He phuong trinh

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm. Hải Phòng, ngày 15 tháng 04 năm 2013. _____________________________________________________________________________________. ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗. A.Lời nói đầu Chào các em học sinh thân mến! Chỉ còn ít thời gian nữa thôi các em sẽ đối mặt với kì thi đại học, chắc các em rất hồi hộp và lo lắng. Là học sinh cấp 3, nhất là các em học lớp 12, hẳn mỗi em đã có lựa chọn cho riêng mình. Đối với học sinh thi khối A, D, V… các em cần quan tâm và học chắc môn toán. Hệ phương trình trong đề thi luôn đươc đánh giá là một câu khó. Để giúp các em củng cố kiến thức, tự tin hơn khi đối mặt với câu này, tác giả xin mạnh dạn viết tặng các em một chuyên đề nhỏ, có thể hữu ích cho các em. Các em nên tìm hiểu và nắm chắc phương pháp giải các dạng hệ cơ bản như hệ ĐX loại 1, loại 2, hệ phương trình đẳng cấp …,tác giả sẽ không nêu lại phương pháp giải các dạng hệ này.. B.Nội dung Một số phương pháp giải hệ phương trình 1.Hệ phương trình giải bằng phương pháp thế Đối với hệ phương trình giải bằng phương pháp thế , một trong hai phương trình của hệ thường có đặc điểm: là phương trình bậc nhất đối với x hoặc y; hoặc một phương trình có thể đưa về dạng tích của các phương trình bậc nhất hai ẩn, đặc biệt khi việc biến đổi về dang tích gặp khó khăn ta còn có thể coi đó là phương trình bậc 2 đối với một ẩn, ẩn còn lại là tham số. 4𝑥 − 𝑦 𝑥𝑦 − 4𝑦 + 1 𝑥 + 𝑦 2 + 1 = 0 𝑥𝑦 2 − 𝑦 + 𝑥 = 0. VD1. Giải hệ phương trình:. 1 2. Phân tích: Phương trình số 2 của hệ là phương trình bậc nhất đối với x vì vậy ta hoàn toàn có thể rút x theo y:. x=. 𝑦 𝑦 2 +1. =. 1 1. 𝑦+𝑦. 𝑦. 𝑁ế𝑢 𝑦 ≠ 0 . Đến đây ta không nên thay trực tiếp x vào pt (1) mà nên làm. xuất hiện đại lượng 𝑦 2 +1 hoặc Giải: Với y = 0 hệ trở thành. 1 1 𝑦. 𝑦+. ở phương trình số 1 để thế nó bằng x.. 1 − 2𝑥 = 0 𝑉ô 𝑛𝑜 𝑥=0 𝑦. Với y 0 ta có: 2 ↔ x 𝑦 2 + 1 = 𝑦 ↔ 𝑥 = 𝑦 2 +1 =. 1 1 𝑦. 𝑦+. Chia 2 vế pt (1) cho y ≠ 0 ta có: 𝑥. 1. 1 ↔4𝑥 2 − 𝑥𝑦 − 4𝑥 − 𝑦 + 𝑦 + 𝑦 = 0 1

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm. Hải Phòng, ngày 15 tháng 04 năm 2013. _____________________________________________________________________________________ 1 1 4𝑥 2 − 4𝑥 − 𝑦 + 𝑥 + 𝑦 + = 0 ( ) 𝑦. Thay 𝑥 =. 1 1 𝑦. 𝑦+. 𝑦. vào pt (∗) ta có. 4𝑥 3 − 4𝑥 2 − 𝑥 + 1 = 0 ↔ 𝑥−1. ↔. 𝑥2 −. 1 =0 4. 𝑥=1 1 → 𝑦 → 𝑘ế𝑡 𝑙𝑢ậ𝑛 𝑥=± 2. VD2. Giải hệ phương trình:. 𝑥 3 + 2𝑦 2 = 𝑥 2 𝑦 + 2𝑥𝑦 2 𝑥 2 − 2𝑦 − 1 +. 3. (1). 