su dung so phuc trong dai so

<span class='text_page_counter'>(1)</span>SỬ DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ. A. ĐẶT VẤN ĐỀ Trong chương trình phổ thông, Đại số (phương trình , hệ phương trình, bất đẳng thức, lượng giác, ...) là một trong những nội dung trọng tâm, xuyên suốt quá trình , nó có mặt hầu hết trong các kì thi Đại học, Cao đẳng và Trung học chuyên nghiệp cũng như trong các kỳ thi học sinh giỏi trong những năm gần đây. Việc giải các bài toán về Đại số có nhiều phương pháp như : biến đổi tương đương , đặt ẩn phụ , lượng giác hoá , hình học…, mặc dù có nhiều cách giải như thế , nhưng đứng trước các bài toán dạng này vẫn còn nhiều học sinh lúng túng, chưa đưa ra được lời giải , hoặc đưa lời giải chưa chính xác . Nhiều học sinh bây giờ đang còn học theo kiểu “làm nhiều rồi quen dạng , làm nhiều rồi nhớ”, nếu học như thế sẽ không phát triển được tư duy sáng tạo, sẽ không linh hoạt khi đứng trước một tình huống mới lạ hay một bài toán tổng hợp . Vì lí do đó, để giúp học sinh tháo gỡ những vướng mắc trên , nhằm nâng cao chất lượng dạy và học, đáp ứng nhu cầu đổi mới giáo dục và giúp học sinh có thêm phương pháp trong giải toán ,tôi đã quyết định lấy đề tài : “Sử dụng số phức vào giải một số bài toán Đại số ”. Với đề tài này tôi hy vọng sẽ giúp cho học sinh dễ dàng nắm bắt và vận dụng thành thạo số phức vào giải toán nói chung , giải các bài toán về Đại số nói riêng . B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I. Cơ sở lý luận của vấn đề Trong chương trình THPT số phức được đưa vào và giảng dạy ở lớp 12. Sự ra đời của số phức là do nhu cầu mở rộng của tập hợp số, số phức là cầu nối hoàn hảo giữa các phân môn Đại số, Lượng giác, Hình học và giải tích (thể hiện rõ qua công thức ei  1  0 ). Khi làm toán trên số phức học sinh sẽ dễ dàng thực hiện được vì các định nghĩa và phép toán trong chương trình khá cơ bản. Với những tính chất cơ bản của số phức, khi giảng dạy nội dung này giáo viên có nhiều hướng khai thác, phát triển bài toán tạo nên sự lôi cuốn, hấp dẫn người học. Bằng việc kết hợp các tính chất của số phức với một số kiến thức đơn giản về lượng giác, giải tích, đại số và hình học giáo viên có thể xây dựng được khá nhiều dạng toán với nội dung hấp dẫn và hoàn toàn mới mẻ. Để giúp học sinh có sự nhìn sâu và rộng hơn về số phức và thấy được mối liên hệ mật thiết giữa số phức với Đại số, Lượng giác, Hình học và giải tích, trong quá trình giảng dạy tôi luôn tìm tòi khai thác và kết hợp các kiến thức khác về toán học để xây dựng các bài tập cho học sinh. II. Thực trạng của vấn đề Khái niệm về số phức và các phép toán là một trong những khái niệm cơ bản , đơn giản . Học sinh dễ dàng biết được việc thực hiện các phép toán về số phức ở dạng đại số cũng như dạng lượng giác và việc giải phương trình bậc hai. Nguyễn Văn Mạnh. 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> SỬ DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ. Khi sử dụng định nghĩa hai số phức bằng nhau bằng cách tách phần thực, phần ảo sẽ cho ta một hệ phương trình, khi sử dụng công thức Moa-vrơ ta sẽ thấy được mối liên hệ giữa số phức với các biểu thức về lượng giác cũng như các biểu thức về Cnk trong khai triển nhị thức Niu-Tơn và khi sử dụng tính chất về môđun của số phức ở dạng bất đẳng thức sẽ cho ta các bất đẳng thức đại số tương ứng... . Điều đó chứng tỏ rằng số phức liên hệ rất gần gũi với các bài toán về đại số, nên ta có thể khai thác số phức như một công cụ để giải toán. Tuy nhiên việc vận dụng vấn đề này vào giải các bài toán đại số thì học sinh vẫn chưa thành thạo, còn lúng túng. Hướng dẫn các em vận dụng tốt phần này sẽ tạo cho các em có thêm phương pháp, có sự linh hoạt hơn trong việc giải quyết các dạng toán về đại số. Trước khi áp dụng đề tài này vào dạy học, tôi đã khảo sát chất lượng học tập của Học sinh (về vấn đề sử dụng số phức vào giải một số bài toán đại số). Đã thu được kết quả như sau : Sĩ Giỏi Khá TB Yếu Kém Lớp số SL % SL % SL % SL % SL % 12A3 50 3 6 18 36 28 56 1 2 0 0 12A6 54 2 4 16 30 34 63 2 3 0 0 12 B5 52 1 2 10 19 33 63 8 16 0 0 Như vậy số lượng Học sinh nắm bắt các dạng này không nhiều do chưa có được nguồn kiến thức và kĩ năng cần thiết . Thực hiện đề tài này tôi đã khai thác việc sử dụng số phức thông qua các ứng dụng cụ thể và bài tập tương ứng cho mỗi ứng dụng đó . Cuối cùng là bài tập tổng hợp để học sinh vận dụng các tính chất đã được học vào giải quyết . Do khuôn khổ đề tài có hạn nên tôi chỉ đưa ra được bốn ứng dụng để giải quyết một số bài toán về đại số đó là: ứng dụng giải hệ phương trình, ứng dụng trong việc chứng minh bất đẳng thức, ứng dụng trong việc chứng minh các đẳng thức lượng giác và ứng dụng trong việc tính tổng các biểu thức chứa Cnk (số các tổ hợp chập k của n ). III. Giải pháp tổ chức thực hiện Thực hiện đề tài này về nội dung tôi chia làm ba phần : Phần 1 . Nêu các kiến thức cơ bản sử dụng trong đề tài Phần 2 . Nêu các ứng dụng Phần 3 . Giải một số bài toán về đại số thông qua các bài tập tương ứng cho mỗi ứng dụng. Sau đây là nội dung cụ thể : Phần 1. Các kiến thức cơ bản Các kiến thức cơ bản sử dụng trọng đề tài bao gồm các định nghĩa và tính chất từ sách giáo khoa mà học sinh đã được học. 1. Định nghĩa * Một số phức là một biểu thức dạng a + bi , trong đó a , b là những số thực và i là số thỏa mãn i 2  1 . Kí hiệu số phức đó là z và viết z  a  bi Nguyễn Văn Mạnh. 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> SỬ DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ. i được gọi là đơn vị ảo , a được gọi là phần thực , b được gọi là phần ảo của số phức z  a  bi . * Hai số phức z1  a  bi ; z 2  c  di gọi là bằng nhau nếu a = c , b = d . Khi đó ta viết z1  z2 . * Cho z  a  bi , ta có số phức liên hợp của z là z  a  bi , môđun của z là z  a 2  b 2 . * Với mọi số phức z1 ; z2 ; z3 ta có: z1  z2  z1  z2 và z1  z2  z3  z1  z2  z3 . 2. Phương trình bậc hai Dạng : Az2  Bz  C  0 , trong đó A, B , C là những số phức A  0 Cách giải Xét biệt thức   B 2  4 AC * Nếu   0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt B   B   z1  , z2  (trong đó  là một căn bậc hai của  ) 2A 2A B * Nếu   0 thì phương trình có nghiệm kép z1  z2   . 2A 3. Dạng lượng giác của số phức * Mỗi số phức z đều có thể viết được dưới dạng z  r (cos  isin ) ( trong đó r là môđun của z và  là một acgumen của z ) được gọi là dạng lượng giác của số phức. * Nếu z  r (cos  isin ) thì z có ba căn bậc ba là     2   2   4   4 3 r (cos  i.sin ) , 3 r (cos  i.sin ) , 3 r (cos  i.sin ) 3 3 3 3 3 3 * Nếu z  r(cos  isin) thì zn  r n (cos n  i sin n) (n  N* ) (công thức Moa-vrơ). 4. Công thức nhị thức Niu-tơn n  a  b   Cn0 an  Cn1an 1b  ...  Cnk an k b k  ..  Cnn bn . n. Hệ quả 1  x   Cn0  Cn1 x  ...  Cnk x k  ..  Cnn x n . 5. Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân Cho  un  là một cấp số nhân với công bội q  1 , ta có. u1 (1  q n ) u1  u2  ...  un  1 q Phần 2. Các ứng dụng của số phức 1. Ứng dụng giải hệ phương trình Kiến thức sử dụng  A( x ; y )  B ( x; y ) * Hệ pt   A( x; y )  iC( x; y )  B( x; y)  iD( x; y ) . C ( x ; y )  D ( x ; y ) . Nguyễn Văn Mạnh. 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> SỬ DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ. * Nếu z  r (cos  isin ) thì z có ba căn bậc ba là     2   2   4   4 3 r (cos  i.sin ) , 3 r (cos  i.sin ) , 3 r (cos  i.sin ) 3 3 3 3 3 3 2. Ứng dụng trong việc chứng minh bất đẳng thức Kiến thức sử dụng * Cho z  a  bi , ta có môđun của z là z  a 2  b 2 . * Với mọi số phức z1 ; z2 ; z3 ta có: z1  z2  z1  z2 và z1  z2  z3  z1  z2  z3 . 3. Ứng dụng trong việc chứng minh các đẳng thức lượng giác Kiến thức sử dụng * Nếu z  r(cos  isin) thì zn  r n (cos n  i sin n) (n  N* ) (công thức Moa-vrơ). * Cho  un  là một cấp số nhân với công bội q  1 , ta có. u1 (1  q n ) u1  u2  ...  