Bài tập VDC tiệm cận của đồ thị hàm số có lời giải chi tiết

<span class='text_page_counter'>(1)</span>TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ A – KIẾN THỨC CHUNG 1 - Định nghĩa: +) Đường thẳng x = a là TCĐ của đồ thị hàm số y = f ( x ) nếu có một trong các điều kiện sau: lim y = +∞ hoặc lim+ y = −∞ hoặc lim− y = +∞ hoặc lim− y = −∞. x→a+. x→a. x→a. x→a. +) Đường thẳng y = b là TCN của đồ thị hàm số y = f ( x ) nếu có một trong các điều kiện sau: lim y = b hoặc lim y = b. x →+∞. x →−∞. = y f= ( x) 2 - Cho. P( x) Q( x). Đkiện cần: giải Q ( x ) = 0 ⇔ x = x0 là TCĐ khi thỏa mãn đk đủ. Điều Kiện đủ: Đkiện 1: x0 làm cho P ( x) và Q( x) xác định Đkiện 2:. x0 là TCĐ  x0 không phải nghiệm P ( x) ⇒ x = x0 là TCĐ nếu lim f ( x) = ∞  x0 là nghiệm P ( x) ⇒ x = x → x0. Cần nhớ: y . ax  b d (c  0, ad  bc  0) luôn có đường tiệm cận đứng là: x   c cx  d. 3 - Hàm số y = f(x) có TXD: D Đkiện cần: D phải chứa +∞ hoặc −∞ Đkiện đủ:. y f= ( x) = Dạng 1:. P( x) Q( x).  Bậc của P (x ) nhỏ hơn bậc của Q(x )  lim y  0  Tiệm cận ngang Ox : y  0. x .  Bậc của P (x ) bằng bậc của Q(x )  lim y  x . HÖ sè x bËc cao cña P( x )  . HÖ sè x bËc cao cña Q( x ). Suy ra tiệm cận ngang y  .  Bậc của P (x ) lớn hơn bậc của Q(x )  lim y    Không có tiệm cận ngang. x . Dạng 2: y= f ( x)= u − v (hoặc. u − v ): Nhân liên hợp ⇒ = y f ( x= ). 3 - Kĩ thuật "ước lượng bậc nhỏ hơn" Ví dụ câu 13 x2 + x + 4 x y= ≈ = ±1 khi x → ±∞ ⇒ y = ±1 là hai đường TCN x −3 x. 4 - Kỹ năng sử dụng máy tính (tham khảo):. u2 − v (hoặc u+ v. u −v ) u+ v.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 9  Tính lim f (x ) thì nhập f (x ) và CALC x  x   10 . x x . 9  Tính lim f (x ) thì nhập f (x ) và CALC x  x   10 . x x . B – BÀI TẬP DẠNG 1. TIỆM CẬN KHÔNG CHỨA THAM SỐ Câu 1:. (THPT-Yên-Khánh-Ninh-Bình-lần-4-2018-2019-Thi-tháng-4)Đồ thị hàm số y = có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận đứng? B. 3 .. A. 2 . Câu 2:. (Thị Xã Quảng Trị) Đồ thị hàm số y =. A. 4. Câu 3:. C. 0 .. D. 1 .. x x2 − 4 có bao nhiêu đường tiệm cận? ( x − 1)( x + 5). B. 2.. C. 1.. D. 3.. (KỸ-NĂNG-GIẢI-TOÁN-HƯỚNG-ĐẾN-THPT-QG) Đồ thị hàm số y = nhiêu đường tiệm cận?. A. 3 . Câu 4:. B. 4 .. Câu 5:. B. 2.. Câu 8: A. 2 . Câu 9: A. 2 . Câu 10:. x + 2019 − x. là. D. 3. x + 16 − 4 là x2 + x. D. 0 .. C. 2 .. 4 x 2 − 1 + 3x 2 + 2 là: x2 − x B. 3.. A. 2.. A. 2 .. x 2. (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị. y=. Câu 7:. C. 1.. B. 3 .. 1 − x2 + x có bao x2 − 2 x − 3. D. 1 .. (Ngô Quyền Hà Nội) Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =. A. 1 . Câu 6:. C. 2 .. (Phan Đình Tùng Hà Tĩnh) Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y =. A. 4.. 2x −1 +1 x2 − 2 x. Đồ thị hàm số = y. C. 4.. D. 1.. 4 x 2 + 4 x + 3 − 4 x 2 + 1 có bao nhiêu tiệm cận ngang? C. 1 .. B. 0 . Số tiệm cận của đồ thị hàm số = f ( x) B. 5 .. 1 x2 − 2x. −. 1 x2 − x. là:. C. 3 .. = y f= Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số ( x) B. 3 .. D. 3 .. C. 4 .. D. 4 .. 1 x2 − 2x − x2 − x. . D. 1 .. (SỞ PHÚ THỌ LẦN 2 NĂM 2019) Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau:.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = A. 3. Câu 11:. B. 4.. C. 5.. 2 là 3 f ( x) − 2 D. 6.. (Đặng Thành Nam Đề 9) Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên  thỏa mãn lim f ( x ) = −1 ; x→−∞. lim f ( x ) = 1 và f ( x ) =1 ⇔ x =0 . Tổng số đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số. x→+∞. y=. 1 là: f ( x) −1. A. 2. Câu 12:. B. 1.. C. 4.. D. 3.. (CổLoa Hà Nội) Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên  , có bảng biến thiên như sau:. Hỏi đồ thị hàm số y = A. 5.. 1 có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận (tiệm cận đứng và tiệm cận ngang)? f ( x) + 2. B. 2.. C. 4.. D. 3.. Câu 13: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau. Đồ thị hàm số y = A. 0. Câu 14:. 1 có bao nhiêu tiệm cận đứng f (3 − x ) − 2 B. 2. C. 3.. D. 1.. (KỸ-NĂNG-GIẢI-TOÁN-HƯỚNG-ĐẾN-THPT-QG) Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ sau.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Đồ thị hàm số y =. 1 có bao nhiêu tiệm cận đứng? 2 f ( x − 2x + 2) + 5 2. B. 6 .. A. 2 .. D. 3 .. C. 4 .. Câu 15: Cho hàm số f ( x) = ax 4 + bx 2 + c có đồ thị như hình vẽ. Hỏi đồ thị hàm số g ( x) =. 2018 x f ( x) ( f ( x) − 1). có bao nhiêu đường tiệm cận? y. 2. x. O. B. 9 .. A. 2 .. C. 4 .. Câu 16: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên hàm số g ( x ) =. A. 4..  . Đồ thị hàm f ( x ). D. 3 . như hình vẽ. Hỏi đồ thị. x2 −1 có bao nhiêu đường tiệm cận đứng? f 2 ( x) − 4 f ( x). B. 3.. C. 1.. D. 2.. Câu 17: Cho hàm số bậc ba f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ. Hỏi đồ thị hàm số g ( x) =. (x. 2. − 2x). 1− x. ( x − 3) .  f 2 ( x ) + 3 f ( x ). có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> A. 5 .. C. 6 .. B. 4 .. D. 3 .. Câu 18: Cho hàm số bậc ba f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ. Hỏi đồ thị hàm số g ( x) =. ( x − 2 x ).. ( x − 4 ) .  f 2 ( x ) + 2 f ( x ). A. 5 . Câu 19:. 2− x. B. 4 .. có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?. C. 2 .. D. 3 .. (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Cho f ( x ) là hàm đa thức có đồ thị hàm như hình vẽ dưới đây. Đặt g ( x ) =. x2 − x , hỏi đồ thị hàm số y = g ( x ) có bao nhiêu đường f 2 ( x) − 2 f ( x). tiệm cận đứng ?. A. 5. Câu 20:. B. 3.. D. 2.. (Lý Nhân Tông) Cho hàm số f ( x) = ax3 + bx 2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi đồ thị. (x hàm số g ( x) =. 2. − 3x + 2 ) x − 1. x  f 2 ( x ) − f ( x ) . A. 3 .. C. 4.. B. 4 .. có bao nhiêu tiệm cận đứng?. C. 6 .. D. 5 ..

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Câu 21:. (Chuyên Thái Nguyên) Cho hàm số f ( x ) = ax3 + bx 2 + cx + d hình vẽ. Đồ thị hàm số g ( x ). A. 3 . Câu 22:. Câu 23:. 2. 2 x ( f ( x ) ) − 2 f ( x )   . có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?. C. 6 .. D. 4 .. (THPT SỐ 1 TƯ NGHĨA LẦN 2 NĂM 2019) Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị như hình vẽ ( x − 2) 2 x có bao nhiêu tiệm cận đứng? ( x + 3) ( f 2 ( x) − 3 f ( x) ). B. 3 .. C. 2 .. D. 1 .. (THCS-THPT-NGUYỄN-KHUYẾN-TP-HCM-24THÁNG3) y = f ( x ) = ax3 + bx 2 + cx + d như hình vẽ.. = y g= Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số ( x) A. 8 .. + 4 x + 3) x 2 + x. B. 2 . bên. Hỏi đồ thị hàm số g ( x) =. A. 6 .. (x =. ( a, b, c, d ∈ R ) có đồ thị như. B. 7 .. (x. (x 2. 2. − 2 x − 3) x + 2. 2 − x ) ( f ( x ) ) + f ( x )   . C. 6 .. Đồ. thị. là D. 5 .. hàm. số.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> x−2 có đồ thị ( C ) . Phương trình tiếp tuyến ∆ của đồ thị hàm số ( C ) tạo với x +1 hai đường tiệm cận một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất. Khi đó, khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị ( C ) đến ∆ bằng?. Câu 24: Cho hàm số y =. A.. 3.. B. 2 6 .. C. 2 3 .. 6.. D.. 2x − 3 (C ) . Gọi M là điểm bất kỳ trên (C), d là tổng khoảng cách từ M đến hai x−2 đường tiệm cận của đồ thị (C). Giá trị nhỏ nhất của d là. Câu 25: Cho hàm số y = A. 5.. B. 10.. Câu 26: Số điểm thuộc đồ thị (H) của hàm số y = (H) nhỏ nhất là A. 3 B. 2 Câu 27:. C. 1. C. 6.. D. 2.. 2x −1 có tổng các khoảng cách đến hai tiệm cận của x +1. D. 0. x+2 , sao cho x−2 tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số là nhỏ nhất. Tọa độ điểm M là:. (Sở Vĩnh Phúc) Cho M là điểm có hoành độ dương thuộc đồ thị hàm số y =. A. ( 4;3) .. B. ( 0; −1) .. C. (1; −3) .. D. ( 3;5 ) .. x+2 , có đồ thị (C). Gọi P, Q là 2 điểm phân biệt nằm trên (C) sao cho tổng x−2 khoảng cách từ P hoặc Q tới 2 đường tiệm cận là nhỏ nhất. Độ dài đoạn thẳng PQ là:. Câu 28: Cho hàm số y =. B. 5 2. A. 4 2. C. 4. D. 2 2. x+2 có đồ thị ( C ) . Gọi d là khoảng cách từ giao điểm hai tiệm cận của đồ thị x +1 ( C ) đến một tiếp tuyến của ( C ) . Giá trị lớn nhất của d có thể đạt được là:. Câu 29: Cho hàm số y =. A. 2 2 .. B.. 2.. C. 3 3 .. D.. 3.. DẠNG 2. TIỆM CẬN CHỨA THAM SỐ Câu 30:. (ĐH Vinh Lần 1) Có bao nhiêu giá trị m nguyên để đồ thị hàm số y = một tiệm cận đứng.. A. 1. Câu 31:. B. 2.. C. 3.. D. 4.. (Chuyên-Thái-Nguyên-lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3) Cho hàm số y = cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận.. 5  m ≠ 2  A.  . m>2    m < −2. m > 2  B.  5. m ≠ 2. C. −2 < m < 2 .. x−2 có đúng x − mx + m 2. 1− x . Tìm tất x − 2mx + 4 2. m > 2 D.  .  m < −2.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Câu 32:. ax 2 + x − 1 có đồ thị ( C ) ( a, b là các hằng số 4 x 2 + bx + 9 dương, ab = 4 ). Biết rằng ( C ) có tiệm cận ngang y = c và có đúng 1 tiệm cận đứng. Tính tổng (LÝ TỰ TRỌNG – TPHCM) Cho hàm số y =. T = 3a + b − 24c A. T = 1. Câu 33:. B. 1 .. D. T = 11.. D. 9 .. C. 12 .. x −3 . Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc x − 3mx + (2m 2 + 1) x − m đoạn [ −6;6] của tham số m để đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận? (Sở Bắc Ninh) Cho hàm số y =. A. 8 . Câu 35:. C. T = 7.. (Cụm THPT Vũng Tàu) Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số x 2 − 3x + 2 không có đường tiệm cận đứng? y= 2 x − mx − m + 5. A. 10 . Câu 34:. B. T = 4.. 3. 2. B. 9 .. C. 12 .. D. 11 .. (CHUYÊN. ĐHSP HN) Tập hợp các giá trị của 2x −1 có đúng 1 đường tiệm cận là y= 2 ( mx − 2 x + 1)( 4 x 2 + 4mx + 1). m. để. A. {0} .. B.. ( −∞; −1) ∪ (1; +∞ ) .. C. ∅. D.. ( −∞; −1) ∪ {0} ∪ (1; +∞ ) .. Câu 36:. (CHUYÊN. THÁI. NGUYÊN. LẦN. 3) Cho. hàm. số. g ( x) =. đồ. thị. hàm. 2018 h ( x ) − m2 − m. số. với. h ( x ) = mx 4 + nx3 + px 2 + qx ( m , n , p , q ∈  ) . Hàm số y = h′ ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tìm các giá trị m nguyên để số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số g ( x ) là 2 B. 10 .. A. 11 . Câu 37:. A. 2007 .. A. 0 .. D. 20 .. (Chuyên Quốc Học Huế Lần1) Tìm số giá trị nguyên thuộc đoạn [ −2019; 2019] của tham số m để đồ thị hàm số y =. Câu 38:. C. 9 .. x −3 có đúng hai đường tiệm cận. x + x−m 2. B. 2010 .. C. 2009 .. D. 2008 .. (THPT-Phúc-Trạch-Hà-Tĩnh-lần-2-2018-2019-thi-tháng-4) Có bao nhiêu giá trị nguyên của 4036 x + 2 m ∈ ( −2019; 2019 ) để đồ thị hàm số y = có hai đường tiệm cận ngang. mx 2 + 3 B. 2018 .. C. 4036 .. D. 25 ..

