PP chung minh BDT

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (240.29 KB, 23 trang )

(1)Chuyên đề chứng minh bất thức (Tham kh¶o cña nhiÒu t¸c gi¶). PhÇn I. kiÕn thøc c¬ b¶n. 1-§inhnghÜa  A  B  A  B 0   A  B  A  B 0. 2.Các tính chất bất đẳng thức: 1. 2. 3. 4.. a> b , c> d ⇒ a+c >b+ d a> b , c< d ⇒ a− c >b − d a> b , c> 0⇒ ac> bc a> b , c< 0⇒ ac< bc. 6. 7. 8. 9.. 5.. a> b≥ 0 , c >d ≥ 0⇒ ac> bd. 10.. n. n. a> b>0 ⇒ a > b a> b ⇔an > bn n ch½n |a|>|b|⇔ an >b n n ch½n m>n> 0 , a>1⇒ an >b n a=1⇒ an=bn ; 0<a<1 ⇒ a n< bn 1 1 a> b ,ab >0 ⇒ < a b. 3.Một số hằng bất đẳng thức 1. 2. 3.. A ❑2 0 víi ∀ A ( dÊu = x¶y ra khi A 4. =0) | A|≥ 0 víi ∀ A (dÊu = x¶y ra khi A = 0). AB  A  B. 5.. | A| < A = | A|. ( dÊu = x¶y ra khi. A.B > 0). | A − B|≤|A|−|B| ra khi A.B < 0). 4.Bất đẳng thức Cô-si: *ĐL:Trung bình cộng của n số không âm lớn hơn hoắc bằng trung bình nhân của n số đó. a1 +a2 +a 3+. . .. .+an n ≥ √ a1 . a2 . a 3 . .. . an ,( a1 . a2 . a3 .. . . an kh«ng ©m ). n Dấu đẳng thức xảy ra khi a1=a2=a3=. .. ..=a n . a+b a+b+ c 3 *Dạng đơn giản: ≥ √ ab ; ≥ √ abc . 2 3. 3.Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốpx-ki:. *Cho n cÆp sè bÊt k× a1 , a2 , a3 ,. .. . . ,a n ; b 1 , b 2 , b3 , .. .. . , bn , ta cã: a1 b1 +a 2 b2 + a3 b 3 ,. .. . ., a n b n ¿ 2 ≤(a 1 + a2 + a3 +. .. ..+ an )(b1 + b2 +b3 +. .. ..+ bn ) ¿ a1 a2 a3 an DÊu “=” x¶y ra khi . = = =.. .. . ..= b1 b 2 b 3 bn 2 *Dạng đơn giản; a1 b1 +a 2 b2 ¿ ≤(a1 +a 2 )(b 1 +b 2 ) . ¿ b+d ¿2 ¿ *BiÕn d¹ng: a+c ¿2 +¿ ¿ √¿ 2. 2. 2. 2. 2. 2. 4.Một số bất đẳng thức đợc áp dụng:. 2. 2. 2. 2. 2. 2. ( dÊu = x¶y.

(2) 1.. x. 2.. 3.. 1 0. √x− 1 ≤ 1 2. 11. +¿. a a > ; a , b , c ∈ z¿ a+b a+b+ c 1 1 1 1 1 + ≥ 4 ; (a+ b+c ) + + ≥ 9 a b a b c 2 ab a+b 1 4 ( a+b )2 ≥ 4 ab ⇒ ≤ ; ≥ a+b 2 ab ( a+b )2 a 2 1 a2 +b2 a+ b 2 ≤ = ; ≥ 2 2 2 1+ a 2 a 2 2 a+b ≥ ab hay ( a+b )2 ≥ 4 ab 2 1 2 a b ≥ + ≥2 ; a+b ≥ 2 √ ab ⇔ b a √ ab a+ b. 1 2. 8. a+b ≤ √ 2(a+ b). 1 7. 9. 1 2 2 = < =2( √ k − √k − 1) √ k √ k + √k √ k + √ k −1. 1 8. 4. 5. 6 7. (. (a+ b). ). (. ). 1 3 1 4. ( ). 1 5. ( ). 1 6. a b 2 + ≥ 2 2 1+ ab 1+ a 1+b 0< a≤ b ≤ c ≤ 1⇒ ab+1 ≤ ac+1 ≤ bc+1 a a ⇒ ≤ bc+1 ab+1 4 a+1+1 =2 a+1 √ 4 a+1=√(4 a+ 1).1 ≤ 2 1 1 2 + ≥ 2 2 1 − x 1 − y 1 − xy a a+ b+c ≥ b+ c 2a 1 1 4 + ≥ ; a ,b ≥ 0 a b a+ b. √. x+ y ¿ 2 ¿ 1 4 ≥¿ x.y 1 2 2 = > =2( √ k +1 − √ k ) √ k √ k + √k √ k +1+ √ k. PhÇn II. Mét sè ph¬ng ph¸p c¬ b¶n. Phơng pháp 1 : dùng định nghĩa KiÕn thøc : §Ó chøng minh A > B Ta chøng minh A - B > 0 Lu ý dùng hằng bất đẳng thức M ❑2.  0 víi M. VÝ dô 1  x, y, z chøng minh r»ng : a) x ❑2. + y ❑2 + z ❑2 xy+ yz + zx b) x ❑2 + y ❑2 + z ❑2 2xy – 2xz + 2yz c) x ❑2 + y ❑2 + z ❑2 +3 2 (x + y + z) 1 + y ❑2 + z ❑2 - xy – yz – zx = .2 .( x ❑2 + y ❑2 + z 2. Lêi gi¶i: a) Ta xÐt hiÖu x ❑2 ❑2 - xy – yz – zx) = y − z ¿2 x − z ¿2 +¿ ≥ 0 1 = đúng với mọi x;y;z  R Vì (x-y)2 0 vớix ; y do đó dấu bằng xảy ra khi x=y x − y ¿ 2+ ¿ 2 ¿ ¿ (x-z)2 0 víix ; z DÊu b»ng x¶y ra khi x=z (y-z)2 0 víi z; y, dÊu b»ng x¶y ra khi VËy x ❑2 + y ❑2 + z ❑2 xy+ yz +zx, dÊu b»ng x¶y ra khi x = y =z b)Ta xét hiệu: x ❑2 + y ❑2 + z ❑2 - ( 2xy – 2xz +2yz ) = x ❑2 + y ❑2 + z ❑2 2xy +2xz –2yz =( x – y + z) ❑2 0 đúng với mọi x;y;z. Vậy x ❑2 + y ❑2 + z ❑2 2xy –  R 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;z .DÊu b»ng x¶y ra khi x+y=z c) Ta xÐt hiÖu: x ❑2 + y ❑2 + z ❑2 +3 – 2( x+ y +z ) = x ❑2 - 2x + 1 + y ❑2 -2y +1 + z ❑2 -2z +1 = (x-1) ❑2 + (y-1) ❑2 +(z-1) ❑2 0. Dêu (=) x¶y ra khi x = y = z = 1 2. VÝ dô 2: chøng minh r»ng : a). c) H·y tæng qu¸t bµi to¸n. 2. a +b a+ b ≥ 2 2. 2. ( ). 2. ;. b). 2. 2. a +b +c a+ b+c ≥ 3 3. (. 2. ).

(3) a2 +b2 a+b 2 = 2 ( a2+ b2 ) a2+ 2ab+ b2 = 1 ( 2 a2 +2 b2 − a2 −b 2 −2 ab ) − − 4 2 2 4 4 2 2 2 1 = ( a −b )2 ≥ 0 . VËy a +b ≥ a+ b ; DÊu b»ng x¶y ra khi a = b. 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 b)Ta xÐt hiÖu: a +b +c − a+b+ c = ( a − b )2 + ( b − c )2 + ( c − a )2 ] ≥ 0 VËy a +b +c ≥ a+ b+c [ 9 3 3 3 3. Lêi gi¶i: a) Ta xÐt hiÖu:. ( ) ( ) ( ). (. 2. ). DÊu b»ng x¶y ra khi a = b =c 2 2 2 2 a1 +a2 +. .. .+an a1 +a2 +. .. .+an c)Tæng qu¸t ≥ n n Tóm lại các bớc để chứng minh A B tho định nghĩa Bíc 1: Ta xÐt hiÖu H = A - B Bớc 2:Biến đổi H= (C + D ) ❑2 hoặc H= (C + D ) ❑2 +….+ ( E + F ) ❑2 Bíc 3:KÕt luËn A  B. (. ). Chứng minh m,n,p,q ta đều có m ❑2 + n ❑2 + p ❑2 + q ❑2 +1  m ( n + p + q + 1 ) Lêi gi¶i: 2 2 2 2 m m m m 2 2 2 ⇔ − mn +n + − mp+ p + − mq +q + − m+1 ≥ 0 4 4 4 4 2 2 2 2 m m m m ⇔ − n + − p + − q + −1 ≥ 0 (luôn đúng) 2 2 2 2. VÝ dô. (. (. )(. )(. DÊu b»ng x¶y ra khi. )(. )(. )(. m −n=0 2 m − p=0 2 m −q=0 2 m −1=0 2. )(. ). ). m 2 m p= 2 m q= 2 m=2. { { ⇔. n=. ⇔. {n=m=2 p=q=1. phơng pháp 2 : Dùng phép biến đổi tơng đơng Lu ý: Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã đợc chứng minh là đúng. Chú ý các hằng đẳng thức sau: ( A + B )2= A2 +2 AB+B 2 ( A + B+C )2=A 2 +B 2+C 2 +2 AB+2 AC+2 BC ( A + B )3= A3 +3 A 2 B+3 AB2 + B3 VÝ dô 1: Cho a, b, c, d, e lµ c¸c sè thùc chøng minh r»ng: 2 a) a2 + b ≥ ab 4 b) a2 +b 2+1 ≥ ab+a+ b c) a2 +b 2+ c 2+ d2 + e2 ≥ a ( b +c +d +e ) 2. Lêi gi¶i: a) a2 + b ≥ ab ⇔ 4 a2 +b 2 ≥ 4 ab ⇔ 4 a2 − 4 a+b 2 ≥ 0 4 2 này luôn đúng). Vậy a2 + b ≥ ab (dÊu b»ng x¶y ra khi 2 a = b ) 4. ⇔ ( 2 a −b )2 ≥ 0 (bất đẳng thức.

