Các dạng bài toán về đồ thị đạo hàm ôn thi thpt quốc gia
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (6.06 MB, 100 trang )
CHƯƠNG 1: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
CHỦ ĐỀ: CÁC DẠNG TOÁN CỦA
HÀM SỐ f x VÀ f x
GIẢI TÍCH LỚP 12
(218 câu trắc nghiệm trích từ đề thi thử THPTQG 2017-2018 - có giải chi tiết)
MỤC LỤC
CHỦ ĐỀ I: BIẾT ĐỒ THỊ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ ........................................................................ 2
DẠNG I.1: ĐƠN ĐIỆU ..................................................................................................................... 2
DẠNG I.2: CỰC TRỊ .......................................................................................................................21
DẠNG I.3: CỰC TRỊ VÀ ĐỒNG BIẾN............................................................................................36
DẠNG I.4: GTLN – GTNN ..............................................................................................................42
DẠNG I.5: ĐỒ THỊ..........................................................................................................................49
DẠNG I.6: THAM SỐ .....................................................................................................................57
CHỦ ĐỀ II: BIẾT ĐỒ THỊ HÀM SỐ f(x) HOẶC BIẾT HÀM SỐ f(x) HOẶC BIẾT BẢNG BIẾN
THIÊN ...................................................................................................................................................60
DẠNG II.1: TIỆM CẬN ...................................................................................................................60
DẠNG II.2: CỰC TRỊ ......................................................................................................................62
DẠNG II.3: BẢNG BIẾN THIÊN ....................................................................................................68
DẠNG II.4: TƯƠNG GIAO (CHỨA THAM SỐ) ..................................................................................74
DẠNG II.5: ĐỒ THỊ VÀ THAM SỐ M ............................................................................................77
DẠNG II.6: TÌM M ĐỂ CĨ N ĐIỂM CỰC TRỊ ................................................................................85
CHỦ ĐỀ III: BIẾT HÀM SỐ CỦA ĐẠO HÀM ...................................................................................93
DẠNG III.1: ĐƠN ĐIỆU..................................................................................................................93
DẠNG III.2: CỰC TRỊ .....................................................................................................................95
DẠNG III.3: THAM SỐ M ...............................................................................................................97
HẾT ..................................................................................................................................................... 100
CHÚC CÁC EM HỌC TẬP TỐT
Trang 1
CHỦ ĐỀ I: BIẾT ĐỒ THỊ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ
DẠNG I.1: ĐƠN ĐIỆU
Mức 1: đơn điệu
Câu 1.
Cho hàm số f x có đạo hàm f ' x xác định, liên tục trên
và f ' x có
y
đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đồng biến trên 1; .
B. Hàm số đồng biến trên ; 1 và 3; .
O 1
C. Hàm số nghịch biến trên ; 1 .
3
-1
x
D. Hàm số đồng biến trên ; 1 3; .
Lời giải
-4
Chọn B Trên khoảng ; 1 và 3; đồ thị hàm số f ' x nằm phía trên trục hồnh.
Câu 2.
Cho hàm số f x có đạo hàm f x xác định, liên tục trên
và f ' x có
y
đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số f x đồng biến trên ;1 .
B. Hàm số f x đồng biến trên ;1 và 1; .
C. Hàm số f x đồng biến trên 1; .
D. Hàm số f x đồng biến trên
x
O
1
.
Lời giải
Chọn C Trên khoảng 1; đồ thị hàm số f ' x nằm phía trên trục hồnh.
Câu 3.
Cho hàm số y f x liên tục và xác định trên
. Biết f x có đạo hàm f ' x
và hàm số y f ' x có đồ thị như hình vẽ, khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số f x đồng biến trên
B. Hàm số f x nghịch biến trên
.
.
C. Hàm số f x chỉ nghịch biến trên khoảng 0;1 .
D. Hàm số f x đồng biến trên khoảng 0; .
Lời giải
Chọn C Trong khoảng 0;1 đồ thị hàm số y f ' x nằm phía dưới trục
hồnh nên hàm số f x nghịch biến trên khoảng 0;1 .
Câu 4.
Cho hàm số f x xác định trên
và có đồ thị hàm số f ' x là đường cong trong hình bên. Mệnh đề nào
dưới đây đúng?
A. Hàm số f x nghịch biến trên khoảng 1;1 .
B. Hàm số f x đồng biến trên khoảng 1; 2 .
C. Hàm số f x đồng biến trên khoảng 2;1 .
D. Hàm số f x nghịch biến trên khoảng 0; 2 .
Lời giải
Chọn D Cách 1: sử dụng bảng biến thiên. Từ đồ thị của hàm số y f ' x ta có bảng biến thiên như sau:
Trang 2
Cách 2: Quan sát đồ thị hàm số y f ' x
Nếu trong khoảng K đồ thị hàm số f ' x nằm trên trục hồnh (có thể tiếp xúc) thì f x đồng biến trên K .
Nếu trong khoảng K đồ thị hàm số f ' x nằm dưới trục hồnh (có thể tiếp xúc) thì f x nghịch biến trên K .
Nếu trong khoảng K đồ thị hàm số f ' x vừa có phần nằm dưới trục hồnh vừa có phần nằm trên trục
hồnh thì loại phương án đó.
Trên khoảng 0; 2 ta thấy đồ thị hàm số y f ' x nằm bên dưới trục hoành.
Câu 5.
Cho hàm số f x xác định trên
và có đồ thị của hàm số f x như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số y f x đồng biến trên khoảng ; 2 ; 0; .
B. Hàm số y f x nghịch biến trên khoảng 2;0 .
C. Hàm số y f x đồng biến trên khoảng 3; .
D. Hàm số y f x nghịch biến trên khoảng ;0
Lời giải
Chọn C Trên khoảng 3; ta thấy đồ thị hàm số f x nằm trên trục hoành.
Câu 6.
Cho hàm số f x xác định trên
và có đồ thị của hàm số f x như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số y f x đồng biến trên khoảng 4; 2 .
B. Hàm số y f x đồng biến trên khoảng ; 1 .
C. Hàm số y f x đồng biến trên khoảng 0; 2 .
D. Hàm số y f x nghịch biến trên khoảng ; 4 và 2; .
Lời giải
Chọn B Trong khoảng ; 1 đồ thị hàm số f x nằm trên trục hoành nên
hàm số đồng biến ; 1 .
Câu 7.
Cho hàm số f (x ) = ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e (a ¹ 0) . Biết rằng hàm số f (x ) có đạo hàm là f ' (x ) và hàm số
y = f ' (x ) có đồ thị như hình vẽ bên. Khi đó nhận xét nào sau đây là sai?
y
4
x
-2
-1 O
A. Trên (- 2;1) thì hàm số f (x ) luôn tăng.
C. Hàm f (x ) đồng biến trên khoảng (1;+ ¥ ) .
1
B. Hàm f (x ) giảm trên đoạn [- 1;1].
D. Hàm f (x ) nghịch biến trên khoảng (- ¥ ;- 2)
Lời giải
Chọn C Trên khoảng [- 1;1]đồ thị hàm số f ' (x ) nằm phía trên trục hồnh.
Trang 3
Câu 8.
. Biết f x có đạo hàm f ' x
Cho hàm số y f x liên tục và xác định trên
và hàm số y f ' x có đồ thị như hình vẽ, khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số f x đồng biến trên
B. Hàm số f x nghịch biến trên
.
