Một số nội dung về mặt cầu trong chương trình trung học phổ thông

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM ĐÀ NẴNG
KHOA TỐN
()

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP

MỘT SỐ NỘI DUNG VỀ MẶT CẦU
TRONG CHƢƠNG TRÌNH THPT

Giảng viên hướng dẫn: ThS. Phan Thị Quản
Sinh viên thực hiện : Trƣơng Thị Minh Hoàng
Lớp
: 14ST

Đà Nẵng, tháng 5 năm 2018


Một số nội dung về mặt cầu trong chương trình THPT

LỜI CẢM ƠN
Trong suốt q trình làm khóa luận, em đã gặp nhiều khó khăn và bỡ ngỡ. Nếu khơng
có sự động viên, giúp đỡ nhiệt tình và tạo điều kiện thuận lợi từ các thầy cô, bạn bè và
gia đình thì có lẽ em đã khó hồn thành đƣợc khóa luận này.
Em xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến cô Phan Thị Quản, ngƣời đã trực tiếp
hƣớng dẫn em làm khóa luận này. Cơ đã chỉ dạy cho em những kiến thức, kĩ năng và
kinh nghiệm trong học tập và nghiên cứu khoa học. Cảm ơn cơ đã ln bên cạnh động
viên, khích lệ em trong suốt q trình làm khóa luận.
Em cũng gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô trong Ban Giám Hiệu, cán bộ, giảng viên
Trƣờng Đại Học Sƣ Phạm Đà Nẵng, đặc biệt là các giảng viên trong Khoa Toán của
trƣờng đã tận tình giảng dạy, chỉ dẫn em trong suốt quá trình học tập và tạo mọi điều

kiện thuận lợi nhất để em có thể hồn thành đƣợc khóa luận này.
Em xin chân thành cảm ơn!


Một số nội dung về mặt cầu trong chương trình THPT

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN ............................................................................................................................................
MỞ ĐẦU ..................................................................................................................................................1
PHẦN 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN...........................................................................................................3
PHẦN 2: MẶT CẦU TRONG KHÔNG GIAN ....................................................................................6
I.

MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH ĐA DIỆN .................................................................................6

II.

MẶT CẦU NỘI TIẾP HÌNH ĐA DIỆN .....................................................................................13

III. ĐƢỜNG THẲNG TIẾP XÚC VỚI MẶT CẦU .........................................................................18
IV. CÁC BÀI TỐN CĨ QUỸ TÍCH LIÊN QUAN ĐẾN MẶT CẦU ...........................................22
V.

CÁC BÀI TOÁN VỀ MẶT CẦU HAY GẶP TRONG CHƢƠNG TRÌNH THPT ...................26

PHẦN 3: MẶT CẦU TRONG TỌA ĐỘ OXYZ ............................................................................... 33
I. PHƢƠNG TRÌNH MẶT CẦU .......................................................................................................33
II. MỘT SỐ BÀI TOÁN GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT LIÊN QUAN ĐẾN MẶT
CẦU TRONG HỆ TỌA ĐỘ OXYZ ...................................................................................................40

III. ỨNG DỤNG CỦA MẶT CẦU VÀO GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH ......46
KẾT LUẬN ........................................................................................................................................... 50
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................................................... 52


Một số nội dung về mặt cầu trong chương trình THPT

MỞ ĐẦU
I.

LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Có thể nói Tốn học là một phần khơng thể thiếu trong cuộc sống vì nó chi phối nhiều
hoạt động của con ngƣời trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Việc dạy và học Toán trong
các nhà trƣờng luôn đƣợc coi trọng và đƣợc đặt lên hàng đầu. Trong đó, hình học có
thể đƣợc xem là một trong những phần hay nhất, mang tính kích thích tƣ duy, tò mò và
sáng tạo cho các em học sinh. Thế nhƣng, đa số các học sinh Phổ thông hiện nay rất sợ
hình học vì ngại suy nghĩ đối với những bài tốn khó và phức tạp, nhất là phần hình
học trong khơng gian.
Hiện nay, những bài tốn về mặt cầu trong không gian luôn xuất hiện trong các kì thi ở
Phổ thơng nhƣ thi Đại học, thi Học sinh giỏi. Các bài tốn về mặt cầu thƣờng khơng
q khó nhƣng địi hỏi phải có kiến thức nền tảng và trí tƣởng tƣợng để liên hệ với
thực tế thì mới giải quyết đƣợc.
Với mong muốn tìm hiểu sâu và tổng quát về mặt cầu để có thể giúp các em học sinh
nắm vững các dạng tốn có liên quan đến mặt cầu, tôi chọn đề tài “Một số nội dung về
mặt cầu trong chƣơng trình Trung học Phổ thơng”.

II.

MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Làm rõ các tính chất quan trọng về mặt cầu trong không gian và hệ thống lại các kiến

thức, các phƣơng pháp giải bài tập mặt cầu một cách tổng quát, dễ hiểu.

III.

NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
Tìm hiểu về mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp hình đa diện và mặt cầu trong tọa độ
Phƣơng pháp giải các bài toán về mặt cầu hay gặp trong chƣơng trình THPT.

Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản
Sinh viên: Trương Thị Minh Hoàng

Trang 1

.


Một số nội dung về mặt cầu trong chương trình THPT
IV.

ĐỐI TƢỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
Đối tƣợng: mặt cầu trong khơng gian và trong giải tích, đại số.
Phạm vi nghiên cứu: Hình học sơ cấp, mặt cầu ở Phổ thơng.

