Một số phương pháp chứng minh sự tồn tại nghiệm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Thu Nga

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH SỰ
TỒN TẠI NGHIỆM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Thu Nga

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH SỰ
TỒN TẠI NGHIỆM

Chun ngành: Tốn Giải tích
Mã số: 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. TRẦN ĐÌNH THANH

Thành phố Hồ Chí Minh – 2015
LỜI CẢM ƠN

Tơi xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Nguyễn Bích Huy và
TS.Trần Đình Thanh đã tận tình hướng dẫn tơi trong suốt q trình thực hiện luận
văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong hội đồng phản biện đã nhận xét và
đóng góp cho tôi những ý kiến quý giá.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các q thầy cơ đã nhiệt tình giảng dạy những
kiến thức quý báu trong thời gian tôi học tập tại trường Đại học Sư phạm Tp HCM và
đã tạo điều kiện cho tơi hồn thành luận văn này.
Xin chân thành cảm ơn!


MỤC LỤC

MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN ............................................... 6
LỜI NÓI ĐẦU ...................................................................................................... 1
Chương 1. SỬ DỤNG QUAN HỆ THỨ TỰ ........................................................ 3
1.1.Định lí Bourbaki–Kneser, ứng dụng vào nguyên lí biến phân Ekeland,
định lí Caristi ..................................................................................................... 3
1.1.1. Tập có thứ tự ....................................................................................... 3
1.1.2. Định lí Bourbaki–Kneser .................................................................. 4
1.1.3. Định lí Caristi ...................................................................................... 7
1.1.4. Nguyên lí biến phân Ekeland .............................................................. 9
1.2.Định lí điểm bất động của ánh xạ tăng trong khơng gian Banach có thứ tự
…………………………………………………………………………...10
1.2.1. Khơng gian Banach có thứ tự (OBS ) ................................................ 10
1.2.2. Định lí ............................................................................................... 12
1.2.3. Nguyên lí Entropy ............................................................................. 13
1.2.4. Định lí điểm bất động ....................................................................... 15
Chương 2. SỬ DỤNG TÍNH LỒI VÀ COM PACT .......................................... 17
2.1. Định lí Fan-Knaster-Kuratowwskii-Mazurkiweicz (FKKM) ................. 17

2.1.1. Bổ đề KKM ....................................................................................... 17
2.1.2. Định lí FKKM ................................................................................... 17
2.2. Bất đẳng thức Ky-Fan và các hệ quả ...................................................... 19
2.2.1. Định lí 2.2.1....................................................................................... 19
2.2.2. Các hệ quả ......................................................................................... 22
2.3. Định lí Ky Fan–Glicksberg và định lí Schauder ...................................... 26


2.3.1. Định lí (Ky Fan–Glicksberg) ............................................................ 26
2.3.2. Định lí Schauder ................................................................................ 29
2.4. Ứng dụng trong quy hoạch lồi ................................................................. 30
Chương 3. SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CO ............................................................ 35
3.1. Ánh xạ khơng giãn ................................................................................... 35
3.1.1. Bổ đề ................................................................................................. 36
3.1.2. Định lí ................................................................................................ 37
3.2. Ánh xạ co và một số mở rộng .................................................................. 38
3.2.1. Ánh xạ co .......................................................................................... 38
3.2.2. Mở rộng ánh xạ co ............................................................................ 40
Chương 4. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM ........................................ 44
4.1. Định lí Knasnoselski ................................................................................ 44
4.2. Định lí Leray-Schauder ............................................................................ 45
4.2.1. Bổ đề ................................................................................................ 45
4.2.2. Định lí Leray-Schauder .................................................................... 46
KẾT LUẬN ......................................................................................................... 49


MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN

co { x1 ,x2 ,...,xn } : bao lồi của n phần tử x1 ,x2 ,...,xn
2 X : họ tất cả các tập con của X

sup { x, y} : cận trên đúng của hai phần tử x, y

[ a,b] : khoảng thứ tự giữa hai phần tử

a và b

 n : không gian Euclide n chiều
dim : số chiều

diam ( A ) : đường kính của A
. : chuẩn trong khơng gian
Fix (T ) : tập các điểm bất động của T
conv f ( E ) : bao lồi đóng của f ( E )

deg : bậc topo
C ( Ω ) : không gian các hàm liên tục trên tập Ω
ker : hạt nhân


1

LỜI NÓI ĐẦU
Nhiều hiện tượng trong tự nhiên và xã hội được mơ tả bằng các phương trình hoặc
bất phương trình và ta cần chứng minh sự tồn tại ngiệm của chúng. Các phương trình
và bất phương trình rất đa dạng và để nghiên cứu chúng các nhà Toán học đã xây dựng
nhiều phương pháp khác nhau.
Tuỳ thuộc vào tính chất của khơng gian (có quan hệ thứ tự, có tính chất lồi, tính
đầy đủ,...) hay tính chất của ánh xạ trong phương trình hoặc bất phương trình (tính
chất co, tính hồn tồn liên tục, tính đơn điệu, tính khả vi,...) mà ta sẽ chọn phương