.
C. Hàm số f x chỉ nghịch biến trên khoảng ;0 .
D. Hàm số f x nghịch biến trên khoảng 0; .
Lời giải
Chọn D Trong khoảng 0; đồ thị hàm số y f ' x nằm phía dưới trục hoành nên hàm số f x
nghịch biến trên khoảng 0; .
Câu 9.
Cho hàm số y = f (x) liên tục và xác định trên ¡ . Biết f (x) có
đạo hàm f '(x) và hàm số y = f '(x) có đồ thị như hình vẽ. Xét
trên (- π; π ), khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số f (x) đồng biến trên khoảng (- π; π ).
B. Hàm số f (x) nghịch biến trên khoảng (- π; π ).
ỉ - π÷
ư
ư ỉπ ữ
v ỗ
.
;
ữ
ữ
ỗ
ữ
ỗố
ứ ỗố 2 ứ
2 ữ
D. Hm s f (x) đồng biến trên khoảng (0;π ).
C. Hàm số f (x) nghch bin trờn khong ỗ
ỗ- ;
Li gii
Chn D Trong khong (0;π ) đồ thị hàm số y = f '(x) nằm phía trên trục hồnh nên hàm số f (x) đồng
biến trên khoảng (0;π ).
Câu 10.
Cho hàm số y = f (x ). Đồ thị hàm số y = f ¢(x ) như hình bên. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Hàm số f (x ) đồng biến trên (- 2;1).
B. Hàm số f (x ) đồng biến trên (1;+ ¥ ) .
C. Hàm số f (x ) nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2 .
Lời giải
y
=
f
'
x
( ) ta thấy:
Chọn C Dựa vào đồ thị của hàm số
D. Hàm số f (x ) nghịch biến trên (- ¥ ;- 2).
é- 2 < x < 1
● f ' (x )> 0 khi ờờ
ởx > 1
ắắ
đ f (x ) ng biến trên các khoảng (- 2;1) , (1;+ ¥ ) . Suy ra A đúng, B đúng.
® f (x ) nghịch biến trên khoảng (- ¥ ;- 2) . Suy ra D đúng.
● f ' (x )< 0 khi x < - 2 ¾ ¾
Dùng phương pháp loại trừ, ta chọn C
Mức 2: đơn điệu
Câu 11. Cho hàm số y f x . Hàm số y f '( x) có đồ thị như hình bên. Hàm
số y g x f (2 x) đồng biến trên khoảng
A. 1;3
B. 2;
C. 2;1
D. ; 2
Lời giải
Trang 4
Chọn C Ta có: g x 2 x . f 2 x f 2 x
2 x 1
x 3
.
1 2 x 4 2 x 1
Hàm số đồng biến khi g x 0 f 2 x 0
Câu 12.
Cho hàm số y = f (x ). Đồ thị hàm số y = f ¢(x ) như hình bên dưới
Hàm số g (x ) = f (3 - 2 x ) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
A. (0;2).
D. (- 1; + ¥ ).
C. (- ¥ ;- 1).
Lời giải
B. (1;3).
é- 2 < x < 2
. Ta có g ¢(x ) = - 2 f ¢(3 - 2 x ).
ëx > 5
Chọn C Dựa vào đồ thị, suy ra f ¢(x )> 0 Û êê
é1
5
é- 2 < 3 - 2 x < 2
ê < x<
Û ê2
2.
ê3 - 2 x > 5
ê
ë
êëx < - 1
Xét g ¢(x ) < 0 Û f ¢(3 - 2 x )> 0 Û ê
ỉ1 5 ư
Vậy g (x ) nghịch bin trờn cỏc khong ỗỗỗ ; ữ
ữ
ữ v (- Ơ ;- 1).
è2 2 ø
é
êx =
é3 - 2 x = - 2 ờờ
ờ
ờ
theo do thi f '(x )
ắ ắ ắ đ ê3 - 2 x = 2 Û êx =
Cách 2. Ta có g ¢(x ) = 0 Û f ¢(3 - 2 x ) = 0 ơ ắ
ờ
ờ
ờ3 - 2 x = 5
ê
ë
êx =
ê
êë
5
2
1
. Bảng biến thiên
2
- 1
Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn C
ỉ
1ư
Chú ý: Dấu của g ¢(x ) được xác định như sau: Ví dụ ta chọn x = 0 ẻ ỗỗỗ- 1; ữ
ữ, suy ra 3 - 2 x = 3
ố 2ữ
ứ
theo do thi f ' x )
ắ ắ ắ ắ (ắđ
f Â(3 - 2 x ) = f ¢(3)< 0. Khi đó g ¢(0) = - f ¢(3)> 0.
Nhận thấy các nghiệm của g ¢(x ) là nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu.
Câu 13.
Cho hàm số y = f (x ). Đồ thị hàm số y = f ¢(x ) như hình bên dưới
Hàm số g (x ) = f (1- 2 x ) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
A. (- 1;0).
B. (- ¥ ;0).
C. (0;1).
Lời giải
Trang 5
D. (1; + ¥ ).
éx < - 1
. Ta có g ¢(x ) = - 2 f ¢(1- 2 x ).
ê1 < x < 2
ë
Chọn D Dựa vào đồ thị, suy ra f ¢(x ) < 0 Û ê
é1 - 2 x < - 1
Û
ê1 < 1 - 2 x < 2
ë
Xét g ¢(x )> 0 Û f ¢(1- 2 x ) < 0 Û ê
éx > 1
ê
ê 1
.
ê- < x < 0
êë 2
æ 1 ö
Vậy g (x ) đồng biến trên các khoảng ỗỗỗ- ;0ữữữ v (1; + Ơ ). Chn D
ố 2
ứ
ộ1 ê
ê1 theo do thi f '(x )
Cách 2. Ta có g ¢(x ) = 0 Û - 2 f ¢(1 - 2 x ) = 0 ơ ắ ắ ắ ¾ ® êê
ê1 ê1 êë
éx =
ê
êx =
ê
2x = 1
ê
Û êx =
2x = 2
ê
ê
2 x = 4 (nghiem kep) ê
êx =
êë
2x = - 1
1
0
1.
2
3
2
-
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn D
Chú ý: Dấu của g ¢(x ) được xác định như sau: Vớ d chn x = 2 ẻ (1; + Ơ ), suy ra 1- 2 x = - 3
theo do thi f ' x )
ắ ắ ắ ắ (ắđ
f Â(1- 2 x ) = f ¢(- 3)< 0. Khi đó g ¢(2) = - 2 f ¢(- 3)> 0.
Nhận thấy các nghiệm x = x= -
Câu 14.
1
; x = 0 và x = 1 của g ¢(x ) là các nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu; nghiệm
2
3
là nghiệm kép nên qua nghiệm khơng đổi dấu.
2
ĐỀ CHÍNH THỨC 2018 - 103 Cho hai hàm số y f x , y g x . Hai hàm số y f x và
y g x có đồ thị như hình vẽ bên, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số y g x .
y f x
y
10
8
5
4
O
3
8 1011
x
y g x
3
Hàm số h x f x 4 g 2 x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
2
31
9
31
25
A. 5;
B. ; 3 .
C. ; .
D. 6;
.
.
4
5
4
5
Lời giải
Chọn B Cách 1: Đặt X x 4 , Y 2 x
3
. Ta có h x f X 2 g Y .