𝑦 3 − 14 = 𝑥 − 2. (2). (THTT - 405). Phân tích: Phương trình dưới có chứa căn thức, việc tìm cách khử căn thức ngay từ đầu sẽ gặp nhiều khó khăn. Ta nên bắt đầu từ phương trình đầu tiên. Chú ý các phương trình có chứa các đại lượng như 𝑥 2 , 𝑦 2 , 𝑥 2 𝑦, 𝑥𝑦 2 , 𝑥𝑦 …thường đươc vận dụng hằng đẳng thức, hoặc các phép biến đổi tìm ra nhân tử chung đưa vế trái về dạng tích của các biểu thức. Bằng cách này ta có thể phát hiện ra ẩn phụ, hoăc thu được phương trình tích. Có thể coi đây là một định hướng biến đổi cho các phương trình kiểu này. Giải: Đk: 𝑥 2 − 2𝑦 − 1 ≥ 0 1 ↔ 𝑥 3 − 2𝑥𝑦 = 𝑥 2 𝑦 − 2𝑦 2 ↔ 𝑥 𝑥 2 − 2𝑦 = 𝑦 𝑥 2 − 2𝑦 ↔ 𝑥 − 𝑦 𝑥 2 − 2𝑦 = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦 (𝑑𝑜 𝑥 2 − 2𝑦 ≥ 1) Với x = y ta có: 𝑥 2 − 2𝑥 − 1 ≥ 0 (3) 3. (2) 2 𝑥 2 − 2𝑥 − 1 + 𝑥 3 − 14 = 𝑥 − 2 (∗) Vì 𝑥 2 − 2𝑥 − 1 ≥ 0 →. 3. 𝑥 3 − 14 ≤ 𝑥 − 2 ↔ 𝑥 3 − 14 ≤ 𝑥 3 − 6𝑥 2 + 12𝑥 − 8 ↔ 𝑥 2 − 2𝑥 − 1 ≤ 0. Từ (3) và (4) → 𝑥 2 − 2𝑥 − 1 = 0 ↔ 𝑥 = 1 ±. 2 → 𝑦 = 1±. 4. 2. Vậy hệ phương trình có nghiệm …. Chú ý: Việc giải pt ( ) không hề đơn giản. Ở đây nó được giải bằng phương pháp đánh giá. Tuy nhiên, một tuyệt chiêu thường được dùng để giải các phương trình chứa các căn thức không cùng bậc đó là phương pháp đặt ẩn phụ chuyển phương trình về hệ phương trình. Các em nên tìm hiểu và nắm vứng 2

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm. Hải Phòng, ngày 15 tháng 04 năm 2013. _____________________________________________________________________________________ phương pháp này. Vận dụng linh hoạt, đặt ẩn phụ khéo léo sẽ cho ta những kết quả bất ngờ. Chỉ bằng cách này ta có thể vượt qua nhiêu pt khó ở nhiều dang khác nhau. Hãy giải phương trình (∗) bằng 𝑝2 này! VD3. Giải hệ phương trình:. 2𝑥 2 𝑦 + 𝑦 3 = 2𝑥 4 + 𝑥 6 𝑥+2. (1) 2. 𝑦 + 1 = (𝑥 + 1). (2). (thtt-400). Giải: DK y ≥ −1 Dễ thấy (0;0) không là nghiệm của hệ pt 1 ↔ 2𝑥 2 𝑦 − 2𝑥 4 = 𝑥 6 − 𝑦 3 ↔ 2𝑥 2 𝑦 − 𝑥 2 = 𝑥 2 − 𝑦 𝑥 4 + 𝑥 2 𝑦 + 𝑦 2. ( ). ↔ 𝑥 2 − 𝑦 𝑥 4 + 𝑥 2 𝑦 + 𝑦 2 + 2𝑥 2 = 0 Do y ≥ −1 nên 𝑦 + 2 ≥ 1 → 𝑥 4 + 𝑥 2 𝑦 + 2 + 𝑦 2 = 𝑥 4 + 𝑥 2 𝑦 + 𝑦 2 + 2𝑥 2 > 0 ∀𝑥 ≠ 0, 𝑦 ≠ 0 ( )↔ 𝑥 2 = 𝑦 thay vào pt (2) ta có:. 𝑥+2 ↔ 𝑥+2. 𝑥 2 + 1 = (𝑥 + 1)2 𝑥 2 + 1 = 𝑥 2 + 2𝑥 + 1 (∗∗). Đặt 𝑡 = 𝑥 2 + 1 ( t ≥ 1 )pt (∗∗) trở thành: 𝑡 2 − 𝑥 + 2 𝑡 + 2𝑥 = 0 ∆= 𝑥 + 2. 2. − 4.2𝑥 = 𝑥 − 2. 2. 𝑥+2−𝑥+2 =2 2 → 𝑥+2+𝑥−2 𝑡= =𝑥 2 𝑡=. Với 𝑡 = 𝑥 ta có 𝑥 2 + 1 = 𝑥 𝑣ô 𝑛𝑔𝑕𝑖ệ𝑚 Với 𝑡 = 2 ta có 𝑥 2 + 1 = 2 ↔ 𝑥 = ± 3 → 𝑦 = 3 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( 3 ; 3), (− 3 ; 3) Chú ý: pt (∗∗) được giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn. Các em hãy đọc tạp chí THTT số 399 để hiểu sâu phương pháp này. VD4. Giải hệ phương trình:. 