pháp thích hợp.
Do đó, việc tìm hiểu các phương pháp cơ bản nhất trong nghiên cứu sự tồn tại
nghiệm của các phương trình và bất phương trình và trình bày chúng trong một tài liệu
là việc làm cần thiết.
Luận văn trình bày chi tiết và hệ thống các phương pháp cơ bản sau trong nghiên
cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình, bất phương trình bao gồm:
1. Phương pháp sử dụng quan hệ thứ tự.
2. Phương pháp sử dụng tính lồi và compact.
3. Phương pháp sử dụng tính chất co.
4. Phương pháp sử dụng đạo hàm.
Luận văn gồm 4 chương:
Trong chương 1, tơi trình bày các định lí về điểm bất động được chứng minh dựa
trên việc sử dụng quan hệ thứ tự. Trong đó có hai định lí cơ bản làm nền tảng cho các
định lí khác, đó là Ngun lí Entropy và Định lí Bourbaki–Kneser.
Trong chương 2, tơi trình bày về định lí FKKM và bất đẳng thức Ky-Fan, những
định lí nền tảng cho nghiên cứu điểm bất động trên tập compact lồi và một số ứng
dụng trong quy hoạch lồi.
Chương 3 trình bày ánh xạ co và các mở rộng của ánh xạ co.


2

Chương 4 trình bày Định lí Knasnoselski và Định lí Leray-Schauder dựa trên
phương pháp sử dụng đạo hàm.
Luận văn trình bày lượng kiến thức tương đối đầy đủ, với các chứng minh chi tiết
về các phương pháp cơ bản trong nghiên cứu sự tồn tại nghiệm. Tài liệu có thể phục
vụ nhu cầu tham khảo cho học viên cao học khi học học phần Giải tích phi tuyến.


3

Chương 1. SỬ DỤNG QUAN HỆ THỨ TỰ
1.1. Định lí Bourbaki–Kneser, ứng dụng vào nguyên lí biến phân Ekeland, định
lí Caristi
1.1.1. Tập có thứ tự
1.1.1.1. Định nghĩa
1. Tập hợp E được gọi là sắp thứ tự ≤ nếu : ∀x , y, z ∈ E , ta có

(i) x ≤ x
(ii) x ≤ y, y ≤ x ⇒ x =
y
(iii) x ≤ y, y ≤ z ⇒ x ≤ z.
2. Cho ( E ,≤ ) là tập có thứ tự.

x ≤ y
A ⊂ E gọi là xích (tập sắp thứ tự toàn phần) nếu ∀x , y ∈ A : 
y ≤ x
x* ( x * ) gọi là phần tử tối thiểu-min (phần tử tối đại-max) của E nếu
x ≤ x* ( x * ≤ x ), x ∈ E ⇒=
x x* (=
x* x )
Cận dưới (cận trên) của tập F ⊂ E là

a ∈ E (a ∈ E ) và a ≤ x ( x ≤ a ), ∀x ∈ F .
Cận trên nhỏ nhất( cận dưới lớn nhất) của F , kí hiệu inf F (sup F ) là phần tử lớn
nhất (nhỏ nhất) của tập hợp gồm tất cả các cận dưới (trên) của F .

{x E | a ≤ x} .
∀a ∈ E , ta định ngĩa tiết diện phải của a : S+ (a) =∈
Tương tự, ta định nghĩa tiết diện trái S− (a) và đoạn [a=

, b] S+ (a) ∩ S− (b) ,
với a ≤ b .