2
3
Để hàm số h x f x 4 g 2 x đồng biến thì h x 0
2
Trang 6
3 x 4 8
.
f X 2 g Y với X , Y 3;8
3
3 2x 8
2
1 x 4
1 x 4
9
19
9 9 19
9
9
19 x .Vì ; 3 ; nên chọn B
19
4
4
2x
x
4 4 4
2
4
4
2
Cách 2: Kẻ đường thẳng y 10 cắt đồ thị hàm số y f x tại A a;10 , a 8;10 .
f x 4 10, khi 3 x 4 a
f x 4 10, khi 1 x 4
Khi đó ta có
3
3
3
3
25 .
g 2 x 2 5, khi 0 2 x 2 11 g 2 x 2 5, khi 4 x 4
3
3
Do đó h x f x 4 2 g 2 x 0 khi x 4 .
4
2
3
Cách 3: Kiểu đánh giá khác: Ta có h x f x 4 2 g 2 x .
2
25
9
x 4 7 , f x 4 f 3 10 ;
Dựa vào đồ thị, x ;3 , ta có
4
4
3 9
3
3 2 x , do đó g 2 x f 8 5 .
2 2
2
3
9
Suy ra h x f x 4 2 g 2 x 0, x ;3 . Do đó hàm số đồng biến trên
2
4
Mức 3: đơn điệu
Câu 15.
9
;3 .
4
đồng biến trong khoảng
Cho hàm số y f x . Hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số y f x
y
2
y = f '( x )
O
- 1
1 1
; .
2 2
A.
4
1
x
1
;0 .
2
B. 0; 2 .
C.
D. 2; 1 .
Lời giải
Chọn C Đặt g x f u , u x 2 0 thì g x 2 x. f u nên
x 0
x 0
g x 0
x 1; x 2
f u 0 u 1; u 4
Lập bảng xét dấu của hàm số g x
Lưu ý: cách xét dấu g x
1 x 2 4
x 2
1 u 4
B1: Xét dấu f u : ta có f u 0
2
1 x 2
u 1
x 1 loai
x 1
2 x 2
x 2; 1 1; 2 và ngược lại tức là những khoảng còn lại f u 0 .
x
1
x
1
B2 : xét dấu x (trong trái ngoài cùng).
B3 : lập bảng xét dấu rồi nhân dấu của f u và x ta được như bảng trên
Câu 16.
Cho hàm số y = f (x ). Đồ thị hàm số y = f ¢(x ) như hình bên. Hỏi hàm số g (x ) = f (x 2 ) đồng biến trên
Trang 7
khoảng nào trong các khoảng sau?
B. (- 1; + ¥ ).
A. (- ¥ ;- 1).
C. (- 1;0).
Lời giải
D. (0;1).
Chọn C Ta có g ¢(x ) = 2 xf ¢(x 2 ).
éìï x > 0
éìï x > 0
êï
êïí
êíï f ¢ x 2 > 0
êï - 1 < x 2 < 0 Ú x 2 > 1
éx > 1
êïỵ ( )
theo do thi f '(x )
ờù
ờ
.
ơắắắắ
đ ờợ
Hm s g (x ) đồng biến Û g ¢(x )> 0 Û ê
ê- 1 < x < 0
êìï x < 0
êïìï x < 0
ë
êï
êí 2
ờớù Â 2
ờùùợ x < - 1 0 < x 2 < 1
êëïỵ f (x ) < 0
ë
éx = 0
ê
êx 2 = - 1 éx = 0
éx = 0
theo do thi f '(x )
ờ
ờ
Â
g
x
=
0
ơ
ắ
ắ
ắ
ắ
đ
ờ
.
Cỏch 2. Ta cú ( )
ê2
êf ¢ x 2 = 0
êx = ± 1
êx = 0
êë ( )
ë
ê2
êëx = 1
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn C
Chú ý: Dấu của g ¢(x ) được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng (1;+ ¥ )
x ẻ (1; + Ơ ) đ x > 0. (1)
theo do thi f ' x )
2
f ¢(x 2 )> 0. (2)
x ẻ (1; + Ơ ) đ x > 1 . Với x 2 > 1 ¾ ¾ ắ ắ (ắđ
T (1) v (2), suy ra g Â(x ) = 2 xf (x 2 )> 0 trên khoảng (1;+ Ơ ) nờn g Â(x ) mang du + .
Nhận thấy các nghiệm của g ¢(x ) là nghiệm bội lẻ nên qua nghiệm đổi dấu.
Câu 17.
Cho hàm số y f x . Hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ.
Hàm số y f x 2 có bao nhiêu khoảng nghịch biến.
B. 3 .
A. 5 .
C. 4 .
Lời giải
D. 2 .
2
2
Chọn B Ta có y f x 2 x. f x
x 0
x 0
2
f x 0 theo dt f '( x ) x 2 1 1 x 2 4 1 x 2
Hàm số nghịch biến y 0
x0
x 2 1 x 0
x 0
2
1 x 2 1 x 2 4
f x 0
Trang 8
Vậy hàm số y f x 2 có 3 khoảng nghịch biến.
éx = 0
theo do thi f '(x )
ơắắắắ
đ
Cỏch 2. Ta cú g Â(x ) = 0 êê
2
¢
f
x
=
0
(
)
êë
éx = 0
ê
êx 2 = - 1
ê
Û
ê2
êx = 1
ê2
êëx = 4
éx = 0
ê
êx = ± 1.
ê
êx = ± 2
ë
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn B
Chú ý: Dấu của g ¢(x ) được xác định như sau: Ví dụ xét trên khong (2;+ Ơ )
x ẻ (2; + Ơ ) ® x > 0.
(1)
theo do thi f ' x )
f Â(x 2 )> 0.
x ẻ (2; + Ơ ) ® x 2 > 4 . Với x 2 > 4 ắ ắ ắ ắ (ắđ
(2)
T (1) v (2), suy ra g ¢(x ) = 2 xf (x 2 )> 0 trờn khong (2;+ Ơ ) nờn g Â(x ) mang dấu + .
Nhận thấy các nghiệm của g ¢(x ) là nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu.
Câu 18.
Cho hàm số y f x ax 4 bx3 cx2 dx e , đồ thị hình bên là đồ thị của hàm số y f x . Xét
2
hàm số g x f x 2 . Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. Hàm số g x nghịch biến trên khoảng ; 2 .
B. Hàm số g x đồng biến trên khoảng 2; .
C. Hàm số g x nghịch biến trên khoảng 1;0 .
D. Hàm số g x nghịch biến trên khoảng 0; 2 .
Lời giải
x 0
x 0
x 0
2
2
x 2 1 x 1
Chọn C Ta có: g '( x) 2 x. f ' x 2 ; g ' x 0
2
f ' x 2 0 2
x 2
x 2 2
2
2
Từ đồ thị của y f ( x) suy ra f ( x 2) 0 x 2 2 x ; 2 2; và ngược lại.
Câu 19.
Cho hàm số y = f (x ). Đồ thị hàm số y = f ¢(x ) như hình bên dưới
Trang 9
Hỏi hàm số g (x ) = f (x 2 - 5) có bao nhiêu khoảng nghịch biến?
