Khái niệm chìa khóa là khái niệm tổ chức praxéologie hay ngắn gọn là praxéologie.
[Bessot, Comiti, Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến, 2009, tr 319; trích Bosch, Chevallard, 1999]

Mỗi praxéologie là một bộ 4 thành phần [T,τ,θ,Θ], trong đó T là kiểu nhiệm vụ đặt ra về phía
người học, τ là kĩ thuật cho phép giải quyết T, θ là yếu tố cơng nghệ giải thích cho τ, Θ là yếu tố lí
thuyết giải thích θ. Một praxéologie mà các thành phần đều mang bản chất toán học được gọi là một
“tổ chức toán học”. Như vậy, tổ chức toán học là một khái niệm cần được vận dụng trong luận văn
này khi nghiên cứu mối quan hệ thể chế.
Bên cạnh các phân tích tổ chức tốn học liên quan đến đồ thị TK hiện diện trong các giáo trình
tốn đại học mà SVSP sử dụng, chúng tơi cịn sử dụng khái niệm này để xác định các tổ chức toán
học tham chiếu khi nghiên cứu đồ thị TK ở góc độ tri thức tốn học (Q1’). Từ đó, với khái niệm
“chuyển hóa sư phạm”, chúng tơi có cơ hội nhìn nhận đầy đủ hơn về quan hệ thể chế bằng cách
quan tâm đến những chênh lệnh giữa tổ chức toán học tham chiếu và tổ chức toán học được xây
dựng trong thể chế đào tạo GV.
Bên cạnh đó, để làm rõ quan hệ thể chể và cũng để giải thích những ứng xử của SVSP liên
quan đến tri thức đồ thị TK, chúng tôi sử dụng thêm khái niệm “quy tắc hành động”:

2

Đây là một trong hai trường sư phạm trọng điểm của Việt Nam. Phần lớn các giáo viên THPT phía Nam đều được đào tạo tại
đây.


Một quy tắc hành động là một mơ hình nhằm giải thích và chỉ rõ những kiến thức mà học sinh đã sử dụng
để đưa ra câu trả lời khi thực hiện một nhiệm vụ xác định. Quy tắc hành động này liên quan đến một hay
nhiều tính chất tốn học gắn bó rất chặt chẽ với các quy trình hay câu trả lời của học sinh.

[Bessot, Comiti, Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến, 2009, tr 81]

và “hợp đồng dạy học”:
Hợp đồng chi phối quan hệ giữa thầy và trò về các kế hoạch, các mục tiêu, các quyết định, các hoạt động
và đánh giá sư phạm. Chính hợp đồng chỉ ra ở từng lúc vị trí tương hỗ của các đối tác đối với nhiệm vụ
phải hoàn thành và chỉ rõ ý nghĩa sâu sắc của hoạt động đang được tiến hành, của các phát biểu hoặc
những lời giải thích. Nó là quy tắc giải mã cho hoạt động sư phạm mà mọi sự học tập trong nhà trường
phải trải qua.
[…]
Ta chỉ có thể nắm được ý nghĩa của những lối chỉ đạo cách ứng xử của giáo viên và học sinh, rất cần cho
phân tích didactic, nếu biết gắn những sự kiện được quan sát vào trong khn khổ hợp đồng dạy học để
giải thích.
[Bessot, Comiti, Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến, 2009, tr 339]

Như vậy, với việc sử dụng các khái niệm “Quan hệ cá nhân”, “Quan hệ thể chế”, “Tổ chức
tốn học”, “Chuyển hóa sư phạm” trong lý thuyết nhân chủng học và hai khái niệm “Quy tắc hành
động”, “Hợp đồng dạy học”, chúng tơi trình bày lại các câu hỏi Q1’, Q2’, Q3’ như sau:
Q1: Mỗi dạng đồ thị TK gắn với những tình huống khác nhau nào? Chúng có những điểm đặc
trưng phân biệt nào? Những kiểu nhiệm vụ nào cho phép sự xuất hiện và tác động của tri thức đồ
thị TK? Chúng được giải quyết bằng những kĩ thuật nào? Những kĩ thuật này được giải thích bằng
yếu tố cơng nghệ-lý thuyết nào?
Q2a: Tri thức đồ thị TK xuất hiện trong những học phần nào? Nó hiện diện ở đó vì mục đích
gì? Nó được trình bày như thế nào trong các giáo trình, các tài liệu học tập mà SVSP tiếp cận
được? Thể chế đã đưa ra những hướng dẫn giảng dạy nào cho tri thức này?
Q2b: Liên quan đến tri thức đồ thị TK, các kiểu nhiệm vụ nào xuất hiện trong giáo trình tốn
đại học của SVSP? Các kĩ thuật nào được đề nghị? Chúng được giải thích qua các yếu tố cơng
nghệ, lý thuyết tương ứng nào? Có sự khác biệt nào giữa các tổ chức toán học tham chiếu và tổ
chức toán học hiện diện trong thể chế? Những ràng buộc thể chế nào có thể giải thích cho sự chênh
lệch này?
Q3: Mối quan hệ thể chế đào tạo GV ảnh hưởng thế nào lên mối quan hệ cá nhân của SVSP

đối với tri thức đồ thị TK? Những quy tắc ứng xử nào của SVSP đối với tri thức được thiết lập trong
thể chế? Chúng hình thành từ những ràng buộc nào của thể chế?
Việc tìm kiếm các yếu tố trả lời cho câu hỏi Q1, Q2a, Q2b, Q3 sẽ là mục đích của luận văn
này.

3. Phương pháp nghiên cứu
Trên cơ sở các câu hỏi đặt ra ở trên, chúng tôi xác định các phương pháp nghiên cứu sẽ thực
hiện trong luận văn này như sau:
Việc trả lời câu hỏi Q1 đòi hỏi một nghiên cứu khoa học luận về tri thức đồ thị TK. Tuy nhiên,
do khơng có điều kiện thực hiện một nghiên cứu gốc như vậy nên chúng tôi sẽ cố gắng chỉ ra một số
yếu tố đặc trưng cho tri thức này bằng việc phân tích một số giáo trình đại học về TK và tham khảo
các bài viết liên quan đến tri thức đồ thị TK. Trong đó, chúng tơi sẽ tập trung vào những vấn đề, bài
tốn làm nảy sinh nhu cầu sử dụng đồ thị TK, những tình huống khác nhau, những quy tắc tốn học
và nhất là các tổ chức toán học (tham chiếu) gắn với từng dạng đồ thị TK. Các kết quả thu được từ
câu hỏi Q1 sẽ được trình bày trong Chương 1: “Đặc trưng khoa học luận của tri thức đồ thị
thống kê”
Để có thể đưa ra một câu trả lời thỏa đáng cho các câu hỏi Q2a, Q2b (liên quan đến việc phân
tích quan hệ thể chế đào tạo SV) và câu hỏi Q3 (liên quan đến quan hệ cá nhân của SVSP) chúng tôi
sẽ thực hiện như sau:


- Đầu tiên, chúng tơi tìm hiểu ý kiến của các nhà SP trên thế giới về mục đích cần nhắm đến,
các yếu tố quan trọng mà GV cần làm rõ cho HS khi dạy học TK nói chung và tri thức đồ thị
TK nói riêng. Điều này được thực hiện bằng cách tham khảo và tổng hợp các luận điểm được
trình bày trong các cơng trình nghiên cứu, các bài báo bàn về việc dạy học TK. Các ý kiến SP
này sẽ là một căn cứ cần thiết để chúng tôi xem xét việc đào tạo GV hiện hành tại khoa TốnTin trường ĐHSP Tp.HCM có hướng đến những yêu cầu đặt ra cho công tác đào tạo nhân lực
tại trường phổ thông.
- Tiếp theo, chúng tôi nghiên cứu mối quan hệ giữa thể chế đào tạo GV và tri thức đồ thị TK
thơng qua việc phân tích chương trình đào tạo, các tài liệu được sử dụng để đào tạo GV (sách
tốn đại học, giáo trình giảng dạy bộ mơn Phương pháp dạy học Tốn, SGV hiện hành).

