100 ĐỀ THI HSG TOÁN 7 CÓ ĐÁP ÁN

ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 7
NĂM HỌC 2020 - 2021
Mơn: Tốn
Thời gian: 120 phút (khơng kể thời gian giao
đề)
Ngày giao lưu: 15 tháng 4 năm 2021

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN THIỆU HỐ

Đề chính thức
(Đề gồm 01 trang)

Câu 1: (3.0 điểm)

13
19 � 23
2
�8
.  0,5  .3  �  1 �:1
15 60 � 24
�
a) Tính: A = 15
1

�1 ��1 � � 1
�� 1
�
.�  1 �
...�
 1�

.�
 1�
�  1�
b) Tính: B = 2021. �2 ��3 � �2020 ��2021 �
Câu 2: (4.5 điểm)
a) Tìm

x

biết:

x  2  3  2x  2x 1

b) Cho và . Tính M =
c) Tìm x, y nguyên biết:

100  y 2  8  x  2021

2

Câu 3: (3.5 điểm)
a) Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng số đó là bội của 18 và các
chữ số của nó tỉ lệ theo 1: 2: 3.
b) Cho P(x) = x99 - 100x98 + 100x97 – 100x96 + ... + 100x -1. Tính
P(99) = ?
Câu 4: (7.0 điểm)

2

Cho tam giác ABC có AB < AC. Trên tia đối của tia CA lấy điểm D sao
cho CD = AB. Gọi P, Q là trung điểm của AD, BC, và I là giao điểm các
đường vng góc với AD và BC tại P và Q.
a) Chứng minh ∆AIB = ∆DIC
b) Chứng minh AI là tia phân giác của góc BAC.
c) Kẻ IE vng góc với AB, chứng minh .
d) Tìm điểm F trên đường thẳng IP sao cho AF+BF ngắn nhất.
Câu 5: (2.0 điểm)
Cho

ba

số

dương

0 �a �b �c �1

chứng

minh

rằng:

a
b
c


�2

bc  1 ac  1 ab  1
----------------Hết-----------------Họ tên học sinh:...............................................................; Số báo
danh:.................................

2


PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO
TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ GIAO LƯU HSG LỚP 7

HUYỆN THIỆU HĨA

NĂM HỌC 2020 - 2021
Mơn: Tốn

Câu

Ý

Nội dung

Biểu
điểm

13
19 � 23
2

�8
.  0,5  .3  �  1 �
:1
15
15
60
24
�
�
+ Biến đổi: A =
1

A=
a

=

1,5đ

=

7 2

5
5
=
=1

1 2 2019 2020
� �

�
�
�
2 3
2020 2021
1
 2021.
1
2021

B  2021.
1
3.0đ

b
1.5đ

2

a

4.5
đ

1.5đ

Vậy: B = 1

0,5

0,5

0,5
0,75

0,5
0,25

Nếu x >2 ta có: x - 2 + 2x - 3 = 2x + 1 � x = 6

0.5

3
�x �2
Nếu 2
ta có: 2 - x + 2x - 3 = 2x + 1 � x = - 2

0.5

loại
3
4
Nếu x< 2 ta có: 2 - x + 3 - 2x = 2x + 1 � x = 5

0.5

2


4

Vậy: x = 6 ; x = 5

;

(1)

(1)

0.5

(1)
:=:
b



1.5đ

0.5

0.5
Tìm x, y thuộc Z biết :

100  y 2  26  x  2021

2

Ta có
100 – y2 ≤ 100 =>

26  x  2021

2

≤ 100 =>

 x  2021

2

<4
Do x nguyên nên
c

 x  2021

0.5

2

là số chính phương, nên

có 2 trường hợp.

1.5đ
TH 1 :

 x  2021

2

 x  2021

2

 0  x  2021

0.5
thay vào => y = 10 ; y

= -10

TH 2 :

x  2021  1
x  2022
�
�
 1  �
 �
x  2021  1 �
x  2020
�

0.5

Thay vào => y2 = 74 (loại)
Vậy x = 2021, y = 10 và x = 2021, y = -10
3

a

3.5
đ

2.0đ

Gọi a, b, c là các chữ số của số có ba chữ số cần tìm.
Khơng mất tính tổng qt, giả sử a �b �c �9.

0,5 đ

Ta có 1 �a + b + c �27 .

