205 câu trắc nghiệm vận dụng cao phương pháp tọa độ trong không gian oxyz có đáp án và lời giải

1

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
VẬN DỤNG VÀ VẬN DỤNG CAO
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN OXYZ
Oxyz
Câu 1: Trong khơng gian với hệ tọa độ

M (1; 2;3)
, cho điểm

( P)
. Gọi

là mặt phẳng đi qua điểm

( P)
và cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất, mặt phẳng
A, B, C
. Tính thể tích khối chóp

A.

1372
9

.

B.

686

9

O. ABC

cắt các trục tọa độ tại các điểm

.

.

C.

524
3

.

D.

Lời giải
Chọn B.

Gọi

H

là hình chiếu của

Tam giác

Khi đó

OHM

O

( P)
lên mp

OH ≤ OM ,

∀H

có

d ( O, ( P ) ) = OH

.

lớn nhất khi

M ≡H

OM ⊥ ( P )

, hay

.

343

9

.

M


( P)
Mp

đi qua

1
uuuu
r
OM = ( 1; 2;3)

M

và nhận

( P)
phương trình

( P)

Ox
cắt

x + 2 y + 3 z − 14 = 0

:

Oy
;

VO. ABC =
Thể tích

làm véc tơ pháp tuyến,

;

.

Oz

868
9

A ( 14;0; 0 ) B ( 0; 7; 0 )
lần lượt tại
,
,

14 

C  0; 0; ÷
3


.

A ( 0; 4; −3)
Câu 2 (ĐỀ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2019): Trong không gian Oxyz , cho điểm
.
Xét đường thẳng d thay đổi, song song với trục Oz và cách trục Oz một khoảng bằng 3. Khi
khoảng cách từ A đến d nhỏ nhất, d đi qua điểm nào dưới đây?
P ( −3;0; −3)
A.
.
Lời giải

B.

M ( 0; −3; −5 )

.

C.

Chọn C

Ta có mơ hình minh họa cho bài tốn sau:

Ta có

d ( A; d ) min = d ( A; Oz ) − d ( d ; Oz ) = 1

.

N ( 0;3; −5 )

.

D.

Q ( 0;5; −3)

.


1
Khi đó đường thẳng d đi qua điểm cố định

( 0;3;0 )

và do

uu
r r
d / / Oz ⇒ ud = k = ( 0;0;1)

làm vectơ chỉ

x = 0

⇒ d y = 3
z = t
N ( 0;3; −5 )


phương của d
. Dựa vào 4 phương án ta chọn đáp án C.
.
Câu 3 (ĐỀ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2019): Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu

( S ) : x2 + y 2 + ( z +

2

)

2

=3

A ( a; b; c )

. Có tất cả bao nhiêu điểm

( a, b, c là các số nguyên) thuộc

Oxy )
S
mặt phẳng (
sao cho có ít nhất hai tiếp tún của ( ) đi qua A và hai tiếp tún đó vng
góc với nhau?
A. 12 .
B. 8 .
C. 16 .
D. 4 .

Lời giải

Chọn A
A ( a;b;c)
(Oxy) nên A ( a;b;0) .
Do
thuộc mặt phẳng
Nhận xét: Nếu từ A kẻ được ít nhất 2 tiếp tuyến vng góc đến mặt cầu khi và chỉ khi
R £ I A £ R 2 Û 3 £ a2 + b2 + 2 £ 6 Û 1 £ a2 + b2 £ 4.
Tập các điểm thỏa đề là các điểm nguyên nằm trong hình vành khăn (kể cả biên), nằm trong mặt

phẳng

(Oxy) , tạo bởi 2 đường tròn đồng tâm O ( 0;0;0)

bán kính lần lượt là 1 và 2.

Nhìn hình vẽ ta có 12 điểm thỏa mãn yêu cầu bài tốn.
Oxyz
Câu 4: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ

( d1 ) :

x − 3 y +1 z +1
=
=
1
−2
1

x

y

( d 2 ) : 1 = −2 =

z −1
1

, cho bốn đường thẳng:

( d3 ) :

x −1 y +1 z −1
=
=
2
1
1

,
,
Số đường thẳng trong không gian cắt cả bốn đường thẳng trên là:

A.

0

.

B.

2

.

C. Vô Số

x

,

( d4 ) : 1 =

y −1 z
=
−1
−1

1
D. .

.


1
Hướng dẫn giải
Chọn D.

d1 / / d 2

do đó có một mặt phẳng

Dễ thấy

( P)

d1 ; d 2
duy nhất chứa

( P) : x + y + x − 1 = 0
d3
Mặt khác ta có

d4
chéo

lần lượt cắt

( P)

tại

A ( 1; −1;1) ; B ( 0;1; 0)

A; B
Do đó tồn tại một đường thẳng duy nhất qua

thỏa mãn yêu cầu bài toán.