(4) ⇔ 2(a2 +b2 +1)> 2(ab+ a+b) 2 b −1 ¿ ≥0 2 a −1 ¿ +¿ Bất đẳng thức cuối đúng.Vậy 2 2 2 2 ⇔ a − 2ab+ b +a −2 a+1+b − 2b +1≥ 0 2 a −b ¿ + ¿ ⇔¿ 2 2 . DÊu b»ng x¶y ra khi a = b = 1. a +b +1 ≥ ab+a+ b 2 2 2 2 2 c) a +b + c + d + e ≥ a ( b +c +d +e ) ⇔ 4 (a 2+ b2+ c 2+ d 2+ e2 )≥ 4 a ( b+c + d+ e ) ⇔ ( a 2 − 4 ab+ 4 b 2) + ( a2 − 4 ac+ 4 c 2 ) + ( a2 − 4 ad + 4 d 2 ) + ( a 2 − 4 ac +4 c2 ) ≥ 0 ⇔ ( a −2 b )2 + ( a− 2 c )2 + ( a− 2 d )2+ ( a− 2 c )2 ≥ 0 Bất đẳng thức đúng vậy ta có điều phải chứng minh b). 2. 2. a +b +1 ≥ ab+a+ b. VÝ dô 2: Chøng minh r»ng:. ( a10 +b 10) ( a2+ b2 ) ≥ ( a8 +b 8 )( a4 + b4 ). Lêi gi¶i: ( a10 +b 10) ( a2+ b2 ) ≥ ( a8 +b 8 )( a4 + b4 ) ⇔ a12 +a10 b2 +a 2 b10 +b 12 ≥ a12+ a8 b4 + a4 b 8+ b12 0 ⇔ a2b2( a2 - b2 )2( a4+ ⇔ a8 b2 ( a 2 − b2 ) +a2 b8 ( b 2 − a2 ) ≥0 ⇔ a2 b2 ( a2 - b2) ( a6 - b6 ) a2b2+b4) 0 Bất đẳng thức cuối đúng vậy ta có điều phải chứng minh. VÝ dô 3: cho x.y =1 vµ x.y 2. 2. ;Chøng minh. x2 + y2 x− y. 2 √2 .. Lêi gi¶i: x + y 0 ⇒ x2+y2 2 √ 2 v× :x y nªn x- y 2 √ 2 ( x-y) ⇒ x2+y2- 2 √ 2 x− y x+ 2 √ 2 y 0 ⇔ x2+y2+2- 2 √ 2 x+ 2 √ 2 y -2 0 ⇔ x2+y2+( √ 2 )2- 2 √ 2 x+ 2 √ 2 y -2xy 0 v× x.y=1 nªn 2.x.y=2 0 Điều này luôn luôn đúng . Vậy ta có điều phải chứng minh ⇒ (x-y- √ 2 )2 VÝ dô 4:. 1)CM: P(x,y)= 9 x 2 y 2 + y 2 − 6 xy −2 y+ 1≥ 0 ∀ x , y∈ R 2 2 2 2)CM: √ a +b +c ≤|a|+|b|+|c| (gîi ý :b×nh ph¬ng 2 vÕ) 3)choba sè thùc kh¸c kh«ng x, y, z tháa m·n: x . y . z =1 1 1 1 + + < x+ y+ z x y z Chứng minh rằng :có đúng một trong ba số x,y,z lớn hơn 1. {. Lêi gi¶i: XÐt (x-1)(y-1)(z-1)=xyz+(xy+yz+zx)+x+y+z-1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 =(xyz-1)+(x+y+z)-xyz( + + )=x+y+z - ( + + ¿>0 (v× + + < x+y+z theo gt) x y z x y z x y z → 2 trong 3 sè x-1 , y-1 , z-1 ©m hoÆc c¶ ba sç-1 , y-1, z-1 lµ d¬ng. NÕñ trêng hîp sau x¶y ra th× x, y, z >1 → x.y.z>1 M©u thuÉn gt x.y.z=1 b¾t buéc ph¶i x¶y ra trêng hîp trên tức là có đúng 1 trong ba số x ,y ,z là số lớn hơn 1 Ph¬ng ph¸p 3: dùng bất đẳng thức quen thuộc * một số bất đẳng thức hay dùng 1) Các bất đẳng thức phụ: a) x 2+ y 2 ≥ 2 xy b) x 2+ y 2 ≥∨xy∨¿ dÊu ( = ) khi x = y = 0 c) ( x+ y )2 ≥ 4 xy a b d) + ≥2 b a a1 +a2 +a 3+. . ..+ an 2)Bất đẳng thức Cô sy: ≥ √ a1 a2 a3 . .. . an n. Víi. ai >0.

(5) 3)Bất đẳng thức Bunhiacopski 2 +¿ n ¿ 2 2 x 1+ x 2 +.. . .¿ 2 ( a1 x 1+ a2 x 2 +. .. .+an x n ). ( a 2 + a22+ .. ..+ a2n ) . 2. ¿ 4) Bất đẳng thức Trê- b-sép: a≤ b ≤ c NÕu A ≤ B≤ C a ≤b ≤ c NÕu ⇒ A ≥ B ≥C. aA+ bB+cC a+b+ c A+ B+C ≥ . 3 3 3 aA+ bB+cC a+b+ c A+ B+C DÊu b»ng x¶y ra khi ≤ . 3 3 3. { {. ⇒. a=b=c {A=B=C. VÝ dô 1 Cho a, b ,c lµ c¸c sè kh«ng ©m chøng minh r»ng ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) 8abc Lêi gi¶i: Cách 1:Dùng bất đẳng thức phụ: ( x+ y )2 ≥ 4 xy Tacó ; ( a+b )2 ≥ 4 ab ; ( b+ c )2 ≥ 4 bc 2 2 2 2 ⇒ (a+b)(b+c)(c+a) ( c +a )2 ≥ 4 ac ⇒ ( a+b )2 ( b+ c )2 ( c +a )2 64 a b c =( 8 abc ) 8abc DÊu “=” x¶y ra khi a = b = c 1 1 1 VÝ dô 2 1)Cho a,b,c > 0 vµ a + b + c = 1 CMR: + + ≥9 a b c 2)Cho x, y,z > 0 vµ x +y + z = 1 CMR: x + 2y + z 4 (1 − x)(1 − y )(1 − z) a b c 3 3)Cho a > 0 , b > 0, c> 0 CMR: + + ≥ b+c c +a a+b 2 1 4)Cho x 0 ,y 0 tháa m·n 2 √ x − √ y=1 ;CMR: x +y 5 3 a b3 c3 1 2 2 2    a +b + c =1 b c a c a b 2 VÝ dô 3: Cho a>b>c>0 vµ chøng minh r»ng Lêi gi¶i: a 2 ≥ b2 ≥c 2 Do a,b,c đối xứng ,giả sử a b c ⇒ a b c ≥ ≥ b+ c a+ c a+ b ¸p dông B§T Trª- b-sÐp ta cã 2 2 2 1 3 1 a b c a + b +c a b c 2 2 2 = = . a . +b . +c . ≥ . + + 3 2 2 b+ c a+ c a+ b 3 b+ c a+c a+ b 3 3 3 1 a b c 1 VËy DÊu b»ng x¶y ra khi a=b=c= + + ≥ b+c a+ c a+b 2 √3. {. (. ). VÝ dô 4:. Cho a, b, c, d > 0 vµ abcd =1 .Chøng minh r»ng : a2 +b 2+ c 2+ d2 + a ( b+c ) +b ( c +d ) +d ( c +a ) ≥ 10 Lêi gi¶i: 2 2 2 2 a +b ≥ 2 ab ; c + d ≥ 2 cd ; do abcd =1 nªn cd =. Ta cã. 1 ab. (dïng. 1 1 ) x+ ≥ x 2. 1 )≥ 4 (1) ab MÆt kh¸c: a ( b+ c )+ b ( c+ d )+ d ( c+ a ) =( ab + cd ) + ( ac + bd ) + ( bc + ad ) 1 1 1 = ab+ + ac+ + bc+ ≥ 2+ 2+ 2 VËy a2 +b 2+ c 2+ d2 + a ( b+c ) +b ( c +d ) +d ( c +a ) ≥ 10 ab ac bc Ta cã a2 +b 2+ c 2 ≥ 2(ab+cd )=2(ab+. (. VÝ dô 5:. )(. )(. ). Cho 4 sè a,b,c,d bÊt kú chøng minh r»ng:.