A. 2.
B. 3.
C. 4.
Lời giải
D. 5.
éx = 0
ê
êx 2 - 5 = - 4
ộx = 0
theo
do
thi
f
'
x
(
)
ờ
2
ờ
Â
Â
Â
g
x
=
0
ơ
ắ
ắ
ắ
ắ
đ
Chn C Ta cú g (x ) = 2 xf (x - 5); ( )
ê2
êf ¢ x 2 - 5 = 0
)
êx - 5 = - 1
êë (
ê2
êëx - 5 = 2
éx =
ê
êx =
ê
êx =
ê
ê
êëx =
0
±1
±2
.
± 7
Bảng biến thiên
Câu 20.
Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn C
Cho hàm số y = f (x ). Đồ thị hàm số y = f ¢(x ) như hình bên. Hỏi hàm số g (x ) = f (1- x 2 ) nghịch biến
trên khoảng nào trong các khoảng sau?
A. (1;2) .
B. (0;+ ¥ ) .
C. (- 2;- 1) .
Lời giải
D. (- 1;1) .
éìï - 2 x > 0
êï
êíï f ¢ 1 - x 2 < 0
)
êï (
2
.
Chọn B Ta có g ¢(x ) = - 2 xf ¢(1- x ). Hàm số g (x ) nghịch biến Û g ¢(x ) < 0 Û ờờợ
ỡ
ờùù - 2 x < 0
ờớù Â
2
ờởùợ f (1 - x )> 0
ìï - 2 x > 0
ìï x < 0
Trường hợp 1: ïí
Û ïí
.
2
ïï f ¢(1 - x ) < 0 ïỵï 1 < 1 - x 2 < 2 : vo nghiem
ỵ
ìï - 2 x < 0
ìï x > 0
Trường hợp 2: ïí
Û ïí
Û x > 0. Chn B
2
ùù f Â(1 - x )> 0 ùùợ 1 - x 2 < 1 Ú1 - x 2 > 2
ợ
ộx = 0
ộx = 0
ờ
theo
do
thi
f
'
x
(
)
ơ ắ ắ ắ ắ ® êê1 - x 2 = 1 Û x = 0. Bảng biến thiên
Cách 2. Ta có g ¢(x ) = 0 Û êê
2
êëf ¢(1 - x ) = 0
ê
2
êë1 - x = 2
Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn B
Chú ý: Dấu của g ¢(x ) được xác định như sau: Ví d chn x = 1 ẻ (0; + Ơ ).
đ - 2 x < 0. (1)
x = 1¾ ¾
theo do thi f ' x )
đ f Â(1- x 2 )= f Â(0) ắ ắ ắ ắ (ắđ
f Â(0)= 2 > 0. (2)
x = 1 ® 1- x 2 = 0 ¾ ¾
Từ (1) và (2), suy ra g ¢(1)< 0 trên khoảng (0; + ¥ ).
Nhận thấy nghiệm của g ¢(x ) = 0 là nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu.
Câu 21.
Cho hàm số y f x . Biết rằng hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới.
Trang 10
2
Hàm số y f 3 x đồng biến trên khoảng
B. 1;0 .
A. 0;1 .
D. 2; 1 .
C. 2;3 .
Lời giải
x 0
Chọn B Cách 1: Ta có: f 3 x 2 0 f 3 x 2 . 2 x 0
f 3 x
2
0
.
3 x 2 6
x 3
2
2
Từ đồ thị hàm số suy ra f 3 x 0 3 x 1 x 2 .
3 x 2 2
x 1
Bảng biến thiên
2
Lập bảng xét dấu của hàm số y f 3 x ta được hàm số đồng biến trên 1;0 .
éìï x > 0
êï
êíï f ¢ 3 - x 2 < 0
)
êï (
2
Cách 2: Lời giải. Ta có g ¢(x ) = - 2 xf ¢(3 - x ). Hàm số g (x ) đồng biến Û g Â(x )> 0 ờợ
ờỡù x < 0
ờù
ờớù Â
2
ờởùợ f (3 - x )> 0
éìï x > 0
éìï x > 0
êïï
êïï
êï é3 - x 2 < - 6
êï éx 2 > 9
íê ê
éx > 3
êíï ê
ïêï
ê
êï ê
2
ê
ïï êë- 1 < 3 - x < 2
ïï êë4 > x 2 > 1
ê2 > x > 1
ê
ê
theo do thi f '(x )
ợ
ợ
ơ ắ ắ ắ ắđ ờ
ờ
ờờ
.
ờỡù x < 0
êìï x < 0
ê- 3 < x < - 2
êï
êï
ê- 1 < x < 0
êïï é
êïï é
2
2
êë
êí ê- 6 < 3 - x < - 1
êí ê4 < x < 9
êïï ê
êïï ê 2
2
êïï êë3 - x > 2
êïï êëx < 1
ëỵ
ëỵ
Câu 22.
Cho hàmsố y f ( x) có đạo hàm trên
. Đường cong trong hình vẽ dưới là đồ thị của hàm số y f '( x)
. Xét hàm số g ( x) f (3 x ) .
2
y
-1
Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. Hàm số g ( x) đồng biến trên (;1) .
O
3
x
B. Hàm số g ( x) đồng biến trên (0;3) .
C. Hàm số g ( x) nghịch biến trên (1; ) .
D. Hàm số g ( x) nghịch biến trên (; 2) và (0;2) .
Lời giải
3 x 2 1
x 2
2
3 x 3 (nghiem kep) x 0 (nghiem kep)
2
2
Chọn D Ta có g ' x 2 xf ' 3 x ; f ' 3 x 0
Ta có bảng xét dấu:
Trang 11
x
x
Câu 23.
∞
0
2
+
+
f(3-x2)
0
+
g'(x)
0
+
+ ∞
2
0
+
0
0
0
+
Hàm số g ( x) nghịch biến trên (; 2) và (0;2) .
Cho hàm số y = f (x ). Đồ thị hàm số y = f ¢(x ) như hình bên dưới
Hàm số g (x ) = f (x 3 ) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
A. (- ¥ ;- 1).
C. (1; + ¥ ).
Lời giải
B. (- 1;1).
éx 2
ê
êx 3
éx 2 = 0
theo do thi f '(x )
2
3
ê
ê
Chọn C Ta có g ¢(x ) = 3x f ¢(x ); g ¢(x ) = 0 ờ
ơ
ắ
ắ
ắ
ắ
đ
ờ3
3
Â
f
x
=
0
ờx
ờở ( )
ờ3
ờx
ở
D. (0;1).
= 0
ộx = 0
ờ
.
= - 1 êëx = ± 1
=1
= 0
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn C
Câu 24.
Cho hàm số y f ( x). Hàm số y f '( x) có đồ thị như hình bên. Hàm số y f ( x x ) nghịch biến trên khoảng?
2
1
2
A. ; .
3
2
B. ; .
3
2
C. ; .
1
2
D. ; .
Lời giải
éìï 1 - 2 x < 0
êï
êíï f ¢ x - x 2 > 0
)
êïỵ (
2
.
Chọn D Ta có g ' (x ) = (1- 2 x ) f ¢(x - x ). ; Hàm số g (x ) nghịch biến Û g ¢(x ) < 0 Û ờờỡ 1 - 2 x > 0
ờùù
ờớù Â
2
ờởùợ f (x - x ) < 0
ìï
ìï 1 - 2 x < 0
ïx> 1
1
ï
ï
Û í
Û x> .