( S ) : x2 + y 2 + z 2 − 2x + 6 y − 4z − 2 = 0

Oxyz
Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ

( α ) : x + 4 y + z − 11 = 0
, mặt phẳng

r
v = ( 1; 6; 2 )

cho mặt cầu

( P)

( α ) ( P)

. Gọi

là mặt phẳng vng góc với

( P)

( S)

với giá của
và
tiếp xúc với
2x − y + 2z − 2 = 0
x − 2 y + z − 21 = 0
A.

và
x − 2 y + 2z + 3 = 0

. Lập phương trình mặt phẳng
.

.

và
2x − y + 2z + 3 = 0

C.

2 x − y + 2 z − 21 = 0
.

và
2x − y + 2z + 5 = 0

D.

2x − y + 2z − 2 = 0
.

và

Lời giải
Chọn C

( S)
Mặt cầu

I ( 1; − 3; 2 )
có tâm

ur
n1 = ( 1; 4;1)

(α )
Mặt phẳng

và bán kính là

có VTPT là

.

song song

( P)

x − 2 y + z − 21 = 0

B.

,

R=4

.

.


1

( P)

r
v = ( 1; 6; 2 )

( α ) ( P)

Vì

là mặt phẳng vng góc với
,
song song với giá của
r
u
rr
ur
r


n
=
n
( P)

n1
 1 , v  = ( 2; − 1; 2 )
v
VTCP là
và , suy ra
có VTPT là
.

( P)
Phương trình mp

2x − y + 2z + D = 0
có dạng

nên

có cặp

( S)

( P)
. Vì

( P)

tiếp xúc với

nên ta có

d ( I;( P) ) = R

⇔

D = 3
9+ D
=4 ⇔
 D = −21
3

.
2x − y + 2z + 3 = 0

Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn là

2 x − y + 2 z − 21 = 0
.

và

(α)

Oxyz
Câu 6: Trong khơng gian với hệ tọa độ

, phương trình tổng qt của mp

qua hai điểm

A ( 2; − 1; 4 ) B ( 3; 2; − 1)
( β ) : x + y + 2z − 3 = 0

,
và vng góc với mp
là:
11x + 7 y − 2 z − 21 = 0
11x + 7 y + 2 z + 21 = 0
A.
.
B.
.
11x − 7 y − 2 z − 21 = 0
C.

11x − 7 y + 2 z + 21 = 0
.

D.

.

( S ) : ( x − 1) 2 + ( y − 2) 2 + ( z − 3) 2 = 16

Oxyz

Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt cầu
A(1; 0; 2), B(−1; 2; 2)
( P)
và các điểm
. Gọi
là mặt phẳng đi qua hai điểm A, B sao cho thiết diện

của mặt phẳng (P) với mặt cầu (S) có diện tích nhỏ nhất. Khi viết phương trình (P) dưới dạng
ax + by + cz + 3 = 0
T = a + b + c.
. Tính
–3.
–2.
A. 3.
B.
C. 0.
D.
Lời giải
Chọn B
I (1; 2;3)
Mặt cầu (S) có tâm
Vì

IA = 5 < R

và bán kính

R=4

.

nên điểm A nằm bên trong mặt cầu. Suy ra (P) luôn cắt mặt cầu. Gọi r là bán


1
kính đường trịn giao tún, ta có

r = R2 − d 2

với d là khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P).

Diện tích hình trịn thiết diện nhỏ nhất khi và chỉ khi bán kính r nhỏ nhất, hay d lớn nhất.
Gọi H là hình chiếu của I lên đường thẳng AB ta có d lớn nhất khi
(P).

d = IH

tức IH vng góc với

x = 1− t

AB :  y = t (t ∈ ¡ )
z = 2


Phương trình đường thẳng
uuu
r
H (1 − t ; t ; 2) IH = ( −t ; t − 2; −1)
Gọi
.
.
IH ⊥ AB ⇔ t + (t − 2) = 0 ⇔ t = 1

H (0;1; 2)
. Suy ra

Mặt phẳng (P) nhận

uuu
r
IH

.

làm vectơ pháp tuyến và đi qua điểm A nên có phương trình

−( x − 1) − y − ( z − 2) = 0 ⇔ − x − y − z + 3 = 0
.
Vậy

a + b + c = −3

.

A ( 1;0;0 )

Oxyz
Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ

cho các điểm

D ( 2; −2; 0 )
A.

7

. Có tất cả bao nhiêu mặt phẳng phân biệt đi qua
5
6
B. .
C. .

.

3

B ( 0; 2;0 )
,

C ( 0;0;3 )
,

,

5
O A B C D
trong điểm , , , , ?
10
D. .

Lờigiải
Chọn B

( ABC )
Mặt phẳng
Lại có

A

có phương trình là

là trung điểm

BD

.

( Oxy )
Ta có

x y z
+ + =1
⇔ 6x + 3y + 2z − 6 = 0
1 2 3

chứa các điểm

O A B D
, , , .

D ∈ ( ABC )
, do đó

.

1

( Oyz )
chứa các điểm

O B C
, , ;

chứa các điểm

O A C
, , ;

( Oxz )
( ABC )
chứa các điểm

( OCD )

A B C D
, , , .

O C D
chứa các điểm , , .

