Tài liệu Công trình Thủy điện Hòa Bình_ Phần 5 ppt

5
TÍNH TOÁN TẢI TRỌNG ĐỘNG ĐẤT
ĐẬP VẬT LIỆU ĐỊA PHƯƠNG
_____________________________________
Đập vật liệu địa phương – Tính toán tải trọng động đất
- 1 -
MỤC LỤC
Trang
CHƯƠNG I
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TOÁN CÔNG TRÌNH KHI CÓ ĐỘNG ĐẤT
1.1. Nguyên tắc chung....................................................................................................3
1.2. Phương pháp tĩnh....................................................................................................3
1.2.1. Phương pháp Omori...............................................................................................3
1.2.2. Phương pháp Mononebe........................................................................................4
1.2.3. Phương pháp phổ tuyến tính..................................................................................4
1.3. Các phương pháp động lực học.............................................................................5
1.3.1. Phương pháp giải tích ...........................................................................................5
1.3.2. Phương pháp đường cong phổ ..............................................................................5
1.3.3. Phương pháp động lực học....................................................................................7
1.3.4. Phương pháp ngẫu nhiên ......................................................................................7
CHƯƠNG II
PHƯƠNG PHÁP ĐỘNG HỌC TÍNH TOÁN
TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT-BIẾN DẠNG CỦA ĐẬP ĐẤT- ĐÁ
2.1. Phương trình động
học. .....................................................................................10
2.1.1..Phương trình tổng quát........................................ .........................................10
2.1.2. Phương trình chuyển động trong dạng ma trận ..............................................10
2.1.3. Hệ số tắt dần ..................................................................................................14
2.1.4. Hình thành ma trận khối .................................................................................16
2.1.5. Giải phương trình đặc tính ..............................................................................18
2.1.6. Tính toán sóng chảy ........................................................................................20

2.2. Đánh giá biến dạng dư ....................................................................................21
2.3. Lựa chọn các chỉ tiêu cơ lý của vật liệu khi có tải trọng động .......................23
CHƯƠNG III
PHƯƠNG PHÁP PHỔ TUYẾN TÍNH
(THEO СНиП II -7-81)
3.1. Xác định tải trọng động
đất ............................................................................25
3.1.1. Các thành phần nằm ngang ............................................................................25
3.1.2. Các thành phần thắng đứng. .........................................................................27
3.1.3. Ví dụ tính toán ..............................................................................................30
3.2. Một số tiêu chuẩn, quy phạm của các nước ...................................................33
3.2.1. Tiêu chuẩn của Nhật ......................................................................................30
3.2.2. Tiêu chuẩn của Mỹ ........................................................................................30
3.2.3. Tiêu chuẩn của Pháp ......................................................................................30
3.2.4. Tiêu chuẩn СНиП II – A - 12 – 69 của Liên Xô.........................................30
3.2.5. Tiêu chuẩn СНиП II -7-81 của Liên Xô .......................................................30
_____________________________________
Đập vật liệu địa phương – Tính toán tải trọng động đất
- 2 -
TÀI LIỆU THAM
KHẢO ......................................................................................34
CHƯƠNG I
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TOÁN CÔNG TRÌNH
KHI CÓ ĐỘNG ĐẤT
I.1. NGUYÊN TẮC CHUNG.
Một trong những nhiệm vụ chủ yếu của kỹ thuật chống động đất là việc xây dựng
các phương pháp xác định ứng lực trong các công trình khi chịu động đất.
Để giải quyết nhiệm vụ trên, cần phải nghiên cứu các lý thuyết của cơ học địa
chấn là một lý thuyết mới của cơ học, nó liên quan nhiều đến những thành tựu của
địa chấn học, địa chất học, cơ học đất và nền móng v.v…

Kỹ thuật kháng chấn có liên quan đến việc phân vùng động đất, trạng thái động lực
học của công trình, các phương pháp tính toán kết cấu công trình, tính kinh tế của
việc thiết kế và tính toán công trình khi chịu động đất .
Các phương pháp tính toán hiện nay, có thể tạm chia thành hai nhóm :
a.) Nhóm các phương pháp sơ đồ tĩnh.
b.) Nhóm các phương pháp động lực
Nhóm các phương pháp sơ đồ tĩnh là nhóm mà trong các công thức, các phương
trình tính toán không xét tới thời gian t. Các phương pháp sơ đồ tĩnh bao gồm:
- Phương pháp Omori (Nhật, năm 1900).
- Phương pháp Mônônebe (Nhật, 1920).
- Phương pháp phổ tuyến tính.
Nhóm các phương pháp sơ đồ động là nhóm mà trong các công thức, các phương
trình tính thời gian t là một biến số của các hàm chuyển vị, vận tốc, gia tốc và lực
quán tính động đất. Các phương pháp động lực gồm:
- Phương pháp giải tích.
- Phương pháp động lực học dựa trên các đường cong phổ (sau đây gọi tắt là PP
đường cong phổ).
- Phương pháp động lực học theo các biểu đồ gia tốc của các trận động đất đã xẩy ra
(sau đây gọi tắt là PP động lực học).
- Phương pháp ngẫu nhiên.
I.2 PHƯƠNG PHÁP TĨNH
_____________________________________
Đập vật liệu địa phương – Tính toán tải trọng động đất
- 3 -
1.2.1. PHƯƠNG PHÁP OMORI
Phương pháp tĩnh để tính toán động đất là phương pháp cổ điển xuất hiện từ năm
1900 do Omori (Nhật) tìm ra sau trận động đất lớn ở Nhật Bản năm 1891.Người ta
đã nghiên cứu phương pháp xác định các gia tốc lớn nhất và các quán tính phá họai .
Lý thuyết này không chú ý đến biến dạng của công trình và xem các dao động ở
mọi điểm trên công trình đều bằng nhau, còn sự phân bố các lực quán tính của động