V.

PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Đọc và nghiên cứu sách, giáo trình, tài liệu có liên quan đến mặt cầu; phân tích và tổng
hợp.

VI.

CẤU TRÚC ĐỀ TÀI
Phần 1: Kiến thức cơ bản.
Phần 2: Mặt cầu trong không gian.
Phần 3: Mặt cầu trong tọa độ

.

Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản
Sinh viên: Trương Thị Minh Hoàng

Trang 2


Một số nội dung về mặt cầu trong chương trình THPT

PHẦN 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Các định nghĩa:
- Tập hợp các điểm trong không gian cách điểm O cố định một khoảng R không đổi
đƣợc gọi là mặt cầu có tâm là O và bán kính bằng R.
- Mặt cầu đi qua mọi đỉnh của hình đa diện  H  gọi là mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện

 H  và hình đa diện  H  gọi là nội tiếp mặt cầu đó.
- Một mặt cầu gọi là nội tiếp một đa diện (hay đa diện ngoại tiếp mặt cầu) nếu mặt
cầu tiếp xúc với các mặt của đa diện đó.
2. Phƣơng trình mặt cầu trong tọa độ

:

, mặt cầu tâm I  a, b, c  , bán kính R có phƣơng trình là:

Trong hệ trục tọa độ

 x  a    y  b   z  c
2

Ngƣợc lại, phƣơng trình:

2

2

 R2

x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0



là phƣơng trình của một mặt cầu nếu thỏa mãn điều kiện a 2  b 2  c 2  d .
Khi đó I  a, b, c  là tâm mặt cầu và R  a 2  b2  c 2  d là bán kính mặt cầu.
Nếu a 2  b 2  c 2  d thì phƣơng trình    xác định một điểm duy nhất I  a, b, c  .
Nếu a 2  b 2  c 2  d thì khơng có điểm nào thỏa mãn phƣơng trình    .
3. Thể tích và diện tích mặt cầu:
Cho mặt cầu có bán kính R.
4
3

Thể tích mặt cầu là: V   R 3
Diện tích mặt cầu là: S  4 R 2
4. Vị trí tƣơng đối giữa hai mặt cầu:

Cho hai mặt cầu S1  O1 , R1  , S2  O2 , R2  . Để xét vị trí tƣơng đối giữa hai mặt cầu
này, ta tính O1O2 và so sánh với R1  R2 hoặc R1  R2 .
Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản
Sinh viên: Trương Thị Minh Hoàng

Trang 3


Một số nội dung về mặt cầu trong chương trình THPT
- Nếu S1 và S 2 khơng giao nhau thì O1O2  R1  R2

- Nếu S1 và S 2 cắt nhau thì O1O2  R1  R2

- Nếu S1 và S 2 tiếp xúc ngồi thì O1O2  R1  R2

- Nếu S1 và S 2 tiếp xúc trong thì O1O2  R1  R2

5. Vị trí tƣơng đối giữa mặt cầu và mặt phẳng:
Cho mặt phẳng  P  : Ax  By  Cz  D  0
và mặt cầu  S  :  x  a    y  b    z  c   R2
2

2

Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản
Sinh viên: Trương Thị Minh Hoàng

2

Trang 4

Một số nội dung về mặt cầu trong chương trình THPT
Khi đó để xét vị trí tƣơng đối giữa mặt cầu và mặt phẳng, ta tính khoảng cách từ tâm
mặt cầu đến mặt phẳng và so sánh với bán kính. Nếu:


 P

và  S  khơng có điểm chung  d  I ,  P    R .



 P

tiếp xúc với  S  tại M  d  I ,  P    R .



 P

cắt  S  theo 1 đƣờng tròn  d  I ,  P    R

6. Vị trí tƣơng đối giữa mặt cầu và đƣờng thẳng:
 x  x0  a1t

Cho đƣờng thẳng  d  :  y  y0  a2t , t  R
z  z a t
0
3



1

và mặt cầu  S  :  x  a    y  b    z  c   R2
2

2

2

 2

Để xét vị trí tƣơng đối giữa  d  và  S  , ta thay (1) vào (2) thì đƣợc pt    , khi đó:
 Nếu pt    vơ nghiệm thì  d  và  S  không cắt nhau  d  I ,  d    R .
 Nếu pt    có 1 nghiệm thì  d  và  S  tiếp xúc nhau  d  I ,  d    R .
 Nếu pt    có 2 nghiệm thì  d  và  S  cắt nhau  d  I ,  d    R .
7. Phƣơng trình đƣờng trịn giao tuyến:
Nếu mặt cầu ( S ) : x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0
và mặt phẳng ( P ) : Ax  By  Cz  D  0 cắt nhau thì
giao tuyến của chúng là một đƣờng trịn có phƣơng
 x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0

trình là: 

 Ax  By  Cz  D  0

Đƣờng trịn giao tuyến đó có tâm là hình chiếu của tâm mặt cầu  S  lên mặt phẳng  P 
và có bán kính là r  R 2  d 2  I ;  P   .
(Với I và R lần lƣợt là tâm và bán kính của mặt cầu  S  )

Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản
Sinh viên: Trương Thị Minh Hoàng

