(Sáng kiến kinh nghiệm) một số phương pháp bồi dưỡng HS giỏi toán lớp 4,5 phần so sánh phân số

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HỐ
PHỊNG GD&ĐT THÀNH PHỐ THANH HÓA

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN
LỚP 4,5 – PHẦN SO SÁNH PHÂN SỐ

Người thực hiện: Đỗ Thị Lài
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường Tiểu học Trần Phú
SKKN thuộc lĩnh mực (mơn): Tốn

THANH HỐ, NĂM 2016
1


Mục lục
1. Phần mở đầu
1.1/ Lí do chọn đề tài.
1.2/Mục đích nghiên cứu

2

1.3. Đối tượng nghiên cứu

2

1.4. Kế hoạch nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu, thời gian

2

nghiên cứu.
2.Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm.

3

2.1. Cơ sở lí luận

3

2.2 Thực trạng

3

2.3 Biện pháp giải quyết vấn đề

4

2.4 Kết quả của sáng kiến kinh nghiệm.

17

3.Kết luận, kiến nghị:

19

3.1.Kết luận

19

3.2 Đề xuất

20

2


1/PHẦN MỞ ĐẦU
1.1/. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Thực tế dạy học về phân số và các phép tính, xác định giá trị các phân số
cho thấy các bài tập về phân số ln là những bài tập khó đối với học sinh. Các
bài tập về so sánh hai phân số, hay sắp xếp các phân số theo thứ tự tăng dần
hoặc giảm dần… thường khiến học sinh lúng túng và mất nhiều thời gian làm
bài. Sách giáo khoa không dành nhiều thời lượng cho các bài tập về so sánh
phân số. Bên cạnh đó, sách giáo khoa cũng chỉ giới thiệu một số dạng cơ bản
nhất về so sánh phân số cho học sinh. Trong chương trình tốn lớp 4, học sinh
được học so sánh hai phân số có cùng mẫu số; so sánh hai phân số khác mẫu số
bằng cách quy đồng mẫu số, sau đó củng cố trong 4 tiết luyện tập, luyện tập
chung.
Lên lớp 5, các em được ôn tập so sánh phân số trong hai tiết. Ngoài
cách so sánh phân số như trên, các em được biết thêm cách so sánh hai phân số
có cùng tử số. Các bài tập so sánh phân số được phân chia thành 3 dạng cơ bản:
1. So sánh hai phân số có cùng mẫu số;
2. So sánh hai phân số có cùng tử số;
3. So sánh hai phân số khác mẫu số bằng cách quy đồng mẫu số.
Vì vậy, khi gặp những bài so sánh phân số có mẫu số lớn hoặc tử số lớn
thì gây khó cho học sinh, hoặc có một số bài có dạng tổng quát nhưng sách giáo
khoa không giới thiệu.
Trong những năm học gần đây, nhiều trường Tiểu học thực hiện giảng
dạy chương trình 10 buổi/ tuần nên buổi 2 trong ngày là khoảng thời gian cần
rèn kĩ năng và đưa một số kiến thức nâng cao phù hợp với học sinh. Đặc biệt,

với đối tượng học sinh khá giỏi, ngoài việc thực hiện các bài tập trong SGK, các
em cần được nâng cao kiến thức và bồi dưỡng về mơn tốn. Vì vậy các em
thường xuyên phải làm các bài tập so sánh phân số phức tạp hơn. Với dạng 1 và
2, các em chỉ cần áp dụng quy tắc so sánh như SGK là hoàn thành bài tập. Với
dạng thứ 3, một số bài tập có thể đưa về một trong hai trường hợp trên để so
sánh. Tuy nhiên, trong quá trình làm bài tập, nếu chỉ vận dụng những cách so
sánh như SGK đã nêu thì nhiều lúc học sinh phải tính tốn phức tạp, mất nhiều
thời gian. Có những bài tập yêu cầu so sánh hai phân số bằng cách thuận tiện,
Sắp xếp các phân số theo thứ tăng dần (hoặc giảm dần), so sánh một tổng các
phân số với một tổng các phân số, tìm các phân số ở giữa hai phân số đã cho,…
thì chỉ với các cách trên, học sinh không thực hiện được bài tập theo đúng yêu
cầu. Đặc biệt với học sinh giỏi, phần so sánh phân số là một nội dung quan
trọng, rất nhiều bài yêu cầu so sánh phân số phức tạp, mẫu số lớn, nhiều bài yêu
cầu so sánh phân số bằng cách nhanh nhất hay cách thuận tiện nhất. Trong các
kì thi HSG cấp Quận, mảng kiến thức so sánh phân số cũng rất được chú trọng.
Khi dạy- học phần này, cả giáo viên và học sinh đều gặp rất nhiều khó khăn. Vì
vậy, khi giảng dạy lớp 4-5, đặc biệt là dạy học sinh giỏi, tôi đã nghiên cứu, học
hỏi kinh nghiệm của đồng nghiệp và tích luỹ được một số kinh nghiệm về các
cách so sánh phân số thuận tiện. Tôi mạnh dạn viết kinh nghiệm sáng kiến:
3


Một số phương pháp bồi dưỡng học sinh giỏi Toán – Phần so sánh phân số Lớp 4,5
1.2/MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
- Sáng kiến kinh nghiệm: Một số phương pháp bồi dưỡng học sinh giỏi
Toán – Phần so sánh phân số - Lớp 4,5 nhằm mục đích nghiên cứu các
phương pháp so sánh phân số SGK đã đưa ra, nêu các phương pháp so sánh
phân số bằng cách thuận tiện để giáo viên, học sinh tham khảo và áp dụng vào
quá trình dạy - học…., góp phần bồi dưỡng và nâng cao kiến thức về mơn Tốn
cho HS, đặc biệt là học sinh giỏi.