5
Vậy có mặt phẳng phân biệt thỏa mãn bài toán.
OA, OB, OC
α , β ,γ
OABC

Câu 9: Xét tứ diện
có
đơi một vng góc. Gọi
lần lượt là góc giữa các
OA, OB, OC
( ABC )
đường thẳng
với mặt phẳng
. Khi đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức

M = (3 + cot 2 α ).(3 + cot 2 β ).(3 + cot 2 γ )
là

48 3
A. Số khác.

B.

.

C.

48

A

O

C

B

Lời giải
Chọn D

.

D.

125

.


1
A

H

O

C

B

Ta có

·
sin 2 α = sin 2 HAO

=

OH 2
OA2

sin 2 β =
, tương tự

sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ = OH 2 .(
Nên
M=

OH 2
OH 2
2
;sin
γ
=
OB 2
OC 2

1
1
1
+
+
) =1
2
2
OA OB OC 2

.

(2sin 2 α + 1).(2sin 2 β + 1).(2sin 2 γ + 1)
sin 2 α .sin 2 β .sin 2 γ

Và

; Áp dụng BĐT cố si, ta có

6
2
2
2
2
2
2
2
5
2sin 2 α + 1 = sin α + sin α + sin α + sin β + sin γ ≥ 5. sin α .sin β .sin γ

(2sin 2 α + 1).(2sin 2 β + 1).(2sin 2 γ + 1) ≥ 125sin 2 α .sin 2 β .sin 2 γ
Tương tự, ta được
Suy ra

M ≥ 125

. Dấu bằng xẫy ra khi

OA = OB = OC

.

( P) : x − y + 2z +1 = 0

Oxyz
Câu 10: Trong không gian

( Q) : 2x + y + z −1 = 0

, cho các mặt phẳng

,

( S)
. Gọi

( S)
là mặt cầu có tâm thuộc trục hồnh, đồng thời

( P)
theo giao tún là một đường trịn có bán kính
là một đường trịn có bán kính
cầu.

r

. Xác định

r

2

( S)
và

cắt mặt phẳng

( Q)
cắt mặt phẳng

theo giao tuyến

( S)
sao cho chỉ có đúng một mặt cầu

thỏa mãn yêu


1
r= 3

A.

. B.

r= 2

3
2

r=

.

C.

r=

.

D.

3 2
2

.

Lời giải
Chọn D.

I

* Gọi

( S)
là tâm của mặt cầu

( S)
* Do

. Do

4 = R −  d ( I ; ( P ) )  ⇔ 4 = R

( S)

2

( a + 1)
−

cắt mặt phẳng

2

⇒R

2

( a + 1)
= 4+
6

2

2

2

( 2a − 1)
−
6

2

nên ta có:

( 1)

theo giao tún là một đường trịn có bán kính

2

( 1)
r

2

6

r = R −  d ( I ; ( P ) )  ⇔ r = R

2

.

( Q)

2

* Từ

nên ta có

theo giao tún là một đường trịn có bán kính

2

2

2

I ( a;0;0 )

( P)
cắt mặt phẳng

* Do

I ∈ Ox

r

nên ta có:

( 2)

( 2)
và

ta có:

( a + 1)
= 4+
6

2

( 2a − 1)
−

2

⇔ −3a 2 + 6a + 24 − 6r 2 = 0 ⇔ −a 2 + 2a + 8 − 2r 2 = 0

6

( S)

( 3)

* Để có duy nhất một mặt cầu
thỏa mãn yêu cầu điều kiện là phương trình
r >0
a
một nghiệm với
nên điều kiện là:

∆′ = 9 − 2 r 2 = 0 ⇔ r =

3 2
2

( Q) : 2x − y + 2z + 1 = 0

( P ) : x − 2 y + 2z −1 = 0
, cho các mặt phẳng

( S)
. Gọi

có duy nhất

.

Oxyz
Câu 11: Trong khơng gian

( 3)

,

( S)
là mặt cầu có tâm thuộc trục tung, đồng thời

( P)
cắt mặt phẳng

theo

1
giao tún là một đường trịn có bán kính
có bán kính

r

. Xác định

r

.

( S)
và

( Q)
cắt mặt phẳng

sao cho chỉ có đúng một mặt cầu

B.

r = 11

r=

.

Câu 12: Trong không gian

r=

C.

.

D.

r

,

( S)
, đồng thời

( S)
và

.

( P) : x + y − 2z +1 = 0 ( Q) : x − 2 y + z +1 = 0

Oz

là mặt cầu có tâm thuộc trục

trịn có bán kính

11 3
3

, cho các mặt phẳng

( S)
2

thỏa mãn yêu cầu.

11
3

Oxyz

Gọi

theo giao tuyến là một đường tròn

( S)

r= 3

A.

2

( P)
cắt mặt phẳng

theo giao tuyến là một đường

( Q)
cắt mặt phẳng

.

theo giao tún là một đường trịn có bán kính

r

. Xác định

( S)
sao cho chỉ có đúng một mặt cầu
7
2

r=

r= 7

A.

thỏa mãn yêu cầu.