Trang 5


Một số nội dung về mặt cầu trong chương trình THPT

PHẦN 2: MẶT CẦU TRONG KHÔNG GIAN
I. MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH ĐA DIỆN
Dƣới đây ta sẽ trình bày tiêu chuẩn để hình chóp hoặc hình lăng trụ nội tiếp một mặt
cầu và cách xác định tâm, bán kính của mặt cầu đó.
Bài tốn 1: Chứng minh rằng hình chóp nội tiếp mặt cầu khi và chỉ khi đáy của
nó là đa giác nội tiếp một đƣờng trịn.
Giải:



Nếu hình chóp S . A1 A2  An nội tiếp một mặt cầu thì các

đỉnh A1 A2  An của đáy hình chóp, vừa nằm trên mặt phẳng đáy
của hình chóp, vừa đồng thời nằm trên mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp nên chúng nằm trên đƣờng tròn giao tuyến của mặt phẳng
đáy và mặt cầu. Vậy đa giác đáy của hình chóp nội tiếp đƣờng
trịn đó.

   Nếu hình chóp

S . A1 A2  An có đáy A1 A2  An là đa giác nội

tiếp đƣờng trịn (C) thì ta gọi  là trục của đƣờng trịn đó và gọi O là giao điểm của 
với mặt phẳng trung trực của một cạnh bên chẳng hạn cạnh SA1.
Khi đó, ta có: OS  OA1 (do O nằm trên mặt phẳng trung trực của SA1 )
Lại có: OA1  OA2    OAn (do O nằm trên trục  của đƣờng tròn)
Suy ra: OS  OA1  OA2    OAn .
Vậy hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp là mặt cầu tâm O , bán kính R  OS . (Đpcm)
Hệ quả: Hình tứ diện nào cũng có mặt cầu ngoại tiếp.
Thật vậy, hình tứ diện có thể xem là hình chóp mà đáy là tam giác và vì tam giác ln
nội tiếp đƣờng trịn nên tứ diện ln nội tiếp mặt cầu.

Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản
Sinh viên: Trương Thị Minh Hoàng

Trang 6


Một số nội dung về mặt cầu trong chương trình THPT
Bài tốn 2: Chứng minh rằng một hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp khi và chỉ
khi nó là hình lăng trụ đứng với đáy là đa giác nội tiếp đƣờng trịn.
Giải:

 

Nếu  H  là hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp thì các

mặt bên của nó là những hình bình hành có đƣờng trịn ngoại
tiếp nên phải là hình chữ nhật. Vậy  H  là hình lăng trụ
đứng. Ngồi ra, vì  H  có mặt cầu ngoại tiếp nên mặt đáy
phải là đa giác có đƣờng trịn ngoại tiếp.

   Ngƣợc lại cho  H 

là hình lăng trụ đứng có các đƣờng

tròn  C  ,  C   ngoại tiếp các đa giác đáy. Gọi I và I ' là các
tâm đƣờng trịn đó thì II ' là trục của hai đƣờng trịn.
Vì thế, nếu gọi O là trung điểm của II ' thì ta có:
OIA1  OIA2    OIAn  OI ' A '1  OI ' A '2    OI ' A 'n

(Các tam giác vng có hai cạnh góc vng bằng nhau)
Suy ra: OA1  OA2    OAn  OA '1  OA '2    OA 'n
Do đó: O cách đều tất cả các đỉnh của hình lăng trụ đã cho. Vậy hình lăng trụ đã cho
có mặt cầu ngoại tiếp là mặt cầu tâm O , bán kính OA (với A là một đỉnh bất kì nằm
trên mặt đáy của hình lăng trụ).
Bài tốn 3: Chứng minh rằng một hình chóp cụt có mặt cầu ngoại tiếp khi và chỉ
khi đáy của hình chóp cụt nội tiếp đƣờng tròn và các cạnh bên bằng nhau.
Giải:

 

Giả sử hình chóp cụt  H  nội tiếp một mặt cầu thì mỗi mặt bên của nó là hình

thang có đƣờng trịn ngoại tiếp nên phải là hình thang cân. Vậy các cạnh bên của  H 
bằng nhau. Ngoài ra, vì  H  có mặt cầu ngoại tiếp nên mặt đáy phải là đa giác có
đƣờng trịn ngoại tiếp.
Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản
Sinh viên: Trương Thị Minh Hoàng

Trang 7

Một số nội dung về mặt cầu trong chương trình THPT



Ngƣợc lại, cho  H  là hình chóp cụt có các cạnh bên

bằng nhau và các đƣờng trịn  C  ,  C   ngoại tiếp các đa
giác đáy. Gọi I , I ' là tâm các đƣờng trịn đó. Ta có các
cạnh bên của hình chóp cụt và II ' đồng quy tại đỉnh S của
hình chóp.
Xét khối chóp S.IAB , ta có:
SA I A I B SB
SA SB





SA
IA
IB
SB
SA SB


SA  SA ' SB  SB '
AA ' BB '




 SA  SB
SA
SB
SA
SB

Hoàn toàn tƣơng tự, suy ra đƣợc: SA  SB  SC  SD 
Do đó, SI là trục của đƣờng trịn ngoại tiếp đáy hay II ' là
trục của hai đƣờng tròn đáy.
Xét một cạnh bên của hình chóp cụt, chẳng hạn AA ' thì
AAI I là hình thang vng với đƣờng cao II ' . Đƣờng trung

trực của AA ' cắt II ' tại O thì OA  OA ' . Khi đó mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp cụt là mặt cầu tâm O , bán kính R  OA .
Việc tính bán kính R theo độ dài chiều cao h của hình chóp cụt và các bán kính r , r '
của đƣờng tròn hai đáy đƣợc thực hiện nhƣ sau:
R 2  OA '2  r '2  OI '2  r '2  x 2 với x  OI '

R2  OA2  r 2   II   x   r 2   h  x 
2

2

r 2  h2  r '2
(r 2  h2  r '2 )2
2
2
Từ đó: 2hx  r  h  r ' hay x 

và nhƣ vậy R  r ' 
2h
4h 2
2

2

2

Chú ý: Nếu coi r   r thì O có thể nằm
giữa I và I ' hoặc I có thể nằm giữa
O và I ' .

Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản
Sinh viên: Trương Thị Minh Hoàng

Trang 8


Một số nội dung về mặt cầu trong chương trình THPT
Bài tốn 4: Tìm điều kiện của hình chóp tứ giác S.ABCD sao cho có một mặt cầu
đi qua các đỉnh A, B, C , D của đáy và đi qua các hình chiếu B’, C’, D’ của A trên
các cạnh SB, SC , SD.
Giải:
Điều kiện cần:
Giả sử có mặt cầu tâm O đi qua A, B, C , D, B ', C ', D '.
Khi đó giao của mặt cầu và mặt phẳng đáy là đƣờng
tròn đi qua A, B, C , D tức là ABCD là tứ giác nội tiếp
đƣờng tròn. Gọi A1 , A2 , A3 lần lƣợt là trung điểm của
AB, AC , AD. Do

B, C , D

không thẳng hàng nên

A1 , A2 , A3 cũng không thẳng hàng. Mặt cầu tâm O cắt

mặt phẳng  SAB  theo đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác
ABB’ , tâm đƣờng trịn đó là A1 , từ đó OA1   SAB  , do

đó OA1  SA . Tƣơng tự OA2  SA , OA3  SA . Vậy O, A1, A2 , A3 cùng nằm trên mặt
phẳng vng góc với SA . Nhƣng vì A1 , A2 , A3 khơng thẳng hàng nên mặt phẳng đó
chính là mặt phẳng đáy của hình chóp. Suy ra SA chính là đƣờng cao của hình chóp.
Vậy khối chóp S.ABCD phải có SA   ABCD  và ABCD là tứ giác nội tiếp.
Điều kiện đủ:
Giả sử tứ giác ABCD nội tiếp đƣờng tròn tâm O và SA   ABCD  .
Khi đó: OA1  AB . Mặt khác: OA1  SA  do SA   ABCD  
Suy ra: OA1   SAB   A1 là hình chiếu của O lên mp  SAB  .
Do A1 A  A1B  A1B ' mà A1 A, A1B, A1B ' lần lƣợt là hình chiếu của OA, OB, OB ' lên mp

 SAB  nên OA  OB  OB ' .
OA  OC  OC '
OA  OD  OD '

Tƣơng tự, ta cũng có: 

Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản
Sinh viên: Trương Thị Minh Hoàng

Trang 9

Một số nội dung về mặt cầu trong chương trình THPT
Suy ra: OA  OB  OC  OD  OB  OC  OD ' .
Do đó: các điểm A, B, C, D, B ', C ', D ' cùng thuộc mặt cầu S  O, OA .
Vậy điều kiện cần và đủ để hình chóp tứ giác S.ABCD có một mặt cầu đi qua các đỉnh
A, B, C , D của đáy và đi qua các hình chiếu B ', C ', D ' của A trên các cạnh SB, SC , SD là

khối chóp S.ABCD có SA   ABCD  và ABCD là tứ giác nội tiếp.

VẬN DỤNG:
Bài 1: Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đều

giác

biết cạnh đáy bằng a , chiều cao bằng h .
Giải:
Giả sử hình chóp đều là S . A1 A2  An . Gọi đƣờng cao
hình chóp là SH thì SH là trục của đƣờng tròn ngoại
tiếp đáy. Xét mặt phẳng chứa SH và một cạnh bên của
hình chóp, chẳng hạn SA1. Trong mặt phẳng đó, đƣờng
trung trực của SA1 cắt đƣờng thẳng SH tại O thì O là
tâm mặt cầu ngoại tiếp và bán kính mặt cầu ngoại tiếp
là R  OS .
Để ý rằng điểm O có thể nằm trong đoạn SH , có thể là H (nếu SHA1 vng cân tại
H ), và cũng có thể ở ngồi đoạn SH (vị trí mà H nằm giữa hai điểm O và S ).

Bán kính R  OS của mặt cầu đƣợc tính bởi công thức: R 

SA12

2SH

(nhờ hai tam giác

đồng dạng SIO và SHA1 ).
Chú ý: Có thể tính R thơng qua yếu tố đƣờng thẳng SH cắt mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp tại điểm thứ hai S ' . Khi đó SS ' là một đƣờng kính của mặt cầu từ đó tam giác
SA1S ' vng tại A1 và nhận A1S làm đƣờng cao. Từ đó:
SA12
SA12 SH 2  A1H 2

SH .SS   SA hay 2 R 
tức là R 
SH
2SH
2SH
2
1

Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản
Sinh viên: Trương Thị Minh Hoàng

Trang 10


Một số nội dung về mặt cầu trong chương trình THPT
3600
A1 A2  An là đa giác đều nên A1 HA2 
và A1 A2  a , A1 H  A2 H .
n

