Chuyên đề 28:ôn tập toán hệ trục tọa độ (câu hỏi + đáp án)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.2 MB, 64 trang )
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
Chuyên đề 28
TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH MỨC 5-6
Lý thuyết chung
1. Hệ trục tọa độ Oxyz:
Hệ trục gồm ba trục Ox, Oy , Oz đôi một vuông góc nhau.
Trục Ox : trục hồnh, có vectơ đơn vị i (1;0;0) .
Trục Oy : trục tung, có vectơ đơn vị j (0;1; 0) .
Trục Oz : trục cao, có vectơ đơn vị k (0; 0;1).
Điểm O (0; 0; 0) là gốc tọa độ.
2. Tọa độ vectơ: Vectơ u xi y j zk u ( x; y; z ) .
Cho a (a1; a2 ; a3 ), b (b1; b2 ; b3 ) . Ta có:
a b (a1 b1; a2 b2 ; a3 b3 )
a cùng phương
b a kb (k R)
ka (ka1; ka2 ; ka3 )
a1 kb1
a1 b1
a
a a
a2 kb2 1 2 3 , (b1 , b2 , b3 0).
a b a2 b2
b1 b2 b3
a kb
a b
3
3
3 3
2
a 2 a a12 a22 a32
a.b a1.b1 a2 .b2 a3.b3
a a12 a22 a22
a1b1 a2b2 a3b3
a.b
cos(a , b )
a b a.b 0 a1b1 a2b2 a3b3 0
2
a .b
a1 a22 a32 . b12 b22 b32
3. Tọa độ điểm: M ( x; y; z ) OM ( x; y; z ) . Cho A( xA ; y A ; z A ) , B( xB ; yB ; zB ) , C ( xC ; yC ; zC ) , ta có:
AB ( xB xA ; yB yA ; zB z A )
AB ( xB xA )2 ( yB y A )2 ( zB z A ) 2
Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB:
Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:
x x x y yB yC z A z B zC
x x y yB z A z B
M A B; A
;
G A B C ; A
;
.
.
2
2
2
3
3
3
QUY TẮC CHIẾU ĐẶC BIỆT
Chiếu điểm trên trục tọa độ
Chiếu điểm trên mặt phẳng tọa độ
Chiế u và o Ox
Chiếu vaø o Oxy
Điểm M ( xM ; yM ; zM )
Điểm M ( xM ; yM ; zM )
M1 ( xM ;0;0)
M1 ( xM ; yM ;0)
( Giữ nguyê n x )
( Giữ nguyên x , y )
Chiếu và o Oy
Điểm M ( xM ; yM ; zM )
M 2 (0; yM ;0)
( Giữ nguyê n y )
Chiếu và o Oyz
Điểm M ( xM ; yM ; zM )
M 2 (0; yM ; zM )
( Giữ nguyê n y, z )
Chiế u vào Oz
Điểm M ( xM ; yM ; zM )
M 3 (0;0; zM )
( Giữ nguyê n z )
Chiếu và o Oxz
Điểm M ( xM ; yM ; zM )
M 3 ( xM ;0; zM )
( Giữ nguyeâ n x , z )
Đối xứng điểm qua trục tọa độ
Đối xứng điểm qua mặt phẳng tọa độ
Đối xứng qua Oxy
M ( xM ; yM ; zM )
M1 ( xM ; yM ; zM )
( Giữ nguyê n x , y; đổi dấu z )
Đố i xứng qua Ox
M ( xM ; yM ; zM )
M1 ( xM ; yM ; zM )
( Giữ nguyên x ; đổi dấ u y, z )
Đối xứng qua Oxz
M ( xM ; yM ; zM )
M 2 ( xM ; yM ; zM )
( Giữ nguyê n x , z; đổi dấ u y )
Đối xứng qua Oyz
M ( xM ; yM ; zM )
M 3 ( xM ; yM ; zM )
( Giữ nguyê n y, z ; đổi dấ u x )
Đối xứng qua Oy
M ( xM ; yM ; zM )
M 2 ( xM ; yM ; zM )
( Giữ nguyê n y; đổ i dấ u x , z )
Facebook Nguyễn Vương Trang 1
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Đố i xứng qua Oz
M ( xM ; yM ; zM )
M 3 ( xM ; yM ; zM )
( Giữ nguyê n z; đổi dấ u x , y )
4. Tích có hướng của hai vectơ:
Định nghĩa: Cho a (a1 , a2 , a3 ) , b (b1 , b2 , b3 ) , tích có hướng của a và b là:
a a3 a3 a1 a1 a2
a, b 2
;
;
a2b3 a3b2 ; a3b1 a1b3 ; a1b2 a2b1 .
b2 b3 b3 b1 b1 b2
[a, b] a . b .sin a , b
Tính chất:
[ a, b] a
[ a, b] b
Điều kiện cùng phương của hai vectơ a & b là
c
a
,
b
Điều
kiện
đồng
phẳng
của
ba
vectơ
và
là
a, b 0 với 0 (0;0;0).
[a, b].c 0.
Diện tích tam giác ABC:
Diện tích hình bình hành
1
S ABC AB, AC .
ABCD: S ABCD AB, AD .
2
1
Thể tích khối hộp: VABCD. A ' B 'C ' D ' [ AB, AD]. AA ' .
Thể tích tứ diện: VABCD AB, AC . AD .
6
Dạng 1. Tìm tọa độ điểm, véc tơ liên quan đến hệ trục tọa dộ OXYZ
Dạng 1.1 Tìm hình chiếu của điểm lên mặt phẳng, đường thẳng
Câu 1.
(Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , hình chiếu vng góc của điểm
M 2; 2;1 trên mặt phẳng Oxy có tọa độ là
A. 2;0;1 .
Câu 2.
B. 2; 2;0 .
C. 0; 2;1 .
D. 0;0;1 .
(Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Trong khơng gian Oxyz , hình chiếu vng góc của điểm
M 2;1; 1 trên mặt phẳng Ozx có tọa độ là
A. 0;1;0 .
Câu 3.
B. 0;0;5 .
C. 1;0;0 .
D. 0; 2;5 .
B. 3;0;0 .
C. 0; 0;1 .
D. 0; 2;0 .
(Mã 103 - 2020 Lần 1) Trong khơng gian Oxyz , hình chiếu vng góc của điểm A 3;5; 2 trên
trục Ox có tọa độ là
A. 0;5; 2 .
Câu 6.
D. 2;0; 1 .
(Mã 101 - 2020 Lần 1) Trong khơng gian Oxyz , hình chiếu vng góc của điểm A 3; 2;1 trên
trục Ox có tọa độ là:
A. 0; 2;1 .
Câu 5.
C. 0;1; 1 .
(Mã 102 - 2020 Lần 1) Trong khơng gian Oxyz , hình chiếu vng góc của điểm A 1; 2;5 trên
trục Ox có tọa độ là
A. 0; 2;0 .
Câu 4.
B. 2;1;0 .
B. 0;5; 0 .
C. 3;0;0 .
D. 0; 0; 2 .
(Mã 104 - 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , hình chiếu vng góc của điểm A(8;1; 2) trên
trục Ox có tọa độ là
A. (0;1; 0) .
B. (8;0;0) .
C. (0;1;2) .
D. (0;0; 2) .
Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
Câu 7.
(Mã 101 - 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz . Điểm nào sau đây là hình chiếu vng góc của
điểm A(1; 4; 2) trên mặt phẳng Oxy ?
A. (0;4; 2) .
Câu 8.
B. (1; 4;0) .
C. (1;0; 2) .
D. (0;0;2) .
(Mã 103 - 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz điểm nào dưới đây là hình chiếu vng góc của
điểm A 3;5; 2 trên mặt phẳng Oxy ?
A. M 3; 0; 2
Câu 9.
B. 0;0; 2
C. Q 0;5; 2
D. N 3;5;0
(Mã 102 - 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz , điểm nào dưới đây là hình chiếu vng góc của
điểm A1;2;3 trên mặt phẳng Oxy .
A. Q 1;0;3
Câu 10.
B. P 1;2;0
C. M 0;0;3
D. N 0;2;3
(Mã 104 - 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz , điểm nào dưới đây là hình chiếu vng góc của
điểm A 3; 4;1 trên mặt phẳng Oxy ?