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Câu 39:. x +1. có đồ thị ( C ) . Biết rằng ( C ) có tiệm cận ax 2 + 1 ngang và tồn tại tiếp tuyến của ( C ) song song và cách tiệm cận ngang của ( C ) một khoảng bằng (Đặng Thành Nam Đề 14) Cho hàm số y =. 3 . Mệnh đề nào dưới đây đúng ? 1  A. a ∈  ;1 . 2 . Câu 40:.  3 B. a ∈ 1;  .  2.  1 C. a ∈  0;  .  2. (-Mai-Anh-Tuấn-Thanh-Hóa-lần-1-2018-2019) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số y =. A. −1 ≤ m < 0 .. mx 2 + 1 có đúng một đường tiệm cận. x +1. B. −1 ≤ m ≤ 0 .. C. m < −1 .. Câu 41: Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số y = A. m = 0 Câu 42:. 3  D. a ∈  ; 2  . 2 . B. m < 0. D. m > 0 .. x2 + 2 mx 4 + 3. có hai đường tiệm cận ngang.. C. m > 0. D. m > 3. 1 . Tìm tất cả các giá  x − ( 2m + 1) x + 2m  x − m trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận.. (Hai Bà Trưng Huế Lần1) Cho hàm số y =. 0 < m < 1  A.  1 . m ≠ 2. m < 1  B.  1. m ≠ 2. 2. 0 ≤ m ≤ 1  D.  1 . m ≠ 2. C. m > 1 .. Câu 43: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số y =. 2x −. ( m − 1) x 2 + 1 x −1. hai tiệm cận ngang? A. m = 1 Câu 44:. B. m ∈ (1; 4 ) ∪ ( 4; +∞ ). A. S = [8;9 ) . Câu 45:. D. m > 1. 12 + 4 x − x 2. có đồ thị ( Cm ) . Tìm tập S tất cả các giá trị của x 2 − 6 x + 2m có đúng hai tiệm cận đứng.. (TTHT Lần 4) Cho hàm số y = tham số thực m để ( Cm ). C. m < 1. có đúng.  9 B. S =  4;  .  2.  9 C. S =  4;  .  2. x + 3 + ax + b. (Thuận Thành 2 Bắc Ninh) Cho hàm số y =. ( x − 1). 2. D. S = ( 0;9] . có đồ thị (C). Biết rằng đồ thị hàm. số (C) không có tiệm cận đứng. Tính giá trị T = 2a − 3b . A. −. 11 . 4. Câu 46:. B.. 3 . 2. C.. 19 . 4. D.. 7 . 2. (TTHT Lần 4) Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 1+ x +1 có đúng hai tiệm cận đứng là y= x 2 − mx − 3m 1 1  1  1 A. ( 0; +∞ ) . B.  0;  . C.  ;  . D.  0;  . 4 2  2  2.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Câu 47: Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho đồ thị hàm số y = đường tiệm cận? A. m > 2 hoặc m < −1 . C. 2 ≤ m ≤ 3 .. Câu 49:. C. 1. A. −2 .. B. 2 .. mx 2 − 4 x − mx + 1 có tiệm cận ngang là:. D. 2 3. x3 + 3 x 2 + 2 − 4 x 2 + 3 x + 2 + mx có tiệm cận ngang. Tổng C. −3 .. D. 3 .. (PHÂN-TÍCH-BÌNH-LUẬN-THPT-CHUYÊN-HÀ-TĨNH) Gọi S là tập tất cả các giá trị của m y 3 8 x3 − 5 x 2 − 2 − 25 x 2 − 7 x + 2 − x có tiệm cận ngang. Tích tham số m để đồ thị hàm số = 2 các phần tử của S là B. −84 .. A. 8 . Câu 51:. có đúng ba. (PHÂN-TÍCH-BÌNH-LUẬN-THPT-CHUYÊN-HÀ-TĨNH) Gọi S là tập tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y= các phần tử của S là. Câu 50:. x − 2mx + m + 2. B. 2 < m < 3 . D. m < 2 .. Câu 48: Số các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y= A. 3 B. 0. x − 1 + 2017 2. C. 21 .. D. −21 .. (PHÂN-TÍCH-BÌNH-LUẬN-THPT-CHUYÊN-HÀ-TĨNH) Gọi S là tập tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y= 9 x 2 − 5 x + 3 − 3 64 x3 + 3 x 2 − 5 x + 2 + mx có tiệm cận ngang. Tổng bình phương tất cả các phần tử của S là B. 15 .. A. 10 . Câu 52:. D. 51 .. (Thuận Thành 2 Bắc Ninh) Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để đồ thị hàm số x + m −3 có đúng một đường tiệm cận? y= x+5. A. 5 . Câu 53:. C. 50 .. B. 4 .. C. 1 .. D. 6 .. (Kim Liên) Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f ( tan x ) = cos 4 x . Tìm tất cả các số thực m để đồ thị hàm số g ( x ) =. 2019 có hai đường tiệm cận đứng. f ( x) − m. A. m < 0 .. B. 0 < m < 1. C. m > 0 .. D. m < 1 .. 2mx + m . Với giá trị nào của tham số m thì đường tiệm cận đứng, tiệm cận x −1 ngang cùng hai trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có diện tích bằng 8.. Câu 54: Cho hàm số y =. A. m = 2 .. 1 B. m = ± . 2. C. m = ±4 .. D. m ≠ ±2 .. 2x +1 ax + 1 1 và g ( x ) = với a ≠ . Tìm tất cả các giá trị thực x+2 2 x +1 dương của a để các tiệm cận của hai đồ thị hàm số tạo thành một hình chữ nhật có diện tích là 4.. Câu 55: Cho đồ thị hai hàm số f ( x ) =. A. a = 3 .. B. a = 6 .. C. a = 1 .. D. a = 4 ..

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Câu 56:. x+a có đồ thị ( C ) x−a (với a là số thực dương). Gọi P , Q là 2 điểm phân biệt nằm trên ( C ) sao cho tổng khoảng cách (Phan Đình Tùng Hà Tĩnh) (Phan Đình Tùng Hà Tĩnh) Cho hàm số y =. từ P tới hai đường tiệm cận của ( C ) là nhỏ nhất và tổng khoảng cách từ Q tới hai đường tiệm cận của ( C ) là nhỏ nhất. Độ dài đoạn thẳng PQ là A. 2 2a + 1 .. B. 2 a .. C.. 2a + 1 .. D. 4 a ..

<span class='text_page_counter'>(12)</span> TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ A – KIẾN THỨC CHUNG 1 - Định nghĩa: +) Đường thẳng x = a là TCĐ của đồ thị hàm số y = f ( x ) nếu có một trong các điều kiện sau: lim y = +∞ hoặc lim+ y = −∞ hoặc lim− y = +∞ hoặc lim− y = −∞. x→a+. x→a. x→a. x→a. +) Đường thẳng y = b là TCN của đồ thị hàm số y = f ( x ) nếu có một trong các điều kiện sau: lim y = b hoặc lim y = b. x →+∞. x →−∞. = y f= ( x) 2 - Cho. P( x) Q( x). Đkiện cần: giải Q ( x ) = 0 ⇔ x = x0 là TCĐ khi thỏa mãn đk đủ. Điều Kiện đủ: Đkiện 1: x0 làm cho P ( x) và Q( x) xác định Đkiện 2:. x0 là TCĐ  x0 không phải nghiệm P ( x) ⇒ x = x0 là TCĐ nếu lim f ( x) = ∞  x0 là nghiệm P ( x) ⇒ x = x → x0. Cần nhớ: y . ax  b d (c  0, ad  bc  0) luôn có đường tiệm cận đứng là: x   c cx  d. 3 - Hàm số y = f(x) có TXD: D Đkiện cần: D phải chứa +∞ hoặc −∞ Đkiện đủ:. y f= ( x) = Dạng 1:. P( x) Q( x).  Bậc của P (x ) nhỏ hơn bậc của Q(x )  lim y  0  Tiệm cận ngang Ox : y  0. x .  Bậc của P (x ) bằng bậc của Q(x )  lim y  x . HÖ sè x bËc cao cña P( x )  . HÖ sè x bËc cao cña Q( x ). Suy ra tiệm cận ngang y  .  Bậc của P (x ) lớn hơn bậc của Q(x )  lim y    Không có tiệm cận ngang. x . Dạng 2: y= f ( x)= u − v (hoặc. u − v ): Nhân liên hợp ⇒ = y f ( x= ). 3 - Kĩ thuật "ước lượng bậc nhỏ hơn" Ví dụ câu 13 x2 + x + 4 x y= ≈ = ±1 khi x → ±∞ ⇒ y = ±1 là hai đường TCN x −3 x. 4 - Kỹ năng sử dụng máy tính (tham khảo):. u2 − v (hoặc u+ v. u −v ) u+ v.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> 9  Tính lim f (x ) thì nhập f (x ) và CALC x  x   10 . x x . 9  Tính lim f (x ) thì nhập f (x ) và CALC x  x   10 . x x . B – BÀI TẬP DẠNG 1. TIỆM CẬN KHÔNG CHỨA THAM SỐ Câu 1:. (THPT-Yên-Khánh-Ninh-Bình-lần-4-2018-2019-Thi-tháng-4)Đồ thị hàm số y =. A. 2 .. có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận đứng? B. 3 .. C. 0 .. 2x −1 +1 x2 − 2 x. D. 1 .. Lời giải Chọn D 1  Tập xác định của hàm số là = D  ; + ∞  \ {2} . 2   2x −1 +1 = +∞  xlim +  →2 x 2 − 2 x Ta thấy  nên x = 2 là tiệm cận đứng.  lim 2 x − 1 + 1 = −∞   x → 2− x 2 − 2 x. Vậy đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là x = 2 . Câu 2:. (Thị Xã Quảng Trị) Đồ thị hàm số y =. A. 4.. B. 2.. x x2 − 4 có bao nhiêu đường tiệm cận? ( x − 1)( x + 5) C. 1. D. 3.. Lời giải Chọn D Tập xác định: D = Ta có lim y = x → +∞. ( −∞ ; − 2] ∪ [ 2; + ∞ ) \ {−5} .. x x2 − 4 x x2 − 4 lim = 1 và lim y = lim = −1 . x → +∞ ( x − 1)( x + 5 ) x → −∞ x → −∞ ( x − 1)( x + 5 ). Suy ra đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang: y = 1 và y = −1 . Lại có: lim − y = x → ( −5 ). lim −. x → ( −5 ). x x2 − 4 = −∞ . Suy ra đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x = −5 . ( x − 1)( x + 5). Vậy đồ thị hàm số đã cho có 3 đường tiệm cận. Câu 3: A. 3 .. (KỸ-NĂNG-GIẢI-TOÁN-HƯỚNG-ĐẾN-THPT-QG) Đồ thị hàm số y = nhiêu đường tiệm cận? B. 4 .. C. 2 . Lời giải. Chọn D Tập xác định: D =. ( −1;1]. 1 − x2 + x có bao x2 − 2 x − 3. D. 1 ..