3𝑥 − 𝑦 13 − 𝑦 = 14 − 3𝑥 (1) 3𝑥 𝑦 + 1 − 10 𝑥 + 1 = 𝑥 + 12 (2). Phân tích: Ta vẫn nên bắt đầu từ pt (1) trước. Nếu gặp khó khăn trong việc biến đổi, ta sẽ dùng 𝑝2 sau đây sẽ có hi vọng thu được kết quả nhanh chóng. Dễ thấy rằng hoàn toàn có thể viết pt (1) về dạng pt bậc 2 đối với y và coi x là tham số 3

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm. Hải Phòng, ngày 15 tháng 04 năm 2013. _____________________________________________________________________________________ Giải: DK: x≥ −12 (1). 𝑦 2 − 3𝑥 + 13 𝑦 + 42𝑥 − 14 = 0. Xét ∆ = (3𝑥 + 13)2 − 4 42𝑥 − 14 = 9 𝑥 2 − 10𝑥 + 25 = 9(𝑥 − 5)2 3𝑥 + 13 − 3 𝑥 − 5 = 14 2 → 3𝑥 + 13 + 3(𝑥 − 5) 𝑦= = 3𝑥 − 1 2 𝑦=. Thay y = 14 vào (1) ta có 35x – 10 = 𝑥 + 12 ↔ ⋯ 9𝑥 2 − 10𝑥 − 10 = 𝑥 + 12. Thay y = 3𝑥 − 1 vào pt (1) ta có:. ↔ (3𝑥 − 2)2 + 2𝑥 − 14 = 𝑥 + 12 (∗) Đặt. 3𝑡 − 2 = 𝑥 + 12 kết hợp với pt (∗) ta có hệ pt. (3𝑡 − 2)2 = 𝑥 + 12 3𝑥 − 2 2 = −2𝑥 + 3𝑡 + 12 Trừ vế với vế hai phương trình ta có 3𝑡 − 2. 2. − 3𝑥 − 2. 2. = 3𝑥 − 3𝑡. 𝑡 − 𝑥 3𝑡 + 3𝑥 − 4 = 𝑥 − 𝑡 ↔ 𝑡−𝑥 𝑡+𝑥−1 = 0↔. 𝑡=𝑥 𝑡 = −𝑥 + 1. Với t = x ta có:. 3x – 2 = 𝑥 + 12 ↔ ⋯. Với t = -x +1 ta có:. 3(-x+1) – 2 = 𝑥 + 12 ↔ ⋯. Chú ý: Đôi khi các em cần cộng hoặc trừ vế với vế hai phương trình của hệ thì mới được một phương trình có kết quả ∆ chẵn.. VD5. Giải hệ phương trình:. Giải: DK. 𝑥 − 4 𝑥 + 1 = 𝑦(𝑦 + 5) log (x−2) (y + 2) =. 𝑥−2. (dhsp hn). 𝑦2. 2<𝑥≠3 −2 < 𝑦 ≠ 0. (1)↔ 𝑥 2 − 3𝑥 − 𝑦 2 − 5𝑦 − 4 = 0 ∆= 9 + 4 𝑦 2 + 5𝑦 + 4 = 4𝑦 2 + 20𝑦 + 25 = (2𝑦 + 5)2 4

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm. Hải Phòng, ngày 15 tháng 04 năm 2013. _____________________________________________________________________________________ 3 + 2𝑦 + 5 =𝑦+4 2 → 3 − 2𝑦 − 5 𝑥= = −𝑦 − 1 2 𝑥=. Vì 𝑦 > −2 ↔ −𝑦 < 2 → 𝑥 = −𝑦 − 1 < 1. Mà x > 2 𝑡𝑕𝑒𝑜 𝐷𝐾 → loại trường hợp x = - y – 1 Thay 𝑥 = 𝑦 + 4 vào pt (2) ta có: log (𝑦+2) (𝑦 + 2) =. 𝑦 +2 𝑦2. ↔ 𝑦2 − 𝑦 − 2 = 0 ↔. 𝑦 = −1 𝑥 = 3(𝑙𝑜ạ𝑖) ↔ 𝑦= 2 𝑥=6. Vậy hệ phương trình có nghiệm (x ; y) = (6 ; 2) 2. Hệ phương trình giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ Đặt ẩn phụ là một phương pháp khá quan trọng trong giải hệ phương trình. Điểm mấu chốt là ta cần phát hiện ra điểm chung của các pt để lựa chọn ẩn phụ cho chính xác và phù hợp. khi đã đặt được ẩn phụ, ta thường thu được một hệ mơí là hệ ĐX loại 1, loại 2, hệ đẳng cấp, hoặc một hệ đơn giản có thể giải ngay bằng phương pháp thế… VD6. Giải hệ phương trình:. 