2


Mặt khác số cần tìm là bội của 18 nên là bội của 9,
do đó a + b + c = 9 hoặc a + b + c = 18 hoặc a +
b + c = 27.

a b c abc
  
;
1
2
3
6
Theo đề bài ta có:

0,5 đ

0,5 đ

Như vậy a + b + c chia hết cho 6, nên a + b + c =
18.
0,25
đ

Từ đó suy ra a = 3, b = 6, c = 9.
Do số phải tìm là bội của 18 nên chữ số hàng đơn vị
chẵn,

0,25
đ

vì vậy hai số cần tìm là: 396; 936.
Vì x= 99 nên x – 99 = 0

0,5đ

Ta có:
P(x) = x99 – 100x98 + 100x97 – 100x96 + ... + 100x -1.
b
1,5đ

= x99- 99x98 – x98 + 99x97 +x97 – 99x96 – x96 +...+
99x +x -1
= x ( x- 99) – x ( x- 99) + x
+ ( x-1)

98

97

96

0.5đ

( x – 99) +....- x( x -99)

= x98.0 – x97.0 + x96.0 - .....- x.0 + x – 1
0,5đ

=> P(99) = 99 -1 = 98
4

A

7.0
đ
P

0,5đ

0,5

C

B

E
D

I

a
1đ

Ta có QI là đường trung trực của BC IB = IC

0,25

IP là đường trung trực của AD IA = ID

0,25

Lại có AB = CD (gt)

0,25

2


b
2đ

Do đó ∆AIB = ∆DIC (c.c.c)

0,25

CM:PAI =PDI(c.g.c)

0,5

DAI = D

0,5

Mà ∆AIB = ∆DIC (câu a) BAI = D

0,5

Do đó DAI = BAI.

0.5

Vậy AI là tia phân giác của góc BAC
c
2đ

Ta có ∆AIE = ∆AIP (cạnh huyền- góc nhọn)

0,5

=> AE = AP

0,5

Mà AP = ½ AD (vì P là trung điểm AD)

0,5

Suy ra

0,5

AC>AB => AC+CD > 2.AB (CD=AB)

0,25

=> AD>2.AB => 2.AP > 2.AB (IP trung trực AD)

0,25

=> AP > AB
d
1,5đ

=> A,B luôn nằm trên cùng nữa mặt phẳng bờ IP

0,25

* Ta có AF+BF=BF+FD (F nằm trên IP trung trực AD)

0,25

Mà BF+FD �BD (Trong ∆ tổng 2 cạnh lớn hơn cạnh
còn lại)
BF+FD = BD là ngắn nhất chỉ khi F nằm trên BD

0,25

Vậy Nối DB cắt IP tại F có AF+BF ngắn nhất
5
2đ

0.5đ

0,25

Vì 0 �a �b �c �1 nên:
(a +

1)(
��
b 1)
�+
0  ab 1 a b

1
ab  1

1
ab

c
ab  1

c
ab

(1)
a
a
�
Tương tự: bc  1 b  c

(2) ;

b
b
�
ac  1 a  c

a
b
c
a
b
c


�


Do đó: bc  1 ac  1 ab  1 b  c a  c a  b

(3)
(4)

0.5

0.5

0.5

Mà
a
b
c
2a
2b
2c
2(a  b  c)


�



2
bc ac a b abc a bc a bc
abc
0.5
(5)

2


M

a
b
c


�2
Từ (4) và (5) suy ra: bc  1 ac  1 ab  1

(đpcm)

Chú ý: Nếu HS làm theo cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối
đa
UBND THỊ XÃ CHÍ LINH

ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

NĂM HỌC 2018 - 2019
MƠN: TỐN 7
Thời gian làm bài: 120 phút
(Đề thi gồm có 05 câu , 01 trang)

Câu 1 (2,0 điểm)

1) Thực hiện phép tính:

A=

1 1
1
1
+
+
+ ... +
.
2 2.3 3.4
2017.2018

2) Cho hai đa thức: P(x) = x5 - 2x3 + 3x4 – 9x2 + 11x – 3 và Q(x) = 3x4 +
x5 – 2x3 - 11 – 10x2 + 9x.
Biết rằng G(x) - 2x2 + Q(x) = P(x). Tìm đa thức G(x).
Câu 2 (2,0 điểm)

213
3
5
; 4;
2.
1) Hãy chia số 70 thành ba phần tỉ lệ thuận với 5
x 1 y

4 ; 2x = 3z và z + y – 3x = -10.
2) Tìm các số x, y, z biết 3

Câu 3 (2,0 điểm)
2
2
4

4
1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau : P  ( x  1)  ( y  2)  3 .