đất trên công trình phụ thuộc vào khối lượng phân bố trên công trình. Các lực động
đất được xem như các lực ngang tĩnh, tỷ lệ với khối lượng của kết cấu và bằng :
S = mΫ
0 =
g
Q
Ϋ
0
= K
c.
Q (1.1)
Trong đó :
m (Q) – là khối lượng (trọng lượng) của công trình
Ϋ
0
– là gia tốc động đất lớn nhất của nền đất
g – gia tốc trọng trường
K – là hệ số động đất
Hệ số K
c
xác định trên cơ sở của các số liệu địa chấn ở một khu vực lớn, các số
liệu này cho phép ta dự đoán được lựcđộng đất.
Phương pháp này, có thể cho ta khái niệm gần đúng về lực xuất hiện trong các kết
cấu cứng có biến dạng nhỏ trong thời gian động đất. Trong các kết cấu, ứng lực phụ
thuộc chủ yếu vào các tính chất động lực học vào chu kỳ dao động, dạng dao động
và sự tắt dần của dao động riêng.
Vì vậy, cần nghiên cứu các phương pháp động lực học để xác định các dạng dao
động và ứng lực trong công trình.
1.2.2. PHƯƠNG PHÁP MONONEBE
Thí nghiệm đầu tiên chú ý đến sự chuyển động của nền đất như một hàm phụ

thuộc thời gian đã được Mônônebe tiến hành ở Nhật Bản năm 1920.
Ông ta công nhận dao động tuần hoàn của nền đất như dao động cưỡng bức của
công trình và đưa vào công thức (1.1), hệ số động lực β :
S = k
c
β
Sự hiệu chỉnh này chỉ có ảnh hưởng đối với các công trình cao, bất lợi khi chịu
uốn. Cơ sở của phương pháp động lực học ở dạng chung nhất được nghiên cứu vào
năm 1927. Trong nghiên cứu , ông đã chỉ ra sự cần thiết phải xem xét các quá trình
chuyển tiếp đột ngột , mà các quá trình đó phản ánh tính chất tác động tức thời của
động đất.
Trong giai đoạn chuyển tiếp này, hệ số động lực có thể tăng gấp 2 lần. Do thiếu
thông tin về đặc tính của các trận động đất đã xẩy ra, nên phương pháp động lực học
chỉ cho ta hiểu sơ đồ về chuyển động của nền đất và các dao động của công trình.
1.2.3 PHƯƠNG PHÁP PHỔ TUYẾN TÍNH
_____________________________________
Đập vật liệu địa phương – Tính toán tải trọng động đất
- 4 -
Cơ sở của phương pháp phổ tuyến tính là dựa trên việc phân tích các đường cong
phổ để đưa ra các hệ số để đơn giản hoá việc tính toán. Phương pháp này được sử
dụng trong các quy phạm thiết kế công trình trong vùng động đất của hầu hết các
nước trên thế giới.
Phương pháp phổ tuyến tính được trình bày trong Quy phạm CНиП II-7-81 của
CHLB Nga. Quy phạm này đươc cập nhật và bổ sung hàng năm. Lần bổ sung gần
đây nhất là năm 2000. Phương pháp này đã được ứng dụng rộng rãi cho nhiều công
trình xây dựng của Việt Nam.
Sau đây sẽ được giới thiệu cụ thể phương pháp này.
I.3 CÁC PHƯƠNG PHÁP ĐỘNG LỰC HỌC
1.3.1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH .
Đối với phương pháp giải tích, ta công nhận một mô hình toán cơ của công trình.