Trường hợp 1: í
2
2
ïï f ¢(x - x )> 0 ïï
2
2
2
ỵ
ïïỵ x - x < 1 Ú x - x > 2
ìï
ìï 1 - 2 x > 0
ïx< 1
ï
ï
Û
.
Trường hợp 2: í
2
í
ïï f ¢(x - x 2 ) < 0 ïï
2
ỵ
ïïỵ 1 < x - x < 2 : vo nghiem
Kết hợp hai trường hợp ta được x >
1
. Chọn D
2
Trang 12
é
1
êx =
ê
2
é1 - 2 x = 0
ê
1
theo do thi f '(x )
ờ
ơ ắ ắ ắ ắ đ ờx - x 2 = 1: vo nghiem Û x = . Bảng biến thiên
Cách 2. Ta có g ¢(x ) = 0 Û ê
2
ê
2
êëf ¢(x - x ) = 0
êx - x 2 = 2 : vo nghiem
ê
êë
ỉ
è
Cách 3. Vì x - x 2 = - ỗỗỗx -
2
ử 1 1 theo do thi f '(x )
1ữ
+ Ê ắ ắ ắ ắ ắđ f Â(x - x 2 )> 0.
ữ
ữ
2ứ 4 4
Suy ra dấu của g ' (x ) phụ thuộc vào dấu của 1- 2 x. Yêu cầu bài toán cần g ' (x ) < 0 ắ ắđ 1- 2 x < 0 Û x >
Câu 25.
1
.
2
Cho hàm số y f ( x). Hàm số y f ( x) có đồ thị như hình bên. Hàm số y f (1 2 x x ) đồng biến
trên khoảng dưới đây?
2
B. 1; .
A. ;1 .
C. 0;1 .
D. 1; 2 .
Lời giải
Chọn D
x 1
x 1
2
2
Ta có: y ' 2 2 x f (1 2 x x ) . Nhận xét: y ' 0 1 2 x x 1 x 0
1 2 x x 2 2
x 2
Bảng biến thiên
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (1;2) .
Câu 26.
Cho hàm số y f ( x) có đạo hàm f ( x) trên
và đồ thị của hàm số f ( x) như hình vẽ. Hàm số
g x f ( x 2 x 1) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
2
A. ;1 .
C. 0; 2 .
B. 1; .
D. 1;0 .
Lời giải
Chọn D
x 1
x 0
2
2
Ta có: g ' x (2 x 2) f '( x 2 x 1) . Nhận xét: g ' x 0 x 2 x 1 1 x 1
x2 2 x 1 2
x 2; x 3
Trang 13
Ta có bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng 1;0 .
Mức 4: đơn điệu
Câu 27. Cho hàm số y f x có đạo hàm là hàm số f x trên
. Biết rằng hàm số y f x 2 2 có đồ
thị như hình vẽ bên dưới. Hàm số f x nghịch biến trên khoảng nào?
y
2
-2
x
2
O
3
1
-1
A. ; 2 .
3 5
2 2
B. 1;1 .
D. 2; .
C. ; .
Lời giải
Chọn B Cách 1: Dựa vào đồ thị C ta có: f x 2 2 2, x 1;3 f x 2 0, x 1;3 .
Đặt x* x 2 thì f x * 0, x* 1;1 .
Vậy: Hàm số f x nghịch biến trên khoảng 1;1 .
Phân tích: Cho biết đồ thị của hàm số f x sau khi đã tịnh tiến và dựa vào đó để xét sự đồng biến của hàm
số f x .
Cách khác. Từ đồ thị hàm số f ' (x - 2)+ 2 tịnh tiến xuống dưới 2 đơn vị, ta được đồ thị hàm số f ' (x - 2)
(tham khảo hình vẽ bên dưới).
y
-2
x
2
O
1
3
-3
Tiếp tục tịnh tiến đồ thị hàm số f ' (x - 2) sang trái 2 đơn vị, ta được đồ thị hàm số f ' (x ) (tham khảo hình
vẽ bên dưới).
y
1
-1
O
x
3
-3
Từ đồ thị hàm số f ' (x ) , ta thấy f ' (x )< 0 khi x Ỵ (- 1;1).
Câu 28.
Cho hàm số y f x có đạo hàm là hàm số f x trên
. Biết rằng hàm số y f x 2 2 có đồ
thị như hình vẽ bên dưới. Hàm số f x nghịch biến trên khoảng nào?
Trang 14
A. 3; 1 , 1;3 .
C. ; 2 , 0; 2 .
B. 1;1 , 3;5 .
D. 5; 3 , 1;1 .
Lời giải
Chọn B Dựa vào đồ thị C ta có:
f x 2 2 2, x 3; 1
Đặt x* x 2 suy ra:
Câu 29.
1;3 f x 2 0, x 3; 1 1;3 .
f x * 0, x* 1;1 3;5 .Vậy: hàm số f x đồng biến trên khoảng 1;1 , 3;5 .
Cho hàm số y = f (x ) có đạo hàm liên tục trên ¡ . Đồ thị hàm số y = f ¢(x ) như hình bên dưới
Đặt g (x ) = f (x )- x , khẳng định nào sau đây là đúng?
A. g (2)< g (- 1)< g (1).
B. g (- 1)< g (1)< g (2). C. g (- 1)> g (1)> g (2).
Li gii
đ g Â(x ) = 0 Û f ¢(x )= 1.
Chọn C Ta có g ¢(x ) = f Â(x )- 1 ắ ắ
D. g (1)< g (- 1)< g (2).
Số nghiệm của phương trình g ¢(x ) = 0 chính là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ¢(x ) và đường thẳng
d : y = 1 (như hình vẽ bên dưới).
éx = - 1
ê
Dựa vào đồ thị, suy ra g ¢(x ) = 0 Û êêx = 1 .
êx = 2
ë
Bảng biến thiên
® g (2)< g (- 1)< g (1). Chọn C
Dựa vào bảng biến thiên ¾ ¾
Chú ý: Dấu của g ¢(x ) được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng (2; + ¥ ), ta thấy đồ thị hàm số nằm
phía trên đường thẳng y = 1 nên g ¢(x ) = f ¢(x )- 1 mang dấu + .
Câu 30.
Cho hàm số y f ( x) có đạo hàm liên tục trên
hình vẽ dưới đây. Hàm số y f 1
. Bảng biến thiên của hàm số y f ( x) được cho như
x
x nghịch biến trên khoảng
2
Trang 15
A. (2; 4).
C. (2;0).
Lời giải
B. (0; 2).
D. (4; 2).
1 x
x
f 1 x f 1 1 .
2 2
2
1 x
x
Để hàm số nghịch biến thì y 0 f 1 1 0 f 1 2 .
2 2
2
Chọn D Hàm số y f 1
x
x có y
2
Khi đó, dựa vào bảng biến thiên ta có 2 1
Câu 31.
x
3 4 x 2.
2
Cho hàm số y = f (x ) có đạo hàm liên tục trên ¡ . Đồ thị hàm số y = f ¢(x ) như hình bên dưới
2
Hàm số g (x ) = 2 f (x )- x đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?
C. (2;4).
Lời giải
® g ¢(x ) = 0 Û f ¢(x )= x.