.

B.

.

C.

r=7 2

r=

.

D.

thẳng

∆

cho mặt cầu

là giao tuyến của hai mặt phẳng
∆

( β ) : 2x − 2 y − z +1 = 0
và

( S)

A, B

AB = 8
tại hai điểm phân biệt

thỏa mãn
khi:
m = −12.
m = −10.
m = 5.
B.
C.
D.

cắt mặt cầu

Lời giải

Ta có

và đường

( α ) : x + 2 y − 2z − 4 = 0

Đường thẳng
m = 12.
A.

Chọn

.

( S ) : x2 + y 2 + z 2 + 4x − 6 y + m = 0

Oxyz

Câu 13: Trong không gian tọa độ

7 2
2

B.
x + 2 y − 2z − 4 = 0

2 x − 2 y − z + 1 = 0

Phương trình tham số của

.

∆

là

 x = −2 + 2t

y = t
 z = −3 + 2t


.

.


1

A ∈ ( ∆ ) ⇒ A ( −2 + 2t ; t ; −3 + 2 t )
.
A ∈ ( S ) ⇒ ( −2 + 2t ) + t 2 + ( −3 + 2t ) + 4 ( −2 + 2t ) − 6t + m = 0
2

2

(*).
(*)

⇔ 9t 2 − 18t + 5 + m = 0

.

Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khi

∆′ = 36 − 9m > 0 ⇔ m < 4

.

A ( −2 + 2t1 ; t1 ; −3 + 2 t1 ) , B ( −2 + 2t2 ; t2 ; −3 + 2 t 2 )
Khi đó

.

t1 + t1 = 2, t1t2 =

5+ m
9

AB = 8 ⇔ AB 2 = 64

.

. Suy ra

2
2
9 ( t2 − t1 ) = 64 ⇔ 9 ( t1 + t 2 ) − 4t1t2  = 64




 5 + m 
⇒ 9.  22 − 4 
÷ = 64 ⇔ m = −12
 9 


.

Cách 2:

( S)
Mặt cầu

I ( −2;3; 0 ) R = 13 − m m < 13
có tâm
,
,

.

( ∆)
Đường thẳng
d = d ( I;( ∆) )

r
u = ( 2;1; 2 )

M 0 ( −2;0; −3 )
qua

, có VTCP

uuuu
r
 IM 0 ; ur 


=
=3
r
u

R2 =
Yêu cầu đề bài tương đương

AB 2
+ d 2 ⇔ 13 − m = 16 + 9 ⇔ m = −12 ( n )
4

.


1
Oxyz

Câu 14: Trong không gian tọa độ

x +1 y −1 z
∆:
=
=
2
−1 2
tổng
A.

T = a+b+c

. Gọi

M ( a; b; c ) ∈ ∆

cho các điểm

và đường thẳng

A ( 1;5;0 ) , B ( 3;3;6 )

sao cho chu vi tam giác

MAB

đạt giá trị nhỏ nhất. Tính

?
B.

T = 2.

C.

T = 3.

D.

T = 4.

T = 5.

Lời giải
Chọn B
Ta có M ( a; b; c ) ∈ ∆ → M ( 2t − 1; −t + 1; 2t )

Từ đó ta có:

.

.

C = MA + MB + AB = 9t + 20 + 9t − 36t + 56 + 2 11
2

2

9

C ( t ) = 9t 2 + 20 + 9t 2 − 36t + 56 + 2 11 ⇒ C ′ ( t ) =

Lập BBT ta có:

min C ( t ) = C ( 1) ⇒ t = 1 ⇒ M ( 1;0; 2 )

Đề xuất: Đánh giá

f ( t ) = 9t + 20 + 9t − 36t + 56
2

9t 2 + 20

+

.

9t − 18
9t 2 − 36t + 56

= 0 ⇒ t =1

.

như sau

2

f ( t ) = 9t 2 + 20 + 9t 2 − 36t + 56 = 9t 2 + 20 + 9 ( t − 2 ) + 20
2

Trong hệ trục

Oxy

, chọn

(

r
u = 3t ; 2 5

r r r r
f ( t ) = u + v ≥ u + v = 36 + 20 = 2 14

.

)

,

(

r
v = −3 ( t − 2 ) ; 2 5

)

,

(

r r
u + v = 6; 4 5

)

. Khi đó


1
Đẳng thức xảy ra khi và chi khi r , r cùng hướng
u v

⇔

( P)

Oxyz
Câu 15: Trong không gian

( P)

A(1;1;1) B(0;2; 2)
đi qua hai điểm
,
đồng

, biết mặt phẳng

Ox,Oy

thời

cắt các trục tọa độ

gốc tọa độ ) thỏa mãn

T =2

M,N
theo thứ tự tại hai điểm

OM =ON

. Biết mặt phẳng

(

đều không trùng với

x +b1 y + c1 z + d1 =0

có hai phương trình là

và

T =b1 +b2
. Tính đại lượng
T =0
B.
.

.

M,N

( P)

x +b2 y + c2 z + d 2 = 0
A.