𝑥 2 + 1 3 3𝑦 − 2 = 1 𝑥 2 𝑦 3 + 2𝑥 2 + 𝑦 3 = 1. (1) 2. Phân tích: Ta sẽ thử biến đổi để vế trái của pt (2) trở thành tích các biểu thức theo kinh nghiệm đã nêu ở phần phương pháp thế. Giải: hpt ↔. 𝑥 2 + 1 3 3𝑦 − 2 = 1 𝑥 2 (𝑦 3 + 2) + 𝑦 3 + 2 = 3. ↔. 1. Đặt 𝑧 = 𝑥 2 +1 hệ phương trình trở thành:. 𝑥 2 + 1 3 3𝑦 − 2 = 1 (𝑦 3 + 2) 𝑥 2 + 1 = 3 𝑧 3 = 3𝑦 − 2 𝑦 3 = 3𝑧 − 2. Đây là hệ đối xứng loại 2, các em đã biết cách giải. Chú ý: Việc nhìn nhận ra đường lối giải quyết bài toán có thể gặp khó khăn. Các bạn mới bắt đầu có thể cảm thấy ngại, nhưng các em hãy chịu khó làm nháp nhiều, để có nhiều kĩ năng hơn. VD7. Giải hệ phương trình:. 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑥𝑦 + 2𝑦 + 𝑥 = 2 2𝑥 2 = 2 + 𝑦 2 + 2𝑦. (st). Giải: hpt ↔. 𝑥 2 + 𝑥 𝑦 + 1 + (𝑦 + 1)2 = 3 2𝑥 2 − (𝑦 + 1)2 = 1. 5

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm. Hải Phòng, ngày 15 tháng 04 năm 2013. _____________________________________________________________________________________ 2 2 Đặt 𝑡 = 𝑦 + 1 hệ phương trình trở thành 𝑥 2+ 𝑥𝑡2+ 𝑡 = 3 2𝑥 − 𝑡 = 1 Đây là hệ phương trình đẳng cấp, các em hãy tự giải.  x2  y 2  4 x  6 y 1 VD8. Giải hệ phương trình:   4 4 2 2 2 2   x  y  5 x  5 y  10 xy  2 x y  1 Giải:  x 2  y 2  5( x  y )  ( x  y )  1 ( x  y )( x  y )  ( x  y )  1  5( x  y ) hpt     2 2 2 2 2 2 2 ( x  y ) ( x  y )  1  5( x  y ). ( x  y )  5( x  y )  1 . + Nếu x + y = 0 thì hệ phương trình vô nghiệm. 1 1   x  y  x  y  ( x  y) x  y  5 + Nếu x + y  0 hệ   1 ( x  y ) 2  5  ( x  y)2   u  2 u  x  y   Đặt  1 khi đó hệ trở thành u  v  uv  5  uv  5  (u  v)   v  1 2 2 2  u  1 v  x  y u  v  5 (u  v)  2uv  5    v  2. 3. 𝑥=2 u  2 Với  ta có −1 𝑦= 2 v  1 3. 𝑥=4 u  1 Với  ta có −1 𝑦= 4 v  2 3. −1. 2. 2. Vậy hệ phương trình có nghiệm ( ;. 3. −1. 4. 4. ), ( ;. ). 3. Ứng dụng đạo hàm vào giải hệ phương trình Ta sẽ sử dụng tính đồng biến, nghịch biến của hàm số để giải hệ phương trình VD9. Giải hệ phương trình:. 2𝑥. 2 +1. − 48𝑦. (𝑥 +𝑦 )2. 2. 3. 2 +1 2. =3 2 𝑦− 𝑥 7. −2 𝑥+𝑦 = 2. (1). (st). (2). Phân tích: Nếu tinh ý một chút ta sẽ nhìn thấy ngay rằng phương trình (2) thực chất chỉ có một ẩn là 2. 1. (x+y). Bằng phương pháp hàm số ta sẽ tìm được giá trị của (x+y). Lại thấy 48𝑦 +2 = 2(4𝑦 ) 2 với cấu trúc của số hạng 2 𝑥 +1 , điều này gợi ý ta biến đổi để cân bằng 2 vế pt (1).. 2 +1. rất giống. 6