(6) 2. b+d ¿ ¿ a+c ¿2 +¿ ¿ √¿ Lời giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski Ta cã ac+bd √ a2 +b2 . √c 2 +d 2 mµ ( a+ c )2 + ( b+ d )2=a 2+ b2+ 2 ( ac + bd ) + c2 +d 2 ( a 2+b 2 ) +2 √ a2+ b2 . √ c 2+ d 2+ c 2+ d 2 b+d ¿2 ¿ ⇒ a+ c ¿2 +¿ ¿ √¿ VÝ dô 6: Chøng minh r»ng a2 +b 2+ c 2 ≥ ab+ bc+ac Lời giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski C¸ch 1: XÐt cÆp sè (1,1,1) vµ (a,b,c) ta cã ( 12 +12+12 ) (a2 +b 2+ c2 )≥ ( 1 .a+ 1. b+1 . c )2 ⇒ 3 ( a 2+b 2+ c 2 ) ≥ a2 +b 2+ c 2+2 ( ab+ bc+ ac ) §iÒu ph¶i chøng minh DÊu b»ng x¶y ra khi a=b=c ⇒ a2 +b 2+ c 2 ≥ ab+ bc+ac Ph¬ng ph¸p 4:. Sö dông tÝnh chÊt b¾c cÇu. Lu ý: A>B vµ b>c th× A>c 0< x <1 th× x ❑2 <x vÝ dô 1: Cho a, b, c ,d >0 tháa m·n a> c+d , b>c+d Chøng minh r»ng ab >ad+bc Gi¶i: a −c >d >0 Tacã a>c +d ⇒ b>c +d b −d >c >0 ( a – c ) ( b – d ) > cd ⇒ ⇔ ab – ad – bc + cd > cd (®iÒu ph¶i chøng minh) ⇔ ab > ad + bc vÝ dô 2: 5 Cho a,b,c > 0 tháa m·n a2 +b 2+ c 2= 3 1 1 1 1 Chøng minh + + < a b c abc Gi¶i:. {. {. Ta cã :( a+b- c)2= a2+b2+c2+2( ab - ac - bc). ¿ ⇒ ac+bc-ab ¿ ¿ ¿ 1 1 1 1 + − ¿ a b c abc ¿. 0. 1 ( a2+b2+c2) ⇒ ac+bc-ab 2. ¿ 5 ¿ 1 Chia hai vÕ cho abc > 0 ta cã 6 ¿ vÝ dô 3 Cho 0 < a,b,c,d <1 Chøng minh r»ng (1 - a).(1 - b) ( 1- c).(1- d) > 1- a – b – c - d Gi¶i: Ta cã (1-a).(1-b) = 1-a-b+ab Do a>0 , b>0 nªn ab>0 ⇒ (1-a).(1-b) > 1-a-b (1) Do c <1 nªn 1- c >0 ta cã ⇒ (1-a).(1-b) ( 1-c) > 1-a-b-c ⇒ (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > (1-a-b-c) (1-d)=1-a-b-c-d+ad+bd+cd ⇒ (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d (§iÒu ph¶i chøng minh) vÝ dô 4. 1- Cho 0 < a, b, c <1 . Chøng minh r»ng 3 3 3 2 2 2 2 a +2 b +2 c <3+ a b+b c +c a Gi¶i :.

(7) 2 2 Do a < 1 ⇒ ⇒ 1-b- a2 + a2 b > 0 ⇒ 1+ a2 a <1 vµ Ta cã ( 1− a ) . ( 1− b ) <0 b2 > a2 + b 2 3 2 3 2 2 3 3 mµ 0< a,b <1 ⇒ a > a , b > b ; Tõ (1) vµ (2) ⇒ 1+ a b > a + b ; VËy a3 + b3 < 1+ a2 b2 T¬ng tù b3 + c 3 1+b2 c c ❑3 + a3  1+c 2 a Cộng các bất đẳng thức ta có : 3 3 3 2 2 2 2 a +2 b +2 c ≤ 3+a b+b c+ c a b)Chøng minh r»ng : NÕu a2 +b 2=c 2 +d 2=1998 th× ac+bd =1998 Gi¶i: Ta cã (ac + bd) ❑2 + (ad – bc ) ❑2 = a ❑2 c ❑2 + b ❑2 d 2 +2 abcd+ a2 d 2 +b2 c 2 - 2 abcd = = a2(c2+d2)+b2(c2+d2) =(c2+d2).( a2+ b2) = 19982, rá rµng (ac+bd)2 ( ac+ bd )2 + ( ad − bc )2=19982 ⇒ |ac+ bd|≤1998 2-Bµi tËp : 1, Cho c¸c sè thùc : a1; a2;a3 ….;a2003 tháa m·n : a1+ a2+a3 + ….+a2003 =1 1 c høng minh r»ng : a ❑12 + a22 +a 23+ .. ..+ a22003 ( đề thi vào chuyên nga pháp 20032003 2004Thanh hãa ) 2,Cho a;b;c 0 tháa m·n :a + b + c = 1 (?) 1 1 1 Chøng minh r»ng: ( −1 ¿ .( − 1).( −1)≥ 8 a b c. Ph¬ng ph¸p 5:. dïng tÝnh chÊt cña tû sè. KiÕn thøc. 1) Cho a, b ,c lµ c¸c sè d¬ng th× a a a+ c a – NÕu >1 th× > b b b+ c a c a a+c c 2)NÕu b,d >0 th× tõ < ⇒ < 0 .Chøng minh r»ng 1<. b – NÕu. a <1 b. th×. a a+ c a+b+ c a+b+ c a+b+ c+d a+b+ c a+b+ c+ d Tõ (1) vµ (2) ta cã a a a+d < < (3) a+b+ c+ d a+b+ c a+b+ c+ d b b b+ a c c b +c T¬ng tù ta cã (4) < < < < a+b+ c+ d b+c +d a+b+ c+ d a+b+ c+d c +d +a a+b+ c+ d d d d+ c (6) céng vÕ víi vÕ cña (3); (4); (5); (6) ta cã < < a+b+ c+ d d +a+b a+ b+c +d a b c d 1< + + + <2 ®iÒu ph¶i chøng minh a+b+ c b+c +d c+ d+ a d +a+ b ab+cd c a c a < vµ b,d > 0 .Chøng minh r»ng < 2 2(8) vÝ dô 3 : Cho a;b;c;d lµ c¸c sè nguyªn d¬ng tháa m·n : a+b = c+d =1000, t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña gi¶i : Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta gi¶ sö : = c+d. b d. Tõ :. a c. b d. a a+b b ⇒ ≤ ≤ c c+ d d. a ≤1 c. v× a+b. a b 999 + c d a b 1 999 b, NÕu: b=998 th× a=1 ⇒ = + §¹t gi¸ trÞ lín nhÊt khi d= 1; c=999 + c d c d a b 1 VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña =999+ khi a=d=1; c=b=999 + c d 999 a, NÕu :b. 998. th×. b d. a c. a b + c d. 998. ⇒. Ph¬ng ph¸p 6: Ph¬ng ph¸p lµm tréi Lu ý: Dùng các tính bất đẳng thức để đa một vế của bất đẳng thức về dạng tính đợc tổng hữu hạn hoặc tích hữu h¹n. (*) Phơng pháp chung để tính tổng hữu hạn : S = u1 +u2 +.. . .+ un Ta cố gắng biến đổi số hạng tổng quát u ❑k về hiệu của hai số hạng liên tiếp nhau: uk =ak −a k+1 Khi đó : S = ( a1 − a2 ) + ( a2 − a3 ) +.. . .+ ( an − an+1 ) =a1 −a n+1 (*) Ph¬ng ph¸p chung vÒ tÝnh tÝch h÷u h¹n P = u1 u 2 . .. .u n Biến đổi các số hạng uk về thơng của hai số hạng liên tiếp nhau: ak a1 a 2 a a Khi đó P = uk = . .. . .. n = 1 ak+ 1 a2 a 3 an+1 an +1 VÝ dô 1 : Víi mäi sè tù nhiªn n >1 chøng minh r»ng 1 1 1 1 3 < + +. .. .+ < 2 n+1 n+2 n+ n 4 Gi¶i: 1 1 1 Ta cã víi k = 1,2,3,…,n-1 > = n+k n+ n 2n 1 1 1 1 1 n 1 Do đó: + +.. .+ > +. ..+ = = n+1 n+2 2n 2n 2 n 2n 2 VÝ dô 2 : Chøng minh r»ng: 1+. 1 1 1 + +.. . .+ >2 ( √ n+ 1− 1 ) √2 √ 3 √n. 1 2 2 = > =2 ( √ k +1 − √ k ) √k 2 √ k √ k + √k + 1 1 > 2 ( √ 2− 1 ) 1 >2 ( √ 3 − √2 ) √2 ....... 1 >2 ( √ n+1− √ n ) √n Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có 1 1 1 1+ + +.. . .+ >2 ( √ n+ 1− 1 ) √2 √ 3 √n Gi¶i : Ta cã. Víi n lµ sè nguyªn Khi cho k chạy từ 1 đến n ta có.

(9) n. VÝ dô 3 : Chøng minh r»ng. ∑ k12 < 2. ∀ n∈ Z. k=1. 1 1 1 1 < = − 2 k −1 k k k ( k −1 ) Cho k chạy từ 2 đến n ta có 1 1 <1 − 2 2 2 1 1 1 < − 32 2 3 .. . .. .. . .. .. .. . .. 1 1 1 < − 2 n −1 n n 1 1 1 ⇒ 2 + 2 +. .. .+ 2 <1 2 3 n Gi¶i: Ta cã. n. VËy. ∑ k12 < 2 k=1. Ph¬ng ph¸p 7: Dùng bất đẳng thức trong tam giác Lu ý: NÕu a;b;clµ sè ®o ba c¹nh cña tam gi¸c th× : a;b;c> 0 Vµ |b-c| < a < b+c ; |a-c| (a+b-c).(b+c-a).(c+a-b) Gi¶i a)V× a,b,c lµ sè ®o 3 c¹nh cña mét tam gi¸c nªn ta cã a2 <a(b+c ) 0<a< b+c  0<b< a+c b2 <b(a+c ) 0<c <a+ b c 2< c (a+b) Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac) 2 b) Ta cã a > b-c   b2 − c2 ¿ >0 a >a − ¿ c −a ¿ 2 > 0 b > a-c   b2 >b 2 − ¿ ¿ 2> 0 c > a-b   a −b c 2 >c 2 − ¿ Nhân vế các bất đẳng thức ta đợc ⇒ a 2 b2 c 2 > [ a2 − ( b − c )2 ][ b 2 − ( c − a )2 ][ c 2 − ( a −b )2 ] 2 2 2 ⇒ a 2 b 2 c 2 > ( a+b − c ) ( b +c − a ) ( c +a −b ) ⇒ abc> ( a+b − c ) . ( b+c −a ) . ( c +a −b ). {. {. VÝ dô2: 1) Cho a,b,c lµ chiÒu dµi ba c¹nh cña tam gi¸c Chøng minh r»ng ab+ bc+ ca< a2 +b2 +c 2 <2(ab+ bc+ ca) 2) Cho a,b,c lµ chiÒu dµi ba c¹nh cña tam gi¸c cã chu vi b»ng 2 2 2 2 Chøng minh r»ng a +b + c +2 abc< 2 Ph¬ng ph¸p 8:. đổi biến số.