2) Cho hàm số f(x) xác định với mọi x �R . Biết rằng với mọi x �0 ta
đều có

�1 �
f (x)  2.f � � x 2
�x �
. Tính f (2)?

2


Câu 4 (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, điểm M là trung điểm của BC.
Trên nửa mặt phẳng chứa điểm C bờ là đường thẳng AB vẽ đoạn thẳng AE
vng góc với AB và AE = AB. Trên nửa mặt phẳng chứa điểm B bờ là
đường thẳng AC vẽ đoạn thẳng AD vng góc với AC và AD = AC.
a) Chứng minh: BD = CE.
b) Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho MN = MA. Chứng minh:

�  ACN
�  1800
BAC
.
AD 2 +IE 2
2
2
c) Gọi I là giao điểm của DE và AM. Tính tỉ số DI +AE .

Câu 5 (1,0 điểm)
Cho a, b, c, d là các số tự nhiên khác 0. Chứng minh rằng:

a
S = a bc
tự nhiên.



b
a bd



c
bcd



d
a  c  d có giá trị khơng phải là số

- Hết -

UBND THỊ XÃ CHÍ LINH

HƯỚNG DẪN CHẤM

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2018- 2019
MÔN: TOÁN 7
(Hướng dẫn chấm gồm 03 trang)

Câu

Ý

Nội dung

Điể
m

2


1
1

(1,0đ
)

1 1 1 1 1 1
1
1
A = -      ... 

1 2 2 3 3 4

2017 2018

0,50

1
1
A= 
1 2018

0,25

2017
2018

0,25

A

(2,0
đ)
2
(1,0đ
)

G(x) = P(x)-Q(x) +2x2 =(x5 - 2x3 + 3x4 – 9x2 + 11x –
3) – (3x4 + x5 – 2x3 - 11 – 10x2 + 9x) + 2x2 .

0,25

= 3x2 +2x+8

0,50

Vậy G(x) = 3x2 +2x+8.

0,25

Gọi 3 phần cần tìm lần lượt là x, y, z

213
3
5
: 4:
2
Theo bài ra ta có x+y+z = 70 và x:y:z = 5

1
(1,0đ
)

213
hay x+y+z = 70 và x:y:z = 6 : 40 : 25
213
x y
z
x+y+z
3
=
=
=

= 70 =
71 70
suy ra 6 40 25 6 + 40 + 25

�x

2
(2,0
đ)

0,25

9
12
15
; y  ;z 
35
7
14

9 12 15
; ;
Vậy 3 phần cần tìm là 35 7 14

0,25

0,25

0,25

x 1 y z


3
4
2 và z + y – 3x = -10
Theo bài ra ta có
suy ra
2
(1,0đ
)

0,25

x 1  y z z  (1  y)  3x

 
3
4
2
249



z  y  3x  1 10  1

1
11
11

� x  3;1  y  4;z  2

0,25
0,25

2


Vậy x  3; y  3;z  2

0,25

2
2
2
2
2
Ta có x �0x � x  1 �1x � ( x  1) �1  1x

1
(1,0đ
)

0,25

Dấu “=” xảy ra khi x = 0
y 2 �0y � y 2  2 �2y � ( y 2  2) 4 �24  16y
Dấu “=” xảy ra khi y = 0

0,25

=> P �1  16  3  20

0,25

Vậy GTNN của P bằng 20 khi x = 0; y = 0.

0,25

�1 � 2
f(x)+2.f � �
=x
x
�
�
x
�
0
Với mọi
ta đều có
nên:

3
(2,0
đ)
2
(1,0đ
)

�1 �

f  2  +2f � �
=4
�2 �
+ Tại x = 2 ta có:
(1)

+ Tại
(2)

x

1
1
�1 �
�1 �
1
f��
+2f  2  = => 2f � �
+4f(2)=
4
2
�2 �
2 ta có: �2 �

0,25

0,25

Trừ vế với vế của (2) cho (1) ta có
-7

-7
3.f  2  = => f(2)=
2
6

0,25

 7
Vậy f(2) = 6

0,25

Nếu hs chỉ thiếu lập luận: Với mọi x �0 ta đều có
�1 � 2
f(x)+2.f � �
=x
�x � thì trừ 0,25 điểm

4

0,50

Vẽ hình, ghi giả thiết - kết luận đúng (đến hết
phần 2)

0,25

A
2

1

E
I

D
B

M

C
2


A
2

1

E
I

D

C

M

B

N
a
(0,75
đ)

(3,0
đ)

b
(1,0đ
)