4

1.1.1.2. Bổ đề Zorn
Cho tập sắp thứ tự khác rỗng ( E , ≤) , nếu mọi xích trong E đều có cận trên thì E có
phân tử tối đại.
1.1.1.3. Định nghĩa
Cho ( E , ≤ ) , ( F , ≤ ) là hai tập sắp thứ tự. Ánh xạ f : E → F gọi là bảo toàn thứ tự (ngặt)
nếu x ≤ y ⇒ f ( x ) ≤ f ( y ) ( x < y ⇒ f ( x ) < f ( y ) ).
Tương tự, chúng ta định nghĩa ánh xạ ngược có thứ tự (ngặt).
Nếu f : E → F là bảo toàn thứ tự và a ≤ f (a),( f (a) ≤ a) thì f (S± (a)) ⊂ S± (a) .
Như vậy, a ≤ f (a) và f (b) ≤ b dẫn đến f ([a, b]) ⊂ [a, b] .
Cho ánh xạ f : E → E , phần tử x ∈ E thoả mãn x ≤ f ( x ) ( f ( x ) ≤ x ) được gọi là
nghiệm dưới (nghiệm trên) của f .
1.1.2. Định lí Bourbaki–Kneser (Bourbaki–Kneser [3])
Cho ( E , ≤) là tập sắp thứ tự mà mọi xích trong nó đều có cận trên.
Nếu f : E → E thoả mãn x ≤ f ( x ), ∀x ∈ E thì f có điểm bất động.
Chứng minh
Theo bổ đề Zorn, E có phần tử tối đại, gọi phần tử đó là a .
Và do a ≤ f (a) nên a = f (a) . Vậy a là điểm bất động của f .
Định lí điểm bất động Bourbaki–Kneser là nguyên lí tổng quát, và một số định lí điểm
bất động quan trọng được suy ra từ nó.
1.1.2.1. Hệ quả (Amann) (Amann [3])
Giả sử mọi xích của ( E , ≤) có cận trên nhỏ nhất và f : E → E là ánh xạ bảo tồn thứ
tự. Nếu f có nghiệm dưới a ≤ f (a) thì f có điểm bất động trong S+ (a) .

5

Chứng minh
• Chứng minh tồn tại điểm bất động.
Đặt E+ ={x ∈ E x ≤ f ( x )} ∩ S+ (a) .
Ta có a ∈ E+ nên E + ≠ ∅ .

f ( E+ ) ⊂ E+ ( do f bảo tồn thứ tự).
Lấy X là xích của E+ .
X có cận trên nhỏ nhất b ∈ E . Khi đó:

x ≤ b, ∀x ∈ X ⇒ x ≤ f ( x ) ≤ f (b) ,∀x ∈ X

Mà b là cận trên nhỏ nhất của x nên b ≤ f (b) ⇒ b ∈ E+ .
Suy ra b là cận trên của x trong E+ .
Theo nguyên lí Bourbaki–Kneser, f có điểm bất động trong E+ .
• Đặt FixS

+ (a)

Đặt G+ =

( f ) là tập các điểm bất động của f trong S+ (a) .

{y ∈ E

+

y ≤ z, ∀z ∈ FixS

+

}

(a) ( f )

Ta chứng minh FixG ( f ) ≠ ∅ . Khi đó ∀y0 ∈ FixG + ( f ) , y0 là điểm bất động
+

trong S+ (a) .
 Ta chứng minh G + ≠ ∅ (i) , thật vậy:

∀z ∈ FixS

+ (a)



( f ) ta có a ≤ z mà a ∈ E+ nên a ∈ G+ ⇒ G+ ≠ ∅

f (G+ ) ⊂ G+ , thật vậy: ∀y ∈ G+ , ∀z ∈ FixS

+ (a)

( f ), f ( y ) ≤ f (z) =z .

Suy ra f ( y ) ∈ G+ . Vậy f (G+ ) ⊂ G+ .
 Lấy X là xích của G+ . Chứng minh X có cận trên trong G+ .

6

Theo giả thuyết, X có cận trên nhỏ nhất b ∈ E . Do chứng minh trên ta
có b ∈ E+ . Ta lại có,

a ∈ G+ ⇒ a ≤ z, ∀z ∈ FixS ( a ) ( f )
+
⇒ b ≤ z, ∀z ∈ FixS ( a ) ( f ) ⇒ b ∈ G+

+
b ∈ E+ ⇒ a ≤ b
Suy ra X có cận trên trong G+ .
Theo ngun lí Bourbaki–Kneser, f có điểm bất động trong G+ .
Suy ra FixG ( f ) ≠ ∅ .
+

Định nghĩa 1.1.1
Một tập sắp thứ tự được gọi là xích đầy đủ nếu mọi xích có cận trên nhỏ nhất và cận
dưới lớn nhất.
1.1.2.2. Hệ quả
Cho E là xích sắp thứ tự đầy đủ, f : E → E là ánh xạ bảo toàn thứ tự. Giả sử tồn tại
cặp nghiệm dưới và ngiệm trên thoả a ≤ a . Khi đó f có điểm bất động trong  a, a  .
Chứng minh
Theo hệ quả Amann, f có điểm bất động trong S + ( a ) =
{ x ∈ E : a ≤ x} .
Chứng minh tương tự hệ quả Amann cho trường hợp nghiệm trên, f có điểm bất động
trong S − ( a ) =
{ x ∈ E : x ≤ a } . Vậy f có điểm bất động trong  a, a  .
Định nghĩa 1.1.2

x ∨ y =
sup{x , y}
Tập sắp thứ tự E gọi là dàn nếu ∀x , y ∈ E , tồn tại 
inf{x , y}
x ∧ y =
Định nghĩa 1.1.3
Một dàn gọi là dàn đầy đủ nếu mọi tập con khác rỗng có cận dưới lớn nhất và cận trên
nhỏ nhất.