Dựa vào các phương pháp cơ học của môi trường liên tục hoặc rời rạc, ta thiết lập
được hàm giải tích, trong đó đưa yếu tố thời gian vào dao động của động đất . Từ
phương trình vi phân ta xác định chuyển vị, vận tốc và gia tốc. Các lực động đất
được xác định bằng tích khối lượng của hệ với gia tốc tương ứng của chúng. Nhưng
phương pháp này có tính chất gần đúng, do thiếu các số liệu chính xác.
1.3.2 PHƯƠNG PHÁP ĐƯỜNG CONG PHỔ.
Qua việc phân tích các trận động đất ở San Francisco vào năm 1923 và Laybich
vào vào năm 1933, nhiều tác giả đã thiết lập được dạng mới của phương pháp động
lực học để tính toán công trình, đó là phương pháp phổ, hoặc phương pháp tính theo
đường cong phổ.
Phương pháp phổ được M.Bio nêu ra năm 1933, sau đó được Cotrinski đã nghiên
cứu hoàn chỉnh cơ sở lý thuyết của phương pháp này.
Nội dung của phương pháp phổ là xác định gia tốc, vận tốc và chuyển vị cực đại
của các dao động đó .
Ở phương pháp này, người ta sử dụng sự tương tự giữa dao động của hệ phức tạp
với hệ có một bậc tự do.
Để hiểu một cách vắn tắt phương pháp phổ, chúng ta sẽ khảo sát hàm F(t):
Nếu hàm F(t) biểu diễn quá trình giao động trong khoảng thời gian (0, t) thì phổ
của hàm đó là:
S(ω) =
∫
−
t
o
ti
dtetF
ω
).(
(1.2)
Và hàm F(t) được thể hiện qua S(ω) bằng biểu thức:

_____________________________________
Đập vật liệu địa phương – Tính toán tải trọng động đất
- 5 -
F(t) =
∫
+
t
o
ti
deS
ωω
ω
).(
(1.3)
Dựa vào phổ (1.2) có thể khai triển F(t) dưới dạng lượng giác sau:
F(t) = a
o
+A
1
.sin(1ωt+α
1
)+A
2
.sin(2ωt+ α
2
) +A
3
.sin(3ωt+ α
3
) +A

4
.sin(4ωt + α
4
)....
hay F(t) = a
o
+
∑
∞
=
1k
A
k.
sin(kωt + α
k
) (1.4)
Việc biểu diễn biên độ A
k
ứng với tần số ω
k
= kω của điều hoà thứ k trong chuỗi
Fourier của hàm tuần hoàn F(t) trong mặt phẳng (ω
1
, A) gọi là biểu diễn hàm tuần
hoàn F(t) trong miền tần số. Tập hợp các biên độ A
k
trong khai triển Fourier (1.4)
của hàm tuần hoàn F(t) được gọi là phổ của hàm tuần hoàn F(t). Trên hình 1.1 biểu
diễn phổ của hàm (1.4).
Qua việc khảo sát trên có thể tạm định nghĩa như sau :

1.) Mục đích của phổ là tìm các thành phần tổng hợp nên dao động
2.) Ý nghĩa của phổ là đưa một bài toán trong miền thời gian về khảo sát trong miiền
tần số.
1.) Phổ là yếu tố đặc trưng các dao động phức tạp – thực chất là biến đổi Fourie của
hàm biên độ dao động theo thời gian.

ωω
1
2
ω
1
3
ω
1
4
ω
1
A
k
Hình 1.1 Phổ của hàm tuần hoàn

Do phổ là yếu tố đặc trưng các dao động phức tạp nên sẽ có vô số thể hiện. Vì vậy
sau khi tính phản ứng động lực của công trình ứng với mỗi thể hiện khi mô phỏng từ
phổ, chúng ta tiếp tục xử lý thống kê các thể hiện hiệu quả, nhằm:
- Xác định khả năng xuất hiện của ngưỡng ứng suất σ
i
< σ
ui
< σ
i+1

đặc trưng bởi xác suất :
P(σ
ui
) =
N
n
u
(1.5)
Trong đó : n
u
– Số lần xuất hiện của ứng suất trong khoảng [σ
i
,σ
i+1
]
N – Số thể hiện mô phỏng xác suất (1.5) được tính cho mỗi phần tử của
công trình, nó thể hiện mức độ có thể xẩy ra ở ngưỡng ứng suất [σ
i
,σ
i+1
].
Ứng suất trung bình được tính như là kỳ vọng cúa các σ
ui
:
_____________________________________
Đập vật liệu địa phương – Tính toán tải trọng động đất
- 6 -
σ
ui
=

)(
1
ui
i
ui
P
σσ
∑
∞
=
(1.6)
- Phương sai Var(σ
ui
) đặc trưng cho mức độ tập trung quanh giá trị trung bình:
Var(σ
ui
)