⇒ M ( 1;0; 2 )
3t
2 5
=
⇔ t =1
−3 ( t − 2 ) 2 5

.
C.

T =4

.

D.

T =−4

.

Lời giải
Chọn B.

( P)
Gọi phương trình mặt phẳng

(

b≠ 0

( P)

( P)
do

Oy
cắt

tại điểm

x +by + cz + d =0

là:

N

khác

O

)

A(1;1;1) B(0; 2;2)
đi qua hai điểm
,
nên ta có các phương trình:

1+b + c + d = 0
b + c =1


2b + 2c + d =0 ⇔  d =−2

.

( P)
Mặt phẳng

( P)

x +by + cz − 2=0
có phương trình dạng:

.

Ox,Oy
cắt

lần lượt tại

2
2
⇔ 2=
M (2;0;0), N (0; ;0)
b ⇔ b = ±1
OM =ON
b
.
.

( P)
Các mặt phẳng

T =b1 +b2 0
Vậy
= .

x + y − 2= 0
tìm được có phương trình:

.

x − y + 2 z −2=0
và

.


1
A ( 0;2;- 4) ,B( - 3;5;2)

Oxyz
Câu 16: Trong không gian với hệ trục

M

điểm

sao cho

MA 2 + 2MB2

M ( - 1;3;2)

, cho hai điểm

đạt giá trị nhỏ nhất.

M ( - 2;4;0)

A.

.

. Tim ta

B.

ổ3 7
Mỗ
- ; ;ỗ
ỗ
ố 7 2

M ( - 3;7;- 2)

.

C.
Lời giải

.

D.

ư
1÷
÷
÷
ø
.

Chọn B
M ( x; y; z)

Gọi
2

AM 2 = x2 +( y- 2) +( z + 4)

2

Khi đó:
2

2

BM 2 = ( x + 3) +( y - 5) +( z - 2)

2

Theo bài ra:
2

2

2

2

MA 2 + 2MB2 = x2 +( y - 2) +( z + 4) + 2( x + 3) + 2( y- 5) + 2( z- 2)

2

2
2
é
ù
= 3( x2 + y2 + z2 + 4x- 8y + 32) = 3ê( x + 2) +( y- 4) + z2 + 12ú³ 3.12 = 36
ë
û

Vậy

ìï x =- 2
ïï
2
2
ïí y = 4
MA
+
2
MB
=
36
Û
(
) min
ïï
ïïỵ z = 0
M ( - 2;4;0)

Vậy

thỏa ycbt.

S ( 0; 0;1)
Câu 17: Trong không gian với hệ toạ độ
M ( m;0;0 ) , N ( 0; n;0 )
thay đổi sao cho
cầu cố định qua
A.

2

.

C.

,

và

và tiếp xúc với mặt phẳng

2

.

và

m > 0, n > 0

. Biết rằng luôn tồn tại một mặt

( SMN )
B.

Lời giải
Chọn

P

m + n =1

, cho các điểm

P ( 1;1;1)

. Tính bán kính của mặt cầu đó.

1
C. .

3
D.

.


1

( SMN )

Phương trình

m + n =1

Do

:

x y z
+ + =1
⇔ nx + my + mmz − mn = 0
m n 1
nx + ( 1 − n ) y + n ( 1 − n ) z − n ( 1 − n ) = 0

nên suy ra

I ( a; b; c )
Gọi

và

R

( S)
lần lượt là tâm và bán kính của mặt cầu

cố định đi qua

( SMN )
mặt phẳng

.
IP =

(1− a)

2

+ ( 1 − b ) + ( 1 − c ) = R 2 ( *)
2

2

Khi đó, ta có
d ( I ; ( SMN ) ) = R ⇔

na + ( 1 − n ) b + nc ( 1 − n ) − n ( 1 − n )
n 2 + m2 + n 2 m2

và

⇔

na + ( 1 − n ) b + nc ( 1 − n ) − n ( 1 − n )
1− ( 1− n) n

=R

( 1 − c ) n 2 + ( a − b + c − 1) n + b = R ( 1 − n + n 2 )
⇔

( 1 − c ) n 2 + ( a − b + c − 1) n + b = R ( −1 + n − n 2 )


1 − c = R
c = 1 − R

( 1) ⇔ a − b + c − 1 = − R ⇔ b = R
b = R
a = R



( *) ⇔

2 ( 1 − R ) + R2 = R2 ⇔ R = 1

(2) làm tương tự.
Vậy

R =1

.

.

2

=R

.

⇔ ( 1 − c ) n 2 + ( a − b + c − 1) n + b = R ( 1 − n + n 2 )

Khi đó

.

( 1)
( 2)

P

và tiếp xúc với


1
Oxyz
Câu 18: Trong không gian với hệ toạ độ

( P ) : 3mx + 5

, cho mặt phẳng

1 − m 2 y + 4mz + 20 = 0

. Biết rằng khi

( P)

[ −1;1]

thay đổi trên đoạn

thì mặt phẳng

( S)
luôn tiếp xúc với một mặt cầu

A.

m

R= 5

cố định. Tìm bán kính của mặt cầu đó.