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm. Hải Phòng, ngày 15 tháng 04 năm 2013. _____________________________________________________________________________________ 𝑥≥0 Giải: DK 𝑦≥0 (1) ↔ 2 𝑥. 2 +1. − 2(4𝑦 ). 2 +1. Xét hàm số 𝑓 𝑡 = 2𝑡 𝑓 ′ 𝑡 = 4𝑡 3 . 2𝑡. 4 +1. = 3 4𝑦 − 3 𝑥 ↔ 2𝑥. 4 +1. 2 +1. + 3 𝑥 = 2(4𝑦 ). 2 +1. + 3 4𝑦. ( ). + 3𝑡 với t≥ 0. . 𝑙𝑛2 ≥ 0 ∀𝑡 ≥ 0 → hàm số 𝑓 𝑡 đồng biến trên [ 0 ; + ). Phương trình ( ) ↔ 𝑓. 𝑥 =𝑓. 4𝑦 ↔ 𝑥 =. 4𝑦 ↔ 𝑥 = 4𝑦 (do x ≥ 0, 𝑦 ≥ 0) (1)’. 3. 4. Xét hàm số 𝑓 𝑡 = 2𝑡 + 2 𝑡 với t ≥ 0 3. 4. 𝑓 ′ 𝑡 = 4𝑡 3 . 2𝑡 . 𝑙𝑛2 + > 0 ∀𝑡 ≥ 0 → hàm số 𝑓(𝑡) đồng biến trên [ 0 ; + ) 2. 7. Phương trình (2) ↔ 𝑓. 𝑥+𝑦 =2 4. 3. Do hàm số 𝑓 𝑡 = 2𝑡 + 𝑡 đồng biến trên [ 0 ; + ) nên nếu pt (2) có nghiệm thuộc [ 0 ; + ) thì đó là 2 nghiệm duy nhất 7. Mà 𝑓 1 = → 2. 𝑥+𝑦 =1↔𝑥+𝑦 =1. (2)’ 4. Từ (1)’ và (2)’ ta có. 𝑥=5 𝑥 − 4𝑦 = 0 ↔ 1 𝑥+𝑦=1 𝑦=5. Vậy hệ phương trình có nghiệm (x ; y) = (. 4 5. 1. ; ) 5. Chú ý : Việc nhẩm được nghiệm của pt đôi khi rất có ý nghĩa. Có lúc đây là một trong nhưng điều kiện bắt buộc để ta có thể hoàn thiện lời giải bằng phương pháp hàm số hoặc đánh giá bằng bất đẳng thức… VD10.Giải hệ phương trình:. 4𝑥 2 − 𝑦 2 + 20𝑥 + 25 = 2 (𝑦 − 1)3 − 2. 2𝑥 + 4. 3. 𝑦 2 + 2 12𝑥 − 5𝑦 + 65 = 8 𝑦. Phân tích: Nếu rút x ở phương trình (2) thế vào pt (1) thì kết quả rất cồng kềnh. Nhưng ở phương trình (1) ta hoàn toàn có thể cô lập một vế là đa thức của x và một vế là đa thức của y. Những phương trình có thể làm như vậy thường được tìm cách cân bằng 2 vế để sử dụng phương pháp hàm số. Mặt khác ngay trong pt (1) cũng có những biểu thức cùng cấu trúc, điều này càng định hướng ta giải bằng phương pháp hàm số. 𝑦−1 ≥ 0 2𝑥 + 4 ≥ 0 1 ↔ 4𝑥 2 + 20𝑥 + 24 + 2 2𝑥 + 4. Giải. DK:. ↔ 2𝑥 + 4 2𝑥 + 6 + 2 2𝑥 + 4. 2𝑥 + 4 = 2 𝑦 − 1. 𝑦−1+𝑦 𝑦−1 +𝑦−1. 2𝑥 + 4 = 𝑦 − 1 (𝑦 − 1 + 2 𝑦 − 1 + 1 + 1) 7

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm. Hải Phòng, ngày 15 tháng 04 năm 2013. _____________________________________________________________________________________ ↔ 2𝑥 + 4 2𝑥 + 4 + 2 2𝑥 + 4 + 1 + 1 = 𝑦 − 1 ( 𝑦 − 1 + 1)2 + 1 ↔ 2𝑥 + 4. 2𝑥 + 4 + 1. Xét hàm số 𝑓 𝑡 = 𝑡 2 𝑡 + 1. 2. 2. + 1 = 𝑦 − 1 ( 𝑦 − 1 + 1)2 + 1. ( ). + 1 với t ≥ 0. 𝑓 ′ 𝑡 = 4𝑡 3 + 6𝑡 2 + 4𝑡 ≥ 0 ∀t ≥ 0 → hàm số 𝑓(𝑡) đồng biến trên [ 0 ; +∞) ( )↔ 𝑓. 2𝑥 + 4 = 𝑓. 𝑦 − 1 ↔ 2𝑥 + 4 = 𝑦 − 1 ↔ 𝑦 = 2𝑥 + 5. Thay 𝑦 = 2𝑥 + 5 vào pt (2) ta có: 2𝑥 + 5. 2. + 24𝑥 − 10 2𝑥 + 5 + 65 = 8 2𝑥 + 5. 