� �
Chứng minh được A1 = A 2 (cùng phụ với góc BAC)

0,25

Chứng minh được  ABD =  AEC (c.g.c)

0,25

=>BD = CE (hai cạnh tương ứng)

0,25

Chứng minh được  CMN =  BMA (c.g.c)

0,25

�

�
=> CN = AB và ABC  MCN

0,25

=> AB // CN ( vì có hai góc so le trong bằng nhau)

0,25

�  ACN
�  1800
BAC
( 2 góc trong cùng phía bù

0,25

=>

nhau)
c
(0,75
đ)

�AE  DAC
�  BAE
�  BAC
�
�
 D
= 900 + 900 - BAC =

�
0
BAC

180 -

(1)

�  1800  BAC
�
ACN
(2)
Từ (1) và (2) =>

0,25

�  ACN
�
DAE

Chứng minh được  ADE =  CAN (c.g.c)

�
�
Từ  ADE =  CAN => ADE  CAN ( hai góc tương
ứng)

0,25

�

�
�
�
Mà DAN  CAN = 900 nên DAN  ADE = 900
�
�
�
�
=> DAI  ADI = 900 => AID  AIE = 900

0,25

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác AID và AIE
2


vng tại I ta có:
AD2 – DI2 = AE2 – EI2 (cùng = AI2)
AD 2 +IE 2
2
2
=> AD2 + EI2 = AE2 + DI2 => DI +AE =1

0,25

Nếu hs không ghi GT, KL thì vẫn cho điểm tối đa
0,25 điểm phần vẽ hình

a
a bcd

b
a bcd

c
5

a bcd

(1,0
đ)

d
a bcd

�






a
abc

b
abd

c
bcd

d
acd






a
ab

b
ab

c

0,25

cd

d
cd

a bcd
b ��c
d �
�a
S�



� �
� 0,25
a bcd
�a  b a  b � �c  d c  d �

suy ra 1 < S < 1 + 1 hay 1 < S < 2

0,25

Vậy S có giá trị khơng phải số tự nhiên.

0,25

Ghi chú: Nếu học sinh giải bằng cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
- Hết -

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN KIM THÀNH

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Mơn: Tốn 7
Thời gian làm bài: 120 phút

Câu 1 (2,0 điểm): Tìm x biết
2

�x
�
�  3 � 16

�
1) �2
x
2)

3 1

2 4

Câu 2 (2,0 điểm):

2


x
y
z
 
1) Tìm các số x, y, z biết: 21 14 10 và 3x  7y  5z  30
2a + b 2b + c 2c + a
2a + b
a
3b




c
a
b . Tính:

c
2b + c 2c + a
2) Cho
Câu 3 (2,0 điểm):
Cho đa thức

A  2x2  10xy  2016y2  y

và

B  5x2  7xy  2016y2  7y  2016
1) Tìm đa thức C sao cho A + C = B.
2) Tính giá trị của đa thức C tìm được ở trên khi x  y  2
Câu 4 (3,0 điểm):

�  600
xAy

�
xAy

Cho góc
, vẽ tia phân giác Az của
. Từ một điểm B
trên Ax vẽ đường thẳng song song với với Ay cắt Az tại C. Vẽ BH  Ay CM 
Ay, BK  AC (H, M thuộc Ay, K thuộc AC). Chứng minh rằng:
1) K là trung điểm của AC

AC
2

2)
3) KMC đều.
BH 

Câu 5 (1,0 điểm):
Chứng minh rằng đa thức P(x) = x2 + 2x + 2 khơng có nghiệm.
–––––––– Hết ––––––––

PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN KIM THÀNH
Câu

ý

1

1)

(2,0

HƯỚNG DẪN CHẤM
Mơn: Tốn 7
Đáp án

2

2
�x �
�x
� 2


3

16
� �
�  3 � 4
�2 �
�
� �2
hoặc

Biểu
điểm
2

�x
�
2
�  3 � ( 4)
2
�
�

0.5

2


2)

x
x
3 4
 3  4
�2
hoặc 2

0.25

� x = 2 hoặc x  14

0.25

3

x

2

điểm)

�

�
1)

x
21

x

x



1



x

4�

1
4



14

2

z

x

10

3x

�

63

4 hoặc

x

2 hoặc

4 hoặc

1



3



7

y

3

1
4



x

3
2



1

0.5

4

3

0.25

2

5

0.25

4



7y
98



5z

0.25

50

- Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

3x
63



2
(2,0
điểm)



