Tài liệu Công trình Thủy điện Hòa Bình_ Phần 6 ppt
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (947.84 KB, 52 trang )
6
TÍNH TOÁN TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT– BIẾN DẠNG
ĐẬP VẬT LIỆU ĐỊA PHƯƠNG
__________________________________
Đập vật liệu địa phương – Tính tón ứng suất- biến dạng
1
MỤC LỤC
Trang
CHƯƠNG I
VỀ CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TOÁN
TRẠNG THÁI ỨNG SUÂT - BIẾN DẠNG CỦA ĐẬP ĐẤT ĐÁ
1.1. Giới thiệu ..................................................................................................4
1.2 Phương pháp sai phân hữu hạn .................................................................6
CHƯƠNG II
SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN ĐỂ
TÍNH TOÁN ỨNG SUẤT – BIẾN DẠNG CỦA ĐẬP
2.1 Cơ sở lý luận của phương pháp PTHH ...................................................9
2.1.1 Cơ sở lý luận .............................................................................................9
2.1.2 Nội dung cơ bản của phương pháp phần tử hữu hạn ..............................9
2.2 Các phương trình cơ bản của PP PTHH để giải bài toán tuyến tính về ứng
suất – biến dạng ........................................................................................10
2.2.1 Sô đồ tính toán - phần tử hữu hạn hình tam giác .....................................10
2.2.2 Xác định ma trận độ cứng của phần tử .....................................................11
2.3 Các phương trình cơ bản của PP PTHH để giải bài toán phi tuyến về ứng
suất – biến dạng ........................................................................................15
2.3.1 Các phương trình cơ bản ............................................................................15
2.3.2 Đường lối chung để giải dúng dần phuong trình ma trận độ cứng của hệ...18
2.3.3 Phương pháp nghiệm đàn hồi ....................................................................18
2.3.4.Phương pháp chất tải từng bước ...............................................................19
2.4. Phương pháp giải các bài toán đàn hồi phi tuyến ....................................21
2.5. Phương pháp giải các bài toán vật liệu đàn dẻo .......................................22
2.6. Giải bài toán đàn hồi theo phương pháp chất tải từng bước ...................25
2.7. Giải bài toán phi tuyến do chuyển vị lớn .................................................26
2.7.1 Phương pháp đúng dần trực tiếp ...............................................................27
2.7.1 Phương pháp số gia từng bước ..................................................................27
CHƯƠNG III
PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN CỤC BỘ
3.1. Giới thiệu chung ........................................................................................30
3.1.1 Ðặc diểm của phép tính biến phân............................................................30
3.1.2 Cơ sở lý luận..............................................................................................31
3.2 Ứng dụng phương pháp biến phân cục bộ để tính toán cho đập đất-đá .32
CHƯƠNG IV
CÁC MÔ HÌNH TOÁN
__________________________________
Đập vật liệu địa phương – Tính tón ứng suất- biến dạng
2
4.1 Các mô hình toán về quan hệ giữa ứng suất và biến dạng ....................39
4.1.1 Đặt vấn đề ................................................................................................39
4.1.2 Mô hình đàn hồi phi tuyến của Iu.K. Zaretsky .....................................40
4.1.3 Mô hình trong phạm vi LT biến dạng dẻo của Iu.K. Krưjanovsky .....41
4.1.4 Mô hình đàn hồi phi tuyến của A. K. Bugrov ......................................41
4.1.5 Mô hình trong phạm vi lý thuyết làm bền dẻo ......................................42
4.1.6 Mô hình chảy dẻo .....................................................................................42
4.1.7 Mô hình năng lượng ................................................................................43
4.2. Các điều kiện bền (tiêu chuẩn phá hoại) ................................................45
4.2.1. Điều kiện Mo-Culong .............................................................................45
4.2.2. Điều kiện bền Mize – Slaykher - Botkin ...............................................46
4.2.3. Điều kiện bền của GuBe .........................................................................46
4.2.4. Điều kiện bền năng lượng ......................................................................47
CHƯƠNG V
ỨNG DỤNG QUY HOẠCH THỰC NGHIỆM ĐỂ
LỰA CHỌN HỢP LÝ KẾT CẤU ĐẬP VẬT LIỆU ĐỊA PHƯƠNG
5.1 Phương pháp quy hoạch thực nghiệm ....................................................48
5.1.1 Vài nét giới thiệu ......................................................................................48
5.1.2. Ứng dụng quy hoạch thực nghiệm để lựa chọn kết cấu hợp lý của
đập đất đá .................................................................................................48
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................53
__________________________________
Đập vật liệu địa phương – Tính tón ứng suất- biến dạng
3
CHƯƠNG I
VỀ CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TOÁN
TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT- BIẾN DẠNG CỦA ĐẬP ĐẤT- ĐÁ
-oOo-
1.1 GIỚI THIỆU
Tính toán trạng thái ứng suất- biến dạng của đập đất đá đã được thực hiện từ
những năm 40 của thế kỷ 20 ở CHLB Nga và các nước phương Tây. Tuy nhiên do
hạn chế về công cụ tính toán mà người ta buộc phải đưa vào quá nhiều giả thiết
nhằm đơn giản hoá các công thức tính toán. Các công thức này là những biểu thức
giải tích theo bài toán một chiều. Cho tới nay, các công thức đó chỉ có ý nghĩa về
mặt lịch sử.
Tính toán trạng thái ứng suất- biến dạng của đập đất đá theo bài toán phẳng hai
chiều cũng đã được tiến hành vào những năm 60 của thế kỷ trước (gắn liền với sự
ra đời của phương pháp phần tử hữu hạn ), và bài toán không gian 3 chiều cũng chỉ
mới được bắt đầu tính toán vào những năm 70 của thế kỷ 20.. Tất cả các bài toán
đó đều được giải theo mô hình tuyến tính.
Do thực tế xây dựng các dự án thủy điện lớn ở CHLB Nga và các nước phương
tây ngày càng phát triển, nên các đập đất đá cao cũng được ứng dụng nhiếu
hơn.Theo đó các nghiên cứu về lý thuyết và thực nghiệm về đập cao cũng phát
triển và đã chứng minh rằng các kết quả tính toán theo bài toán phẳng 1 chiều và
hai chiều theo mô hình tuyến tính đã không phản ánh đúng thực tế làm việc của
công trình. Để phản ánh đúng sự làm việc của các đập cao cần phải đi tìm kiếm
một phương hướng khác. Đó là việc giải bài toán không gian 3 chiều của đập với
mô hình phi tuyến về mối liên hệ giữa ứng suất và biến dạng.
Trong những năm gần đây, cùng với sự phát triển về cơ học phi tuyến của môi
trường rời và về trạng thái ứng suất không gian đã đi đến kết luận rằng:
– Đất, đá là những vật liệu thể hiện phi tuyến rất mạnh, ngay cả khi tải trọng nhỏ.
– Khi chịu tải trọng lớn, nhất thiết phải kể đến ảnh hưởng của ứng suất nén trung
gian σ
2
tức là phải tính đến trạng thái ứng suất không gian của phần tử đất đá đang
xét.
Mặt khác, việc giải các bài toán không gian (ba chiều) khi so sánh với bài toán
phẳng đã đưa đến kết luận rằng chỉ có bài toán không gian mới phản ánh đúng sự
làm việc tự nhiên của đập. Những kết luận như vậy cũng đã được các cơ quan thiết
kế thừa nhận. Chính việc xây dựng các đập có tuyến cong như Kugar (Mỹ), Ragun
( CHLB Nga) , Hòa Bình (Việt Nam),… là đã sử dụng các kết quả của bài toán
không gian.
__________________________________
Đập vật liệu địa phương – Tính tón ứng suất- biến dạng
4
Năm 1971, X.IA. Gun là người đầu tiên giải bài toán không gian về trạng thái
ứng suất - biến dạng của đập đất – đá theo mô hình tính toán là đàn hồi phi tuyến.
Kết quả lời giải của X.IA. Gun đã cho thấy rằng việc sử dụng bài toán phẳng để
tính ứng suất - biến dạng trong đập đã đưa đến sự khoâng chính xác khá lớn.
Sau đó, đến năm 1978, X.IA. Gun đã giải bài toán không gian của đập Ragun
trong phạm vi lý thuyết biến dạng dẻo. Lời giải được thực hiện bằng phương pháp
sai phân – biến phân với việc sử dụng lưới động. Kết quả tính toán cho thấy
chuyển vị lớn nhất theo phương nằm ngang và thẳng đứng trong đập, giữa bài toán
không gian và bài toán phẳng khác nhau đến 50%.
Trong khoảng thời gian trên A.L. Kruranovsky cũng đã giải bài toán không gian
về trạng thái ứng suất - biến dạng của đập đất đá cao 300 m, trong phạm vi lý
thuyết biến dạng dẻo. Bài toán được giải bằng phương pháp sai phân hữu hạn kết
hợp với việc thay đổi các thông số.