Chọn B Ta có g ¢(x ) = 2 f ¢(x )- 2 x ắ ắ
B. (- 2;2 ).
A. (- Ơ ;- 2).
D. (2; + ¥ ).
Số nghiệm của phương trình g ¢(x ) = 0 chính là số giao điểm của đồ thị hàm số
y = f ¢(x ) và đường thẳng d : y = x (như hình vẽ bên dưới).
éx = - 2
ê
Dựa vào đồ thị, suy ra g ¢(x ) = 0 Û êêx = 2 .
êx = 4
ë
Lập bảng biến thiên (hoặc ta thấy với x Ỵ (- 2;2) thì đồ thị hàm số f ¢(x ) nằm
® hàm số g (x ) đồng biến trên (- 2;2). Chọn B
phía trên đường thẳng y = x nên g Â(x )> 0 ) ắ ắ
Cõu 32.
Cho hm s y = f (x ) có đạo hàm liên tục trên ¡ . Đồ thị hàm số y = f ¢(x ) như hình bên. Hỏi hàm số
2
g (x ) = 2 f (x )+ (x + 1) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
Trang 16
A. (- 3;1).
C. (- Ơ ;3).
Li gii
đ g Â(x )= 0 Û f ¢(x )= - x - 1.
Chọn B Ta có g ¢(x ) = 2 f ¢(x )+ 2 (x + 1) ắ ắ
B. (1;3).
D. (3; + Ơ ).
Số nghiệm của phương trình g ¢(x ) = 0 chính là số giao điểm của đồ thị hàm số
y = f ¢(x ) và đường thẳng d : y = - x - 1 (như hình vẽ bên dưới).
éx = - 3
ê
¢
Dựa vào đồ thị, suy ra g (x ) = 0 Û êêx = 1 .
êx = 3
ë
éx < - 3
(vì phần đồ thị của f ' (x ) nằm phía
ê1 < x < 3
ë
u cầu bài tốn Û g ¢(x )> 0 Û ê
trên đường thẳng y = - x - 1 ). Đối chiếu các đáp án ta thấy đáp án B thỏa mãn. Chọn B
Câu 33.
Cho hàm số y f x có đạo hàm trên
và đồ thị hình bên dưới là đồ thị của đạo hàm f ' x . Hàm số
g x 2 f 2 x x 2 nghịch biến trên khoảng
A. 3; 2 .
B. 2; 1 .
D. 0; 2 .
C. 1;0 .
Lời giải
Chọn C Ta có : g x 2 f 2 x 2x g x 0 f 2 x x f 2 x 2 x 2
(thêm bớt)
Từ đồ thị hàm số f ' x ta có : f ' x x 2 2 x 3 (vì phần đồ thị
f ' x nằm phía dưới đường thẳng y x 2 , chỉ xét khoảng 2;3 cịn
các khoảng khác khơng xét dựa vào đáp án).
g x
Hàm
số
nghịch
biến
g x 0 f 2 x 2 x 2 2 2 x 3 1 x 0
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng 1;0 .
Lưu ý : Dựa vào đồ thị ta thấy đường thẳng y x 2 cắt đồt thị f x tại 2 điểm có hoành độ nguyên liên
tiếp là
1 x1 2
x 3
2
và cũng từ đồ thị ta thấy
f x x 2 trên miền 2 x 3 nên
f 2 x 2 x 2 trên miền 2 2 x 3 1 x 0 .
Câu 34.
Cho hàm số y f x có đồ thị hàm số y f x như hình vẽ
Trang 17
Hàm số y f 1 x
3
2
x2
x nghịch biến trên khoảng
2
B. 2;0 .
A. 1; .
C. 3;1 .
D. 1;3 .
Lời giải
Chọn D Ta có g ¢(x ) = - f ¢(1- x )+ x - 1.
Để g ¢(x )< 0 Û f ¢(1- x )> x - 1. Đặt t = 1- x , bất phương trình trở thành f ¢(t )> - t.
Kẻ đường thẳng y = - x cắt đồ thị hàm số f ' (x ) lần lượt tại ba điểm x = - 3; x = - 1; x = 3.
Quan sát đồ thị ta thấy bất phương trình
ét < - 3
f Â(t )> - t ờ
ị
ờ1 < t < 3
ë
é1- x < - 3
ê
Û
ê1 < 1- x < 3
ë
éx > 4
ê
.
ê- 2 < x < 0
ë
Đối chiếu đáp án ta chọn B
Cách khác: - Từ đồ thị hàm số y f x , có f x x 0
3 x 1
f x x
2 x
-
Xét
hàm
số
x2
y f 1 x x ,
2
có
y f 1 x x 1
f 1 x 1 x f 1 x 1 x .
3 1 x 1
0 x 4
x 1
3 1 x 1
0 x 4
Hay f 1 x 1 x 0
.
2 1 x
x 1
x2
Suy ra hàm số y f 1 x
x nghịch biến trên các khoảng ; 1 và 0;4 .
2
x2
Suy ra hàm số y f 1 x
x cũng sẽ nghịch biến trên khoảng 1;3 0;4 .
2
Cho hàm số y f x có đạo hàm trên
thoả f 2 f 2 0 và đồ thị của hàm số y f ' x có
Như vậy f 1 x 1 x 0
2 1 x
Câu 35.
dạng như hình bên. Hàm số y f x
3
A. 1; .
2
2
nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?
C. 2; 1 .
B. 1;1 .
D. 1; 2 .
Lời giải
Chọn D Ta có f ' x 0 x 1; x 2 ; f 2 f 2 0 . Ta có bảng biến thiên :
f x 0; x 2.
f x 0
x 2
x 1; x 2
f ' x 0
Xét y f x y ' 2 f x . f ' x ; y ' 0
2
Bảng xét dấu :
Trang 18
ìï f ¢(x )> 0
éx < - 2
Hoặc Ta có g ¢(x ) = 2 f ¢(x ). f (x ). Xét g ¢(x ) < 0 Û f ¢(x ). f (x )< 0 Û ïí
Û ê
.
ê1 < x < 2
ïï f (x ) < 0
ë
ỵ
Suy ra hàm số g (x ) nghịch biến trên các khoảng (- ¥ ;- 2), (1;2).
Câu 36.
Cho hàm số y = f (x ). Đồ thị hàm số y = f ¢(x ) như hình bên dưới và f (- 2) = f (2) = 0.
2
Hàm số g (x ) = éëf (3 - x )ùû nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
A. (- 2;- 1).
B. (1;2).
C. (2;5).
D. (5; + ¥ ).
Lời giải
¢
Chọn C Dựa vào đồ thị hàm số y = f (x ), suy ra bảng biến thiên của hàm số f (x ) như sau
Từ bảng biến thiên suy ra f (x )£ 0, " x Ỵ ¡ .
Ta có g ¢(x ) = - 2 f ¢(3 - x ). f (3 - x ).
ìï f ¢(3 - x ) < 0 é- 2 < 3 - x < 1 ïì 2 < x < 5
Xét g ¢(x )< 0 Û f ¢(3 - x ). f (3 - x )> 0 Û ïí
Û ê
Û ïí
.
ïï f (3 - x ) < 0
ỵ
ê3 - x > 2
ë
ỵïï x < 1
Suy ra hàm số g (x ) nghịch biến trên các khoảng (- ¥ ;1), (2;5).
Câu 37.