7y
98



5z
50

0.25

3x - 7y + 5z
63 - 98 + 50



- 30
= -2
15

0.25

- Suy ra được: x = - 42, y = - 28, z = - 20
2)

0.25

- Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

2a  b
c




2b  c
a

3 a  b  c

cab



2c  a
b



0.25

2 a  b  2b  c  2 c  a
cab

3

0.25

2a  b
a
b
1
 3;


c
2b  c 2c  a 3
Suy ra:

2a  b

Do đó:
3
(2,0
điểm)

1)

c



a
2b  c



3b
2c  a

3

0.25

1

1 13
 3. 
3
3 3

0.25

Ta có: A + C = B � C = B - A



2

2

0.25

 

2

2



C  5x  7xy  2016y  7y  2016  2x  10xy  2016y  y
2

2

2

2

 5x  7xy  2016y  7y  2016  2x  10xy  2016y  y

0.25
0.25

2


2

 3x  3xy  6y  2016

2)

Ta có:

0.25

C  3x  3xy  6y  2016  3x  x y  6y  2016
2

 3x.2  6y  2016

0.25

 6x  6y  2016  6(x  y)  2016

0.25

 6.2  2016  12  2016   2004

0.25

4
(3,0
điểm)

1) Vẽ hình chính xác:

0.25

Ta có Az là tia phân giác của
�
� �
xAy
 A1 = A 2 (1)

0.25

� �
Có Ay // BC  A1 = C1 (SLT)
(2)
Từ
(1)
và
(2)

�
�
A 2 = C1 � ABC cân tại B.
mà BK  AC  BK là đường

cao của ABC cân nên BK
cũng là trung tuyến của
ABC
� K là trung điểm của AC.
2)

0.25

o
�
� 2  xAy  60  30o
A
�
2
2
Vì Az là tia phân giác của xAy nên
o
�
�
o
�
BH  Ay 
AHB vuông tại H 
, có HAB = xAy = 60 � B1  30

Xét AHB và BKA có:

o
� = AKB
� = 90o

�
�
AHB
; AB là cạnh chung; A 2  B1  30
 AHB = BKA (cạnh huyền - góc nhọn)
 BH = AK; mà K là trung điểm của AC (theo phần 1) nên
AC
AK =
2 .
AC
BH =
2
Do đó suy ra
3)
AC
AK  KC 
2
Vì K là trung điểm của AC (theo phần 1) �
(3)
Xét AMC vng tại M có MK là trung tuyến ứng với cạnh
AC
MK 
2 (4)
huyền AC nên suy ra
Từ (3) và (4)  MK = KC  KMC cân.
Xét AMC có:
� = 90o , A
�1 = 30o � MCK
� = 90o - A
�1 = 90o - 30 o = 60 o

AMC

0.25

0.25

0.25
0.25
0.25

0.25

0.25

0.25

0.25

2


o
�
Do KMC cân và MCK = 60 nên suy ra KMC đều.

(1,0
điểm)



P(x)  x 2  2x  2  x 2  x   x  1  1

0.25

 x 2  2x  2  x  x  x    x  1  1   x  1  x  1  1

0.25

Ta có
5



0.25

=

 x  1

2

 x  1

2

1

0.25

P(x)   x  1  1  0

2

�0

Vì
với mọi x nên suy ra
với
2
mọi x. Vậy đa thức P(x) = x + 2x + 2 khơng có nghiệm.

0.25

Chú ý: - Giáo viên có thể chia nhỏ biểu điểm
- Học sinh làm cách khác, đúng vẫn chấm điểm tối đa

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 7

TẠO
ĐỀ THI VỊNG 4

NĂM HỌC 2018-2019
Mơn thi: TỐN

ĐỀ CHÍNH THỨC

Thời gian: 120 phút (khơng kể thời gian giao
đề)
(Đề thi gồm có 01 trang)

Câu 1. (4 điểm)

A
a) Thực hiện phép tính:
b) Tính
c) Chứng tỏ:

212.35  46.92

 2 .3  8 .3
2

6

4

5



510.73  255.492

 125.7 

3

 59.143

S  2100  299  298  ....  2 2  2

1 2 3
2019
 2  3  ...  2019  0, 75
3 3 3
3

Câu 2. (4 điểm)
a  b c b c  a c  a b


c
a
b
a) Cho a, b, c là ba số thực khác 0, thoả mãn :

và a+b+c �0

2


Hãy tính giá trị của biểu thức:

b 
a 
c

B  1   1   1  
a 
c 

b


.