A. Q 0;4;1 .
Câu 11.
B. P 3;0;1 .
C. M 0;0;1 .
D. N 3; 4;0 .
(Mã 104 - 2019) Trong không gian Oxyz , hình chiếu vng góc của điểm M 3;1; 1 trên trục
Oy có tọa độ là
A. 3;0; 1 .
Câu 12.
B. 0;1; 0 .
C. 3; 0;0 .
D. 0;0; 1 .
(Mã 103 - 2019) Trong khơng gian Oxyz , hình chiếu vng góc của điểm M 2;1; 1 trên trục
Oy có tọa độ là
A. 0;0; 1 .
Câu 13.
D. 2;0;0 .
B. 0;0;1 .
C. 0; 1;0 .
D. 3;0;0 .
(Mã 101 - 2019) Trong không gian Oxyz , hình chiếu vng góc của điểm M 2;1; 1 trên trục
Oz có tọa độ là
A. 2; 0;0 .
Câu 15.
C. 0;1;0 .
(Mã 102 - 2019) Trong khơng gian Oxyz , hình chiếu vng góc của điểm M 3; 1;1 trên trục
Oz có tọa độ là
A. 3; 1;0 .
Câu 14.
B. 2;0; 1 .
B. 0;1; 0 .
C. 2;1; 0 .
D. 0;0; 1 .
(Đề Tham Khảo 2018) Trong không gian Oxyz , cho điểm A 3; 1;1 . Hình chiếu vng góc của
điểm A trên mặt phẳng Oyz là điểm
A. M 3;0;0
Câu 16.
B. N 0; 1;1
C. P 0; 1;0
D. Q 0;0;1
(Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , điểm nào sau
đây nằm trên mặt phẳng tọa độ Oyz ?
A. M 3;4;0 .
Câu 17.
B. P 2;0;3 .
C. Q 2;0;0 .
D. N 0;4; 1 .
(Chuyên Hạ Long 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho M 4;5;6 . Hình chiếu
của M xuống mặt phẳng Oyz là M . Xác định tọa độ M .
A. M 4;5;0 .
B. M 4;0;6 .
C. M 4;0;0 .
D. M 0;5;6 .
Facebook Nguyễn Vương 3
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Câu 18.
(Chuyên Hạ Long 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm M x; y; z .
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Nếu M đối xứng với M qua mặt phẳng Oxz thì M x; y; z .
B. Nếu M đối xứng với M qua Oy thì M x; y; z .
C. Nếu M đối xứng với M qua mặt phẳng Oxy thì M x; y ; z .
D. Nếu M đối xứng với M qua gốc tọa độ O thì M 2 x;2 y;0 .
Câu 19.
(THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong không gian Oxyz , tọa độ điểm đối xứng của
M 1; 2; 3 qua mặt phẳng Oyz là
A. 0; 2; 3 .
Câu 20.
B. 1; 2; 3 .
C. 1; 2; 3 .
D. 1; 2;3 .
(Chuyên Hạ Long 2018) Trong không gian Oxyz , cho điểm A 2; 3;5 . Tìm tọa độ A là điểm
đối xứng với A qua trục Oy .
A. A 2;3;5 .
B. A 2; 3; 5 .
C. A 2; 3;5 .
D. A 2; 3; 5 .
Dạng 1.2 Xác định tọa độ vectơ, độ dài vec tơ
Câu 21.
(Mã 102 2018) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1;1; 2 và B 2; 2;1 . Vectơ AB có
tọa độ là
A. 1; 1; 3
B. 3;1;1
C. 1;1;3
D. 3;3; 1
Câu 22.
(Đề Tham Khảo 2019) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A 1;1; 1 và B 2;3; 2 . Vectơ
AB
có tọa độ là
A. 1; 2; 3
B. 1; 2; 3
C. 3;5;1
D. 3; 4;1
Câu 23.
(Mã 110 2017) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm A 2;2;1 . Tính độ dài đoạn
thẳng OA .
A. OA 5
Câu 24.
Câu 25.
B. OA 5
C. OA 3
D. OA 9
(THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba vecto
a 1; 2;3 ; b 2; 2; 1 ; c 4; 0; 4 . Tọa độ của vecto d a b 2c là
A. d 7;0; 4
B. d 7;0; 4
C. d 7; 0; 4
D. d 7;0; 4
(THPT Ba Đình 2019) Trong khơng gian Oxyz , cho hai điểm A 0;1; 1 , B 2;3; 2 . Vectơ AB
có tọa độ là
A. 2; 2;3 .
Câu 26.
C. 3;5;1 .
D. 3;4;1 .
(THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Trong không gian Oxyz cho a 2;3;2 và b 1;1; 1 .
Vectơ a b có tọa độ là
A. 3;4;1 .
Câu 27.
B. 1; 2;3 .
B. 1; 2;3 .
C. 3;5;1 .
D. 1;2;3 .
(THPT Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho
a 2; 3;3 , b 0; 2; 1 , c 3; 1;5 . Tìm tọa độ của vectơ u 2a 3b 2c .
A. 10; 2;13 .
B. 2; 2; 7 .
C. 2; 2;7 .
D. 2; 2;7 .
Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021
Câu 28.
(THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho
a i 2 j 3k . Tọa độ của vectơ a là
A. 1; 2; 3 .
B. 2; 3; 1 .
C. 2; 1; 3 .
D. 3; 2; 1 .
Câu 29. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho a 2; 3; 3 , b 0; 2; 1 , c 3; 1; 5 . Tìm tọa
độ của vectơ u 2a 3b 2c .
A. 10; 2;13 .
B. 2; 2; 7 .
C. 2; 2; 7 .
D. 2; 2; 7 .
Câu 30.
(THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai vectơ
x 2;1; 3 và y 1;0; 1 . Tìm tọa độ của vectơ a x 2 y .
A. a 4;1; 1 .
B. a 3;1; 4 .
C. a 0;1; 1 .
D. a 4;1; 5 .
Câu 31.
(THPT - n Định Thanh Hóa 2019) Trong khơng gian O xyz , cho A 2; 1;0 và B 1;1; 3 .
Vectơ AB có tọa độ là
A. 3;0; 3 .
Câu 32.
B. 1;2; 3 .
C. 1; 2;3 .
D. 1; 2;3 .
(Sở Hà Nội 2019) Trong không gian Oxyz cho A 2; 2;1 , B 1; 1;3 . Tọa độ vecto AB là:
A. ( 1;1; 2). .
B. ( 3;3; 4). .
C. (3; 3; 4). .
D. (1; 1; 2)
Câu 33. (Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai 2019) Trong không gian Oxyz với i, j , k lần lượt là các
vecto đơn vị trên các trục Ox , Oy , Oz . Tính tọa độ của vecto i j k .
A. i j k (1; 1;1). B. i j k ( 1;1;1). C. i j k (1;1; 1). D. i j k (1; 1;1).
Câu 34.
(THPT Gang Thép Thái Nguyên 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz giả sử
u 2i 3 j k , khi đó tọa độ véc tơ u là
A. 2;3;1 .
Câu 35.
B. 2;3; 1 .
C. 2; 3; 1 .
D. 2;3;1 .
(THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2019) Trong không gian Oxyz , cho a 1; 2;1 và b 1;3;0 .
Vectơ c 2a b có tọa độ là
A. 1; 7;2 .
B. 1;5;2 .
C. 3; 7;2 .
D. 1; 7;3 .
Câu 36.
(KTNL GV Thuận Thành 2 Bắc Ninh 2019) Trong không gian với trục hệ tọa độ Oxyz , cho
a i 2 j 3k . Tọa độ của vectơ a là:
A. a 1; 2; 3 .
B. a 2; 3; 1 .
C. a 3; 2; 1 .
D. a 2; 1; 3 .
Câu 37.
(Sở Thanh Hóa 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A 1; 3;1 ,
B 3;0; 2 . Tính độ dài AB .
A. 26.
Câu 38.
B. 22.
C.
26 .
D.
22.
(Chuyên - KHTN - Hà Nội - 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1; 2; 1 ,
B 1; 4;3 . Độ dài đoạn thẳng AB là
A. 2 13
B.