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.  x =−1 ∈ [ −1;1] x2 − 2 x − 3 = 0 ⇔   x = 3 ∉ [ −1;1]. 1 − x2 + x 1 − x2 + x lim 2 = lim+ = +∞ x →−1+ x − 2 x − 3 x →−1 ( x + 1)( x − 3 ) Vậy đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng. Câu 4:. (Phan Đình Tùng Hà Tĩnh) Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y =. A. 4.. B. 2.. C. 1.. x x 2 + 2019 − x D. 3.. là. Lời giải Chọn C TXĐ: D =  . Ta có:. x 2 + 2019 − x = 0 vô nghiệm, nên đồ thị hàm số không có đường tiệm cận đứng. x. Mặt khác: lim. x 2 + 2019 − x. x →+∞. = lim. x. (. x 2 + 2019 + x 2019. x →+∞. ) = +∞ .. 1 x x x −1 . lim = lim = lim= lim = x →−∞ x 2 + 2019 − x x →−∞ x 1 + 2019 − x x →−∞ − x 1 + 2019 − x x →−∞ − 1 + 2019 − 1 2 x2 x2 x2. 1 Suy ra đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang là y = − . 2 Câu 5:. (Ngô Quyền Hà Nội) Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = B. 3 .. A. 1 .. C. 2 .. x + 16 − 4 là x2 + x D. 0 .. Lời giải Chọn A TXĐ: D = [ −16; + ∞ ) \ {−1;0} . 1 1 x + 16 − 4 x . Xét lim y lim lim 2 = = = lim = 2 x →0 x →0 x →0 x +x ( x + x ) x + 16 + 4 x→0 ( x + 1) x + 16 + 4 8. (. ). (. ). Suy ra đường thẳng x = 0 không phải là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Xét lim+ y = lim+ x →−1. x →−1. x + 16 − 4 = +∞ ; lim− y = lim− x →−1 x →−1 x2 + x. x + 16 − 4 = −∞ . x2 + x. Suy ra đường thẳng x = −1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Vậy đồ thị hàm số đã cho chỉ có một đường tiệm cận đứng là x = −1 . Câu 6:. (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị. y= A. 2.. 4 x 2 − 1 + 3x 2 + 2 là: x2 − x B. 3.. C. 4.. D. 1..

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Lời giải. Chọn A. 1 1   Tập xác định: D =  −∞; −  ∪  ;1 ∪ (1; + ∞ ) 2 2   Tiệm cận đứng:. 4 x 2 − 1 + 3x 2 + 2 4 x 2 − 1 + 3x 2 + 2 = −∞ lim+ y = lim+ = +∞ ; lim− y = lim− x→1 x→1 x→1 x→1 x ( x − 1) x ( x − 1) Suy ra x = 1 là tiệm cận đứng. Tiệm cận ngang: 4 1 2 − 4 +3+ 2 2 2 2 4 x − 1 + 3x + 2 x x x 3 là tiệm cận ngang lim y lim lim 3⇒ y= = = 2 →+∞ x→+∞ x→+∞ x 1 x −x 1− x 4 1 2 − 4 +3+ 2 2 2 2 4 x − 1 + 3x + 2 x x x 3 là tiệm cận ngang = = lim y lim lim 3⇒ y= 2 x→−∞ x→−∞ x →−∞ 1 x −x 1− x Vậy đồ thị hàm số có hai tiệm cận. Câu 7:. 4 x 2 + 4 x + 3 − 4 x 2 + 1 có bao nhiêu tiệm cận ngang?. Đồ thị hàm số = y. A. 2 .. C. 1 .. B. 0 .. D. 3 .. Lời giải Chọn A TXĐ: D =  . Ta có= lim y lim x →+∞. x →+∞. (. ). 4x + 2. 4 x 2 + 4 x + 3 − 4 x 2 + 1 = lim. 4x2 + 4x + 3 + 4x2 + 1. x →+∞. 2 4+ x lim 1 suy ra đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang. = x →+∞ 4 3 1 4+ + 2 + 4+ 2 x x x Ta có= lim y lim x →−∞. = lim. x →−∞. x →−∞. 4+. ( 2 x. ). 4x + 2. 4 x 2 + 4 x + 3 − 4 x 2 + 1 = lim. 4 3 1 − 4+ + 2 − 4+ 2 x x x. 4x2 + 4x + 3 + 4x2 + 1. x →−∞. = −1 suy ra đường thẳng y = −1 là tiệm cận ngang.. Vậy đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang. Câu 8: A. 2 .. Số tiệm cận của đồ thị hàm số = f ( x) B. 5 .. 1 x2 − 2x. C. 3 . Lời giải. Chọn C. −. 1 x2 − x. là: D. 4 ..

<span class='text_page_counter'>(16)</span> 2  x > 2 x − 2x > 0 Điều kiện:  2 ⇔ .. x − x > 0 x < 0 . 1. f ( x) =. x2 − 2x. 1. −. x2 − x. =. x2 − x − x2 − 2 x x2 − x. x2 − 2x. =. x2 − x. x2 − 2x. (. x x2 − x + x2 − 2x. ). .. lim f ( x ) = 0 ⇒ y = 0 .. x →±∞. Ta có: +) lim f ( x ) = 0 ⇒ y = 0 là tiệm cận ngang,. x →±∞. +) lim− f ( x ) = lim− x →0. = lim−. 1 − x. 2 − x. x →0. (. x2 − x. x2 − 2x. x →0. (. x x2 − x + x2 − 2x. −1 x2 − x + x2 − 2x. ). ). .. ). 2 là tiệm cận đứng. = +∞ ⇒ x =. = −∞ .. ⇒x= 0 là tiệm cận đứng. +) lim+ f ( x ) = lim+ x→2. x→2. x2 − x. x2 − 2x. (. x x2 − x + x2 − 2x. = y f= Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số ( x). Câu 9: A. 2 .. 1 2. x − 2x − x2 − x. C. 4 .. B. 3 .. . D. 1 .. Lời giải Chọn B.  x2 − 2x ≥ 0  x ∈ ( −∞;0] ∪ [ 2; +∞ )  2  ⇔  x ∈ ( −∞;0] ∪ [1; +∞ ) ⇔ x ∈ ( −∞;0 ) ∪ [ 2; +∞ ) Điều kiện xác định:  x − x ≥ 0  2  2  x − 2x − x − x ≠ 0 x ≠ 0 1 1 = = lim Khi đó: lim− f ( x ) lim − x →0 x → 0− x 2 − 2 x − x 2 − x x→0 − x ( 2 − x ) − − x (1 − x ) = lim− x →0. 1 1 . = +∞ . −x 2 − x − 1−x. ⇒x= 0 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Có lim+ y =lim+ x→2. x→2. Có lim y = lim x →+∞. x →+∞. 1 x2 − 2 x − x2 − x 1 x2 − 2x − x2 − x. =−. 1 ⇒ x =2 không là đường tiệm cận của đồ thị hàm số. 2. = lim. x →+∞. x2 − 2 x + x2 − x = lim x →+∞ −x. ⇒y= −2 là một đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.. 1−. 2 1 + 1− x x = −2 −1.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Có lim y x →−∞. 2 1 − 1− − 1− 1 x − 2x + x − x x x 2 lim= lim= lim = 2 2 →+∞ x →−∞ x →−∞ x −x −1 x − 2x − x − x 2. 2. 2 là một đường tiệm cận ngag của đồ thị hàm số. ⇒y=. Vậy đồ thị hàm số đã cho có 3 đường tiệm cận. Câu 10:. (SỞ PHÚ THỌ LẦN 2 NĂM 2019) Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau:. Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = A. 3.. B. 4.. C. 5.. 2 là 3 f ( x) − 2 D. 6.. Lời giải Chọn D 2 ) có 4 nghiệm x1 , x2 , x3 , x4 thỏa 3 2 x1 ∈ ( −∞; −1) , x2 ∈ ( −1;0 ) , x3 ∈ ( 0;1) , x4 ∈ (1; +∞ ) . Suy ra đồ thị hàm số y = có 4 tiệm cận đứng 3 f ( x) − 2 là x = x1 , x = x2 , x = x3 , x = x4 .. 0 (hay f ( x) = Dựa vào bảng biến thiên, phương trình 3 f ( x) − 2 =. 2 2 Vì lim y lim . = = 0 nên y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = x →−∞ x →−∞ 3 f ( x ) − 2 3 f ( x) − 2 2 2 Vì lim y lim . = = 2 nên y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = x →+∞ x →+∞ 3 f ( x ) − 2 3 f ( x) − 2 Do đó đồ thị hàm số y =. 2 có 2 tiệm cận ngang là y = 0 , y = 2 . 3 f ( x) − 2. Vậy tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = Câu 11:. 2 là 6. 3 f ( x) − 2. (Đặng Thành Nam Đề 9) Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên  thỏa mãn lim f ( x ) = −1 ; x→−∞. lim f ( x ) = 1 và f ( x ) =1 ⇔ x =0 . Tổng số đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số. x→+∞. y= A. 2.. 1 là: f ( x) −1 B. 1.. C. 4. Lời giải. Chọn A. D. 3..