Nghiên cứu chương trình đào tạo sẽ cho thấy tri thức được hiện diện trong những học phần
nào, vai trò của nó, mục tiêu đào tạo mà thể chế muốn hướng đến. Nghiên cứu phần trình bày
về tri thức trong các sách toán đại học mà SV sử dụng, đặc biệt là việc phân tích các tổ chức
tốn học sẽ giúp chúng ta thấy được ý đồ, cách đưa tri thức này đến SV, những vấn đề liên
quan đến tri thức đã được đề cập đến như thế nào. Nghiên cứu các giáo trình giảng dạy bộ
mơn Phương pháp và SGV sẽ cho phép tìm hiểu những quan điểm SP, hướng dẫn giảng dạy
tri thức này và các phần bổ sung, mở rộng về tri thức đồ thị TK mà SVSP nhận được trong
quá trình đào tạo.
- Bằng cách đối chiếu những “chuẩn bị” mà quá trình đào tạo trang bị cho SVSP trước khi
bước vào hệ thống dạy học phổ thông với đặc trưng khoa học luận của tri thức (chương 1) và
với những địi hỏi của cơng tác đào tạo nhân lực ở trường phổ thơng, chúng tơi có thể xác
định được các ràng buộc của thể chế đối với tri thức, giải thích sự chênh lệch giữa tổ chức
toán học (tham chiếu) và tổ chức toán học được xây dựng trong thể chế. Từ đó, chúng tơi có
thể đi đến giả thuyết về một số quy tắc hành động và hợp đồng dạy học đã hình thành nơi
SVSP.
Kết quả thu được từ các phân tích này sẽ được trình bày trong Chương 2: “Mối quan hệ thể
chế với đối tượng đồ thị thống kê”.
Các giả thuyết được nêu ở chương 2 sẽ được kiểm chứng thông qua một thực nghiệm trên đối
tượng là các SVSP ở Chương 3: “Thực nghiệm thứ nhất: Nghiên cứu quan hệ cá nhân của sinh
viên sư phạm với tri thức đồ thị thống kê”. Việc hợp thức các giả thuyết này cho phép chúng tôi
làm rõ được phần nào quan hệ cá nhân của SVSP đối với tri thức đồ thị TK (Q3).
Dựa trên kết quả hợp thức giả thuyết liên quan đến quan hệ cá nhân giữa SVSP và tri thức đồ
thị TK ở chương 3, chúng tôi sẽ tiến hành một thực nghiệm thứ hai nhằm giúp quan hệ cá nhân của
SVSP đáp ứng tốt hơn yêu cầu dạy học nội dung đồ thị TK. Các phân tích tiên nghiệm và hậu
nghiệm của thực nghiệm này sẽ được trình bày trong Chương 4: “Thực nghiệm thứ hai: Hình
thành quan điểm diện tích trên biểu đồ tổ chức”.
Các phương pháp sử dụng trong luận văn được tóm tắt trong sơ đồ sau:

CHƯƠNG 1:
ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN
CỦA TRI THỨC ĐỒ THỊ THỐNG KÊ
Trong chương này, chúng tôi sẽ tiến hành một điều tra khoa học luận đối với tri thức đồ thị TK
bằng việc nghiên cứu một số giáo trình tốn TK ở bậc đại học dành cho các SV chuyên ngành tốn,
hoặc các chun ngành địi hỏi sử dụng tri thức này (như kinh tế, khoa học xã hội,…). Việc phân
tích sâu các giáo trình này cho phép chúng tơi chỉ ra được những vấn đề làm nảy sinh tri thức,
những tình huống cho phép sự can thiệp của mỗi dạng đồ thị TK, cách thức mà chúng được sử
dụng, các quy tắc toán học mà chúng phải tuân theo và mơ tả các tổ chức tốn học (tham chiếu) liên
quan đến đồ thị TK. Chúng tôi chọn sử dụng một số giáo trình đề cập chi tiết đến tri thức đồ thị TK
(mới xuất bản tại các nước có truyền thống dạy học TK) sau:
Dodge Y. (2006), Premiers pas en statistique, Springer.
Freedman D., Pisani R., Purves R. (1998), Statistics, W.W. Norton & Company, Inc.
Navidi W. (2006), Statistics for Engineers and Scientists, The Mc Graw-Hill Companies, Inc.
(Để thuận tiện cho việc trích dẫn, chúng tơi tạm kí hiệu các giáo trình này lần lượt là [a], [b], [c])
Ngồi ra, để bổ sung cho phân tích từ giáo trình tốn đại học, chúng tơi cịn tham khảo thêm
những phân tích của Chauvat (2002) về đặc trưng của một số dạng đồ thị TK và phần trình bày, giải
thích về cách sử dụng các dạng đồ thị TK trong trang web Statistics Canada.

I. Sơ lược về tri thức đồ thị thống kê
Theo Dodge (2006), trong thực tế, con người thường phải đối diện với một số lượng khổng lồ
các dữ liệu và người ta khó có thể rút ra những kết luận thuyết phục từ chúng nếu không tổ chức lại
chúng một cách hiệu quả. Việc tổ chức lại dữ liệu phải đảm bảo những thông tin cơ bản chứa trong
các dữ liệu, đồng thời khơng được bỏ qua những khía cạnh đặc thù trong cấu trúc của nó. Những
cơng cụ TK phục vụ cho việc này có thể nói đến là bảng TK và đồ thị TK. Tổ chức dữ liệu theo
dạng bảng khắc họa phân bố số lượng giá trị theo các biến quan sát, nó cho phép thâu tóm được
những thông tin cơ bản của dấu hiệu nghiên cứu. Các đồ thị TK cho phép làm nổi bật một cách trực
quan phân bố dữ liệu.
Đồ thị TK đem lại nhiều thuận lợi, tạo sự dễ dàng trong trong phần lớn trường hợp cần quan
sát cấu trúc của dãy dữ liệu. Tuy nhiên, nó khơng phát huy hiệu quả trong một số tình huống mà dữ

liệu có những đặc điểm được chỉ ra trong bảng sau:


Bảng 1.1: Một số tình huống hạn chế ưu thế trực quan của đồ thị TK

Đặc điểm
của dữ liệu
Dữ liệu có
độ phân tán
q lớn

Ví dụ (trích theo trang web Statistics Canada)

Biểu đồ thể hiện số lượng phiếu bầu cho các đảng
chính trị lớn trong cuộc bầu cử liên bang tại Anytowne

Dữ liệu ít
biến động

Biểu đồ thể hiện số lượng thanh niên tập thể dục ít nhất một lần mỗi tuần, theo tuổi tác, từ
năm 1996 đến 2002

Số học sinh

Dữ liệu có
q ít giá trị
khác nhau

Biểu đồ thể hiện số lượng người học ghi danh
vào trường trung học Greenfield

Dữ
liệu
chứa
quá
nhiều thông
tin

Tỉ lệ

Tỉ lệTỉ lệ

Pháp

Ý

Trung
Quốc

Bồ Đào Nha
Tây Ban
Nha
Đức
Ba Lan
Punjab

Ả Rập

Việt Nam

Hàn Quốc
Hy
Lạp
Năm

Biểu đồ thể hiện số lượng sinh viên các nước của trường West High School sử dụng tiếng
Anh, từ năm 1987 đến 2002

Khi này, dữ liệu được trình bày theo dạng bảng có thể cung cấp một giải thích tốt hơn, đồng thời tiết
kiệm được nhiều công sức và thời gian cho người nghiên cứu.
Có nhiều dạng đồ thị TK có thể được sử dụng tuỳ thuộc vào đặc điểm của dữ liệu nghiên cứu
và mục đích nghiên cứu. Tuy nhiên, do mục đích của luận văn là nghiên cứu vấn đề đào tạo GV nên
chúng tôi chỉ tập trung vào các dạng đồ thị TK xuất hiện trong chương trình đào tạo GV tại Việt
Nam, bao gồm: biểu đồ hình cột (bar chart), biểu đồ hình quạt (pie chart), biểu đồ tổ chức
(histogram) và đa giác tần số, tần suất (histograph).

II. Biểu đồ hình cột
Biểu đồ hình cột được sử dụng để biểu diễn trực quan thông tin của các biến định tính hoặc
định lượng rời rạc. Các cột sẽ được vẽ rời nhau nếu là biến định tính và liền nhau nếu là biến định
lượng rời rạc.