3
.

B.

.

C.

2

.

D.

4

.

Lời giải
Chọn

D.

Mặt phẳng

(

r
n = 3m;5 1 − m 2 ; 4 m

( P)
có một véc tơ pháp tuyến là

I ( a; b; c )
Gọi

và

R

)
.

( S)

lần lượt là tâm và bán kính của mặt cầu

d ( I;( P) ) = R ⇔

3ma + 5 1 − m 2 b + 4mc + 20
9m + 25 ( 1 − m ) + 16m
2

2

2

.
=R

Khi đó, ta có

.

⇔ 3ma + 5 1 − m 2 b + 4mc + 20 = 5 R

.

( S)
Do mặt cầu
mọi

m

3ma + 5 1 − m2 b + 4mc + 20 = k

( P)
cố định và tiếp xúc với

( S)
. Suy ra

nên

I ( 0; 0;0 )
có tâm

. Khi đó

khơng đổi với

R = d ( I;( P) ) = 4

.

A ( a;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0; c )

Oxyz

Câu 19: Trong không gian với hệ toạ độ
, cho ba điểm
với
a, b, c > 0
a , b, c
a+b+c = 4

I
thỏa mãn
và. Biết
thay đổi thì tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

OABC

A.

( P)
thuộc mặt phẳng

d ( M ;( P) ) = 3

Lời giải
Chọn

C.

M ( 1;1; −1)
cố định. Tính khoảng cách từ điểm

d ( M ;( P) ) =
.

B.

3
2

d ( M ;( P) ) =
.

C.

( P)
đến mặt phẳng

3
3

.

D.

d ( M ;( P) ) = 0

.

.


1

( S)

x 2 + y 2 + z 2 − 2mx − 2ny − 2 pz + d = 0

Phương trình mặt cầu

( S)
Do

có dạng:

.

O, A, B, C
đi qua

nên

a

m=

2
 a 2 − 2ma = 0

 2
n = b
b − 2nb = 0
⇔
2
 2
c
−
2
pc
=

0


c
d = 0
p =

2

 d = 0

( S)
Suy ra

có tâm

.

a b c
I ; ; ÷
2 2 2

R=
và

a2 + b2 + c2
2

.

a b c
+ + −2=0
∀a, b, c > 0
a +b+c = 4
2 2 2
Mặt khác ta ln có
,
thỏa
I ∈( P) : x + y + z − 2 = 0
Do đó

cố định.

d ( M ;( P) ) =
Vậy

3
3

.

A ( 3; −2;6 ) , B ( 0;1;0 )

Oxyz
Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ

( S ) : ( x − 1)

2

, cho hai điểm

( P ) : ax + by + cz − 2 = 0

+ ( y − 2 ) + ( z − 3 ) = 25
2

và mặt cầu

2

. Mặt phẳng

( S)
theo giao tuyến là đường trịn có bán kính nhỏ nhất. Tính
T =3
T =4
T =2
A.
.
B.
C.
.
.
Lời giải:
Chọn C

A, B
đi qua

T = a +b+c
D.

.

T =5

.

và cắt


1

uuur
I ( 1; 2;3) ; R = 5; AB ( −3;3; −6 )

( S)

có tâm
.
B
K
I
AB
K
Vì nằm trong mặt cầu nên gọi
là hình chiếu vng góc của lên
thì cũng nằm trong

( P)
mặt cầu. Do đó

AB

( S)
ln cắt
x = t

 y = 1− t
 z = 2t


theo giao tuyến là một đường trịn bán kính

Ta lại có:
uur
IK ( 0; −2; −1)

nên để

làm VTPT. Vì
2y + z − 2 = 0 ⇒ T = 3
.

r

nhỏ nhất thì

IK ⊥ AB

IH

.

lớn nhất, mà

nên

Câu 21: Trong không gian với hệ tọa độ

A ( 1; 0; 2 ) , B ( −1; 2; 2 )

nên mp

cần tìm nhận

( P)
. Vậy phương trình

( S ) : ( x − 1)

2

:

+ ( y − 2 ) + ( z − 3) = 16
2

2

, cho mặt cầu

( P ) : ax + by + cz + 3 = 0
. Mặt phẳng

T = a+b+c
giao tún là đường trịn có bán kính nhỏ nhất. Tính
.
T =3
T = −3
T =0
A.
.
B.
.
C.
.
Lời giải
Chọn B

( P)

IH ≤ IK

AB ⊂ ( P )

Oxyz

và hai điểm

.

uur
K ( t ;1 − t ; 2t ) ⇒ IK = ( t − 1; −t − 1; 2t − 3)

có phương trình:
nên
uur uuu
r
K ( 1;0; 2 )
IK . AB = 0 ⇔ t = 1
IK ⊥ AB
Vì
suy ra
. Do đó
.
r 2 = 25 − IH 2

r

( S)

A, B
đi qua

D.