1.3/ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU, PHẠM VI NGHIÊN CỨU
a/. Đối tượng nghiên cứu
- Một số phương pháp bồi dưỡng học sinh giỏi Toán – Phần so sánh phân số Lớp 4,5
b/ Phạm vi nghiên cứu
- Các phương pháp so sánh phân số cơ bản và các phương pháp so sánh phân số
bằng cách thuận tiện, một số dạng bài tập ứng dụng.
1.4/. KẾ HOẠCH NGHIÊN CỨU, PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU, THỜI
GIAN HOÀN THÀNH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
a/. Kế hoạch nghiên cứu
- Đối tượng điều tra: Giáo viên dạy lớp 4-5 Trường Tiểu học Trần Phú;
Học sinh khá giỏi lớp 4 - 5 Trường Tiểu học Trần Phú
- Đối tượng thực nghiệm: Học sinh Trường Tiểu học Trần Phú .
- Thời gian bắt đầu: Bắt đầu từ năm học 2015-2016.
b/. Phương pháp nghiên cứu
Trong sáng kiến kinh nghiệm này, tôi sử dụng một số phương pháp
nghiên cứu sau:
- Phương pháp thu thập và xử lí tài liệu.
- Phương pháp quan sát- dự giờ.
- Phương pháp thống kê
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm.
- Phương pháp so sánh- đối chiếu.
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.

4


2/NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1/ CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Trong các môn học ở Tiểu học, cùng với mơn Tiếng Việt, mơn Tốn có vị trí
quan trọng. Các kiến thức, kĩ năng của mơn tốn ở Tiểu học có nhiều ứng dụng

trong đời sống góp phần quan trọng để học sinh học tốt các môn học khác ở tiểu
học và tiếp tục học môn tốn ở trung học.
Mơn tốn giúp học sinh nhận biết những mối quan hệ về số lượng và hình
dạng khơng gian của thế giới hiện thực. Mơn tốn cịn góp phần quan trọng
trong việc rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận, phương pháp
giải quyết vấn đề; nó góp phần phát triển trí thơng minh, cách suy nghĩ độc lập,
linh hoạt sáng tạo; nó đóng góp vào việc hình thành các phẩm chất cần thiết và
quan trọng của người lao động như cần cù, cẩn thận, có ý chí vượt khó khăn,
làm việc có kế hoạch, có nền nếp và tác phong khoa học.
Mơn tốn ở tiểu học hình thành hệ thống các kiến thức cơ bản, đơn giản
như cách đọc , viết số tự nhiên, các phép tính với số tự nhiên, giải tốn với các
phép tính trên số tự nhiên…. Lên lớp 4, các em được làm quen với một loại số
mới: Phân số.
Phân số giúp các em giải quyết được nhiều hạn chế trong làm tốn mà số
tự nhiên khơng khắc phục được như: Viết thương của phép chia có dư , viết số
phần bằng nhau của đơn vị, so sánh một phần của của vật này với một phần của
vật kia….. Trong chương trình toán lớp 4, bài học về phân số chiếm 43 tiết và
học rải rác trong chương trình tốn 4, có nhiều ứng dụng trong giải toán; là một
trong những nội dung cơ bản của toán lớp 4. Lên lớp 5, các em tiếp tục học ôn
về phân số. Phần so sánh phân số là một nội dung quan trọng trong phần phân
số. So sánh phân số là việc làm để xác định thứ tự, vị trí của các phân số trong
hai phân số hay trong dãy các phân số. Bài toán về so sánh các phân số , sắp xếp
các phân số theo thứ tự tăng dần hoặc giảm dần xuất hiện khá nhiều trong sách
giáo khoa, các tài liệu và đề thi trong chương trình của lớp 4-5. Phân số là một
nội dung mới với học sinh Tiểu học, đặc biệt là phần so sánh phân số gây nhiều
khó khăn cho học sinh và cũng nhờ đó mà chương trình đã tạo cho học sinh sức
sáng tạo, tư duy lơ-gic trong việc tìm cách giải và đi vào giải các bài tập liên
quan đến so sánh các phân số. Vì vậy, cách so sánh các phân số là một vấn đề
mà rất nhiều giáo viên và học sinh quan tâm.
2.2. Thực trạng

2.2.1. Sách giáo khoa.
- Sách giáo khoa toán 4 và toán 5 chỉ đưa ra dạng bài cơ bản: So sánh các
phân số cùng mẫu số, cùng tử số, so sánh các phân số khác mẫu số bằng cách
quy đồng mẫu số, ngồi ra có một vài bài tập so sánh phân số với 1.
Như vậy các bài tập trong SGK chỉ phù hợp cho học sinh đại trà, chưa có
bài tập dành cho HS Giỏi (các bài toán nâng cao)
2.2.2. Về giáo viên
- Những giáo viên chưa qua dạy bồi dưỡng học sinh giỏi, những giáo viên trẻ có
kiến thức nhưng kinh nghiệm chưa nhiều đều gặp khó khăn khi thực hiện các bài
5