Kết quả lời giải của A.L. Kruranovsky đã được trình bày trong dạng biểu đồ các
đường đồng giá trị môđuyn trượt G, môđuyn biến dạng khối E để chỉ ra sự thay
đổi của G, E trong đập. Kết quả tính toán cũng cho thấy ảnh hưởng tính không
đồng nhất của vật liệu thân đập đến tính biến dạng của nó, đồng thời cũng cho thấy
tính phi tuyến mạnh mẽ trong quan hệ giữa ứng suất và biến dạng trong đập.
Lời giải của A.L. Kruranovsky so với lời giải của IA.X. Gun về bài toán không
gian được coi như một tiến bộ đáng kể, bởi vì nó phản ánh được trong tính toán
ảnh hưởng của thông số Lode – Nadai (một trong những thông số của đường chất
tải). Tuy vậy, lời giải của A.L. Kruranovsky trong lý thuyết biến dạng dẻo vẫn còn
một vài nhược điểm là quá cồng kềnh phức tạp khi miêu tả đặc trưng hình học của
đập cũng như đưa các thông tin vào chương trình.
Ngoài một vài phương pháp tính như đã trình bày, hiện nay để xem xét sự làm
việc không gian của đập, người ta còn sử dụng mô hình trên máy ly tâm.
Teitelbaun A.I và Xabina B.A (CHLB Nga) đã nghiên cứu trạng thái ứng suất và
biến dạng của đập đất – đá trên mô hình khối đặt trên máy li tâm.
Phương pháp mô hình không gian trên máy ly tâm có một số ưu điểm không thể
phủ nhận được. Tuy nhiên các đập đất – đá cao như Hòa Bình, Axuăng, Nurek với
kết cấu phức tạp thì không thể mô hình hóa trên máy li tâm được vì còn hàng loạt
vấn đề mà mô hình này chưa giải quyết được như khả năng mô hình hóa các vật
liệu hạt to, do ứng suất biến dạng trong các khối đá, và điều quan trọng là các giai
đoạn xây dựng đập thì không thể mô hình hết được. Tất cả những khó khăn đó
buộc người ta phải thừa nhận rằng cách tốt nhất để xác định trạng thái ứng suất –
biến dạng trong các đập cao là phải giải bài toán không gian bằng các phương
pháp số và các mô hình toán.
Từ những kết luận như vậy, năm 1982 giáo sư L.N. Rasskadov và A.A. Beliakov
đã giải bài toán không gian về trạng thái ứng suất – biến dạng và ổn định của đập
đất – đá cao 334 m bằng phương pháp biến phân cục bộ kết hợp với mô hình năng
lượng (là mô hình đàn – dẻo biểu hiện quan hệ phi tuyến giữa ứng suất và biến
dạng). Lời giải về bài toán không gian của L.N. Rasskadov đã khắc phục được các
__________________________________
Đập vật liệu địa phương – Tính tón ứng suất- biến dạng
5
nhược điểm của các lời giải trong phạm vi lý thuyết đàn hồi và lý thuyết biến dạng
dẻo, vì nó đã tính được các biến dạng dẻo và quá trình xây dựng đập cũng như đã
tính được quá trình chất tải và dỡ tải trong công trình.
Kết quả lời giải của bài toán không gian theo phương pháp biến phân cục bộ và
mô hình năng lượng đã cho phép các tác giả của nó đánh giá không chỉ độ bền,
tính biến dạng của các loại vật liệu, tính ổn định của công trình mà còn đánh giá
được khả năng tạo thành vết nứt trong lõi đập.
Từ sau năm 1982, L.N. Rasskadov đã cùng với các học trò của mình tiếp tục giải
các bài toán không gian của đập đất – đá như: đập trên nền bị nén ép, bài toán
không gian có kể đến từ biến của đất đá, gần đây là bài toán có tính đến độ tin cậy
của công trình.
Kết quả giải hàng loạt các bài toán không gian của các tác giả khác nhau cũng
như việc thí nghiệm mô hình không gian trên máy li tâm, tuy còn những điểm khác
nhau, nhưng đều đi đến những nhận định chung có tính quy luật về sự làm việc
không gian của đập vật liệu địa phương.
*
* *
Trong những năm gần dây do có những thành tựu mới về khoa học - công nghệ
(phát triển các phương pháp tính, sự ra đời của các máy vi tính có tốc độ xử lý
cao) nên việc giải các bài toán không gian của đập đất - đá đã phần nào giảm bớt
khó khăn. Tuy nhiên cũng do khoa học công nghệ phát triển nên yêu cầu về mức
độ chính xác càng cao. Nếu như trước đây tổng số các phần tử không gian chỉ
khoảng 1000 – 2000 phần tử, thì nay chúng ta có thể giải các bài toán với 10 000 -
20 000 phần tử.
Về mặt phương pháp tính, để giải bài toán không gian về trạng thái ứng suất -
biến dạng và ổn định đập vật liệu địa phương, nói chung chúng ta có thể sử dụng
các phương pháp sau :
+ Phương pháp sai phân hữu hạn
+ Phương pháp phần tử hữu hạn
+ Phương pháp biến phân cục bộ
Dưới đây sẽ trình bày các phưung pháp số ứng dụng trong tính toán trạng thái
suất - biến dạng và ổn định đập vật liệu địa phương (đất – đá).
1.2 PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN
Phương pháp sai phân hữu hạn là một phương pháp số (nó cũng làm rời rạc một
miền liên tục thành các ô lưới riêng biệt) có thể sử dụng để giải các bài toán đàn
hồi với đập vật liệu địa phương. Nó có một số ưu điểm như:
– Cho phép giải các bài toán có Mơduyn biến dạng E và hệ số Poatxông thay đổi
– Miền giải có thể có hình dáng bất kỳ, kể cả những điểm góc.
__________________________________
Đập vật liệu địa phương – Tính tón ứng suất- biến dạng
6
– Có thể giải các bài toán với điều kiện biên bất kỳ.
– Khi xây dựng thuật toán và chương trình theo phương pháp sai phân hữu hạn ta
có thể thực hiện dễ dàng trên máy tính.
Bản chất của phương pháp sai phân hữu hạn là ở chỗ ta thay các đạo hàm riêng
bằng các sai phân riêng có giá trị hữu hạn. Điều đó dẫn đến việc thay hệ phương
trình vi phân bằng một hệ phương trình đại số tuyến tính của các sai phân riêng.
Như ta đã biết trong lý thuyết đàn hồi, các bài toán kết cấu công trình có thể
được giải bằng ứng suất hoặc bằng chuyển vị. Trong dạng chung (bài toán không
gian 3 chiều), các phương trình vi phân cơ bản của phương pháp sai phân hữu hạn,
giải trong chuyển vị (ẩn số là các chuyển vị U và V) sẽ là các phương trình Lame.
Nghĩa là các chuyển vị này phải thỏa mãn các điều kiện biên và các phương trình
Lame:
0)()(
0)()(
0)()(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=
∂∂∂
∂
−++
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
=
∂∂∂
∂
−++
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
=
∂∂∂
∂
−++
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
zyx
W
G
z
W
G
y
W
G
x
W
G
zyx
V
G
z
V
G
y
V
G
x
V
G
zyx
U
G
z
U
G
y
U
G
x
U
G
λλ
λλ
λλ
(1.1)
Ở đây: λ, G – Là các hằng số Lame
)21)(1(
.E
;
)1(2
E
G
µ−µ+
µ
=λ
µ+
=
Từ đó các giá trị ứng suất sẽ xác định theo :
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+=
y
W
z
V
G
x
W
z
U
G
x
V
y
U
G
z
W
y
W
x
W
G
z
V
y
V
x
V
G
z
U
y
U
x
U
G
yz
xz
xy
z
y
x
σ
σ
σ
λλλσ
λλλσ
λλλσ
)2(
)2(
)2(
(1.2)
Để giải bài toán theo chuyển vị (ở các biên ta phải biết trước các chuyển vị, ví dụ
ở hai bờ và nền đá chuyển vị bằng 0), ta chuyển phương trình Lame (phương trình
đạo hàm riêng bậc 2) thành phương trình sai phân bằng cách thay đổi các vi phân
∂V/∂x bằng các sai phân ∆V/∆x..