(10) VÝ dô1 Cho a,b,c > 0 Chøng minh r»ng. a b c 3 (1) + + ≥ b+c c +a a+b 2. Gi¶i :. y+z − x z+x − y x+ y −z ; b= ;c= 2 2 2 y + z − x z +x − y x+ y − z 3 y z x z x y ta cã (1) ⇔ + + + − 1+ + −1+ + −1 ≥3 ⇔ 2x 2y 2z 2 x x y y z z y x z x z y + ¿+( + )+( + )≥ 6 ⇔ ( x y x z y z y x z x z y Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì ( + ≥ 2; + ≥2 ; + ≥ 2 nªn ta cã ®iÒu ph¶i chøng x y x z y z minh VÝ dô2: Cho a, b, c > 0 vµ a + b + c < 1 1 1 1 + 2 + 2 ≥9 Chøng minh r»ng (1) 2 a +2 bc b +2 ac c +2 ab §Æt x=b+c ; y=c+a ;z= a+b ta cã a=. Gi¶i:. 1. §Æt x = a2 +2 bc ; y = b2 +2 ac ; z = c 2+ 2ab Ta cã x+ y+ z=( a+b +c )2< 1 1 1 1 (1) ⇔ + + ≥ 9 Với x+y+z < 1 và x ,y,z > Theo bất đẳng thức Côsi ta có x y z 1 1 1 1 1 1 + + ≥ 3. . 3 1 ; ⇒ ( x+ y+ z ) . + + ≥ 9 Mµ x+y+z < x+ y+ z ≥ 3. √3 xyz ; x y z x y z xyz. √. VËy VÝ dô3:. 1 1 1 + + ≥9 x y z Cho x 0. Gîi ý: §Æt. (. ). (®pcm) ,y 0. tháa m·n. √ x=u , √ y=v. 2 √ x − √ y=1. CMR. x+ y ≥. ⇒ 2u-v =1 vµ S = x+y = u2 +v 2. Bµi tËp 1) Cho a > 0 , b > 0 , c > 0. CMR:. 1 5 ⇒ v = 2u-1 thay vµo tÝnh S min. 25 a 16 b c + + >8 b+c c +a a+b. 2)Tæng qu¸t m, n, p, q, a, b >0 ma nb pc 1 2 CMR + + ≥ ( √m+ √ n+ √ p ) − ( m+n+ p ) b+c c +a a+b 2 Ph¬ng ph¸p 9:. dïng tam thøc bËc hai. Lu ý : Cho tam thøc bËc hai f ( x )=ax 2 + bx+ c NÕu Δ< 0 th× a . f ( x )> 0 NÕu. Δ=0. th×. NÕu. Δ> 0. th× a . f ( x )> 0 a . f ( x )< 0. ∀ x∈R ∀ x ≠−. a . f ( x )> 0. víi víi. b a. x< x1 hoÆc x 1< x < x 2. VÝ dô1: Chøng minh r»ng f ( x , y ) =x 2+5 y 2 −4 xy +2 x −6 y +3> 0 Gi¶i: Ta cã (1) ⇔ x 2 −2 x ( 2 y −1 ) +5 y 2 − 6 y+ 3>0 Δ ' =( 2 y −1 )2 −5 y 2+ 6 y − 3 2 2 ¿ 4 y − 4 y +1− 5 y + 6 y − 3 2 − ( y −1 ) − 1<0. x> x2. ( x 2> x 1 ). (1).

(11) f ( x , y )>0. VËy. víi mäi x, y. VÝ dô2: Chøng minh r»ng f ( x , y ) =x 2 y 4 +2 ( x 2 +2 ) . y 2 +4 xy + x 2> 4 xy 3 Giải: Bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với y 2+ 1¿ 2 . x2 + 4 y (1 − y )2 x+ 4 y 2 >0 ⇔¿ 2 2 ' 2 2 2 2 2 2 V× a = Δ =4 y ( 1− y ) − 4 y ( y +1 ) =− 16 y < 0 ( y 2 +1 ) >0 vËy. x 2 y 4 +2 ( x 2 +2 ) . y 2 + 4 xy + x 2 − 4 xy 3> 0 Ta cã. f ( x , y )> 0. (®pcm) Ph¬ng ph¸p 10: dïng quy n¹p to¸n häc Kiến thức: Để chứng minh bất đẳng thức đúng với n>n 0 ta thực hiện các bớc sau : 1 – Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n=n0 2 - Giả sử BĐT đúng với n =k (thay n =k vào BĐT cần chứng minh đợc gọi là giả thiết quy nạp ) 3- Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k +1 (thay n = k+1vào BĐT cần chứng minh rồi biến đổi để dùng giả thiết quy nạp) 4 – kết luận BĐT đúng với mọi n>n 0 1 1 1 1 + 2 +.. . .+ 2 <2 − (1) ∀ n∈ N ; n>1 2 n 1 2 n 1 1 Gi¶i :Víi n =2 ta cã 1+ <2 − (đúng) 4 2 Vậy BĐT (1) đúng với n =2 Giả sử BĐT (1) đúng với n =k ta phải chứng minh BĐT (1) đúng với n = k+1 ThËt vËy khi n =k+1 th× 2 k +1¿ ¿ ¿ (1) ⇔ 1 1 1 1 + 2 +.. . .+ 2 + 2 1 2 k ¿ Theo gi¶ thiÕt quy n¹p k +1¿ 2 ¿ ¿ ⇔ 1 1 1 1 + 2 +.. . .+ 2 + ¿ 2 1 2 k 2 k + 1¿ ¿ ¿ ⇔ 1 1 +.. . .+ 2 ¿ 1. VÝ dô1:Chøng minh r»ng. ⇔. VÝ dô2: Cho. k +1 ¿2 ¿ k +1 ¿2 ¿ k +1+1 ¿ n∈N. ⇔ k2+2k<k2+2k+1 Điều này đúng .Vậy bất đẳng thức (1)đợc chứng minh. vµ a+b> 0 Chøng minh r»ng. a+b 2. n. ( ). n. n. a +b 2. Gi¶i Ta thấy BĐT (1) đúng với n=1 Giả sử BĐT (1) đúng với n=k ta phải chứng minh BĐT đúng với n=k+1 ThËt vËy víi n = k+1 ta cã. (1).

(12) a+b k a+b ak+ 1+b k+1 ak+ 1+b k+1 (2) ⇔ . 2 2 2 2 ak +b k a+ b ak+ 1+ abk +a k b+ bk +1 a k+1 +bk +1 ⇔ VÕ tr¸i (2) ⇔ . = ≤ 2 2 4 2 ak+ 1+b k+1 ak+1 +ab k +ak b+ bk+1 − ≥0 2 4 (3) ⇔ ( a k − bk ) . ( a −b ) ≥ 0 Ta chøng minh (3) (+) Gi¶ sö a b vµ gi¶ thiÕt cho a -b ⇔ a ⇔ |b| k k k k k ⇒ ( a − b ) . ( a −b ) ≥ 0 a ≥|b| ≥ b k (+) Gi¶ sö a < b vµ theo gi¶ thiÕt - a<b ⇔ ⇔ ( a k − bk ) . ( a −b ) ≥ 0 |a| <bk ⇔ ak <b k Vậy BĐT (3)luôn đúng ta có (đpcm) (1) ⇔. a+b 2. k+1. ( ). Ph¬ng ph¸p 11:. ( ). Chøng minh ph¶n chøng. Lu ý: 1) Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng , ta hãy giả sử bất đẳng thức đó sai và kết hợp với các giả thiết để suy ra điều vô lý , điều vô lý có thể là điều trái với giả thiết , có thể là điều trái ngợc nhau .Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh là đúng 2) Giả sử ta phải chứng minh luận đề “G ⇒ K” phép toán mệnh đề cho ta : Nh vậy để phủ định luận đề ta ghép tất cả giả thiết của luận đề với phủ định kết luận của nó . Ta thêng dïng 5 h×nh thøc chøng minh ph¶n chøng sau : −− −− A - Dùng mệnh đề phản đảo : K ⇒ G B – Phủ định rôi suy trái giả thiết : C – Phủ định rồi suy trái với điều đúng D – Phủ định rồi suy ra 2 điều trái ngợc nhau E – Phủ định rồi suy ra kết luận : VÝ dô 1: Cho ba sè a,b,c tháa m·n a +b+c > 0 , ab+bc+ac > 0 , abc > Chøng minh r»ng a > 0 , b > 0 , c > 0 Gi¶i : Gi¶ sö a 0 th× tõ abc > 0 ⇒ a 0 do đó a < 0, Mà abc > 0 và a < 0 ⇒ cb < 0 Tõ ab+bc+ca > 0 ⇒ a(b+c) > -bc > 0, V× a < 0 mµ a(b +c) > 0 ⇒ b + c < 0 a < 0 vµ b +c < 0 ⇒ a + b +c < 0 tr¸i gi¶ thiÕt a+b+c > 0, VËy a > 0 t¬ng tù ta cã b > 0 , c > 0 VÝ dô 2: Cho 4 sè a , b , c ,d tháa m·n ®iÒu kiÖn ac 2.(b+d) .Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai: 2 2 , a <4 b c <4 d Gi¶i : Giả sử 2 bất đẳng thức : a2 < 4 b , c 2< 4 d đều đúng khi đó cộng các vế ta đợc, a2 +c 2 <4 (b +d) (1) 2 2 2 Theo gi¶ thiÕt ta cã 4(b+d) 2ac (2), Tõ (1) vµ (2) ⇒ (v« a +c <2 ac hay ( a − c ) <0 lý) Vậy trong 2 bất đẳng thức a2 < 4 b và c 2< 4 d có ít nhất một các bất đẳng thức sai VÝ dô 3 Cho x,y,z > 0 vµ xyz = 1. Chøng minh r»ng 1 1 1 NÕu x+y+z > th× cã mét trong ba sè nµy lín h¬n 1 + + x y z Gi¶i : Ta cã (x-1).(y-1).(z-1) =xyz – xy- yz + x + y+ z –1=x + y + z – ( 1 1 1 nªn (x-1).(y-1).(z-1) > 0 + + x y z Trong ba sè x-1 , y-1 , z-1 chØ cã mét sè d¬ng ThËt vËy nÕu c¶ ba sè d¬ng th× x,y,z > 1 ⇒ xyz > 1 (tr¸i gi¶ thiÕt) Còn nếu 2 trong 3 số đó dơng thì (x-1).(y-1).(z-1) < 0 (vô lý) theo gi¶ thiÕt x+y +z >. 1 1 1 + + ) v× xyz = 1 x y z.