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Ta có lim. x→−∞. 1 1 1 1 1 1 = = ∞ (vì lim f ( x ) = 1 ) = = = − và lim x→+∞ f ( x ) − 1 x→+∞ lim f ( x ) − 1 2 f ( x ) − 1 lim f ( x ) − 1 −1 − 1 x→+∞. x→−∞. nên y = −. 1 là tiệm cận ngang duy nhất. 2. Ta có lim. 1 = ∞ (vì f ( x ) =1 ⇔ x =0 ) nên x = 0 là tiệm cận đứng duy nhất. f ( x) −1. x →0. Vậy chọn đáp án A. Câu 12:. (CổLoa Hà Nội) Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên  , có bảng biến thiên như sau:. Hỏi đồ thị hàm số y =. 1 có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận (tiệm cận đứng và tiệm cận ngang)? f ( x) + 2. A. 5.. B. 2.. C. 4. Lời giải. D. 3.. Chọn A Ta có: lim f ( x ) = 2 ⇒ lim. x →−∞. x →−∞. 1 1 1 1 ⇒ Đồ thị hàm số y = có tiệm ngang là y = . = 4 f ( x) + 2 4 f ( x) + 2. lim f ( x ) = +∞ ⇒ lim. x →+∞. x →−∞. 1 1 có tiệm ngang là y = 0 . 0 ⇒ Đồ thị hàm số y = = f ( x) + 2 f ( x) + 2. −2 (1) . Xét phương trình f ( x) + 2 = 0 ⇔ f ( x) = Dựa vào bảng biến thiên, (1) có 3 nghiệm x1 = −1 , x2 ∈ ( 0; 2 ) , x3 ∈ ( 2; +∞ ) . Suy ra đồ thị hàm số y =. 1 có 3 tiệm cận đứng là x = −1 , x = x2 , x = x3 . f ( x) + 2. Vậy đồ thị hàm số có tất cả 5 tiệm cận. Câu 13: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau. Đồ thị hàm số y =. 1 có bao nhiêu tiệm cận đứng f (3 − x ) − 2.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> A. 0.. B. 2.. C. 3. Lời giải. Chọn C. Ta thấy f ( x ) = 2 có 3 nghiệm ⇒ đồ thị hàm số y = Câu 14:. D. 1.. 1 có 3 tiệm cận đứng. f (3 − x ) − 2. (KỸ-NĂNG-GIẢI-TOÁN-HƯỚNG-ĐẾN-THPT-QG) Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ sau. Đồ thị hàm số y =. 1 có bao nhiêu tiệm cận đứng? 2 f ( x − 2x + 2) + 5 2. B. 6 .. A. 2 .. C. 4 .. D. 3 .. Lời giải Chọn C. 5 − . Số tiệm cận đứng là số nghiệm của phương trình f ( x 2 − 2 x + 2 ) = 2. Theo bảng ta có 2 f ( x ) + 5= a ( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 ) ( x1 < 0; x2 , x3 > 1) , a ≠ 0 . Do x 2 − 2 x + 2 =. ( x − 1). 2. (. ). + 1 ≥ 1 nên f x 2 − 2 x + 2 =−. 5 ⇔ x =1 ± x2 − 1; x =1 ± x3 − 1 . 2. 5 − có 4 nghiệm nên đồ thị hàm số có 4 tiệm cận đứng. Vì phương trình f ( x 2 − 2 x + 2 ) = 2 Câu 15: Cho hàm số f ( x) = ax 4 + bx 2 + c có đồ thị như hình vẽ. Hỏi đồ thị hàm số g ( x) = có bao nhiêu đường tiệm cận?. 2018 x f ( x) ( f ( x) − 1).

<span class='text_page_counter'>(20)</span> y. 2. x. O. B. 9 .. A. 2 .. C. 4 .. D. 3 .. Lời giải Chọn B Ta có g ( x) là hàm phân thức hữu tỷ với bậc của tử nhỏ hơn bậc cảu mẫu nên lim g ( x) = 0 , do x →±∞. đó đồ thị hàm số g ( x) có đúng một tiệm cận ngang. = f ( x) 0= & f ( x) 1 đều có 4 nghiệm phân biệt khác 0 nên đồ thị hàm số g ( x) có Mỗi phương trình đúng 8 tiệm cận đứng. Câu 16: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên  . Đồ thị hàm f ( x ) như hình vẽ. Hỏi đồ thị hàm số g ( x ) =. A. 4.. x2 −1 có bao nhiêu đường tiệm cận đứng? f 2 ( x) − 4 f ( x). B. 3.. C. 1.. D. 2.. Lời giải.  f ( x) = 0 Chọn A Xét f 2 ( x ) − 4 f ( x ) = . 0⇔  f ( x ) = 4 Xét f ( x ) = 0 có 2 nghiệm x1 ≠ ±1 và x2 = 1 là nghiệm bội (do đồ thị tiếp xúc với trục hoành tại x = 1 . Trường hợp này có 2 tiệm cận đứng. Xét f ( x ) = 4 có 2 nghiệm x3 ≠ ±1 và x4 = −1 là nghiệm bội (do đồ thị tiếp xúc với đường thẳng y = 4 tại x = −1 . Trường hợp này có 2 tiệm cận đứng. Vậy đồ thị có 4 tiệm cận đứng. Câu 17: Cho hàm số bậc ba f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ. Hỏi đồ thị hàm số g ( x) =. A. 5 .. (x. 2. − 2x). 1− x. ( x − 3) .  f 2 ( x ) + 3 f ( x ). B. 4 .. có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?. C. 6 . Lời giải. Chọn D. D. 3 ..

<span class='text_page_counter'>(21)</span> Câu 18: Cho hàm số bậc ba f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ. Hỏi đồ thị hàm số g ( x) =. ( x − 2 x ).. 2− x. ( x − 4 ) .  f 2 ( x ) + 2 f ( x ). A. 5 .. B. 4 .. có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?. C. 2 .. D. 3 .. Chọn D Câu 19:. (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Cho f ( x ) là hàm đa thức có đồ thị hàm như hình vẽ dưới đây. Đặt g ( x ) =. x2 − x , hỏi đồ thị hàm số y = g ( x ) có bao nhiêu đường f 2 ( x) − 2 f ( x). tiệm cận đứng ?. A. 5.. B. 3.. C. 4. Lời giải. Chọn C. Xét h( x) = x 2 − x = x( x − 1) có hai nghiệm đơn là x = 0 và x = 1 .. D. 2..

<span class='text_page_counter'>(22)</span>  f ( x) = 0 Xét k ( x) = f 2 ( x) − 2 f ( x) , ta có k ( x)= 0 ⇔  .  f ( x) = 2 Ta có f ( x ) là hàm đa thức có đồ thị hàm như hình vẽ nên:  f ( x ) = 0 có hai nghiệm x = a < −1 (nghiệm đơn) và x = 1 (nghiệm kép).  f ( x ) = 2 có ba nghiệm đơn x =c ∈ (a ; −1) , x = 0 và x= b > 1 . Như vậy, ta thấy: Hàm số y = g ( x) có nghiệm đơn x = 0 ở mẫu sẽ triệt tiêu với ở trên tử nên mất. Nghiệm kép x = 1 ở mẫu và trong khi ở tử thì có x = 1 là nghiệm đơn, do đó không triệt tiêu hết, x = 1 vẫn là một tiệm cận đứng của hàm số y = g ( x) . Vậy đồ thị hàm số y = g ( x ) có 4 đường tiệm cận đứng là x = a , x = b , x = c và x = 1 . Câu 20:. (Lý Nhân Tông) Cho hàm số f ( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi đồ thị. (x hàm số g ( x) =. 2. − 3x + 2 ) x − 1. x  f 2 ( x ) − f ( x ) . A. 3 .. B. 4 .. có bao nhiêu tiệm cận đứng?. C. 6 .. D. 5 .. Lời giải Chọn A  x= x1 ∈ ( 0;1) (1) ⇔  trong đó nghiệm x = 2 là nghiệm kép và x = x1 là nghiệm đơn. x = 2.  x =1 ( 2 ) ⇔  x = x2 ∈ (1;2 ) trong đó các nghiệm trên đều là nghiệm đơn.  = x x3 > 2 Vậy g ( x). =. x − 1)( x − 2 ) . x − 1 (= x. f ( x ) .  f ( x ) − 1. ( x − 1)( x − 2 ) x − 1 2 a 2 x. ( x − x1 )( x − 2 ) ( x − 1)( x − x2 )( x − x3 ). x −1 x ( x − x1 )( x − 2 )( x − x2 )( x − x3 ). Dựa trên điều kiện x ≥ 1 nên đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận đứng là các đường thẳng x = 2 , x = x2 và x = x3 ..

<span class='text_page_counter'>(23)</span> Câu 21:. (Chuyên Thái Nguyên) Cho hàm số f ( x ) = ax3 + bx 2 + cx + d hình vẽ. Đồ thị hàm số g ( x ). A. 3 .. (x =. 2. + 4 x + 3) x 2 + x. 2 x ( f ( x ) ) − 2 f ( x )   . có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?. C. 6 . Lời giải. B. 2 .. ( a, b, c, d ∈ R ) có đồ thị như. D. 4 ..   x ≤ −1    x>0  Điều kiện  f ( x) ≠ 0  f ( x) ≠ 2  . ( x + 4 x + 3) x + x ( x + 1)( x + 3) = Ta có g ( x ) =    2. x. 2. ( f ( x )) − 2 f ( x ) 2. . . x. x( x + 1). ( f ( x ) ) − 2 f ( x )  2. ,. rõ ràng x = 0 là một tiệm cận đứng của đồ thị g ( x ) .  f ( x) = 0 2 Xét phương trình ( f ( x ) ) − 2 f ( x ) = . 0⇔  f ( x ) = 2.  x = −3 Với f ( x )= 0 ⇔  trong đó x = −3 là nghiệm nghiệm kép, nên mẫu sẽ có nhân tử  x = x1 ∈ ( −1;0 ). ( x + 3). 2. do đó x = −3 là một tiệm cận đứng..  x = −1  Với f ( x ) = 2 ⇔  x = x2 ∈ ( −3; −1) , ba nghiệm này là nghiệm đơn, nên =  x x3 ∈ ( −∞; −1) f ( x ) − 2= k ( x + 1)( x − x2 )( x − x3 ) , ta thấy trong g ( x ) thì ( x + 1) sẽ bị rút gọn nên có thêm. x x3 ∈ ( −∞; −1) là tiệm cận đứng. x = x2 ∈ ( −3; −1) và =. 0; x = −3; x = x2 ; x = x3 Vậy tóm lại đồ thị có 4 tiệm cận đứng là x = Chọn D Câu 22:. (THPT SỐ 1 TƯ NGHĨA LẦN 2 NĂM 2019) Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi đồ thị hàm số g ( x) =. ( x − 2) 2 x có bao nhiêu tiệm cận đứng? ( x + 3) ( f 2 ( x) − 3 f ( x) ).

<span class='text_page_counter'>(24)</span> A. 6 .. B. 3 .. C. 2 .. D. 1 .. Lời giải Chọn C. 0 x + 3 =  0 ⇔  f ( x) = 0 Xét phương trình: ( x + 3) ( f 2 ( x) − 3 f ( x) ) =  f ( x) = 3  x + 3 =0 ⇔ x =−3 mặt khác x = −3 hàm số y = g ( x) không xác định nên đường thẳng x = −3 không là một đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.  x = −2  x = −1  f ( x)= 0 ⇔  , x = 1  x = 3 Với x = −1, x = −2 hàm số y = g ( x) không xác định nên đường thẳng x = −1, x = −2 không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Với = x 1,= x 3 : Hàm số xác định tại = x 1,= x 3 và = x 1,= x 3 không là nghiệm của tử số nên hai đường thẳng = x 1,= x 3 là 2 tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. x = 2 x x0 < 0 nên hàm số y = g ( x) không xác  f ( x)= 3 ⇔  ta thấy x = 2 là nghiệm của tử số và =  x = x0 x 2;= x x0 không là tiệm cận đứng. định do đó hai đường thẳng=. Vậy đồ thị hàm số y = g ( x) có 2 tiệm cận đứng. Câu 23:. (THCS-THPT-NGUYỄN-KHUYẾN-TP-HCM-24THÁNG3) y = f ( x ) = ax3 + bx 2 + cx + d như hình vẽ.. Đồ. thị. hàm. số.