=
( )
)(
2
1
uimui
i
P
σσσ
−
∑
∞

=
(1.7)
- Độ lệch chuẩn σ:
σ

=
)(
uiar
v
σ
(1.8)
Các đại lượng P(σ
ui
), Var(σ
ui
) và σ là kết quả xử lý thống kê cuối cùng của N thể
hiện và đóng vai trò chủ yếu trong đánh giá độ tin cậy của kết cấu sau này.
Phương pháp tính toán theo đường cong phổ đã được ứng dụng rộng rãi trong các
tiêu chuẩn qui phạm của các nước để xác định các lực động đất.
1.3.3. PHƯƠNG PHÁP ĐỘNG LỰC HỌC.
Là phương pháp dựa vào các biểu đồ gia tốc ký thực tế của các trận động đất đã
xảy ra.
Phương pháp này sử dụng các phương trình vi phân dao động có vế phải là lực gây
ra các dao động cưỡng bức, được biểu thị bằng biểu đồ gia tốc ký của các trận động
đất đã xảy ra.
1.3.4. PHƯƠNG PHÁP NGẪU NHIÊN.
Trong những năm gần đây người ta còn dùng phương pháp ngẫu nhiên , là một
phương pháp hiện đại, đặt vấn đề ngẫu nhiên bài toán động lực kháng chấn, cho
phép suy nghĩ theo một cách mới trước một vài khía cạnh của vấn đề kháng chấn và
đánh giá được các phương án tính toán.

Đặc tính của các trận động đất đặt ra vấn đề phải chú ý đến hàng lọat yếu tố có
tính chất ngẫu nhiên của thiên nhiên .
Ở phương pháp này người ta nghiên cứu các hệ kết cấu chịu tác động của động đất
. Vật liệu trong kết cấu và động đất được xem là những yếu tố ngẫu nhiên thay đổi
theo thời gian .
Dao động của nền đất ở vùng có động đất phụ thuộc vào hàng loạt yếu tố ngẫu
nhiên như tính chất của quá trình ở chấn tiêu, khoảng cách đến chấn tâm v.v…
Trận động đất này khác các trận động đất tiếp sau. Điều đó dẫn đến ý định ứng
dụng các phương pháp thống kê và lý thuyết xác suất khi xác định tác động của
động đất.
Các hàm Ÿ
o
(t) = W
o
(t) và y(t) mô tả sự chuyển vị của nền đất và của kết cấu đều
là hàm ngẫu nhiên của thời gian.
Bài toán đặt ra là: xác định đặc tính xác suất của chuyển vị y(t) dựa trên các đặc tính
xác suất cho trước của chuyển vị nền đất.
Bài toán dao động động đất dẫn đến bài toán cơ bản của lý thuyết hàm ngẫu nhiên
bằng việc xây dựng các hàm ngẫu nhiên từ hàm đã cho.
_____________________________________
Đập vật liệu địa phương – Tính toán tải trọng động đất
- 7 -
Các dao động động đất tác động lên hệ có nhiều bậc tự do được xác định nhờ hệ
phương trình vi phân.
Theo lý thuyết xác suất, điều cần thiết là phải xác định các đặc tính xác suất của
hàm y
k
(t), k = 1, 2, 3…n, theo các đặc tính của hàm W
o

(t). Bài toán này tương tự
như bài toán về chuyển tiếp của hàm ngẫu nhiên, quan hệ tuyến tính. Khó khăn khi
áp dụng phương pháp này là ở chỗ các trận động đất mạnh ở mỗi địa điểm khác
nhau lặp lại thưa thớt trong số ít các biểu đồ gia tốc ghi được của nền đất đặc biệt là
các điều kiện như nhau đối với khoảng cách chấn tâm, đặc tính địa chất công trình
và địa chất thủy văn. . v.v… Các đặc tính xác suất của động đất còn được nghiên
cứu rất ít và chưa đủ tin cậy.
Tác động của động đất được xem xét theo nhiều cách khác nhau: qúa trình ngẫu
nhiên ổn định, quá trình ngẫu nhiên không ổn định, các quá trình tương quan delta
và các xung không tương quan của động đất tác động.
Qúa trình ngẫu nhiên không ổn định được trên các hệ của các hàm tương ứng quan
về tác động bên ngoài ở phương pháp này nhiều tác giả đã kiến nghị gia tốc của nền
đất biểu thị bằng phương trình :

∑
=
k
kko
tztAtW )()()(
1.9)
Trong đó : A
k
(t) – hàm thời gian đã cho.
Z
k
(t) – hàm ngẫu nhiên ổn định.
Kết quả đúng dần thứ nhất chỉ lấy số hạng đầu tiên của dãy (hình 9-13)
)()()( tztAtW
o
=