7

1.1.2.3. Hệ quả (Birkhoff–Tarski) (Birkhoff–Tarski [3])
Cho E là dàn đầy đủ, f : E → E là ánh xạ bảo tồn thứ tự. Khi đó, f có điểm bất
động.
Chứng minh
Cho a inf
=
=
E , a sup E . Khi đó a, a lần lượt là nghiệm dưới và trên của f thoả
a ≤ a . Áp dụng hệ quả 1.1.1.2, f có điểm bất động.

1.1.3. Định lí Caristi (Caristi [3])
Giả sử ( E , ρ ) là không gian metric đầy đủ, ϕ : E → 1 là hàm nửa liên tục dưới và bị
chặn dưới. Giả sử f : E → E là ánh xạ thoả mãn

ρ ( x , f ( x )) ≤ ϕ ( x ) − ϕ ( f ( x ))

(1.1)

Khi đó f có điểm bất động.
Chứng minh
Bước 1: Xây dựng thứ tự trên E :
∀x , y ∈ E : x ≤ y nếu ρ ( x , y ) ≤ ϕ ( x ) − ϕ ( y )

Dễ dàng kiểm tra được ( E , ≤) là sắp thứ tự.
Bước 2: Xét xích X bất kì, ta chứng minh X có cận trên.
Từ định nghĩa quan hệ thứ tự ta có: x ≤ y ⇒ ϕ ( y ) ≤ ϕ ( x ), ∀x , y ∈ X nên ϕ là
hàm đơn điệu giảm trên X .
Đặt c = infX ϕ
Tồn tại dãy tăng { xn } trong X sao cho ϕ ( xn ) → c . Ta chứng minh ∃!a ∈ X
sao cho xn ≤ a, ∀n . Thật vậy,
Giả sử ∃a1, a2 ∈ X sao cho xn ≤ ai , i =
1,2 .


8

Khi đó c ≤ ϕ (ai ) ≤ ϕ ( xn ), i =
ra c ϕ=
1,2 , suy =
(a1 ) ϕ (a2 ) ( cho n → ∞ )

 a ≤ a2
Do X là xích trong E nên  1
, suy ra
 a2 ≤ a1

 ρ (a1, a2 ) ≤ ϕ (a1 ) − ϕ (a2 )


 ρ (a1, a2 ) ≤ ϕ (a2 ) − ϕ (a1 )

Suy ra ρ (a1, a2 ) ≤ ϕ (a1 ) − ϕ (a2 ) =
0 . Suy ra a1 = a2 .
Vậy ∃!a ∈ X sao cho xn ≤ a, ∀n .
Ta có ρ ( xn+ m , xn ) ≤ ρ ( xn ) − ρ ( xn+ m ) ,∀n, ∀m
Cố định n, cho m → ∞ ta được lim ρ ( xn+ m , xn ) ≤ ρ ( xn ) − c ,∀n
m→∞

Cho n → ∞ ta được

lim ρ ( xn+ m , xn ) = 0

m ,n→∞

Suy ra { xn } là dãy Cauchy.
Do ( E , ρ ) là đầy đủ nên ∃b ∈ E sao cho xn → b
Do ϕ nửa liên tục dưới nên lim inf ϕ ( xn ) ≥ ϕ (b) , suy ra
n→∞

ϕ (b) ≤ c ≤ ϕ ( xn ), ∀n
Suy ra xn ≤ b, ∀n .
Với mọi x ∈ X ,
Nếu ∃n ∈  : x ≤ xn ⇒ x ≤ b , suy ra b là cận trên của X .
Nếu ngược lại, thì X có cận trên là x .
Bước 3: Từ (1.1) ta có x ≤ f ( x ), ∀x ∈ E . Áp dụng định lí Bourbaki–Kneser, f có
điểm bất động.


