De thi HSG Toan 12Nam Dinh 2013

<span class='text_page_counter'>(1)</span>SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012-2013 Môn: Toán - lỚP 12 THPT. ĐỀ CHÍNH THỨC. Thời gian làm bài: 180 phút. 3 2 Câu 1. (4 điểm) Cho hàm số y  x  2mx  3x (1) và đường thẳng () : y 2mx  2 (với m là tham số). 1) Khi m 0 . Gọi đồ thị của hàm số đã cho là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại tiếp điểm M, biết khoảng cách từ M đến trục tung bằng 2. 2) Tìm m để đường thẳng ( ) và đồ thị hàm số (1) cắt nhau tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho diện tích tam giác OBC bằng 3 (với A là điểm có hoành độ không đổi và O là gốc toạ độ). Câu 2. (5 điểm)   2sin   2 x   2sin 2 x  3 3  4cos 4 x cos x 1) Giải phương trình .  xy  2  y x 2  2  2 2 2  y  2  x  1 x  2 x  3 2 x  4 x. 2) Giải hệ phương trình  (với x; y   ) Câu 3. (3 điểm) 1) Trong mặt phẳng với toạ độ Oxy cho hình thang ABCD vuông tại A và D có AB AD  CD, điểm B(1; 2) , đường thẳng BD có phương trình y 2 . Biết rằng. đường thẳng (d ) : 7 x  y  25 0 lần lượt cắt các đoạn thẳng AD và CD theo thứ tự tại M và N sao cho BM  BC và tia BN là tia phân giác của góc MBC. Tìm toạ độ đỉnh D (với hoành độ của D là số dương). A 1;2;1 , B  1;  2; 4  2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai điểm  và mặt. phẳng ( P) : 2 y  z 0 . Tìm toạ độ điểm C  ( P) sao cho tam giác ABC cân tại B và 25 có diện tích bằng 2 . Câu 4. (3 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông với AB 2a . Tam giác SAB vuông tại S, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết góc 1 sin   3 . Tính thể tích khối tạo bởi đường thẳng SD và mặt phẳng (SBC) bằng  với a chóp S.ABCD và khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD) theo . Câu 5. (3 điểm) x 2 ln  x  1  3 x 3  x I  dx 4 x 1 1) Tính tích phân . 0;1; 2;3; 4;5;6 2) Từ các chữ số thành lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số có 5 chữ 2. số khác nhau, trong đó luôn có mặt chữ số 6 .. 2 2 2 Câu 6. (2 điểm) Cho các số thực x, y , z thay đổi thoả mãn điều kiện x  y  z 1.. 8. 2. P  xy  yz  2 xz   Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.  x  y  z. 2.  xy  yz  2. ..

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Họ và tên thí sinh :……………………… Chữ ký của Giám thị 1 : ………………………… Số báo danh : ……………………… Chữ ký của Giám thị 2 : ………………………….

<span class='text_page_counter'>(3)</span>