tập so sánh phân số theo yêu cầu nâng cao. Vì vậy, đa số vẫn chỉ dừng ở việc áp
dụng các quy tắc so sánh như SGK đã nêu.
2.2.3. Về học sinh
- Học sinh còn lúng túng khi thực hiện so sánh phân số bằng cách thuận tiện,
(đa số vẫn áp dụng quy đồng mẫu số rồi so sánh), chưa có kĩ năng lựa chọn
phương pháp so sánh phù hợp cho mỗi bài tập.
2.2.4.Những vấn đề cần giải quyết
Để học sinh lớp 4-5 có kĩ năng so sánh phân số bằng cách thuận tiện, cần
giải quyết những vấn đề sau:
Vấn đề thứ nhất: HS nắm vững các cách so sánh phân số dạng cơ bản trong
sách giáo khoa.
Vấn đề thứ hai: Các phương pháp so sánh phân số bằng cách thuận tiện.
Vấn đề thứ ba: Một số dạng bài tập nâng cao ứng dụng phương pháp so
sánh phân số .
2.3./ BIỆN PHÁP GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
2.3.1.Vấn đề thứ nhất: HS nắm vững các cách so sánh phân số dạng cơ
bản
trong sách giáo khoa.

a/. HS nắm vững cách so sánh hai phân số có cùng mẫu số; hai phân số có
cùng tử số.
So sánh hai phân số có cùng mẫu số và so sánh hai phân số có cùng tử số
là hai dạng cơ bản trong sách giáo khoa. Học sinh nắm chắc cách so sánh hai
dạng này để thực hiện tốt các bài tập trong sách giáo khoa, là nền tảng để thực
hiện các bài tập nâng cao.
Vì vậy các em phải thuộc lòng và vận dụng tốt quy tắc so sánh hai phân số
có cùng mẫu số; hai phân số có cùng tử số
Trường hợp 1. So sánh hai phân số có cùng mẫu số, SGK đưa ra quy tắc
như sau.
Trong hai phân số có cùng mẫu số:
- Phân số nào có tử số bé hơn thì bé hơn.
- Phân số nào có tử số lớn hơn thì lớn hơn.
- Nếu tử số bằng nhau thì hai phân số đó bằng nhau.
Ví dụ. So sánh hai phân số và
Giải
Vì 4<6 nên <
Hoặc : Vì 6 > 4 nên >
- Trường hợp 2. So sánh hai phân số có cùng tử số, trong SGK khơng có quy
tắc cụ thể mà từ các bài tập cụ thể SGK Tốn 5, tơi đã rút ra kết luận cho
học sinh dễ nhớ, dễ thực hiện.
Ví dụ. So sánh các phân số:
a/
và ;
b/ và ;
c/ và
Dựa vào khái niệm phân số, tôi hướng dẫn HS so sánh để thấy được:
6

> ;

< ;
>
Cụ thể:
và
- Dựa vào khái niệm phân số, ta có:
tức là 1 đơn vị chia thành 5 phần bằng nhau, lấy 2 phần
tức là 1 đơn vị chia thành 7 phần bằng nhau, lấy 2 phần.
1 đơn vị chia thành nhiều phần bằng nhau hơn thì giá trị 1 phần nhỏ hơn.
Vì 5 < 7 nên >
Tương tự với phần b,c.
Từ đó rút ra cho HS cách so sánh hai phân số có cùng tử số như sau:
Trong hai phân số có cùng tử số, phân số nào có mẫu số bé hơn thì
phân số đó lớn hơn; phân số nào có mẫu số lớn hơn thì phân số đó bé hơn.
b/. So sánh các phân số có mẫu số khác nhau.
Sách giáo khoa đưa ra quy tắc: Muốn so sánh hai phân số khác mẫu số, ta
có thể quy đồng mẫu số hai phân số đó , rồi so sánh các tử số của hai phân số
mới.
Ví dụ: So sánh các phân số sau
và
Giải
Quy đồng mẫu số các phân số, ta có: = = ;
= =
Vì < nên <
Thực tế, khi gặp trường hợp so sánh các phân số khác mẫu số, học sinh
thường vận dụng quy đồng ngay mẫu số các phân số, nhiều khi rất mất thời
gian. Vì vậy, ngay khi vận dụng quy tắc sách giáo khoa cũng phải hướng dẫn
học sinh vận dụng cách thuận tiện nhất.
Tôi đưa ra những lưu ý khi thực hiện quy đồng mẫu số các phân số là:

Thứ nhất: Chọn mẫu số chung nhỏ nhất.
Thứ hai: Đưa về phân số tối giản trước khi quy đồng.
Thứ ba: Nếu các phân số đã cho có thể áp dụng các phương pháp so sánh
thuận tiện mà không cần quy đồng thì nên vận dụng phương pháp so sánh
thuận tiện.

2.3.2. Vấn đề thứ hai: Các phương pháp so sánh phân số bằng
cách thuận tiện
Trong quá trình giảng dạy, học hỏi đồng nghiệp và tích luỹ kinh nghiệm, tơi đã
đúc kết một số phương pháp so sánh phân số bằng cách thuận tiện là:

7


Cách 1. So sánh hai phân số bằng cách quy đồng tử số.
Cách 2. So sánh hai phần bù tới 1 của mỗi phân số.
Cách 3. So sánh hai phần hơn của mỗi phân số với 1
Cách 4. So sánh qua một số trung gian.
Cách 5. So sánh bằng cách đưa về phân số tối giản
Cách 6. So sánh hai phân số bằng cách chuyển phân số thành hỗn số.
Cách 7. So sánh bằng đảo ngược phân số
Cách 8: .So sánh hai phân số bằng cách độc đáo
Cách 9.So sánh hai phân số bằng cách phân tích mỗi phân số thành tổng hoặc
thành hiệu của hai phân số mới có liên quan để so sánh.
Để áp dụng có hiệu quả các phương pháp so sánh phân số bằng cách thuận
tiện, cần nắm vững cách làm cụ thể của từng phương pháp so sánh và có kĩ năng
nhận dạng để chọn cách so sánh phù hợp cho từng bài.. Giáo viên cung cấp kiến
thức từng cách so sánh cho học sinh và được coi như đó là “ cơng thức” so sánh.
Cụ thể như sau:
** Cách 1. So sánh hai phân số bằng cách quy đồng tử số.