(13) VËy cã mét vµ chØ mét trong ba sè x , y,z lín h¬n 1. PhÇn II. Bµi tËp ¸p dông. Bµi tËp 1. (Sö dông ph¬ng ph¸p lµm tréi).. a b c + + <2 . a+b b+c c +a a a b b c c , cộng vế ví vế ta đợc; < ; < ; < a+b+ c a+b a+b+ c b+c a+b +c c +a. Cho a,b,c lµ 3 sè d¬ng chøng minh r»ng: 1< HD. *Ta lu«n cã:. a b c a b c a+b +c + + > + + = =1. a+b b+c c + a a+ b+c a+ b+c a+b+c a+b +c a a a+c b b+a c c+ b *Ta l¹i cã: , <1 ⇒ < ; t¬ng tù ta cã: < ; < a+b a+b a+b+ c b+c a+ b+c c +a a+b+ c 2(a+ b+c ) a b c a+c b+a c +b Cộng vế với vế ta đợc: + + < + + = =2. a+b b+c c + a a+ b+c a+ b+c a+b+c a+ b+c Bµi tËp 2. (Sö dông ph¬ng ph¸p lµm tréi). 1 1 1 1 1 + 2 + 2 + 2 +. .. .+ 2 <1 Chøng minh r»ng víi mäi n > 1 th× 2 2 3 4 5 n 1 1 1 1 < = − HD. Víi n > 1 ta cã , nªn ta cã: 2 n − 1 n ( n− 1). n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n− 1 + 2 + 2 + 2 +. .. .+ 2 < − + − + − + − +. .. . .+ − =1− = <1 2 n −1 n n n 2 3 4 5 n 1 2 2 3 3 4 4 5 Bµi tËp 3. (Sö dông ph¬ng ph¸p lµm tréi). Chứng minh các bất đẳng thức với n là các số tự nhiên. 1 1 1 1 + + +. . .. .. .+ <1 ; a) 1 . 2 2. 3 3 . 4 (n −1). n 1 1 1 1 1 1 + 2 + 2 + 2 +. .. .+ 2 <2 − (n>1); b) 2 n 1 2 3 4 n 1 1 1 1 1 5 + 2 + 2 + 2 +. .. .+ 2 < . c) 2 1 2 3 4 n 3 HD. a) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n− 1 + + +. . .. .. .+ = − + − + − + − +. .. . .+ − =1− = <1 1 . 2 2. 3 3 . 4 n−1 n n n (n −1). n 1 2 2 3 3 4 4 5 n− 1 n− 1 Víi n > 1 th× <1 , víi n = 0 th× <1 . Vậy BĐT luôn đúng với n là số tự nhiên. n n 1 1 1 1 < = − b) Víi n > 1 ta cã , nªn ta cã: 2 n (n− 1) . n n − 1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + 2 + 2 + 2 +. .. .+ 2 < − + − + − + − +. .. . .+ − =1− <2 − ; 2 1 2 2 3 3 4 4 5 n −1 n n n 2 3 4 5 n 1 1 1 1 5 < = − c)Víi n = 0 th× 1 < Víi n > 1ta cã: , nªn ta cã: 2 3 n (n− 1). n n − 1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n− 1 + 2 + 2 + 2 +. .. .+ 2 < − + − + − + − +. .. . .+ − =1− = 2 1 2 2 3 3 4 4 5 n −1 n n n 2 3 4 5 n n− 1 5 3 n −3 5 n Ta ®i chøng minh < ⇔ < ⇔5 n − 3 n>−3 ⇔ 2 n>− 3,(n>1) , n 3 3n 3n 1 1 1 1 1 5 + + + +. .. .+ 2 < . víi n lµ sè tù nhiªn. VËy 12 22 3 2 4 2 n 3 Bµi tËp 4. (Sö dông tÝnh chÊt hai biÓu thøc cã tö thøc b»ng nhau BT nµo cã MT lín h¬n th× nhá h¬n).

(14) 2. 2. a)Cho a > b > 0 Chøng minh r»ng: a− b < a 2− b2 ; a+ b a +b từ đó áp dụng so sánh giá trị các phân thức: 2 2 b) 2000 −1999 < 20002 −19992 ; 2000+1999 2000 +1999 2 2 c) 1997 −1996 < 1997 2 − 19962 . 1997+1996 1997 + 1996 a+b ¿2 ¿ ¿ HD. a) v× a>b>1 vµ ( a+b )2> a2 +b 2 . 2 2 a− b ( a −b)(a+ b) a − b = = ¿ a+ b (a+ b)(a+b) 2. 2000+1999 ¿. ¿ ¿ 2000− 1999 (2000− 1999)( 2000+ 1999) 20002 −19992 VT = = = ¿ 2000+1999 (2000+1999)(2000+1999) 2 2 2 V× hai BT cã tö thøc b»ng nhau vµ 2000+1999 ¿ >2000 +1999 . ¿ c)T¬ng tù c©u a. b). Bµi tËp 5.( Sö dông B§T C« Si) Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) a2 +b 2+ c 2 ≥ ab+ bc+ca ; b) (a+ b)(b+c )(c +a)≥8 abc , víi a,b,c d¬ng; c) a2 +b 2+1 ≥ ab+a+ b d)Víi a, b, c lµ c¸c sè d¬ng ta lu«n cã: ( a+b +c ). ( 1a + b1 + 1c ) ≥ 9. ;. a b c 3 . + + ≥ b+c c +a a+b 2 HD. a) a2 +b 2+ c 2 ≥ ab+ bc+ca ⇔2 a2 +2 b2 +2 c 2 ≥ 2 ab+2 bc+ 2ca c − a ¿2 ≥ 0 c −a ¿ 2 ≥ 0 2 b − c ¿ +¿ v× b − c ¿ 2 ≥ 0 ; ¿ víi mäi a,b,c. a −b ¿ 2+ ¿ a −b ¿ 2 ≥ 0 ; ¿ ⇔¿ ¿ b)Với a,b,c dơng áp dung bất đẳng thức Cô Si ta có: (a+ b)(b+c )(c +a)≥2 √ ab .2 √ bc . 2 √ ca=8 √ a2 b2 c2 =8 abc . c) a2 +b 2+1 ≥ ab+a+ b ⇔2 a2 +2 b2 +2 ≥2 ab+2 a+ 2b ⇔ a2 −2 ab+b 2+ a2 − 2 a+1+b2 −2 b+1 ≥ 0 b −1 ¿2 ≥0 b − 1¿2 ≥ 0 2 a −1 ¿ +¿ v× a − 1¿ 2 ≥ 0 ; ¿ víi mäi a,b. a −b ¿ 2+ ¿ a −b ¿ 2 ≥ 0 ; ¿ ⇔¿ ¿ d) Với a,b,c dơng áp dung bất đẳng thức Cô Si ta có: 3 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 3 3 1 1 1 a+b +c ≥ 3 √ abc , + + ≥ 3 . . ⇒ ( a+ b+c ) + + ≥ 9 √ abc . . . =9 . a b c a b c a b c a b c 1 e)§Æt A=a+b , B=b+ c ,C=c +a , ta cã A + B+C=2(a+ b+c )⇒ a+b+ c= ( A+ B+C ) , 2 a b c a b c a+ b+c a+b+ c a+b+ c + + = +1+ +1+ +1 −3= + + −3 b+c c +a a+b b +c c +a a+b b+ c c +a a+ b ta cã: 1 1 1 1 1 1 1 ¿(a+ b+c ) + + −3= ( A+ B+C) + + −3 b+c c +a a+ b 2 A B C e) Víi a, b, c lµ c¸c sè d¬ng ta lu«n cã:. √. (. (. ). √. ). (. ).