Để đảm bảo tính chính xác như nhau của việc sai phân hóa các số hạng của
phương trình lame, ở đây cần phải sử dụng lưới trượt (vì vậy còn gọi phương pháp
__________________________________
Đập vật liệu địa phương – Tính tón ứng suất- biến dạng
7
này là phương pháp lưới trượt). Theo lưới trượt các điểm v sẽ dịch chuyển tương
đối so với các điểm u, w một nửa khoảng cách ∆x, ∆y và ∆z
Để cho ngắn gọn ta sẽ trình bày các biểu thức của chuyển vị trong phạm vi bài
toán phẳng. Phương trình Lame sau khi đã sai phân hóa và qua các biến đổi, cuối
cùng sẽ có dạng:
Đối với U
s
:
0)VVVV(
21
UU2U)UU2U(
21
1
2
72831051456
2
=+−−
µ−
α
++−++−
µ−
µ−
α
(2.1.3)
Đối với V
s
:
G
y
)UUUU(
21
)VV2V()VU2V(
21
1
2
2
105116789
2
1283
∆ψ
=+−−
µ−
α
++−α++−
µ−
µ−
ở đây : α = ∆y/∆x
Phương pháp sai phân hữu hạn đã được dùng khá phổ biến trong những thập niên
60 – 70 củ thế kỷ 20 để giải các bài toán đàn hồi tuyến tính của đập vật liệu địa
phương. Khi gặp bài toán đàn hồi phi tuyến phương pháp này trở nên hết sức cồng
kềnh, vì vậy hiện nay ít được sử dụng để tính đập.
CHƯƠNG II
SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN ĐỂ
TÍNH TOÁN ỨNG SUẤT – BIẾN DẠNG CỦA ĐẬP
__________________________________
Đập vật liệu địa phương – Tính tón ứng suất- biến dạng
8
2.1 CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA PHƯƠNG PHÁP PTHH
2.1.1 Cơ sở lý luận
Trước khi xem xét các phương trình cơ bản của phương pháp phần tử hữu hạn
(PP PTHH ) được sử dụng trong bài toán ứng suất và biến dạng, chúng ta thử tìm
hiểu mô hình nghiên cứu lý thuyết của một kết cấu dạng khối liên tục (như đê đập)
để làm sáng rõ các phương trình cơ bản mà ta sẽ sử dụng vào bài toán.
Kết cấu nói chung (khung hoặc vòm, dầm hoặc khối liên tục như đập đất- đá,
đập bê tông…) là một thể thống nhất và được xem như một môi trường liên tục để
lập các mô hình toán học (các phương trình toán học – cơ học) . Nói chung các
phương trình này đều là những phương trình phi tuyến (các phương trình vi phân,
tích phân hoặc đạo hàm riêng v.v… ) rất khó tìm được lời giải chính xác. Vì vậy
người ta nghĩ cách chuyển các phương trình ấy về một dạng khác, sao cho vừa
đảm bảo được bản chất toán cơ của nó vừa đơn giản trong việc tìm lời giải. mà một
trong những hướng ấy là chuyển các phương trình vi phân thành các phương trình
sai phân và hình thành phương pháp sai phân như trước đây.
Tuy nhiên phương pháp sai phân vẫn còn phiền phức và kết quả vẫn không chính
xác lắm. Vì vậy người ta đã tìm cách chia môi trường liên tục thành các phần tử
nhỏ mà ở đó các phương trình vi, tích phân phức tạp đều được biểu diễn dưới dạng
bậc nhất. Vấn đề mấu chốt là ở chỗ sao cho khi hợp nhất tất cả các phần tử đó lại
với nhau chúng ta vẫn được một nôi trường liên tục và phi tuyến như ban đầu . Đó
chính là bản chất của PP PTHH
Cách làm như trên được gọi là mô hình hóa hay tuyến tính hóa phương trình phi
tuyến của kết cấu công trình. Tất cả các phương trình toán học được lập và giải
dưới đây cho bài toán về trạng thái ứng suất và biến dạng của môi trường liên tục
đều dựa trên cơ sở mô hình này.
2.1.2. Nội dung cơ bản của phương pháp PTHH
Nhằm đơn giản hóa tính toán mà vẫn đảm bảo đủ mức tính toán yêu cầu, người
ta xây dựng phương pháp PTHH là một phương pháp gần đúng để tính kết cấu với
nội dung sau:
Thay thế kết cấu thực tế bằng một mô hình, dùng để tính toán bao gồm một số
hữu hạn phần tử riêng lẻ liên kết với nhau chỉ ở một số hữu hạn điểm nút, tại các
đểm nút tồn tại các lực tương tác biểu thị tác động qua lại của các phần tử kề
nhau. Quan niệm như vậy có nghĩa là thay bài toán tính hệ liên tục (hệ thực tế) có
bậc tự do vô hạn bằng bài toán tính hệ có bậc tự do hữu hạn. Chỗ phân cách giữa
các phần tử hữu hạn gọi là biên của phần tử hữu hạn. Tùy từng trường hợp cụ thể,
biên của các phần tử hữu hạn có thể là các điểm, các đường hoặc các mặt.
__________________________________
Đập vật liệu địa phương – Tính tón ứng suất- biến dạng
9
Trong thực tế kết cấu là một môi trường liên tục cho nên ở tại mọi điểm trên biên
của mỗi phần tử đều có các lực tương tác giữa các phần tử. Tại các điểm trên biên,
ứng lực cũng như chuyển vị đều phải thỏa mãn điều kiện liên tục khi ta chuyển từ
phần tử này sang phần tử kế cận ( điều này sẽ nói kỹ về sau ). Trái lại, ở trong mô
hình thay thế, kết cấu được quan niệm là chỉ gồm một số phần tử riêng lẻ liên kết
với nhau ở một số điểm nút, cho nên giữa các phần tử lân cận chỉ có các lực tương
tác đặt tại các điểm nút.
Dĩ nhiên quan niệm như vậy chỉ là gần đúng. Trong khi thay thế kết cấu thực tế
(hệ liên tục) bằng một tập hợp phần tử rời rạc chỉ liên kết lại với nhau ở các điểm
nút. Người ta thừa nhận rằng, năng lượng bên trong mô hình thay thế phải bằng
năng lượng trong kết cấu thực. Nếu ta xác định được chính xác các lực tương tác
giữa các phần tử lân cận, và nếu ở trên các biên của các phần tử, điều kiện liên tục
về lực và về chuyển vị đảm bảo được thỏa mãn khi ta chuyển từ phần tử này sang
phần tử lân cận thì mô hình thay thế hoàn toàn giống với kết cấu thực tế..
Đối với bài toán về trạng thái ứng suất và biến dạng của môi trường liên tục, khi
sử dụng PP PTHH ta cần phải lần lượt giải quyết các bước như sau:
a. ) Phân tích trạng thái ứng suất và biến dạng của mỗi phần tử hữu hạn.
b. ) Phân tích trạng thái ứng suất và biến dạng của toàn hệ gồm nhiều phần tử liên
kết với nhau ở một số hữu hạn nút với mối liên hệ tuyến tính giữa ứng suất và biến
dạng.
c. ) Phân tích trạng thái ứng suất và biến dạng của toàn hệ gồm nhiều phần tử với
mối liên hệ phi tính giữa ứng suất và biến dạng.
Trước khi tiến hành giải quyết từng bước tính đó, dưới đây sẽ trình bày một số
khái niệm cơ bản để làm công cụ giải quyết vấn đề: Đó là khái niệm tọa độ, các
nguyên lý năng lượng và khái niệm ma trận cứng, ma trận mềm được sử dụng để
giải bài toán trạng thái ứng suất và biến dạng.
Đồng thời để hiểu cách giải các bài toán phi tuyến, trước tiên chúng ta hãy tìm
hiểu cách giải các bài toán tuyến tính về ứng suất-biến dạng theo phương pháp
phần tử hữu hạn
2.2. CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA PP PHẦN TỬ HỮU HẠN
ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN TUYẾN TÍNH VỀ ỨNG SUẤT-BIẾN DẠNG
2.2.1 Sô đồ tính toán - phần tử hữu hạn hình tam giác.
Giả sử hàm ứng suất và biến dạng xác định trong miền S. Theo PP PTHH ta
tưởng tượng phân chia miền S ra thành nhiều phần tử hình tam giác phẳng và chỉ
liên kết với nhau ở các điểm nút.
__________________________________
Đập vật liệu địa phương – Tính tón ứng suất- biến dạng
10
1 2
3
1
2 3
4
5 6
7
8
9
10
11
12
13
14 15
16
17
18
19
20
21
22 23
24
SƠ ĐỒ TÍNH TOÁN THEO PP PTHH
a.) Chia miền S thành nhiều phần tử
Y
X
O
a.)
b.)
b.) Phần tử hình tam giác 3 điểm nút
Hình 2.1
Xét PTHH hình tam giác bất kì có các đỉnh là 1, 2.3, (hình 3.1) trong đó ta lưu ý
kí hiệu thứ tự các nút theo ngược chiều kim đồng hồ.và chịu tác dụng của các
ngoại lực đặt tại các điểm nút là :
[ R ] = [ R
1x
, R
1y
, R
2x
, R
2y
, R
3x
, R
3y
, ]
Tại các nút phát sinh các vector chuyển vị là [ q ] :
[ q ] = [ u
1
, v
1
, u
2
, v
2
, u
3
, v
3
, ]
Trong đó u
1
,v
1
là các thành phần chuyển vị của nút thứ i theo phương các trục x
và y.