b) Ba lớp 7A, 7B, 7C cùng mua một số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói
tăm dự định chia cho ba lớp tỉ lệ với 5,6,7 nhưng sau đó chia theo tỉ lệ
4,5,6 nên có một lớp nhận nhiều hơn dự định 4 gói. Tính tổng số gói
tăm mà ba lớp đã mua.

d) Cho ba số x,y, z tỉ lệ với 3,4,5. Tính

P

2017 x  2018 y  2019 z
2017 x  2018 y  2019 z

Câu 3: (4 điểm)

5z  6 y 6x  4z 4 y  5x


4
5
6
a) Tìm x, y, z biết:
và 3x – 2y + 5z = 96.
b) Chứng minh rằng: 3x+1 + 3x+2 + 3x+3 +……+ 3x+100 chia hết cho 120
(với x �N)
Câu 4. (6 điểm)

Cho tam giác ABC có AB < AC. Trên tia đối của tia CA lấy điểm D sao
cho
CD = AB. Gọi P,Q là trung điểm của AD, BC, và I là giao điểm các
đường vng góc với AD và BC tại P và Q.
a) Chứng minh ∆AIB = ∆DIC
b) Chứng minh AI là tia phân giác của góc BAC.
c) Kẻ IE vng góc với AB, chứng minh .
Câu 5. (2 điểm) Cho biết xyz=1
x
y
z


Tính giá trị A = xy  x  1 yz  y  1 xz  z  1

----------------------------------------------------------------------------

Giám thị coi thi không giải thích gì thêm - SBD:.......................

2


PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM THI
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 7
NĂM HỌC 2018– 2019
Môn thi : Toán

Câu

Phầ
n
a
2đ

Câu 1

Nội dung

A

212.35  46.92

 2 .3
2

6

 8 .3
4

5



Điể
m

510.73  255.492

 125.7 

3

 59.143

10

212.35  212.34 510.73  5 .7 4
 12 6 12 5  9 3 9 3 3
2 .3  2 .3 5 .7  5 .2 .7
212.34.  3  1 510.73.  1  7 
 12 5

2 .3 .  3  1 59.73.  1  23 

(4 điểm)

10 3
212.34.2 5 .7 .  6  1 10 7
 12 5  9 3
 

2 .3 .4
5 .7 .9
6
3
2

0,5

0,5

1
b

S =(-3)0+(-3)1 + (-3)2+(-3)3+...+ (-3)2015.

2đ

-3S = (-3).[(-3)0+(-3)1+(-3)2 + ....+(-3)2015]
= (-3)1+ (-3)2+ ....+(-3)2016]

0.5

0.5

-3S – S = [(-3)1 + (-3)2+...+(-3)2016]-(3)0-(-3)1-...-(-3)2015.
-4S = (-3)2016 -1.

( 3) 2016  1 32016  1 1  32016

4
4
S =
= 4

0.5

0.5

2


+Vì a+b+c �0
a
2đ

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ,ta có:
a  b c b c  a c  a  b
a bc bca c a b


c
a
b =
abc
=1

0.5

abc
bca
ca b
1 
1 
1
a
b

mà c
=2

Câu 2

ab bc ca


a
b =2
=> c

( 4 điểm )

� b�
� a�
� c� ba ca bc
1 �
1 �
1  � (
)(
)(
)
�
�
�
a
c
b =8
� c�

� b�
Vậy B = � a �

0.5

0.5

0.5

b
2đ

Gọi tổng số gói tăm 3 lớp cùng mua là x ( x là số tự
nhiên khác 0)
Số gói tăm dự định chia cho 3 lớp 7A, 7B, 7C lúc đầu
lần lượt là: a, b, c
a b c a bc
x
5x
6x x
7x
  

�a
;b 
 ;c 
5
6
7
18

18
18
18
3
18
Ta có:

1

(1)
Số gói tăm sau đó chia cho 3 lớp lần lượt là a’, b’, c’, ta
có:
a , b, c , a ,  b ,  c ,
x
4 x , 5x x , 6x
  

� a, 
;b 
 ;c 
4
5
6
15
15
15
15 3
15

0,5

(2)
So sánh (1) và (2) ta có: a > a’; b=b’; c < c’ nên lớp 7C
nhận nhiều hơn lúc đầu
6x 7 x
x