<span class='text_page_counter'>(25)</span> = y g= Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số ( x) A. 8 .. B. 7 .. (x. 2. − 2 x − 3) x + 2. 2 ( x − x ) ( f ( x ) ) + f ( x ) C. 6 . 2. là D. 5 .. Lời giải Chọn B  x ≥ −2 x ≠ 0  Điều kiện:  . x ≠1  ( f ( x ) )2 + f ( x ) ≠ 0 . = y g= Khi đó ta có ( x). ( x + 1)( x − 3) x + 2 . 2 ( x2 − x ) ( f ( x ) ) + f ( x ). Ta có lim g ( x ) = 0 (do bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu) ⇒ y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. x →+∞. Khi x = 0 ; x = 1 ta có tử số khác 0 và mẫu số bằng 0 nên x = 0 ; x = 1 là hai đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = g ( x ) .  f ( x) = 0 2 0⇔ Xét ( f ( x ) ) + f ( x ) = .  f ( x ) = −1  x = α ∈ ( −2; −1) +) f ( x ) = 0 từ đồ thị hàm số y = f ( x ) ta suy ra f ( x )= 0 ⇔  x = 2. ⇒ x = α ; x = 2 là hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số (vì tử khác 0 ) y = g ( x ) .  x = −1  +) f ( x ) = −1 từ đồ thị hàm số y = f ( x ) ta suy ra f ( x ) =−1 ⇔  x =β ∈ ( 0; 2 ) .  x= γ ∈ 2; +∞ ( ) . 1 a ( x + 1)( x − β )( x − γ ) . Do đó f ( x ) + =. y g= = Vậy ( x). (x. 2. ( x − 3) x + 2 ⇒x= β; − x ) f ( x ) a ( x − β )( x − γ ). x = γ là hai tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. y = g ( x) . Vậy đồ thị hàm số y = g ( x ) có 7 đường tiệm cận. x−2 có đồ thị ( C ) . Phương trình tiếp tuyến ∆ của đồ thị hàm số ( C ) tạo với x +1 hai đường tiệm cận một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất. Khi đó, khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị ( C ) đến ∆ bằng?. Câu 24: Cho hàm số y =. A.. 3.. B. 2 6 .. C. 2 3 . Lời giải. D.. 6..

<span class='text_page_counter'>(26)</span> Chọn D Phương pháp tự luận  x −2  Gọi M  x0 ; 0  ∈ ( C ) , ( x0 ≠ −1) , I ( −1;1) . Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng x 1 + 0  . = ∆: y. 3. ( x0 + 1). 2. ( x − x0 ) +. x0 − 2 . x0 + 1.  x −5  Giao điểm của ∆ với tiệm cận đứng là A  −1; 0 . x0 + 1  .  Giao điểm của ∆ với tiệm cận ngang là B ( 2 x0 + 1;1) .  Ta có IA=. 6 , IB= 2 x0 + 1 ⇒ IA.IB= 12 . Bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ IAB là S IAB = pr , suy x0 + 1. ra. S IAB IA.IB IA.IB IA.IB r= = = ≤ = 2 3− 6. 2 2 p IA + IB + AB IA + IB + IA + IB 2 IA.IB + 2.IA.IB  xM =−1 + 3 ⇒ y0 =1 − 3 2 .  Suy ra rmax =2 3 − 6 ⇔ IA =IB ⇔ x0 − 1 =3 ⇔   xM =−1 − 3 ⇒ y0 =1 + 3    IM 3; − 3 ⇒ IM = 6.. (. ). Phương pháp trắc nghiệm. = IB ⇒ ∆ IAB vuông cân tại I ⇒ IM ⊥ ∆ .  IA  x =−1 + 3 ⇒ yM =1 − 3  cxM + d =± ad − bc ⇒ xM + 1 =± 1 + 2 ⇔  M  xM =−1 − 3 ⇒ yM =1 + 3  ⇒ IM = 6. 2x − 3 (C ) . Gọi M là điểm bất kỳ trên (C), d là tổng khoảng cách từ M đến x−2 hai đường tiệm cận của đồ thị (C). Giá trị nhỏ nhất của d là. Câu 25: Cho hàm số y = A. 5.. B. 10.. C. 6. Lời giải. Chọn D  2x − 3  Tọa độ điểm M có dạng M  x0 ; 0  với x0 ≠ 2 x0 − 2  . = x − 2 0 ( d1 ) = , y − 2 0 ( d2 ) . Phương trình tiệm cận đứng, ngang lần lượt là Ta có d = d ( M , d1 ) + d ( M , d 2 ) = x0 − 2 +. 1 ≥2 x0 − 2. D. 2..

<span class='text_page_counter'>(27)</span> Câu 26: Số điểm thuộc đồ thị (H) của hàm số y = (H) nhỏ nhất là A. 3. 2x −1 có tổng các khoảng cách đến hai tiệm cận của x +1. B. 2. C. 1. D. 0. Lời giải Chọn B.  2x −1  TCĐ: x = −1 ; TCN: y = 2 . Gọi M  x; ∈(H )  x +1  Tổng khoảng cạc từ M đến hai tiệm cận là: d = x + 1 +. ⇒ d min =2 3 ⇔ x + 1 =. 2x −1 3 3 − 2 = x +1 + ≥ 2 x +1 . = 2 3 x +1 x +1 x +1. 3 2 ⇔ ( x + 1) =3 ⇔ x =± 3 − 1 ⇒ có tất cả 2 điểm thuộcd dồ thị (H) thỏa x +1. mãn đề bài. x+2 , sao cho x−2 tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số là nhỏ nhất. Tọa độ điểm M là: A. ( 4;3) . B. ( 0; −1) . C. (1; −3) . D. ( 3;5 ) .. Câu 27:. (Sở Vĩnh Phúc) Cho M là điểm có hoành độ dương thuộc đồ thị hàm số y =. Lời giải Chọn A Vì M là điểm có hoành độ dương thuộc đồ thị hàm số y =. x+2  a+2 nên M  a;  (với a  0 ). x−2  a−2. Hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số là : ∆1 : x = 2 và Δ 2 : y  1. a − 2 và = d 2 d ( M ;= Suy ra : d1= d( M ;∆1 = ∆2 ) ). a+2 −= 1 a−2. 4 = a−2. 4 . a−2. Vây tổng khoàng cách từ M đến hai đường tiệm cận là: 4 4 d = d1 + d 2 = a − 2 + ≥ 2 a−2 = 4. a−2 a−2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có a − 2 + Dấu bằng xảy ra khi : a − 2 =. 4 4 ≥ 2 a−2 = 4. a−2 a−2. = a−2 2 = a 4 4 2 ⇔ ( a − 2) = 4 ⇔  ⇔ . a−2  a =0  a − 2 =−2. 4 . Vậy M ( 4;3) . Mà a > 0 ⇒ a = x+2 , có đồ thị (C). Gọi P, Q là 2 điểm phân biệt nằm trên (C) sao cho tổng x−2 khoảng cách từ P hoặc Q tới 2 đường tiệm cận là nhỏ nhất. Độ dài đoạn thẳng PQ là:. Câu 28: Cho hàm số y = A. 4 2. B. 5 2. C. 4 Lời giải. D. 2 2.

<span class='text_page_counter'>(28)</span> Chọn A x+2 có tiệm cận ngang y = 1 và tiệm cận đứng x = 2. Suy ra tọa độ giao điểm của hai x−2 đường tiệm cận là I (2;1). Đồ thị hàm số y =.  x +2 Gọi P  x0 ; 0  ∈ ( C ) . Khi đó tổng khoảng cách từ P đến hai đường tiệm cận x0 − 2  . S = d ( A, d1 ) + d ( A, d 2 ) = x0 − 2 + ⇒ S min = 4 ⇔ x0 − 2 = ⇒ P ( 4; −3) , Q ( 0; −1). x0 + 3 4 4 − 1 = x0 − 2 + ≥ 2 x0 − 2 . = 4 x0 − 3 x0 − 3 x0 − 2.  x0 − 2 =2  x0 =4; y =−3 4 2 ⇔ ( x0 − 2 ) = 4 ⇔  ⇒ x0 − 2 4 2.  x0 − 2 =−2  x0 =0; y =−1 ⇒ PQ =. x+2 có đồ thị ( C ) . Gọi d là khoảng cách từ giao điểm hai tiệm cận của đồ thị x +1 ( C ) đến một tiếp tuyến của ( C ) . Giá trị lớn nhất của d có thể đạt được là:. Câu 29: Cho hàm số y =. A. 2 2 .. B.. C. 3 3 .. 2.. D.. 3.. Lời giải Chọn B Ta có y′ =. −1. ( x + 1). 2. . Giao điểm hai tiệm cận của đồ thị hàm số là I ( −1;1) ..  a+2 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm A  a;  ∈ ( C ) là:  a +1  y =. −1. ( a + 1). 2. ( x − a) +. a+2 2 0. ⇔ x + ( a + 1) y − a 2 − 4a − 2 = a +1. −1 + ( a + 1) .1 − a 2 − 4a − 2 = 4 1 + ( a + 1) 2. Khoảng cách từ I = ( −1;1) đến tiếp tuyến là: d Vì 1 + ( a + 1) ≥ 2. ( a + 1) = 4. 2. 2 a + 1 nên d ≤. Dấu bằng xảy ra khi a = 0 hoặc a = −2 .. 2 a +1 2 a +1. = 2.. −2a − 2 1 + ( a + 1). 4.

<span class='text_page_counter'>(29)</span> DẠNG 2. TIỆM CẬN CHỨA THAM SỐ Câu 30: A. 1.. (ĐH Vinh Lần 1) Có bao nhiêu giá trị m nguyên để đồ thị hàm số y = một tiệm cận đứng. B. 2.. Chọn B. C. 3. Lời giải. Dễ thấy tử số có một nghiệm x = 2 . Do đó để đồ thị hàm số y = thì cần xét hai trường hợp sau:. x−2 có đúng x − mx + m 2. D. 4.. x−2 có đúng một tiệm cận đứng x − mx + m 2. m = 0 0 có nghiệm kép ⇔ ∆ = m 2 − 4m = 0 ⇔  Trường hợp 1: x 2 − mx + m = . m = 4 2 0 có 2 nghiệm phân biệt, trong đó có 1 nghiệm bằng 2. Trường hợp 2: x − mx + m =. ∆ = m 2 − 4m > 0 ⇔ ⇔ m∈∅ . 0  4 − 2m + m =. Câu 31:. (Chuyên-Thái-Nguyên-lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3) Cho hàm số y =. 1− x . Tìm tất x − 2mx + 4 2. cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận. 5  m ≠ m > 2  2 m > 2   A.  . B.  . C. −2 < m < 2 . D.  . 5 m>2 m≠  m < −2   2    m < −2 Lời giải Chọn A lim y = 0 nên đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang y = 0 .. x →±∞. Để đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận thì đồ thị có hai đường tiệm cận đứng.. 0 có hai nghiệm phân biệt x ≠ 1 . ⇔ x 2 − 2mx + 4 =   m < −2  m − 4 > 0  m>2 . ⇔ ⇔  5 1 − 2m + 4 ≠ 0  m ≠ 2 2. Câu 32:. ax 2 + x − 1 có đồ thị ( C ) ( a, b là các hằng số 4 x 2 + bx + 9 dương, ab = 4 ). Biết rằng ( C ) có tiệm cận ngang y = c và có đúng 1 tiệm cận đứng. Tính tổng (LÝ TỰ TRỌNG – TPHCM) Cho hàm số y =. T = 3a + b − 24c A. T = 1.. B. T = 4.. C. T = 7. Lời giải. Chọn D. D. T = 11..