2.2. 2. Xác định ma trận độ cứng của phần tử
Để giải bài tốn ứng suất– biến dạng trước hết ta phải xác định được quan hệ
giữa ứng lực nút [ R ] và [ q ] trong dạng :
[ R ] = [ K ] [ q ] (2. 1)
Trong đó [ K ] là ma trận độ cứng phần tử hữu hạn.
Nếu ta biết trước 6 thành phần chuyển vị nút ở 3 đỉnh thì ta cũng có thể xác định
được chuyển vị của một điểm bất kì trong tam giác, bởi vì ta có thể giả thiết một
cách gần đúng quy luật biến đổi các thành phần chuyển vị của một điểm bất kỳ của
phần tử dưới dạng biểu thức phụ thuộc tọa độ x, y như sau :
__________________________________
Đập vật liệu địa phương – Tính tón ứng suất- biến dạng
11
u = α
1
+ α
2
x + α
3
y
v = α
4
+ α
5
x + α
6
y
(2.2)
Hoặc : [U ] = [A ] [α ]
(2.3)
Ở đây : [U ] = [ u, v ]
T
[ 1 0 x 0 y 0 ]
[A] = [ 0 1 0 x 0 y ]
[α] = [ α
1
, α
2
, α
3
, …. α
n
]
Trong đó α
I
là các hằng số bất kì
Có thể biểu thị [α] qua [q]. Muốn thế bằng cách sử dụng (2. 2) ta viết giá trị của
các thành phần chuyển vị tại các điểm nút :
u
1
=
α
1
+
α
3
x
1
+
α
5
y
1
v
1
=
α
2
+
α
4
x
1
+
α
6
y
1
u
2
=
α
1
+
α
3
x
2
+
α
5
y
2
(2.4)
v
2
=
α
2
+
α
4
x
2
+
α
6
y
2
u
3
=
α
1
+
α
3
x
3
+
α
5
y
3
v
3
=
α
2
+
α
4
x
3
+
α
6
y
3
Hoặc viết dưới dạng ma trận :
[q] = [B] [α ]
Trong đó :
1 0 x
1
0 y
1
0
0 1 0 x
1
0 y
1
B = 1 0 x
2
0 y
2
0
0 1 0 x
2
0 y
2
1 0 x
3
0 y
3
0
0 1 0 x
3
0 y
3
Từ đó suy ra: α = B
-1
q (2.5)
Thay (2. 4) vào biểu thức (2. 2) ta sẽ tìm được mối liên hệ giữa [u] và [q] :
U = A B
-1
q
Đặt: C = A B
-1
ta có :
U = C q (2.6)
Nếu biểu diễn (2. 6) dưới dạng vô hướng ta có :
U =
∆
2
1
{[y
23
(x–x
3
)– x
23.
(y – y
3
)].U
1
+ [y
31.
(x – x
1
) - x
31.
(y-y
1
).U
2
+ [ -y
21
(x-x
2
) +
x
21
(y-y
2
)].U
3
}
__________________________________
Đập vật liệu địa phương – Tính tón ứng suất- biến dạng
12
V =
∆
2
1
{[y
23.
(x- x
3
)– x
23
(y – y
3
)]V
1
+ [y
31.
(x– x
1
) – x
31.
(y–y
1
)]V
2
+ [-y
21.
(x–x
2
)+x
21.
(y-y
2
)]V
3
} (2.7)
Trong đó : ∆ = x
23
y
31
– x
31
y
23
là diện tích tam giác và
x
i j
= x
i
- x
j
y
i j
= y
i
- y
j
Để xác định các tenxơ biến dạng ta có thể sử dụng các biểu thức của chuyển vị
(2. 7) vừa tìm được :
ε
x
=
∆
=
∂
∂
2
1
x
u
(y
23
U
1
+ y
31
U
2
– y
21
U
3
)
ε
y
=
∆
=
∂
∂
2
1
y
v
(- x
23
V
1
– x
31
v
2
+ x
21
V
3
)
γ
xy
=
∆
=
∂
∂
+
∂
∂
2
1
x
v
y
u
(- x
23
U
1
– x
31
U
2
+ x
21
U
3
+ y
23
V
1
+ y
31
V
2
– y
21
V
3
) (2.8)
Hay viết dưới dạng ma trận :
ε = D q (2.9)
Trong đó : ε = ε
x
ε
y
γ
xy
T
y
23
0 y
31
0 y
21
0
[D] =
∆
2
1
0 y
23
0 y
31
0 y
21
–x
23
y
23
– x
31
y
31
–x
21
y
21
Để xác định ứng suất ta có thể viết định luật Huk trong dạng ma trận như sau:
σ = E
ε
ε (2.10)
Trong đó : σ = σ
x
σ
y
σ
xy
C
1
µ
2
C
1
0
[E
ε
]
=
µ
1
C
2
C
2
0
o 0 G
C
1
=
21
1
1
µµ
−
E
; C
2
=
21
2
1
µµ
−
E
Ở đây : E
1
,E
2
– Là Moduyn biến dạng đàn hồi
µ
1
, µ
2
– Là hệ số poatxon
G – Là moduyn biến dạng trượt
Thay biểu thức (2.9) vào vế phải của (2.10) để khử [ε] ta sẽ được biểu thức xác
định các ứng suất trong phần tử theo những giá trị đã biết của chuyển vị nút:
σ = E q (2. 11)
Trong đó : E = E
ε
D
__________________________________
Đập vật liệu địa phương – Tính tón ứng suất- biến dạng
13
Trong phương pháp PTHH ma trận E được gọi là ma trận ứng suất.Matrận
E được viết như sau :
u
1
v
1
u
2
v
2
u
3
v
3
[E]
=
∆
2
1
C
y
23
–µ
2
x
23
y
31
–µ
2
x
31
–y
21
µ
2
x
21
µ
2
y
23
–ηx
23
– x
31
ηx
31
– µ
2
y
21
ηx
21
a
1
x
23
a
1
y
23
–a
1
x
31
a
1
y
31
a
1
x
21
–a
1
y
21
(2.12)
Ở đây : a
1
=
)1(
21
1
µµ
−
E
G
;
2
1
µ
µ
η
=
Để thiết lập ma trận độ cứng của phần tử hình tam giác phẳng, ta sử dụng công
thức :
dvEDK
T
V
∫
=
(2.13)
Trong trường hợp phần tử hình tam giác, các phần tử của ma trận [D] và [E]
không chứa các tọa độ biến đổi x,y. Vì vậy biểu thức (2.13) có thể được đơn giản
như sau:
EDhK
T
∆=
(2.14)
Trong đó : h là bề dày của phần tử hữu hạn .
Töø (2.14) ta có thể trực tiếp suy ra biểu thức cuối cùng của ma trận độ cứng đối
với phần tử hình tam giác phẳng trong dạng khai triển :
R
1x
a
11
0 0 0 0 0 U
1
R
1y
a
21
a
22
0 0 0 0 V
1
R
2x
= C
o
a
31
a
32
a
33
0 0 0 U
2
R
2y
a
41
a
42
a
43
a
44
0 0 V
2
R
3x
a
51
a
52
a
53
a
54
a
55
0 U
3
R
3y
a
61
a
62
a
63
a
64
a
65
a
66
V
3
(2.15)
Trong đó :
C
o
=
)1(4
21
1
µµ
µ
−∆
−
hE
a
11
= y
2
23
+ a
1
x
2
23
a
21
=
(a
1
+ µ
1
)x
32
y
23
a
22
=
ηx
2
23
+ a
1
y
2
23
a
31
= y
13
y
31
+
a
1
x
32
y
31
a
32
= a
1
x
13
y
23
+
µ
2
x
32
y
31
a
33
= y
2
31
+
a
1
x
2
31
a
41
= a
1
x
32
y
31
+
µ
2
x
13
y
23
a
42
=
ηx
23
x
31
+
a
1
y
23
y
31
a
43
=
(a
1
+ µ
2
)x
13
y
31
a
21
= y
2
32
+
a
1
x
2
32
a
51
= a
1
x
12
x
23
+ y
12
y
23;
a
52
= a
1
x
21
y
23
+
µ
2
x
32
y
12
__________________________________
Đập vật liệu địa phương – Tính tón ứng suất- biến dạng
14
a
53
=
a
1
x
12
x
31
+
y
12
y
31
a
54
=
a
1
x
21
y
31
+
µ
2
x
13
y
12
a
55
=
y
2
12
+
a
1
x
2
12
a
61
=
ηx
23
x
31
+
µ
2
x
21
y
23
a
62
=
ηx
12
x
23
+
a
1
y
12
y
13
a
63
=
a
1
x
32
y
12
µ
2
x
21
y
31
a
64
=
ηx
12
x
13
+
a
1
y
12
y
31
a
65
=
(a
1
+ µ
1
)x
21
y
12
a
66
=
ηx
2
12
+
a
1
y
2
12
Trong trường hợp vật liệu đồng nhất và đẳng hướng thì E
1
= E
2
= E và µ
1
= µ
2
=
µ; và ta có: η = 1
a
1
=
Khi đó trong phạm vi của phần tử hình tam giác phẳng các thành phần ứng suất
là hằng số.