(15) ta cã ( A+B+C). ( 1A + B1 + C1 ) ≥ 9. nªn. a b c 9 3 + + ≥ −3= . b+c c +a a+b 2 2. Bµi tËp 6.( Sö dông B§T C« Si). b) Cho. 1 1 4 ; + ≥ x y x+ y x ≥ 0 , y ≥ 1 , Chøng minh: x √ y −1+ y √ x −1 ≤ xy ;. c) Cho. x ≥ 0 , y ≥ 1 , z ≥2 , Chøng minh:. a) Cho. x , y >0 , Chøng minh:. 1 √ x+ √ y −1+ √ z − 2≤ ( x + y + z) .. 2 x+ y ¿ ≥ 4 xy HD. a)Víi x , y >0 ta cã x − y ¿ 2 ≥ 0 ⇔ x 2 − 2 xy+ y 2 ≥ 0 ⇔ x 2 − 2 xy+ 4 xy+ y 2 ≥ 4 xy ⇔ ¿ ¿ x+ y 4 x y 4 1 1 4 ⇔ (x+ y) ( x+ y ) ≥ 4 xy ⇔ ≥ ⇔ + ≥ ⇔ + ≥ . xy x + y xy xy x+ y x y x+ y b) Víi x ≥ 0 , y ≥ 1 ta cã: x √ y −1+ y √ x −1 ≤ xy ⇔ x √ y −1 + y √ x −1 ≤1 ⇔ √ y −1 + √ x −1 ≤ 1 , xy xy y x 1+ x − 1 x 1+ y −1 y ¸p dông B§T C« Si ta cã: 1. √ x −1 ≤ ,nªn ta cã: = ; 1 . √ y −1 ≤ = 2 2 2 2 √ x − 1 + √ y − 1 ≤ x . 1 + y . 1 = 1 + 1 =1 ;VËy x y −1+ y x −1 ≤ xy . √ √ y y 2 x 2 y 2 2 1 c) Víi x ≥ 0 , y ≥ 1 , z ≥2 , nªn ta cã: √ x+ √ y −1+ √ z − 2≤ (x + y + z) ⇔ 2 ⇔ x + y + z − 2 √ x − 2 √ y −1 −2 √ z −2 ≥ 0 ⇔ x − 2 √ x +1+ y − 1− 2 √ y −1+1+ z − 2− 2 √ z − 2+1≥ 0 ( √ x −1 )2 + ( √ y −1 −1 )2 + ( √ z − 2− 1 )2 ≥ 0 v× ( √ x −1 )2 ≥ 0, ( √ y −1 −1 )2 ≥0, ( √ z − 2− 1 )2 ≥ 0 . 2. Bµi tËp 7.( Sö dông B§T C« Si) Cho a, b, c lµ c¸c sè kh«ng ©m tho¶ m·n: a+b +c=1 . Chøng minh: a) √ a+1+ √ b+1+ √ c +1≤ 3,5 ; b) √ a+b+ √b +c + √ c+ a ≤ √ 6 . HD.a)Ta nhìn tổng a + 1 dới tích 1.( a + 1 ) và áp dụng bất đẳng thức Cô-si âm ta đợc:. √ a+1= √1 .(a+1)≤. √ xy ≤. 1+ a+1 a 1+b+ 1 b = +1, √ b+ 1=√ 1.( b+1) ≤ = +1 , 2 2 2 2. 1+ c+1 c = +1 ,cộng từng vế của ba bất đẳng thức ta đợc: 2 2 a b c a+b+ c +3 √ a+1+ √ b+1+ √ c +1≤ + + + 3 ⇔ √ a+1+ √ b+1+ √ c +1≤ 2 2 2 2 1 3 ⇔ √ a+1+ √b+ 1+ √ c+1 ≤ + 3 ⇔ √ a+1+ √ b+1+ √ c +1 ≤ 2 2 b) áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-xki với hai bộ ba số 1 ta đợc: √ c +a ¿ 2 √ b+ c ¿2 +¿ ¿ ⇒ √ a+b + √ b+c + √ c +a ≤3 (a+ b+b+ c+c+a)=3 .2( a+b+c)=6 √ a+b ¿ 2+¿ ¿ ¿ 1. √ a+b +1. √ b+c +1 . √c +a ≤(1+1+1)¿. √ c+ 1=√ 1.(c+1)≤. Bµi tËp 8.( Sö dông H§T) Cho a , b , c ≥ 0 ,Chøng minh r»ng:. 1 1 1 1 1 1 + + ≥ + + . a b c √ ab √ bc √ ca. x+ y víi x,y kh«ng 2.

(16) 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 + + ≥ + + ⇔ + + − − − ≥0 . a b c √ ab √ bc √ ca a b c √ ab √ bc √ ca 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 − + − + − ≥ 0 v× − ≥ 0, − ≥ 0, − ≥0 . √a √b √b √ c √c √a √a √b √b √ c √c √a. HD. Víi a , b , c ≥ 0 , ta cã:. (. ) (. )(. ). (. Bµi tËp 9. Cho a, b, c lµ c¸c sè d¬ng tuú ý.Chøng minh r»ng:. ) (. ) (. ab bc ca a+ b+c . + + ≤ a+b b+c c + a 2. a+b ¿ 2 ≥ 4 ab ⇔(a+b)(a+b)≥ 4 ab HD.Ta cã a −b ¿2 ≥ 0 ⇔ a2 −2 ab+b 2 ≥ 0 ⇔¿ ¿ a+b 2ab b+c 2 bc c+ a 2 ca ,t¬ng tù ta cã: , cộng vế với vế ta đợc: ⇔ ≥ ≥ , ≥ 2 a+b 2 b +c 2 c+ a a+b b+c c + a 2ab 2 bc 2 ca 2(a+ b+c) 2 ab 2 bc 2 ca + + ≥ + + ⇔ ≥ + + 2 2 2 a+ b b +c c +a 2 a+ b b+ c c+ a ab bc ca ab bc ca a+ b+c ⇔2 . + + ≤ a+b+ c ⇔ + + ≤ a+ b b+ c c+ a a+b b +c c +a 2. (. ). Bµi tËp 10. ( Sö dông B§T C«-Si) Cho a, b, c là các số dơng.Chứng minh các bất đẳng thức: 2 2 2 a) a + b + c ≥ a+ b+c . b+c c +a a+b 2 2 2 2 a b c a+ b+c ; b) + + ≥ a+b b+c c + a 2 2 2 2 2 a b c d a+b+ c+ d c) + + + ≥ ,(d> 0) . a+b b+c c +d d+ a 2 HD. a)áp dụng bất đẳng thức Cô-si: x+ y ≥ 2 √ xy , x , y ≥ 0 .Theo bất đẳng thức Cô-si ta có: a2 b+ c a2 b+ c a a2 b+c + ≥2 . =2 =a⇒ ≥a− ; b+ c 4 b+ c 4 2 b+ c 4 b2 c +a b2 c+ a b b2 c +a + ≥2 . =2 =b ⇒ ≥b− ;; c+ a 4 c+ a 4 2 c+ a 4 2 2 2 c a+b c a+b c c a+b + ≥2 . =2 =c ⇒ ≥c − a+b 4 a+b 4 2 a+b 4 2 2 2 a b c b+ c c +a a+b Cộng vế với vế ta đợc: + + ≥ a+b+ c − − − b+c c +a a+b 4 4 4 2 2 2 2 2 a b c a+ b+c a+b+ c .vËy a b c2 a+ b+c + + ≥ a+b+ c − = + + ≥ b+c c +a a+b 2 2 b+c c +a a+b 2 b)T¬ng tù c©u a) ta cã: a2 a+b a2 a+b a a2 a+b + ≥2 . =2 =a ⇒ ≥a − ; a+b 4 a+b 4 2 a+b 4 b2 b+c b2 b+c b b2 b+ c + ≥2 . =2 =b ⇒ ≥b − ; b+ c 4 b+ c 4 2 b+ c 4. √ √ √ √ √ √. c 2 c +a c 2 c+ a c c2 c+ a + ≥2 . =2 =c ⇒ ≥c − ; c+ a 4 c+ a 4 2 c+ a 4 a2 b2 c2 b+ c c +a a+b Cộng vế với vế ta đợc: + + ≥ a+b+ c − − − a+b b+c c + a 4 4 4 2 2 2 2 2 a b c a+ b+c a+b+ c .vËy a b c 2 a+ b+c . + + ≥ a+b+ c − = + + ≥ a+b b+c c + a 2 2 a+b b+c c + a 2. ).

(17) c) Lµm t¬ng tù c©u a, b. Bµi tËp 11. ( Sö dông B§T C«-Si) Cho a, b, c là các số dơng.Chứng minh các bất đẳng thức: a b c + + >2 . b+ c a+c a+ b HD. áp dụng bất đẳng thức Cô-si: x+ y ≥ 2 √ xy , x , y ≥ 0 .ta có: b+ c b+ c a+ b+c a 2a .1 ≤ +1 :2= ⇒ ≥ a a 2a b+ c a+b +c b 2b c 2c T¬ng tù ta cã: , cộng vế với vế ta đợc: ≥ ; ≥ a+ c a+ b+c a+b a+ b+c 2(a+b+ c) a b c 2a 2b 2c + + ≥ + + = =2 b+ c a+c a+ b a+b+ c a+b+ c a+b+ c a+b+ c a=b+c Dấu (=) xảy ra khi và chỉ khi: b=a+c ⇒ a+b +c=0 , trái với giả thiết a,b,c là ba số dơng.Vậy đẳng thức c=a+ b. √ √ √ √ ( ) √ √ √ √. √. √. {. kh«ng x¶y ra.VËy. a b c + + >2 . b+ c a+c a+ b. √ √ √. Bµi tËp 12. ( Sö dông B§T C«-Si) Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác.Chứng minh rằng: a) ab+ bc+ ca ≤ a2 +b2 +c 2 <2(ab + bc+ca) ; b) abc>(a+ b −c )(a+ c −b)(b+c −a) ; a b c c) + + <2 ; b+c c +a a+b d) 2 a2 b2 +2 b2 c2 +2 c 2 a2 −(a 4 +b 4 +c 4 )>0 ; 2 3 3 3 a −b ¿ + 4 abc ≥a + b +c 2 c − a¿ + c ¿ e) ; 2 b − c ¿ +b ¿ a¿ 2 f) a b(a −b)+b2 c (b − c)+c 2 a( c − a)≥ 0 ; g) a3 +b 3+ c 3+ abc ≥ a(b 2+ c 2)+b(c 2+ a2)+ c(a2 +b2 )>a3 +b 3+ c 3+2 ab . HD. a) * a2 +b 2+ c 2 ≥ ab+ bc+ca ⇔ 2 a2 +2 b2 +2 c 2 ≥ 2 ab+2 bc+ 2ca 2 c−a¿ ≥0 c −a ¿ 2 ≥ 0 2 b − c ¿ +¿ v× b − c ¿ 2 ≥ 0 ; ¿ víi mäi a,b,c. 2 a −b ¿ + ¿ a −b ¿ 2 ≥ 0 ; ¿ ⇔¿ ¿ * a2 +b 2+ c 2<2(ab+ bc+ca ); Ta cã: a+b − c >0 ⇒c (a+ b −c )>0 ⇒ ac+ bc >c 2 b+c −a> 0⇒ a( b+c − a)>0 ⇒ab+ ac> a2 a+b − c >0 ⇒b (c+ a −b)>0 ⇒ bc+ ab>b 2 Cộng vế với vế ta đợc: a2 +b 2+ c 2<2( ab+ bc+ca ) . Bài tập 13 ( Bài tập dùng định nghĩa) HD 1) Cho abc = 1 vµ. a2 +¿ b2+c2> ab+bc+ac a3 >36 . . Chøng minh r»ng 3.