𝑥 2 + 6𝑥 + 10 = 2 2𝑥 + 5 (∗∗) Áp dụng BĐT Cô – si cho hai số không âm 2𝑥 + 5 và 1 ta có 2𝑥 + 5 + 1 ≥ 2 2𝑥 + 5 = 𝑥 2 + 6𝑥 + 10 ↔ 𝑥 2 + 4𝑥 + 4 ≤ 0 ↔ (𝑥 + 2)2 ≤ 0 ↔ 𝑥 + 2 = 0 ↔ 𝑥 = −2 Thử lại thấy x = - 2 đúng là nghiệm của phương trình (∗∗) Với x = - 2. y = 1 (TM). Vậy hệ phương trình có nghiệm 𝑥 ; 𝑦 = (−2 ; 1) Chú ý: Các em cần chút kinh nghiệm để định hướng rằng phải dùng phương pháp hàm số để sử lí pt (1), một chút kĩ năng biến đổi để cân bằng 2 vế pt này. Pt (∗∗) có rất nhiều cách giải, nhiều học sinh sẽ giải thành công pt này bằng phương pháp nhân lượng liên hợp, tuy nhiên các em còn có thể vận dụng bất đẳng thức, hoặc chuyển nó về hệ ĐX loại 2 bằng cách đặt ẩn phụ. Dùng bất đẳng thức là cách làm hay và ngắn gọn nhất. VD11. Giải hệ phương trình:. 3−𝑥. 2 − 𝑥 − 2𝑦 2𝑦 − 1 = 0. 2 2−𝑥−. 2𝑦 − 1. 3. =1. (THTt - 397). Phân tích: Bài tập này khá giống với bài tập trên. Các em cũng đưa pt (1) về dạng một vế là đa thức của x, một vế là đa thức của y và tìm cách cân bằng hai vế. Giải:. Dk. 2−𝑥 ≥ 0 2𝑦 − 1 ≥ 0. (1) ↔ 2 − 𝑥 + 1. 2 − 𝑥 = 2𝑦 − 1 + 1. 2𝑦 − 1. ( ). Xét hàm số 𝑓 𝑡 = 𝑡 𝑡 2 + 1 với t ≥ 0 𝑓 ′ 𝑡 = 3𝑡 2 + 1 > 0 ∀𝑡 ≥ 0. hàm số 𝑓(𝑡) đồng biến trên [ 0 ; +∞) 8

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm. Hải Phòng, ngày 15 tháng 04 năm 2013. _____________________________________________________________________________________ ( ) ↔ 𝑓 2 − 𝑥 = 𝑓 2𝑦 − 1 ↔ 2 − 𝑥 = 2𝑦 − 1 ↔ 2 − 𝑥 = 2𝑦 − 1 Thay 2 − 𝑥 = 2𝑦 − 1 vào pt (2) ta có 2𝑦 − 1. 3. − 2 2𝑦 − 1 + 1 = 0 ↔. 2𝑦 − 1 − 1 2𝑦 − 1 + 2𝑦 − 1 − 1 = 0. 2𝑦 − 1 = 1 ↔. 𝑦=1 −1 + 5 ↔ 5− 5 2 𝑦= 4 −1 − 5 2𝑦 − 1 = (𝑙𝑜ạ𝑖) 2 2𝑦 − 1 =. Với y = 1→ 𝑥 = 1 y=. 5− 5 4. →𝑥=. 1+ 5 2 1+ 5. 5− 5. vậy hệ pương trình có nhgiệm. 𝑥; 𝑦. VD12. Giải hệ phương trình:. 1 + 42𝑥 −𝑦 51−2𝑥 +𝑦 = 1 + 22𝑥 −𝑦 +1 (1) 𝑦 3 + 4𝑥 + 1 + ln 𝑦 2 + 2𝑥 = 0 (2). =. 1; 1 ,. 2. ;. 4. (thtt-400). Giải: DK: 𝑦 2 + 2𝑥 ≥ 0 (1) ↔ 51−2𝑥 +𝑦 + 42𝑥 −𝑦 51−2𝑥+𝑦 − 22𝑥 −𝑦 +1 − 1 = 0 ặt t = 2x – y pt trên trở thành:. 51−𝑡 + 4𝑡 51−𝑡 − 2𝑡+1 − 1 = 0. ( ). Xét hàm số 𝑓 𝑡 = 51−𝑡 + 4𝑡 51−𝑡 − 2𝑡+1 − 1 𝑓 ′ 𝑡 = −51−𝑡 . 𝑙𝑛5 + 4𝑡 51−𝑡 . 𝑙𝑛4 − 4𝑡 51−𝑡 . 𝑙𝑛5 − 2𝑡+1 . 𝑙𝑛2 < 0 ∀𝑡 hàm số 𝑓(𝑡) nghịch biến trên R → pt ( ) có nhiều nhất một nghiệm trên R Lại có 𝑓 1 = 0 → 𝑡 = 1 là nghiệm duy nhất của pt ( ) Với t = 1. 1. 2x – y = 1→ 𝑥 = 2 𝑦 + 1 thay vào pt (2) ta có: 𝑦 3 + 2𝑦 + 3 + ln 𝑦 2 + 𝑦 + 1 = 0 (∗∗). Xét hàm số 𝑓 𝑦 = 𝑦 3 + 2𝑦 + 3 + ln⁡ (𝑦 2 + 𝑦 + 1) 𝑓 ′ 𝑦 = 3𝑦 2 + 2 +. 2𝑦 + 1 2𝑦 2 + 4𝑦 + 3 2(𝑦 + 1)2 + 1 2 2 = 3𝑦 + = 3𝑦 + > 0 ∀𝑦 𝑦2 + 𝑦 + 1 𝑦2 + 𝑦 + 1 𝑦2 + 𝑦 + 1. hàm số 𝑓 𝑦 đồng biến trên R → pt (∗∗) có nhiều nhất một nghiệm trên R Mà 𝑓 −1 = 0 → 𝑦 = −1 là nghiệm duy nhất của pt (∗∗) Với y = - 1 → 𝑥 = 0 𝑡𝑚 9