<span class='text_page_counter'>(30)</span> a a . Tiệm cận ngang y =c ⇒ =c . 4 4. lim y = x →±∞. 0 có nghiệm kép. (C) có một tiệm cận đứng nên phương trình 4 x 2 + bx + 9 = 1 1 . ∆ = 0 ⇔ b 2 − 144 = 0 ⇔ b = ±12 . Vì b > 0 ⇒ b = 12 ⇒ a = ⇒ c = 3 12. Vậy T = 11 . Câu 33:. (Cụm THPT Vũng Tàu) Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số x 2 − 3x + 2 không có đường tiệm cận đứng? y= 2 x − mx − m + 5 A. 10 . B. 1 . C. 12 . D. 9 . Lời giải. Chọn A. x = 1 x 2 − 3x + 2 Ta có x 2 − 3 x + 2 = 0 ⇔  nên đồ thị hàm số y = 2 không có đường tiệm cận đứng khi x − mx − m + 5 x = 2 0 vô nghiệm hoặc có 2 nghiệm là 1 và 2. và chỉ khi phương trình x 2 − mx − m + 5 =. 0 (1) , ta có ∆= m 2 + 4m − 20 nên (1) vô nghiệm khi và chỉ khi +) Xét phương trình x 2 − mx − m + 5 = ∆ < 0 hay −2 − 2 6 < m < −2 + 2 6 . +) Phương trình (1) có hai nghiệm là 1 và 2 khi và chỉ khi m = 3 .. (. ). Trên khoảng −2 − 2 6 ; − 2 + 2 6 có 9 số nguyên là −6; −5; −4; −3; −2; −1;0;1; 2 nên có 10 giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y = Câu 34:. x 2 − 3x + 2 không có đường tiệm cận x 2 − mx − m + 5. x −3 . Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc x − 3mx + (2m 2 + 1) x − m đoạn [ −6;6] của tham số m để đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận? (Sở Bắc Ninh) Cho hàm số y =. A. 8 . Chọn B. B. 9 .. x →±∞. 2. C. 12 . Lời giải. D. 11 .. x −3 . x − 3mx + (2m 2 + 1) x − m x −3 lim 0 nên đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận ngang là = 3 2 x →±∞ x − 3mx + 2m 2 + 1 x − m ( ). Gọi ( C ) là đồ thị hàm số y = Ta có: lim y. 3. 3. 2. y = 0. Do đó ( C ) có 4 đường tiệm cận khi và chỉ khi ( C ) có 3 đường tiệm cận đứng ⇔ x 3 − 3mx 2 + ( 2m 2 + 1) x − m = 0 (1) có 3 nghiệm phân biệt khác 3 .. x = m Ta có (1) ⇔ ( x − m ) ( x 2 − 2mx + 1) = . 0⇔ 2  x − 2mx + 1 =0.

<span class='text_page_counter'>(31)</span>  m ≠ 3 m ≠ 3   2 m − 1 > 0   m < −1 Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt khác 3 ⇔  2 ⇔  2  m − 2m + 1 ≠ 0 m > 1 32 − 6m + 1 ≠ 0  5  m ≠ 3   5 5  ⇔ m ∈ ( −∞; −1) ∪ 1;  ∪  ;3  ∪ ( 3; +∞ ) .  3 3  Do m ∈ [ −6;6] , m nguyên nên m ∈ {−6; −5; −4; −3; −2; 2; 4;5;6} . Vậy có 9 giá trị m thỏa mãn.. Câu 35:. (CHUYÊN. ĐHSP HN) Tập hợp các giá trị của 2x −1 có đúng 1 đường tiệm cận là y= 2 ( mx − 2 x + 1)( 4 x 2 + 4mx + 1). m. để. A. {0} .. B.. ( −∞; −1) ∪ (1; +∞ ) .. C. ∅. D.. ( −∞; −1) ∪ {0} ∪ (1; +∞ ) .. đồ. thị. hàm. số. Lời giải Chọn A Có lim y = 0 . Nên hàm số luôn có 1 đường tiệm cận ngang y = 0 . Vậy ta tìm điều kiện để hàm số không x →±∞. có tiệm cận đứng.  mx 2 − 2 x + 1 = 0 (1) Xét phương trình: ( mx − 2 x + 1)( 4 x + 4mx + 1) = 0 ⇔  2 0 (2)  4 x + 4mx + 1 = 2. 2. TH1: Xét m = 0 , ta được y =. 2x −1 1 (thỏa ycbt) = − 2 2 ( −2 x + 1) ( 4 x + 1) 4 x + 1. TH2: Xét m ≠ 0 . Có: ∆1 = 1 − m và ∆= 4m 2 − 4 2. 1 − m < 0 m > 1 ⇔ ⇔ m ∈∅ Th2a. Cả 2 phương trình (1) và (2) đều vô nghiệm: ⇔  2 −1 < m < 1  4m − 4 < 0 Th2b: (1) vô nghiệm, (2) có nghiệm kép x =. 1 : ta thấy trường hợp này vô lí (vì m > 1 ) 2. Th2c: (2) vô nghiệm, (1) có nghiệm kép x =. 1 : ta thấy trường hợp này vô lí (vì −1 < m < 1 ) 2. Câu 36:. (CHUYÊN. THÁI. NGUYÊN. LẦN. 3) Cho. hàm. số. g ( x) =. 2018 h ( x ) − m2 − m. với. h ( x ) = mx 4 + nx3 + px 2 + qx ( m , n , p , q ∈  ) . Hàm số y = h′ ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

<span class='text_page_counter'>(32)</span> Tìm các giá trị m nguyên để số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số g ( x ) là 2 B. 10 .. A. 11 .. C. 9 .. D. 20 .. Lời giải Chọn B  x = −1  5 Ta có h′ ( x ) = 4mx 3 + 3nx 2 + 2 px + q . Từ đồ thị ta có h′ ( x ) =0 ⇔  x = và ( m < 0 ) . 4  x = 3  5 Suy ra h′ ( x= ) 4m ( x + 1)  x −  ( x − 3=) 4mx3 − 13mx 2 − 2mx + 15m . 4 . Suy ra h ( x ) = mx 4 − Vậy h ( x ) = mx 4 −. 13 3 mx − mx 2 + 15mx + C . Từ đề bài ta có C = 0 . 3. 13 3 mx − mx 2 + 15mx . 3. Xét h ( x ) − m 2 − m =0 ⇔ m = x 4 −. 13 3 x − x 2 + 15 x − 1 . 3.  x = −1  13 5 Xét hàm số f ( x ) = x 4 − x3 − x 2 + 15 x − 1 ⇒ f ′ ( x ) = 4 x3 − 13 x 2 − 2 x + 15 = 0 ⇔  x = . 3 4  x = 3 . Bảng biến thiên. 0 có 2 nghiệm Để đồ thị hàm số g ( x ) có 2 đường tiệm cận đứng ⇔ phương trình h ( x ) − m 2 − m = phân biệt ⇔ phương trình m = x 4 −. 13 3 x − x 2 + 15 x − 1 có 2 nghiệm phân biệt. 3. Từ bảng biến thiên kết hợp thêm điều kiện m < 0 ta có −. 35 < m < −1 . 3. Do m nguyên nên m ∈ {−11; − 10;...; − 2} . Vậy có 10 số nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán..

<span class='text_page_counter'>(33)</span> Câu 37:. (Chuyên Quốc Học Huế Lần1) Tìm số giá trị nguyên thuộc đoạn [ −2019; 2019] của tham số x −3 có đúng hai đường tiệm cận. x + x−m B. 2010 . C. 2009 . Lời giải. m để đồ thị hàm số y =. A. 2007 .. 2. D. 2008 .. Chọn D Xét hàm số y =. = +) TXĐ: D. x −3 . x + x−m 2. [3; +∞ ). 1 3 − x −3 x 3 x 4 0. Do đó ĐTHS có 1 tiệm cận ngang y = 0. +) lim y lim = = = lim x →+∞ x →+∞ x 2 + x − m x →+∞ 1 m 1+ − 2 x x +) Để ĐTHS có 2 đường tiệm cận thì phải có thêm 1 tiệm cận đứng. Vậy yêu cầu bài toán trở thành: 0 phải có 1 nghiệm lớn hơn hoặc bằng 3. Tìm điều kiện để phương trình x 2 + x − m =. 0 phải có 2 nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 < 3 < x2 . Trường hợp 1 : Phương trình x 2 + x − m = ⇔ a. f (3) < 0 ⇔ 12 − m < 0 ⇔ m > 12. 0 có nghiệm x = 3 thì m = 12. Trường hợp 2 : Phương trình x 2 + x − m = x = 3 Với m = 12 phương trình trở thành: x 2 + x − 12 = 0 ⇔  (tmđk)  x = −4. 0 có nghiệm kép x > 3. Trường hợp 3 : Phương trình x 2 + x − m = Khi m =. −1 −1 thì phương trình có nghiệm x = . (không thỏa mãn) 4 2. Theo đề bài m ∈ [ −2019; 2019] , m nguyên do đó m ∈ [12; 2019] . Vậy có (2019 − 12) + 1 =2008 giá trị của m . Ý kiến. −1 do đó (1) luôn có ít nhất 0 (1) nếu có nghiệm thì x1 + x2 = Có thể nhận xét phương trình x 2 + x − m = một nghiệm âm. Vậy đk bài toán chỉ thỏa mãn khi và chỉ khi (1) có 2 nghiệm x1 , x2 thỏa mãn. x1 < 0 < 3 ≤ x2 ⇔ af ( 3) ≤ 0 ⇔ m ≥ 12.. Câu 38:. (THPT-Phúc-Trạch-Hà-Tĩnh-lần-2-2018-2019-thi-tháng-4) Có bao nhiêu giá trị nguyên của 4036 x + 2 m ∈ ( −2019; 2019 ) để đồ thị hàm số y = có hai đường tiệm cận ngang. mx 2 + 3 A. 0 . B. 2018 . C. 4036 . D. 25 . Lời giải. Chọn B.

<span class='text_page_counter'>(34)</span>  3 3 Với m < 0 ta có tập xác định của hàm số: D =  − − ; −  nên không tồn tại tiệm cận ngang.  m m   Với m = 0 thì lim y = +∞ và lim y = −∞ nên đồ thị hàm số cũng không có tiệm cận ngang. x →+∞. x →−∞. Với m > 0 ta có tập xác định của hàm số: D =  . Khi đó: 2  2 x  4036 +  4036 + x   lim x 4036 . = = lim y lim = x →+∞ x →+∞ x →+∞ m 3 3 x m+ 2 m+ 2 x x 2  2 x  4036 +  4036 + x  = lim x = − 4036 lim y = lim  x →−∞ x →−∞ x →−∞ 3 3 m −x m + 2 − m+ 2 x x. nên đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang là y = ±. 4036 . m. m > 0  Suy ra m ∈ ( −2019; 2019 ) ⇔ m ∈ {1; 2;3;...; 2018} . m ∈   Vậy có 2018 giá trị nguyên của m . Câu 39:. x +1. có đồ thị ( C ) . Biết rằng ( C ) có tiệm cận ax 2 + 1 ngang và tồn tại tiếp tuyến của ( C ) song song và cách tiệm cận ngang của ( C ) một khoảng bằng (Đặng Thành Nam Đề 14) Cho hàm số y =. 3 . Mệnh đề nào dưới đây đúng ?  3 1  A. a ∈  ;1 . B. a ∈ 1;  .  2 2 .  1 C. a ∈  0;  .  2. Lời giải Chọn A Để đường cong ( C ) có tiệm cận ngang khi và chỉ khi: a > 0 1 1 ; y2 = − a a. Suy ra ta có hai đường tiệm cận ngang là: y1 =. Ta có: y '. ax ax 2 + 1 − ( x + 1) . ax 2 + 1 = ax 2 + 1. 1 − ax. ( ax. 2. + 1). 3. Gọi tiếp tuyến của đường cong ( C ) tại điểm M ( xM ; yM ) là đường thẳng ∆ Ta có ∆ song song tiệm ngang của ( C ) suy ra: 1 1 1 ⇒ M  ; 1 +  a a a Ta có khoảng cách từ ∆ đến tiệm cận ngang của ( C ) bằng 3. +) y ' ( xM ) = 0 ⇒ 1 − axM = 0 ⇔ xM =. 3  D. a ∈  ; 2  . 2 .