6
C. 3
D. 2 3
Facebook Nguyễn Vương 5
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Câu 39.
(Hội 8 trường chuyên 2019) Trong không gian Oxyz, cho a 2; 2;0 , b 2; 2;0 , c 2; 2; 2 . Giá
trị của a b c bằng
A. 6.
Câu 40.
B. 11 .
C. 2 11 . D. 2 6 .
(Chuyên Nguyễn Du-ĐăkLăk 2019) Trong không gian Oxyz , cho 2 điểm A 1;3;5 ,
B 2; 2;3 . Độ dài đoạn AB bằng
A.
7.
B.
8.
C.
6.
D.
5.
Dạng 1.3 Xác định tọa độ điểm
Câu 41. (Mã 101 2018) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 2; 4;3 và B 2; 2;7 . Trung điểm của
đoạn thẳng AB có tọa độ là
A. 4; 2;10
Câu 42.
B. 1;3;2
C. 2;6; 4
D. 2; 1;5
(Đề Tham Khảo 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A 3; 4;0 ,
B 1;1;3 , C 3,1, 0 . Tìm tọa độ điểm D trên trục hồnh sao cho AD BC .
A. D 6;0;0 , D 12;0;0
B. D 0;0;0 , D 6;0;0
C. D 2;1;0 , D 4;0;0
D. D 0;0;0 , D 6;0;0
Câu 43. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 3; 2;3 và B 1; 2;5 . Tìm tọa độ trung
điểm I của đoạn thẳng AB .
A. I 1;0; 4 .
B. I 2;0;8 .
Câu 44.
C. I 2; 2; 1 .
D. I 2;2;1 .
(THPT Cẩm Giàng 2 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A 3; 2;3 và
B 1; 2;5 . Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là :
A. I 2; 2;1 .
Câu 45.
B. I 1;0;4 .
C. I 2;0;8 .
D. I 2; 2; 1 .
(THPT Hồng Hoa Thám Hưng n 2019) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho
A 1;3; 2 , B 3; 1; 4 . Tìm tọa độ trung điểm I của AB.
A. I 2; 4; 2 .
B. I 4; 2;6 .
C. I 2; 1; 3 .
D. I 2;1;3 .
Câu 46. Trong không gian cho hệ trục toạ độ Oxyz , cho ba điểm A 1; 2;3 , B 1; 2;5 , C 0; 0;1 . Tìm
toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC .
A. G 0;0;3 .
B. G 0;0;9 .
C. G 1;0;3 .
D. G 0;0;1 .
Câu 47. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho A 1;3; 2 , B 3; 1; 4 . Tìm tọa độ trung điểm I
của AB .
A. I 2; 4; 2 .
B. I 4;2;6 .
C. I 2; 1;3 .
D. I 2;1;3 .
Câu 48. (THPT Đoàn Thượng - Hải Dương - 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 2; 4;3
và B 2; 2;7 . Trung điểm của đoạn thẳng AB có tọa độ là
A. 1;3;2 .
Câu 49.
B. 2; 1;5 .
C. 2; 1; 5 .
D. 2;6; 4 .
(THPT Cù Huy Cận 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC với
A 1;3; 4 , B 2; 1; 0 , C 3;1; 2 . Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là
Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
A. G 2;1; 2 .
Câu 50.
B. G 6;3; 6 .
2
C. G 3; ;3 .
3
D. G 2; 1; 2 .
(Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác
ABC biết A 5; 2;0 , B 2;3;0 , C 0;2;3 . Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ:
A. 1; 2;1 .
Câu 51.
B. 2;0; 1 .
C. 1;1;1 .
D. 1;1; 2 .
(Chuyên Sơn La 2019) Trong không gian Oxyz , cho 2 điểm M 1; 2;2 và N 1;0; 4 . Toạ độ
trung điểm của đoạn thẳng MN là:
A. 1; 1;3 .
Câu 52.
B. 0; 2; 2 .
C. 2; 2;6 .
D. 1;0;3 .
(KTNL GV Bắc Giang 2019) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hai điểm A 3; 4
và B 5;6 . Trung điểm của đoạn thẳng AB có tọa độ là
A. 1;5 .
Câu 53.
B. 4;1 .
C. 5;1 .
D. 8; 2 .
(Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 2; 4;3
và B 2;2;9 . Trung điểm của đoạn AB có tọa độ là
A. 0;3;3 .
Câu 54.
B. 4; 2;12 .
C. 2; 1;6 .
3 3
D. 0; ; .
2 2
(Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm
A 1;5;2 và B 3; 3; 2 . Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là
A. M 1;1; 2
Câu 55.
B. M 2; 2; 4
C. M 2; 4;0
D. M 4; 8;0
(THPT Nghĩa Hưng NĐ- 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A 1;5;3
và M 2;1; 2 . Tọa độ điểm B biết M là trung điểm của AB là
1 1
A. B ;3; .
2 2
B. B 4;9;8 .
C. B 5;3; 7 .
D. B 5; 3; 7 .
Dạng 2. Tích vơ hướng và ứng dụng
Câu 56.
(Mã 105 2017) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai vectơ a 2;1; 0 và
b 1; 0; 2 . Tính cos a , b .
2
2
2
2
A. cos a, b
B. cos a, b
C. cos a , b
D. cos a , b
25
5
25
5
không
Câu 57.
(KSCL THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong
a 2; 2; 4 , b 1; 1;1 . Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. a b 3; 3; 3
B. a và b cùng phương
C. b 3
D. a b
gian
Câu 58.
(THPT Lê Văn Thịnh Bắc Ninh 2019) Trên mặt phẳng toạ độ Oxy , cho tam giác ABC biết
Oxyz ,
cho
vectơ
A 1; 3 , B 2; 2 , C 3;1 . Tính cosin góc A của tam giác.
Facebook Nguyễn Vương 7
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
A. cos A
Câu 59.
2
17
B. cos A
1
17
C. cos A
2
17
D. cos A
1
17
(THPT Quỳnh Lưu 3 Nghệ An 2019) Trong không gian Oxyz , góc giữa hai vectơ i và
u 3; 0;1 là
A. 120 .
D. 30 .
Câu 60. (Chuyên Đại Học Vinh 2019) Trong không gian Oxyz , cho a 3; 4;0 , b 5;0;12 . Cơsin
của góc giữa a và b bằng
3
5
5
3
A.
.
B. .
C. .
D. .
13
6
6
13
Câu 61. (Chuyên Đhsp Hà Nội 2019) Trong khơng gian tọa độ Oxyz góc giữa hai vectơ i và
u 3;0;1 là
B. 60 .
C. 150 .
B. 30 .
C. 60 .
A. 120 .
D. 150 .
(Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho vectơ
u 3;0;1 và v 2;1;0 . Tính tích vơ hướng u.v .
A. u.v 8 .
B. u.v 6 .
C. u.v 0 .
D. u.v 6 .
Câu 63. (Chuyên Hưng Yên 2019) Trong khơng gian tọa độ Oxyz , góc giữa hai vectơ i và
u 3;0;1 là
Câu 62.
A. 30 0 .
Câu 64.
C. 60 0 .
D. 150 0 .
(Chuyên Trần Phú Hải Phịng 2019) Trong khơng gian Oxyz , cho ba điểm A(1; 2;3)
là
B(0;3;1) , C (4; 2; 2) . Cosin của góc BAC
A.
Câu 65.
B. 120 0 .
9
.
35
B.
9
.
35
C.
9
.
2 35
D.
9
.
2 35
(THPT Ngô Sĩ Liên Bắc Giang 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác
ABC có A 1;0;0 , B 0;0;1 , C 2;1;1 . Diện tích của tam giác ABC bằng:
A.
11
2
B.
7
2
C.
6
2
D.
5
2
(Chuyên Đại học Vinh - 2019) Trong không gian Oxyz , cho a 3; 4;0 và b 5;0;12 .
Cơsin của góc giữa a và b bằng
3
5
5
3
A.
.
B. .
C. .
D. .
13
6
6
13
Câu 67. (Thpt Vĩnh Lộc - Thanh Hóa 2019) Trong hệ tọa độ Oxy , cho u i 3 j và v 2; 1 . Tính
u.v .