9

1.1.4. Nguyên lí biến phân Ekeland (Ekeland [3])
Giả sử ( E , ρ ) là không gian metric đầy đủ, ϕ : E →  ∪ {+∞} là hàm nửa liên tục
dưới và bị chặn dưới. ∀ε > 0 nếu x ∈ E sao cho ϕ ( x ) ≤ infE ϕ + ε
thì ∀λ > 0, ∃yλ ∈ E thoả

ϕ ( yλ ) ≤ ϕ ( x )

ρ ( x , yλ ) ≤

1

λ

ϕ ( y ) > ϕ ( yλ ) − ελρ ( y, yλ ), ∀y ∈ E \ {yλ }

(1.2)
(1.3)
(1.4)

Chứng minh
Đặt E1 =
{y ∈ E ϕ ( y ) + λερ ( x , y ) ≤ ϕ ( x )} .
Do ϕ là nửa liên tục dưới nên E1 đóng. Và E1 ≠ ∅ vì x ∈ E1 .
Do đó E1 đầy đủ.
Ta chứng minh ∃yλ ∈ E1 : ϕ ( y ) > ϕ ( yλ ) − λερ ( y, yλ ) ,∀y ∈ E1 \ {yλ } .
Giả sử ngược lại, ∃λ > 0, ∀yλ ∈ E1, ∃y ∈ E1 \ {yλ }: ϕ ( y ) ≤ ϕ ( yλ ) − λερ ( y, yλ )
Đặt f ( yλ )= y ≠ yλ . Khi đó f : E1 → E1 thoả λερ ( yλ , f ( yλ )) ≤ ϕ ( yλ ) − ϕ ( f ( yλ ))
Áp dụng định lí Caristi, f có điểm bất động (mâu thuẫn).
Suy ra ∃yλ ∈ E1 : ϕ ( y ) > ϕ ( yλ ) − λερ ( y, yλ ) ,∀y ∈ E1 \ {yλ } .

Do yλ ∈ E1 neân λeρ ( x , yλ ) ≤ ϕ ( x ) − ϕ ( yλ ) và do đó ϕ ( yλ ) ≤ ϕ ( x ) . Suy ra (1.2) thoả.
Mà ϕ ( x ) ≤ infE ϕ + ε nên


10

ϕ ( x ) ≤ ϕ ( yλ ) + ε ⇒ ϕ ( x ) − ϕ ( yλ ) ≤ ε
⇒ λερ ( x , yλ ) ≤ ε ⇒ ρ ( x , yλ ) ≤

1

λ

Suy ra (1.3) thoả.
Ta chứng minh (1.4) thoả với y ∈ E \ E1 . Thật vậy,
Giả sử ϕ ( y ) ≤ ϕ ( yλ ) − ελρ ( y, yλ ), y ∈ E \ { yλ } . Khi đó

ϕ ( y ) ≤ ϕ ( x ) − λερ ( x , yλ ) − ελρ ( y, yλ )
≤ ϕ ( x ) − λερ ( x , y )
Khi đó y ∈ E1 (mâu thuẫn).
Vậy (1.4) thoả.
1.2. Định lí điểm bất động của ánh xạ tăng trong khơng gian Banach có thứ tự
1.2.1. Khơng gian Banach có thứ tự (OBS )
Cho X là khơng gian Banach, Ρ ⊂ X là nón dương, lồi, đóng, khác rỗng thoả

P ∩ (− P ) = {∅}. Nó sinh ra cấu trúc thứ tự trên X : x ≤ y ⇔ y − x ∈ P .
Thứ tự định nghĩa như trên hợp với cấu trúc tuyến tính và tơ pô trên X:

xi ≤ yi , i = 1,2 ⇒ x1 + x2 ≤ y1 +y2 ,
x ≤ y, λ ≥ 0 ⇒ λ x ≤ λ y,

x n ≤ yn , x n → x , yn → y ⇒ x ≤ y
Khơng gian Banach X với nón Ρ dương, lồi, đóng, cảm sinh ra khơng gian Banach
sắp thứ tự (OBS ) ( X , Ρ ) . Đặc biệt ∀a ∈ X , S± (a) đóng.
Bổ đề 1.2.1
Mọi tập compact E của không gian Banach sắp thứ tự (OBS ) là xích đầy đủ.


11

Chứng minh
Lấy X là xích trong E . Ta chứng minh tồn tại sup X .

{

}

Họ các tập S+ ( x ) x ∈ X là đóng với tính chất giao hữu hạn, nghĩa là
n

∀x1, x2 ,..., xn ∈ X ,  S+ ( xi ) =
S+=
( x * ) ,với x* sup{x1,..., xn} ∈ X . Thật vậy,
i =1

n

• x ∈  S + ( xi ) ⇒ x ∈ S + ( xi ) , ∀i =1, n
i =1

⇒ xi ≤ x, ∀i =1, n

⇒ x* ≤ x
⇒ x ∈ S + ( x* )
• x ∈ S + ( x* ) ⇒ x* ≤ x
⇒ xi ≤ x, ∀i =1, n
⇒ x ∈ S + ( xi ) , ∀i =1, n
n

⇒ x ∈  S + ( xi )
i =1

{

}

Mà S+ ( x * ) ≠ ∅ nên S+ ( x ) x ∈ X là đóng với tính chất giao hữu hạn.
Do X compact,

 S+ ( x ) ∩ X ≠ ∅ .

x∈X

Giả sử x ∈

 x ∈ S+ ( x ) ⇒ x ≤ x , ∀x ∈ X
.
 x ∈ X

 S+ ( x ) ∩ X . Khi đó 

x∈X

Suy ra x là cận trên của X .
Với mọi cận trên d của X , x ∈ X suy ra x ≤ d . Vậy x = sup X .
Tương tự ta chứng minh tồn tại inf X .


