DE THI HOC SINH GIOI

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Së gd-®t BÁC GIANG trêng thpt CHUYÊN. §Ò thi chän häc sinh giái líp 10 M«n To¸n NĂM HỌC 2011-2012 Thời gian làm bài:180 phót (kh«ng kể thời gian giao ®ề). Bµi1(8®). x (x +1)(x + 2)(x + 3) =. 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:. Bµi 2(3®).. 9 16.  x + y + xy = 4  2 2  x y + xy = 3 .. x 2 + 3xy - y 2 2 2 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña P = x + xy + y Bµi 3(2®). Cho tam giác ABC với A(-1 ; 0) , B(2 ; 3), C(3 ; -6) và đờng thẳng d : uuu r uuur uuur MA + 2MB - 3MC x – 2y – 3 = 0. T×m ®iÓm M thuéc d sao cho đạt giá trị nhá nhÊt Bµi 4(6 đ) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, có H là trực tâm, gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp. 1) Chứng minh rằng: AH = 2R.cosA. 2) Chứng minh rằng: cos A + cos B + cos C < sin A + sin B + sin C Bµi 5(1 ®) a b c + + ³ 2 b + c a + c b + a Cho a, b, c lµ ba sè thùc d¬ng. Chøng minh r»ng: ________________ HÕt _____________.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> C©u Câu 1:. NỘI DUNG x (x + 1)(x + 2)(x + 3) =. ĐIỂM 9 16 (1). 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh: * §Æt t = x(x+3) (1) trë thµnh t(t+2) =9/16  é 9 ê=t ê 4 ê ê 1 êt = ë 4 9 9 9 3 * víi t = 4 ta cã x(x+3) = - 4  x2 + 3x + 4 = 0 x = - 2 é -3 + 10 êx = ê 2 ê ê -3 - 10 1 1 1 êx = ê 2 * víi t = 4 ta cã x(x+3) = 4  x2 + 3x - 4 = 0 ë é 3 êx =ê 2 ê ê - 3 + 10 êx = ê 2 ê ê 3 + 10 êx =2 ë * VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm ê. 1. 1 1. 1. 2) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:. x + y + xy = 4  2 2 x y + xy = 3 (2) (2) . ìïï ( x + y) + xy = 4 í ïïî xy(x+y) = 3. 2 đặt S = x+ y; P = xy. ìïï S + P = 4 í ïïî SP = 3. Ta đợc hệ Khi đó S, P là nghiệm của Phơng trình t2 - 4t + 3 = 0 ìïï S =1 ìïï S = 3 í í ïïî P = 3 ï P =1 hoÆc ïî ïìï S =1 í ï P =3 * ïî x, y lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh u2 – u + 3 = 0. 1.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Ph¬ng tr×nh nµy v« nghiÖm ìïï S = 3 í ï P =1 * ïî x, y lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh u2 – 3u + 1 = 0 ìï ìï ïï x = 3 + 5 ïï x = 3 - 5 ïï ïï 2 2 í í ïï ïï 3- 5 3+ 5 ïï y = ïï y = 2 2  ïî hoÆc ïî. V©y hÖ cã 2 nghiÖm. ìï ïï x = 3 + 5 ïï 2 í ïï 3- 5 ïï y = 2 ïî. vµ. 1. ìï ïï x = 3 - 5 ïï 2 í ïï 3+ 5 ïï y = 2 ïî. x 2 + 3xy - y 2 2 2 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña P = x + xy + y. C©u 2. * y = 0 th× P = 1. 1. t 2 + 3t - 1 2 * y  0 th× P = t + t +1 víi t = x/y gäi P lµ mét gi¸ trÞ bÊt kú cña nã khi đó phơng trình sau ẩn t phải có nghiệm P(t2 +t +1) = t2 + 3t - 1(1- P)t2 + (3 -P)t – (1+ P ) = 0 cã nghiÖm hay éP =1 ê êΔ = (3 - P) 2 + 4(1 - P 2 ) ³ 0 (*) ë (*)  -3P2 – 6P +13  0  - (1+ 3 )  P  3 - 1. 1. 0,5. VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña P = 1. C©u 3. VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P = - (1+ 3 ) Cho tam giác ABC với A(-1 ; 0) , B(2 ; 3), C(3 ; -6) và đờng thẳng d : x – 2y – 3 = 0. T×m ®iÓm M thuéc d sao cho uuu r uuur uuur MA + 2MB - 3MC Q= đạt giá trị nhỏ uuu r uuur uuur MA + 2 MB 3 MC Gọi M(2y+3 ; y)  d Khi đó = (2y – 5 ; y+21) uuu r uuur uuur 2 2 2 MA + 2MB - 3MC = (2 y - 5) + ( y + 21) = 5 y + 22 y + 466 Q đạt giá trị nhỏ nhất khi y =. 11 5. 2.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 7 11 VËy M( 5 ; 5 ) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, có H là trực tâm, gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp. 1) Chứng minh rằng: AH = 2R.cosA. 2) Chứng minh rằng: cos A + cos B + cos C < sin A + sin B + sin C -. C©u4. 1. A. O H B. D. C A'. 1) Gọi A’ là điểm sao cho AA’ là đờng kính dễ có BHCA’ là hình bình hành. Do đó AH = 2OD = 2OCcosA = 2RcosA. 2. 2). 1 1 cos A + cos B + cos C = (cos A + cos B + cos B + cos C + cos C + cos A) 2 C A- B A B- C B C- A = sin cos + sin cos + sin cos 2 2 2 2 2 2 A- B cos £1 2 Ta cã v× C nhän nªn 1 C C A- B C 00 < < 600 Þ 2cos >1 Þ cos < 2cos 2 2 2 2 B- C A cos < 2cos 2 2 C- A B cos < 2cos 2 2 T¬ng tù ta cã VËy cos A + cos B + cos C < sin A + sin B + sin C 1.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> C©u5. Cho a, b, c lµ ba sè thùc d¬ng. Chøng minh r»ng: a b c + + ³ 2 b+c a+c b+a a a 2a = ³ b +c a (b + c) a + b + c b b 2b = ³ a +c b( a + c) a + b + c c c 2c = ³ b +a c(b + a) a + b + c ] Cộng 3 bất đẳng thức trên vế theo vế ta có điều phải chứng minh. 2.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>