A. u.v 1 .
B. u.v 1 .
C. u.v 2; 3 .
D. u.v 5 2 .
Câu 66.
Câu 68.
(THPT Ngô Quyền - Ba Vì - Hải Phịng 2019) Cho hai véc tơ a 1; 2;3 , b 2;1; 2 . Khi
đó, tích vơ hướng a b .b bằng
Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
A. 12 .
B. 2 .
C. 11.
D. 10 .
Câu 69. (Kiểm tra năng lực - ĐH - Quốc Tế - 2019) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho hai
vectơ a 2;1 ; 3 , b 4; 2 ;6 . Phát biểu nào sau đây là sai?
A. b 2a .
B. a. b 0 .
C. a ngược hướng với b .
D. b 2 a .
Câu 70.
(THPT Mai Anh Tuấn_Thanh Hóa - 2019) Cho u 1;1;0 , v 0;1;0 , góc giữa hai
véctơ u và v là
A. 120 .
B. 45 .
C. 135 .
D. 60 .
Câu 71. (Chuyên Lê Hồng Phong - 2018) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tứ diện ABCD với
A 0; 0; 3 , B 0; 0; 1 , C 1; 0; 1 , D 0; 1; 1 . Mệnh đề nào dưới đây sai?
D. AB CD .
Câu 72. (THPT Thanh Miện I - Hải Dương - 2018) Trong không gian Oxyz cho 2 véc tơ a (2;1; 1) ;
b (1; 3; m) . Tìm m để a; b 90 .
A. AB BD .
B. AB BC .
C. AB AC .
Câu 73.
Câu 74.
A. m 5 .
B. m 5 .
C. m 1 .
D. m 2
A. m 4 .
B. m 2 .
C. m 3 .
D. m 2 .
(SGD Đồng Tháp - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho u 2; 1;1 và
v 0; 3; m . Tìm số thực m sao cho tích vô hướng u.v 1 .
(CỤM Chuyên Môn 4 - Hải Phòng - 2018) Trong
A 1;2;3 ; B 1;2;1 ; C 3; 1; 2 . Tính tích vơ hướng AB. AC .
A. 6 .
Câu 75.
B. 14 .
C. 14 .
không gian
Oxyz
cho
D. 6 .
(THPT Mộ Đức - Quảng Ngãi - 2018) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 1; 2;3 ,
B 0;3;1 , C 4; 2; 2 . Cơsin của góc BAC bằng
A.
9
.
35
B.
9
.
2 35
C.
9
.
2 35
D.
9
.
35
Dạng 3. Tích có hướng và ứng dụng
Câu 76.
Câu 77.
(KTNL GV Bắc Giang 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai vectơ
a 2;1; 2 và vectơ b 1;0;2 . Tìm tọa độ vectơ c là tích có hướng của a và b .
A. c 2;6; 1 .
B. c 4;6; 1 .
C. c 4; 6; 1 . D. c 2; 6; 1 .
(Chuyên Nguyễn Du-ĐăkLăk 2019) Trong không gian Oxyz , tọa độ một vectơ n vng góc
với cả hai vectơ a 1;1; 2 , b 1;0;3 là
A. 2;3; 1 .
Câu 78.
B. 3;5; 2 .
C. 2; 3; 1 .
D. 3; 5; 1 .
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba véctơ a 1; 2; 1 , b 3; 1;0 , c 1; 5; 2 .
Câu nào sau đây đúng?
A. a cùng phương với b .
B. a , b , c không đồng phẳng.
C. a , b , c đồng phẳng. D. a vng góc với b .
Facebook Nguyễn Vương 9
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Câu 79.
(Việt Đức Hà Nội 2019) Trong hệ trục tọa độ Oxyz , cho bốn điểm
A(1; 2;0) ,
B (2;0;3) , C (2;1;3) và D(0;1;1) . Thể tích khối tứ diện ABCD bằng:
A. 6 .
B. 8 .
C. 12 .
D. 4 .
Câu 80. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho a 1; 2;3 và b 1;1; 1 . Khẳng định nào sau đây
sai?
A. a b 3 .
Câu 81.
B. a.b 4 .
C. a b 5 .
(Chuyên Trần Phú Hải Phịng 2019) Trong khơng gian
D. a, b 1; 4;3 .
cho hai điểm
Oxyz ,
A 1;0; 1 , B 1; 1; 2 . Diện tích tam giác OAB bằng
A. 11.
Câu 82.
B.
6
.
2
C.
11
.
2
6.
D.
(Yên Phong 1 - 2018) Trong không gian Oxyz , cho 4 điểm A 2;0; 2 , B 1; 1; 2 , C 1;1;0 ,
D 2;1; 2 . Thể tích của khối tứ diện ABCD bằng
A.
Câu 83.
42
.
3
B.
14
.
3
C.
21
.
3
D.
7
.
3
(SGD và ĐT Đà Nẵng 2019) Trong không gian Oxyz , tính diện tích S của tam giác ABC , biết
A 2;0;0 , B 0;3;0 và C 0;0;4 .
A. S
Câu 84.
61
.
3
B. S
61
.
2
C. S 2 61 .
D. S 61 .
Trong hệ trục tọa độ Oxyz , cho O 0;0;0 , A 0;1; 2 , B 1; 2;1 , C 4;3; m . Tất cả giá trị của
m để 4 điểm O, A, B, C đồng phẳng?
A. m 14 .
Câu 85.
B. m 14 .
C. m 7 .
D. m 7 .
Trong không gian Oxyz , cho hình chóp A.BCD có A 0;1; 1 , B 1;1; 2 , C 1; 1;0 và
D 0;0;1 . Tính độ dài đường cao của hình chóp A.BCD .
A. 2 2 .
Câu 86.
3 2
.
2
C. 3 2 .
2
.
2
D.
(Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng - 2018) Trong khơng gian với hệ trục tọa độ, cho hình bình
hành ABCD . Biết A 2;1; 3 , B 0; 2;5 và C 1;1;3 . Diện tích hình bình hành ABCD là
A. 2 87 .
Câu 87.
B.
B.
349
.
2
C.
349 .
87 .
D.
(SGD - Bình Dương - 2018) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A 0;1;1 ,
B 1;0; 2 , C 1;1;0 và điểm D 2;1; 2 . Khi đó thể tích tứ diện ABCD là
A. V
Câu 88.
5
.
6
B. V
5
.
3
C. V
6
.
5
D. V
3
.
2
(THPT Mộ Đức - Quảng Ngãi - 2018) Trong không gian Oxyz , cho A 1; 2; 1 , B 0; 2;3 .
Tính diện tích tam giác OAB .
A.
29
.
6
B.
29
.
2
C.
78
.
2
D.
7
.
2
Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
BẠN HỌC THAM KHẢO THÊM DẠNG CÂU KHÁC TẠI
/>Theo dõi Fanpage: Nguyễn Bảo Vương />Hoặc Facebook: Nguyễn Vương />Tham gia ngay: Nhóm Nguyễn Bào Vương (TÀI LIỆU TOÁN) />
Ấn sub kênh Youtube: Nguyễn Vương
/>Tải nhiều tài liệu hơn tại: />ĐỂ NHẬN TÀI LIỆU SỚM NHẤT NHÉ!
Facebook Nguyễn Vương 11
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
Chuyên đề 28
TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH MỨC 5-6
Lý thuyết chung
1. Hệ trục tọa độ Oxyz:
Hệ trục gồm ba trục Ox, Oy , Oz đôi một vng góc nhau.
Trục Ox : trục hồnh, có vectơ đơn vị i (1;0;0) .
Trục Oy : trục tung, có vectơ đơn vị j (0;1; 0) .
Trục Oz : trục cao, có vectơ đơn vị k (0; 0;1).
Điểm O (0; 0; 0) là gốc tọa độ.