12

Định nghĩa 1.2.1
Nón dương Ρ gọi là chuẩn tắc nếu mọi khoảng sắp thứ tự  a, b  trong X bị chặn
theo chuẩn.
Bổ đề 1.2.2

Ρ chuẩn tắc nếu và chỉ nếu tồn tại hằng số C > 0 sao cho 0 ≤ x ≤ y ⇒ x ≤ C y .
Chứng minh

( ⇒ ) : Giả sử ngược lại, ∃θ ≤ xn ≤
Đặt zn =

xn

n 2 yn
∞

Đặt y = ∑ n=1

yn :

. Khi đó zn

x n ≥ n 3 yn , n =
1,2,...

≥ n và θ ≤ zn ≤

yn

n 2 yn

.

1 yn
.
n 2 yn

Ta có θ ≤ zn ≤ y neân zn ∈ [θ , y ] . Mâu thuẫn do zn

≥ n nên ( zn ) không bị

chặn.

( ⇐ ) : ∀x ∈ [a, b] , ta có θ ≤ x − a ≤ b − a .
Từ giả thuyết ta có x - a ≤ C b - a .
Hơn nữa: x ≤ x - a + a ≤ C b - a + a . Suy ra Ρ chuẩn tắc.
1.2.2. Định lí
Giả sử ( X , Ρ ) là không gian Banach sắp thứ tự bởi nón Ρ chuẩn tắc , D = [a, b] là
khoảng sắp thứ tự. Nếu f : D → D là ánh xạ compact bảo tồn thứ tự thì f có điểm
bất động.

13

Chứng minh
Do Ρ chuẩn tắc nên D bị chặn theo chuẩn.
Đặt E = f ( D ) , E là tập compact của không gian Banach sắp thứ tự (do f là ánh xạ
compact). Suy ra E là xích đầy đủ.
Từ f : D → D có a ≤ f (a), f (b) ≤ b suy ra a, b lần lượt là nghiệm dưới và nghiệm
trên của f thoả a < b . Theo hệ quả 2.1.5, f có điểm bất động trong  a, b  .
Chú ý rằng: tập lồi, đóng, bị chặn của khơng gian Banach phản xạ là compact yếu. Khi
chúng ta sử dụng tính topo yếu thì định lí trên có thể thay đổi như sau:
Hệ quả 1.2.3
Giả sử ( X , Ρ ) là khơng gian Banach phản xạ sắp thứ tự bởi nón chuẩn tắc, D = [a, b]
là khoảng sắp thứ tự. Nếu f : D → D là ánh xạ bảo tồn thứ tự thì f có điểm bất
động.
1.2.3. Ngun lí Entropy
Giả sử
i) X là tập sắp thứ tự sao cho mọi dãy đơn điệu tăng trong X có cận trên

( xn ≤ a ∈ X )
ii) S : X → [ −∞; +∞ ) là một hàm đơn điệu tăng ( u ≤ v ⇒ S (u ) ≤ S (v) ) và bị chặn
trên ( ∃M : S (u ) ≤ M , ∀u ∈ X )
Khi đó, tồn tại phần tử u0 ∈ X có tính chất:

∀u ∈ X , u ≥ u0 ⇒ S ( u ) =S ( u0 )
Chứng minh
Coi S ( X ) ≠ {−∞} . Lấy tuỳ ý u1 ∈ X mà S ( u1 ) ≠ −∞ .
Xây dựng các phần tử u1 ≤ u2 ≤ ... như sau:


14

Giả sử đã có un , ta đặt M =
sup {S (u ) : u ∈ M n }
{u ∈ X : u ≥ un } , β n =
Nếu β n = S ( un ) ta có:

∀u ≥ un ⇒ S ( u ) ≥ S ( un ) ⇒ u ∈ M n
suy ra S ( u ) ≤ β n =
S ( un )
Do đó S ( u ) = S ( un ) . Vậy un cần tìm.
Nếu β n > S ( un ) ta tìm được un +1 thoả

un +1 ∈ M n


1
 S ( un +1 ) > β n − 2  β n − S ( un ) 
Nếu quá trình trên là vơ hạn thì ta có dãy tăng {un } thoả

2 S ( un +1 ) − S ( un ) > β n , ∀n ∈  *
Gọi u0 là một cận trên của {un } , với u ≥ u0 , ta có:

u ∈ M n , ∀n ∈  *

⇒ S ( u ) ≤ β n ≤ 2 S ( un+1 ) − S ( un )
⇒ S ( u ) ≤ lim S ( un )
⇒ S ( u ) ≤ S ( u0 )

Mà u ≥ u0 ⇒ S ( u ) ≥ S ( u0 )
Vậy S ( u ) = S ( u0 )

(chú ý giới hạn tồn tại)


15

1.2.4. Định lí điểm bất động
Giả sử X là khơng gian Banach được sắp bởi nón K, M ⊂ X là tập đóng và
F : M → X là ánh xạ tăng thoả :

i) F ( M ) ⊂ M , ∃x0 : x0 ≤ F ( x0 )
ii) F biến mỗi dãy tăng trong M thành dãy hội tụ.
Khi đó F có điểm bất động trong M.
Chứng minh
Đặt M 0 =

{ x ∈ M : x ≤ F ( x )} , g ( x ) =

{

}

sup F ( y ) − F ( z ) : z , y ∈ M 0 , y ≥ z ≥ x

Ta sẽ áp dụng nguyên lí Entropy cho M 0 và hàm ( − g )
i) ∀{ xn } ⊂ M 0 , { xn } taê
ng ⇒ ∃x : lim F ( xn ) , x ∈ M .
=

F ( xn ) taêng, F ( xn ) → x

⇒ F ( xn ) ≤ x
mà xn ∈ M 0 nên xn ≤ F ( xn )
⇒ xn ≤ x ⇒ F ( xn ) ≤ F ( x ) ⇒ x ≤ F ( x ) ⇒ x ∈ M 0
Vậy x là cận trên của { xn }
ii) x1 ≤ x2 ⇒ {( y, z ) ∈ M 02 : y ≥ z ≥ x2 } ⊂ {( y, z ) ∈ M 02 : y ≥ z ≥ x1}

suy ra − g ( x1 ) ≤ − g ( x2 ) hay hàm ( − g ) tăng.
Hàm ( − g ) bị chặn trên bởi 0.
Do đó ∃a ∈ M 0 : ∀u ∈ M 0 , u ≥ a ⇒ g ( u ) =g ( a )
Ta chứng minh g ( a ) = 0 . Nếu g ( a ) > c > 0 ta có:

∃y2 , y1 ∈ M 0 : y2 ≥ y1 ≥ a, F ( y2 ) − F ( y1 ) > c


16

Do g (=
y2 ) g ( a ) > c nên ∃y3 , y4 ∈ M 0 : y4 ≥ y3 ≥ y2 , F ( y4 ) − F ( y3 ) > c
Tiếp tục quá trình trên ta được dãy tăng { yn } ⊂ M , F ( y2 n ) − F ( y2 n −1 ) > c > 0 (mâu
thuẫn). Vậy g ( a ) = 0
Suy ra F =
( y ) F ( a ) , ∀y ∈ M 0 , y ≥ a
Vì a ∈ M 0 nên F ( a ) ≥ a ⇒ F
=
) hay b : F ( a ) là điểm bất động.
( F ( a ) ) F ( a=


17

Chương 2. SỬ DỤNG TÍNH LỒI VÀ COM PACT
Định lí điểm bất động Schauder là một trong những định lí điểm bất động quan trọng
trong Giải tích phi tuyến. Trong phần này chúng ta sẽ nghiên cứu các định lý điểm bất
động trên tập compact lồi, bao gồm định lý điểm bất động Schauder và các hệ quả của
nó. Tất cả các định lý được xây dựng dựa trên bất đẳng thức Ky Fan và ánh xạ KKM.
Định nghĩa 2
Giả sử X là không gian vecto, E ⊂ X , ánh xạ đa trị G : E → 2 X gọi là ánh xạ KKM
n

nếu: ∀x1,..., xn ∈ E , conv{x1,..., xn} ⊂ G G( xi )
i =1

2.1. Định lí Fan-Knaster-Kuratowwskii-Mazurkiweicz (FKKM)
2.1.1. Bổ đề KKM
Cho  p0 ,..., pn  là n − đơn hình tạo ra bởi n + 1 điểm p0 , p1,..., pn trong không gian
vecto topo. Cho M0 ,..., M n là n + 1 tập đóng thoả  pi ,...,pi  ⊂
k 
 0
chỉ số {i0 ,..., ik } ⊂ {0,1,..., n} . Khi đó

n

 Mi

k

 Mi

j=0

j

, với mọi tập

≠ ∅.

i =0

2.1.2. Định lí FKKM (Fan-Knaster-Kuratowwskii-Mazurkiweicz [3])
Giả sử X là không gian Hausdorff lồi địa phương, E ⊂ X , G : E → 2 X là ánh xạ
KKM có giá trị đóng. Nếu ∃x0 ∈ E sao cho G( x0 ) compact thì

 x∈E G( x ) ≠ ∅ .