(1.10)
Trong trường hợp này, quá trình ngẫu nhiên được cho với hàm bao A(t).
Giả thiết rằng các hàm A(t) và z(t) đều phụ thuộc vào số lượng hữu hạn các thông số
ngẫu nhiên như chiều sâu chấn tiêu, đặc tính năng lượng khoảng cách đến chấn tâm,
đặc tính của vỏ quả đất mà ở đó các sóng động đất đi qua và điều kiện địa chất công
trình v.v…Trên cơ sở của phương trình (1.10) ta có thể viết dưới dạng sau:
W
o
(t) = A(q
1
,q
2
,…q
n
,t)z (q
r+1
, q
m
, t) (1.11)
Gia tốc của nền đất có thể biểu thị như qúa trình ngẫu nhiên ổn định . Giả thuyết
về tính chất ổn định của tác động động đất được dựa vào các biểu đồ gia tốc động
đất của các trận động đất mạnh có các tung độ của đường bao và các tần số dao
động biến thiên tương đối nhỏ.
Hàm tương quan của gia tốc động đất của nền đất chỉ phụ thuộc vào hiệu số của
các thời gian t
k
và t
k
nghĩa là :
K

o
(t
1
,t
2
) = k
o
(t
1
– t
2
) = k
o
(∆t) (1.12)
Mật độ phổ của gia tốc của nền đất ghi tần số của tác động của động đất được biểu
thị bằng hàm tương quan theo phương pháp sau :
F
o
(ω) = 2
∫
∞
∆∆
0
0
cos)(
ωω
tdtk
(1.13)
_____________________________________
Đập vật liệu địa phương – Tính toán tải trọng động đất

- 8 -
Các tính chất xác suất tác động của động đất được cho đầy đủ với hàm tương
quan k
o
(∆t). Hàm này có thể được tính gần đúng theo công thức :
k
o
(∆t) ≈
∫
∆+
T
oo
dtttWtW
T
0
)()(
1
(1.16)
Trong đó : W
o
(t) – gia tốc của nền đất theo biểu đồ gia tốc đo được bằng máy gia tốc
ký.
T – khoảng cách của biểu đồ gia tốc mà khoảng cách này phải kéo dài để thu nhận
các kết quả gần đúng tốt nhất.
Việc ứng dụng các vấn đề tương quan delta (âm tạp trắng) được gọi là quá trình
ngẫu nhiên, trong đó mật độ là cố định, còn hàm tương quan chỉ khác 0 tại điểm
thay thế tác động của động đất ổn định bằng một phương trình tương quan delta
được dựa vào các công trình thực tế và được đặc trưng bằng sự khuếch tán năng
lượng tương đối nhỏ và với đặc điểm này các dao động cưỡng bức tăng lên khi có
tần số gần với tần số riêng và tắt dần đối với các tần số khác.

Nói chung các phương pháp tính toán tương quan delta có cơ sở mật độ phổ của
hàm ổn định ban đầu.
Các phương pháp tính toán đó về mặt khối lượng của các thông tin ban đầu và sự
mô tả xác suất tác động của động đất đều như nhau.
Ưu điểm chủ yếu của phương pháp tương quan delta là ở chỗ đơn giản hóa các quá
trình tính toán và bỏ qua quá trình ngẫu nhiên, đưa đến hàm tuần hoàn sau :
Y(t) = A(t)cos[ωt + θ (t)] (1.17)
Trong đó : A(t) – biên độ dao động.
ω(t) – pha dao động
Người ta cho rằng , khi tính toán các công trình chịu động đất mà không phản ánh
các đặc tính của chế độ địa chấn của khu vực và điều kiện địa chất công trình thì bài
toán đó là hoàn toàn không hợp lý.
Vì vậy đối với mỗi khu vực, chúng ta cần thiết lập đặc tính xác suất về động đất
của từng khu vực bằng các máy đo địa chấn.
Nhưng việc thu thập các thông tin xác suất chính xác về tính chất tác động của
động đất là bài toán khó, chính vì vậy mà việc ứng dụng phương pháp ngẫu nhiên
vào thực tế còn rất hạn chế .
_____________________________________
Đập vật liệu địa phương – Tính toán tải trọng động đất
- 9 -
CHƯƠNG II
PHƯƠNG PHÁP ĐỘNG HỌC TÍNH TOÁN
TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT-BIẾN DẠNG CỦA ĐẬP ĐẤT- ĐÁ
2.1 PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG HỌC.
2.1.1. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT
Cơ sở để giải bài toán về trạng thái ứng suất -biến dạng bằng phương pháp phần tử
hữu hạn là lý thuyết dao động .
Điều kiện cân bằng động học đối với hệ có một bậc tự do có dạng :
f
1