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm. Hải Phòng, ngày 15 tháng 04 năm 2013. _____________________________________________________________________________________ Vậy hệ phương trình có nghiệm (0 ; - 1) 4. Hệ phương trình giải bằng phương pháp đánh giá Phương pháp đánh giá là một phương pháp khéo léo và rất hiệu quả trong giải pt, hpt. Tuy nhiên việc vận dụng phương pháp này vào lời giải cũng không hề đơn giản. Các em cần đặc biệt luư ý đến điều kiện và cấu trúc của các phương trình, có thể đây chính là chìa khoá đi đến lời giải hay và cực kì ngắn gọn. 𝑥+ 𝑦+1 = 1. VD13. Giải hệ phương trình:. DK:. Vì. 𝑦+ 𝑥+1 = 1. (st). 𝑥≥0 𝑦≥0 𝑥+ 𝑦+1≥1 . Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi x = y = 0. 𝑦+ 𝑥+1≥1. 𝑥≥0 → 𝑦≥0. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x = 0, y = 0. Chú ý: bài toán này có nhiều hướng đi. Có bạn sẽ trừ vế với vế 2 pt sau đó nhân liên hợp, cách làm này rất dài và dễ mắc bẫy. Các em cần chú ý nhận ra các đặc điểm đặc biệt của mỗi bài toán để có lời giải chính xác và đôc đáo. VD14. Giải hệ phương trình:. Giải: hpt ↔. 𝑥 2 𝑦 2 − 2𝑥 + 𝑦 2 = 0 7𝑥 2 − 14𝑥 + 3𝑦 3 + 4 = 0. 𝑦 2 𝑥 2 + 1 = 2𝑥 7(𝑥 − 1)2 + 3 1 + 𝑦 3 = 0. (1) 2. (st). (1)′ (2)′. Dễ thấy x ≥ 0 (1)’→ 𝑦 2 =. 2𝑥 𝑥 2 +1. ≤. 2𝑥 2 𝑥 2 .1. = 1(theo BDT cô – si). → 𝑦 ≤ 1 → 𝑦3 + 1 ≥ 0 Mà (𝑥 − 1)2 ≥ 0 ∀𝑥 nên 7(𝑥 − 1)2 + 3 1 + 𝑦 3 ≥ 0 Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi. (𝑥 − 1)2 = 0 𝑥=1 ↔ 3 𝑦 = −1 1+𝑦 = 0. Thử lại thấy x = 1, y = -1 là nghiệm của hpt. Vậy hệ phương trình có nghiệm (x ; y) = (1 ; -1) VD15.Giảihệphương trình:. 2012. 𝑦 2 − 𝑥2 = 2. 𝑥 + 𝑦 2012 + 2012. 3𝑥 2 − 𝑦 = 3 6𝑥 + 3𝑦. 4. 6𝑥 + 3𝑦 − 3𝑦. (1) (2). 10

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm. Hải Phòng, ngày 15 tháng 04 năm 2013. _____________________________________________________________________________________ Phân tích: pt (1) quá phức tạp, ta nên tìm lời giải từ pt (2) trước Giải: DK:. 𝑥≥0 𝑦≥0. (2) ↔ 9𝑥 2 − 3𝑦 = 2 6𝑥 + 3𝑦 ↔ 9𝑥 2 + 6𝑥 + 1 = 6𝑥 + 3𝑦 + 2 6𝑥 + 3𝑦 + 1 ↔ (3𝑥 + 1)2 = ↔. 3𝑥 =. 6𝑥 + 3𝑦 + 1. 6𝑥 + 3𝑦. 2. (1)′. 3𝑥 + 2 = − 6𝑥 + 3𝑦 (𝑙𝑜ạ𝑖). Thay 3𝑥 = 6𝑥 + 3𝑦 vào pt (1) ta có: 𝑦 2 − 𝑥2 =. 2012. 𝑥 + 𝑦 2012 + 2012 ( 3𝑥 − 3𝑦). ( ). 2012. 𝑥 + 𝑦 2012 + 2012 > 0 ∀𝑥, 𝑦 nên ta có: 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0. Do. Với 𝑥 > 𝑦 →. 𝑉𝑇(∗) < 0 →pt ( ) vô nghiệm 𝑉𝑃(∗) > 0. Với 𝑥 < 𝑦 →. 𝑉𝑇(∗) > 0 →pt ( ) vô nghiệm 𝑉𝑃(∗) < 0. Với x = y → VT = VP = 0 Thay x = y pt (1)’ ta có x = 𝑥 ↔. 