<span class='text_page_counter'>(35)</span> +) Khoảng cách từ ∆ đến tiệm cận ngang cũng chính là khoảng cách từ điểm M đến tiệm cận ngang.  1 1 3 =  1+ − a  d ( M ; y1 ) = 3 a 9  1  Ta có:  ⇒ ⇔ a = . Vậy a ∈  ;1 . 16 2   d ( M ; y2 ) = 3  1 1 1+ + 3 =  a a  Câu 40:. (-Mai-Anh-Tuấn-Thanh-Hóa-lần-1-2018-2019) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao. mx 2 + 1 có đúng một đường tiệm cận. x +1 B. −1 ≤ m ≤ 0 . C. m < −1 .. cho đồ thị hàm số y = A. −1 ≤ m < 0 .. D. m > 0 .. Lời giải Chọn A  mx 2 + 1  +) Nếu m ≥ 0 ta thấy lim  ± m⇒y= ± m là tiệm cận ngang. = x →±∞   + x 1    mx 2 + 1  lim±   = ±∞ ⇒ x = −1 là tiệm cận đứng.  x →−1  x 1 +   Vậy m ≥ 0 không thỏa mãn đề bài. 1   −1 +) Nếu m < 0 ta có hàm số xác định trên D =  ;  không phải là một khoảng vô cùng nên đồ  −m −m  thị hàm số không có tiệm cận ngang.  mx 2 + 1  Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng x = −1 khi lim±   = ±∞ .  x →−1  x + 1   1  −1 ≤ −1 ≤  Khi đó m phải thỏa mãn hệ  −m −m ⇔ −1 ≤ m < 0 .  m<0  Câu 41: Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số y = A. m = 0. B. m < 0. C. m > 0. x2 + 2 mx 4 + 3. có hai đường tiệm cận ngang. D. m > 3. Lời giải: Đồ thị hàm số y =. x2 + 2. có hai đường tiệm cận ngang khi và chỉ khi các giới hạn mx 4 + 3 lim y = a ( a ∈  ) , lim y = b ( b ∈  ) tồn tại. Ta có:. x →+∞. x →−∞. + với m = 0 ta nhận thấy lim y = +∞, lim y = +∞ suy ra đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang. x →+∞. x →−∞.  3 3 + Với m < 0 , khi đó hàm số có TXĐ D =  − 4 − ; 4 −  , khi đó lim y, lim y không tồn tại suy ra đồ x →+∞ x →−∞ m m  thị hàm số không có đường tiệm cận ngang..

<span class='text_page_counter'>(36)</span> 2  2 x 2 1 + 2  1+ 2 1 x  x , lim = + Với m > 0 , khi đó hàm số có TXĐ D =  suy ra lim  suy ra đồ thị x →±∞ 3 x →±∞ 2 3 m 2 x m+ 2 x m+ 4 x x hàm số có một đường tiệm cận ngang. Vậy m > 0 thỏa YCBT. Chọn C 1 . Tìm tất cả các giá  x − ( 2m + 1) x + 2m  x − m trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận. m < 1 0 < m < 1 0 ≤ m ≤ 1    A.  B.  C. m > 1 . D.  1. 1 . 1 . m ≠ 2 m ≠ 2 m ≠ 2. Câu 42:. (Hai Bà Trưng Huế Lần1) Cho hàm số y =. 2. Lời giải. Chọn A.  x > m Hàm số xác định khi  2 .  x − ( 2m + 1) x + 2m ≠ 0 1 Ta có lim 2 = 0 nên đồ thị hàm số luôn có một đường tiệm cận ngang y = 0 . x →±∞  x − 2m + 1 x + 2m  ( )   x−m. Do đó để đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận thì đồ thị hàm số phải có 3 đường tiệm cận đứng. Ta có lim+ y = ±∞ nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = m làm đường tiệm cận đứng. Như vậy ta cần có x→m. 1 ≠ 2m 1   m ≠ 2 0 có hai nghiệm phân biệt lớn hơn m ⇔ 1 > m ⇔  phương trình x − ( 2m + 1) x + 2m = 2 .  2m > m 0 < m < 1  Câu 43: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số y =. 2x −. hai tiệm cận ngang? B. m ∈ (1; 4 ) ∪ ( 4; +∞ ). A. m = 1. C. m < 1. ( m − 1) x 2 + 1 x −1. D. m > 1. Lời giải Chọn D. lim Ta có: lim y = x →+∞. lim y. x →+∞. x →+∞. 2x −. ( m − 1) x x −1. 2. +1. = lim. 2−. x →+∞. 2− 2 x − ( m − 1) x 2 + 1 = lim lim x →+∞ x →+∞ x −1. ( m − 1) x 2 + 1 x 1 1− x. ( m − 1) x 2 + 1 x 1 1− x. = 2−. ( m − 1). (với m ≥ 1 ). có đúng.

<span class='text_page_counter'>(37)</span> lim =. 2+. x →+∞. ( m − 1) x 2 + 1 x 1 1− x. 2+ =. ( m − 1). Để đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang thì m > 1 Câu 44:. tham số thực m để ( Cm ). 12 + 4 x − x 2. có đồ thị ( Cm ) . Tìm tập S tất cả các giá trị của x 2 − 6 x + 2m có đúng hai tiệm cận đứng.. (TTHT Lần 4) Cho hàm số y =.  9 B. S =  4;  .  2. A. S = [8;9 ) ..  9 C. S =  4;  .  2 Lời giải. D. S = ( 0;9] .. Chọn C Điều kiện 4 x − x 2 ≥ 0 ⇔ x ∈ [ 0; 4] . Dễ thấy 12 + 4 x − x 2 > 0, ∀x ∈ [ 0; 4] .. 0 có hai nghiệm a, b, a < b thì x 2 − 6 x + 2m < 0, ∀x ∈ ( a; b ) Nhận xét: Nếu phương trình x 2 − 6 x + 2m = 0 có hai nghiệm phân Do đó để đồ thị hàm số có đúng hai tiệm cận đứng thì phương trình x 2 − 6 x + 2m = biệt thuộc đoạn ( 0; 4 ) . x2 − 6 x = −2m có g ′ ( x ) = 2 x − 6 = 0 ⇔ x = 3 ∈ ( 0; 4 ) . Xét g ( x ) = Ta có bảng biến thiên của hàm số g ( x ) trên đoạn ( 0; 4 ) : x. 0. 3 -. g'. 4 +. 0. 0 -8. g -9. 0 có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn ( 0; 4 ) khi Từ đó ta thấy phương trình x 2 − 6 x + 2m = 9 −9 < −2m < −8 ⇔ 4 < m < . 2 Câu 45:. (Thuận Thành 2 Bắc Ninh) Cho hàm số y =. x + 3 + ax + b. ( x − 1). 2. số (C) không có tiệm cận đứng. Tính giá trị T = 2a − 3b . 11 3 19 A. − . B. . C. . 4 4 2 Lời giải. có đồ thị (C). Biết rằng đồ thị hàm. D.. 7 . 2.

<span class='text_page_counter'>(38)</span> Chọn C Đặt f ( x ) =. x + 3 + ax + b ⇒ f ′ ( x )=. 1 +a. 2 x+3. Để đồ thị hàm số ( C ) không có tiệm cận đứng thì f ( x ) =. x + 3 + ax + b =. ( x − 1). 2. .g ( x ). 1  2 0 + a + b = a = −    f (1) = 0   4. ⇔ ⇔ 1 ⇔ 7 ′ +a = 0 b = −  f (1) = 0  4  4 19 Vậy T = 2a − 3b = . 4 Câu 46:. (TTHT Lần 4) Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 1+ x +1 có đúng hai tiệm cận đứng là y= x 2 − mx − 3m 1 1  1  1 A. ( 0; +∞ ) . B.  0;  . C.  ;  . D.  0;  . 4 2  2  2 Lời giải. Chọn D Ta thấy 1 + x + 1 > 0, ∀x ≥ −1 .. 0 có hai nghiệm phân biệt x > −1 . Hàm số có đúng hai tiệm cận đứng khi x 2 − mx − 3m = 2 x Với x ≥ −1 , phương trình x 2 − mx − 3m =0 ⇔ =m . x+3 2 x ( x + 3) − x 2 x 2 + 6 x x = 0 x2 2 0 6 0 x x ⇒ f ′( x) = = = ⇒ + = ⇔ Đặt f ( x ) = .  2 2 x+3 ( x + 3) ( x + 3)  x = −6 Ta có bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) trên khoảng [ −1; + ∞ ) : x. -1 -. y'. +∞. 0 0. + +∞. 1 y. 2. 0. 0 có hai nghiệm phân biệt x > −1 thì Từ bảng biến thiên trên ta thấy để phương trình x 2 − mx − 3m =  1 m∈0 ;  .  2 Câu 47: Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho đồ thị hàm số y = đường tiệm cận? A. m > 2 hoặc m < −1 . C. 2 ≤ m ≤ 3 .. B. 2 < m < 3 . D. m < 2 . Lời giải. x − 1 + 2017 x 2 − 2mx + m + 2. có đúng ba.

<span class='text_page_counter'>(39)</span> Chọn B Ta có lim y = 0, đồ thị hàm số luôn có 1 đường tiệm cận ngang y = 0 . x →+∞. Để ĐTHS có ba đường tiệm cận ⇔ ĐTHS có đúng 2 đường tiệm cận đứng. ⇔ phương trình x 2 − 2mx + m + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 lớn hơn 1 ∆ ' > 0  ⇔ ( x1 − 1)( x2 − 1) > 0  ( x1 − 1) + ( x2 − 1) > 0 m 2 − m − 2 > 0 m ∈ ( −∞; −1) ∪ ( 2; +∞ )   ⇔  x1 x2 − ( x1 + x2 ) + 1 > 0 ⇔ m + 2 − 2m + 1 > 0 ⇔2<m<3 x + x − 2 > 0  2m − 2 > 0 2   1 Câu 48: Số các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y= A. 3. B. 0. mx 2 − 4 x − mx + 1 có tiệm cận ngang là:. C. 1. D. 2. Lời giải Chọn C. = y x m−. 4 − mx + 1 . Để hàm số có giới hạn hữu hạn tại vô cực thì hệ số của x phải triệt tiêu x. +) x → −∞ ⇒ y = − x m − hạn.. = y x m− +) x → +∞ ⇒. 4 − mx + 1 suy ra hệ số của x là − m − m ≠ 0 nên giới hạn này không hữu x. 4 − mx + 1 suy ra hệ số của x là x. m = 0 m − m =0 ⇔  m = 1. Với m = 0 thay trở lại hàm số không xác định khi x → +∞ Với m = 1 ⇒= y = lim. x →+∞. 2. x − 4 x − x + 1 ⇒ lim = y lim x →+∞. −2 x − 1 x2 − 4x + x + 1. =. x →+∞. x 2 − 4 x − ( x − 1). 2. x2 − 4x + x + 1. −2 = −1 2. Vậy có một giá trị thực của m để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang Câu 49:. (PHÂN-TÍCH-BÌNH-LUẬN-THPT-CHUYÊN-HÀ-TĨNH) Gọi S là tập tất cả các giá trị của. tham số m để đồ thị hàm số y= các phần tử của S là A. −2 . B. 2 .. 3. x 3 + 3 x 2 + 2 − 4 x 2 + 3 x + 2 + mx có tiệm cận ngang. Tổng. C. −3 . Lời giải. Chọn A = lim y lim x →+∞. x →+∞. (. 3. x 3 + 3 x 2 + 2 − 4 x 2 + 3 x + 2 + mx. ). D. 3 ..