Biểu đồ hình cột thể hiện chất lượng
nghiệp vụ của một nhóm nhân viên
[a, tr 25]

Biểu đồ hình cột thể hiện số lần
thất nghiệp của các công nhân trong 1 năm
[a, tr 28]

Điểm chính yếu trong biểu đồ hình cột là việc xây dựng các cột ứng với các giá trị khác nhau
của biến quan sát.
Các cột có thể được vẽ theo chiều đứng hoặc chiều ngang, tương ứng với mỗi giá trị khác nhau của biến
đang xem xét. Chiều cao (hoặc chiều dài) của cột thể hiện số lượng phần tử của mỗi “lớp”. [a, tr.tr 24]

Thông thường, người ta vẽ các cột theo chiều đứng để dễ quan sát. Tuy nhiên, trong trường
hợp các cụm từ mô tả giá trị của biến quan sát cần nhiều chỗ trống (chẳng hạn: tên quốc gia, tên
người,…), người ta sẽ vẽ các cột theo chiều ngang, ví dụ:
Úc
Bra-xin
Trung Quốc
Pháp
Hàn Quốc
Mỹ

Số lượng người nhập cư

Biểu đồ thể hiện số lượng sinh viên nhập cư trường cao đẳng Diversity

Do chiều cao (hoặc chiều dài) của cột đem đến một hình ảnh trực quan về sự phổ biến của
từng giá trị biến quan sát nên biểu đồ hình cột có nhiều ưu thế trong việc so sánh số liệu ứng với các
giá trị khác nhau của biến TK.
Những tổ chức toán học liên quan biểu đồ hình cột có thể ghi nhận được:
Bảng 1.2: Các tổ chức toán học liên quan đến tri thức biểu đồ hình cột

Tcv: Vẽ biểu đồ hình cột
Kiểu
nhiệm vụ (c: biểu đồ hình cột, v: vẽ)

Tcs: So sánh sự phổ biến giữa 2 giá

trị của biến quan sát
(c: biểu đồ hình cột, s: so sánh)

τ cv: Vẽ các cột với chiều cao (hoặc
τcs: So sánh chiều cao (hoặc chiều
Kĩ
chiều dài) được xác định bằng số
dài) của 2 cột ứng với 2 giá trị của
thuật
liệu tương ứng với các giá trị của
biến quan sát.
biến quan sát.
Công
θc: Chiều cao (hoặc chiều dài) cột tỉ lệ với số lượng phần tử ứng với
nghệ
từng giá trị của biến quan sát.
Ngoài 2 kiểu nhiệm vụ cơ bản này, Tcs còn là kiểu nhiệm vụ con của Tcln (Tcnn): Tìm giá trị phổ biến
nhất (ít phổ biến nhất) của biến quan sát.
Yếu tố công nghệ chung θc của tổ chức tốn học địa phương (hình thành trên các kiểu nhiệm
v
vụ Tc , Tcs) phản ánh đặc trưng chiều cao của biểu đồ hình cột.

III. Biểu đồ hình quạt
Biểu đồ hình quạt được sử dụng để biểu diễn trực quan phân bố tần suất của các thành phần
trong một tổng thể.


Biểu đồ hình quạt thể hiện chất lượng
nghiệp vụ của một nhóm nhân viên
[a, tr 25]

Biểu đồ hình quạt thể hiện số lần
thất nghiệp của các công nhân trong 1 năm
[a, tr 28]

Biểu đồ hình quạt thích hợp trong trường hợp mô tả cấu trúc thành phần ứng với từng giá trị
của biến quan sát (định tính hoặc định lượng rời rạc) nhưng trong trường hợp ứng với một quan sát,
có nhiều giá trị của biến TK cùng lúc xuất hiện (ví dụ: với câu hỏi “Tại sao bạn lại chọn xe của hãng
X?”, nhiều yếu tố có thể được đề cập đến cùng lúc như chi phí, tốc độ, sự tiện nghi, hình dáng,…),
tức là tổng số phần trăm vượt quá 100%, người ta không thể sử dụng biểu đồ hình quạt mà buộc
phải sử dụng một dạng biểu đồ khác (biểu đồ hình cột chẳng hạn).
Việc biểu diễn dữ liệu bằng biểu đồ hình quạt được mơ tả như sau:
Biểu đồ tròn nhấn mạnh trọng tâm vào việc biểu diễn tổng thể bằng một hình trịn và chia hình trịn thành
các hình quạt, theo cách tỉ lệ với tần số các giá trị khác nhau của biến đang xét. [a, tr.tr 25]

Trong thực tế, người ta sẽ cần phải cân nhắc việc sử dụng biểu đồ hình quạt khi:
- Dữ liệu có nhiều giá trị khác nhau (lớn hơn 6), vì khi đó, hình ảnh biểu đồ sẽ bắt đầu phức
tạp, gây khó khăn cho việc đọc hiểu dữ liệu.
- Tần số (tần suất) của các thành phần gần bằng nhau, vì khi đó, khó có thể xem xét sự khác
biệt giữa các thành phần.
Các kiểu nhiệm vụ liên quan đến biểu đồ hình quạt cũng tương tự như biểu đồ hình cột.
Bảng 1.3: Các tổ chức tốn học liên quan đến tri thức biểu đồ hình quạt

Tqs: So sánh sự phổ biến giữa 2 giá trị
của biến quan sát
(q: biểu đồ hình quạt, s: so sánh)
v
τ q : Vẽ các hình quạt với góc τqs,1: So sánh diện tích của 2 hình quạt.
ở tâm được xác định theo τqs,2: So sánh góc ở tâm của 2 hình
Kĩ

cơng thức  i  360. fi (trong quạt.
thuật
n
τqs,3: So sánh độ dài cung trịn của 2
đó fi  i là tần suất)
n
hình quạt.
Cơng
θq: Diện tích hình quạt tỉ lệ với tần số (tần suất) các thành phần trong
nghệ
dãy dữ liệu.
Ngoài 2 kiểu nhiệm vụ cơ bản này, Tqs là kiểu nhiệm vụ con của Tqln (Tqnn): Tìm giá trị phổ biến
nhất (ít phổ biến nhất) của biến quan sát.
Yếu tố cơng nghệ chung θq trong tổ chức tốn học địa phương (hình thành từ tổ chức tốn học
của hai kiểu nhiệm vụ Tqv và Tqs) cho thấy đây là quy tắc toán học quan trọng, đặc trưng cho dạng
đồ thị TK này.
Tqv: Vẽ biểu đồ hình quạt
Kiểu
nhiệm vụ (q: biểu đồ hình quạt, v: vẽ)

IV. Biểu đồ tổ chức
Trong trường hợp biến TK nghiên cứu có quá nhiều giá trị quan sát được (nhất là trong trường
hợp biến định lượng liên tục), người ta buộc phải tìm cách “nhóm” các giá trị khác nhau lại thành
các lớp ghép. Với việc ghép lớp, người ta phải “hy sinh” thông tin của từng giá trị quan sát được,


nhưng bù lại, số đối tượng nghiên cứu lúc này đã được giảm thiểu rất nhiều: từ một số lượng lớn các
giá trị quan sát khác nhau đã được chuyển thành một số lượng vừa đủ các lớp ghép. Khi này, thay vì
quan tâm đến tần số, tần suất của từng giá trị riêng lẻ, người ta quan tâm đến tần số (ni), tần suất (fi)
của các lớp ghép Ci.

Để xem xét một cách trực quan sự phân bố của các dữ liệu trong từng lớp ghép, người ta tìm
cách biểu diễn thông tin các lớp ghép bằng một đồ thị TK. Đầu tiên, người ta có khuynh hướng biểu
diễn cặp đôi (Ci,ni) (hoặc (Ci,fi))bằng một loạt các đoạn thẳng với chiều dài ni (hoặc fi) nằm trên các
khoảng Ci. Theo Chauvat (2002), điều này dẫn đến 2 vấn đề:
- Hai lớp ghép có cùng tần số nhưng có độ rộng khác nhau lại cùng được biểu diễn bằng các đoạn thẳng
cao bằng nhau.
- Người ta hướng đến, bằng 1 cách đọc trực tiếp theo cả 2 chiều ngang-dọc, có thể “tích hợp” được tần số
ni (hoặc fi ) cho mỗi giá trị của lớp ghép.

