De thi HSG Toan 8 Duc tho Ha tinh 2013

<span class='text_page_counter'>(1)</span>§Ò thi chän häc sinh giái To¸n 8- lÇn 2 ( Thêi gian: 120 phót) Bài 1: (4 điểm) a) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3. b) Giải phương trình: x  241 x  220 x  195 x  166    10 17 19 21 23 .. 1 1 1. Bài 2 (3 điểm): Cho x, y, z đôi một khác nhau và x + y + z =0 . Tính giá trị của biểu thức: Bµi 3: (5 ®iÓm). A=. yz xz xy + 2 + 2 2 x + 2 yz y +2 xz z +2 xy. 1 1 4   a. Chøng minh r»ng nÕu x  0; y  0 th× x y x  y b. Cho a; b; c lµ sè ®o ba c¹nh mét tam gi¸c.. 1 1 1 1 1 1      a b  c b c  a c  a  b a b c. Chøng minh: Bµi 4: (6 ®iÓm) Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD, gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A trªn BD. Ph©n gi¸c cña gãc DAH c¾t DH t¹i M, ph©n gi¸c cña gãc BAC c¾t BC t¹i N. Chøng minh: a. Tam giác AHD và tam giác ABC đồng dạng. b. MH.NC = MD.NB c. Tam gi¸c AMN vu«ng. Bµi 5: (2 ®iÓm) Mét tam gi¸c vu«ng cã sè ®o c¸c c¹nh lµ c¸c sè nguyªn d¬ng vµ sè ®o diÖn tÝch b»ng sè đo chu vi. Tính diện tích tam giác đó.. §¸p ¸n Bài 1: ( 4 ®iÓm) a).   x  y  z  3  x 3    y3  z3     (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3 = .

<span class='text_page_counter'>(2)</span> =.  y  z    x  y  z . 2.   x  y  z  x  x 2    y  z   y 2  yz  z 2  . y  z   3x 2  3xy  3yz  3zx   =. =3.  y  z   x  x  y   z  x  y  . = 3  x  y  y  z  z  x  . x  241 x  220 x  195 x  166    10 19 21 23 b) 17 . x  241 x  220 x  195 x  166  1  2  3  4 0 17 19 21 23. . x  258 x  258 x  258 x  258    0 17 19 21 23. 1   1 1 1   x  258       0  17 19 21 23   x= 258  Bài 2(3 điểm): 1 1 1 + + =0 x y z. ⇒. xy+yz+ xz =0 ⇒ xy+yz+ xz=0 xyz. ⇒ yz = –xy–xz. x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) yz xz xy Do đó: A= (x − y )( x − z) + ( y − x)( y − z ) + (z − x )( z − y). Tính đúng A = 1 Bµi 3: (5 ®iÓm) 1 1 4   a. Chøng minh r»ng nÕu x  0; y  0 th× x y x  y 1 1 4 x y 4      ( x  y ) 2 4 xy  ( x  y ) 2 0 xy xy Do x  0; y  0 nªn ta cã x y x  y (đúng). Suy ra ®pcm.. b) V× a; b; c lµ sè ®o ba c¹nh mét tam gi¸c nªn a  b  c; b  c  a; c  a  b lµ c¸c sè d¬ng, ¸p dông kÕt qu¶ c©u a, ta cã: 1 1 2   a b  c b c  a b. (1).

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 1 1 2   bc a ca  b c 1 1 2   a b  c c a  b a. (2). (3) Cộng từng vế các bất đẳng thức (1);(2) và(3) ta có: 1 1 1   2 2 2 2       a b  c b c  a c a  b  a b c. . Bµi 4:. 1 1 1 1 1 1      a  b  c b  c  a c  a  b a b c (®pcm). B. A. P N H M. C. D. o a) xÐt AHD vµ ABC cã AHD ABC 90. HDA BCA (DAC). Suy ra AHD và ABC đồng dạng. MH AH  MD AD b) Ta cã AM lµ ph©n gi¸c cña (1) NB AB ABC   NC AC AN lµ ph©n gi¸c cña (2) AH AB   Lại có AHD và ABC đồng dạng (cmt) AD AC . (3) MH NB   MH.NC MD.NB Tõ (1);(2) vµ(3) ta cã: MD NC (®pcm) AHD . MP MH  c) Qua M kẻ đờng thẳng song song với AD cắt AH tại P ta có: AD HD (talet). MH NB MH NB  (cmt)   HD BC MÆt kh¸c MD NC MP NB  Suy ra AD BC mµ AD//BC vµ AD = BC. nªn MP//NB vµ MP = NB.  Tø gi¸c MPBN lµ h×nh b×nh hµnh  BP// MN. do MP// AD  MP  AB, mµ AH  BM nªn P lµ trùc t©m tam gi¸c AMB  BP  AM l¹i cã BP// MN(cmt)  MN  AM hay tam gi¸c AMN vu«ng.. Bài 5: Gọi cạnh huyền và các cạnh góc vuông của tam giác vuông đó thứ tự là a; b và c (a;b;c  N* ), gi¶ sö b  c..

<span class='text_page_counter'>(4)</span> v× sè ®o diÖn tÝch b»ng sè ®o chu vi nªn ta cã:. a b c . bc 2. bc b 2c 2  b  c  a2   b 2  c 2  b 2 c  bc 2  2bc 2 4 2 2 2 Mµ a b  c (pitago) nªn suy ra: b2c 2  b 2 c  bc 2  2bc o  b 2 c 2  4b2 c  4bc 2  8bc o  bc  4b  4c  8 0 4  (b  4)(c  4) 8 Do b; c nguyªn d¬ng vµ b  c nªn ta cã b¶ng gi¸ trÞ sau.  a. b-4 1 2 c-4 8 4 b 5 6 c 12 8  * nÕu b = 5; c = 12 a = 13 (thoả mãn) khi đó diện tích tam giác đó bằng 30 đvdt.  * nÕu b = 6; c = 8 a = 10 (thoả mãn) khi đó diện tích tam giác đó bằng 24 đvdt..

<span class='text_page_counter'>(5)</span>