un  1 q 4. Ứng dụng trong việc tính tổng các biểu thức chứa Cnk (số các tổ hợp chập k của n ) Kiến thức sử dụng n * 1  x   Cn0  Cn1 x  ...  Cnk x k  ..  Cnn x n . * Nếu z  r(cos  isin) thì zn  r n (cos n  i sin n) (n  N* ) (công thức Moa-vrơ). A  C * A + Bi = C + Di   B  D Phần 3. Giải một số bài toán về đại số thông qua các bài tập tương ứng cho mỗi ứng dụng. Ta sẽ xét từng ứng dụng vào giải toán đại số thông qua các ví dụ . Sau cùng là các bài tập vận dụng . 1. ỨNG DỤNG TRONG VIỆC GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Kiến thức sử dụng  A( x ; y )  B ( x; y ) * Hệ pt   A( x; y )  iC( x; y )  B( x; y)  iD( x; y ) . C( x; y )  D( x; y ) * Nếu z  r (cos  isin ) thì z có ba căn bậc ba là     2   2   4   4 3 r (cos  i.sin ) , 3 r (cos  i.sin ) , 3 r (cos  i.sin ) 3 3 3 3 3 3 Ví dụ 1. Giải các hệ phương trình sau: 2 x 3  6 xy 2  5 a.  2 6 x y  2 y 3  5 3 Giải. Nguyễn Văn Mạnh. 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> SỬ DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ. 1 3 3  Hpt  2 x 3  6 xy 2  i  6 x 2 y  2 y 3   5  5 3i   x  yi   5   i 2 2   1 3   z  x  yi là một căn bậc ba của 5   i  ,vì 2 2  1 1 3    3  5  i   5(cos  sin )  5   i  có ba căn bậc 3 là: 2 2 3 3 2 2       7 7 13 13 z0  3 5(cos  sin ) ; z1  3 5(cos  sin ) ;z2  3 5(cos  sin ) 9 9 9 9 9 9 xét z  z0 ; z  z1 ; z  z2 , ta được :   7  13  3 3 3  x  5.cos 9  x  5.cos 9  x  5.cos 9 ; ; là nghiệm của hpt đã cho   7  13   y  3 5.sin  y  3 5.sin  y  3 5.sin   9  9  9 3 2 2 2  x  3 xy  3 x  3y  3 x  0 b.  3 2  y  3 x y  6 xy  3y  1  0 Giải 3 2 ( x  1)  3 y ( x  1)  1 Hpt   2 3 3( x  1) y  y  1  ( x  1)3  3 y 2 .( x  1)  i 3( x  1)2 .y  y 3   1  i  ( x  1  iy )3  1  i    z  x  1  yi là một căn bậc 3 của 1  i , vì 1  i  2(cos  sin ) 4 4 Nên 1  i có 3 căn bậc ba là:   3 3 17 17 z0  6 2(cos  i sin ) ; z1  6 2(cos  i sin ) ; z2  6 2(cos  i sin ) 12 12 4 4 12 12 xét z  z0 ; z  z1 ; z  z2 , ta được:  3  17   6 6 6  x  1  2.cos 12  x  1  2.cos 4  x  1  2.cos 12 ;  ;    3  6 6  y  2.sin  y  2.sin  y  6 2.sin 17    12 4 12 Ví dụ 2. Giải các hệ phương trình:  5 x  7 5y 70 x  x2  y2  a.  y  7 5x  5y  0  x2  y2 Giải. Nguyễn Văn Mạnh. 5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> SỬ DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ. ĐK x 2  y 2  0 Hpt  x . 5 x  7 5y  7 5x  5y   i y   7 x2  y2 x2  y2  . x  iy y  ix  7 5. 2  7 (*) 2 2 x y x  y2 x  iy 1 y  ix i Đặt z  x  yi  2  ;  , khi đó : x  y2 z x 2  y2 z  x  yi  5.. (*)  z .  z  7  5i 5 i  7 5.  7  z 2  7 z  5  7 5i  0   z z  z  5i.  x  7  x  0 Với z  7  5i   ; với z  5i   (tmđk)  y   5  y  5 KL: hệ phương trình có hai nghiệm là: (7 ;  5 ) và (0 ; 5 )  x 4  y 4  3 x 3  3 xy 2 2 x  4 y  0 b.  3 2 3 3 2 2 2 x y  3 x y  2 xy  3y  (2 x  1)  1  2 y  4 y Giải 2 2 2 2 2 ( x  y )( x  y )  3 x ( x  y 2 )  2( x  2 y)  0 Hpt   2 2 2 2 2 2 2 xy( x  y )  3 y( x  y )  4( x  y )  2(2 x  y)  0 Nếu x = y = 0 ; thỏa mãn hệ pt nên x = y = 0 là nghiệm của hệ Nếu x 2  y 2  0 x  2y  2 2 x  y  3 x  2. 0  x2  y2 Hpt   2 xy  3y  4  2. 2 x  y  0  x 2  y2 x  2y 2x  y +i.[ 2 xy  3 y  4  2. 2 ]=0  x 2  y 2  3 x  2. 2 2 x y x  y2 x  iy y  xi  ( x 2  2 xyi  y 2 )  3( x  yi )  2. 2  4. 2  4i  0 2 x y x  y2 x  iy y  xi  ( x  yi )2  3( x  yi )  2. 2  4. 2  4i  0 2 x y x  y2 x  iy 1 y  ix i Đặt z  x  yi  2  ;  ; ta có phương x  y2 z x 2  y2 z 2 4i trình: z 2  3z    4i  0 z z. Nguyễn Văn Mạnh. 6.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> SỬ DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ.  z 3  3z 2  4iz  2  4i  0  ( z  1)( z 2  2 z  4i  2)  0 z  1 z  1  2  z  3  i   z  2 z  4i  2  0  z  1  i x  1 x  3  x  1 Với z  1   ; với z  3  i   ; với z  1  i   y  0  y  1 y  1 KL: hệ pt đã cho có 4 nghiệm là : (0 ; 0) ; (1; 0) ; (3 ; -1) và (-1; 1) . Ví dụ 3. Giải các hệ phương trình:  12  . x 2  1  y  3 x   a.   1  12  . y  6  y  3 x  Giải ĐK : x, y  0 ; y  3x  0 u  3 x Đặt  ( u , v  0 ). Ta có hệ phương trình: v  y 12u  u  u2  v2  2 3 12u 12v    u 2  i v  2  2 3  6i  2 2  12 v u  v u  v   v  6  u2  v2 u  iv u  iv 1  u  vi  12. 