Nếu hai phân số có mẫu số khác nhau mà mẫu số lại lớn, việc đưa hai phân
số về cùng tử số nhanh và thuận tiện hơn thì ta có thể dựa vào tính chất cơ bản
của phân số để quy đồng tử số. (Đưa các phân số về cùng tử số)
Hướng dẫn cụ thể:
- Cách quy đồng tử số của hai phân số:
Tôi gợi mở để học sinh tìm ra cách quy đồng tử số:
+ Nêu cách quy đồng mẫu số?
+ Tương tự như cách quy đồng mẫu số, hãy tìm cách để tử số của hai phân số
bằng nhau?
Từ ví dụ cụ thể, rút ra cách quy đồng tử số của hai phân số như sau:
+ Lấy tử số và mẫu số của phân số thứ nhất nhân với tử số của phân số thứ
hai.
+ Lấy tử số và mẫu số của phân số thứ hai nhân với tử số của phân số thứ
nhất.
- So sánh mẫu số của hai phân số và kết luận về hai phân số cần so sánh như
phần so sánh hai phân số có cùng tử số.
Ví dụ: So sánh hai phân số: và
Giải
Quy đồng tử số các phân số, ta có:
Ta có: = =
= =
Vì 36 > 34 nên < .
Vậy : <
**Cách 2. So sánh hai phân số bằng cách so sánh hai “phần bù” đến 1 của
mỗi phân số.
Trước hết cần giải thích cho HS hiểu phần bù đến 1 của mỗi phân số là phần
phải bù thêm vào phân số để được 1 đơn vị.
Nhận dạng để so sánh: Chọn phương pháp so sánh hai phần bù đến 1 của
mỗi phân số khi :
+ Hai phân số cần so sánh đều nhỏ hơn 1

8


+ Hiệu giữa mẫu số và tử số của hai phân số bằng nhau (lấy mẫu số trừ đi tử
số của phân số đó, ta được hai hiệu bằng nhau)
Muốn tìm phần bù đến 1 của mỗi phân số, ta chỉ việc lấy 1 trừ đi chính phân
số đó.
Ví dụ 1: So sánh hai phân số và bằng cách thuận tiện
+ Nhận xét: < 1; < 1
và 13 -12 = 1; 14 - 13 = 1
+ Chọn phương pháp so sánh hai phần bù đến 1 của mỗi phân số
Giải
Ta có: 1 - =
1- =
Vì > (Theo cách so sánh hai phân số có cùng tử số)
Nên < (Hai phép trừ có số bị trừ bằng nhau, nếu phép trừ nào có hiệu
lớn hơn thì số trừ nhỏ hơn và ngược lại).
Ví dụ 2. So sánh các phân số sau bằng cách thuận tiện.
và
+ Nhận xét: Cả 2 phân số đều nhỏ hơn 1.
Hiệu giữa mẫu số và tử số: 125 - 123 = 2; 113 - 111 = 2
+ Chọn phương pháp so sánh phần bù đến 1 của mỗi phân số
Giải
Ta có: 1 - = ;
1- =
Vì
< nên >
Từ các ví dụ, tơi khái qt thành các bước so sánh như sau:
+ Bước 1: Tìm phần bù đến 1 của mỗi phân số .
+ Bước 2: So sánh hai phần bù “đến 1” của mỗi phân số.

+ Bước 3: Kết luận về hai phân số cần so sánh:
Trong hai phân số, phân số nào có phần bù đến 1 lớn hơn thì phân số đó bé
hơn và ngược lại.
Để học sinh dễ nhớ, có thể khái quát như sau:
Nếu 1- < 1 - thì >
Cách so sánh này không chỉ áp dụng khi so sánh hai phân số mà có thể áp
dụng để so sánh 3 phân số, 4 phân số, ….
Ví dụ . So sánh các phân số sau bằng cách thuận tiện:
; và
+ Nhận xét: cả 3 phân số đều nhỏ hơn 1.
Hiệu giữa mẫu số và tử số: 15 - 13 = 2; 19 - 17 = 2; 23 - 21 = 2
+ Chọn phương pháp so sánh phần bù đến 1 của mỗi phân số
Giải
Ta có:
1- = ;
1- = ;
1- =
Vì > > ( theo cách so sánh các phân số có cùng tử số)
Nên < < (Hai phép trừ có số bị trừ bằng nhau, nếu phép trừ nào có hiệu
lớn hơn thì số trừ nhỏ hơn và ngược lại).
** Cách 3. So sánh hai “phần hơn” của mỗi phân số với 1.
Trước hết cần giải thích cho HS hiểu phần hơn của mỗi phân số với 1 chính là
hiệu của mỗi phân số cần so sánh và 1.
9