Giải pháp cho 2 vấn đề này là việc biểu diễn (Ci,ni) (hoặc (Ci,fi)) bằng một loạt các hcn có đáy
là Ci và có diện tích tỉ lệ với ni (hoặc fi).
Trong một biểu đồ tổ chức, diện tích của các hcn biểu diễn tần suất. [b, tr.tr 32]

Xét về mặt hình thức, thơng tin trong “biểu đồ tổ chức” và “biểu đồ hình cột” đều được biểu
diễn thơng qua các hcn nhưng có một sự khác biệt về mặt bản chất giữa hai dạng đồ thị TK này
Chúng ta nói rõ rằng: một biểu đồ tổ chức biểu diễn các tần suất thông qua diện tích của các hcn, chứ
khơng phải thơng qua chiều cao. [a, tr.tr 32]

Điều này có thể lý giải cho nhận định
[…] Trước hết, khơng có một thang đo đứng: khác với các biểu đồ khác, biểu đồ tổ chức không cần một
thang đo đứng. [b, tr.tr 31]

Biểu đồ tổ chức thể hiện phân bố các gia đình theo thu nhập tại Mỹ, năm 1973
[b, tr 32]

Tuy nhiên, theo Chauvat (2002) cách làm này phải dựa trên 2 giả định:
- Có một sự phân bố đồng đều giữa các giá trị quan sát nằm trong cùng một lớp ghép.
- Các lớp ghép khơng có biên (độ rộng khơng xác định) thì có tần số bằng 0.
Trong thực hành vẽ biểu đồ tổ chức, để vẽ được các hcn đại diện cho các lớp ghép, người ta
cần xác định chiều cao của các hcn (đáy của hcn đã được xác định qua các điểm biên của lớp ghép

trên trục ngang). Với yêu cầu đảm bảo diện tích các hcn tỉ lệ với tần suất lớp ghép, người ta xác
định chiều cao của các hcn như sau:
[…] để xác định chiều cao hcn của một lớp cho trước, phải chia tỉ lệ phần trăm quan sát được trong lớp
này cho độ rộng của lớp (được diễn tả bằng số đơn vị cơ sở).
[a, tr.tr 34]

Để thuận lợi cho việc vẽ biểu đồ tổ chức cũng như xác định diện tích của hcn, người ta bổ
sung thêm một trục đứng vào hình vẽ.


Biểu đồ tổ chức thể hiện phân bố các gia đình theo thu nhập tại Mỹ, năm 1973
[b, tr 33]

Khi này, trục đứng (chiều cao) của hcn trong biểu đồ tổ chức sẽ mang một ý nghĩa hoàn toàn
khác so với trục đứng trong biểu đồ hình cột.
Khi người ta so sánh diện tích của các hcn trong một biểu đồ tổ chức, sẽ rất có ích nếu dựa trên một thang
đo theo chiều đứng mà người ta sẽ gọi là thang đo mật độ. Nó làm rõ tỉ lệ quan sát trên 1 đơn vị của trục
nằm ngang. [a, tr.tr 34]

Do chưa có một qui định thống nhất cho việc ghép lớp nên để dễ dàng cho thao tác, người ta
thường có khuynh hướng thực hiện một sự ghép lớp đều nhau. Trong trường hợp này, do độ rộng
của các lớp ghép đều bằng nhau nên chiều cao của hcn sẽ tỉ lệ với tần số (tần suất) lớp ghép. Điều
này dễ làm người ta lầm lẫn với đặc trưng của biểu đồ hình cột.
Thế nhưng, trong một số trường hợp, người ta cần đến một sự ghép lớp khơng đều nhau. Sau
đây là một ví dụ (trích từ [c]):
Bảng 1.4: Ví dụ về sự cần thiết của việc ghép lớp không đều

Biểu đồ tổ chức
với các lớp ghép không đều nhau

Mật độ

Biểu đồ tổ chức
với các lớp ghép đều nhau

Sự phát tán (g/gal)

Hình 1 [c, tr 30]

Hình 2 [c, tr 28]

Hình 1 và hình 2 biểu diễn cùng một dãy dữ liệu. Trong hình 1, việc ghép lớp đều nhau làm xuất
hiện hai lớp ghép có tần số bằng 0 (lớp ghép 15-17 và 21-23). Đồng thời ta cũng có thể nhận thấy
phần lớn số liệu nhỏ hơn 11 nhưng lại có đến hơn phân nửa số lượng hcn (7/12 hcn) được sử dụng
để biểu diễn một số ít dữ liệu lớn hơn 11. Dãy 7 hcn nhỏ này có thể làm xao nhãng sự tập trung của
người đọc đối với phần lớn dữ liệu còn lại (5 hcn bên trái). Để giúp người đọc tập trung vào cấu trúc
tổng thể của dãy dữ liệu, người ta tiến hành một sự ghép lớp không đều nhau (ghép lớp lại) như
trong hình 2. Như vậy, việc ghép lớp khơng đều nhau trong trường hợp này cho phép chúng ta hạn
chế những “nhiễu loạn thị giác” và đem lại một cái nhìn bao quát hơn về cơ cấu phân bố dữ liệu.
Các tổ chức toán học gắn với tri thức biểu đồ tổ chức gồm có:
 Ttcv: Vẽ biểu đồ tổ chức (tc: biểu đồ tổ chức, v: vẽ)
τtcv: Vẽ các hcn với đáy là lớp ghép nằm trên trục ngang và chiều cao bằng với mật độ lớp
ghép.
 Ttct1: Tính tần suất của lớp ghép từ kích thước hcn (t: tính tần suất)


Ví dụ: Bài tập 4a [b, tr.tr 42]
Hãy lựa chọn kết quả đúng trong bài toán:
Trong nghiên cứu của Cơ quan sức khỏe cộng đồng, có một biểu đồ tổ chức biểu diễn số điếu thuốc lá
được hút mỗi ngày của các đối tượng (thường là nam giới) như dưới đây. Mật độ lớp ghép được kí hiệu

giữa hai dấu ngoặc đơn. Biên phải được qui ước tính vào lớp ghép, cịn biên trái thì khơng.
(a) Phần trăm số người hút từ 10 điếu trở xuống mỗi ngày gần bằng:
1,5%
15%
30%
50%

τtct1: Nhân độ rộng (chiều rộng hcn-trục ngang) với mật độ (chiều cao hcn-trục đứng) để tính
tần suất lớp ghép.
 Ttct2: Tính tần suất lớp ghép từ tỉ số diện tích hcn
Ví dụ: Bài tập 1a [b, tr 33]
Khoảng 1% gia đình trong hình 2 có thu nhập trong khoảng 0$ đến 1000$. Hãy ước lượng phần trăm số
gia đình có thu nhập
(a) từ 1000$ đến 2000$
(b) từ 2000$ đến 3000$
(c) từ 3000$ đến 4000$
(d) từ 4000$ đến 5000$
(e) từ 4000$ đến 7000$
(f) từ 7000$ đến 10000$

τtct2: Dựa vào biểu đồ tổ chức, xác định tỉ số giữa diện tích lớp đang xét và diện tích đã biết
tần suất f; nhân tỉ số này với tần suất f, ta được kết quả cần tìm.
Cụ thể, trong ví dụ trên, tỉ số diện tích của các hcn tương ứng lớp ghép 1000-2000 và lớp
ghép 0-1000 là 2, do tần suất lớp ghép 0-1000 là 1% nên tần suất lớp ghép 1000-2000 là 2×1%=2%.
 Ttcc: Xác định chiều cao của hcn cịn thiếu trong biểu đồ tổ chức (c: chiều cao)
Ví dụ: Bài tập 8 [c, tr.tr 42]

Mật độ

Biểu đồ tổ chức dưới đây biểu diễn số lượng bạc [một phần triệu (ppm)] được tìm thấy trong một mẫu đá.

Biểu đồ thiếu một hcn. Chiều cao của nó là bao nhiêu?

Lượng bạc (một phần triệu)

τtcc: Thực hiện các thao tác sau:
- Xác định tần suất của các lớp có trên biểu đồ bằng kĩ thuật τtct1 hoặc τtct2.
- Tính tần suất của lớp ứng với hcn còn thiếu bằng cách lấy 100% trừ đi tổng số tần suất của
các lớp ghép vừa tính.
- Tính chiều cao của hcn cịn thiếu bằng cách chia tần suất cho độ rộng lớp ghép.
 Ttcs1: So sánh tần suất 2 lớp ghép trong cùng biểu đồ tổ chức (s: so sánh)
τtcs1: So sánh diện tích của 2 hcn ứng với 2 lớp ghép.