2  2 3  6 i ; đặt z  u  iv   ; ta có pt u  v2 u 2  v2 z 1 z  12.  2 3  6i  z2  2( 3  3i).z  12  0 z  z  ( 3  3)  (3  3)i ; do u , v  0 nên z  ( 3  3)  (3  3)i   z  ( 3  3)  (3  3)i 2  u  3  3  x  (3  3)  x  4  2 3    3  v  3  3  y  (3  3)2  y  12  6 3   x  4  2 3 LK: hệ pt đã cho có nghiệm duy nhất :  .  y  12  6 3. Nguyễn Văn Mạnh. 7.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> SỬ DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ.   1  2  3x .1  x  y    b.   7y .1  1   4 2   x  y   Giải ĐK : x, y  0 ; y  x  0 ; đặt x  u ; y  v ( u , v  0 ). u 2  u  u2  v 2  3 Ta có hệ phương trình:  v  v  4 2  u2  v2 7 u v  2 4 2  u 2  i . v   .i   u  v2 u2  v 2  7 3  u  iv 1 u  vi 2 4 2   i ; đặt z  u  iv  2 2  , ta có pt 2 2 u v z u v 7 3  1 2 2  1 2 4 2 z   i  z2  2   i  .z  1  0 ; có z 3 7 7   3.  u  vi .   1  2  2 2    2 z    i  3 21 7   38 4 2 2    '    .i  (  2.i)2   21 21 21 z   1  2    2 2  2  i      3 21 7     1 2  11 4  2 u  3  21  x  u  21    3 7 Do u , v  0 , nên   v  2 2  2  y  v 2  22  8   7 7 7 4 22 8   11 KL: hệ pt đã cho có nghiệm duy nhất ( x; y )    ;   7  21 3 7 7. Nguyễn Văn Mạnh. 8.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> SỬ DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ. 2. ỨNG DỤNG TRONG VIỆC CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Kiến thức sử dụng * Cho z  a  bi , ta có môđun của z là z  a 2  b 2 . * Với mọi số phức z1 ; z2 ; z3 ta có: z1  z2  z1  z2 và z1  z2  z3  z1  z2  z3 . Ví dụ 1. Chứng minh rằng với x  R , ta luôn có: x2  2x  5  x2  2x  5  2 5 Giải.  x  1. 2. 2.  22  1  x   22  2 5 Xét các số phức z1  x  1  2i ; z2  1  x  2i  z1  z2  2  4i Bđt . 2. 2. Vì z1  z2  z1  z2   x  1  22  1  x   2 2  2 2  4 2  2 5 Nên  đpcm Ví dụ 2. Chứng minh rằng với x, y, z  R , ta luôn có:. x 2  xy  y 2  x 2  xz  z 2  y 2  yz  z 2 Giải 2. 2. 2 2 y y 3 z z 3   2 2 Bđt   x        x       y  yz  z 2  2  2  2    1 3 y y 3 z z 3 Xét z1  x   i ; z2   x   i  z1  z2   y  z    y  z  i 2 2 2 2 2 2 2. 2 2 y y 3 z z 3   Vì z1  z2  z1  z2   x        x      2  2  2  2   . 2. 2. 2  1   3    y  z      y  z    y 2  yz  z 2 nên 2   2  Ví dụ 3. Chứng minh rằng với x  R , ta luôn có: 1 2 1 2 16 32 1 2 x 2  x  x  x  4 x  10  2 2 5 5 2 Giải 32 64 Bđt  x 2  4  x 2  x   x 2  8x  20  5 5. Nguyễn Văn Mạnh.  đpcm. 1 2 4 8 x  x 42 2 2 5 5 8 16 x2  x   4 2  4 5 5. 9.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> SỬ DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ.   16 2  8 2  4 2  8 2  2 2 2 2   x  2   4  x  2    x         x       4 2  4     5  5  5   5    16 8 4 8 Xét z1  x  2i ; z2  4  x  2i ; z3  x   i ; z4   x  i 5 5 5 5 12 16  z1  z2  4  4i ; z3  z4    i , vì 5 5  z1  z2    z3  z4   z1  z2  z3  z4 2. 2.  12   16   VT  4  4        4 2  4 nên  đpcm  5   5  Ví dụ 4. Cho a , b, c, d là bốn số thực thỏa mãn điều kiện a2  b2  1  2  a  b  ; c2  d 2  36  12  c  d  .Chứng minh rằng : 2. 2. 2. 2.  a  c   b  d  . . . 6. 2 1. Giải 2 2 Từ giả thiết ta có  a  1   b  1  1 ;  c  6    d  6   36 Xét z1  1  a  1  b  i , z2  c  6   d  6  i , z 3  5  5i 2. 2.  z1  z2  z3  (c  a)  (d  b)i , vì z1  z2  z3  z1  z2  z3 1 6 5 2 . 2. c  a   d  b. 2. 2. 2.  a  c  b  d  . . 2 1. . 6. Ví dụ 5. Cho a, b, c  0 thỏa mãn ab + bc + ca = 1.Chứng minh rằng :. b2  2 a2 c2  2b2 a2  2c2    3 ba cb ac Giải 2. 2. 2. 1  2 1  2 1  2 Bđt     2    2    3 2 a  b  b  c  c  a  1 2 1 2 1 2 Xét z1   i ; z2   i ; z3   i a b b c c a 1 1 1 1 1 1  z1  z2  z3       2     i , vì a b c a b c z1  z2  z3  z1  z2  z3 2. 2. 1 1 1 1 1 1 1 1 1  VT       2      3     ,vì a b c a b c a b c 1 1 1 ab + bc + ca = 1     1, nên VT  3  đpcm a b c. Nguyễn Văn Mạnh. 10.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> SỬ DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ. Ví dụ 6. Chứng minh rằng với x , y, z  0 , ta có :. x 2  xy  y 2  y 2  yz  z 2  z 2  zx  x 2  3  x  y  z  Giải Bđt 2. 