Nhận dạng để so sánh: Chọn phương pháp so sánh hai phần hơn của mỗi
phân số với 1 khi:
+ Hai phân số cần so sánh đều lớn hơn 1
+ Hiệu giữa tử số và mẫu số của hai phân số bằng nhau (lấy tử số của mỗi

phân số trừ đi mẫu số của phân số đó, ta được hai hiệu bằng nhau.)
Muốn tìm phần hơn của mỗi phân số với 1, ta lấy phân số đó trừ đi 1.
Ví dụ : Không quy đồng mẫu số, hãy so sánh hai phân số sau
và
+ Nhận xét: cả 2 phân số đều lớn hơn 1.
Hiệu giữa tử số và mẫu số của mỗi phân số: 17 - 16 = 1; 16 - 15 = 1
+ Chọn phương pháp so sánh phần hơn của mỗi phân số với 1
Giải
Ta có:
-1=
-1=
Vì
<
(Theo cách so sánh hai phân số có cùng tử số)
Nên < (Hai phép trừ có số trừ bằng nhau, phép trừ nào có hiệu lớn
hơn thì số bị trừ lớn hơn và ngược lại).
Từ các ví dụ, tơi khái qt thành các bước so sánh như sau:
+ Bước 1. Tìm “phần hơn” của mỗi phân số với 1.
+ Bước 2. So sánh hai “phần hơn” của mỗi phân số với 1
+ Bước 3. Kết luận về hai phân số cần so sánh: Trong hai phân số, phân số nào
có phần hơn so với 1 lớn hơn thì phân số đó lớn hơn và ngược lại.
Khái quát:
Nếu -1 > - 1 thì >
Cách so sánh này không chỉ áp dụng khi so sánh hai phân số mà có thể áp
dụng để so sánh 3 phân số, 4 phân số, …
Ví dụ: So sánh các phân số sau bằng cách thuận tiện
; và
+ Nhận xét: cả 3 phân số đều lớn hơn 1.
Hiệu giữa tử số và mẫu số của mỗi phân số: 2006 - 2001 = 5
2002 - 1997 = 5; 2012 - 2007 = 5

+ Chọn phương pháp so sánh phần hơn của mỗi phân số với 1
Giải
Ta có:
-1= ;
- 1= ;
-1=
Vì
< < nên < <
** Cách 4. So sánh các phân số qua một số trung gian. (So sánh bắc cầu).
Trường hợp 1. Chọn 1 làm số trung gian
Nhận dạng để so sánh: Trong các phân số cần so sánh mà:
+ Một phân số có tử số nhỏ hơn mẫu số
+ Một phân số có tử số lớn hơn mẫu số
( hoặc phân số có tử số bằng mẫu số) thì chọn số trung gian là 1.
Khi so sánh phân số với 1: Nếu phân số có: tử số nhỏ hơn mẫu số thì phân
số nhỏ hơn 1; nếu tử số lớn hơn mẫu số thì phân số lớn hơn 1; nếu tử số bằng
mẫu số thì phân số bằng 1.
Ví dụ : So sánh hai phân số sau bằng cách nhanh nhất.
và
10


Giải
Vì 9 > 7 nên > 1 ;
15 < 18 nên < 1
Vậy > 1 >
Trường hợp 2. So sánh qua một phân số trung gian
So sánh qua một phân số trung gian là cách so sánh hay, giải quyết được
rất nhiều bài tập so sánh phân số bằng cách thuận tiện. Có trường hợp so sánh
phức tạp thì việc tìm được một phân số trung gian khơng dễ. Khi tìm được phân

số trung gian có thể coi như đã tìm ra bí quyết để so sánh các phân số đó.
Nhận dạng để so sánh: Hai dạng bài tập so sánh thường sử dụng cách so
sánh qua một phân số trung gian là:
1. Nếu hai phân số có tử số của phân số này lớn hơn tử số của phân số kia,
đồng thời mẫu số của phân số này bé hơn mẫu số của phân số kia hoặc
ngược lại thì ta chọn cách so sánh qua phân số trung gian.
2. Tử số của phân số này lớn hơn tử số của phân số kia và mẫu số của phân số
này cũng lớn hơn mẫu số của phân số kia. Khi lấy mẫu số của mỗi phân số
chia cho tử số, ta có thể dựa vào thương để tìm được một số trung gian giữa
hai phân số.
Tìm phân số trung gian bằng cách nào?
Việc tìm phân số trung gian phải dựa vào đặc điểm của các phân số đã cho.
+ Trường hợp 1: Tử số của phân số thứ nhất nhỏ hơn tử số của phân số thứ
hai và mẫu số của phân số thứ nhât lớn hơn mẫu số của phân số thứ hai hoặc
ngược lại, có hai cách chọn phân số trung gian:
Cách1: Lấy tử số của phân số thứ nhất làm tử số của phân số trung gian và
mẫu số của phân số thứ hai làm mẫu số của phân số trung gian
Cách 2: Lấy tử số của phân số thứ hai làm tử số của phân số trung gian và
mẫu số của phân số thứ nhất làm mẫu số của phân số trung gian.
Ví dụ 1: So sánh hai phân số bằng cách thuận tiện nhất.
và
+ Nhận xét: 24 < 25 và 27 > 26
+ Chọn phương pháp so sánh qua phân số trung gian
Giải
* Chọn phân số trung gian là:
Ta thấy: < (So sánh hai phân số có cùng tử số)
< (So sánh hai phân số có cùng mẫu số)
Suy ra: < < vậy <
+ Trường hợp 2. Tử số của phân số này lớn hơn tử số của phân số kia và mẫu
số của phân số này cũng lớn hơn mẫu số của phân số kia. Ta xác định phân số

trung gian dựa vào thương giữa mẫu số và tử số (Nếu cả hai phân số có mẫu
số lớn hơn tử số), cụ thể như sau:
Phân số thứ nhất: Lấy mẫu số chia cho tử số được thương là a dư r
Phân số thứ hai: Lấy mẫu số chia cho tử số được thương là (a-1) dư r
11


thì chọn phân số trung gian là
Từ các bài tốn thực tế, giáo viên cần khái quát lại cho học sinh dễ nhớ:
Nếu < và < thì <
Tuy nhiên có trường hợp không chọn ngay được phân số trung gian mà phải
gấp cả tử số và mẫu số của một phân số lên một số lần rồi mới chọn được phân
số trung gian .
Ví dụ: So sánh phân số mà không quy đồng.
và
Giải
Nhân cả tử số và mẫu số của phân số với 4, ta có:
= =
So sánh và