Sau khi xác định được ma trận độ cứng của phần tử hình tam giác chúng ta sẽ
tiến hành lập ma trận độ cứng của toàn hệ theo nguyên tắc cộng các số hạng của
các ma trận tam giác tương ứng cùng tên điểm nút. Phương trình cuối cùng sẽ có
dạng :
[ A ] [ q ] = [ R ] (2.16)
Trong đó : [ A,] [ q], [ R ] – Lần lượt là các ma trận độ cứng, chuyển vị và ma
trận ngọai lực của toàn bộ hệ (công trình). Từ đó ta có thể xác định dược toàn bộ
các thành phần chuyển vị của hệ theo phương trình ma trận sau :
[ q ] = [ A ]
-1
[ R ] (2.17)
Nói chung ma trận A có thể là một ma trận suy biến ( không có ma trận nghịch
đảo. Tuy nhiên sau khi đưa các điều kiện biên vào thì [A] sẽ là một ma trận
không suy biến và (2. 17) là một hệ phương trình có các nghiệm thực xác định.
Khi sử dụng phương pháp PTHH hình tam giác phẳng để giải bài toán phẳng về
trạng thái ứng suất – biến dạng của đập đất–đá theo lý thuyết đàn hồi, cần lưu ý
rằng mức độ chính xác của kết quả tính toán phụ thuộc vào giả thiết ban đầu về
quy luật biến đổi của các thành phần chuyển vị theo các tọa độ x, y.
U = α
1
+ α
2
x + α
3
y
Trong biểu thức trên ta đã giả thiết là mối liên hệ giữa chuyển vị U và tọa độ x, y
có quan hệ bậc nhất. Nếu sử dụng giả thiết quy luật biến đổi giữa chuyển vị và toạ
độ x, y tại một điểm bất kỳ, không phải là bậc nhất, mà theo một quy luật cao hơn,
chẳng hạn quy luật đa thức bậc 2 dạng :
U = α
1
+ α
2
x + α
3
y + α
4
xy + α
5
x
2
+ α
6
y
2
thì ta sẽ có được kết qủa chính xác hơn. Đương nhiên nếu giả thiết như vậy thì số
lượng toạ độ khái quát cần phải xác định sẽ nhiều lên, khối lượng tính toán sẽ lớn.
Muốn tìm các toạ độ khái quát ấy thì ta phải hoặc cho biết thêm thông tin về các
giá trị đạo hàm của các thành phần chuyển vị tại các điểm nút của phần tử hình
tam giác phẳng, hoặc cho biết thêm giá trị của các thành phần chuyển vị tại một số
nút bổ sung.
__________________________________
Đập vật liệu địa phương – Tính tón ứng suất- biến dạng
15
2.3. CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA PP PHẦN TỬ HỮU HẠN
ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN PHI TUYẾN VỀ ỨNG SUẤT-BIẾN DẠNG
2.3. 1. Các phương trình cơ bản.
Trong thực tế tính toán kết cấu đôi khi ta có thể gặp loại bài toán phi tuyến sau
đây: Những bài toán phi tuyến về phương diện vật lý và những bài toán phi tuyến
về phương diện hình học. Ta gặp những bài toán phi tuyến về phương diện vật lý
khi vật liệu có tính đàn dẻo hoặc khi vật liệu có tính chất cơ học thay đổi theo thời
gian, lúc này quan hệ giữa ứng suất và biến dạng là quan hệ phi tuyến :
{σ} = f (ε)
Ta còn gặp những bài toán phi tuyến về phương diện hình học khi kết cấu có
chuyển vị lớn làm thay đổi một cách đáng kể hình dạng hình học ban đầu của hệ,
cho nên khi thiết lập các phương trình cân bằng tĩnh học của hệ trong trạng thái hệ
bị biến dạng ta sẽ được các phương trình có dạng phi tuyến.
Những bài toán phi tuyến về phương diện vật lý cũng như hình học đều đưa về
giải các phương trình chứa những số hạng phi tuyến đối với ẩn số của bài toán.
Nói chung không thể giải một cách chính xác dưới dạng đóng những phương trình
phi tuyến như đối với những phương trình tuyến tính, mà phải dùng các thuật toán
đúng dần. Nhờ các phương pháp đúng dần ta có thể mở rộng áp dụng những thuật
toán đã trình bày ở các chương trên để giải những bài toán phi tuyến thường gặp.
Về mặt lý luận, hiện nay người ta mới chỉ khảo sát được sự hội tụ của các quá
trình tính toán đúng dần khi giải bài toán phi tuyến trong một số trường hợp riêng
biệt, nhưng trong thực tế tính toán, người ta nhận thấy quá trình tính toán đúng dần
thường hội tụ đến kết quả chính xác mong muốn.
Dưới đây sẽ trình bày cách sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn để giải những
bài toán phi tuyến thường gặp.
Trong những bài toán phi tuyến về phương diện vật lý, quan hệ giữa vectơ ứng
suất [σ] và vectơ biến dạng [ε] có thể viết dưới dạng:
[σ] = [E*(ε)].[ε]
Trong đó ma trận [E*(ε)] là hàm của trạng thái biến dạng [ε]..
Nếu chú ý rằng trạng thái biến dạng [ε] lại là hàm phụ thuộc vào các chuyển vị
nút [q], thì ta có thể biểu diễn mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng dưới dạng
mối quan hệ giữa trạng thái ứng suất [σ] và chuyển vị nút [q] như sau:
{σ} = [E*(q)]{q} (2.18)
Mỗi phần tử của ma trận [E*(q)] nói chung đều có thể biểu diễn dưới dạng một
đa thức lũy thừa của các thành phần của vectơ [q].
__________________________________
Đập vật liệu địa phương – Tính tón ứng suất- biến dạng
16
Trong những bài toán phi tuyến về phương diện hình học, quan hệ giữa vectơ
biến dạng [ε] và vectơ chuyển vị nút [q] là quan hệ phi tuyến:
{ε} = [D*(q)]{q} (2.19)
Trong đó các thành phần của ma trận [D*(q)] đều là hàm lũy thừa của các thành
phần của vectơ [q] tương ứng.
Như ta đã biết, việc xác định ma trận độ cứng của mỗi phần tử và cho cả hệ là
nội dung cơ bản của việc tính toán kết cấu theo phương pháp phần tử hữu hạn, cho
nên ở đây ta hãy trình bày cách tìm ma trận độ cứng của hệ trong các bài toán phi
tuyến.
Cũng theo đường lối tổng quát xác định ma trận độ cứng của mỗi phần tử, ở đây
ta cũng áp dụng nguyên lý chuyển vị khả dĩ. Theo nguyên lý chuyển vị khả dĩ, khi
phần tử cân bằng dưới tác dụng của các lực đặt tại nút [R] và có chuyển vị tương
ứng đặt tại nút là {q}, nếu ta cho phần tử chịu một chuyển vị khả dĩ bất kỳ [δq]
(biến dạng tương ứng bên trong phần tử là [δε] ) thì ta có hệ thức:
{ }
∫
σδε=δ
V
T
T
dV}{}{}R{q
Cần chú ý rằng trước đây trong các bài toán tuyến tính quan hệ {ε} = [D]{q} có
dạng bậc nhất, còn ở đây, quan hệ giữa vec tơ biến dạng khả dĩ [δε] và vec tơ
chuyển vị nút khả dĩ [δq] là quan hệ phi tuyến có thể viết dưới dạng như sau:
{δε} = [D*(q)]{ δq}
Trong đó ma trận [D*(q)] có các phần tử xác định theo công thức sau:
∑
=
∂
∂
+=
r
1s
s
j
is
ij
*
ij
q
q
d
dd
Với d
ij
là các phần tử tương ứng của ma trận [D] trong bài toán tuyến tính.
Bằng cách lý luận tương tự như khi thiết lập công thức tính ma trận độ cứng của
phần tử trong trường hợp bài toán tuyến tính, ta cũng đi đến công thức xác định ma
trận độ cứng [K*] của một phần tử hữu hạn bất kỳ trong trường hợp bài toán phi
tuyến như sau:
∫
=
V
dV]E)][q(*D[*]K[
(2.20)
Như vậy, trong các bài toán phi tuyến về phương diện vật lý cũng như về phương
diện hình học, mối quan hệ giữa các ứng lực nút {R}i và các chuyển vị nút {q}i
của một phần tử hữu hạn thứ i nào đó có dạng:
iii
}q{*]K[}R{
=
(2. 21)
Trong đó ma trận độ cứng [K*] là hàm phụ thuộc các chuyển vị nút.