Chứng minh
Đặt F=
( x ) G ( x ) ∩ G( x0 ) .

{

}

Khi đó F ( x ) x ∈ E là họ tập đóng trong tập compact G( x0 ) . Để chứng minh

 x∈E G( x ) ≠ ∅

{

}

ta chỉ cần chứng minh tính giao hữu hạn của F ( x ) x ∈ E .


18

{

}

Ta chứng minh tính giao hữu hạn cho G( x ) x ∈ E .
n

Giả sử ngược lại, ∃{ x1,..., xn } ⊂ E :  G( xi ) =
∅ . Trên L xét metic d là khoảng cách
i =1

{ x1,..., xn } . Khi L hữu hạn chiều, metric sinh ra topo giống nhau trên L do mỗi
không gian Hausdorff lồi địa phương hữu hạn chiều là định chuẩn và tất cả các chuẩn
trên không gian hữu hạn chiều là tương đương.
Khi đó
=
λ(x) :

Đặt βi ( x=
)

n

∑ d ( x, L ∩ G( xi )) > 0 , ∀x ∈ L .
i =1

1
d ( x , L ∩ G( xi ) ) =
i 1,..., n .
λ(x)

1,..., n .
∀x ∈ L , ta có βi ( x ) > 0 ⇔ x ∉ G( xi ) i =
n

Đặt C = conv { x1,..., xn } và ϕ : C → C thoả ϕ : x  ∑ βi ( x ) xi .
i =1

Áp dụng định lí điểm bất động Brouwer, ∃x0 ∈ C : x0 =
ϕ ( x0 ) .

=
I ( x0 )
Đặt

{i βi ( x0 ) > 0} . Khi đó:
n

ϕ ( x0 ) = ∑ βi ( x0 ) xi , βi ( x0 ) > 0 ,
i =1

n

n

1
1 n
=
βi ( x0 ) ∑
=
=
d ( x0 , L ∩
G( xi ) )
G( xi ) ) 1
∑
∑ d ( x0 , L ∩
λ ( x0 ) i 1
=i 1 =i 1 λ ( x0 )
=

{

}

Suy ra ϕ ( x0 ) ∈ conv xi i ∈ I ( x0 )

Mà βi ( x0 ) > 0, ∀i ∈ I ( x0 ) nên x0 ∉ G( xi ) , ∀i ∈ I ( x0 ) .
Suy ra x0 ∉

G

i∈I ( x0 )

G( xi ) (mâu thuẫn với G là ánh xạ KKM).

19

2.2. Bất đẳng thức Ky-Fan và các hệ quả
2.2.1. Định lí 2.2.1 (Bất đẳng thức Ky-Fan) (Ky-Fan [3])
Giả sử X là không gian Hausdorff lồi địa phương, E ⊂ X là tập lồi, khác rỗng. Giả
sử φ : E × E → 1 thoả:

(1) ∀y ∈ E , x  φ ( x , y ) là nửa liên tục dưới.

(2) ∀x ∈ E , y  φ ( x , y ) là tựa lõm.


(3) ∃y0 ∈ E :  x ∈ E φ ( x , y0 ) ≤ sup φ ( x , x ) là compact.
x∈E


Khi đó ∃x0 ∈ E : sup φ ( x0 , y ) ≤ sup φ ( x , x ) .
x∈E

y∈E

Trước tiên ta giới thiệu dạng hình học của khẳng định:
Cho tập E , A ⊂ E × E .

∀x ∈ E , A1( x ) :=
∀y ∈ E , A2 ( y ) :=

=
∆:

Kí hiệu

{y ∈ E ( x, y) ∈ A}
{x ∈ E ( x, y) ∈ A}

{( x, x) x ∈ E} là đường chéo.

Ta định nghĩa hai ánh xạ đa trị E → 2 E thoả A1 : x  A1( x ), A2 : y  A2 ( y ).
Ta chứng minh định lí trên tương đương định lí sau:
Định lí 2.2.2
Cho X là khơng gian Hausdorff lồi địa phương, E ⊂ X là tập lồi khác rỗng.
Giả sử Γ ⊂ E × E thoả:

(1') ∀y ∈ E , Γ 2 ( y ) là mở
(2') ∀x ∈ E , Γ 1( x ) là lồi