4�
 4 � x  360
90
Vây: c’ – c = 4 hay 15 18

0.5

Vậy số gói tăm 3 lớp đã mua là 360 gói.
a
2đ

Câu 3

5z  6 y 6x  4z 4 y  5x


4
5
6
Từ
20z  24 y 30x  20z 24 y  30x



16
25
36
=>

0.5

=>10z = 12y = 15x

2


(4 điểm)

b
2đ

x y z
3x 2 y 5 z
 


4
5
6
12
10
30 và 3x – 2y + 5z = 96
=>
=>

0.5

Giải ra ta được x = 12; y = 15; z = 18

0.5

0.5

3x+1 + 3x+2 + 3x+3 +…… + 3x+100
= (3x+1 + 3x+2 + 3x+3 + 3x+4) + (3x+5 + 3x+6 + 3x+7 + 3x+8)+
…+ (3x+97 +

1

3x+98 + 3x+99 + 3x+100)
= 3x(3+32+33+34) + 3x+4(3+32+33+34) +…
+3x+96(3+32+33+34)

0.5
0.5

= 3x.120 + 3x+4.120 +…+3x+96.120
= 120(3x + 3x+4 +…+3x+96) M120 (đpcm)
A

P
C

B

0,5
E
D

I

Câu 4
(6 điểm )

a
2đ

b
1,5đ

Ta có IB = IC, IA = ID

1

Lại có AB = CD (gt)

0,5

Do đó ∆AIB = ∆DIC (c.c.c)

0,5

CM: DAI = D

0,5

∆AIB = ∆DIC (câu a), suy ra BAI = D

0,5

Do đó DAI = BAI.

0,5

Vậy AI là tia phân giác của góc BAC
c

2đ

Kẻ IE AB, ta có ∆AIE = ∆AIP

0,5

=> AE = AP

0,5

Mà AP = ½ AD (vì P là trung điểm AD)

0,5

2

Suy ra

Câu 5

0,5

x
y
z



xy  x  1 yz  y  1 xz  z  1

( 2 điểm )

1

xz
xyz
z


2
xyz  xz  z xyz  xyz  xz xz  z  1

=

xz
xyz

z
xyz  xz  1



1
1  xz  z
z  1  xz
xz  z  1
xyz  xz  1

1

Lưu ý .Học sinh có cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa.

UBND THỊ XÃ CHÍ LINH

ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO
TẠO

NĂM HỌC 2016 - 2017
MƠN: TỐN 7
Thời gian làm bài: 120 phút
(Đề thi gồm 01 trang)

Câu 1 (2,0 điểm)
Tìm x biết:
2

� 1� 1
�x  �  0
a) � 3 � 16

x
b)

3 1
  2017
4 2

Câu 2 (2,0 điểm)

a
b
c
a b b  c c  a


P


c
a
b .
a) Cho b  c c  a a  b . Tính :
b) Hãy chia số 26 thành ba phần tỉ lệ nghịch với các số 2; 3; 4.
Câu 3 (2,0 điểm)
a) Cho đa thức f(x) = ax2 + bx - 2

Xác định hệ số a, b biết đa thức f(x) nhận x = -1 và x = 2 làm
nghiệm.
b)

Cho

đa

thức

B  5 x  8 xy  2017 y  3 y  2018
2

A  x 2  10 xy  2017 y 2  2 y

và

2

.

2


Tìm đa thức C = A - B. Tính giá trị của đa thức C tìm được ở trên khi
2x + y = 1.
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC.
a) Chứng minh AM  BC và MA = MC.
b) Lấy điểm D trên đoạn thẳng AB (D khác A và B), đường thẳng

vng góc với MD
tại M cắt AC tại E. Chứng minh: MD = ME.
c) Chứng minh: MD + ME �AD + AE.
Câu 5 (1,0 điểm)
Cho a, b, c, d là các số nguyên dương thỏa mãn a  b  c  d  25 .
Tìm giá trị lớn nhất của

M

c d

b a.

–––––––– Hết ––––––––
Họ tên thí sinh:……………………………………Số báo danh:…………………….
Chữ kí giám thị 1: …………………… Chữ kí giám thị 2:…………………………..