Sau khi tìm được ma trận độ cứng [K*]I cho từng phần tử của hệ, ta có thể xác
định được ma trận độ cứng
]*K[
cho toàn kết cấu theo công thức quen biết :
]H][K[]H[]*K[
*
g
T
=
__________________________________
Đập vật liệu địa phương – Tính tón ứng suất- biến dạng
17
Lúc này hệ phương trình cân bằng dùng để xác định các ẩn số chuyển vị nút
của kết cấu có dạng:
}P{}q]{*K[
=
(2. 22)
Phương trình (2. 22) được gọi là phương trình ma trận độ cứng của hệ.
Trong phương trình (2. 22) các phần tử của ma trận [K*] không những phụ thuộc
vào các thông số hình học của kết cấu, mà còn phụ thuộc vào trạng thái ứng suất
– biến dạng của hệ. Cho nên việc giải phương trình hết sức phức tạp. Nói chung ta
không thể giải một cách chính xác dưới dạng đóng mà phải dùng các thuật toán
đúng dần. Dưới đây ta hãy xét những phương pháp đúng dần thường dùng hơn cả.
2.3. 2. Đường lối chung để giải dúng dần phuong trình ma trận độ cứng của hệ
Nội dung phương pháp như sau: chia quá trình tính thành nhiều giai đoạn.
Trong mỗi giai đoạn ta đều xác định ma trận độ cứng
]*K[
cho toàn hệ theo
những giá trị của các chuyển vị nút tính được từ giai đoạn trước. Nếu gọi {q(s)} là
vectơ chuyển vị nút ở giai đoạn thứ s, {q(s-1)} là vectơ chuyển vị nút ở giai đoạn
thứ s – 1, thì trong giai đoạn tính thứ s phương trình (2. 22) có dạng:
}P{}q)]{q(*K[
)s()1s(
=
−
(2. 23)
Ở đây ma trận độ cứng
)]q(*K[
)1s(
−
là hàm phụ thuộc vào các chuyển vị nút
tính được trong giai đoạn tính s-1. Trong giai đoạn tính thứ nhất (s = 1) ta giả thiết
các chuyển vị nút bằng không, nghĩa là {q(1)} = {0}. Tương ứng với giả thiết này,
tất cả các số hạng kể đến ảnh hưởng phi tuyến về phương diện hình học và về
phương diện vật lý đều bằng không cho nên trong giai đoạn tính đầu tiên [K*] =
[K].
Tiếp tục thực hiện các quá trình giải đúng dần phương trình (2. 22) bằng cách
tính nhiều giai đoạn liên tiếp, trong mỗi giai đoạn các giá trị của ma trận độ cứng
]*K[
lại được chính xác hóa thêm. Cứ thế ta tính cho đến khi nào hiệu giữa các
kết quả của hai giai đoạn tính kề nhau nhỏ hơn một trị số cho trước nào đó tùy ý
( thông thường đó là độ chính xác cho trước do chúng ta tự định ra ).
Phương pháp vừa trình bày có ưu điểm đơn giản nhưng lại có nhược điểm là
quá trình tính toán hội tụ đến kết quả chính xác mong muốn là rất chậm, thậm chí
có khi lại phân kỳ.
2.3. 3. Phương pháp nghiệm đàn hồi
Phuong pháp này dựa trên cơ sở là viết ma trận độ cứng [K*] trong trường hợp
bài toán phi tuyến dưới dạng tổng của hai ma trận thành phần:
__________________________________
Đập vật liệu địa phương – Tính tón ứng suất- biến dạng
18
pt
]K[]K[]*K[
+=
(2. 24)
Trong đó:
]K[
là thành phần biểu thị ma trận độ cứng trong trường hợp bài toán
tuyến tính ta đã biết các xác định.
pt
]K[
là thành phần ma trận biểu thị ảnh hưởng phi tuyến của bài toán.
Lúc này ta có thể viết phương trình (2. 22) dưới dạng:
}p{}q{]K[]K[
pt
=+
Hoặc:
}q{]K[]P[}q]{K[
pt
−=
(2. 25)
Phương trình này là phương trình phi tuyến, vế phải của nó là một đại lượng
phụ thuộc phi tuyến vào vectơ chuyển vị
}q{
. Quá trình giải phương trình này tức
là xác định vectơ chuyển vị
}q{
sao cho thỏa mãn phương trình có thể thực hiện
một cách đúng dần qua nhiều giai đoạn tính gần đúng. Trong giai đoạn tính gần
đúng thứ nhất ta sẽ xác định được giá trị gần đúng
}q{
)1(
của vectơ chuyển vị, trong
giai đoạn tính thứ hai, ta sẽ xác định được giá trị gần đúng
}q{
)2(
của vectơ chuyển
vị, trong giai đoạn tính ba, ta sẽ xác định được giá trị dần đúng
}q{
)3(
của vectơ
chuyển vị,…Viết phương trình (2. 25) cho một giai đoạn tính toán bất kỳ, chẳng
hạn giai đoạn tính thứ s, ta được:
}p{}q]{K[
)1s()s(
−
=
(2. 26)
Trong đó:
}{)([}{}{
)1()1()1(
−−−
−=
s
pt
ss
qqKPp
(2. 27)
Như vậy, trong giai đoạn tính gần đúng thứ s, phương trình (2.26) có dạng một
hệ phương trình đại số tuyến tính dễ giải, vế phải
}p{
)1s(
−
của nó là một hằng số.
Giá trị của vế phải này chỉ là một giá trị gần đúng, nhưng nó sẽ được chính xác hóa
dần sau mỗi giai đoạn tính toán. Khi tính giai đoạn đầu tiên (s = 1) ta giả sử gần
đúng :
}0{}q{}q{
)0(
)1s(
==
−
,
thay vào hệ thức (2. 27) ta sẽ có
}P{}P{
)0(
=
. Đem giá trị này thay vào phương
trình (2.26) và giải ta sẽ tìm được
}q{
)1(
. Chuyển sang giai đoạn thứ 2 (s = 2) ta
thay giá trị
}q{
)1(
và hệ thức (2. 27) sẽ tính được :
.
}q{)q(K[}P{}p{
)1(
pt
)1()1(
−=
Đưa giá trị này vào giải hệ phương trình(2. 26) ta sẽ tìm được giá trị gần đúng
}q{
)2(
của vectơ chuyển vị,… Cứ thế thục hiện các giai đoạn tính tiếp tục cho đến
khi nào kết quả tính toán trong hai giai đoạn liên tiếp sai khác nhau không đáng kể,
nghĩa là quá trình tính toán đã hội tụ đến kết quả chính xác mong muốn
}q{
.
Nói chung phương pháp nghiệm đàn hồi giảm bớt được khối lượng tính toán
so với phương pháp đã trình bày ở mục 2.3.2.
2.3. 4. Phưong pháp chất tải từng bước
__________________________________
Đập vật liệu địa phương – Tính tón ứng suất- biến dạng
19
Theo phương pháp này, ta viết phương trình (2. 22) dưới dạng:
}P{}q*]{K[
λ=
(2. 28)
Trong đó, muốn cho phương trình này đồng nhất với phương trình (2. 22) thì
thông số λ đưa thêm vào phải có giá trị λ = 1. Rõ ràng là nếu ta đem chất lên hệ tải
trọng bằng
}P{
thì chuyển vị nút tương ứng sẽ là
}q{
. Nếu quá trình chất tải được
thực hiện dần từng bước bằng cách tăng dần tải trọng từ giá trị {0} đến
}P{
, nghĩa
là nếu ta chia quá trình chất tải thành nhiều bước, trong mỗi bước ta chỉ chất lên tải
một hệ tải trọng hằng số bằng (λP) với giá trị của thông số thay đổi dần trong mỗi
bước từ giá trị λ
0
= 0 đến λ
1
, đến λ
2
,… và cuối cùng là λ
t
= 1, thì vectơ chuyển vị
nút cũng thay đổi dần tương ứng từ giá trị
}q{
)0(
đến
}q{
)1(
,
}q{
)2(
,…và cuối cùng
là
}q{
)t(
=
}q{
.
Như vậy, viết phương trình (2.28) cho bước chất tải thứ s và thứ s + 1 ta sẽ được:
}P{}q]{K[
s
)s()s(
λ=
(2. 29)
}P{}q]{K[
1s
)1s()1s(
+
++
λ=
(2. 30)
Đem phương trình (2. 30) trừ đi phương trình (2.29) ta sẽ được:
}P){(}q]{K[}q]{K[
s1s
)s()s()1s()1s(
λ−λ=−
+
++
(2. 31)
Chú ý rằng ma trận độ cứng
*]K[
là hàm của chuyển vị nút
}q{
cho nên ta có
thể khai triển ma trận độ cứng
]K[
)1s(
+
ở bước chất tải thứ s + 1 thành chuỗi
Taylor như sau:
)1s(
k
q
d
}
)s(
q{}q{
n
1k
k
q
]K[
]
)s(
K[]
)1s(
K[
+
=
∑
=
∂
∂
+≈
−
(2. 32)
Trong đó:
)(
)1()1(
s
ss
k
qqqd
−=
++
với k = 1, 2,…,n (2.