Áp dụng định lý cosin cho tam giác A1HA2 ta có:
A1 A22  2 A1H 2  2 A1H 2cos
 A1 H 2 

3600
1800
 4 A1H 2 sin 2
n
n

a2
1800
4 sin 2
n

Vậy bán kính mặt cầu phải tìm là:
h2 
R

a2
1800
1800
4 sin 2
4h 2 sin 2
 a2
n 
n
1800
2h

8hsin 2
n

Khi n 3 , ta có: R 

3h 2  a 2
6h

2h 2  a 2
Khi n 4 , ta có: R 
4h

Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản
Sinh viên: Trương Thị Minh Hoàng

Trang 11


Một số nội dung về mặt cầu trong chương trình THPT
Bài 2: Cho hình lăng trụ đứng có chiều cao bằng h không đổi, một đáy là tứ giác
ABCD với A, B , C , D di động. Gọi I là giao điểm hai đƣờng chéo AC và BD của

tứ giác đó. Cho biết IA.IC  IB.ID  h2 . Xác định giá trị nhỏ nhất của bán kính
mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ.
Giải:
Vì IA.IC  IB.ID  h 2 nên tứ giác ABCD nội tiếp đƣờng
trịn. Suy ra hình trụ đang xét có mặt cầu ngoại tiếp.
Gọi O và O ' là tâm các đƣờng tròn ngoại tiếp các đáy
của hình lăng trụ thì OO ' là trục của hai đƣờng tròn. Gọi
J là trung điểm của OO ' thì mặt cầu tâm J bán kính

JA là mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đó.
1
4

Ta có: R 2  JA2  AO 2  JO 2  AO 2  h 2 .
Từ đó, ta có bán kính mặt cầu nhỏ nhất khi và chỉ khi
bán kính r của đƣờng trịn ngoại tiếp đáy lăng trụ nhỏ
nhất.
Ta có:
h2  IA.IC  IM .IN   OM  OI  . ON  OI    r  OI  .  r  OI   r 2  OI 2

( M , N là giao điểm của OI với đƣờng tròn ngoại tiếp)
Hay r 2  h2  OI 2 .
Vậy r nhỏ nhất khi và chỉ khi OI nhỏ nhất, tức là I trùng với tâm O của đƣờng trịn
ngoại tiếp đáy lăng trụ.
Lúc đó: r 2  h 2
Vậy bán kính nhỏ nhất của mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ là: JA 

Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản
Sinh viên: Trương Thị Minh Hoàng

1 2
h 5
h  h2 
4
2

Trang 12

Một số nội dung về mặt cầu trong chương trình THPT
II. MẶT CẦU NỘI TIẾP HÌNH ĐA DIỆN
Dƣới đây ta sẽ trình bày tiêu chuẩn để hình chóp ngoại tiếp một mặt cầu và cách
xác định tâm, bán kính của mặt cầu đó.

Bài tốn 5: Mọi hình tứ diện ln có mặt cầu nội tiếp.
Giải:
Xét mặt phẳng phân giác của nhị diện cạnh AB của
tứ diện, nó cắt đoạn CD tại điểm N . Xét mặt phẳng
phân giác của nhị diện cạnh CD của tứ diện cắt
đoạn AB tại điểm M . Từ đó giao tuyến của hai mặt
phẳng phân giác  ABN  và  CDM  là MN .
Mặt phẳng phân giác của nhị diện cạnh AC cắt BD
tại điểm P . Trong mp  BCD  , gọi I  CP  BN .
Trong mp  ABN  , gọi O  MN  AI .
 O  MN   ABN    CDM 


 O  AI   ACP 

Ta có: 

Suy ra O cách đều tất cả các mặt của tứ diện.
Vậy O là tâm mặt cầu phải tìm, bán kính mặt cầu đó bằng khoảng cách từ O đến mỗi
mặt.

Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản
Sinh viên: Trương Thị Minh Hoàng

Trang 13


Một số nội dung về mặt cầu trong chương trình THPT
Bài tốn 6: Chứng minh rằng hình chóp có các mặt bên tạo với mặt đáy các góc
bằng nhau và chân đƣờng cao hình chóp nằm trong đáy ln có mặt cầu nội tiếp.
Giải:
Xét hình chóp tứ giác S.ABCD có các mặt bên tạo với mặt
đáy các góc bằng nhau và chân đƣờng cao hình chóp nằm
trong đáy.
Gọi H là chân đƣờng cao hạ từ S xuống mặt phẳng đáy.
Gọi H1 là hình chiếu của H lên trên một cạnh đáy, chẳng
hạn AB thì SH1 H là góc giữa mặt bên  SAB  và mặt đáy.
Tƣơng tự, gọi H 2 là hình chiếu của H lên CD thì SH 2 H là
góc giữa mặt bên  SCD  và mặt đáy.
Ta có: SH1 H  SH 2 H . Suy ra: SHH1  SHH 2 (góc nhọn và
cạnh góc vng). Do đó: HH1  HH 2 .
Hồn tồn tƣơng tự, suy ra H là tâm đƣờng tròn nội tiếp đáy
của hình chóp.
Gọi O là giao của SH với đƣờng phân giác SH1 H thì O cách đều tất cả các mặt của
hình chóp (do SHH1  SHH 2 ) .
Khi ấy mặt cầu tâm O , bán kính r = OH là mặt cầu nội tiếp hình chóp.
Ta tính bán kính mặt cầu nội tiếp đó theo chiều cao của h của hình chóp và bán kính
R của đƣờng trịn nội tiếp đáy. Gọi I là hình chiếu của O lên SH1 .