2. 2. 2 2 2  y  y 3  z z 3  x  x 3  x      y      z     3  x  y  z  2  2   2  2   2  2  y y 3 z z 3 x x 3 xét z1  x   i ; z2  y   i ; z3  z   i 2 2 2 2 2 2 3 3  z1  z2  z3   x  y  z    x  y  z  i ,vì z1  z2  z3  z1  z2  z3 2 2 9 2 3 2  VT   x  y  z    x  y  z   3  x  y  z   đpcm 4 4 3. ỨNG DỤNG TRONG VIỆC CHỨNG MINH CÁC ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC Kiến thức sử dụng * Nếu z  r(cos  isin) thì zn  r n (cos n  i sin n) (n  N* ) (công thức Moa-vrơ). * Cho  un  là một cấp số nhân với công bội q  1 , ta có. u1 (1  q n ) u1  u2  ...  un  1 q Ví dụ 1. Chứng minh rằng:  3 5 1 a. cos  cos  cos  7 7 7 2  3 5 1  b. sin  sin  sin  .cot 7 7 7 2 14 Giải   Xét z  cos  i sin ; ta có: 7 7  3 5    3 5   z  z 3  z 5   cos  cos  cos   i  sin  sin  sin  7 7 7   7 7 7   7 z  z 1  z 1 Mặt khác : z  z 3  z 5  2  2  = z 1 z 1 1 z   1  cos  i sin 1 7 7  1  i 1 .cot        2 2 14 1  cos  i sin (1  cos )2  sin 2 7 7 7 7. Nguyễn Văn Mạnh. (1). (2). 11.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> SỬ DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ. 3 5 1   cos 7  cos 7  cos 7  2 Từ (1) và (2)   (đpcm)  3  5  1  sin  sin  sin  .cot  7 7 7 2 14 Ví dụ 2. Chứng minh rằng với x  k 2 , ta có : (n  1) x nx sin .cos 2 2 a. cos x  cos2 x  ...  cos nx  1  x sin 2 ( n  1) x nx sin .sin 2 2 b. sin x  sin 2 x  ...  sin nx  x sin 2 Giải Đặt A  cos x  cos2 x  ...  cos nx ; B  sin x  sin 2 x  ...  sin nx Xét z  cos x  isin x , ta có: 1  z n 1 2 n 2 n A  Bi  z  z  ...  z  1  A  Bi  1  z  z  ...  z  1 z 1  cos( n  1) x  isin( n  1) x  1  A  Bi  1  cos x  i s inx ( n  1) x (n  1) x ( n  1) x 2sin 2  2i.sin .cos 2 2 2  x x x 2sin 2  2i.sin .cos 2 2 2 ( n  1) x nx (n  1) x nx sin .cos sin .sin 2 2 i 2 2  1  A  Bi  x x sin sin 2 2 ( n  1) x nx (n  1) x nx sin .cos sin .sin 2 2 ;B= 2 2  A  1  (đpcm) x x sin sin 2 2 Ví dụ 3. Tính các tổng sau: n. n. Sn   q k .sin(  k  ) ; Tn   q k .cos(  k  ) k 0. k 0. ( trong đó  ;  ; q là các số thực cho trước ) Giải Ta có : Tn  iSn   cos  isin  qcos(  )  i.sin(  )  ...  qn cos(  n)  i.sin(  n). Nguyễn Văn Mạnh. 12.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> SỬ DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ.  (cos  i.sin). 1 q(cos  i.sin )  q2 (cos2  i.sin2)  ...  qn (cosn  i.sinn ) đặt z  cos  i.sin  ; ta được Tn  i.Sn  (cos  i.sin  ). 1  qz  q2 z2  ...  qn z n   ( qz )n1  1   (cos +i.sin ).    qz  1  ( c os   i .sin  )  q n ( c os(n+1)  +i.sin(n+1)  )-1   q ( c os   i .sin  )  1. cos  q.cos(n - )-qn1cos(n  1)     qn2cos(n  )   1  2qcos   q2 sin  qsin(n  )  qn1 sin(n  1)     qn2 sin(n   )  i. 1  2qcos   q2 sin  q sin(n   )  qn1 sin(n  1)     qn2 sin(n   ) Vậy Sn  1  2q cos   q2 cos  q.cos(n - )-q n1cos ( n  1)      q n2 cos( n   ) 1  2 q cos   q 2 Ví dụ 4. Chứng minh rằng : 2 3 4 3 8 3 1 3 cos  cos  cos  5  33 7 7 7 7 2 Giải k 2 k 2 Ta có x k  cos  i.sin ; ( k = 0 ,1, ... ,6) là các nghiệm của pt 7 7 x 7  1 , từ đó  x k (k = 0 ,1, ..., 6) là nghiệm của pt và Tn . . 3. . 2. 1  1 1   x  x  ...  x  1  0   x     x    2  x    1  0 x  x x   1 1 2k Đặt y  x  , khi đó yk  x k   x k  x k  2.cos ( k = 1 ,2 ,3 ) là x xk 7 nghiệm của pt : y 3  y 2  2 y  1  0 .Theo định lý viet ta có:  y1  y2  y3  1   y1 y2  y2 y3  y3 y1  2 ;  y y y  2  1 2 3 đặt A  3 y1  3 y2  3 y3 ; B  3 y1 y2  3 y2 y3  3 y3 y1 , ta có 6. 5. A3  y1  y2  y3  3 3 y1 y2 y3  3 AB  A 3  4  3 AB (1) , tương tự B 3  5  3 AB (2) , Lấy (1) nhân với (2) ta được. Nguyễn Văn Mạnh. 13.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> SỬ DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ 3. 3.  AB    3 AB  4 3 AB  5    AB  3 .  7  0  AB  3  3 7 , thay vào. (1) ta được A3  5  3 3 7  A  3 5  3 3 7 2 3 4 3 6 3 1  3 cos  cos  cos  5  33 7 7 7 7 2. . . ,mà cos. 6 8  cos 7 7. 2 3 4 3 8 3 1  cos  cos  5  33 7  (đpcm) 7 7 7 2 4. ỨNG DỤNG TRONG VIỆC TÍNH TỔNG CÁC BIỂU THỨC CHỨA Cnk (SỐ TỔ HỢP CHẬP k CỦA n ) Kiến thức sử dụng n * 1  x   Cn0  Cn1 x  ...  