45
91

bằng cách chọn phân số trung gian là hoặc

**Cách 5. So sánh bằng cách đưa về phân số tối giản
- Nhận dạng để so sánh: Hai phân số cần so sánh có dạng phép tốn có kết
quả đặc biệt hoặc hai phân số cần so sánh có thể rút gọn được thì vận dụng
cách so sánh bằng cách đưa về phân số tối giản.
Trường hợp 1. Hai phân số cần so sánh có dạng phép tốn có kết quả đặc biệt

Trước hết, giáo viên đưa ra cho HS một số phép toán có kết quả đặc biệt.
VD: 27 x 10101 = 27 27 27
35 x 10010 = 350 350
Yêu cầu HS nhân, kiểm tra lại kết quả.
Sau đó đưa ra trường hợp tổng quát:
x 101 =
x 10101 =
x 10010 =
……………………..
Khi gặp các phân số có tử số và mẫu số là những phép tốn có kết quả đặc
biệt, giáo viên hướng dẫn HS dựa vào điều đặc biệt của tử số và mẫu số để đưa
hai phân số đã cho về hai phân số khác gọn hơn.
Ví dụ: So sánh hai phân số:
và
Giải
Cách 1.
Ta có: =
=
= =
Vậy: =
Cách 2
= =
= =
Vậy: =
Trường hợp 2. Cả hai phân số cần so sánh đều có thể rút gọn được.
Ví dụ : Khơng quy đồng mẫu số các phân số, hãy so sánh cặp phân số sau:
và
12

Giải
=

Ta có:
= = ;
=
Vì
> nên
>
Trường hợp 3. Một phân số tối giản, một phân số chưa tối giản
Khi gặp trường hợp này, học sinh chỉ cần rút gọn phân số chưa tối giản là có
thể so sánh được một cách dễ dàng.
Ví dụ: So sánh các phân số sau bằng cách thuận tiện:
và
Giải
Ta có: = ;
Vì < nên <
** Cách 6. So sánh hai phân số bằng cách chuyển phân số thành hỗn số.
Nhận dạng để so sánh: Khi các phân số cần so sánh có tử số lớn hơn mẫu số
mà thương giữa tử số và mẫu số của hai phân số không bằng nhau hoặc thương
giữa tử số và mẫu số của hai phân số bằng nhau và có cùng số dư, ta chuyển các
phân số đó thành hỗn số để so sánh.
Các bước thực hiện:
- Chuyển phân số thành hỗn số
- Trong hai hỗn số, hỗn số nào có phần ngun lớn hơn thì lớn hơn. Nếu phần
nguyên bằng nhau thì ta so sánh phần phân số. Từ đó suy ra phân số tương ứng
sẽ lớn hơn.
Ví dụ 1: So sánh hai phân số sau bằng cách thuận tiện nhất.
và
Nhận xét: + Mỗi phân số đều có tử số lớn hơn mẫu số

+ Thương giữa tử số và mẫu số của mỗi phân số:
43 : 6 = 7 dư 1
39 : 8 = 4 dư 7
Ta thấy hai thương khác nhau
+ Chuyển phân số thành hỗn số để so sánh.
Giải
Ta có: = 7
và = 4
Vì 7 > 4 nên >
Cách 7. So sánh bằng đảo ngược phân số
Cách thực hiện:
+ Lấy 1 chia cho mỗi phân số để được phân số nghịch đảo. ( phân số đã
cho là số chia, phân số nghịch đảo là thương số)
+ So sánh hai phân số nghịch đảo: Đưa hai phân số nghịch đảo về hỗn số
rồi so sánh. Nếu phân số nghịch đảo nào lớn hơn thì kết luận phân số đã cho
tương ứng nhỏ hơn. (Vì trong phép chia có số bị chia bằng nhau, thương lớn
hơn thì số chia nhỏ hơn)
Ví dụ. So sánh hai phân số và
Giải
Ta có: 1 : = ;
1 : =
= 4 ;
=5
Vậy < Suy ra:
>
**Cách 8. So sánh hai phân số bằng cách độc đáo.
13