𝑦=𝑥=0 𝑥=0 → 𝑦=𝑥=1 𝑥=1. Thử lại thấy cả hai nghiêm đều thoả mãn hệ phương trình Vậy hệ phương trình có nghiệm. (𝑥; 𝑦) =. 0; 0 , (1; 1). Chú ý : khi nhìn thấy một hệ phương trình phức tạp, cồng kềnh các em cũng không nên mất bình tĩnh. Hình thức bề ngoài đôi khi chỉ để đánh vào tâm lí. VD16. Giải hệ phương trình:. 𝑥 − 1 + 𝑥 3 𝑥 − 𝑦 + 𝑥 𝑥 = 3𝑦 + 𝑦 − 1 3𝑥𝑦 2 + 4 = 4𝑥 2 + 2𝑥 + 𝑦. (1) (2). (st). Giải: DK:. 𝑥≥1 𝑦≥1. (1) ↔ 3𝑥 − 3𝑦 + 𝑥 𝑥 − 𝑦 𝑥 =. 𝑦−1− 𝑥−1 11

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm. Hải Phòng, ngày 15 tháng 04 năm 2013. _____________________________________________________________________________________ ↔ 𝑥 −𝑦 3+ 𝑥 = 𝑦−1− 𝑥 −1 Việc biến đổi phương trình (1) không hề khó khăn. Đến đây các em đánh giá tương tự bài trước và cuối 4 4 cùng thu được nghiệm là (1;1), (3 ; 3 ). C. Lời kết Hệ phương trình nói chung rất đa dạng. Các em hãy chịu khó làm nháp thật nhiều, vì ngay trong khi làm nháp các em sẽ rèn luyện cho tư duy nhạy bén hơn, kĩ năng biến đổi linh hoạt hơn. Tác giả luôn sẵn lòng giải đáp tất cả các thắc mắc của các em về nội dung tài liệu này. Một số ví dụ trong tài liệu đựơc lấy từ nhiều nguồn khác nhau, do không rõ tên người sáng tác nên tôi xin đề là suư tầm (st) mà không nêu tên tác giả. Cuối cùng, mời các em cùng giải các bài tập dưới đây. Chúc các em học thật tốt và thi thành công! 𝑥 6 − 𝑦 3 + 𝑥 2 − 9𝑦 2 − 30 = 28𝑦 2𝑥 + 3 + 𝑥 = 𝑦. 10.. 2𝑥 − 3 = 𝑦 2012 + 2012 5 − 𝑦 + 𝑦 𝑦 𝑦 − 𝑥 + 2 = 3𝑥 + 3. 𝑥 − 2 2𝑦 − 1 = 𝑥 3 + 20𝑦 − 28 2. 2 𝑥 + 2𝑦 + 𝑦 = 𝑥 2 + 𝑥. 11.. 𝑥 2 + 2𝑦 2 − 3𝑥 + 2𝑥𝑦 = 0 𝑥𝑦 𝑥 + 𝑦 + 𝑥 − 1 2 = 3𝑦(1 − 𝑦). 1.. 2. 3.. 2. 𝑥2 + 𝑦 = 𝑦 2 + 𝑥 3. 4(𝑥 3. + 𝑦3 ). 3. 12.. + 2𝑥𝑦 = 0. 1+𝑥+ 1−𝑦 = 2 𝑥 2 − 𝑦 4 + 9𝑦 = 𝑥 9 + 𝑦 − 𝑦 3 2𝑦 − 𝑥 + 6𝑦 2 + 𝑦 𝑥 − 2𝑦 = 0. 𝑥 2 + 2𝑦 2 = 𝑥𝑦 + 2𝑦 4. 2𝑥 3 + 3𝑥𝑦 2 = 2𝑦 2 + 3𝑥 2 𝑦. 13.. 5.. 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑥𝑦 = 3 𝑦 2 − 𝑥𝑦 + 5𝑥 + 4𝑦 = 9. 14.. 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑥𝑦 = 3 𝑥 2 + 2𝑥𝑦 = 7𝑥 + 5𝑦 − 9. 6.. 𝑥 3 + 4𝑦 = 𝑦 3 + 16𝑥 1 + 𝑦 2 = 5 𝑥2 + 1. 15.. 𝑥 2 𝑦 + 2𝑥 + 3𝑦 = 6 3𝑥𝑦 + 𝑥 + 𝑦 = 5. 7.. 𝑥3 − 𝑦 3 = 9 𝑥 2 + 2𝑦 2 = 𝑥 − 4𝑦. 16.. 𝑥 2 𝑦 2 + 𝑦 4 + 1 = 3𝑦 2 𝑥 𝑦 2 + 1 = 2𝑦. 𝑥2 =. 𝑥3 + 𝑦 2 = 2 17. 𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 𝑦 2 − 𝑦 = 0. 8.. 9.. 𝑦 − 1 + 2𝑥 − 1. 𝑦 2 = 𝑥 − 1 + 2𝑦 − 1 3 + 𝑥2 + 2 𝑥 = 3 + 𝑦 3 + 𝑦2 + 2 𝑦 = 3 + 𝑥. 18.. 𝑥 + 𝑥 − 2𝑦 − 𝑥 − 3𝑦 = 2. 𝑥 2 + 5𝑥 + 𝑦 = 9 3𝑥 3 + 𝑥 2 𝑦 + 2𝑥𝑦 + 6𝑥 2 = 18. 12

<span class='text_page_counter'>(13)</span>