33)
viết (2. 33) dưới dạng ma trận ta được:
}q{}q{}qd{
)s(
k
)1s()1s(
−=
++
(2. 34)
Thay các hệ thức (2 32) và (2. 34) vào phương trình (2. 31) ta được kết quả:
}P){(}q{qd
q
]K[
}qd{K[
s1s
)s(
k
)1s(
k
n
1k
k
)1s()s(
λ−λ≈
∂
∂
+
+
+
=
+
∑
(2.35)
Số hạng thứ hai của vế trái phương trình này có thể biến đổi như sau:
__________________________________
Đập vật liệu địa phương – Tính tón ứng suất- biến dạng
20
=
∂
∂
=
∂
∂
+
=
+
=
∑∑
}q{qd
q
k
}q{qd
q
]K[
)s(
k
)1s(
k
n
1k
k
ij
)s(
k
)1s(
n
1k
k
=
∂
∂
=
∂
∂
∑ ∑∑∑
=
+
==
+
=
n
1k
)1s(
k
)s(
j
n
1j
k
ij
n
1j
)s(
j
)1s(
k
n
1k
k
ij
qdq
q
k
qqd
q
k
(2. 36)
}]{[
)1()()1(
)(
1
)1(
)(
1
++
=
+
=
∆=
∂
∂
=
∂
∂
=
∑∑
sss
s
k
n
k
k
ij
s
s
n
j
k
ij
qdKqdq
q
k
qdq
q
k
j
Trong đó ma trận
]K[
)s(
∆
có các phần tử xác định theo công thức sau:
∑
=
∂
∂
=∆
n
1k
)s(
k
j
)s(
i
)s(
ij
q
q
k
K
(2. 37)
Ở đây
j
)s(
i
q
k
∂
∂
là giá trị đạo hàm riêng của phần tử thuộc ma trận độ cứng [
k
] theo
chuyển vị nút
j
q
trong bước chất tải thứ s,
}q{}q{
)s(
=
.
Thay hệ thức (2. 36) vào (2. 35) ta có thể đưa phương trình này về dạng:
}P){(}qd]{KK[
s1s
)1s()s()s(
λ−λ=∆+
+
+
(2. 38)
Đây là phương trình cơ bản cho ta giải bài toán. Áp dụng phương trình này cho
bước chất tải đầu tiên (s = 0) (tương ứng với bước này λ
0
= 0,
}0{}q{
)0(
=
), rồi bước
chất tải tiếp theo (s = 1),… cho đến bước chất tải cuối cùng (tương ứng với giá trị
λ
t
= 1 ta sẽ xác định được giá trị của vectơ chuyển vị
}q{
cần tìm.
Trong mỗi bước chất tải, truóc khi giải phương trình (2. 38) ta đều phải xác định
trước các ma trận
]K]K[
)s()s(
∆
[ vaø
tương ứng với giá trị
}q{
)s(
đã tìm được ở
bước trước. Sau đó giải phương trình (2.31) ta sẽ tìm được {dq(s+1)}, biết giá trị
này theo công thức (2.34) ta tìm ngay được giá trị của vec tơ chuyển vị ở bước tiếp
theo {q(s+1)} như sau:
{q
(s+1)
} = {q
(s)
} + {dq
(s+1)
} (2.39)
tương ứng với giá trị {q(s+1)} ta lại xác định giá trị của các ma trận
][
)(s
K
và
][
)(s
K
∆
để chuẩn bị giải phương trình (2. 38) cho bước chất tải tiếp sau.
2. 4. PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐÀN HỒI PHI TUYẾN
__________________________________
Đập vật liệu địa phương – Tính tón ứng suất- biến dạng
21
Thông thường, các tính chất cơ lý của vật liệu cho phép ta xác định được trạng
thái biến dạng của hệ một cách duy nhất theo trạng thái ứng suất của hệ. Nếu vật
liệu đẳng hướng, tính chất cơ lý của nó được đặc trưng bởi môđun đàn hồi E và hệ
số Poatxông v. Trong trường hợp vật liệu đàn hồi phi tuyến, cả hai đại lượng này
đều phụ thuộc vào ứng suất và biến dạng. Chẳng hạn, trong trạng thái căng một
trục của vật liệu đàn – dẻo lý tưởng, ta có thể viết mối quan hệ giữa ứng suất và
biến dạng như sau :
Khi σ < σ
0
thì E(σ) = E
0
Khi σ > σ
0
thì E(σ) =
ε
ε
oo
E
Trong trạng thái căng khối vật liệu đàn hồi phi tuyến, môđun đàn hồi E và hệ số
Poatxông v phụ thuộc vào các bất biến tenxơ ứng suất (hay tenxơ biến dạng) nếu
vật liệu đẳng hướng vàphụ thuộc vào các tổ hợp khác của các thành phần ứng suất
(hay biến dạng) nếu vật liệu dị hướng. Chẳng hạn, đối với vật liệu đàn dẻo lý
tưởng, môđun đàn hồi E và hệ số Poatxông v phụ thuộc vào các giá trị của cường
độ biến dạng
ε
hoặc cường độ ứng suất
σ
:
})()(){(
3
2
2
13
2
32
2
21
ε−ε+ε−ε+ε−ε=ε
})()(){(
3
2
2
13
2
32
2
21
σ−σ+σ−σ+σ−σ=σ
Trong đó ε
1
, ε
2
, ε
3
và σ
1
, σ
2
, σ
3
lần lượt là các thành phần biến dạng chính và
ứng suất chính. Rõ ràng trong trường hợp vật liệu đàn hồi phi tuyến, các đại lượng
và v là những hàm phức tạp của các thành phần ứng suất và biến dạng.
Khi giải bài toán vật liệu đàn hồi phi tuyến (trường hợp riêng là đàn – dẻo lý
tưởng) ta thường tính toán một cách đúng dần theo các bước sau:
- Bước 1: Đặt toàn bộ hệ tải trọng lên hệ rồi xác định trạng thái ứng suất và biến
dạng của hệ theo các giá trị E và v tương ứng với trường hợp trạng thái ứng suất
bằng 0.
- Bước 2: Dựa vào những giá trị của trạng thái ứng suất và biến dạng vừa mới xác
định được ở bước 1 hãy xác định lại các giá trị mới của E và v tương ứng.
- Bước 3: Căn cứ vào những giá trị của E và v mới vừa tìm được ở bước 2, lại xác
định trạng thái ứng suất và biến dạng mới của hệ.
- Bước 4: Lặp lại bước 2
- Bước 5: Lặp lại bước 3 …
Cứ thế tiến hành tính toán cho đến khi kết quả tính toán hội tụ (kết quả tính toán
trong hai bước tính liên tiếp không sai khác nhau đáng kể). Thông thường áp dụng
thuật toán này để giải những bài toán vật liệu đàn – dẻo lý tưởng, hoặc vật liệu dẻo
có tái bền người ta chỉ cần thực hiện 3 hoặc 4 chu trình tính toán là đủ để hội tụ
đến kết quả đủ dùng trong thực tế. Người ta thường dùng thuật toán này để giải
những bài toán cơ học đất-đá.
__________________________________
Đập vật liệu địa phương – Tính tón ứng suất- biến dạng
22
2. 5. PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN VẬT LIỆU ĐÀN DẺO
Khi dùng phương pháp gần đúng để giải bài toán vật liệu đàn dẻo, người ta thừa
nhận có mối liên hệ đơn trị giữa trạng thái ứng suất và trạng thái biến dạng. Cách
giải gần đúng như thế gặp phải một số khó khăn sau đây:
1. Trong quá trình dỡ tải trọng vật liệu chỉ còn xuất hiện biến dạng đàn hồi chứ
không xuất hiện biến dạng dẻo nữa, cho nên mối liên hệ đơn trị giữa ứng suất và
biến dạng trong quá trình dỡ tải không đúng nữa.
2. Trong trường hợp vật liệu đàn dẻo người ta có thể tìm được môđun đàn hồi
tương đương để biểu thị mối liên hệ giữa ứng suất và biến dạng, nhưng khó mà có
thể tìm được biểu thức xác định hệ số Poát–xông tương đương trong trường hợp
này.
3. Khi thiết lập các quy luật dẻo và quy luật từ biến người ta thường phải tách biệt
hiệu ứng đàn hồi và hiệu ứng dẻo và thường phải viết các quy luật đó dưới dạng
các số gia. Điều này làm cho tính toán cồng kềnh và sai khác với thực tế.
Nhằm tránh những khó khăn đó, Gallagher, Argyris và một số tác giả khác đề
nghị phương pháp sau đây để giải bài toán vật liệu đàn-dẻo và bài toán từ biến.