Cho hàm số y = f (x ). Đồ thị hàm số y = f ¢(x ) như hình bên dưới
Hàm số g (x ) = f ( 3 - x ) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
A. (- ¥ ;- 1).
B. (- 1;2).
C. (2;3).
Lời giải
D. (4;7).
éx < - 1
ê
.
ê1 < x < 4
ë
é- 1 < x - 3 < 1
Û
Với x > 3 khi đó g (x ) = f (x - 3) ắ ắđ g Â(x ) = f ¢(x - 3)> 0 Û êê
ëx - 3 > 4
é- 1 < x < 1
và f ¢(x ) < 0 Û
ëx > 4
Chọn B Dựa vào đồ th, suy ra f Â(x )> 0 ờờ
ắắ
đ hm số g (x ) đồng biến trên các khoảng (3;4 ), (7; + Ơ ).
đ g Â(x )= - f ¢(3 - x )> 0 Û f ¢(3 - x )< 0
Với x < 3 khi đó g (x ) = f (3 - x ) ¾ ¾
Trang 19
é2 < x < 4
ê
êx > 7
ë
é3 - x < - 1
Û ê
Û
ê1 < 3 - x < 4
ở
Cõu 38.
ộx > 4 (loaùi)
ờ
ắắ
đ hm s g (x ) đồng biến trên khoảng (- 1;2).
ê- 1 < x < 2
ë
Cho hàm số y = f (x ). Đồ thị hàm số y = f ¢(x ) như hình bên dưới
Hàm số g (x ) = f
(
)
x 2 + 2 x + 2 nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
B. (- ¥ ;1).
A. (- ¥ ; - 1 - 2 2 ).
D. (2 2 - 1; + ¥ ).
C. (1;2 2 - 1).
Lời giải
éx = - 1
ê
Chọn A Dựa vào đồ thị, suy ra f ¢(x ) = 0 Û êêx = 1 . Ta có g ¢(x ) =
êx = 3
ë
éx + 1 = 0
éx + 1 = 0
ê
ê
ê 2
theo do thi f '(x )
g Â(x ) = 0 ờ
ơ
ắ
ắ
ắ
ắ
đ
ờ x + 2x + 2 = 1 Û
2
êf ¢ x + 2 x + 2 = 0
ê
ë
ê x 2 + 2x + 2 = 3
ë
(
)
x+1
2
x + 2x + 2
(
)
f ¢ x 2 + 2x + 2 ;
éx = - 1 (nghiem boi ba)
ê
ê
.
êx = - 1- 2 2
ê
êx = - 1 + 2 2
êë
Lập bảng biến thiên và ta chọn A
Chú ý: Cách xét dấu g ¢(x ) như sau: Ví dụ xét trên khoảng (- 1;- 1 + 2 2 ) ta chọn x = 0. Khi đó
g ¢(0) =
1
2
f ¢ 2 < 0 vì dựa vào đồ thị f ¢(x ) ta thy ti x =
( )
2 ẻ (1;3) thỡ f Â( 2 ) < 0. Các nghiệm của
phương trình g ¢(x ) = 0 là nghiệm bội lẻ nên qua nghiệm đổi dấu.
Câu 39.
Cho hàm số y = f (x ). Đồ thị hàm số y = f ¢(x ) như hình bên dưới
Hàm số g (x ) = f
(
x 2 + 2x + 3 -
)
x 2 + 2 x + 2 ng bin trờn khong no sau õy?
ổ1
C. ỗỗỗ ; + Ơ
ổ
1ử
B. ỗỗỗ- Ơ ; ữữữ.
A. (- Ơ ; - 1).
ố
2ứ
ử
ữ
.
ữ
ữ
ứ
ố2
D. (- 1; + Ơ ).
Li gii
ổ
1
Chn A Ta cú g Â(x ) = (x + 1)ỗỗỗ
ỗố x 2 + 2 x + 3
1
2
x + 2x + 3
-
1
2
x + 2x + 2
ử
ữ
ữ
f  x 2 + 2x + 3 ữ
ữ
2
ữ
x + 2x + 2 ø
1
(
)
x 2 + 2x + 2 .
< 0 với mọi x Ỵ ¡ . (1)
0 < u = x 2 + 2x + 3 - x 2 + 2x + 2 =
1
2
2
(x + 1) + 2 + (x + 1) + 1
£
1
2+1
theo do thi f '(x )
< 1 ắ ắ ắ ắ ắđ f Â(u)> 0, " x Ỵ ¡ . (2)
Từ (1) và (2), suy ra dấu của g ¢(x ) phụ thuộc vào dấu của nhị thức x + 1 (ngược dấu)
Bảng biến thiên
Trang 20
Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn A
DẠNG I.2: CỰC TRỊ
Mức 1: Cực trị
Câu 40. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên ¡ và hàm số y = f ¢(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh
đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số y f x đạt cực đại tại điểm x 1.
B. Hàm số y f x đạt cực tiểu tại điểm x 1.
C. Hàm số y f x đạt cực tiểu tại điểm x 2.
D. Hàm số y f x đạt cực đại tại điểm x 2 .
y
f' x
4
2
x
-2
-1 O
-1
-2
Lời giải
Chọn C Giá trị của hàm số y f x đổi dấu từ âm sang dương khi qua x 2 .
Câu 41.
Cho hàm số y f x xác định trên
và có đồ thị hàm số y f ' x là đường cong trong hình bên.
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số y f x đạt cực đại tại x 2 .
B. Hàm số y f x đạt cực tiểu tại x 0 .
C. Hàm số y f x có 3 cực trị.
D. Hàm số y f x đạt cực đại tại x 2 .
Lời giải
Chọn A Giá trị của hàm số y f ' x đổi dấu từ dương sang âm khi qua x = 2 .
Câu 42.
Cho hàm số f x xác định trên
và có đồ thị của hàm số f x
như hình vẽ bên. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. f x đạt cực tiểu tại x 0.
B. f x đạt cực tiểu tại x 2.
C. f x đạt cực đại tại x 2.
D. Giá trị cực tiểu của f x nhỏ hơn giá trị cực đại của f x .
Lời giải
Chọn B Giá trị hàm số y f ' x đổi dấu từ dương sang âm khi qua x 2 .
Nói thêm: theo bảng biến thiên sau suy ra phương án D là Đúng.
Trang 21
Câu 43.
Hàm số y f x liên tục trên khoảng K , biết đồ thị của hàm số y f ' x
y
trên K như hình vẽ bên. Tìm số cực trị của hàm số y f x trên K .
A. 1.
C. 3.
B. 2.
D. 4.
1
Lời giải
Chọn B Đối với dạng này ta chỉ cần tìm xem đồ thị y f ' x cắt trục Ox
tại mấy điểm mà thôi, không kể các điểm mà đồ thị y f ' x tiếp xúc với trục Ox (vì đạo hàm ko đổi
Câu 44.
dấu).
Hàm số f x có đạo hàm f ' x trên khoảng K . Hình vẽ bên là đồ thị
của hàm số f ' x trên khoảng K . Hỏi hàm số f x có bao nhiêu điểm
cực trị?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 4.
Lời giải
Chọn B Đồ thị hàm số f x cắt trục hoành tại điểm x = - 1.
Câu 45.
Cho hàm số y f x xác định trên
và có đồ thị hàm số y f ' x là
đường cong trong hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số y f x đạt cực tiểu tại x 2 và x 0 .