T = −2

và cắt

.

theo


1

I ( 1, 2,3 ) ; R = 4.
Mặt cầu có tâm
trung điểm

AB

IA = IB = 5 < R

Ta có

K ( 0;1; 2 )
. Tương tự bài trên ta có

( P) : −x − y − z + 3 = 0
nên mp

. Chọn

B.

( S ) : ( x − 1)

Oxyz
Câu 22: Trong không gian với hệ toạ độ

A ( 0, 0, 2 )
điểm

là

+ ( y − 2 ) + ( z − 3) = 9
2

2

, cho mặt cầu

( P)
. Phương trình mặt phẳng

2

đi qua

A

,

( S)
và cắt mặt cầu

theo thiết diện là

( C)
đường trịn
có diện tích nhỏ nhất?
( P ) : x − 2 y + 3z − 6 = 0
A.

( P ) : x + 2 y + 3z − 6 = 0
B.

( P ) : 3x + 2 y + 2 z − 4 = 0

( P) : x + 2 y + z − 2 = 0

C.

D.

Lời giải
Chọn D

uu
r
IA ( −1; −2; −1) ⇒ IA = 6 < R

I ( 1, 2,3 ) ; R = 3.

IH ≤ IA
. Mặt khác

nên bán
uu
r
H≡A
IA
kính của đường trịn giao tún min khi
. Do đó mp cần tìm nhận
làm VTPT và qua
Mặt cầu có tâm

A ( 0;0; 2 )

Ta có

x + 2y + z − 2 = 0
có dạng:

.


1

A ( 3; −2;6 ) , B ( 0;1;0 )

Oxyz
Câu 23: Trong không gian hệ trục tọa độ

( S ) : ( x − 1)

, cho hai điểm

( P ) : ax + by + cz − 2 = 0

+ ( y − 2 ) + ( z − 3) = 25

2

2

và mặt cầu

2

. Mặt phẳng

đi qua

T = a +b+c
theo giao tún là hình trịn có bán kinh nhỏ nhất. Tính
:
T =3
T =5
T =2
A.
.
B.
.
C.
.

D.

T =4

và cắt

.

Lời giải
Chọn. A.

( S)
Mặt cầu

I ( 1; 2;3)

có tâm

bán kính

R=5

.

( P)
Mặt phẳng

Do

có vtpt uur

.
nP = ( a, b, c ) , a 2 + b 2 + c 2 ≠ 0

B ( 0;1;0 ) ∈ ( P ) : b − 2 = 0 ⇔ b = 2

(

)

.

Ta có: uuur
, phương trình đường thẳng
AB = ( −3;3; −6 ) = −3 ( 1; −1; 2 )

( S)

A, B

x = t

AB :  y = 1 − t , t ∈ ¡ .
 z = 2t



Gọi

r

1
là bán kính của đường trịn giao tún,

vng góc của

Ta có:

I

lên mặt phẳng

( P)

K

là hình chiếu của

I

trên

,
là hình chiếu
AB H

.

uur
K ∈ AB ⇒ K ( t ;1 − t ; 2t ) ⇒ IK ( t − 1; −t − 1; 2t − 3)

uuur uur
uur
IK ⊥ AB ⇒ AB.IK = 0 ⇒ t = 1 ⇒ IK ( 0; −2; −1)

r = R 2 − d 2 ( I , ( P ) ) = 25 − d 2 ( I , ( P ) ) = 25 − IH 2
Ta có:

Mà

r

đạt min thì

IH

IH ≤ IK ⇒ IH max

đạt max.

uur và uur cùng phương
⇔ H ≡ K ⇒ ( P ) ⊥ IK ⇒ nP
IK

a = 0
a = 0
a = 0

uur uur 
 k = −1 
⇒ nP = k IK ⇒ b = −2k = 2 ⇒ 

⇒ b = 2
b
=
2
c = − k

c = 1


c = 1
Câu 24: Trong không gian với hệ trục toạ độ

A(1;3; 2)

và đường thẳng

lượt tại hai điểm

A.

M

và

x − 6 y −1 z + 3
=
=
7
−4
−1

N

.

 x = −2 + 2t

d :  y = 1+ t .
z = 1− t

sao cho

A

Oxyz

cho mặt phẳng

( P) :2 x − y + z − 10 = 0

Tìm phương trình đường thẳng

là trung điểm của cạnh

B.

MN

.

x + 6 y +1 z − 3
=
=
7
4
−1

.

∆

cắt

( P)

và

, điểm

d

lần


1
C.

.

x − 6 y −1 z + 3

=
=
7
4
−1

D.

x + 6 y +1 z − 3
=
=
7
−4
−1

.

Lời giải
Chọn B.

∆
Vì

cắt

d

tại

M ∈ ( P)

Suy ra :

N ( −2 + 2t;1 + t;1 − t )
nên ta có:

M (8;7;1)

=> Phương trình

∆

và

. Ta có

là trung điểm của cạnh

=> đường thẳng

d
A.

C.

∆

Oxyz

là đường thẳng đi qua

, cho đường thẳng

. Phương trình chính tắc của đường thẳng

x −1 y +1 z + 3
=
=
2
−1
1

M

và

N

∆

đi qua

A

x −1 y z + 2
d:
= =
2
1
−3

.

