hinh hoc khong gian

<span class='text_page_counter'>(1)</span>líp to¸n 10 - 11 - 12 - lt®h. 11a NguyÔn Tr-êng Té --------------. Luyện Thi đại học năm 2011 - 2012 M«n :To¸n; Khèi A,B,D Chuyên đề : Thể tích khối đa diện. 10 vÝ dô träng t©m vÒ thÓ tÝch khèi ®a diÖn Dạng 1 : Lăng trụ đứng có góc giữa đ-ờng thẳng và mặt phẳng 1. Ví dụ 1. Cho lăng trụ đứng tam giác ABCA1B1 C1 có đáy ABC là tam giác vuông tại A với [ = 600 . BiÕt r»ng BC1 hîp víi (AA1C1C) mét gãc 300 . TÝnh AC1 vµ thÓ tÝch khèi AC = a, ACB √ l¨ng trô. (§s : V = a3 6). 2. Bµi tËp t-¬ng tù (a) Cho lăng trụ đứng tam giác ABCA1B1 C1 có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AB = BC = a. Biết A1 B hợp với đáy ABC một góc 600 . Tính thể tích lăng trụ. (Đs : √ a3 3/2). (b) Lăng trụ tam giác đều ABCA1B1C1 có khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A1BC) bằng a và AA1 hợp với mặt phẳng (A1BC) một góc 300 . Tính thể tích lăng trụ đó. (Đs : 32a4 /9). (c) Cho lăng trụ đứng ABCDA1B1 C1D1 có đáy ABCD là hình vuông và BD1 = a. Tính thể tích khèi l¨ng trô biÕt √ i. BD1 hợp với đáy ABCD một góc 600 . (Đs :a3 3/16). √ ii. BD1 hîp víi mÆt bªn AA1D1 D mét gãc 300 . (§s : a3 2/8). Dạng 2 : Lăng trụ đứng có góc giữa hai mặt phẳng 1. Ví dụ 2. Cho lăng trụ đứng tam giác đềuABCA1B1 C1 . Mặt phẳng (A1BC) tạo với đáy một góc √ 300 vµ diÖn tÝch tam gi¸c A1BC b»ng 8. TÝnh thÓ tÝch khèi l¨ng trô. (§s : 8 3 ). 2. Bµi tËp t-¬ng tù (a) Cho lăng trụ đứng tam giác ABCA1B1 C1 có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AB = BC = a. Biết (A1BC) hợp với đáy (ABC) một góc 600 . Tính thể tích khối lăng trụ. √ (§s : a3 3/2) [ = 1200 , (b) Lăng trụ đứng ABCA1B1 C1 có đáy ABC là tam giác cân tại A với AB = AC = a, BAC √ Tính thể tích lăng trụ biết (A1 BC) hợp với đáy một góc 450 . (Đs : a3 3/8) (c) Cho hình hộp chữ nhật ABCDA1B1 C1D1 có A1A = 2a, mặt phẳng (A1BC) hợp với đáy một góc 600 và A1C hợp với đáy (ABCD) một góc 300 . Tính thể tích khối hộp chữ nhật. (Đs : √ 16a3 2/3) D¹ng 3 : L¨ng trô xiªn 1. Ví dụ 3. Cho hình lăng trụ ABCA1B1 C1 có đáy là tam giác đền cạnh a. Hình chiếu của A1 xuống (ABC) là tâm O của đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC, biết AA1 hợp với đáy (ABC) một góc √ 600 . Chøng minh r»ng BB1C1 C lµ h×nh ch÷ nhËt vµ tÝnh thÓ tÝch khèi l¨ng trô Êy. (§s : a3 3/4) Gv : NguyÔn Thµnh HiÓn. §T : 09.0511.2810.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 2. Bµi tËp t-¬ng tù √ √ (a) Cho hình hộp ABCDA1B1 C1 D1 đáy là hình chữ nhật với AB = 3, AD = 7. Hai mặt bên (ABB1A1) và (ADD1 A1 ) lần l-ợt tạo với đáy những góc 450 và 600 . Tính thể tích khối hộp nÕu biÕt c¹nh bªn b»ng 1. (§s : 3) (b) L¨ng trô tam gi¸c √ ABCA1B1C1 có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và A1 cách đều A, B, C. √ 2a 3 . TÝnh thÓ tÝch l¨ng trô. (§s : a3 3/4) BiÕt AA1 = 3 (c) Cho lăng trụ ABCA1B1 C1 có đáy là tam giác đều tâm O. Hình chiếu của C1 trên (ABC) là O. Tính thể tích lăng trụ biết khoảng cách từ O đến CC1 là a và hai mặt bên (AA1CC1 ) và √ (BB1CC1) hîp víi nhau mét gãc 900 . (§s : 27a3 /4 2) Dạng 4 : Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy 1. VÝ dô 4. Cho h×nh chãp SABC cã SB = SC = BC = CA = a. Hai mÆt (ABC) vµ (ASC) cïng √ vu«ng gãc víi (SBC). TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp. (§s : a3 3/12) 2. Bµi tËp t-¬ng tù (a) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, biết SA vuông góc với đáy và √ (SBC) hợp với đáy (ABC) một góc 600 . Tính thể tích hình chóp . (Đs : a3 3/8) (b) Hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, mặt bên (SCD) hợp với đáy một