 Ttcs2: So sánh hai dãy dữ liệu bằng biểu đồ tổ chức
Ví dụ: Bài tập 1 [b, tr.tr 46]
Viện Nghiên cứu Dược phẩm so sánh huyết áp của những phụ nữ có số lượng con khác nhau. Dưới đây là
phác thảo của biểu đồ tổ chức đối với những phụ nữ có 2 hoặc 4 con. Nhóm nào có huyết áp cao hơn? Có
phải việc có con là nguyên nhân làm huyết áp của các bà mẹ thay đổi? Sự thay đổi có thể do một vài tác
động khác?

τtcs2: Việc so sánh dữ liệu được dựa vào độ lệch của biểu đồ tổ chức. Biểu đồ tổ chức lệch về
khu vực nào (bên trái hoặc bên phải của trục ngang – biểu diễn các số liệu khác nhau) thì phần lớn
dữ liệu quan sát được sẽ tập trung vào khu vực đó.
Ngồi các kiểu nhiệm vụ nói trên, chúng tơi cịn tìm thấy một số kiểu nhiệm vụ khác đề cập
đến mối liên hệ giữa biểu đồ tổ chức và các số đặc trưng cho dãy số liệu (số trung bình, trung vị, tứ
phân3, bách phân4) như:
 Ttcđx: Xét tính đối xứng của biểu đồ tổ chức dựa vào trung bình, trung vị.
 T’tcđx: Xét tính đối xứng của biểu đồ tổ chức dựa vào bách phân.
 T’tcs: So sánh trung bình và trung vị dựa trên hình vẽ biểu đồ tổ chức.
 Ttcu1 (Ttcu2, Ttcu3): Ước lượng tứ phân thứ nhất (thứ hai, thứ ba).

Mặt khác, biểu đồ tổ chức còn xuất hiện trong TK suy diễn như là một cơng cụ cho phép
hình dung hàm mật độ lý thuyết.
Khái niệm mật độ (của tần số hoặc của tần suất) xuất hiện ở đây như là một yếu tố cơ bản, và càng quan
trọng hơn khi trong thống kê toán học, những dấu hiệu định lượng liên tục được mơ hình hóa bằng các
đại lượng ngẫu nhiên được mô tả bằng hàm mật độ lý thuyết mà biểu đồ tổ chức cho phép ước lượng.
[Chauvat, 2002]

Các tổ chức toán học liên quan đến tri thức biểu đồ tổ chức được nêu ở trên lập thành tổ chức
toán học địa phương, cùng xoay quanh yếu tố công nghệ θ tc –“Diện tích của các hcn tỉ lệ với tần
suất của lớp ghép”. Qua đây, ta có thể nhận thấy phát biểu của yếu tố cơng nghệ θtc chính là đặc
trưng quan trọng của tri thức này.

V. Đa giác tần số-tần suất
Để thuận tiện hơn khi muốn xem xét sự tiến triển của các số liệu, người ta bổ sung thêm một
dạng đồ thị TK khác vào biểu đồ tổ chức, đó là đa giác tần số-tần suất.

[a, tr 38]

3

Tứ phân gồm có 3 số: tứ phân thứ nhất, tứ phân thứ hai, tứ phân thứ ba. Ba số này chia các dữ liệu (đã sắp thứ tự) làm 4 phần
đều nhau.
4
Tương tự như khái niệm về tứ phân, bách phân gồm có 99 số, chia các dữ liệu (đã sắp thứ tự) làm 100 phần đều nhau.


Đa giác tần số-tần suất chỉ được đề cập đến trong trường hợp biến định lượng liên tục (hoặc
biến định lượng rời rạc có rất nhiều giá trị khác nhau) được ghép lớp đều nhau.
Với một biểu đồ tổ chức đã được vẽ trước, người ta chỉ việc nối trung điểm các cạnh trên của
hcn trong biểu đồ tổ chức để được dạng đồ thị TK này. Trong trường hợp chưa có biểu đồ tổ chức,

đa giác tần số-tần suất được xây dựng bằng cách nối các điểm có “tọa độ” (ci,ni) (hoặc (ci,fi)) trong
đó ci là tâm của lớp ghép Ci và ni (fi) là tần số (tần suất) của lớp ghép Ci. Đặc biệt, ngồi các lớp
ghép hình thành từ các số liệu thu được, người ta còn bổ sung thêm 2 lớp ghép “tưởng tượng” với
độ rộng bằng với các lớp ghép đã có và có tần số (tần suất) bằng 0: lớp ghép Co ở trước lớp ghép
đầu tiên và lớp ghép Ck+1 ở sau lớp ghép cuối cùng. Khi này, do độ rộng của các lớp ghép đều bằng
nhau nên diện tích bên dưới của đường gấp khúc tỉ lệ với tổng số các quan sát.
Đường gấp khúc nhận được theo quy tắc vẽ trên cho phép người đọc có thể nhận ra sự tiến
triển của tần số, tần suất, mật độ lớp ghép5. Ngoài ra, tương tự như biểu đồ tổ chức, nó cịn cho phép
dự đốn được hình dáng của đồ thị hàm mật độ lý thuyết của biến ngẫu nhiên đang xét.
Liên quan đến tri thức này, tổ chức toán học thường được ghi nhận trong các giáo trình là:
v
Tđg : Vẽ đa giác tần số-tần suất (đg: đa giác tần số-tần suất, v: vẽ)
τđgv: Vẽ đường gấp khúc nối các điểm có “tọa độ” (ci,ni) (hoặc (ci,fi)) trong đó ci là tâm của lớp ghép
Ci và ni (fi) là tần số (tần suất) của lớp ghép Ci.
θđgv: Định nghĩa đa giác tần số (tần suất)
Mặt khác, do đa giác tần số (tần suất) thường được sử dụng để bổ sung cho biểu đồ tổ chức
nên nó có thể hiện diện (ngầm ẩn) trong một số kiểu nhiệm vụ liên quan đến biểu đồ tổ chức đã nói
ở trên như: So sánh hai dãy dữ liệu (Tđgs2), ước lượng tứ phân (Tđgu1, Tđgu2, Tđgu3), so sánh trung
bình-trung vị (T’đgs). Ngồi ra, đa giác tần số (tần suất) có thể xuất hiện trong kiểu nhiệm vụ đòi hỏi
nhận xét sự tiến triển của dãy số liệu.

VI. Kết luận chương 1
Tri thức đồ thị TK cho phép đem đến một cái nhìn trực quan về cấu trúc của dãy dữ liệu. Mỗi
dạng đồ thị TK ứng với một dạng dữ liệu khác nhau, phục vụ những mục đích sử dụng khác nhau và
mang những đặc trưng khác nhau.
Bảng 1.5: Đặc trưng của các dạng đồ thị TK

Đồ thị
TK
Biểu đồ

hình cột

Biểu đồ
hình quạt

Biểu đồ
tổ chức

5

Tình huống sử dụng
Đặc trưng
Đặc điểm
Mục đích
dãy dữ liệu
sử dụng
Biến định tính So sánh sự phổ biến của Chiều cao (hoặc chiều
các dữ liệu khác nhau dài) cột tỉ lệ số lượng
Biến định
trong dãy
phần tử ứng với từng giá
lượng rời rạc
trị của biến quan sát.
Các thành
-Mô tả cấu trúc thành Diện tích hình quạt tỉ lệ
phần (cơ cấu) của dữ liệu với tần số (tần suất) của
phần trong
một tổng thể
-So sánh tỷ trọng giữa các các thành phần trong dãy
dữ liệu.

thành phần
-Xem xét phân bố dữ liệu. Diện tích của các hcn tỉ lệ
Biến định
với tần suất của lớp ghép.
lượng (liên tục -So sánh hai dãy số liệu
hoặc rời rạc có -Dự đoán đường cong
rất nhiều giá
hàm mật độ lý thuyết
trị khác nhau)

Các yếu tố này tỉ lệ nhau do độ rộng của các lớp ghép là bằng nhau.


được ghép lớp.
Tương tự như
trong biểu đồ
tổ chức nhưng
các lớp ghép
có độ rộng
bằng nhau.