UBND THỊ XÃ CHÍ LINH

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ GIAO LƯU HSG

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO
TẠO

NĂM HỌC 2016 - 2017
MƠN: TỐN - LỚP 7
(Hướng dẫn chấm và biểu điểm gồm 03 trang)

Câ
u

Ý

Nội dung

Điể
m

2


� 1 1
� 1
x


x
� 3 4
�
� � 12
a
2
�
1
1
7
� 1� 1
�
�
x 

x
�x  �
� 12
4
� 3 � 16 � � 3
x

1
b

3 1
3 1
4035
  2017 � x    2017 
4 2
4 2
2

� 3 4035
� 8067
x


x
� 4
�
2
4
��
��

3 4035
8073
�
�
x 
x
�
2
4
� 4

0,5

0,5
0,25
0,25

0,5

a
b
c
a b  c



Ta có: b  c c  a a  b 2(a  b  c)

0,25

+ Nếu a + b + c = 0 => a + b = -c; b + c = -a; a + c = -b
a

0,25

Khi đó P  (1)  (1)  (1)  3
+ Nếu a  b  c �0 thì ta có b + c = 2a; c + a = 2b; a + b = 2c

Khi đó

P

a  b b  c c  a 2c 2a 2b



 
6
c
a
b
c a b

Vậy : P = - 3 hoặc P = 6.

2

0,25

Giả sử số 26 được chia thành ba phần x, y, z.

Theo bài ra ta có : 2x = 3y = 4z
b

�

x y z
 
6 4 3

x y z x yz
  
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau 6 4 3 6  4  3


26
2
13

� x = 12, y = 8, z = 6.
3

0,25

a Đa thức f(x) = ax2 + bx - 2 nhận x = -1 làm nghiệm.

� f(-1) = 0 � a.(-1)2 +b.(-1) -2 =0 � a - b -2 = 0 � a = b + 2.
Đa thức f(x) = ax2 + bx - 2 nhận x = 2 làm nghiệm.

0,25

0,25
0,25

0,25
0,25
0,25

2


� f(2)=0 � a.(2)2 +b.(2) -2 =0 � 4a + 2b -2 = 0
� 4(b +2) + 2b - 2 = 0 � 4b +8 + 2b - 2 = 0 � 6b +6 = 0
� b = -1 � a = 1. Vậy a = 1; b = -1

0,25

0,25

C=A–B

  x 2  10 xy  2017 y 2  2 y    5 x 2  8 xy  2017 y 2  3 y  2018 

0,25

 x2  10xy  2017y2  2y  5x2  8xy  2017y2  3y  2018
b

0,25

 4x2  2xy  y  2018
C  4x2  2xy  y  2018  2x(2x  y)  y  2018
 2x  y  2018 (2x  y)  2018
Thay 2x + y = 1 vào ta được C
Thay 2x + y = 1 vào ta được C  1 2018  2017

4

0,25

0,25

A
H

E

0,25

D
1
B

2 3
M

4

5

C
F

Xét  ABM và  ACM có:
AM chung; AB = AC (  ABC vng cân); MB = MC (gt)

0,25

�  ABM =  ACM (c.c.c)
a

0
0
�  AMC
�
�
�
�
�
� AMB
. Mà AMB  AMC  180 � AMB  AMC  90

� AM  BC
0 �
0
�
-  AMC có AMC  90 ; ACM  45 (  ABC vuông cân tại A)

0,25

0,5

�  AMC vuông cân tại M � MA = MC (1)
b

0
0
�
�
�
�
Ta có: M 2  M 3  90 (MD  ME) và M 3  M 4  90 (AM  BC)

0,25

2


�
�
� M 2  M 4 (2)

�
BAC
�  MAC
�
MAB

 450
2

- Do  ABM =  ACM �

0,25

Xét  AMD và  CME có:

�
�
0
�
�
AM = CM (theo (1)); M 2  M 4 (theo (2)); MAD  ACM  45

0,5

�  AMD =  CME (g.c.g) � MD = ME
Trên tia đối của tia MD lấy F sao cho MF = MD. Từ F kẻ FH  AB
tại H.

0,25

- Chứng minh  MDB =  MFC (c.g.c) từ đó suy ra FC // AB và FC

 AC.
c

0,25

- Chứng minh  HAC =  CFH từ đó suy ra HF = AC
Do  AMD =  CME � AD = CE � AD + AE = AC.

Do MD = ME nên MD + ME = 2MD = DF
Mặt khác DF �HF � DF �AC hay MD + ME �AD + AE

0,25

- Dấu “=” khi MD  AB.
5

Vì a + b = c + d = 25 nên 1 �a, b, c, d �24
c
d
Nếu cả hai phân số b và a đều lớn hơn 1 thì c + d > a + b. Trái

giả thiết.

0,25

Vậy có một phân số khơng vượt q 1.
c
�1
Khơng mất tính tổng quát giả sử b
d
c d
�23
� M   �1  23  24
b a
+ Nếu d �23 thì a
(vì a �1 )
(1)

0,25

2