B. Hàm số y f x có 4 cực trị.
C. Hàm số y f x đạt cực tiểu tại x 1 .
D. Hàm số y f x đạt cực đại tại x 1 .
Lời giải
Chọn C Giá trị của hàm số y f ' x đổi dấu từ âm sang dương khi qua x = - 1.
Câu 46.
Cho hàm số y f ( x) xác định và liên tục trên
. Biết đồ thị của hàm số f ( x)
như hình vẽ. Tìm điểm cực tiểu của hàm số y f ( x) trên đoạn [0;3] ?
B. x 1 và x 3.
D. x 0.
Lời giải
Chọn C Đồ thị hàm số f x cắt trục hoành tại 3 điểm, ta thấy f x đổi dấu từ
A. x 0 và x 2.
C. x 2.
Câu 47.
âm sang dương khi qua x = 2 .
Đường cong trong hình vẽ bên dưới là đồ thị hàm số y = f ¢(x ). Số điểm cực trị của hàm số y = f (x ) là
A. 2.
B. 3.
C. 4.
Lời giải
Trang 22
D. 5.
x
Chọn A Ta thấy đồ thị hàm số f ¢(x ) có 4 điểm chung với trục hồnh x1 ; 0; x 2 ; x3 nhưng chỉ cắt thực sự
tại hai điểm là 0 và x 3 . . Bảng biến thiên
Vậy hàm số y = f (x ) có 2 điểm cực trị. Chọn A
Câu 48.
Cách trắc nghiệm. Ta thấy đồ thị của f ' (x ) có 4 điểm chung với trục hoành nhưng cắt và băng qua ln
trục hồnh chỉ có 2 điểm nên có hai cực trị.
Cắt và băng qua trục hoành từ trên xuống thì đó là điểm cực đại.
Cắt và băng qua trục hồnh từ dưới lên thì đó là điểm cực tiểu.
Cho hàm số f x có đồ thị f x của nó trên khoảng K như hình vẽ. Khi đó trên K , hàm số y f x
có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 1.
C. 3.
Lời giải
Chọn A Đồ thị hàm số f x cắt trục hoành tại 1 điểm.
Câu 49.
B. 4.
D. 2.
Cho hàm số y f x . Hàm số y f x có đồ thị trên một khoảng K như hình vẽ bên.
Trong các khẳng định sau, có tất cả bao nhiêu khẳng định đúng ?
I . Trên K , hàm số y f x có hai điểm cực trị.
II . Hàm số y f x đạt cực đại tại x3 .
III . Hàm số
A. 3 .
y f x đạt cực tiểu tại x1 .
B. 0 .
C. 1 .
Lời giải
D. 2 .
Chọn D Dựa vào đồ thị của hàm số y f x , ta có bảng xét dấu:
Như vậy: trên K , hàm số y f x có điểm cực tiểu là x1 và điểm cực đại là x2 , x3 không phải là điểm
cực trị của hàm số.
Câu 50.
Cho hàm số y f x . Hàm số y f x có đồ thị trên một khoảng K như hình vẽ bên.
y
y = f'(x)
O
x1
x
x2
Trang 23
x3
Trong các khẳng định sau, có tất cả bao nhiêu khẳng định đúng ?
I . Trên K , hàm số y f x có ba điểm cực trị.
III . Hàm số y f x đạt cực tiểu tại x2 .
A. 3 .
II . Hàm số
y f x đạt cực tiểu tại x3 .
C. 1 .
Lời giải
B. 0 .
D. 2 .
Chọn C Dựa vào đồ thị của hàm số y f x , ta có bảng xét dấu:
Như vậy: trên K , hàm số y f x có điểm cực đại là x1 và điểm cực tiểu là x2 , x3 không phải là điểm
cực trị của hàm số.
Câu 51.
Cho hàm số y f x . Hàm số y f x có đồ thị trên một khoảng K như hình vẽ bên.
y
x1
y = f'(x)
O
x2 x3
Chọn khẳng định đúng ?
x4
x
A. Hàm số y f x có 2 cực đại và 2 cực tiểu.
B. Hàm số y f x có 3 cực đại và 1 cực tiểu.
C. Hàm số y f x có 1 cực đại và 2 cực tiểu.
D. Hàm số y f x có 2 cực đại và 1 cực tiểu.
Lời giải
Chọn C Qua x3 thì y f x không đổi dấu, nên ta coi như không xét x3 .
Dựa vào đồ thị của hàm số y f x , ta có bảng xét dấu:
Như vậy: trên K , hàm số y f x có điểm cực đại là x2 và điểm cực tiểu là x1 , x4 .
Mức 2: Cực trị
Câu 52. Cho hàm số y f x . Biết f x có đạo hàm f ' x và hàm số y f ' x có đồ thị như hình vẽ. Hàm
số g x f x 1 đạt cực đại tại điểm nào dưới đây?
A. x 2.
B. x 4.
C. x 3.
Lời giải
D. x 1.
x 1 1 x 2
1 x 1 3 2 x 4
Chọn B Cách 1 : g ' x f ' x 1 0 x 1 3 x 4 ; g ' x f ' x 1 0
x 1 5
x 6
x 1 5 x 6
Trang 24
Ta chọn đáp án B
Cách 2 : đồ thị hàm số g ' x f ' x 1 là phép tịnh tiến đồ thị hàm
số y f ' x theo phương trục hoành sang phải 1 đơn vị.
Đồ thị hàm số g ' x f ' x 1 cắt trục hồnh tại các điểm có hồnh
độ x 2; x 4; x 6 và giá trị hàm số g ' x đổi dấu từ dương sang
Câu 53.
âm khi qua điểm x 4 .
Hàm số y f x liên tục trên khoảng K , biết đồ thị của hàm số y f ' x trên K như hình vẽ. Tìm số
cực trị của hàm số g x f x 1 trên K ?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Lời giải
Chọn B Ta có g ' x f ' x 1 có đồ thị là phép tịnh tiến của đồ thị hàm số y f ' x theo phương trục
hồnh sang trái 1 đơn vị. Khi đó đồ thị hàm số g ' x f ' x 1 vẫn cắt trục hoành tại 1 điểm.
Câu 54.
Cho hàm số f x có đồ thị f x của nó trên khoảng K như hình vẽ. Khi đó trên
y
K , hàm số y f x 2018 có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 1.
B. 4.
C. 3.
D. 2.
Lời giải
Chọn A Đồ thị hàm số f ' x 2018 là phép tịnh tiến của đồ thị hàm số f x
x
O
theo phương trục hoành nên đồ thị hàm số f ' x 2018 vẫn cắt trục hoành 1 điểm.
Câu 55.
Cho hàm số f x xác định trên
và có đồ thị của hàm số f x như hình vẽ
bên. Hàm số f x 2018 có mấy điểm cực trị?
A. 1.
C. 3 .
B. 2 .
D. 4 .
Lời giải
Chọn C Đồ thị hàm số f ' x 2018 là phép tịnh tiến của đồ thị hàm số f x
theo phương trục hoành nên đồ thị hàm số f ' x 2018 vẫn cắt trục hoành tại 3 điểm.
Mức 3: Cực trị
Câu 56. Cho hàm số f x xác định trên
và có đồ thị của hàm số f x như hình vẽ.
Hàm số y g x f x 4 x có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 1.
C. 3.
B. 2.
D. 4.
Lời giải
Trang 25
y
O
f x
x