góc 600 . Tính thể tích hình chóp S.ABCD và tìm khoảng cách từ A đến mặt √ √ ph¼ng (SCD). (DDs : a3 3/3; a 3/2) [ = 1200 , biÕt (c) Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác cân tại A với BC = 2a. Góc BAC SA vuông góc với (ABC) và mặt phẳng (SBC) hợp với đáy một góc 450 . Tính thể tích khối chãp SABC. (§s : a3/9) (d) Cho khối chóp SABCD có đáy là hình thoi cạnh a và góc nhọn A bằng 600 , SA vuông góc với (ABCD) và khoảng cách từ A đến cạnh SC bằng a. Tính thể tích khối chóp SABCD. (Đs : √ a3 2/4) (e) Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B. Biết AB = BC = a, AD = 2a.SA ⊥ (ABCD) và (SCD) hợp với đáy một góc 600 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD. (Đs √ : a3 6/2) Dạng 5 : Khối chóp có một mặt bên vuông góc với đáy 1. Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên (SAB) là tam giác đều và vuông góc với đáy (ABCD). Chứng minh rằng chân đ-ờng cao của khối chóp trùng với trung điểm √ cạnh AB, từ đó hãy tính thể tích khối chóp S.ABCD. (Đs : a3 3/6) 2. Bµi tËp t-¬ng tù (a) Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều, BCD là tam giác vuông cân tại D, (ABC) vuôn √ gãc (BCD) vµ AD hîp víi (BCD) mét gãc 600 . TÝnh thÓ tÝch tø diÖn ABCD. (§s : a3 3/8) (b) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, có BC = a. Mặt bên SAC vuông góc với đáy, các mặt còn lại tạo với đáy một góc 450 . Tính thể tích khối chóp SABC. (Đs : a3/12) Gv : NguyÔn Thµnh HiÓn. §T : 09.0511.2810.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Dạng 6 : Khối chóp đều 1. Ví dụ 6. Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a, M là trung điểm DC. Tính khoảng cách từ M √ đến (ABC), suy ra thể tích hình chóp MABC. (Đs : a3 2/12). 2. Bµi tËp t-¬ng tù (a) Chóp tam giác đều SABC có cạnh đáy bằng a, mặt bên hợp với đáy một góc 600 . Tính thể √ tÝch h×nh chãp SABC. (§s : a3 3/24). (b) Chóp tam giác đều có đ-ờng cao h và mặt bên có góc ở đỉnh bằng 600 . Tính thể tích hình √ chãp. (§s : h3 3/8). D¹ng 7: Ph-¬ng ph¸p tû sè thÓ tÝch √ 1. VÝ dô 7. Cho h×nh chãp S.ABC cã tam gi¸c ABC vu«ng c©n ë B, AC = a 2, SA vu«ng gãc víi đáy ABC, SA = a.Tính thể tích khối chóp. Gọi G là trọng tâm tam giác SBC. Mặt phẳng (α) qua AG vµ song song víi BC, c¾t SC, SB lÇn l-ît t¹i M, N. TÝnh thÓ tÝch khèi chãp S.AMN. 2. Bµi tËp t-¬ng tù (a) Tam gi¸c ABC vu«ng c©n ë A vµ AB = a. Trªn ®-êng th¼ng qua C vµ vu«ng gãc víi (ABC), lÊy ®iÓm D sao cho CD = a. MÆt ph¼ng qua C vu«ng gãc víi BD c¾t BD t¹i F vµ AD t¹i E. Chøng minh CE vu«ng gãc víi (ABD), vµ tÝnh thÓ tÝch khèi tø diÖn CDEF. (§S : a3/36) (b) Khối chóp tứ giác đều SABCD. Mặt phẳng (α) qua A, B và trung điểm M của SC. Tìm tích số thÓ tÝch bÞ chia bëi mÆt ph¼ng trªn. (§s : 3/5). (c) Chóp tứ giác đều SABCD, đáy là hình vuống cạnh a, cạnh bên tạo với đáy một góc 600 . Gọi M lµ trung ®iÓm SC. MÆt ph¼ng ®i qua AM vµ song song víi BD, c¾t SB t¹i E vµ c¾t SD t¹i √ F. TÝnh thÓ tÝch khèi chãp S.AEMF. (§s : a3 6/18). √ (d) Chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc đáy. SA = a 2. Gọi B1 , D1 lµ h×nh chiÕu cña A lÇn l-ît lªn SB, SD. MÆt ph¼ng (AB1D1 ) c¾t SC t¹i C1 . Chøng minh SC √ vu«ng gãc víi (AB1D1 ). TÝnh thÓ tÝch khèi chãp S.AB1 C1D1 . (§s : 2a3 2/9). D¹ng 8: Tæng hîp 1 1. Ví dụ 8. Cho chóp S.ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA vuông góc với đáy. Góc giữa SC và đáy b»ng 600 vµ M lµ trung ®iÓm cña SB. TÝnh thÓ tÝch S.ABCD vµ MBCD. 2. Bµi tËp t-¬ng tù (a) Lăng trụ ABCA1B1C1 có độ dài cạnh bên bằng 2a. Tam giác ABC vuông tại A, AB = a, AC = √ a 3. H×nh chiÕu vu«ng gãc cña A1 trªn (ABC) lµ trung ®iÓm BC. TÝnh thÓ tÝch A1ABC. (§s : a3/2) √ (b) Hình chóp SABCD, đáy là hình bình hành và SABCD = 3, góc giữa hai đ-ờng chéo bằng √ 600 , các cạnh bên hợp với đáy một góc 450 . Tính thể tích chóp S.ABCD. (Đs : 3/3). (c) Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, với AB = AC = a. Biết SAB c©n t¹i S vµ n»m trong mÆt ph¼ng vu«n gãc víi (ABC). MÆt ph¼ng (SAC) hîp víi (ABC) mét gãc 450 . TÝnh thÓ tÝch khèi chãp SABC. (§s : a3/12) Gv : NguyÔn Thµnh HiÓn. §T : 09.0511.2810.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> D¹ng 9: Tæng hîp 2 1. (2009-A). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = AD = 2a, CD = a, gãc gi÷a hai mÆt ph¼ng (SBC) vµ (ABCD) b»ng 600 . Gäi I lµ trung ®iÓm c¹nh AD. BiÕt hai mÆt ph¼ng (SBI) vµ (SCI) cïng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (ABCD). TÝnh thÓ tÝch khèi √ chãp S.ABCD theo a. (§s : 3 15a3/5) 2. (2009-B). Cho h×nh l¨ng trô tam gi¸c ABC.A1B1 C1 cã BB1 = a, gãc gi÷a ®-êng th¼ng BB1 vµ \ mÆt ph¼ng (ABC) b»ng 600 , tam gi¸c ABC vu«ng t¹i C vµ BAC = 600 . H×nh chiÕu vu«ng gãc cña ®iÓm B1 lªn mÆt ph¼ng (ABC) trïng víi träng t©m cña tam gi¸c ABC. TÝnh thÓ tÝch khèi tø diÖn A1.ABC theo a.(§s : 9a3/208) 3. (2009-D). Cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1 C1 có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA1 = 2a, A1C = 3a. Gäi M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n A1C1 , I lµ giao ®iÓm cña AM vµ A1C. Tính theo a thể tích khối tứ diện I.ABC và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (IBC). (Đs : √ 4a3/9; 2a 5/5) 4. (2010-A). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần l-ợt là trung ®iÓm cña c¹nh AB vµ AD, H lµ giao ®iÓm cña CN víi DM. BiÕt SH vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng √ (ABCD) vµ SH = a 3. TÝnh thÓ tÝch khèi chãp S.CDMN vµ kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®-êng th¼ng √ √ √ DM vµ SC theo a. (§s : 5 3a3/24; 2 3a/ 19) 5. (2010-B). Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A1B1 C1 có AB = a, góc giữa hai mặt phẳng (A1BC) và (ABC) bằng 600 . Gọi G là trọng tâm tam giác A1 BC. Tính thể tích khối lăng trụ đã √ cho vµ tÝnh b¸n kÝnh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn GABC theo a. (§s : 3a3 3/8; 7a/12) 6. (2010-D). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC, sao cho AH = AC/4. Gọi CM lµ ®-êng cao cña tam gi¸c SAC. Chøng minh M lµ trung ®iÓm cña SA vµ tÝnh thÓ tÝch khèi tø √ diÖn SMBC theo a. (§s : a3 14/48) 7. (2011-A). Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a, hai mặt ph¼ng (SAB) vµ (SAC) cïng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (ABC). Gäi M lµ trung ®iÓm cña AB. MÆt ph¼ng qua SM vµ song song víi BC, c¾t AC t¹i N. biÕt gãc gi÷a hai mÆt ph¼ng (SBC) vµ (ABC) b»ng 600 . TÝnh thÓ tÝch khèi chãp SBCMN vµ kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®-êng th¼ng AB vµ SN theo a. √ 8. (2011-B). Cho lăng trụ ABCD.A1B1 C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = a 3. H×nh chiÕu vu«ng gãc cña ®iÓm A1 trªn mÆt ph¼ng (ABCD) trïng víi giao ®iÓm cña AC vµ BD. Góc giữa hai mặt phẳng (ADD1 A1) và (ABCD) bằng 600 . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng (A1BD) theo a. 9. (2011-D). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a . Mặt √ [ = 300 . TÝnh thÓ tÝch ph¼ng (SBC) vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (ABC). BiÕt SB = 2a 3 vµ SBC khối chóp S.ABC và khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) theo a. (Cßn n÷a) Gv : NguyÔn Thµnh HiÓn. §T : 09.0511.2810.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>