Cnk x k  ..  Cnn x n . * Nếu z  r(cos  isin) thì zn  r n (cos n  i sin n ) (n  N* ) (công thức Moa-vrơ). A  C * A + Bi = C + Di   B  D Ví dụ 1. Tính tổng: A = 310 C200 - 39 C202  38 C204 - 37 C206  ...  32 C2016 - 3C2018  C2020 Nên. 3. . cos. . Giải Xét khai triển:. . 3i. . 20.  ( 3)20 C 200  i( 3)19 C120  ( 3)18C 220  ...  ( 3)2 C 1820  i 3C 1920  C 2020 =. 0  39C 202  38C 204  37C 620  ...  32C1620  3C1820  C 2020 ) + = ( 310C 20. . . + ( 3)19 C120  ( 3)17C 320  ...  ( 3)3C1720  3C1920 i Mặt khác: 20. 20  3 1   20 20   20  3i 2   i   2  cos  isin   2 20  cos  isin  2 6 6 6 6     2  1 4 4  3    220  cos  isin   220    i   219  219 3 i 3 3    2 2 . . . 20. 20. So sánh phần thực của. . 3i. . 20. trong hai cách tính trên ta có:. 310 C200 - 39 C202  38 C204 - 37 C206  ...  32 C2016 - 3C2018  C2020 = - 219 Ví dụ 2. Tính các tổng sau:. Nguyễn Văn Mạnh. 14.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> SỬ DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ 0 12 14 -3C 152 +5C 154 -7C 156 +...+13C 15 -15C 15 A = C 15 3 5 13 15 B = 2C 115 -4C 15 +6C 15 -8C 157 +...+14C 15 -16C 15. Giải Xét khai triển: 1 (1 + x)15 = C150  xC15  x 2C152  x 3C153  ...  x 13C1315  x 14C14  x 15C1515 15.  x(1 + x)15 = xC150  x2C115  x3C152  x4C153  ...  x14C1315  x15C1415  x16C1515 Đạo hàm hai vế ta có: (1 + x)15 + 15x(1 + x)14 =.  C150  2 xC151  3 x 2 C152  4 x 3C153  ...  14 x 13C1513  15x 14 C1514  16 x15C1515 Với x = i ta có: (1 + i)15 + 15i(1 + i)14 = =  C150  3C152  5C 154  7C 156  ...  13C 1512  15C 1514  + 13 15 +  2C115  4C153  6C155  8C157  ...  14C15  16C15 i. Mặt khác: (1 + i)15 + 15i(1 + i)14 = 15.  2. 15.     cos  isin   15i. 4 4 . 14.  2. 15  14 14   15 7   isin  isin  cos  15.2 i  cos  4 4  4 4     27  27i  15.27  14.27  27i  7.28  27i 15. . 14.     cos  isin   4 4 .  2. 15.  2.  2 2  7    i   15.2  2   2. So sánh phần thực và ảo của (1 + i)15 + 15i(1 + i)14 trong hai cách tính trên ta có:. 12 14 C 150 -3C 152 +5C 154 -7C 156 +...+13C 15 -15C 15 = 7.28 3 5 13 15 = -2 7 2C 115 -4C 15 +6C 15 -8C 157 +...+14C 15 -16C 15. Ví dụ 3. Tính tổng: S = C200  C203  C206  ...  C203 k  ...  C2015  C2018 Giải: Xét khai triển: (1 + x)20 = C 020  xC120  x 2 C 220  x 3C 320  ...  x 18C1820  x19 C1919  x 20 C 20 20 Cho x = 1 ta có: Nguyễn Văn Mạnh. 15.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> SỬ DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ 3 20 220 = C 020  C120  C 220  C 20  ...  C 1820  C 1920  C 20. (1). 1 3 Cho x =     i (     2  1 và  3  1 ), ta có: 2 2 3 (1 +  )20 = C 020   C120   2 C 202  C 20  ...  C 1820   C 1920   2C 2020. (2). Cho x =  2 ta có: (1 +  2 )20 = C 020   2C120   C 202  C 320  ...  C 1820   2C 1920   C 2020. (3). Cộng vế theo vế (1), (2) và (3) ta được: 220 + (1 +  )20 +(1 +  2 )20 = 3S. Mặt khác: (1   )20  (   2 )20   40   ; (1   2 )20  (   )20   20   2. 220  1 Do vậy: 3S = 2 – 1. Hay S = 3 20. Ví dụ 4. Chứng minh rằng : a. C20n  C22n  C24n  ...  ( 1)n C22nn  2 n cos. n 2. b. C21n  C23n  C25n  ...  ( 1)n 1 C22nn 1  2 n sin. n 2. Giải Ta có 1  x   C20n  C21n x  C22n x 2  ...  C22nn1 x 2 n1  C22nn x 2 n Cho x = i ta được n 1  i   [C20n  C22n  C24n  ...  (1)n C22nn ]+[C21n  C23n  C25n  ...  (1)n1 C22nn1 ].i (1) 2n.   2n n n    Mặt khác 1  i  2  cos  i.sin   1  i   2 n  cos  i.sin  4 4 2 2    2n n n  1  i   2 n cos  i 2n sin (2) 2 2 n Từ (1) và (2) ta được C20n  C22n  C24n  ...  ( 1) n C22nn  2 n cos 2 n C21n  C23n  C25n  ...  ( 1)n 1 C22nn 1  2 n sin  đpcm 2 Ví dụ 5. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có: a. cos n  cosn  Cn2cosn2 .sin2   Cn4cosn4 .sin 4   Cn6cosn6 .sin6   ... b. sin n  Cn1cos n1 .sin   Cn3cos n3 .sin 3   Cn5cos n5 .sin 5   ... Giải Nguyễn Văn Mạnh. 16.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> SỬ DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ n. n. Ta có :  cos  i.sin     Cnk cos n k .(isin  ) k  k 0.  (cos   C cos  .sin   Cn4 cos n 4 .sin 4   Cn6 cos n 6 .sin 6   ...)  n. 2 n. n 2. 2. i.(Cn1cosn 1 .sin   Cn3cosn 3 .sin 3   Cn5cos n5 .sin 5   ...). (1). n. Mặt khác :  cos  i.sin    cos n  i.sin n (2) Từ (1) và (2) đồng nhất phần thực , phần ảo  đpcm. Ví dụ 6. Chứng minh rằng.  (n  2) .cos 2 2  (n  2) b. Cn0 sin   Cn1sin2  Cn2sin3  ...  Cnnsin(n  1)  2n.cosn .sin 2 2 Giải n Ta có 1  x   Cn0  Cn1 x  Cn2 x 2  ...  Cnn x n a. Cn0cos  Cn1cos2  Cn2cos3  ...  Cnncos(n  1)  2n.cosn. n.  x 1  x   Cn0 x  Cn1 x 2  Cn2 x 3  ...  Cnn x n1 ; cho x  cos  i.sin  , ta được    VT  (cos  isin )(1  cos  isin )n  (cos  isin )(2cos2  2i.sin .cos )n 2 2 2  n n  2n cosn (cos  isin )(cos  i.sin ) = 2 2 2  (n  2) (n  2)  2n cosn [cos  i.sin ] 2 2 2  ( n  2)  ( n  2)  2 n cos n .cos  i.[2 n cos n .sin ] (1) 2 2 2 2 Mặt khác 2 n 1 VF  Cn0  cos  i.sin    Cn1  cos  i.sin    ...  Cnn  cos  i.sin    Cn0  cos  i.sin   Cn1  cos2  i.sin2   ...  Cnn [cos(n+1)  i.sin(n  1) ] n. n.   Cnk cos( k  1)  i  Cnk sin( k  1) k 0. (2). k 0. Từ (1) và (2) , đồng nhất phần thực , phần ảo  đpcm. Nguyễn Văn Mạnh. 17.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> SỬ DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ. Một số bài tập áp dụng Bài 1. Giải các hệ phương trình sau 3. 3x  y  x  3  x2  y2 b.   y  x  3y  0  x 2  y2. 2.  x  3 xy  1 a.  2 3 3 x y  y  1.  x 6  12 x  11y  1  2 xy4 2     x y x  y2  3   c.  d.   6   y  x  3  11x  12 y  y 1  1    x2  y2 x  y   Bài 2. a. Cho x 2  y 2  1 , chứng minh rằng : 9  4( x  y )  3  2( x  y )  3 2 b. Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x  y  z  1 . Chứng minh rằng: 1 1 1  y 2  2  z 2  2  82 2 x y z 2 2 c. Cho a, b là hai số thực thỏa mãn a  b  16  8a  6b . Chứng minh rằng: 4a + 3b  40. d. Chứng minh rằng với x , y, z  0 , ta luôn có: x2 . x 2  xy  y 2  y 2  yz  z 2  x 2  xz  z 2 . 1 1 1 1    Bài 3. Chứng minh rằng : . 0 0 0 cos6 sin 24 sin 48 sin12 0 2 3 4 3 8 3 1 3 Bài 4. Chứng minh rằng : 3 cos  cos  cos  3 9 6 9 9 9 2 Bài 5. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn: cosa + cosb + cosc = sina + sinb + sinc = 0. Chứng minh rằng a. cos2a + cos2b + cos2c = sin2a + sin2b + sin2c = 0 b. 3cos(a+b+c) = cos3a + cos3b + cos3c và 3sin(a+b+c) = sin3a + sin3b + sin3c Bài 6. Chứng minh đẳng thức :. . 1  C. 2 n. 2. . 2.  Cn4  ...   Cn1  Cn3  Cn5  ...  2 n .. Bài 7. Tính tổng: A=. 1 C 0 -3C 502 +32 C 504 -...-323C 5046 +324 C 5048 -325C 50 50  50  50 2. Bài 8. Tính tổng : 4 7 3 k 1 T = C120 +C 20 +C 20 +...+C 20 +...+C 1620 +C 1920. Nguyễn Văn Mạnh. 18.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> SỬ DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ. IV. Kết quả và kiến nghị đề xuất 1. Kết quả nghiên cứu Thực tiễn giảng dạy ở trường THPT Hậu Lộc IV tôi được nhà trường giao cho giảng dạy 3 lớp : 12A3 , 12A6 , 12B5. Sau khi thử nghiệm dạy nội dung này qua việc lồng ghép vào giờ dạy trên lớp, các giờ dạy tự chọn, bồi dưỡng tôi thấy học sinh rất hứng thú học tập, tiếp thu kiến thức có hiệu quả , chất lượng học toán được nâng lên rõ rệt . Về việc sử dụng số phức vào giải một số bài toán đại số , đã giúp cho Học sinh có một sự nhìn nhận tương đối mới mẻ và toàn diện về các phương pháp giải hệ phương trình, chứng minh các đẳng thức lượng giác, tính tổng các biểu thức chứa Cnk cũng như chứng minh bất đẳng thức. Giúp các em nắm được mối liên hệ mật thiết giữa số phức với hệ phương trình , giữa số phức với lượng giác, giữa số phức với nhị thức Niu-Tơn và với bất đẳng thức, thấy rõ được vai trò của việc vận dụng số phức vào giải toán nói chung vào việc giải toán đại số nói riêng .Từ đó Học sinh biết được khi nào thì sử dụng số phức vào giải toán và sử dụng như thế nào . Sau khi áp dụng đề tài trên tôi đã khảo sát lại học sinh và thu được kết quả như sau : Sĩ Giỏi Khá TB Yếu Kém Lớp số SL % SL % SL % SL % SL % 12A3 50 10 20 25 50 15 30 0 0 0 0 12A6 54 9 17 27 50 18 33 0 0 0 0 12 B5 52 4 8 20 38 26 50 2 4 0 0 Như vậy qua kết quả trên , so sánh với số liệu khảo sát lần đầu , tôi nhận thấy chất lượng học tập môn toán của Học sinh được nâng lên rõ rệt , số lượng học sinh khá giỏi đã tăng lên nhiều . 