(18) 2. 2. 2. 2. a a a a +¿ b2+c2- ab- bc – ac = +¿ +¿ b2+c2- ab- bc – ac = ( +¿ b2+c23 4 12 4 2 3 3 a a ab– ac+ 2bc) + a − 3bc =( -b- c)2 + a − 36 abc =( -b- c)2 + a − 36 abc >0 (v× abc=1 2 2 12 12 a 12 a vµ a3 > 36 nªn a >0 ) 2 VËy : a +¿ b2+c2> ab+bc+ac §iÒu ph¶i chøng minh 3 2) Chøng minh r»ng a) x 4 + y 4 + z 2 +1 ≥2 x .( xy 2 − x + z +1) b) víi mäi sè thùc a , b, c ta cã a2 +5 b2 − 4 ab+2 a − 6 b+3>0 2 2 c) a +2 b −2 ab+2 a − 4 b+2 ≥ 0 Gi¶i : a) XÐt hiÖu H = x 4 + y 4 + z 2 +1 −2 x 2 y 2+ 2 x 2 − 2 xz − 2 x = ( x 2 − y 2) 2+ ( x − z )2 + ( x −1 )2 H 0 ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh b) VÕ tr¸i cã thÓ viÕt H = ( a −2 b+1 )2 + ( b − 1 )2+1 ⇒ H > 0 ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh c) vÕ tr¸i cã thÓ viÕt H = ( a −b +1 )2+ ( b −1 )2 0 ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh ⇒ H Ta cã hiÖu:. Bài tập 14 ( Bài tập dùng biến đổi tơng đơng) 2. ( x2 + y 2 ) HD. 1) Cho x > y vµ xy =1 .Chøng minh r»ng ≥8 2 (x− y). Gi¶i : 2 2 2 2 Ta cã x + y =( x − y ) +2 xy =( x − y ) +2 Do đó BĐT cần chứng minh tơng đơng với ⇔ chøng minh. ( x − y )4 −4 ( x − y )2 + 4 ≥ 0. ⇔. 2 (v× xy = 1) ⇒ ( x 2+ y 2) =( x − y )4 +4 . ( x − y )2 +4 ( x − y )4 +4 ( x − y )2 + 4 ≥ 8. ( x − y )2 2 [ ( x − y )2 − 2 ] ≥ 0 BĐT cuối đúng nên ta có điều phải. 1 1 2 + ≥ 2 2 1+ x 1+ y 1+ xy 1 1 1 1 1 1 2 − + − ≥0 + ≥ Gi¶i : Ta cã ⇔ 2 2 2 2 2 1+ xy 1+ xy 1+ x 1+ y 1+ y 1+ x 1+ y 2 2 x(y −x) y(x− y) xy − x xy − y + ≥0 + ≥0 ⇔ ⇔ 2 2 2 ( 1+ x ) . (1+ xy ) ( 1+ y 2 ) . ( 1+ xy ) ( 1+ x ) . (1+ xy ) ( 1+ y ) . ( 1+ xy ) ( y − x )2 ( xy −1 ) ≥ 0 BĐT cuối này đúng do xy > 1 .Vậy ta có điều phải chứng minh ⇔ ( 1+ x 2 ) . ( 1+ y 2) . ( 1+xy ). 2) Cho xy. 1 .Chøng minh r»ng:. (. )(. ). Bài tập 15 ( Bài tập dùng bất đẳng thức phụ ) HD 1) Cho a , b, c lµ c¸c sè thùc vµ a + b + c = 1Chøng minh r»ng. 2. 2. 2. a +b + c ≥. 1 3. Gi¶i ¸p dông B§T BunhiaC«pski cho 3 sè (1,1,1) vµ (a,b,c) Ta cã ( 1. a+1 . b+1 . c )2 ≤ ( 1+1+1 ) . ( a2 +b2 +c 2 ) ⇔ ( a+b +c )2 ≤ 3 . ( a2 +b2 +c 2 ) 1 (v× a+b+c =1 ) (®pcm) a2 +b 2+ c 2 ≥ ⇔ 3 1 1 1 2) Cho a,b,c lµ c¸c sè d¬ng : Chøng minh r»ng ( a+b +c ) . + + ≥ 9 (1) a b c a a b b c c a b a c b c Gi¶i : (1) ⇔ 1+ + + +1+ + + +1≥ 9 ⇔ 3+ + + + + + ≥ 9 b c a c a a b a c a c b x y ¸p dông B§T phô Với x,y > 0 Ta có BĐT cuối cùng luôn đúng + ≥2 y x 1 1 1 VËy ( a+b +c ) . + + ≥ 9 (®pcm). a b c. (. (. (. ). ) )( )( ).

(19) Bµi tËp 16 ( Bµi tËp dïng Ph¬ng ph¸p b¾c cÇu) HD 1) Cho 0 < a, b,c <1 .Chøng minh r»ng : 2 a3 +2 b3 +2 c 3<3+ a2 b+b 2 c +c 2 a Gi¶i Do a <1 ⇒ a2 <1 vµ b <1, nªn ( 1− a2 ) . ( 1− b2 ) >0 ⇒1+ a2 b − a2 −b> 0 2 3 3 hay 1+a2 b> a2+ b (1) MÆt kh¸c 0 <a,b <1 ⇒ ; a >a b>b ⇒ 1+a2 >a 3+ b3 VËy a3 +b 3< 1+ a2 b 3 3 2 3 3 3 2 2 2 T¬ng tù ta cã b3 +c 3 <1+b2 c (®pcm) ⇒ 2 a +2 b +2 c <3+ a b+b c +c a a +c <1+c a 2) So s¸nh 31 ❑11. vµ 17 ❑14.  . 11.  . 11 3211  25 255  256 256 2 4.14  24 Gi¶i :Ta thÊy 31 < , MÆt kh¸c VËy 31 ❑11 < 17 ❑14 (®pcm). 14. 1614  1714. Bµi tËp 17 ( Bµi tËp dïng tÝnh chÊt tØ sè) 2. a b b c cd d a    3 a b c b c  d c  d  a d a b. HD 1) Cho a ,b ,c ,d > 0 .Chøng minh r»ng Gi¶i :V× a ,b ,c ,d > 0 nªn ta cã: a b a b a b d b  c bc bc a     a  b  c  d a  b  c a  b  c  d (1) a  b  c  d b  c  d a  b  c  d (2) d a d a d a c   a  b  c  d d  a  b a  b  c  d (3 Cộng các vế của 4 bất đẳng thức trên ta có : a b b c cd d a 2    3 a b c b c d c  d  a d a b (®pcm) a b c   2 b c c a a b 2) Cho a ,b,c lµ sè ®o ba c¹nh tam gi¸c, Chøng minh r»ng Gi¶i :V× a ,b ,c lµ sè ®o ba c¹nh cña tam gi¸c nªn ta cã a,b,c > 0, Vµ a < b +c ; b <a+c ; c < a+b a a a 2a a a     b  c a  b  c a  b  c MÆt kh¸c b  c a  b  c Tõ (1) a a 2a b b 2b     VËy ta cã a  b  c b  c a  b  c T¬ng tù ta cã a  b  c a  c a  b  c c c 2c   a  b  c b  a a  b  c Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có : a b c 1   2 b c c a a b (®pcm) 1. Bµi tËp 18 ( Bµi tËp ¸p dông ph¬ng ph¸p lµm tréi) HD 1) Chøng minh B§T sau : 1 1 1 1   ...   (2n  1).(2n  1) 2 ; a) 1.3 3.5. 1. 1 1 1   ...  2 1.2 1.2.3 1.2.3.....n. b) 2 k  1  (2 k  1)  1 1  1 1 1   .    2n  1 .  2n  1 2 (2k  1).(2k  1) 2  2k  1 2k 1   Gi¶i : a) Ta cã Cho n chạy từ 1 đến k .Sau đó cộng lại ta có 1 1 1 1  2  1   ...   . 1   1.3 3.5 (2n  1).(2 n 1) 2  2 n 1  2 (®pcm).