2. Tọa độ vectơ: Vectơ u xi y j zk u ( x; y; z ) .
Cho a (a1; a2 ; a3 ), b (b1; b2 ; b3 ) . Ta có:
a b (a1 b1; a2 b2 ; a3 b3 )
a cùng phương
b a kb ( k R)
ka (ka1; ka2 ; ka3 )
a1 kb1
a1 b1
a
a a
a2 kb2 1 2 3 , (b1 , b2 , b3 0).
a b a2 b2
b1 b2 b3
a kb
a b
3
3
3 3
2
a 2 a a12 a22 a32
a.b a1.b1 a2 .b2 a3 .b3
a a12 a22 a22
a1b1 a2b2 a3b3
a.b
cos(a , b )
a b a.b 0 a1b1 a2b2 a3b3 0
2
a .b
a1 a22 a32 . b12 b22 b32
3. Tọa độ điểm: M ( x; y; z ) OM ( x; y; z ) . Cho A( xA ; yA ; z A ) , B( xB ; yB ; zB ) , C ( xC ; yC ; zC ) , ta có:
AB ( xB xA ; yB yA ; zB z A )
AB ( xB xA )2 ( yB y A )2 ( zB z A ) 2
Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB:
Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:
x x x y yB yC z A zB zC
x x y yB z A z B
M A B; A
;
G A B C ; A
;
.
.
2
2
2
3
3
3
QUY TẮC CHIẾU ĐẶC BIỆT
Chiếu điểm trên trục tọa độ
Chiếu điểm trên mặt phẳng tọa độ
Chiếu và o Ox
Chiếu và o Oxy
Điểm M ( xM ; yM ; zM )
Điểm M ( xM ; yM ; zM )
M1 ( xM ;0;0)
M1 ( xM ; yM ;0)
( Giữ nguyên x )
( Giữ nguyên x , y )
Chiếu và o Oy
Điểm M ( xM ; yM ; zM )
M2 (0; yM ;0)
( Giữ nguyên y )
Chiếu và o Oyz
Điểm M ( xM ; yM ; zM )
M 2 (0; yM ; zM )
( Giữ nguyên y, z )
Chiế u và o Oz
Điểm M ( xM ; yM ; zM )
M 3 (0;0; zM )
( Giữ nguyên z )
Chiếu và o Oxz
Điểm M ( xM ; yM ; zM )
M3 ( xM ;0; zM )
( Giữ nguyên x , z )
Đối xứng điểm qua trục tọa độ
Đối xứng điểm qua mặt phẳng tọa độ
Đối xứ ng qua Ox
Đố i xứn g qua Oxy
M ( xM ; yM ; zM )
M1 ( xM ; yM ;zM ) M ( xM ; yM ; zM )
M1 ( xM ; yM ; zM )
( Giữ nguyên x ; đổi dấu y, z )
( Giữ nguyên x , y; đổi dấ u z )
Đối xứ ng qua Oy
Đối xứ ng qua Oxz
M ( xM ; yM ; zM )
M 2 ( xM ; yM ; zM ) M ( xM ; yM ; zM )
M 2 ( xM ; yM ; zM )
( Giữ nguyên y; đổi dấu x , z )
( Giữ nguyên x , z; đổi dấ u y )
Đối xứ ng qua Oz
Đối xứ ng qua Oyz
M ( xM ; yM ; zM )
M 3 ( xM ; yM ; zM ) M ( xM ; yM ; zM )
M 3 ( xM ; yM ; zM )
( Giữ nguyên z; đổi dấu x , y )
( Giữ nguyên y, z ; đổi dấu x )
4. Tích có hướng của hai vectơ:
Facebook Nguyễn Vương Trang 1
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Định nghĩa: Cho a (a1 , a2 , a3 ) , b (b1 , b2 , b3 ) , tích có hướng của a và b là:
a2 a3 a3 a1 a1 a2
;
;
a2b3 a3b2 ; a3b1 a1b3 ; a1b2 a2b1 .
a, b
b2 b3 b3 b1 b1 b2
[a, b] a . b .sin a , b
Tính chất:
[ a, b] a
[ a, b] b
Điều kiện cùng phương của hai vectơ a & b là
a
,
b
c
Điều
kiện
đồng
phẳng
của
ba
vectơ
và
là
a, b 0 với 0 (0; 0;0).
[a, b].c 0.
Diện tích hình bình hành
ABCD: S ABCD AB, AD .
Thể tích khối hộp: VABCD. A ' B 'C ' D ' [ AB, AD]. AA ' .
Diện tích tam giác ABC:
1
S ABC AB, AC .
2
1
Thể tích tứ diện: VABCD AB, AC . AD .
6
Dạng 1. Tìm tọa độ điểm, véc tơ liên quan đến hệ trục tọa dộ OXYZ
Dạng 1.1 Tìm hình chiếu của điểm lên mặt phẳng, đường thẳng
Câu 1.
(Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Trong khơng gian Oxyz , hình chiếu vng góc của điểm
M 2; 2;1 trên mặt phẳng Oxy có tọa độ là
A. 2;0;1 .
B. 2; 2;0 .
C. 0; 2;1 .
D. 0;0;1 .
Lời giải
Chọn B
Ta có hình chiếu của điểm M x0 ; y0 ; z0 trên mặt phẳng Oxy là điểm M x0 ; y0 ;0 .
Do đó hình chiếu của điểm M 2; 2;1 trên mặt phẳng Oxy là điểm M 2; 2;0 .
Câu 2.
(Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz , hình chiếu vng góc của điểm
M 2;1; 1 trên mặt phẳng Ozx có tọa độ là
A. 0;1;0 .
B. 2;1;0 .
C. 0;1; 1 .
D. 2;0; 1 .
Lời giải
Chọn D
Hình chiếu của M 2;1; 1 lên mặt phẳng Ozx là điểm có tọa độ 2;0; 1 .
Câu 3.
(Mã 102 - 2020 Lần 1) Trong khơng gian Oxyz , hình chiếu vng góc của điểm A 1; 2;5 trên
trục Ox có tọa độ là
A. 0; 2;0 .
B. 0;0;5 .
C. 1;0;0 .
D. 0; 2;5 .
Lời giải
Chọn C
Hình chiếu vng góc của điểm A 1; 2;5 trên trục Ox có tọa độ là 1; 0; 0 .
Câu 4.
(Mã 101 - 2020 Lần 1) Trong khơng gian Oxyz , hình chiếu vng góc của điểm A 3; 2;1 trên
trục Ox có tọa độ là:
A. 0; 2;1 .
B. 3; 0; 0 .
C. 0; 0;1 .
D. 0; 2; 0 .
Lời giải
Chọn
B.
Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
Câu 5.
(Mã 103 - 2020 Lần 1) Trong khơng gian Oxyz , hình chiếu vng góc của điểm A 3;5; 2 trên
trục Ox có tọa độ là
A. 0;5; 2 .
B. 0;5; 0 .
C. 3; 0;0 .
D. 0; 0; 2 .
Lời giải
Chọn C
Hình chiếu vng góc của điểm A 3;5; 2 trên trục Ox có tọa độ là 3; 0; 0 .
Câu 6.
(Mã 104 - 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , hình chiếu vng góc của điểm A(8;1; 2) trên
trục Ox có tọa độ là
A. (0;1; 0) .
B. (8;0;0) .
C. (0;1;2) .
D. (0;0; 2) .
Lời giải
Chọn B
Hình chiếu vng góc của điểm A(8;1; 2) trên trục Ox là (8;0;0) .
Câu 7.
(Mã 101 - 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz . Điểm nào sau đây là hình chiếu vng góc của
điểm A(1; 4; 2) trên mặt phẳng Oxy ?
A. (0; 4; 2) .
B. (1; 4;0) .
C. (1;0; 2) .
D. (0; 0; 2) .
Lời giải
Chọn B
Ta có hình chiếu của A(1; 4; 2) trên mặt phẳng Oxy là (1; 4;0) .
Câu 8.
(Mã 103 - 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz điểm nào dưới đây là hình chiếu vng góc của
điểm A 3;5; 2 trên mặt phẳng Oxy ?
A. M 3; 0; 2
B. 0;0; 2
C. Q 0;5; 2
D. N 3;5;0
Lời giải
Chọn D
Hình chiếu vng góc của điểm A 3;5; 2 trên mặt phẳng Oxy là điểm N 3;5;0 .
Câu 9.
(Mã 102 - 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz , điểm nào dưới đây là hình chiếu vng góc của
điểm A 1;2;3 trên mặt phẳng Oxy .