+ f
D
+ f
S
= P(t) (2.1)
Ở đây :
f
1
– Là lực quán tính
f
D
– Lực cản nhớt
f
S
– Lực đàn hồi
P(t) - là véctơ ngoại lực cưỡng bức như là một hàm số của thời gian.
Như đã thấy từ (2.1), lực P(t) bao gồm trong nó các lực khác nhau đặt lên vật thể:
lực kháng đàn hồi, hướng ngược với chuyển vị, các lực cản (tắt dần), ngược với
chuyển vị (tốc độ), tải trọng ngoài độc lập. Nếu đưa vào lực quán tính, cản gia tốc,
thì chúng ta nhận được phương trình chuyển động biểu diễn sự cân bằng của tất cả
các lực. Phù hợp với nguyên lý Dalambe (khối lượng m gây ra lực quán tính, tỷ lệ
với gia tốc của nó và hướng ngược với gia tốc) có thể trình bày ngoại lực như sau :
P(t) = - m.
r

g (t) (2.2)
Ở đây rg(t) – Là vectơ dịch chuyển của nền khi f
1
= m.
r


; f
D
= c.
r

, f
S
= Kr thì
(2.1) có dạng :

)(trmkrrcrm
g

−=++
(2.3)
Ở đây : c – hằng số cản (tắt dần) ; k = độ cứng.
r – véctơ dịch chuyển (độ võng ) của kết cấu tương ứng với nền
Dấu âm ở vế trái phải của phương trình chỉ ra rằng tải trọng hướng ngược chiều
với gia tốc của động đất. Khi có tác động động đất dấu này thực tế không có ý
nghĩa, bởi vì người ta giả thiết rằng tác động động đất có hướng tùy ý.
2.1.2 PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG TRONG DẠNG MA TRẬN.
_____________________________________
Đập vật liệu địa phương – Tính toán tải trọng động đất
- 10 -
Sử dụng (2.3) (phương trình vi phân chung của chuyển động vơí lực cản trong
dạng ma trận đối với hệ có nhiều bậc tự do) và khai triển véctơ dịch chuyển của nền
theo các toạ độ, chúng ta nhận được :
[M]{
r


}+ [C]{
r

} + [K]{K}{r} =- -{Ex}.
(t)u
x
g

- {E
y
}.
( )
tu
y
g

- {E
z
}.
(t)u
z
g

(2.4)
Ở đây : [M] – Là các ma trận khối lượng
[C] – Ma trận các hệ số tắt dần
[K] – Ma trận độ cứng giống như trong bài toán tĩnh
[r] – Là véc tơ chuyển vị của các điểm nút tương ứng với nền
[Ex] – Là ma trận cột của khối lượng theo phương x

[Ey] – Ma trận cột của khối lượng theo phương y
[Ez] – Ma trận cột của khối lượng theo phương z

(t)u
x
g

,
( )
tu
y
g

,
( )
tu
z
g

- tương ứng với các thành phần nằm ngang (x), thẳng đứng (y)
và nằm ngang (z) của gia tốc nền khi có tác động động đất. Các giá trị này được lấy
từ các biểu đồ gia tốc ghi bằng máy gia tốc ký của các trận động đất thực tế đã xẩy
ra.
Trong trường hợp chung có thể xem (2.1) như là sự miêu tả ma trận véctơ của các
phương trình cân bằng động học đối với trường hợp của hệ với nhiều bậc tự do.
Phương trình chuyển động của các dao động tự do không có lực cản có dạng :
[M]{
r

} + [K]{r} = 0 (2.5)

Khi nghiên cứu các dao động của hệ với các thông số được phân bố (khối lượng
và biến dạng) có thể sử dụng phương pháp gần đúng , trên cơ sở cho hình dạng của
hệ khi nó chuyển động .Nếu hệ dao động ổn định (ở đây hệ như vậy được nghiên
cứu), thì lời giải riêng của các phương trình vi phân (2.5) sẽ có dạng :
r
1
= A
1
sin (ωt + α)
r
2
= A
2
sin (ωt + α) (2.6)
. . . . . . . . . . . . . . .
rn = Ansin (ωt + α)
Thay (2.6) và (2.5) , chúng ta nhận được hệ phương trình đại số tương ứng với các
biên độ dạng :
- A
1
ω
2
m
11
- A
2
ω
2
m
12

- . . . . . - A
n
ω
2
m
1n
+ A
1
K
11
+ A
2
K
12
+ . . . . + A
n
K
1n
= 0
- A
1
ω
2
m
21
- A
2
ω
2
m

22
- . . . . . - A
n
ω
2
m
2n
+ A
1
K
21
+ A
2
K
22
+ . . . . + A
n
K
2n
= 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2.7)
- A
1
ω
2
m
n1
- A
2
ω

2
m
n2
- . . . . . - A
n
ω
2
m
nn
+ A
1
K
n1
+ A
2
K
n2
+ . . . . + A
n
K
nn
= 0
Lời giải tầm thường của hệ phương trình đại số sẽ có khi có điều kiện A
1
= A
2
= . ..A
n
= 0, nghĩa là khi không có dao động. Chúng ta quan tâm đến lời giải không
tầm thường, bởi vì hệ đang dao động. Trong trường hợp này định thức sau cần phải

bằng 0.
k
11
– m
11
ω
2
k
12
- m
12
ω
2
. . . . . . .
k
1n
- m
1n
ω
2
k
11
– m
11
ω
2
k
12
- m
12