Bán kính mặt cầu nội tiếp tâm O bằng OH  OI  d (O, SH1 )  r .
Từ sự đồng dạng của hai tam giác SIO và SHH1 ta có:
SO.HH1  h  OH  R  h  OI  R
OI
SO

 OI 

 OI 


H1H SH1
SH1
h2  R 2
h2  R 2

Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản
Sinh viên: Trương Thị Minh Hoàng

Rh
R  h2  R
2

r

Trang 14


Một số nội dung về mặt cầu trong chương trình THPT
Chú ý: Có thể tính bán kính mặt cầu đó bởi:
HH1
OH HH1
OH
và cũng có cơng thức trên.




OS
H1S
SH HH1  H1S

Hệ quả: Hình chóp đều nào cũng có mặt cầu nội tiếp.
Chú ý:
 Trong tam giác, ta đã biết liên hệ giữa bán kính
đƣờng trịn nội tiếp r và diện tích S của tam giác là:
S  pr với p 

abc
2

 Trong khơng gian, nếu hình chóp S . A1 A2 ... An có
mặt cầu nội tiếp thì ta cũng có liên hệ giữa bán
kính mặt cầu nội tiếp r và thể tích V của hình
chóp S . A1 A2 ... An là:
1
V  r.Stp
3

với Stp  S A A ... A  SSA A  SSA A  ...  SSA
1 2

n

1 2

n1 An

2 3

Chứng minh:
Gọi I là tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp S . A1 A2 ... An . Ta có:
V  VI . A1 A2 ... An  VI .SA1 A2  VI .SA2 A3  ...  VI .SAn1 An
1
1
1
1
 r.S A1 A2 ... An  r.S SA1 A2  r.S SA2 A3  ...  r.S SAn1 An
3
3
3
3
1
 r.( S A1 A2 ... An  S SA1 A2  S SA2 A3  ...  S SAn1 An )
3
1
 r.Stp
3

với Stp  S A A ... A  SSA A  SSA A  ...  SSA
1 2

n

1 2

n1 An

2 3

Do đó ta có thể tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp thông qua công thức sau:
r

Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản
Sinh viên: Trương Thị Minh Hoàng

3V
Stp

Trang 15


Một số nội dung về mặt cầu trong chương trình THPT
Bài tốn 7: Cho hình chóp đều

biết cạnh đáy bằng a , chiều cao

giác

của mặt cầu nội tiếp hình chóp đó.

bằng h . Tính bán kính

Giải:
Giả sử hình chóp đều là S . A1 A2  An . Gọi SH là đƣờng cao
hình chóp đều thì H là tâm của đáy A1 A2  An .
Gọi O là tâm của mặt cầu nội tiếp hình chóp đều S . A1 A2  An

thì O thuộc SH .
Ta xác định tâm O của mặt cầu nội tiếp nhƣ ở Bài toán 6.
Lấy M là trung điểm của A1 A2 thì HM vng góc với A1 A2 .
O chính là giao điểm của SH với đƣờng phân giác của góc

SMH . Khi đó bán kính mặt cầu nội tiếp là: r  OH
OH MH
OH
MH
SH .MH
SH .MH



 OH 

OS
MS
SH MH  MS
MH  MS MH  SH 2  MH 2

Do A1 A2  An là đa giác đều nên A1HA2 
a
2

Ta có: MH  MA2 .cot MHA2   cot

Suy ra: r 

3600

1800
 MHA2 
n
n

1800
n

a
1800
h   cot
2
n
a
a
1800
1800 
 cot
 h 2    cot

2
n
n 
2

Khi n 3 , ta có: r 
Khi n 4 , ta có: r 

2



ah
a  4h 2 tan 2

1800
 a2
n

ah
a  12h 2  a 2
ah
a  4h 2  a 2

Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản
Sinh viên: Trương Thị Minh Hoàng

Trang 16


Một số nội dung về mặt cầu trong chương trình THPT
VẬN DỤNG:
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h .
Tìm hệ thức liên hệ giữa a và h để tỉ số

r
là lớn nhất.
R

Giải:

Từ kết quả thu đƣợc ở Bài 1 trong Vận dụng 1 và Bài
tốn 7 ở trên, ta có bán kính mặt cầu ngoại tiếp R của
hình chóp đều và bán kính mặt cầu nội tiếp r của hình
chóp đều lần lƣợt là:
R

ah
3h 2  a 2
và r 
6h
a  12h 2  a 2
r
6ah 2

R
a 2  3h 2 a  12h 2  a 2

Suy ra:







Đặt  là góc SMH (góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy), với 00    900.
Khi đó: h 
Từ đó: 0 

a 3

tan .
6

2cos 1  cos 
r
2tan 2
2sin 2 .cos



2
R
1  3cos 2
1  cos  1  3cos 
4  tan 2 1  1  tan 2









Đặt t  cos , t   0;1 (do 00    900 ). Xét hàm f  t  
f ' t  



2t 1  t 

1  3t 2

trên  0;1 , ta có:

6t 2  4t  2

1  3t 
2

2

1
(do t   0;1 )
3
1
r 1
Dựa vào BBT, ta có: 0  f (t )   0   .
3
R 3
f '  t   0  6t 2  4t  2  0  t 

r 1
1
1
a 6
  t   cos   tan  2 2 và h 
3
R 3
3
3

r
Đó là hệ thức liên hệ giữa a và h để
đạt giá trị lớn nhất.
R

Vậy max

Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản
Sinh viên: Trương Thị Minh Hoàng

Trang 17


Một số nội dung về mặt cầu trong chương trình THPT
III. ĐƢỜNG THẲNG TIẾP XÚC VỚI MẶT CẦU
Cho mặt cầu S  O; R  và đƣờng thẳng ∆. Gọi H là hình chiếu của O trên ∆ và d  OH
là khoảng cách từ O đến ∆.
* Nếu d  R thì ∆ cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt.
* Nếu d  R thì ∆ khơng cắt mặt cầu.
* Nếu d  R thì ∆ đƣờng thẳng ∆ và mặt cầu S  O; R  có điểm chung duy nhất là H .
Khi đó ta nói đƣờng thẳng ∆ tiếp xúc mặt cầu tại điểm H hoặc cịn nói ∆ là tiếp tuyến
của mặt cầu tại H . Điểm H gọi là điểm tiếp xúc hay còn gọi là tiếp điểm.
Dƣới đây, ta sẽ xét một số bài tốn có mặt cầu tiếp xúc với đƣờng thẳng.
Bài tốn 8: Chứng minh rằng có mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của tứ diện
đều. Tính bán kính, tìm tâm mặt cầu đó theo cạnh

của tứ diện.

Giải:
Xét tứ diện đều ABCD có cạnh là a. Gọi I , J lần lƣợt

là trung điểm của AB, CD. Gọi O là trung điểm của IJ
thì O là trọng tâm của tứ diện đều ABCD .
CD  AJ
 CD   ABJ 
CD  BJ

Ta có: 

Suy ra:  ABJ  là mặt phẳng trung trực của CD . Mà O   ABJ  nên OC  OD .
Tƣơng tự ta cũng có:  CID  là mặt phẳng trung trực của AB nên OA  OB .
 IO  JO
 OIB  OJC  OB  OC
 IB  JC

Hai tam giác vng OIB và OJC có: 
Ta đƣợc: OA  OB  OC  OD.

Từ đó các tam giác cân OAB, OAC , OAD, OBC , OCD, ODB bằng nhau.
Vậy khoảng cách từ O đến các cạnh của tứ diện bằng nhau, chẳng hạn bằng r . Nhƣ
vậy tất cả các cạnh của tứ diện đều tiếp xúc với mặt cầu tâm O , bán kính r  OI .
1
4

Ta có: r 2  OI 2  IJ 2 

1
1  3a 2 a 2 
a 2
AJ 2  AI 2  
 r 

.
4
4 4
4 
4





Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản
Sinh viên: Trương Thị Minh Hoàng

Trang 18


Một số nội dung về mặt cầu trong chương trình THPT
Bài tốn 9: Tìm tập hợp tâm các mặt cầu tiếp xúc với ba cạnh một tam giác cho
trƣớc.
Giải:
Mặt cầu tâm O tiếp xúc với ba cạnh AB; BC ; CA của tam giác ABC lần lƣợt tại I , J , K
khi và chỉ khi: OI  AB ; OJ  BC ; OK  CA ; OI  OJ  OK

 

Gọi O ' là hình chiếu của O trên mặt phẳng  ABC 
thì các điều kiện  tƣơng đƣơng với:
O ' I  AB ; O ' J  BC ; O ' K  CA ; O ' I  O ' J  O ' K

Hay O ' là tâm đƣờng tròn nội tiếp tam giác ABC.

Từ đó tập hợp tâm các mặt cầu tiếp xúc với ba cạnh
của tam giác ABC là trục của đƣờng trịn nội tiếp
tam giác đó.
Chú ý: Trong bài toán 9 ở trên, ta thấy O ' là tâm đƣờng tròn nội tiếp tam giác ABC .
Nên O ' A, O ' B, O ' C lần lƣợt là phân giác của A  B  C .
Suy ra: AI  AK , BI  BJ , CK  CJ .
Từ đó:
2 AK  AI  AK   AB  BI    AC  CK 
 AB  AC   BI  CK 
 AB  AC   BJ  CJ 
 AB  AC  BC

Suy ra: AK 

AB  AC  BC
.
2

Ta sẽ áp dụng kết quả này ở bài toán 10.

Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản
Sinh viên: Trương Thị Minh Hoàng

Trang 19


Một số nội dung về mặt cầu trong chương trình THPT
Bài toán 10: Chứng minh điều kiện cần và đủ để có mặt cầu tiếp xúc với 6 cạnh
của hình tứ diện ABCD là: AB CD AC BD AD BC .
Giải:

Giả sử mặt cầu  C  tiếp xúc với 6 cạnh của tứ
diện ABCD . Gọi N là điểm tiếp xúc của  C  với
cạnh AB . Theo chú ý ở trên, ta có:
AB  AC  BC
(Xét trong tam giác ABC)
2
AB  AD  BD
AN 
(Xét trong tam giác ABD)
2
AB  AC  BC AB  AD  BD

Suy ra:
 AC  BD  AD  BC
2
2
Hoàn toàn tƣơng tự, suy ra đƣợc: AB  CD  AC  BD  AD  BC .
AN 