Đường gấp khúc (bổ sung
cho biểu đồ tổ chức) nối
trung điểm của các đoạn
thẳng giới hạn phía trên
của biểu đồ tổ chức. Diện
tích giới hạn bên dưới
đường gấp khúc tỉ lệ với
tổng số quan sát.
Trong các loại đồ thị TK nêu trên, chỉ có biểu đồ hình cột là khơng có sự can thiệp của yếu tố

diện tích. Tuy nhiên, loại biểu đồ này lại chỉ cung cấp một biểu diễn trực quan của dãy dữ liệu khi
đối tượng quan sát khơng có nhiều giá trị khác nhau (biến định tính hoặc định lượng rời rạc) và vấn
đề được quan tâm là so sánh sự phổ biến của một vài giá trị của biến quan sát. Một cái nhìn tổng thể
và phân tích sâu trong trường hợp biến quan sát có nhiều giá trị khác nhau dường như khó có thể đạt
được với dạng biểu đồ này.
Biểu đồ tổ chức khắc phục được nhược điểm trên của biểu đồ hình cột với việc biểu diễn tần
số (tần suất) của lớp ghép (hình thành từ việc “nhóm” các giá trị khác nhau của biến quan sát). Mặt
khác, ngoài việc xem xét phân bố dữ liệu, nó cịn cho phép so sánh hai dãy số liệu khác nhau và đưa
ra dự đoán về đường cong hàm mật độ lý thuyết. Tuy nhiên, do biểu đồ hình cột và biểu đồ tổ chức
khá giống nhau về hình thức (biểu diễn dữ liệu bằng các hcn) nên dễ dẫn đến khả năng nhầm lẫn 2
đặc trưng của 2 dạng đồ thị TK này, nhất là trong trường hợp ghép lớp đều nhau. Một sự giải thích,
phân biệt rõ ràng về đặc trưng của từng dạng biểu đồ là cần thiết cho việc lĩnh hội tri thức này.
Kế thừa các công dụng của biểu đồ tổ chức, đa giác tần số-tần suất mở rộng thêm khả năng
phân tích sự tiến triển của tần số (tần suất) lớp ghép. Thế nhưng, dạng đồ thị TK này chỉ xuất hiện
trong điều kiện ghép lớp đều nhau. Điều này đảm bảo cho tính chất: diện tích bên dưới đường gấp
khúc tỉ lệ với tổng số các quan sát. Tuy nhiên, tính chất này lại được mơ tả khá tốt qua biểu đồ tổ
chức. Từ đó, xuất hiện nguy cơ điều kiện ghép lớp đều nhau sẽ bị bỏ qua, người ta chỉ tập trung vào
ưu điểm biểu diễn sự tiến triển của tần số (tần suất) qua đường gấp khúc mỗi khi nhắc đến dạng đồ
thị TK này.
Biểu đồ hình quạt có ưu thế hơn các dạng đồ thị TK khác trong việc biểu diễn nhiều dạng dữ
liệu khác nhau (cả định lượng lẫn định tính). Tuy thế, nó chỉ đáp ứng u cầu về một cái nhìn tổng
quan về cơ cấu của dữ liệu trong trường hợp số lượng các thành phần trong tổng thể là tương đối ít.
Những kết quả thu được trong chương này cho phép chúng tơi nhận ra những địi hỏi liên quan
đến đặc trưng khoa học luận của tri thức đồ thị TK khi tiến hành đào tạo GV. Chúng hình thành nên
tham chiếu cần thiết để chúng tơi xem xét mối quan hệ thể chế trong chương sau.
Đa giác
tần số,
tần suất
(thường
đi kèm

biểu đồ tổ
chức)

-Xem xét sự tiến triển của
mật độ (tần số, tần suất)
lớp ghép.
-So sánh hai dãy số liệu
-Dự đoán đường cong
hàm mật độ lý thuyết


CHƯƠNG 2:
MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI ĐỐI TƯỢNG
ĐỒ THỊ THỐNG KÊ
Trong chương này, chúng tơi sẽ phân tích chương trình đào tạo cử nhân sư phạm tốn (chính
quy) tại khoa Tốn-Tin trường ĐHSP Tp.HCM và các giáo trình, tài liệu được SVSP sử dụng liên
quan đến tri thức đồ thị TK nhằm vạch rõ các ràng buộc của thể chể đối với tri thức này. Tuy nhiên,
trước đó, chúng tôi sẽ điểm qua một số ý kiến của các nhà SP trên thế giới về dạy học TK nói chung
và tri thức đồ thị TK nói riêng để có cái nhìn rõ ràng hơn về những địi hỏi đối với GV khi dạy học
nội dung này ở trường phổ thông, đồng thời đây cũng là yêu cầu đối với công tác đào tạo GV tại các
trường SP.

I. Dạy học thống kê
Do chương trình, sách giáo khoa ở bậc trung học thường khơng ổn định nên chúng tơi sẽ
khơng trích ra đây các yêu cầu được nêu ra trong các tài liệu bồi dưỡng GV hay SGV của chương
trình hiện hành. Chúng tôi cho rằng để định hướng lâu dài việc đào tạo GV trong các trường SP, cần
căn cứ trên những nghiên cứu về việc dạy học TK nói chung và tri thức đồ thị TK nói riêng, đặc biệt
là tại các nước đã có truyền thống dạy học nội dung này. Do đó, để thực hiện nhiệm vụ này, chúng
tôi sẽ tổng hợp những ý kiến của các nhà SP được trình bày trong các bài báo, tham luận,… về vấn
đề này. Cụ thể, chúng tôi sử dụng những luận điểm được trình bày bởi các tác giả:

 Jacques Bair, Gentiane Hasbroeck (2002) bàn về vấn đề “Dạy học thống kê tại cộng đồng
pháp ngữ Bỉ”.
 Jean-Claude Duperret (2002) đề cập đến một sự phát triển “Từ thống kê đến tư duy thống
kê”.
Trong các tài liệu này, chúng tôi sẽ chú ý đến các mục tiêu mà việc dạy học TK nhắm đến,
những vấn đề quan trọng mà GV cần làm rõ với HS.

1) Mục đích dạy học thống kê
Từ các tài liệu đã dẫn, chúng tôi ghi nhận được ý kiến về việc dạy học TK như sau:
Việc giảng dạy thống kê không chỉ nhắm vào việc học các cơng thức, hoặc là các biểu đồ; nó cịn có
những mục đích khác: thống kê khơng chỉ là một tập hợp các kĩ thuật, đó là sự rèn luyện tư duy, một cách
để nắm bắt các dữ liệu, đặc biệt là biết được sự tồn tại của những cái không chắc chắn, sự thay đổi của
thông tin và việc thu thập dữ liệu. Nó cho phép đưa ra quyết định trong những tình huống khơng chắc
chắn. [Bair, Hasbroeck, 2002]

Cụ thể hơn, qua nghiên cứu chương trình tốn ở bậc trung học của Cộng đồng pháp ngữ Bỉ,
Bair và Hasbroeck (2002) cho rằng:
Dạy học thống kê ở bậc trung học đặc biệt nhắm đến việc đào tạo toán học cho cơng dân: bởi vì mỗi
người nhận được vơ số các thông tin đa phương tiện dưới dạng số liệu hoặc các biểu đồ, nên họ cần phải
có khả năng hiểu, làm sáng tỏ và nhận định các thông tin.

Quan điểm giảng dạy TK với mục đích rèn luyện tư duy khơng chỉ được thừa nhận ở Bỉ mà nó
cịn được chia sẻ ở các nước khác, ví dụ, ở Pháp:
Đào tạo công dân: tất cả mọi người đều phải đối diện với vô vàn các thông tin khác nhau; dạy học thống
kê phải phát triển ở họ những khả năng phân tích và tổng hợp thơng tin, cho phép họ có một cái nhìn
phán xét về những thơng tin này. [Duperret, 2002]

Theo Duperret (2002), việc dạy học TK cần nhắm đến việc hình thành tư duy TK với 3 cấp độ:
1. Cấp độ đầu tiên: TK mô tả với mục đích cơ bản là “Biến đổi tổng hợp” thơng tin. Nó
hướng vào việc đào tạo cơng dân các khả năng: hiểu sự biến đổi này, phân tích chính xác,

thận trọng tổng hợp. Một cách chính xác hơn, phải làm cho HS hiểu được vấn đề cơ bản của


TK mơ tả là giúp con người giải quyết tình trạng “tiến thoái lưỡng nan” giữa một bên là yêu
cầu “trung thực” và một bên là sự “rõ ràng” của thông tin.
2. Cấp độ thứ hai: So sánh các dãy dữ liệu. Đây là một trong những vấn đề cơ bản của TK mơ
tả; có thể thực hiện theo các cách thức:
 So sánh (định tính) dựa trên các biểu đồ TK.
 So sánh dựa vào các chỉ số “tóm tắt” mẫu dữ liệu, ví dụ: các chỉ số định tâm (trung
bình số học, trung vị, số mốt), các chỉ số định độ phân tán (phương sai mẫu, độ lệch
chuẩn mẫu),…
 So sánh (định lượng) dựa trên chỉ số tương quan giữa hai mẫu số liệu.
3. Cấp độ thứ ba: TK suy diễn. Đây là nơi của sự mơ hình hố, mở rộng thơng tin nhận được
trong một trong một lĩnh vực thông tin rộng lớn hơn. Cấp độ này đặt ra hai vấn đề: sự hợp
thức của mơ hình đã chọn lựa và kiểm sốt các nguy cơ có thể gặp phải. Sự mơ hình hố địi
hỏi một sự quay đi-trở lại giữa một bên là “thực tiễn” và một bên là “mơ hình tốn học”.
Với ba cấp độ trên, người học có thể hình thành được tư duy TK: quản lí một số lượng lớn các
thơng tin và phân tích chúng, so sánh những tập hợp thơng tin, mơ hình hố tốn học những thơng
tin này để từ đó rút ra những kết luận “phù hợp” như là công cụ giúp cho việc ra các quyết định.