A. Q 1;0;3
B. P 1;2;0
C. M 0;0;3
D. N 0;2;3
Lời giải
Chọn B
Ta có hình chiếu vng góc của điểm A 1;2;3 trên mặt phẳng Oxy là điểm P 1;2;0 .
Câu 10.
(Mã 104 - 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz , điểm nào dưới đây là hình chiếu vng góc của
điểm A 3; 4;1 trên mặt phẳng Oxy ?
A. Q 0;4;1 .
B. P 3;0;1 .
C. M 0;0;1 .
D. N 3; 4;0 .
Lời giải
Chọn D
Hình chiếu vng góc của điểm A 3; 4;1 trên mặt phẳng Oxy là điểm N 3;4;0 .
Câu 11.
(Mã 104 - 2019) Trong khơng gian Oxyz , hình chiếu vng góc của điểm M 3;1; 1 trên trục
Oy có tọa độ là
Facebook Nguyễn Vương 3
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
A. 3;0; 1 .
B. 0;1; 0 .
C. 3;0; 0 .
D. 0;0; 1 .
Lời giải
Chọn B
Hình chiếu vng góc của điểm M 3;1; 1 trên trục Oy có tọa độ là 0;1;0 .
Câu 12.
(Mã 103 - 2019) Trong không gian Oxyz , hình chiếu vng góc của điểm M 2;1; 1 trên trục
Oy có tọa độ là
A. 0;0; 1 .
B. 2;0; 1 .
C. 0;1;0 .
D. 2;0;0 .
Lời giải
Chọn C
Hình chiếu vng góc của điểm M 2;1; 1 trên trục Oy có tọa độ là 0;1;0 .
Câu 13.
(Mã 102 - 2019) Trong khơng gian Oxyz , hình chiếu vng góc của điểm M 3; 1;1 trên trục
Oz có tọa độ là
A. 3; 1;0 .
B. 0;0;1 .
C. 0; 1;0 .
D. 3;0;0 .
Lời giải
Chọn B
Hình chiếu vng góc của điểm M 3; 1;1 trên trục Oz có tọa độ là 0;0;1
Câu 14.
(Mã 101 - 2019) Trong không gian Oxyz , hình chiếu vng góc của điểm M 2;1; 1 trên trục
Oz có tọa độ là
A. 2;0; 0 .
B. 0;1; 0 .
C. 2;1; 0 .
D. 0;0; 1 .
Lời giải
Chọn D
Hình chiếu vng góc của điểm M 2;1; 1 trên trục Oz có tọa độ là: 0;0; 1 .
Câu 15.
(Đề Tham Khảo 2018) Trong không gian Oxyz , cho điểm A 3; 1;1 . Hình chiếu vng góc của
điểm A trên mặt phẳng Oyz là điểm
A. M 3;0;0
B. N 0; 1;1
C. P 0; 1;0
D. Q 0;0;1
Lời giải
Chọn B
Khi chiếu vng góc một điểm trong không gian lên mặt phẳng Oyz , ta giữ lại các thành phần
tung độ và cao độ nên hình chiếu của A 3; 1;1 lên Oyz là điểm N 0; 1;1 .
Câu 16.
(Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , điểm nào sau
đây nằm trên mặt phẳng tọa độ Oyz ?
A. M 3;4;0 .
B. P 2;0;3 .
C. Q 2;0;0 .
D. N 0;4; 1 .
Lời giải
Mặt phẳng tọa độ Oyz có phương trình là x 0 N 0;4; 1 Oyz .
Câu 17.
(Chuyên Hạ Long 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho M 4;5;6 . Hình chiếu
của M xuống mặt phẳng Oyz là M . Xác định tọa độ M .
Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
A. M 4;5;0 .
B. M 4;0;6 .
C. M 4;0;0 .
D. M 0;5;6 .
Lời giải
Hình chiếu của M 4;5;6 xuống mặt phẳng Oyz là M 0;5;6 .
Câu 18.
(Chuyên Hạ Long 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm M x; y ; z .
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Nếu M đối xứng với M qua mặt phẳng Oxz thì M x; y; z .
B. Nếu M đối xứng với M qua Oy thì M x; y ; z .
C. Nếu M đối xứng với M qua mặt phẳng Oxy thì M x; y; z .
D. Nếu M đối xứng với M qua gốc tọa độ O thì M 2 x;2 y;0 .
Lời giải
Nếu M đối xứng với M qua mặt phẳng Oxz thì M x; y; z . Do đó phương án A sai.
Nếu M đối xứng với M qua Oy thì M x; y; z . Do đó phương án B sai.
Nếu M đối xứng với M qua gốc tọa độ O thì M x; y; z . Do đó phương án D sai.
Câu 19.
(THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong không gian Oxyz , tọa độ điểm đối xứng của
M 1; 2; 3 qua mặt phẳng Oyz là
A. 0; 2; 3 .
C. 1; 2; 3 .
B. 1; 2; 3 .
D. 1; 2;3 .
Lời giải
Gọi H là hình chiếu của M lên mặt phẳng Oyz H 0; 2; 3
Gọi M ' là điểm đối xứng với M 1; 2; 3 qua mặt phẳng Oyz
H là trung điểm của MM ' M ' 1; 2; 3 .
Câu 20.
(Chuyên Hạ Long 2018) Trong không gian Oxyz , cho điểm A 2; 3;5 . Tìm tọa độ A là điểm
đối xứng với A qua trục Oy .
A. A 2;3;5 .
B. A 2; 3; 5 .
C. A 2; 3;5 .
D. A 2; 3; 5 .
Lời giải
Gọi H là hình chiếu vng góc của A 2; 3;5 lên Oy . Suy ra H 0; 3; 0
Khi đó H là trung điểm đoạn AA .
x A 2 xH x A 2
y A 2 yH y A 3 A 2; 3; 5 .
z 2 z z 5
H
A
A
Dạng 1.2 Xác định tọa độ vectơ, độ dài vec tơ
Câu 21.
(Mã 102 2018) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1;1; 2 và B 2; 2;1 . Vectơ AB có
tọa độ là
A. 1; 1; 3
B. 3;1;1
C. 1;1;3
D. 3;3; 1
Lời giải
Chọn C
AB 2 1; 2 1;1 2 hay AB 1;1;3 .
Facebook Nguyễn Vương 5
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Câu 22.
(Đề Tham Khảo 2019) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A 1;1; 1 và B 2;3; 2 . Vectơ
AB
có tọa độ là
A. 1; 2; 3
B. 1; 2; 3
C. 3;5;1
D. 3; 4;1
Lời giải
Chọn A
AB xB x A ; yB y A ; z B z A 1; 2;3
Câu 23.
(Mã 110 2017) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm A 2;2;1 . Tính độ dài đoạn
thẳng OA .
A. OA 5
B. OA 5
C. OA 3
Lời giải
D. OA 9
Chọn C
OA 2 2 2 2 12 3 .
Câu 24.
(THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba vecto
a 1; 2;3 ; b 2; 2; 1 ; c 4; 0; 4 . Tọa độ của vecto d a b 2 c là
A. d 7; 0; 4
B. d 7; 0; 4
C. d 7; 0; 4
D. d 7;0; 4
Lời giải
Chọn B
Ta có: d a b 2c 1 2 2.4; 2 2 2.0;3 1 2.(4) 7;0; 4 .
Câu 25.
(THPT Ba Đình 2019) Trong khơng gian Oxyz , cho hai điểm A 0;1; 1 , B 2;3; 2 . Vectơ AB
có tọa độ là
A. 2; 2;3 .
B. 1; 2;3 .
C. 3;5;1 .
D. 3;4;1 .
Lời giải
Hai điểm A 0;1; 1 , B 2;3; 2 . Vectơ AB có tọa độ là 2; 2;3 .
Câu 26.
(THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Trong không gian Oxyz cho a 2;3;2 và b 1;1; 1 .
Vectơ a b có tọa độ là
A. 3;4;1 .
B. 1; 2;3 .
Ta có: a b 2 1;3 1; 2 1 1; 2;3 .
Câu 27.
