DE THI HSG TINH PHU THO

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Sở giáo dục và đào tạo Phú Thọ kú thi chän häc sinh giái cÊp tØnh líp 9 THcs n¨m häc 2008-2009 ĐỀ CHÍNH THỨC. MÔN TOÁN. Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Đề thi có một trang. CÂU 1 (2 điểm) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình xyz x  y  z. CÂU 2 (2 điểm). 1 3. a) Giải phương trình b) Cho các số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện xyz = 100. Tính giá trị của biểu thức x3  x2  x . A. y x 10 z   xy  x  10 yz  y  1 xz  10 z  10 .. CÂU 3 (2 điểm) a) Chứng minh rằng nếu các số x, y, z có tổng là một số không âm thì x 3  y3  z 3 3xyz. 1 mn  2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức b) Cho m, n là các số thỏa mãn điều kiện P. m2  n 2 m2n 2  . m2n 2 m2  n 2. CÂU 4 (1.5 điểm). m  4 x   m  3 y 1 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình  (m là tham số). Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) là lớn nhất. CÂU 5 (2,5 điểm) Cho đường tròn tâm O, đường kính BC = 2R. Từ điểm P trên tia tiếp tuyến của đường tròn tại B, vẽ tiếp tuyến thứ hai PA (A là tiếp điểm) với đường tròn. Gọi H là hình chiếu của A lên BC, E là giao điểm của PC và AH. a) Chứng minh E là trung điểm của AH. b) Tính AH theo R và khoảng cách d = PO.. Họ và tên thí sinh ..................................................................... SBD ............ Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2008-2009. MÔN TOÁN (Hướng dẫn chấm thi đề chính thức có 4 trang). I. Một số chú ý khi chấm bài  Hướng dẫn chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách, khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết và hợp logic.  Thí sinh làm bài cách khác với Hướng dẫn chấm mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với biểu điểm của Hướng dẫn chấm.  Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần không làm tròn số.. II. §¸p ¸n vµ biÓu ®iÓm CÂU 1 (2 điểm) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình xyz x  y  z . ĐÁP ÁN. BIỂU ĐIỂM. Phương trình đã cho tương đương với 1 1 1   1 xy yz zx . x  y  z Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t, gi¶ sö (*) 1 1 1 3 1    2  1 xy yz zx z 3 - Nếu z 3 thì (loại). - Nếu z 2 thì phương trình đã cho trở thành 2xy x  y  2 .  2x  1  2y  1 5 . Hay Do (*) nªn chØ cã trêng hîp 2x - 1 = 5 vµ 2y - 1 = 1, suy ra x = 3 vµ y = 1 - Nếu z 1 thì phơng trình đã cho trở thành xy x  y  1   x  1  y  1 2. 0,25 ®iÓm 0,25 ®iÓm 0,25 điểm. 0,25 ®iÓm 0,25 ®iÓm 0,25 ®iÓm. .. Do (*) nên chỉ có trường hợp x - 1 = 2 và y - 1 = 1, suy ra x = 3 và y = 2.. 0,25 điểm. Nghiệm là: (3 ; 2 ; 1), (3 ; 1 ; 2), (2 ; 3 ; 1), (2 ; 1 ; 3), (1 ; 3 ; 2), (1 ; 2 ; 3).. 0,25 điểm. CÂU 2 (2 điểm). 1 Hướng dẫn chấm thi môn Toán năm học 2008-2009.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 1 3. a) Giải phương trình b) Cho các số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện xyz = 100. Tính giá trị của biểu thức x3  x 2  x . A. y x 10 z   xy  x  10 yz  y  1 xz  10 z  10 . ĐÁP ÁN. BIỂU ĐIỂM. a) Phương trình đã cho tương đương với phương trình. 0,25 điểm.  4x 3 x 3  3x 2  3x  1  4x 3  x  1. 3. 0,25 điểm.  x 3 4 x  1. . Nghiệm của phương trình: b) Ta có. . 3. 0,25 điểm. . 4  1 x 1. x 3. 1 41. 0,25 điểm. xyz 10. 