2) Dạy học nội dung “đồ thị thống kê”
Riêng đối với vấn đề dạy học nội dung đồ thị TK, chúng tôi ghi nhận được ý kiến đánh giá cao
vai trò quan trọng của nó đối với việc đào tạo cơng dân:
Chúng ta đang sống trong một thế giới hình ảnh, và cái thường được sử dụng để “chỉ ra” một hiện tượng
thống kê là các biểu đồ. Chắc chắn rằng đây là khuynh hướng lớn nhất trong đào tạo công dân: chọn lựa
biểu đồ thích hợp đối với tình huống, thiết lập nó theo các quy tắc tốn học; hiểu, phân tích, phê phán
một biểu đồ; so sánh những biểu đồ khác nhau… [Duperret, 2002]

Tuy nhiên, chúng ta cần tìm hiểu thêm những đóng góp của tri thức này đối với việc rèn luyện
3 cấp độ tư duy TK nói trên. Hiểu được vai trò của tri thức đồ thị TK trong việc hình thành tư duy

TK, chúng ta có thể định hướng được việc đào tạo GV dạy học nội dung này. Việc chỉ ra các tổ
chức toán học liên quan đến tri thức (chương 1) làm sáng tỏ phần nào yêu cầu này.
Bảng 2.1: Vai trò của đồ thị TK trong việc hình thành các cấp độ tư duy TK

Các cấp độ tư duy TK

Biểu đồ
hình cột

Biểu đồ
hình quạt

Biểu đồ
tổ chức

Cấp độ 1 – “Biến đổi
tổng hợp” thông tin

Tcv, Tcs,
Tcln, Tcnn

Tqv, Tqs,
Tqln, Tqnn

Ttcv, Ttct1, Ttct2,
Ttcc, Ttcs1

Cấp độ 2 – So sánh
các dãy dữ liệu

Ttcs2

Đa giác
tần số-tần suất
Tđgv
quan sát
sự tiến triển
Tđgs2

dự đoán đường dự đoán đường
Cấp độ 3 – Suy diễn
cong hàm mật cong hàm mật độ
độ lý thuyết
lý thuyết
Dựa vào Bảng 2.1, có thể thấy biểu đồ tổ chức và đa giác tần số-tần suất là hai dạng đồ thị TK
có nhiều “tiềm năng” cho việc hình thành tư duy TK cho người học. Điều này cũng đặt ra những
thách thức không nhỏ cho công tác đào tạo GV: cần làm gì để SVSP có thể khai thác tốt hai dạng đồ
thị TK này khi giảng dạy tại trường phổ thơng?
Ngồi ra, theo Duperret (2002), GV cần giúp HS hiểu được 4 đặc điểm mà người ta trông đợi
ở một biểu đồ TK:
 Tính dễ đọc: Một biểu đồ phải trực quan hơn, đọc được nhanh hơn so với những dữ liệu
dạng số. Nó phải nêu bật được các yếu tố cơ bản đang được che đậy dưới sự đông đảo
của các dữ liệu dạng số.


 Tính hợp thức: Một biểu đồ phải tuân thủ theo các quy tắc tốn học, ví dụ: tỉ lệ với độ
dài, với diện tích, với thể tích,…
 Tính trung thực: Một biểu đồ phải tuân theo các số liệu đã thu thập được. Mặt khác, ấn
tượng thị giác không làm “biến dạng” các số liệu thực tế, ví dụ: trục đứng khơng bắt
đầu từ 0, …

 Tính “tự đủ”: người ta có thể hiểu được hiện tượng thơng qua biểu đồ mà không cần
đến sự hiện diện của dãy số liệu.
Thế nhưng, các SVSP đã được chuẩn bị như thế nào để hướng dẫn HS nắm được 4 đặc điểm
này?

II. Sơ lược về chương trình đào tạo giáo viên
Chương trình đào tạo cử nhân SP tốn (chính quy)6 của khoa Tốn-Tin trường ĐHSP
Tp.HCM tiến hành theo mơ hình đào tạo GV truyền thống: tuyển HS THPT vào thẳng ngành SP và
đào tạo theo hình thức tập trung trong 4 năm (8 học kì). SV sau khi tốt nghiệp có thể làm công tác
giảng dạy tại các trường đại học, cao đẳng, trung học chuyên nghiệp, dạy nghề và THPT, hoặc làm
việc tại các viện nghiên cứu, các cơ quan quản lý có sử dụng kiến thức tốn học, hoặc nếu có đủ
điều kiện có thể được đào tạo tiếp ở các trình độ Thạc sĩ, Tiến sĩ.
Khối lượng kiến thức tối thiểu cho tồn khóa là 209 đvht và được bố trí theo từng năm như
sau:

6

Chúng tơi xem xét chương trình đào tạo được áp dụng từ khóa tuyển sinh năm 2006


Bảng 2.2: Bảng liệt kê các học phần trong chương trình đào tạo cử nhân sư phạm tốn tại khoa Toán-Tin trường ĐHSP Tp.HCM

Tri thức chuyên ngành
Toán học

Tri thức chung

NĂM THỨ NHẤT (53 đvht)
Học kì 1
Học kì 2

NĂM THỨ HAI (56 đvht)
Học kì 3
Học kì 4

Triết học Mác Lênin

Kinh tế chính trị
Mác Lê-nin

Anh văn 1
Tin học đại cương
Giải tích 1

Anh văn 2
Ngơn ngữ lập
trình bậc cao
Giải tích 2

Anh văn 3
Lập trình tính
tốn
- Giải tích 3
- Hàm biến phức

Đại số tuyến tính
1

Đại số tuyến tính
2

Đại số đại cương
1

Hình học giải tích

Hình học afin và
hình học Euclide

Tri thức nghề

Logic tốn
Tâm lí học

NĂM THỨ BA (57 đvht)
Học kì 5
Học kì 6
Chủ nghĩa xã hội
khoa học

Lịch sử đảng

- Độ đo và tích phân
- Phương trình vật
lí-tốn
- Lý thuyết trường
và lý thuyết Galois
- Số học
Hình học vi phân 1

Giải tích hàm

NĂM THỨ TƯ (43 đvht)
Học kì 7
Học kì 8
- Tư tưởng Hồ Chí
Minh
- Quản lý hành chánh
nhà nước và quản lý
ngành

Anh văn 4

- Giải tích 4
- Không gian tôpô và
không gian metric
Đại số đại cương 2

Hình học xạ ảnh
Quy hoạch tuyến
tính
Tốn rời rạc
Giáo dục học đại
cương

Giáo dục học phổ
thơng
Lí luận và phương
pháp dạy học tốn
1

Đại số sơ cấp

Hình học vi phân 2

Hình học sơ cấp

Xác suất thống kê

Phương pháp tính

Chuyên đề

Phương pháp nghiên
cứu khoa học
- Lí luận và phương
pháp dạy học tốn 3
- Cơng nghệ thơng
tin và dạy học tốn 2

- Lí luận và phương
pháp dạy học tốn 2
- Cơng nghệ thơng tin
và dạy học tốn 1
- Thực tập sư phạm kì 1