Ngƣợc lại, giả sử có: AB  CD  AC  BD  AD  BC , ta chứng minh có mặt cầu tiếp xúc
với 6 cạnh của tứ diện ABCD.
Gọi ∆1 là trục của đƣờng tròn nội tiếp tam giác ABC thì ∆1 chứa tâm các mặt cầu tiếp
xúc với ba cạnh của tam giác đó tại M , N , P, coi N thuộc AB .
Tƣơng tự với ∆2 là trục của đƣờng trịn nội tiếp tam giác ABD thì ∆2 chứa tâm mặt cầu
tiếp xúc với AB , AD, BD tại N1 , Q, R, coi N1 thuộc AB .
Khi đó, do: AN 

AB  AC  BC
AB  AD  BD
; AN1 

mà AC  BD  AD  BC ,
2
2

tức là AC – BC  AD – BD , nên N trùng N1.
Nhƣ vậy: AB   O1O2 N  , từ đó 1 ,  2 đều phải thuộc mặt phẳng này.
Gọi O là giao điểm của 1 và  2 thì O cách đều 5 cạnh AB , AC , BC , AD , BD hay:
OM  ON  OP  OQ  OR

1

Tƣơng tự nhƣ trên ta có ∆2 và ∆3 (trục của đƣờng tròn nội tiếp tam giác ACD ) cắt nhau
tại O ' và O ' M  O ' N  O ' Q  O ' R  O ' S

2

(với S là điểm tiếp xúc của cạnh CD với đƣờng tròn nội tiếp tam giác ACD )
Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản
Sinh viên: Trương Thị Minh Hoàng

Trang 20


Một số nội dung về mặt cầu trong chương trình THPT
Từ (1) và (2) ta có: O , O ' là tâm của mặt cầu cùng đi qua bốn điểm không đồng phẳng
M , N , Q, R . Vậy O trùng với O ' . Khi đó mặt cầu tâm O , bán kính ON là mặt cầu tiếp

xúc với 6 cạnh của tứ diện ABCD.
Bài toán 11: Chứng minh rằng đƣờng thẳng ∆ là tiếp tuyến của mặt cầu S  O; R 
khi và chỉ khi ∆ là tiếp tuyến của một đƣờng tròn thuộc mặt cầu.

Giải:
Giả sử ∆ là tiếp tuyến của mặt cầu S  O; R  với điểm tiếp xúc T . Xét mặt phẳng (α)
chứa ∆ mà (α) khơng vng góc với OT thì (α) cắt mặt cầu theo một đƣờng trịn  C  .
Gọi O1 là tâm đƣờng tròn  C  thì OO1 ⊥ (α).
Suy ra: OO1 ⊥ ∆. Mặt khác: ∆ ⊥ OT .
Nên ∆ ⊥( OO1 T), suy ra O1 T ⊥ ∆. Vậy ∆ tiếp xúc với
đƣờng trịn  C  nói trên tại T .
Ngƣợc lại, giả sử ∆ tiếp xúc với  C  tại T (với  C  là
đƣờng tròn thuộc mặt cầu đã cho) thì O1T ⊥ ∆. Lại có: OO1 vng góc với mặt phẳng
(α) chứa đƣờng trịn  C  , suy ra OO1 ⊥ ∆. Từ đó, ta có:  ⊥ ( OO1 T), suy ra OT .
Vậy ∆ tiếp xúc với mặt cầu đã cho tại T .

Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản
Sinh viên: Trương Thị Minh Hoàng

Trang 21


Một số nội dung về mặt cầu trong chương trình THPT
IV. CÁC BÀI TỐN CĨ QUỸ TÍCH LIÊN QUAN ĐẾN MẶT CẦU
Sau đây ta sẽ xét một số bài toán có quỹ tích là mặt cầu.
Bài 1: Cho hai điểm A, B cố định. Tìm tập hợp các điểm M trong không gian sao
cho MA.MB  0.
Giải:
Gọi I là trung điểm AB , ta có:





 





MA.MB  MI  IA MI  IB  MI  IA MI  IA  MI 2  IA2

Theo đề, ta có: MA.MB  0  MI 2  IA2  0  MI  IA  IB
Vậy tập hợp điểm M là mặt cầu tâm I , bán kính R  IA , hay nói cách khác tập hợp
điểm M là mặt cầu đƣờng kính AB .

Bài 2: Cho đoạn thẳng AB và số
khơng gian sao cho

dƣơng

. Tìm tập hợp các điểm M trong

MA
 k.
MB

Giải:
Gọi I và J lần lƣợt là các điểm sao cho IA  k IB  0 và JA  k JB  0 .
Khi đó I và J là hai điểm cố định. Hơn nữa, ta có I , J là hai điểm chia đoạn thẳng
AB theo tỉ số  k và k .

Do đó ta có: MI 
Từ đó: MI .MJ 

Theo đề, ta có:

MA  k MB
MA  k MB
và MJ 
1 k
1 k







2
2
2
2
1
1
MA  k 2 MB  k MA.MB  k MA.MB 
MA  k 2 MB
2
2
1 k
1 k



2

2
MA
 k  MA  k 2 MB  0  MI .MJ  0
MB

Từ đó suy ra tập hợp điểm M sao cho

MA
 k chính là tập hợp các điểm trong không
MB

gian sao cho MI .MJ  0 . Vậy tập hợp đó là mặt cầu đƣờng kính IJ .
Mặt cầu đó gọi là mặt cầu Apollonius.
Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản
Sinh viên: Trương Thị Minh Hoàng

Trang 22