0,25 điểm. A. xy x 10 z   xy  x  10 xyz  xy  x xz  10 z  xyz. 0,25 điểm. A. xy x   xy  x  10 10  xy  x z. 0,25 điểm. A. xy x 10   xy  x  10 10  xy  x x  10  xy = 1. 10 z. . x  10  xy. . 0,25 điểm. CÂU 3 (2 điểm) a) Chứng minh rằng nếu các số x, y, z có tổng là một số không âm thì x 3  y3  z 3 3xyz.. b) Cho m, n là các số thỏa mãn điều kiện P. mn . 1 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. m2  n 2 m2n 2  . m2n 2 m2  n 2. §¸p ¸n. biÓu ®iÓm. a) (1,25 điểm). Ta có P  x 3  y3   z3  3xyz 3  x  y   3xy  x  y   z 3  3xyz. 0,25 điểm. 3   x  y   z 3    3xy  x  y   3xyz    2  x  y  z    x  y   z 2   x  y  z   3xy  x  y  z    2  x  y  z    x  y   z 2   x  y  z  3xy    2 2 2  x  y  z   x  y  z  xy  yz  zx . 2 Hướng dẫn chấm thi môn Toán năm học 2008-2009. 0,25 điểm. 0,25 điểm.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> . 1 2 2 2  x  y  z    x  y    y  z    z  x   0 2 (Do giả thiết x + y + z  0 ) 3 3 3 3 3 3 Suy ra P x  y  z  3xyz 0 và do đó x  y  z 3xyz 2. b) Từ Do đó. m 2  n 2  2mn  m  n  0. 2 2 và giả thiết suy ra m  n 2mn 1 ..  m2  n 2 m2  n2 m2 n 2 m2 n 2 P 2 2  2    mn m  n 2  16m 2 n 2 m 2  n 2. 2 2  15 m  n .  16m 2 n 2 . . . 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm. Áp dụng BĐT a  b 2 ab với a, b không âm, đấu đẳng thức có khi a = b, ta có.. Kết luận:. Pmin. 1 15 17 P   2 4 4 1 17 m n   2. 4 , đạt được khi. 0,25 ®iÓm. CÂU 4 (1.5 điểm). m  4  x   m  3 y 1 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình  (m là tham số). Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) là lớn nhất. ĐÁP ÁN. BIỂU ĐIỂM. b) Với mọi m, đường thẳng (d) không đi qua gốc toạ độ O(0; 0).  m = 4, ta có đường thẳng y = 1, do đó khoảng cách từ O đến (d) là 1 (1).  m = 3, ta có đờng thẳng x = -1, do đó khoảng cách từ O đến (d) là 1 (2).  m  4, m  3 th× (d) c¾t trôc Oy, Ox lÇn lît t¹i. 0,50 ®iÓm. 1    1  A  0; B ; 0   m  3  vµ  m  4  . Hạ OH vuông góc với AB, trong tam giác vuông AOB, ta có 1 1 OA  , OB  m 3 m 4. 0,25 ®iÓm. 2. 0,50 điểm. 1 1 1 7 1 1 2 2   2  m  3   m  4  2m 2  14m  25 2  m     2 2 OH OA OB 2 2 2 .  Suy ra. OH 2 2  OH  2 (3).. Từ (1), (2), (3) ta có GTLN của OH là. 7 2 , đạt được khi và chỉ khi m = 2 .. 7 Kết luận: m = 2 .. 3 Hướng dẫn chấm thi môn Toán năm học 2008-2009. 0,25 ®iÓm.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> CÂU 5 (2,5 ®iÓm) Cho đờng tròn tâm O, đờng kính BC = 2R. Từ điểm P trên tia tiếp tuyến của đờng tròn tại B, vẽ tiếp tuyến thứ hai PA (A là tiếp điểm) với đờng tròn. Gọi H là hình chiếu của A lên BC, E là giao ®iÓm cña PC vµ AH. a) Chøng minh E lµ trung ®iÓm cña AH. b) TÝnh AH theo R vµ kho¶ng c¸ch d = PO. §¸p ¸n. biÓu ®iÓm. P. A. E. B. O. C. H. a) Ta có AH // PB (vì AH, PB cùng vuông góc với BC). . EH CH  PB CB (1). 0,25 điểm. Lại có AC // PO (vì AC, PO cùng vuông góc với AB) nên hai tam giác vuông AHC và PBO đồng dạng. . AH CH  PB BO (2). 0,50 điểm. Mà CB = 2.BO nên AH = 2. EH hay E là trung điểm của AH.. 0,25 điểm. b) Ta có AH2 = HB. HC = (2R – HC)HC. 0,25 điểm. EH.CB  EH.CB  AH.CB  AH.CB   AH 2  2R  .  2R  . PB  PB =  2PB  2PB . 0,25 điểm.  4PB2 .AH 2 (4R.PB  AH.2R).AH.2R. 0,25 điểm.  PB2 .AH 2R 2 .PB  R 2 .AH. 0,25 điểm.  R 2  PB2 .AH 2R 2 .PB. 0,25 điểm. . . 2 2 2 Mà PB d  R nên. AH . 2R 2 . d2  R 2 2 d. 0,25 điểm. Hết. 4 Hướng dẫn chấm thi môn Toán năm học 2008-2009.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>