2. Kiến nghị và đề xuất Do thời gian dạy học trên lớp còn hạn chế, nên để áp dụng tốt nội dung này thì phải cần : * Đối với giáo viên : - Nêu đầy đủ , ngắn gọn, các kiến thức cơ bản . - Nắm vững việc học và khả năng của từng học sinh để giúp các em vận dụng tốt trên khả năng của mình - Các kiến thức đưa ra cho học sinh phải lựa chọn tình huống trong từng tiết học để học sinh chủ động tiếp thu kiến thức - Phải lựa chọn phương pháp dạy học, phương tiện phù hợp với nội dung bài . - Khắc sâu kiến thức kết hợp với luyện tập và đưa ra các bài tập tự giải cho học sinh tự giác làm . - Tham khảo ý kiến đồng nghiệp, học sinh để có biện pháp truyền đạt kiến thức hợp lí * Đối với Học sinh : - Nghiên cứu kĩ sách giáo khoa và các sách tài liệu khác Nguyễn Văn Mạnh. 19.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> SỬ DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ. - Luôn tự giác học tập và làm bài tập . - Trao đổi các thắc mắc với giáo viên và bạn bè C. KẾT LUẬN Như vậy qua đề tài, ta thấy được việc khai thác định nghĩa và các tính chất cơ bản của số phức, đã giúp học sinh sử dụng số phức như một công cụ đắc lực nhằm giải quyết hiệu quả nhiều bài toán của đại số, từ đó giúp các em có thêm phương pháp trong giải toán, có sự linh hoạt hơn trong tư duy và nâng cao chất lượng dạy học, đáp ứng được yêu cầu đổi mới trong dạy học. Ngoài ra các tính chất cơ bản của số phức còn được sử dụng nhiều trong các bài toán hình học, giải tích ,số học và toán tổ hợp nhưng do khuôn khổ của đề tài nên không thể khai thác nhiều hơn nữa về ứng dụng của số phức, mong có dịp được trao đổi với các đồng nghiệp. Cuối cùng, dù đã cố gắng tự nghiên cứu, tự bồi dưỡng và học hỏi đồng nghiệp, song vẫn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự góp ý , bổ sung của các đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn . Tôi xin chân thành cảm ơn ! Hậu Lộc , ngày 09 tháng 05 năm 2012 Người thực hiện. Nguyễn Văn Mạnh. Nguyễn Văn Mạnh. 20.

<span class='text_page_counter'>(21)</span> SỬ DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ. Tài liệu tham khảo 1. Sách giáo khoa Đại số 10 , Đại số và giải tích 11 , Giải tích 12 Nhà xuất bản giáo dục 2008 – 2009 2 . Toán nâng cao giải tích 12 Phan Huy Khải – Nhà xuất bản ĐHQG Hà Nội 2000 3. Biến phức định lý và áp dụng Nguyễn Văn Mậu, Trần Nam Dũng, Đinh Công Hướng, Nguyễn Đăng Phất, Tạ Duy Phượng, Nguyễn Thủy Thanh – Nhà xuất bản ĐHQG Hà Nội 2009 4. Toán bồi dưỡng học sinh lớp 10 Đại số – Nhà xuất bản Hà Nội 1998 5. Tuyển tập đề thi olympic 30 – 4 lần thứ V , VI , VII , VIII Nhà xuất bản giáo dục .. Nguyễn Văn Mạnh. 21.

<span class='text_page_counter'>(22)</span> SỬ DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ. Mục Lục Tên đề mục ………………………………………………………….Trang A. Đặt vấn đề…………………………………………………………...1 B. Giải quết vấn đề ……………………………………………………..1 I. Cơ sở lý luận của vấn đề…………………………………………….. 1 II . Thực trạng của vấn đề nghiên cứu………………………………......1 III. Các giải pháp tổ chức thực hiện… …………………………... ........2 Phần 1 . Kiến thức cơ bản………………………………….... ..............2 Phần 2 . Các ứng dụng của số phức……………………………...…... 3 Phần 3 . Giải một số bài toán về Đại số thông qua các bài tập tương ứng cho mỗi ứng dụng……………………………………………………......4 Ứng dụng giải hệ phương trình ………………………………………...4 Ứng dụng trong việc chứng minh bất đẳng thức……………………......9 Ứng dụng trong việc chứng minh các đẳng thức lượng giác ………......11 Ứng dụng trong việc tính tổng các biểu thức chứa Cnk ………………....14 Một số bài tập áp dụng……………………………………………….....18 IV. Kết quả và kiến nghị đề xuất………………………………………..19 C . Kết luận …………………………………………………………….20. Nguyễn Văn Mạnh. 22.

<span class='text_page_counter'>(23)</span>