De thi HSG 9 HPhu NInh 20122013

<span class='text_page_counter'>(1)</span>PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 Năm học 2012 - 2013 Môn: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề). Đề chính thức. Ngày thi: 29/11/2012 Bài 1: Tìm số tự nhiên n để: a) A = n3 - n2 + n - 1 là số nguyên tố. n 4  3n 3  2n 2  6n  2 n2  2 B= có giá trị là một số nguyên.. b) c) D = n5 – n + 2 là số chính phương (n 2). Bài 2: Cho biÓu thøc: P =. Bài 3.. √a : 1 − (1+ a+1 ) ( √ a −1 a √ a+2√√aa−a −1 ). a. Rót gän biÓu thøc P . b. T×m c¸c gi¸ trÞ cña a sao cho P < 1. c. TÝnh gi¸ trÞ cña P nÕu a=19− 8 √ 3 . 1. Gi¶i ph¬ng tr×nh sau: √ 2 x −1+2=x 2. T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: a).. y=√ x 2+ 4 x +5. 2 b). x+ y ¿ =(x −1)( y +1). ¿. Bài 4 : Cho hình vuông ABCD, độ dài các cạnh bằng a. Một điểm M chuyển động trên cạnh DC ( M D; M C ) chọn điểm N trên cạnh BC sao cho góc MAN = 45 O, DB cắt AM, AN theo thứ tự tại E và F. a) Chứng minh rằng góc AFM = góc AEN = 90O. b) Chứng minh rằng diện tích của tam giác AEF bằng một nửa diện tích tam giác AMN. c) Chứng minh rằng chu vi tam giác CMN không đổi khi M chuyển động trên DC. Bài 5 : Cho a,b,c là các số dương, chứng minh rằng : a b c T = 3a  b  c + 3b  a  c + 3c  b  a. 3 5. __________________________. Hä vµ tªn thÝ sinh:................................................... Sè b¸o danh :..............Phßng thi........... Chó ý: C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm Hội đồng chấm thi đã điều chỉnh một số nội dung và biểu điểm trong hướng dẫn này nhưng chúng tôi chưa cập nhật được mong quý vị thông cảm PHÒNG GD&ĐT PHÙ NINH.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Híng dÉn chÊm thi CHỌN häc sinh giái líp 9 Năm học 2012 - 2013 Môn: Toán Bài 1: (5,0 điểm) Tìm số tự nhiên n để: a) A = n3 - n2 + n - 1 là số nguyên tố. b) c). n 4  3n 3  2n 2  6n  2 n2  2 B= có giá trị là một số nguyên.. D = n5 – n + 2 là số chính phương, với n 2.. a, (1điểm) A = n3 - n2 + n – 1 = (n2 + 1)(n - 1) Để A là số nguyên tố thì n – 1 = 1  n = 2 khi đó A= 5 b, (2điểm). 0,5 0,5. 2 B = n2 + 3n - n  2. 0,5. 2. 0,5 0,5 0,5. B có giá trị nguyên  2  n2 + 2 n + 2 là ước tự nhiên của 2 n2 + 2 = 1 không có giá trị thoả mãn Hoặc n2 + 2 = 2  n = 0 Với n = 0 thì B có giá trị nguyên. c, (2điểm) D = n5 – n + 2 = n(n4 - 1) + 2 = n(n + 1)(n - 1)(n2 + 1) + 2 2. = n(n - 1)(n + 1)   n  4   5 +2 = n(n - 1)(n + 1)(n- 2)(n + 2) + 5 n(n - 1)(n + 1) + 2 Mà n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2 5 (tich 5số tự nhiên liên tiếp) Và 5 n(n-1)(n+1 5 Vậy D chia 5 dư 2 Do đó số D có tận cùng là 2 hoặc 7nên D không phải số chính phương Vậy không có giá trị nào của n để D là số chính phương 2. Bµi 2: (5,5 ®iÓm) Cho biÓu thøc: P =. √a : 1 − (1+ a+1 ) ( √ a −1 a √ a+2√√aa−a −1 ). a. Rót gän biÓu thøc P . b. T×m c¸c gi¸ trÞ cña a sao cho P < 1. c. TÝnh gi¸ trÞ cña P nÕu a=19− 8 √ 3 . a, §iÒu kiÖn cã nghÜa: a ≥ 0 ; a ≠1 1 2 √a − a −1 (a+1)( √ a −1) √a − 1¿ 2 ¿ ¿ ¿ a+ √ a+1 ( a+1)( √a − 1) ¿ . ¿ a+1 a+ √ a+1 a+ √ a+1 b, P < 1 ⇔ <1 -1 < 0 ⇔ √ a −1 √ a −1 a+2 <0 ⇔ ⇔ a<1 ⇔ √ a −1< 0 ( V× a + 2 > 0 ) √a − 1 KÕt hîp víi §KX§ => Víi 0 ≤ a<1 th× P < 1 ........................ P=. a+1+ √ a : a+1. (√. ). 2,0 ®. 0,5® 1,0 ® 0,5 ®. 0,5 0,5 0,5 0,5.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 2 c, a=19− 8 √ 3 = 4 − √ 3¿ => √ a=4 − √ 3 ¿ => Thay vào biểu thức P tính đợc P = 24 − 9 √3 =15 − √ 3. 2. 3− √ 3. Bài 3: ( 3,5 ®iÓm ) 1. Gi¶i ph¬ng tr×nh sau: √ 2 x −1+2=x 2. T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: a).. 2 b). x+ y ¿ =( x −1)( y +1). y=√ x 2+ 4 x +5 ;. 1). √ 2 x −1+2=x ⇒ √ 2 x −1=x −2. ¿. §K : x ≥ 2. x=1 ¿ x =5 ¿ ¿ ¿ ¿ √ 2 x − 1=x −2 ⇔2 x −1=x2 − 4 x+ 4 ¿ ⇔ x2 −6 x +5=0 ⇔( x −1)(x − 5)=0 ¿ ⇔ 2.a). y=√ x 2+ 4 x +5 §K : x ∈ R , y >0. Bình phơng hai vế ta đợc y2 = (x + 2)2 + 1  (y + x + 2)(y – x – 2) = 1 Do x, y nguyªn vµ y d¬ng nªn ta cã: ¿ y + x+ 2=1 y − x − 2=1 ⇔ ¿ x=− 2 y =1 ¿{ ¿. 1,0 ®. 0,25 0,5 0,25. 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25. 2.b), T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: x+ y ¿ 2=( x −1)( y +1) ¿ ⇔ x 2 +2 xy + y 2=xy+ x − y −1 ⇔2 x 2+2 xy+2 y 2 − 2 x +2 y +2=0 y+1 ¿2 =0 ¿ ¿ x −1 ¿2 +¿ x+ y ¿ 2+¿ ⇔¿. 0,5 0,5. Bài 4 : (6 điểm) Cho hình vuông ABCD, độ dài các cạnh bằng a . Một điểm M chuyển động trên cạnh DC ( M D ; M C ) chọn điểm N trên cạnh BC sao cho góc MAN = 45O, DB cắt AM, AN theo thứ tự tại E và F. a) Chứng minh rằng góc AFM = góc AEN = 90O..

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 4a. b) Chứng minh rằng diện tích của tam giác AEF bằng một nửa diện tích tam giác AMN. c) Chứng minh rằng chu vi tam giác CMN không đổi khi M chuyển động trên DC. Chứng minh : góc AFM = góc AEN = 90O A.     Nối A với C chỉ ra được A3 = A1 ; B1 = C1. =>  AFB. 2,0. . B. 1. AMC (g.g). F. 3. AF AB AF AM    (1) AB AC => AM AC   MAF = CAB = 45 0. Có (2) Từ 1 và 2 =>  AFM   ABC. N. 1,0. E. 0   => AFM = ABC = 90.  C/M hoàn toàn tương tự có AEN = 900   vì vậy AFM = AEN = 90. 4b. 1. 0. 1 K. D. M. C. 1,0. 1 S AMN 2 Chứng minh : AF AE  Có  AFM   AEN => AM AN =>  AEF   AMN (c.g.c) => S AEF . 2. S AEF  AF    (1) S AMN  AM    Có FAM = 450, AFM = 900. =>  AFM Vuông cân đỉnh F nên AM2 = AF2 + FM2 = 2AF2 2. S AEF  AF  1 1  1 S AEF  S AMN   S AM  = 2 Thay vào (1) ta được AMN 2 2 hay: =>  ĐPCM). 4c. C/M chu vi  CMN không đổi Trên tia đối của tia DC lấy điểm K sao cho DK = BN. 0.5 0.5 0.5.    ADK =  ABN => AK = AN và BAN DAK. do đó  AMN =  AKM (c.gc) => MN=KM Vì vậy: Chu vi  CMN = MN + CN +CM = CM + KM + CN = CD + KD + CN = CD + NB + CN = CD + CB = 2a không đổi Tức là: Chu vi  CMN không thay đổi khi M chuyển động trên cạnh DC. 0.5. Bài 5 : (2 điểm) Cho a,b,c là các số dương, chứng minh rằng : a b c T = 3a  b  c + 3b  a  c + 3c  b  a. 3 5. Đặt x = 3a + b + c ; y = 3b + a + c ; z = 3c + b + a => x + y + z = 5( a + b + c) =5(x – 2a ) = 5(y – 2b) =5(z – 2c => 4x –(y +z) =10a; 4y –(x +z) =10b ; 4z –(y +x) =10c ; 4 y  ( x  z ) 4 z  ( x  y) 4x  ( y  z) y x z => 10T = + + =. 0.25 0.5 0.25 0.5.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> x z y z x y y y = 12 – ( x + x + + + z + z )  12 -6 =6 => T. Dấu bằng xẩy ra khi a = b = c. 3 5. 0.25 0.25.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>