C. 3;5;1 .
D. 1;2;3 .
Lời giải
(THPT Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho
a 2; 3;3 , b 0; 2; 1 , c 3; 1;5 . Tìm tọa độ của vectơ u 2a 3b 2c .
A. 10; 2;13 .
B. 2; 2; 7 .
C. 2; 2; 7 .
D. 2; 2;7 .
Lời giải
Ta có: 2a 4; 6; 6 , 3b 0; 6; 3 , 2c 6; 2; 10 u 2a 3b 2c 2; 2; 7 .
Câu 28.
(THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho
a i 2 j 3k . Tọa độ của vectơ a là
A. 1; 2; 3 .
B. 2; 3; 1 .
C. 2; 1; 3 .
D. 3; 2; 1 .
Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
a i 2 j 3k a 1; 2; 3 .
Lời giải
Câu 29. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho a 2; 3; 3 , b 0; 2; 1 , c 3; 1; 5 . Tìm tọa
độ của vectơ u 2a 3b 2c .
A. 10; 2;13 .
B. 2; 2; 7 .
C. 2; 2; 7 .
D. 2; 2; 7 .
Lời giải
Có 2a 4; 6;6 ; 3b 0;6; 3 ; 2c 6; 2; 10 .
Khi đó: u 2a 3b 2c 2; 2; 7 .
Câu 30.
(THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai vectơ
x 2;1; 3 và y 1;0; 1 . Tìm tọa độ của vectơ a x 2 y .
A. a 4;1; 1 .
B. a 3;1; 4 .
C. a 0;1; 1 .
D. a 4;1; 5 .
Ta có: 2 y 2; 0; 2 .
a x 2 y 2 2;1 0; 3 2 4;1; 5 .
Câu 31.
Lời giải
(THPT - n Định Thanh Hóa 2019) Trong khơng gian O xyz , cho A 2; 1;0 và B 1;1; 3 .
Vectơ AB có tọa độ là
A. 3;0; 3 .
B. 1;2; 3 .
C. 1; 2;3 .
D. 1; 2;3 .
Lời giải
A 2; 1;0 , B 1;1; 3
AB 1 2;1 1; 3 0 1; 2; 3 .
Câu 32.
(Sở Hà Nội 2019) Trong không gian Oxyz cho A 2; 2;1 , B 1; 1;3 . Tọa độ vecto AB là:
A. ( 1;1; 2). .
B. ( 3;3; 4). .
Câu 34.
D. (1; 1; 2)
Lời giải:
Ta có: AB 1;1; 2 .
Câu 33.
C. (3; 3; 4). .
(Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai 2019) Trong không gian Oxyz với i, j , k lần lượt là các
vecto đơn vị trên các trục Ox , Oy , Oz . Tính tọa độ của vecto i j k .
A. i j k ( 1; 1;1). B. i j k (1;1;1). C. i j k (1;1; 1). D. i j k (1; 1;1).
Lời giải
Ta có i (1; 0;0), j (0;1;0), k (0; 0;1).
Do đó, i j k (1;1; 1).
(THPT Gang Thép Thái Nguyên 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz giả sử
u 2i 3 j k , khi đó tọa độ véc tơ u là
A. 2;3;1 .
B. 2;3; 1 .
C. 2; 3; 1 .
D. 2;3;1 .
Lời giải
Theo định nghĩa ta có i 1;0;0 , j 0;1;0 và k 0;0;1 .
Facebook Nguyễn Vương 7
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Do đó, u 2i 3 j k u 2;3; 1 .
Câu 35.
(THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2019) Trong không gian Oxyz , cho a 1; 2;1 và b 1;3;0 .
Vectơ c 2a b có tọa độ là
A. 1; 7;2 .
B. 1;5;2 .
Có c 2a b , gọi c c1; c2 ; c3
C. 3; 7;2 .
D. 1; 7;3 .
Lời giải
c1 2.1 1 1
c2 2.2 3 7
c 2.1 0 2
3
Vậy c 1;7; 2
Câu 36.
(KTNL GV Thuận Thành 2 Bắc Ninh 2019) Trong không gian với trục hệ tọa độ Oxyz , cho
a i 2 j 3k . Tọa độ của vectơ a là:
A. a 1; 2; 3 .
B. a 2; 3; 1 .
C. a 3; 2; 1 .
D. a 2; 1; 3 .
Lời giải
Chọn A
+) Ta có a xi y j zk a x; y; z nên a 1; 2; 3 . Do đó Chọn A
Câu 37.
(Sở Thanh Hóa 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A 1; 3;1 ,
B 3;0; 2 . Tính độ dài AB .
A. 26.
B. 22.
C.
26 .
D.
22.
Lời giải
AB (2;3; 3) AB 2 2 32 (3) 2 22.
Câu 38.
(Chuyên - KHTN - Hà Nội - 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1; 2; 1 ,
B 1; 4;3 . Độ dài đoạn thẳng AB là
A. 2 13
B.
6
C. 3
D. 2 3
Lời giải
Chọn A
Ta có AB 62 42 2 13 .
Câu 39.
(Hội 8 trường chuyên 2019) Trong không gian Oxyz, cho a 2; 2;0 , b 2; 2;0 , c 2; 2; 2 . Giá
trị của a b c bằng
A. 6.
B. 11 .
C. 2 11 . D. 2 6 .
Lời giải
Chọn C
Ta có: a b c 2;6; 2 .
Vậy a b c 2 11 .
Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
Câu 40.
(Chuyên Nguyễn Du-ĐăkLăk 2019) Trong không gian Oxyz , cho 2 điểm A 1;3;5 ,
B 2; 2;3 . Độ dài đoạn AB bằng
A.
7.
B.
8.
C. 6 .
Lời giải
D.
5.
Chọn C
AB
2
2
2 1 2 3 3 5
2
6.
Dạng 1.3 Xác định tọa độ điểm
Câu 41.
(Mã 101 2018) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 2; 4;3 và B 2; 2;7 . Trung điểm của
đoạn thẳng AB có tọa độ là
A. 4; 2;10
B. 1;3;2
C. 2;6; 4
D. 2; 1;5
Lời giải
Chọn D
x A xB
xI 2 2
y yB
1 .
Gọi I là trung điểm của AB , ta có tọa độ điểm I là yI A
2
z A zB
zI 2 5
Vậy I 2; 1;5 .
Câu 42.
(Đề Tham Khảo 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A 3; 4;0 ,
B 1;1;3 , C 3,1, 0 . Tìm tọa độ điểm D trên trục hoành sao cho AD BC .
A. D 6;0;0 , D 12;0;0
B. D 0;0;0 , D 6;0;0
C. D 2;1;0 , D 4;0;0
D. D 0;0;0 , D 6;0;0
Lời giải
Chọn B
Gọi D x;0;0 Ox
AD BC
x 3
2
x 0
.
16 5
x 6
Câu 43. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 3; 2;3 và B 1; 2;5 . Tìm tọa độ trung
điểm I của đoạn thẳng AB .
A. I 1;0;4 .
B. I 2;0;8 .
C. I 2; 2; 1 .
D. I 2; 2;1 .
Lời giải
Chọn A
Tọa độ trung điểm I của đoạn AB với A 3; 2;3 và B 1; 2;5 được tính bởi
x A xB
xI 2 1
y yB
0 I 1;0; 4
yI A
2
z A zB
zI 2 4
Facebook Nguyễn Vương 9
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Câu 44.
(THPT Cẩm Giàng 2 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A 3; 2;3 và
B 1; 2;5 . Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là :
A. I 2; 2;1 .
B. I 1;0; 4 .
C. I 2;0;8 .
D. I 2; 2; 1 .
Lời giải
Chọn B
Cho hai điểm A 3; 2;3 và B 1; 2;5 .
xA xB 3 1
1
2
2
y y B 2 2
Trung điểm I có tọa độ: A
0 I 1;0;4 .
2
2
z A zB 3 5
2 2 4
Câu 45.
(THPT Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho
A 1;3; 2 , B 3; 1; 4 . Tìm tọa độ trung điểm I của AB.