ω
2
. . . . . . .
k
1n
- m
1n
ω
2
_____________________________________
Đập vật liệu địa phương – Tính toán tải trọng động đất
- 11 -
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = 0 (2.8)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
k
n1
- m
n1
ω
2
k
n2
- m
n2
ω
2
. . . . . . .
k
nn
- m

nn
ω
2
Sau khi khai triển định thức , chúng ta nhận được một định thức bậc n (
2
n
2
2
2
1
,...,
ωωω
). Các tần số , phân bố theo thứ tự lớn dần ( ω
2
< ω
2
<. . . . < ω
n
) tạo
thành phổ các tần số riêng của dao động của hệ.
Mỗi một lời giải riêng từ (2.6) của dịch chuyển ở toạ độ j , r
i
= Ajisin(ω
i
t + αi).
Chỉ số i - chỉ ra tần số quay tương ứng ), tương ứng với một nghiệm ω
i
(1 ≤ i ≤ n ).
Lời giải chung sẽ có dạng :
r

i
=
ii
n
i
jii
tA
αω
+
∑
=
sin(
1
) , (j = 1,2,3 . . . n ) (2.9)
Nếu thay vào (2.8) một giá trị ω
i
nào đó và giá trị tương ứng với nó là A
ji
, thì số
các phương trình còn lại là n - 1. Các phương trình này cho phép biểu hiện tất cả các
biên độ qua bất kỳ một biên độ nào từ chúng, ví dụ biên độ đầu tiên.
Tổ hơp các quan hệ:
k
1i
= 1, k
2i
= A
2i
/A1i , k3i = A
3i

/A
1i
. . . k
ni
= A
ni
/A
1i
(2.10)
Cho các biên độ tương đối của dạng dao động bản thân (riêng) thứ i , nghĩa là
miêu tả hình dạng của hệ khi sai lệch nhất trong quá trình dao động với tần số thứ i.
Hình dạng này được xác định với độ chính xác đến một thừa số tùy ý, nghĩa là tỷ số
của nó là chưa biết . Tổ hợp (2.10) trong dạng ma trận là hệ số của không gian véctơ
n - chiều. Tổ hợp của các véctơ như vậy được gọi là ma trận của các dạng dao động
riêng [X]. Mỗi một tần số riêng ω
i
tương ứng với một dạng dao động riêng {x}.
Việc xác định các tần số riêng (giá trị riêng) và dạng riêng (véctơ riêng) – là phần
khó khăn nhất của việc giải bài toán về dao động của hệ với số lớn bậc tự do. Mặt
khác sự có mặt của các trị riêng và véctơ riêng của dao động mở ra một khả năng
lớn để giải các bài toán khác nhau (chặt chẽ và gần đúng) và phân tích sự làm việc
của kết cấu khi có tác động (tải trọng) đặt lên nó. Thường việc xác định véctơ riêng
và trị riêng được thực hiện nhờ máy tính khi sử dụng một vài thuật toán của đại số
ma trận, bởi vì đường lối giải như đã trình bày ở trên là phức tạp do phải tìm nghiệm
của một đa thức bậc cao. Chuyển phương trình (2.5) đến dạng.
[I].[r] = -[K]
-1
[M].
[ ]
r


(2.11)
Phù hợp với phương pháp Relay giả thiết rằng dạng (dao động) với sự chính xác
chỉ phụ thuộc vào một thông số thời gian, khi đó mô hình cơ học có 1 bậc tự do (ví
dụ dao động uốn cong tự do của dầm). Theo phương pháp Relay chúng ta có :
[r(t)] = [X] [y(t)] (2.12)
Ở đây [X] – Là một hàm xác định trước của toạ độ
[y(t)] – Ma trận cột của hàm thời gian chưa biết.
[ri(t)] = [Xi] {yi(t)] = [xi]sin(ω
it
+2) (2.13)
Thay (2.13) vào (2.12), chúng ta nhận được dạng thứ i tương ứng .
_____________________________________
Đập vật liệu địa phương – Tính toán tải trọng động đất
- 12 -

{ }
0}]{[][
1
1
2
=−
−
ii
xMkx
ω
(2.14)
Sau khi ký hiệu ω
i
2

= λ
i
chúng ta nhận được phương trình đặc tính .
{xi} = λ
i
[H]{xi} (2.15)
Nếu trong phương trình (2.3) phần phải bằng 0, thì để tính sự tắt dần (cản) của quá
trình dao động, lời giải của phương trình này thuận lợi nhất là xem xét xuất phát từ
việc nghiên cứu năng lượng trong quá trình dao động.
Có thể coi rằng ri(t) = Bcos(ω
it
+ α), thế năng trong một thời điểm bất kỳ của
chuyển động dao động bằng :
U[r(t)] =
2
)(.
2
trK
Bởi vì lực đàn hồi bằng k.r(t), độ cao nâng lên trung bình là r(t)/2 và :