Đây là cách dựa vào thương của hai phân số để so sánh. Thương của hai

phân số lớn hơn 1 thì số bị chia lớn hơn số chia và ngược lại.
Cách làm:
Bước 1.Tìm thương của hai phân số.
Bước 2. So sánh thương với 1:
+ Nếu thương nhỏ hơn 1 thì phân số làm số bị chia nhỏ hơn phân số
làm số chia. (Vì thương bằng 1 thì SBC bằng số chia)
+ Nếu thương lớn hơn 1 thì phân số làm số bị chia lớn hơn phân số
làm số chia.
Ví dụ 1: So sánh hai phân số sau bằng cách nhanh nhất. và
Giải
Tìm thương của hai phân số, ta có: : =
Vì < 1 nên <
Cách 9. So sánh hai phân số bằng cách phân tích mỗi phân số thành
tổng hoặc thành hiệu của hai phân số mới có liên quan để so sánh.
Ví dụ : So sánh mà khơng quy đồng
và
Giải
= + = +
= +
= +
Vì < nên <
Việc cung cấp cho học sinh các phương pháp so sánh phân số thuận tiện
và rèn cho học sinh kĩ năng lựa chọn phương pháp so sánh phân số phù hợp
không chỉ giúp học sinh giải quyết những bài tập so sánh phân số nhanh nhất
mà còn giúp các em vận dụng vào nhiều bài tập ứng dụng khác. Sau đây là một
số dạng bài tập ứng dụng phương pháp so sánh phân số.
3. Vấn đề thứ ba: Một số dạng bài tập nâng cao ứng dụng phương pháp so
sánh phân số .
Dạng 1. Xếp các phân số theo thứ tự nhất định
Để thực hiện được yêu cầu của bài tập này, học sinh cần phải so sánh các

phân số rồi mới xếp theo thứ tự. Nếu thực hiện theo cách quy đồng mẫu số
hoặc tử số … để so sánh thì mất rất nhiều thời gian lại chưa thuận tiện. Vậy cần
có hướng khắc phục như thế nào?
Cách 1. Ta phân tích mỗi phân số đã cho thành tổng của hai phân số
trong đó có một số hạng giống nhau, so sánh các số hạng còn lại với nhau rồi
xếp theo yêu cầu
Ví dụ: Xếp các phân số sau theo thứ tự nhỏ dần
; ; ; ; ;
Giải
Ta thấy: = + = +
= + = +
= + = +
= + = +
= + = +
= + = +
Mỗi tổng đều có 1 số hạng là
Vì
> > > > > Nên > > > > >

14


Cách 2. Vận dụng phương pháp so sánh phần bù đến 1 của mối phân số
để so sánh các phân số đã cho rồi xếp theo thứ tự.
Ví dụ: Xếp các phân số sau theo thứ tự từ lớn đến bé.
; ; ; ; ;
Giải
Xét phần bù đến 1 của mỗi phân số, ta có:
1 - =
1- =

1- =
1- =
1- =
1- =
Vì > > > > > nên ta xếp như sau:
< < < < <
Dạng 2. So sánh một phân số với một tổng các phân số.
Cách thực hiện:
+ Chọn một tổng trung gian sao cho có thể so sánh từng số hạng của tổng này
với tổng đã cho, tổng trung gian có thể tính nhanh được kết quả và so sánh với
phân số đã cho.
+ Hoặc: Tách phân số thành tổng rồi so sánh từng số hạng vừa tách với từng
số hạng của tổng đã cho.
Ví dụ : Cho tổng A = + + + +
Hãy so sánh tổng A với phân số
Giải
Chọn tổng trung gian là: + + + +
Ta thấy: + + + + < + + + + =
(So sánh từng cặp số hạng có tử số bằng nhau)
Mà < =
Vậy: : + + + + < Hay A <
Dạng 3. Viết phân số ở giữa các phân số đã cho
Cách thực hiện:
+ Tìm các phân số bằng phân số đã cho sao cho khoảng cách giữa hai
phân số được “ nới” rộng.
+ So sánh để tìm phân số ở giữa
Ví dụ: Hãy viết 4 phân số khác nhau nằm giữa các phân số sau:
a) và
b/ và
Giải

a) và
Ta có: = ; =
Các phân số lớn hơn và nhỏ hơn là: ; ; ;
Ta viết như sau: < < < < <
b/ và
Ta có: = ; =
Các phân số lớn hơn và nhỏ hơn là: ; ; ;
15


Ta viết như sau: < < < < <
Dạng 4. Tìm phân số lớn nhất, nhỏ nhất trong một nhóm các phân số
Để tìm được phân số lớn nhất hoặc phân số nhỏ nhất trong một nhóm các
phân số đã cho, ta phải thực hiện so sánh các phân số. Ta áp dụng các phương
pháp so sánh phân số để chia các phân số theo nhóm và tìm phân số lớn nhất
hay nhỏ nhất trong nhóm đã chia.
Ví dụ
: Tìm phân số nhỏ nhất trong các phân số sau:
; ; ; ;
Với bài tập này mà thực hiện so sánh tất cả các phân số rồi tìm ra phân
số nhỏ nhất thì sẽ mất rất nhiều thời gian. Vì vậy ta áp dụng các phương pháp
so sánh để chia các phân số theo nhóm.
Giải.
Ta thấy:
Các phân số ; ; đều lớn hơn 1.
Các phân số ; đều nhỏ hơn 1.
Để tìm phân số nhỏ nhất, ta chỉ cần so sánh và
Chọn phân số trung gian là
Ta có: < = ;
> = nên <