Phương pháp này được gọi là phương pháp số gia biến dạng ban đầu.
Theo phương pháp này, người ta thừa nhận hệ được giải từng bước, tăng dần dần
lên. Thừa nhận giả thiết đó cho phép khảo sát những biến đổi vì nhiệt theo thời
gian và khảo sát hiện tượng từ biến một cách thuận lợi.
Ta có thể phân tích số gia biến dạng toàn phần ∆{ε}
dh
, thành phần biến dạng dẻo
∆{ε}
d
và thành phần biến dạng vì nhiệt ∆{ε}
n
:
∆{ε} = ∆{ε}
dh
+ ∆{ε}
d
+ ∆{ε}
n
(2. 40)
Nếu ta ký hiệu tổng các số gia biến dạng dẻo ∆{ε}
d
và số gia biến dạng vì nhiệt
∆{ε}
n
là ∆{ε
o
} :
∆{ε
0
} = ∆{ε}
d
+ ∆{ε}
n
(2. 41)
và xem rằng các đại lượng này là số gia biến dạng ban đầu của hệ, thì ta có thể viết
(2. 40 ) dưới dạng:
∆{ε} = ∆{ε}
dh
+ ∆{ε
0
} (2. 42)
Giữa ứng suất và biến dạng đàn hồi có mối quan hệ {σ} = [D]
-1
{ε} trong đó [D]
là ma trận đàn hồi của hệ, cho nên ta có thể viết (2. 42) như sau:
∆{ε} = [D]
-1
{σ} + ∆{ε
0
} (2. 43)
Ta thấy ngay là trạng thái ứng suất và biến dạng của hệ ở thời điểm cuối của
khoảng thời gian đang xét bằng trạng thái ứng suất và biến dạng của hệ ở thời
điểm đầu của khoảng thời gian đó cộng với các số gia ứng suất và biến dạng tương
ứng.
__________________________________
Đập vật liệu địa phương – Tính tón ứng suất- biến dạng
23
Nói chung, xác định sự thay đổi biến dạngg vì nhiệt trong một khoảng thời gian
nào đó không khó khăn gì, trái lại, không thể xác định được số gia biến dạng dẻo
vì đại lượng này đồng thời phụ thuộc trạng thái ứng suất ở thời điểm đầu và thời
điểm cuối của khoảng thời gian đang xét. Thông thường người ta có thể xác định
các số gia biến dạng dẻo bằng hai cách sau đây:
Cách 1: Ta chia thời gian chất tải hay chia các bước chất tải thành những khoảng
đủ nhỏ sao cho số gia biến dạng dẻo phát sinh trong khoảng thời gian trước có thể
dùng để tìm số gia ứng suất trong khoảng thời gian tiếp sau.
Cách 2: Ta cũng thực hiện chia khoảng thời gian chất tải y như cách 1 nhưng lại
xem đây mới chỉ là bước một của một thuật toán đúng dần nhiều bước. Sau khi tìm
được các số gia ứng suất và biến dạng, ta lại dùng thuật toán đó để tìm số gia biến
dạng dẻo. Cứ thế tính lặp nhiều lần cho đến khi nào quá trình tính toán hội tụ đến
kết quả có độ chính xác đủ dùng.
Theo Argyris, thuật toán này chỉ cần thực hiện 1 chu trình tính toán là đủ, nhưng
nếu muốn có kết quả tính chính xác hơn ta có thể tính 2, 3 chu trình là đủ.
Các phương pháp xác định chính xác số gia biến dạng dẻo vừa mới trình bày có
thể áp dụng cho vật liệu bất kỳ có mođun đàn hồi phụ thuộc vào thời gian và nhiệt
độ và các quy luật biến dạng dẻo cũng phụ thuộc vào thời gian và nhiệt độ. Nhưng
dưới đây ta chỉ giới hạn khảo sát một trường hợp cụ thể hay gặp trong thực tế: đó
là trường hợp biến dạng dẻo.
Khi biến dạng dẻo, thể tích vật liệu không thay ñổi, nghĩa là vật liệu có hệ số
Poát-xông v = 0,5. Theo lý thuyết biến dạng dẻo của Sokolopski, nếu vật liệu đẳng
hướng thì quan hệ giữa ứng suất và biến dạng dẻo có dạng giống như khi vật liệu
đàn hồi, chỉ khác là hệ số Poát-xông v = 0,5. Chẳng hạn, trong trạng thái căng khối
mối quan hệ giữa biến dạng và ứng suất có dạng sau:
}
2
1
2
1
{C
zyxd,x
σ∆−σ∆−σ∆=ε∆
(2. 43’)
và:
xyd,xy
C3
γ∆=γ∆
Trong đó: ∆ε
x,d
– Số gia biến dạng dẻo theo phương x
∆σ
x
– Số gia ứng suất theo phương x
∆γ
xy,d
– Số gia biến dạng dẻo trong mặt phẳng xy.
C – hệ số tỷ lệ (trong trường hợp vật liệu đàn hồi hệ số tỷ lệ này là
E
1
)
Một cách tổng quát, ta có thể viết số gia biến dạng dẻo trong mọi trường hợp dưới
dạng sau:
∆{ε
d
} = [D]
-1
∆{σ}
Trong đó: [D]
-1
= C [D
0
]
-1
Với [D
0
]
-1
là ma trận nghịch đảo của ma trận đàn hồi, ma trận này phụ thuộc hệ
số Poát-xông v, trường hợp biến dạng dẻo v = 0,5.
__________________________________
Đập vật liệu địa phương – Tính tón ứng suất- biến dạng
24
Praghe (Prager) và Misès đã chứng minh rằng đối với vật liệu có biến dạng tái
bền, hằng số C là hàm số của ứng suất bát diện
σ
. Có nhiều trường hợp C là hàm
phức tạp của ứng suất bát diện
σ
và nhiệt độ θ,, lúc đó người ta cho sẵn giá trị của
C dưới dạng đồ thị hoặc bảng mẫu. Nhưng cũng có đôi khi người ta xem rằng giữa
biến dạng dẻo bát diện
d
ε
và ứng suất bát diện
σ
có hệ thức đơn giản sau:
n
d
K
σ=ε
Trong đó K và những là những hằng số. Khi đó, ta suy ra:
1n
d
nK
d
d
C
−
σ=
σ
ε
=
(2. 44)
Lý thuyết biến dạng dẻo vừa nêu có ưu điểm dễ sử dụng nhưng không mô tả
được chính xác hiện tượng biến dạng dẻo trong thực tế. Đrắckơ (D.C. Drucker) đã
xây dựng lý thuyết dẻo khác phù hợp với thực tế hơn dựa trên một số giả thiết về
số gia. Ông đã chứng minh được rằng trong trạng thái biến dạng khối, số gia biến
dạng dẻo và các cường độ ứng suất có quan hệ sau:
τσ∆σΨ=γ∆
σ−σ−σσ∆σΨ=ε
∆
xyd,xy
zyxd,x
)(
)5,05,0()(
Trong đó σ
x
, σ
y
, σ
z
là các ứng suất thực tế do số gia ứng suất bát diện gây ra. Khi
biết ứng suất thực tế {σ} và số gia ứng suất bát diện trong một khoảng thời gian
nào đó ta dễ dàng tính được số gia biến dạng dẻo tương ứng.
Một cách tổng quát, theo D.C. Dunker, ta có thể viết biểu thức của số gia biến
dạng dẻo như sau:
σ∆σΨσ=ε
∆
−
)(}{]D[}{
1
0d
(2. 45)
Muốn tìm
)(
σΨ
ta lại phải sử dụng các hệ thức Prager-Misès.
Nói chung quá trình tính toán vừa trình bày rất cồng kềnh vì trong mỗi bước ta
lại phải giải một bài toán đàn hồi.
2. 6. GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐÀN HỒI PHI TUYẾN THEO
PHƯƠNG PHÁP CHẤT TẢI TỪNG BƯỚC
Ta không thể dùng phương pháp vừa trình bày để giải các bài toán vật liệu dẻo
lý tưởng hoặc vật liệu có tính dẻo lý tưởng được. Sở dĩ như vậy là vì mặc dù tải
trọng có những số gia nhỏ cũng gây ra những biến dạng dẻo rất lớn (thậm chí lớn
vô hạn) cho nên quá trình tính toán không hội tụ đến kết quả được.
Do đó, khi gặp vật liệu dẻo lý tưởng người ta thường dùng phương pháp giải sau.
Trong phương pháp này quá trình chất tải cũng được thực hiện từng bước, và trong
mỗi bước, xác định biến dạng do sự gia tải gây ra thì xem vật liệu gần như đàn hồi.
Số gia của vật liệu có thể viết dưới dạng:
__________________________________
Đập vật liệu địa phương – Tính tón ứng suất- biến dạng
25