Thực tập
sư phạm kì
2

Căn cứ theo chương trình, ngồi các học phần cung cấp tri thức chung (Triết học Mác-Lênin,
Anh văn, Tin học đại cương,…) và các học phần cung cấp tri thức chuyên ngành toán học, những
kiến thức SP toán được đề cập đến qua các học phần sau:
 Lý luận và phương pháp dạy học toán 1 (4 đvht) giới thiệu cho SV tổng quan về phương pháp
dạy học toán, mục đích và nội dung dạy học mơn tốn, các phương pháp dạy học mơn tốn, các
tình huống điển hình trong dạy toán, phương tiện dạy học toán và kế hoạch tổ chức dạy học
toán.
 Lý luận và phương pháp dạy học toán 2 (4 đvht) vận dụng các quan điểm cơ bản của lý luận phương pháp dạy học đại cương vào việc dạy học những vấn đề cụ thể của đại số, lượng giác
và giải tích. Những nội dung được đề cập đến bao gồm: Một số vấn đề chung về mục đích yêu cầu - nội dung - phương pháp dạy học đại số, lượng giác và mở đầu giải tích ở trường
THPT; dạy học sự mở rộng khái niệm về số; dạy học các phép biến đổi đồng nhất, phương
trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình; dạy học về hàm số, đạo hàm và
tích phân; dạy học mạch tốn ứng dụng.
 Lý luận và phương pháp dạy học toán 3 (3 đvht) vận dụng các quan điểm cơ bản của lý luận và
phương pháp dạy học đại cương và việc dạy học những vấn đề cụ thể trong hình học. Những
nội dung được đề cập đến bao gồm: Một số vấn đề chung về hình học và dạy học hình học; dạy
học vectơ và tọa độ; dạy học phép biến hình; dạy học hình học khơng gian.
 Cơng nghệ thơng tin và dạy học toán 1 (2 đvht) hướng dẫn SV thiết kế một bộ hồ sơ bài dạy
dựa trên phương pháp dạy học theo dự án và tích hợp các thành tựu công nghệ thông tin.
 Công nghệ thông tin và dạy học toán 2 (3 đvht) hướng dẫn SV thực hiện một tiết dạy có ứng
dụng cơng nghệ thơng tin (sử dụng phần mềm trình chiếu điện tử, các phần mềm dạy học tốn).
Trong q trình học, SVSP cịn phải trải qua 2 đợt thực tập SP (trong 11 tuần) tại các trường
THPT. Dưới sự giúp đỡ của GV hướng dẫn, SV sẽ thực hiện 3 nhiệm vụ: tìm hiểu thực tế giáo dục,
thực tập công tác chủ nhiệm và thực tập giảng dạy trên lớp (ít nhất là 11 tiết dạy). Trong q trình
thực tập tại trường phổ thơng, SV được dự các tiết giảng của GV hướng dẫn. Đồng thời, họ cũng
phải chuẩn bị giáo án và nộp cho GV hướng dẫn trước mỗi tiết dạy. Sau đó, GV hướng dẫn sẽ giúp
giáo sinh chỉnh sửa giáo án trước khi thực hiện tiết dạy trên lớp.
Trong các học phần về phương pháp dạy học toán, tri thức đồ thị TK được đề cập trong học
phần “Lý luận và phương pháp dạy học tốn 2”. Ngồi những nội dung được xem xét qua học phần
này, SV còn phải chuẩn bị cho các giáo án thực hành của học phần “Công nghệ thơng tin và dạy học

tốn 1, 2” hoặc cho đợt thực tập ở trường phổ thông. Ở đây, do TK mô tả được giảng dạy ở lớp 10
nên SV sẽ phải tham khảo sách giáo viên lớp 10. Không chỉ có vậy, việc nghiên cứu TK cịn được
đề cập đến ở học phần “Xác suất thống kê”. Chính ở đây, SV sẽ được nghiên cứu sâu ngành khoa
học này.
Đúng như Chevallard đã nói, một cá nhân có thể đi vào một thể chế bằng nhiều con đường
khác nhau. Nói cách khác, quan hệ của cá nhân đối với một tri thức (tồn tại trong thể chế) được hình
thành từ nhiều góc độ. Vì lẽ đó, để phân tích việc đào tạo nghề ở ĐHSP Tp.HCM nói chung và để
hiểu quan hệ của SVSP đối với tri thức đồ thị TK nói riêng, chúng tơi sẽ phân tích các tài liệu (được
sử dụng trong q trình đào tạo) sau:
Nguyễn Chí Long (2006), Xác suất thống kê và quá trình ngẫu nhiên, NXB Đại học Quốc gia
Thành phố Hồ Chí Minh, Thành phố Hồ Chí Minh.
Nguyễn Văn Vĩnh (2007), Bài giảng: Các vấn đề về phương pháp dạy học Các chủ đề cơ bản
trong chương trình Đại số-Giải tích, khoa Tốn-Tin trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí
Minh.
Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Doãn Minh Cường, Đỗ Mạnh Hùng, Nguyễn Tiến Tài (2006), Sách
giáo viên Đại số 10 (bộ chuẩn), NXB Giáo dục, Hà Nội.


Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng, Trần Văn Vuông
(2006), Sách giáo viên Đại số 10 (nâng cao), NXB Giáo dục, Hà Nội.
(Để thuận tiện cho việc trích dẫn, chúng tơi tạm kí hiệu các tài liệu này lần lượt là M1, M2, P1,
P2)

III. Phân tích giáo trình [M1]
Giáo trình được chia thành 2 phần chính:
Phần I: Gồm 3 chương về Xác suất:
Chương 1: Không gian xác suất
Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên và không gian xác suất
Chương 3: Luật số lớn và định lí giới hạn
Phần II: Gồm 5 chương về TK:

Chương 4: Lý thuyết mẫu
Chương 5: Ước lượng
Chương 6: Kiểm định giả thuyết thống kê
Chương 7: Lý thuyết tương quan và hồi qui
Chương 8: Quá trình ngẫu nhiên
Các nội dung liên quan đến tri thức đồ thị TK được trình bày trong mục “Biểu đồ tổ chức” của
chương 4. [M1] giới thiệu 2 dạng đồ thị TK:
 Đường gấp khúc phân phối
Sau khi giới thiệu các khái niệm tần số n i, tần suất Wi ứng với các giá trị khác nhau xi, [M1]
định nghĩa của đường gấp khúc phân phối như sau:
Đường gấp khúc phân phối là đường nối các điểm (x1,W1), (x2,W2),…, (xk,Wk) hoặc đường nối các điểm
(x1,n1), (x2 ,n2 ),…, (xk,nk). [M1, tr 152]

Như vậy, mặc dù có hình dạng là một đường gấp khúc nhưng sự xuất hiện của “Đường gấp
khúc phân phối” không gắn với các lớp ghép như trong khái niệm “Đa giác tần số (tần suất)” mà chỉ
gắn với các giá trị khác nhau của một biến ngẫu nhiên định lượng. Ngồi định nghĩa, [M1] khơng có
lời giải thích nào về ý nghĩa của tri thức “Đường gấp khúc phân phối”. Tri thức này sẽ được sử dụng
với mục đích gì? [M1] vẫn chưa giải thích điều này với SV.
 Biểu đồ tổ chức
Biểu đồ tổ chức được sử dụng trong trường hợp biến ngẫu nhiên liên tục được ghép lớp. Tuy
nhiên, [M1] chỉ giới thiệu dạng đồ thị TK này trong trường hợp ghép lớp đều nhau.
Trong trường hợp biến ngẫu nhiên X có phân phối liên tục với mẫu (x1,x2,…,xn). Gọi R là khoảng thay đổi
của giá trị mẫu = max  xi   min  xi  . Ta chia R thành một số các khoảng con (chẳng hạn k khoảng con)
i

i

có chiều dài h: [ai;ai+1 ) i=1,2,…,k. [M1, tr 153]

[M1] giới thiệu cách xác định các hcn trong trường hợp ghép lớp đều nhau như sau:

Gọi ni là số lượng các giá trị X rơi vào khoảng [ai ;ai+1), ta có n1+n2+…+nk=n. Ta dựng các hcn đáy là
các khoảng [ai ;ai+1) (chiều dài đáy bằng h) và chiều cao là

ni
n
, khi đó mỗi diện tích con là i và tổng
n.h
n

tồn bộ các diện tích hcn con =1. [M1 , tr 153]

Chúng tơi nhận thấy có một sự khác biệt trong thứ tự tiếp cận các yếu tố trong biểu đồ tổ chức
giữa [M1] và các tài liệu [a], [b], [c].
Cách tiếp cận trong [a], [b], [c]
Cách tiếp cận trong [M1]