Vậy phân số nhỏ nhất trong các phân số đã cho là

2.4/. KẾT QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Khi HS nắm vững các cách so sánh phân số trên, HS có thể thực hiện được
hầu hết các bài tốn so sánh phân số. HS lớp tơi khơng chỉ hoàn thành tốt các
bài tập trong SGK, trong vở Bài tập tốn nâng cao mà cịn thực hiện tốt các bài
tập trong chuyên đề bồi dưỡng HSG toán 4-5, trong Sách Tốn bồi dưỡng; ….
Tơi cho các em làm 3 bài kiểm tra về so sánh các phân số (Bài số 1 khảo sát
trước khi áp dụng các phương pháp; Bài số 2 và 3 khảo sát sau khi áp dụng các
phương pháp đã nêu trong đề tài ) và thấy kết quả bài làm của các em tiến bộ rõ
rệt:
* Kết quả các bài kiểm tra:
TT
Số HS Điểm 9-10 Điểm 7-8
Điểm 5-6
Điểm 0-4
Bài số 1
26
0 = 0%
5 = 19 %
12= 46,2%
9 = 34 %
Bài số 2
26
10 = 38 % 12 = 46 %
3 = 11%
1= 4%
Ngoài 3 bài kiểm tra trên, khi theo dõi quá trình học tập của học sinh tôi thấy
các em rất hào hứng khi học phần so sánh phân số, các em thực hiện rất nhanh
các bài tập này và vận dụng vào làm các dạng bài tập liên quan tới so sánh phân

số một cách thành thạo. Tôi thấy HS tự tin hơn, kết quả học tập mơn tốn cũng
tốt hơn. Nhiều giáo viên trong trường đã tham khảo, vận dụng kinh nghiệm này
trong giảng dạy và đạt hiệu quả cao. Giáo viên không cịn thấy ngại và khó
khi dạy dạng bài này và cũng thấy tự tin hơn khi dạy bồi dưỡng Toán cho HSG.

16


BÀI KIỂM TRA SỐ 1
Khoanh vào câu trả lời đúng hoặc thực hiện theo yêu cầu:

I.

Câu 1. Viết các phân số
A.

3
7

;

3
6

;

3
5

B.

3
3
3
;
;
5
6
7
3
3 3
; 7; 6
5

theo thứ tự từ lớn đến bé là:
3
7

C.

;

3
5

;

3
6

D.

Câu 2. Trong các phân số dưới đây, phân số nào bằng phân số
A.

5
18

B.

6
27

Câu 3. Trong các phân số :
A.

3
4

B.

9
7

C.

; ;

14
24

3 3 3
; ;
5 6 7

2
?
9
10
D.
36

; , phân số bé hơn 1 là:
C.

22
22

D.

Câu 4.Trong các phân số sau phân số nào lớn nhất:
A.

B.

C.

D.

II: Giải các bài toán sau:

Bài 1: So sánh các phân số sau bằng cách hợp lí:
a)

và

b)

và

17


c)

2011
2012

d)

và

2
1995

và

3
1994

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
Bài 2: Xếp các phân số sau theo thứ tự từ lớn đến bé.
; ; ; ; ;
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………

BÀI KIỂM TRA SỐ 2
I. Khoanh vào câu trả lời đúng hoặc thực hiện theo yêu cầu:
Câu 1: Dãy phân số nào được sắp xếp theo thứ tự giảm dần?
A.

; ; ;

B.

; ; ;

Câu 2. Trong các phân số

A.

;

C.

; ;

D.

; ; ;

phân số nào nhỏ nhất?

B.

C.

D.

=

Câu 3: Tìm x, biết:

A. x = 5

; ; ;

B. x = 20

C. x =

D. x = 45

18

Câu 4: Mẹ cho hai anh em một số tiền bằng nhau. Anh mua vở hết
của anh. Em mua bút hết
hơn?
A. Anh
B. Em
II: Giải các bài toán sau:

số tiền

số tiền của em. Hỏi số tiền còn lại của ai nhiều
C. Hai anh em còn lại bằng nhau

Bài 1 : Viết 3 phân số ở giữa các phân số

và

……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
Bài 2 : Không quy đồng, hãy so sánh các phân số sau :
a)

và

b)

37
53

và

3737
5353

và
và
c)
d)
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………

3/ KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
1. Kết luận:
Từ việc áp dụng sáng kiến kinh nghiệm trên, tôi rút ra bài học kinh nghiệm
là:
- Giáo viên- Học sinh dạy và học tốt kiến thức cơ bản SGK.
- Kiến thức nâng cao cho học sinh cần được rút ra như “quy tắc”(nếu có thể)
để HS dễ nhớ.
- Giáo viên hướng dẫn cụ thể, có làm mẫu cách trình bày và cho HS luyện tập
nhiều.
. 2. Kiến nghị, đề xuất
a/ Với giáo viên:

19


- Người GV cần nghiên cứu kĩ, nắm rõ bản chất của các vấn đề nêu trên, chuẩn
bị các ví dụ điển hình đưa ra tổng quát được vấn đề.

- Luôn tạo điều kiện để học sinh phát hiện ra kiến thức và có thể là người
tổng quát vấn đề để phát huy sự sáng tạo của các em.
- Người giáo viên cần dành một khoảng thời gian và thời lượng phù hợp
để cùng học sinh khám phá và ghi nhớ các dấu hiệu của việc so sánh phân số.

20


b/ Với học sinh
- Say mê học tập, tích cực luyện tập và mạnh dạn bày tỏ ý kiến
Trên đây là những sáng kiến kinh nghiệm mà tơi đã tích luỹ được khi dạy
HS so sánh phân số. Tôi rất mong nhận được sự góp ý, bổ sung của đồng nghiệp
để việc giảng dạy ngày một tốt hơn. Nếu có hành vi sao chép sáng kiến, tơi xin
chịu hồn tồn trách nhiệm trước pháp luật của Nhà nước.
Chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA BGH

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
khơng sao chép nội dung của người khác.
Thanh Hóa, ngày 10 tháng 4 năm 2016
Người viết
(Ký và ghi rõ họ tên)

Đỗ Thị Lài

21