<span class='text_page_counter'>(40)</span> = lim. x →+∞. (. 3. x 3 + 3 x 2 + 2 − x + 2 x − 4 x 2 + 3 x + 2 + ( m − 1) x. Ta có: lim. x →+∞. (. = lim. x →−∞. x →−∞. (. 3. ). (. ). 3 − x3 + 3x 2 + 2 − x = 1 ; lim 2 x − 4 x 2 + 3 x + 2 = x →+∞ 4. 3. *= lim y lim x →−∞. ). (. 3. x 3 + 3 x 2 + 2 − 4 x 2 + 3 x + 2 + mx. ). x 3 + 3 x 2 + 2 − x − 2 x − 4 x 2 + 3 x + 2 + ( m + 3) x. Ta có: lim. x →−∞. (. 3. ). ). (. ). 3 x3 + 3x 2 + 2 − x = 1 ; lim 2 x − 4 x 2 + 3 x + 2 = x →−∞ 4. m −1 0 = = m 1 * Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang ⇔ lim y hoặc lim y hữu hạn ⇔  ⇔ x →+∞ x →−∞  m + 3 =0  m =−3 Câu 50:. (PHÂN-TÍCH-BÌNH-LUẬN-THPT-CHUYÊN-HÀ-TĨNH) Gọi S là tập tất cả các giá trị của m y 3 8 x3 − 5 x 2 − 2 − 25 x 2 − 7 x + 2 − x có tiệm cận ngang. Tích tham số m để đồ thị hàm số = 2 các phần tử của S là A. 8 . B. −84 . C. 21 . D. −21 . Lời giải. Chọn B. m   = * lim y lim  3 8 x 3 − 5 x 2 − 2 − 25 x 2 − 7 x + 2 − x  x →+∞ x →+∞ 2    m   = lim  3 8 x3 − 5 x 2 − 2 − 2 x + 5 x − 25 x 2 − 7 x + 2 −  + 3  x  x →+∞ 2    Ta có: lim. x →+∞. (. 3. ). 8 x3 − 5 x 2 − 2 − 2 x =−. ). (. 7 5 ; lim 5 x − 25 x 2 − 7 x + 2 = 10 12 x →+∞. m   lim y lim  3 8 x3 − 5 x 2 − 2 − 25 x 2 − 7 x + 2 − x  *= x →−∞ x →−∞ 2    m   = lim  3 8 x 3 − 5 x 2 − 2 − 2 x − 5 x − 25 x 2 − 7 x + 2 +  7 −  x  x →−∞ 2    Ta có: lim. x →−∞. (. 3. ). 8 x3 − 5 x 2 − 2 − 2 x =−. ). (. 5 7 − ; lim 5 x − 25 x 2 − 7 x + 2 = 12 x →−∞ 10. m 0  +3=  m = −6 * Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang ⇔ lim y hoặc lim y hữu hạn ⇔  2 ⇔ x →−∞ x →+∞  m = 14 7 − m = 0  2. Câu 51:. (PHÂN-TÍCH-BÌNH-LUẬN-THPT-CHUYÊN-HÀ-TĨNH) Gọi S là tập tất cả các giá trị của. tham số m để đồ thị hàm số y= 9 x 2 − 5 x + 3 − 3 64 x3 + 3 x 2 − 5 x + 2 + mx có tiệm cận ngang. Tổng bình phương tất cả các phần tử của S là A. 10 . B. 15 . C. 50 . D. 51 . Lời giải.

<span class='text_page_counter'>(41)</span> Chọn C = lim y lim x →+∞. = lim. x →+∞. Ta có:. x →+∞. (. (. lim. x →+∞. x →−∞. x →−∞. Ta có:. ). 9 x 2 − 5 x + 3 − 3 x + 4 x − 3 64 x3 + 3 x 2 − 5 x + 2 + (m − 1) x. (. *= lim y lim = lim. 9 x 2 − 5 x + 3 − 3 64 x 3 + 3 x 2 − 5 x + 2 + mx. ). ). (. −5 1 9 x 2 − 5 x + 3 − 3 x = lim 4 x − 3 64 x3 + 3 x 2 − 5 x + 2 = − 16 6 , x →+∞. x →−∞. (. ). (. 9 x 2 − 5 x + 3 − 3 64 x 3 + 3 x 2 − 5 x + 2 + mx. ). 9 x 2 − 5 x + 3 + 3 x + 4 x − 3 64 x3 + 3 x 2 − 5 x + 2 + (m − 7) x. lim. x →−∞. (. ). ). ). (. 1 5 9 x 2 − 5 x + 3 − 3 x = lim 4 x − 3 64 x3 + 3 x 2 − 5 x + 2 = − x →−∞ 6, 16. m −1 0 = = m 1 * Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang ⇔ lim y hoặc lim y hữu hạn ⇔  ⇔ x →−∞ x →+∞ = −7 0 = m m 7 Câu 52:. (Thuận Thành 2 Bắc Ninh) Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để đồ thị hàm số x + m −3 có đúng một đường tiệm cận? y= x+5 A. 5 . B. 4 . C. 1 . D. 6 . Lời giải Chọn A x + m −3 x + m−9 = Ta có y = . x+5 ( x + 5) x + m + 3. (. ). Dễ thấy lim y= 0, ∀m . Do đó đồ thị hàm số có một đường TCN là y = 0 . x →+∞. Để đồ thị hàm số không có đường tiệm cận đứng ta xét thường hợp sau: −5 là nghiệm của tử hoặc −5 làm. x + m không xác định.. TH1: −5 là nghiệm của tử thì −5 + m − 9 = 0 ⇔ m = 14 . Thử lại:. x + 14 − 9 1 1 = lim = . Không có TCĐ. x →−5 ( x + 5) x + 14 + 3 x→−5 x + 14 + 3 6. = lim y lim x →−5. TH2: −5 làm. (. ). x + m không xác định thì −5 ∉ [ −m; +∞ ) ⇔ −5 < −m ⇔ m < 5 .. Khi đó không tồn tại lim y nên không đường tiệm cận đứng. x →−5. Mặt khác đề bài yêu cầu tìm giá trị nguyên dương của. m. nên m ∈ {1; 2;3; 4} .. Vậy m ∈ {1; 2;3; 4;14} . Câu 53:. (Kim Liên) Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f ( tan x ) = cos 4 x . Tìm tất cả các số thực hàm số g ( x ) =. A. m < 0 . Chọn B. 2019 có hai đường tiệm cận đứng. f ( x) − m B. 0 < m < 1 C. m > 0 . Lời giải. D. m < 1 .. m. để đồ thị.

<span class='text_page_counter'>(42)</span> 4. cos x Ta có=. 1. cos x ) (= 2. 2. (1 + tan x ) 2. m. Yêu cầu bài toán tương đương tìm. , suy ra f ( tan x ) =. 2. 1. (1 + tan x ) 2. tương đương phương trình. Xét hàm số h ( x ) =. h′ ( x ) =−. 4x. (1 + x ). 2 3. (x. 1 2. ). +1. 2. 2019 1. để đồ thị hàm số g ( x ) =. (. hay f ( x ) =. 2. ). x2 + 1. 2. −m. 1. (1 + x ). 2 2. .. có hai đường tiệm cận đứng. −m = 0 có hai nghiệm phân biệt.. 1. (1 + x ). 2 2. ⇒ h′ ( x ) = 0⇔ x= 0. Bảng biến thiên. Dựa vào bảng biến thiên, phương trình. (. 1. ). x2 + 1. 2. −m = 0 có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 0 < m < 1. . Câu 54: Cho hàm số y =. 2mx + m . Với giá trị nào của tham số x −1. m. thì đường tiệm cận đứng, tiệm cận. ngang cùng hai trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có diện tích bằng 8. A. m = 2 .. B. m = ±. 1 . 2. C. m = ±4 .. D. m ≠ ±2 .. Lời giải Chọn C Để đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận thì m ≠ 0 . Khi đó đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận là= x 1,= y 2m . Hình chữ nhật tạo bởi 2 tiệm cận và 2 trục tọa. 8 m= ±4 độ có diện tích là 2m .1 =⇔ Câu 55: Cho đồ thị hai hàm số f ( x ) = dương của . A. a = 3 .. 1 2x +1 ax + 1 và g ( x ) = với a ≠ . Tìm tất cả các giá trị thực x +1 2 x+2. a để các tiệm cận của hai đồ thị hàm số tạo thành một hình chữ nhật có diện tích là 4 B. a = 6 .. C. a = 1 . Lời giải. D. a = 4 ..

<span class='text_page_counter'>(43)</span> Chọn B Đồ thị hàm số f ( x ) =. 2x +1 có hai đường tiệm cận là x = −1 và y = 2 . x +1. Đồ thị hàm số g ( x ) =. ax + 1 có hai đường tiệm cận là x = −2 và y = a . x+2. Hình chữ nhật được tạo thành từ bốn đường tiệm cận của hai đồ thị trên có hai kích thước là 1 và a − 2 . a = 6 4⇔ Theo giả thiết, ta có a − 2 .1 = . Vì a > 0 nên chọn a = 6 .  a = −2 Câu 56:. x+a có đồ thị ( C ) x−a. (Phan Đình Tùng Hà Tĩnh) (Phan Đình Tùng Hà Tĩnh) Cho hàm số y = (với. a. là số thực dương). Gọi P , Q là 2 điểm phân biệt nằm trên ( C ) sao cho tổng khoảng. cách từ P tới hai đường tiệm cận của ( C ) là nhỏ nhất và tổng khoảng cách từ Q tới hai đường tiệm cận của ( C ) là nhỏ nhất. Độ dài đoạn thẳng PQ là A.. 2 2a + 1 .. B.. 2 a.. C.. Đồ thị hàm số ( C ) có 2 đường tiệm cận là: TCN.  . Ta có. D.. 4 a.. Lời giải. Chọn D. Gọi P  m;. 2a + 1 .. a. ∆1 : y = 1 và TCĐ ∆ 2 : x =. m+a  n+a  , Q  n;  ∈ ( C ) , m ≠ n , m ≠ a, n ≠ a. m−a  n−a. *) d ( P, ∆1 ) + d ( P, ∆ 2 ) = m − a + Dấu “=” xảy ra ⇔ m −= a. m+a 2a 2a −1 = m − a + ≥ 2 m−a . = 2 2a m−a m−a m−a. ( (. ) ). m = a + 2a ⇒ P a + 2a ; 2a + 1 2a . ⇔ m = m−a a a P a a a 2 2 ;1 2 − ⇒ − − . *) d ( Q, ∆1 ) + d ( Q, ∆ 2 ) = n − a +. n+a 2a 2a −1 = n − a + ≥ 2 n−a . = 2 2a n−a n−a n−a. ( (. ) ). n = a + 2a ⇒ Q a + 2a ; 2a + 1 2a  Dấu “=” xảy ra ⇔ n −= . a ⇔ n = n−a a 2 a Q a 2 a ;1 2 a − ⇒ − −  Vì P, Q là 2 điểm phân biệt nên ta chọn P a + 2a ; 2a + 1 ; Q a − 2a ;1 − 2a .. (. PQ Do vậy=. = 16a 4 a .. ) (. ).

<span class='text_page_counter'>(44)</span>