)(cos
2
.
)](.[
2
2
αω
+=
t
Bk

trU
i
i
(2.16)
Động năng của dao động :

2
2
)]sin([
22
.
)(
αωω
+−==
tB
mvm
tK
i
=
)(sin
2
.
22
2
αωω
+
t
Bm
ii
(2.17)

Nếu giả thiết rằng khi tắt dần ω = ω
1
, thì :
m
K
=
2
ω
và
)(sin.
2
.
)(
2
2
αω
+=
t
Bk
tK
i
Năng lượng toàn phần :

)](cos)([sin
2
)()]([
22
2
αωαω
+++=+

tt
kB
tktrU
i
=
2
2
kB
(2.18)
Nếu giả thiết rằng lực ma sát tỷ lệ với vận tốc và hướng ngược với chuyển động của
dao động, thì :
Ft = - CV , ở đây: :
)sin(
)(
αωω
+−==
tB
dt
tdr
v
Khi đó xung của lực ma sát là :
Ft = - CV
2
= - C.B
2
ω
2
sin
2
(ωt + α)

Các lực này bằng sự thay đổi số lượng chuyển động theo thời gian vì ma sát :

)(sin...
2
.
222
2
αωω
+−==








tCB
dt
dB
Bk
Bk
dt
d
= -
2
..
22
ω
BC

(2.19)
Bởi vì giá trị trung bình sin2x trong một chu kỳ bằng 1/2.
Giả sử y = sin
2
x khi sự thay đổi của x từ 0 đến ∞ , khi đó giá trị trung bình :

2
1
2cos
2
1
2
1
2
2cos1
sin
2
=−=
−
=
x
x
x
Bởi vì giá trị trung bình của cos2x = 0.
Do đó , áp dụng định lý về sự trung bình :
y(0,b) =
b
b
bb
xdx

bb
sin
0
sin
0
cos
00
=
−
=
−
∫∫
(2.20)
_____________________________________
Đập vật liệu địa phương – Tính toán tải trọng động đất
- 13 -
Giá trị cực đại có thể có được của tử số khi b → ∞, sinb không vượt quá 1, còn mẫu
số tiến tới ∞, nghĩa là y (0,b) -> 0.
Bây giờ :
B
k
C
dt
dB
2
.
2
ω
−=
vaø

dt
k
C
B
dB
.2
.
2
ω
−=
Do đó :
B =
th
o
t
k
c
eBeB
.
.
2
.
0
2
.
−
−
=
ω
(2.21)

Ở đây :
k
c
h
2
.
2
ω
=
;
m
k
=
2
ω
;
m
c
h
.2
=
Bằng cách như vậy , lời giải riêng có thể tìm được trong dạng r = e -h.c ; Bo được
tìm từ điều kiện ban đầu .
Nếu trong phương trình một bậc tự do với hệ số tắt dần :

0.)(.)(.
=++
rktrctrm

(2.22)

Chúng ta thay lời giải riêng vào, thì nhận được :
(m.h
2
- c.h + k).e
-ht
= 0 (2.23)
Tồn tại hai giá trị h, thoả mãn phương trình (2.23)

m
k
m
c
m
c
h
−






±=
2
2,1
2.2
(2.24)
Khi các giá trị lớn của C chúng ta có khi
m
c

2
>
m
h

Các giá trị thực h
1
và h
2
. Khi C nhỏ thường xảy ra trong đa số trường hợp, bao gồm
cả công trình bằng đất đá , h có thể có giá trị phức.
2.1.3. HỆ SỐ TẮT DẦN :
Hệ số tắt dần (hệ số cản) C mà ở giá trị đó có bước quá độ từ giá trị thực đến giá
trị phức, được gọi là hệ số tắt dần tiêu chuẩn và ký hiệu là Cc :

ω
==
m
k
m
C
c
2
; C
c
= 2mω (2.25)
Nếu chúng ta biểu diễn hệ số tắt dần thực theo đơn vị hệ số tắt dần chuẩn, thì :

c
C

c
=
ξ
vaø C = ξC
c
= 2ξ.mω (2.26)
Chúng ta sẽ biểu diễn h1,2 qua hệ số tắt dần theo quan hệ vơi chuẩn ξ..

22
2,1
).(
ωωξξω
−±=
h
=
ωξωξ
.1.
−±
i
(2.27)
Khi coi rằng
D
.1
ωωξ =−
- là tần số biến dạng có thể viết trong dạng :
h
1,2
= ξ.ω ± iω
D
(2.28)

Bây giờ lời giải chung sẽ có dạng :
_____________________________________
Đập vật liệu địa phương – Tính toán tải trọng động đất
- 14 -