B.

.

D.

và điểm

, vng góc và cắt đường thẳng

là

x −1 y +1 z + 3
=
=
2
1
−3

M (4 − 2t;5 − t ;3 + t )

x + 6 y +1 z − 3
=
=
7
4
−1

Câu 25: Trong không gian với hệ trục tọa độ

A(1; −1; −3)

nên

MN

2(4 − 2t ) − (5 − t ) + (3 + t ) − 10 = 0 ⇒ t = −2

N (−6; −1;3)

là:

A

x −1 y +1 z + 3
=
=
1
4
2

x −1 y +1 z + 3
=
=
1
1
1

.

.


1
Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm

trình

A.

C.

Phương trình của đường thẳng

x −1 y +1 z
d:
=
= .
2
1
−1

với đường thẳng

d

B.

D.

x − 2 y −1 z
=
= .
−1
−3 2
Câu 27: Trong khơng gian

đi qua điểm

M

d

có phương

cắt và vng góc

x − 2 y −1 z
=
= .
−1
−4
2

x − 2 −y −1 z
=
=

.
−3
−4
−2

Oxyz ,

cho ba điểm

,
và
. Biết mặt phẳng
A(3;0;0) B (1; 2;1)
C (2; −1; 2)

,
và tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện
có một vectơ pháp tuyến là
. Tổng
B C
(10; a; b)
OABC

a+b
A.

∆

và đường thẳng

là:

x − 2 y −1 z
=
=
.
1
−4
−2

qua

M ( 2;1;0 )

−2

là

.

B.

2

.

C. .
1

D.

−1

Lời giải
Chọn B
Phân tích: Nội dung chính của câu hỏi này là tìm tọa độ tâm của mặt cầu nội tiếp tứ diện.
Phương trình

Phương trình

Phương trình

( OAB )
( OAC )
( OBC )

là:

là:

là:

− y + 2z = 0

2y + z = 0

x−z =0

.

.

.


1
Phương trình

Gọi

( ABC )

I ( a '; b '; c ' )

là:

5 x + 3 y + 4 z − 15 = 0

.

là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện

OABC

.

Do đó:
I

I

I

I

nằm cùng phía với

nằm cùng phía với

nằm cùng phía với

nằm cùng phía với

A

B

C

O

đối với

đối với

đối với

đối với

( OBC )

( OAC )
( OAB )
( ABC )

suy ra:

suy ra:

suy ra:

suy ra:

( a '− c ') > 0

.

( 2b '+ c ') > 0

.

( −b '+ 2c ') > 0

.

( 5a '+ 3b '+ 4c '− 15 ) < 0

.

Suy ra:
 d ( I , ( OAB ) ) = d ( I , ( OAC ) ) ⇔  −b '+ 2c ' 2b '+ c '

=


5
5
d
I
,
OAB
=
d
I
,
OBC
)) ( (
)) 
 ( (


 −b '+ 2c ' a '− c '
=

 d ( I , ( OAB ) ) = d ( I , ( ABC ) )
5
2

 −b '+ 2c ' 5a '+ 3b '+ 4c '− 15
=

5

5 2


⇔  −b '+ 2c ' = 2b '+ c '
⇔ −b '+ 2c ' = 2b '+ c '


 2 −b '+ 2c ' = 5 a '− c '
 2 ( −b '+ 2c ' ) = 5 ( a '− c ' )


 10 ( −b '+ 2c ' ) = − ( 5a '+ 3b '+ 4c '− 15 )
 10 −b '+ 2c ' = 5a '+ 3b '+ 4c '− 15


1

⇔
3
a ' = 2

3 10 − 9

b ' =
2


9 10 − 27
c ' =
2


Suy ra:

.

(


3 3 10 − 9 3 3 10 − 9
I ;
;
2
2
2


)

,
, uuur
.
 uur  1 3 10 − 13 9 10 − 29  BC = ( 1; −3;1)
;
÷
÷ BI =  ;
÷
2
2
2


÷


uur uuur


 BI , BC  =  −50 + 15 10; −30 + 9 10 ; 10 − 3 10 ÷

 
÷
2
2



Suy ra

Vậy:

cùng phương với r
.
n = ( 10;3; −1)

có một VTPT là r
.
n = ( 10;3; −1) = ( 10; a; b )

( BCI )

a+b = 2

.

Cách khác:
Phương trình

Phương trình

Gọi

(α)

Suy ra

(α) :

( OBC )
( ABC )

là:

là:

x−z =0

5 x + 3 y + 4 z − 15 = 0

là mặt phẳng qua

(α)

x−z
2

.

.

,
và tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện
.
B C
OABC

là mặt phẳng phân giác của hai mặt phẳng

=

5 x + 3 y + 4 z − 15
50

( OBC )

3 y − 8 z − 15 = 0
( 1)
⇔
10 x + 3 y − z − 15 = 0 ( 2 )

.

và

(

ABC )

.