A. I 2; 4; 2 .
B. I 4; 2;6 .
C. I 2; 1; 3 .
D. I 2;1;3 .
Lời giải
x A xB
xI 2 2
y yB
1 I 2;1;3 .
Ta có yI A
2
z A zB
zI 2 3
Câu 46. Trong không gian cho hệ trục toạ độ Oxyz , cho ba điểm A 1; 2;3 , B 1; 2;5 , C 0;0;1 . Tìm
toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC .
A. G 0;0;3 .
B. G 0;0;9 .
C. G 1;0;3 .
D. G 0;0;1 .
Lời giải
Toạ độ trong tâm G của tam giác ABC bằng
xA xB xC 1 1 0
0
xG
3
3
y A yB yC 2 2 0
0 G 0;0;3
yG
3
3
z A z B zC 3 5 1
3
zG
3
3
Câu 47. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho A 1;3; 2 , B 3; 1; 4 . Tìm tọa độ trung điểm I
của AB .
A. I 2; 4; 2 .
B. I 4;2;6 .
C. I 2; 1;3 .
D. I 2;1;3 .
Lời giải
Tọa độ trung điểm I của AB là
Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
1 3
xI 2 2
3 1
1 I 2;1;3 .
yI
2
24
zI 2 3
Câu 48. (THPT Đoàn Thượng - Hải Dương - 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 2; 4;3
và B 2; 2;7 . Trung điểm của đoạn thẳng AB có tọa độ là
A. 1;3;2 .
B. 2; 1;5 .
C. 2; 1; 5 .
D. 2;6; 4 .
Lời giải
x A xB 2 2
xM 2 2 2
y y B 4 2
1 M 2; 1;5 .
Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB , ta có: yM A
2
2
z A zB 3 7
zM 2 2 5
Câu 49.
(THPT Cù Huy Cận 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC với
A 1;3; 4 , B 2; 1;0 , C 3;1; 2 . Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là
A. G 2;1; 2 .
B. G 6;3;6 .
2
C. G 3; ;3 .
3
Lời giải
D. G 2; 1; 2 .
Tọa độ trọng tâm G là
1 2 3
2
xG
3
3 1 1
1 G 2;1; 2 .
yG
3
402
2
zG
3
Câu 50.
(Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác
ABC biết A 5; 2;0 , B 2;3;0 , C 0;2;3 . Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ:
A. 1; 2;1 .
B. 2;0; 1 .
C. 1;1;1 .
D. 1;1; 2 .
Lời giải
Giả sử G x, y, z .
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC suy ra
5 2 0
x A xB xC
1
x
x
3
3
y A yB yC
2 3 2
y
1 G 1;1;1 .
y
3
3
z A zB zC
003
z
1
z
3
3
Facebook Nguyễn Vương 11
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Câu 51.
(Chuyên Sơn La 2019) Trong không gian Oxyz , cho 2 điểm M 1; 2;2 và N 1;0;4 . Toạ độ
trung điểm của đoạn thẳng MN là:
A. 1; 1;3 .
B. 0; 2; 2 .
C. 2; 2;6 .
D. 1;0;3 .
Lời giải
Gọi I là trung điểm MN . Ta có:
xM xN 1 1
1
xI
2
2
yM y N 2 0
1
yI
2
2
zM z N 2 4
3
zI
2
2
Vậy I 1; 1;3 .
Câu 52.
(KTNL GV Bắc Giang 2019) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hai điểm A 3; 4
và B 5;6 . Trung điểm của đoạn thẳng AB có tọa độ là
A. 1;5 .
B. 4;1 .
C. 5;1 .
D. 8; 2 .
Lời giải
Chọn
A.
x A xB 3 5
xI 2 2 1
I 1;5 .
Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB . Khi đó ta có:
y
y
4
6
A
B
y
5
I
2
2
Câu 53.
(Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 2; 4;3
và B 2;2;9 . Trung điểm của đoạn AB có tọa độ là
A. 0;3;3 .
B. 4; 2;12 .
C. 2; 1;6 .
3 3
D. 0; ; .
2 2
Lời giải
Chọn C
x A xB 2 2
xI 2 2 2
y yB 4 2
1 I 2; 1;6 .
Gọi I là trung điểm của đoạn AB . Ta có yI A
2
2
z A zB 3 9
zI 2 2 6
Câu 54.
(Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm
A 1;5; 2 và B 3; 3; 2 . Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là
A. M 1;1; 2
B. M 2; 2; 4
C. M 2; 4;0
D. M 4; 8;0
Lời giải
Chọn A
Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
x A xB 1 3
xM 2 2 1
y yB 5 3
Trung điểm M có tọa độ là yM A
1 M 1;1; 2 .
2
2
z A zB 2 2
zM 2 2 2
Câu 55.
(THPT Nghĩa Hưng NĐ- 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A 1;5;3
và M 2;1; 2 . Tọa độ điểm B biết M là trung điểm của AB là
1 1
A. B ;3; .
2 2
B. B 4;9;8 .
C. B 5;3; 7 .
D. B 5; 3; 7 .
Lời giải
Giả sử B xB ; yB ; z B .
Vì M là trung điểm của AB nên ta có:
x A xB
1 xB
xM 2
2 2
xB 5
y A yB
5 yB
1
yB 3 . Vậy B 5; 3; 7 .
yM
2
2
zB 7
z A zB
3 zM
zM 2
2 2
Dạng 2. Tích vơ hướng và ứng dụng
Câu 56.
(Mã 105 2017) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai vectơ a 2; 1; 0 và
b 1; 0; 2 . Tính cos a , b .
2
2
2
2
A. cos a, b
B. cos a, b
C. cos a, b
D. cos a, b
25
5
25
5
Lời giải
Chọn B
a.b
2
2
.
Ta có: cos a , b
5
5. 5
a.b
Câu 57.
(KSCL THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong
a 2; 2; 4 , b 1; 1;1 . Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. a b 3; 3; 3
B. a và b cùng phương
C. b 3
D. a b
không
gian
Oxyz ,
cho
vectơ
Lời giải
Chọn B
Xét đáp án A: a b 3; 3; 3 đúng.
Xét đáp án B: a 2 1; 1; 2 b 1; 1;1 . Suy ra a và b không cùng phương.
Đáp án B sai.
Facebook Nguyễn Vương 13
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Câu 58.
(THPT Lê Văn Thịnh Bắc Ninh 2019) Trên mặt phẳng toạ độ Oxy , cho tam giác ABC biết
A 1; 3 , B 2; 2 , C 3;1 . Tính cosin góc A của tam giác.
2
17
A. cos A
B. cos A
1
17
C. cos A
2
17
D. cos A
1
17
Lời giải
Chọn B
Ta có: AB 3; 5 , AC 2; 2 .
AB. AC 3.2 5.2
1
Khi đó: cos A cos AB; AC
.
AB. AC
34.2 2
17
Câu 59.
(THPT Quỳnh Lưu 3 Nghệ An 2019) Trong khơng gian Oxyz , góc giữa hai vectơ i và
u 3; 0;1 là
A. 120 .
B. 60 .
C. 150 .
Lời giải
D. 30 .
Ta có i 1; 0; 0 .
1. 3 0.0 0.1 3
i.u
Vậy: cos i, u
=
i, u 150 .
2
i . u 1. 3 2 02 12
Câu 60.
(Chuyên Đại Học Vinh 2019) Trong không gian Oxyz , cho a 3; 4;0 , b 5;0;12 . Cơsin
của góc giữa a và b bằng
3
5
5
3
A.
.
B. .
C. .
D. .
13
6
6
13
Lời giải
Chọn D
a.b
3.5 4.0 0.12
3
Ta có: cos a ; b
.
2
a. b
3 42 02 . 52 02 122 13
Câu 61.
(Chuyên Đhsp Hà Nội 2019) Trong không gian tọa độ Oxyz góc giữa hai vectơ i và
u 3;0;1 là
A. 120 .
B. 30 .
C. 60 .
Lời giải
D. 150 .
Ta có i 1;0;0
u.i
3
cos u , i
. Vậy u , i 150 .
2
u.i
Câu 62.
(Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho vectơ
u 3;0;1 và v 2;1;0 . Tính tích vơ hướng u.v .
A. u.v 8 .
B. u.v 6 .
C. u.v 0 .
D. u.v 6 .
Lời giải
Ta có u.v 3.2 0.1 1.0 6 .
Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