(20) 1. 1 1 1 1 1 1   ...   1   .....  1.2 1.2.3 1.2.3.....n 1.2 1.2.3  n  1 .n. b) Ta cã 1 1  1  1 1  1 1   1        ....     2 2 n  2  2 3  n 1 n < (®pcm) Bài tập 19 ( Bài tập áp dụng bất đẳng thức để tìm cực trị) HD dùng bất đẳng thức để tìm cc trị Lu ý - NÕu f(x)  A th× f(x) cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ A - NÕu f(x)  B th× f(x) cã gi¸ trÞ lín nhÊt lµ B VÝ dô 1 : T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| Gi¶i :Ta cã |x-1| + |x-4| = |x-1| + |4-x|  |x-1+4-x| = 3 x  2  x  3  x  2  3  x  x  2  3  x 1 Vµ VËy T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4|  1+3 = 4 Ta cã tõ (1)  DÊu b»ng x¶y ra khi 1  x 4 (2)  DÊu b»ng x¶y ra khi 2 x 3 VËy T cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ 4 khi 2 x 3. (1) (2). VÝ dô 2 : T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña S = xyz.(x+y).(y+z).(z+x) víi x,y,z > 0 vµ x+y+z =1 1 1 3 xyz   xyz   3 3 xyz 3 27 Gi¶i : V× x,y,z > 0 ,¸p dông B§T C«si ta cã x+ y + z  2 3 3  x  y  .  y  z  .  z  x  áp dụng bất đẳng thức Côsi cho x+y ; y+z ; x+z ta có 1 8 1 8 .  DÊu b»ng x¶y ra khi x=y=z= 3 , VËy S  27 27 729 8 1 VËy S cã gi¸ trÞ lín nhÊt lµ 729 khi x=y=z= 3 4 4 4 VÝ dô 3 : Cho xy+yz+zx = 1, T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña x  y  z Gi¶i : ¸p dông B§T Bunhiacèpski cho 6 sè (x,y,z) ;(x,y,z).  xy  yz  zx  Ta cã. 2.  x2  y2  z2. . . 2. 2.  1  x2  y 2  z 2. . 2. . 2. (1). 2. Ap dông B§T Bunhiacèpski cho ( x , y , z ) vµ (1,1,1) ( x 2  y 2  z 2 )2 (12  12  12 )( x 4  y 4  z 4 ) Ta cã.  ( x 2  y 2  z 2 ) 2 3( x 4  y 4  z 4 ) 4. 4. 4. Tõ (1) vµ (2)  1 3( x  y  z ).  x4  y 4  z 4 . 1 3. 3 1  VËy x  y  z cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ 3 khi x=y=z= 3 VÝ dô 4 :Trong tam gi¸c vu«ng cã cïng c¹nh huyÒn , tam gi¸c vu«ng nµo cã diÖn tÝch lín nhÊt Gi¶i : Gäi c¹nh huyÒn cña tam gi¸c lµ 2a §êng cao thuéc c¹nh huyÒn lµ h H×nh chiÕu c¸c c¹nh gãc vu«ng lªn c¹nh huyÒn lµ x 1 .  x  y  .h a.h a. h 2 a. xy Ta cã S = 2 Vì a không đổi mà x+y = 2a  x  y VËy S lín nhÊt khi x.y lín nhÊt VËy trong c¸c tam gi¸c cã cïng c¹nh huyÒn th× tam gi¸c vu«ng c©n cã diÖn tÝch lín nhÊt 4. 4. 4.

(21) Bài tập 20 ( Bài tập áp dụng bất đẳng thức để giải PT, HPT. 2 2 2 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh sau 4 3 x  6 x  19  5 x  10 x  14 4  2 x  x 2 2 2 Gi¶i :Ta cã 3x  6 x  19 3.( x  2 x  1)  16 3.( x  1)  16 16 2. 5 x 2  10 x  14 5.  x  1  9 9 2 2 VËy 4. 3 x  6 x 19  5 x  10 x  14 2  3 5 DÊu ( = ) x¶y ra khi x+1 = 0  x = -1 2 2 2 VËy 4 3 x  6 x  19  5 x  10 x  14 4  2 x  x VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = -1. khi x = -1. 2 2 VÝ dô 2 :Gi¶i ph¬ng tr×nh x  2  x 4 y  4 y  3. Gi¶i :¸p dông B§T BunhiaCèpski ta cã :. x  2  x 2  12  12 . x 2   2  x 2   2. 2 2. 1 4 y  4 y  3  2 y  1  2 2 DÊu (=) x¶y ra khi x = 1 , MÆt kh¸c , DÊu (=) x¶y ra khi y = - 2  x 1   1 1 y  2 2  2 VËy x  2  x 4 y  4 y  3 2 khi x =1 vµ y =- 2 , VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ  2. 2.  x  y  z 1  4 4 4 VÝ dô 3 :Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh sau:  x  y  z xyz Gi¶i : ¸p dông B§T C«si ta cã x4  y 4 y 4  z 4 z 4  x4 x4  y4  z4    2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y  y z  z x x2 y 2  y 2 z 2 z 2 y2  z 2 z 2 x2 z 2  y 2 x2    2 2 2 2 2 2  y xz  z xy  x yz  xyz.( x  y  z ) 1 V× x+y+z = 1, Nªn x  y  z  xyz , DÊu (=) x¶y ra khi x = y = z = 3  x  y  z 1 1  4 4 4 VËy  x  y  z  xyz cã nghiÖm x = y = z = 3 4. 4. 4.  xy  4 8  y 2  xy 2  x 2 VÝ dô 4 : Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh sau  Tõ ph¬ng tr×nh (1).  8  y 2 0 hay y  8. (1) (2).

(22)  x 2  2 2 x  22 0  (x . 2) 2 0.  x  2 2.  x  2  x . y 2 2 x  x  2 Tõ ph¬ng tr×nh (2) NÕu x = 2 th× y = 2 2 NÕu x = - 2 th× y = -2 2. VËy hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm.  x  2   y  2. vµ.  x 2 2   y  2 2. Bài tập 20 ( Bài tập áp dụng bất đẳng thức để giải phơng trình nghiệm nguyên. 2 2 2 1) T×m c¸c sè nguyªn x,y,z tho¶ m·n x  y  z xy  3 y  2 z  3 2 2 2 Gi¶i :V× x,y,z lµ c¸c sè nguyªn nªn x  y  z  xy  3 y  2 z  3.  x 2  y 2  z 2  xy  3 y  2 z  3 0  2  y2   3y 2   x  xy      3 y  3   z 2  2 z  1 0 4   4  . . 2. 2. . 2. 2. y y 2 2  y   y    x    3   1   z  1 0 x    3   1   z  1 0  2 2  2  2  (*) Mµ   x 1  2 2  y 2 y 2  y    x    3   1   z  1 0  z 1 2  2  C¸c sè x,y,z ph¶i t×m lµ  1 1 1   2 VÝ dô 2: T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh x y z. x, y  R. 1 1 1 3 2      2 z 3 x y z z Gi¶i : Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta gi¶ sö x  y z Ta cã 1 1  1 Mà z nguyên dơng vậy z = 1, Thay z = 1 vào phơng trình ta đợc x y 1 1 1   y  y 2 mµ y nguyªn d¬ng Theo gi¶ sö x y nªn 1 = x y Nªn y = 1 hoÆc y = 2 Víi y = 1 kh«ng thÝch hîp Víi y = 2 ta cã x = 2 VËy (2 ,2,1) lµ mét nghiÖm cña ph¬ng tr×nh Hoán vị các số trên ta đợc các nghiệm của phơng trình là (2,2,1) ; (2,1,2) ; (1,2,2) VÝ dô 3 : T×m c¸c cÆp sè nguyªn tho¶ m·n ph¬ng tr×nh x  x  y (*) Gi¶i : (*) Víi x < 0 , y < 0 th× ph¬ng tr×nh kh«ng cã nghÜa (*) Víi x > 0 , y > 0 Ta cã. x  x y . x  y2  x  0 2. k 2  k  k  1   k  1  k  y  k 1 §Æt x k (k nguyªn d¬ng v× x nguyªn d¬ng Ta cãNhng Mµ gi÷a k vµ k+1 lµ hai sè nguyªn d¬ng liªn tiÕp kh«ng tån t¹i mét sè nguyªn d¬ng nµo c¶ Nªn kh«ng cã cÆp sè nguyªn d¬ng nµo tho¶ m·n ph¬ng tr×nh ..

(23)  x 0  VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt lµ :  y 0 Bµi tËp 21 CMR : (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) ≥ (ax + by +cz)2 ( B§T Bunhiac«pxki cho 2 bé 3 sè a, b, c vµ x, y, z). Gi¶I XÐt hiÖu : (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) - (ax + by +cz)2 =a2x2+a2y2+a2z2+b2x2+b2y2+b2z2+c2x2+c2y2+c2z2- a2x2- b2y2- c2z2-2abxy-2acxz-2bcyz =(a2y2-2abxy+b2x2)+(a2z2–2acxz+c2x2)+(b2z2-2bcyz+ c2y2) =(ay - bx)2+ (az - cx)2+ (cy - bz)2 ≥ 0 a b c DÊu “=” x¶y ra khi = = x y z B»ng c¸ch lµm t¬ng tù ta cã thÓ ph¸t triÓn bµi to¸n B§T Bunhiac«pxki tæng qu¸t: (a21 + a22 +…+ a2n)(x21 + x22 +…+ x2n) ≥ (a1x1 + a2x2 +…+ anxn )2 a1 a2 an DÊu “=” x¶y ra khi = =. ..= x1 x2 xn 1 Để ý rằng nếu a và x là 2 số nghịch đảo của nhau thì ax = 1 (x = ) a Từ bài toán 2 ta có thể đặt ra bài toán: 1 1 1 Bµi tËp 22 Cho ba sè a, b, c lµ 3 sè d¬ng Chøng minh r»ng: (a + b + c)( + + )≥9 a b c Gi¶I Theo bµi to¸n 2 (B§T Bunhiac«pxki): (a + b + c)(. 1 1 1 1 1 1 +√ b + √c )  (a + b + c)( + + ) ≥ (√ a a b c √a √b √c. 1 1 1 + + )≥ a b c. 32 = 9 Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.Từ bất đẳng thức (x+ y+ z)(. 1 1 1 + + )≥ 9 x y z. 1 1 1 + + )≥ 9 a+b b+c c+ a a b c 3 + + ≥ b+c a+c b+a 2. Đặt a + b = X; b + c = Y; c + a = Z ta đợc BĐT: 2(a + b + c)(  (. a b c + + +3) ≥ 9  b+c a+c b+a.

(24)

PP chung minh BDT

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về