TICH PHAN VA UNG DUNG

<span class='text_page_counter'>(1)</span>TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG A.Phương pháp đổi biến dạng 1. I.Tích phân các hàm vô tỷ 9. 3. I 1 =∫ x √ 1− x dx 1 1. I 2 =∫ x3 √ 1− x2 dx 0. 3 √3. dx. I3 = ∫. x √ x 2 +9. 0. 2 √3. I 4= ∫ √5 √7. x3 dx √3 x 2+ 1. I 5 =∫ 0 4. I 6 =∫ 1. dx x ( 1+ √ x ). 4. I 7 =∫ 0. 2. I 8=∫ 0. 73. I 9=∫ 0. √ 2 x +1 dx 1+ √2 x+1 x+1 dx √ 4 x+1 x +1 dx √3 x +1. 2. I 10 =∫ 1 4. I 11 =∫ 0. 10. I 12=∫ 5. dx x √ x2 +4. 3. x dx 1+ √ x −1 4 x −1 dx 2+ √2 x +1 dx x − 2 √x − 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 5. x +1 dx x √ 3 x+ 1. I 13 =∫ 1. 6. √3 ❑. I 14. 6 1+ x √ =∫ dx. x. 1 0. 2+ √ x +1 dx 3 √ x+1. I 15 =∫ −1 7. dx I 16 =∫ 3 3 2 0 √ x+ 1 ( √ ( x +1 ) +1 ) 4. I 17 =∫ 0. 2. I 18 =∫ √3. x+ 1 dx 2 ( 1+ √ 1+2 x ) x 3 +5 x dx √ 4 − x 2+3. 8. 2− x dx x √ x +1. I 19 =∫ 3. 1. I 20 =∫ 13. x dx 3 x+ √ 9 x 2 −1. 1. I 21 =∫ 0. 3. I 22=∫ 0. x. √. x −3 dx 3 √ x +1+x +3. 5. 2. x +1 dx x √ 3 x +1. I 23 =∫ 1. 3. I 24 =∫ 0. 1. I 25=∫ 0. 2 x 2+ x −1 dx √ x+ 1 x2 dx ( x +1 ) √ x +1. 2 √2. I 26 = ∫ √3. 3. 1+ x2 + ( √ 1+ x 2 ). x −1 dx √ x2 +1. dx.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 2. I 27 =∫ 0. 2. I 28 =∫ 0. 3. 2. 2 x −3 x + x dx √ x2 − x +1 x3 dx √ 4 +x 2. 21 4. I 29 =∫ 1. √ ( 4 x −3 ). 3+ √4 x −3. 1 3. 13 2 1. dx. x − x 3 +2012 x dx x4. I 30=∫ √ I 31 =∫. 3. 3. 3. 2 − √ 2− x dx 5 3x. 2. 2 − √ 4 − x2 I 32=∫ dx 3 x4 1 5. I 33 =∫ 3. √ x − 3+ √ x +1 dx ( x+ 1 )2 √ x+1. 2 √2. I 34 = ∫ √3. √5. I 35 =∫ 1. x4. (. 1 x− x. dx. ) √ x +1 2. x dx 2 x −1+3 √ x 2 −1 2. 1. I 36 =∫ ( x −1 )3 √ 2 x − x 2 dx 0 3. I 37 =∫ −1 2. I 38 =∫ 1 3. I 39 =∫ 0. x −3 dx 3 √ x +1+ x+ 3 2 x3 dx 3 1+ √ x 2 −1. √ x +1− 2 dx x + 2 x +1+ √ x+1 2. II.Tích phân các hàm lượng giác.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> π2. 3 cot x +1 I 1 =∫ √ 2 dx π 4 sin x π 4. 1 −2 sin 2 x dx 1+sin 2 x. I 2 =∫ 0. π 2. I 3 =∫ 0. π 2. I 4=∫ 0. sin 2 x cos x dx 1+cos x. sin 2 x+sin x dx √1+3 cos x. π 3. 2 sin 2 x +3 sin x dx √ 6 cos x − 2. I 5 =∫ 0. π 4. cos 2 x dx π sin x +cos x +2. I6 = ∫ −. 4. π 4. I 7 =∫ 0. π 4. I 8=∫ π 8. π 3. I 9=∫ π 4. sin x+ cos x dx 3+ sin 2 x cot x − tan x π sin 2 x cos 2 x − 4. (. ). tan x dx cos x √ 1+cos 2 x. π 8. I 10 =∫ π 12 π 6. dx. cot x − tan x −2 tan 2 x dx sin 4 x. 2. 8 cos x − sin2 x − 3 I 11 =∫ dx 0 sin x − cos x.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> π 6. I 12 =∫ 0. π 2. I 13=∫ 0. tan 4 x dx cos 2 x sin2 x. dx. √ cos2 x+ 4 sin 2 x. π 2. 4 sin3 x I 14 =∫ dx 0 1+cos x π 2 3. sin3 x −sin x I 15 =∫ √ 3 . cot xdx π sin x 3 π 4. I 16 =∫ 0. π 3. I 17 =∫ 0. π 4. I 18 =∫ π 6. π 2. I 19 =∫ 0. π 3. I 20 =∫ 0. π 2. I 21=∫ π 6. π 3. I 22 =∫ 0. 1 −2 sin 2 x dx ( sin x +cos x )4 4. 2. sin x cos x ( sin x +sin x +sin x +1 ) dx sin6 x −1. cos2 x π sin x sin x + 4 3. dx. ( ). sin x sin 2 x +2 cos x cos 2. x 2. dx. sin x dx 3 2 3 cos x +sin x cos x. cos x dx sin x √3+cos2 x. sin x dx cos x √ 1+ 4 sin 2 x.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> π 4. 1+sin 2 x dx 2 sin x cos 3 x +cos 4 x. I 23 =∫ 0. π 4. sin 3 x sin 4 x dx tan x +cot 2 x. I 24 =∫ π 6. π 2. sin 3 x +sin 2 x cos x +4 I 25 =∫ dx (1+ cos x )2 0 π 4. 3. 2 tan x −3 I 26 =∫ dx 2 0 sin 2 x +3 cos x π 6. sin 3 x dx 3 sin 4 x −sin 6 x −3 sin 2 x. I 27 =∫ 0. 2π 3. I 28 =∫ π 2. π 2. 0 π 6. (. dx. ). sin 3 x −sin3 3 x dx 1+ cos 3 x. I 30 =∫ 0. π 4. I 31= ∫ π 4. π sin 3 x +3 sin x − 3 sin 4 x +cos 2 x dx 6 6 sin x +cos x. I 29 =∫. −. sin x − √ 3 cos x. sin2 x dx cos 4 x ( tan 2 x − 2 tan x+5 ). π 4 I 32 =∫ dx 0 sin 2 x+ 2 ( 1+sin x +cos x ) π 4. (. sin x −. π 2. I 33 =∫ cos x 0. (. ). 1 + x dx 2+ √3 sin x+ 1. ).

<span class='text_page_counter'>(7)</span> π 2. 6. I 34 =∫ √ 1 − cos3 x . sin x cos5 xdx 0. π 4. I 35 =∫ cos 2 x ln ( sin x+ cos x ) dx 0 π 6. ( π4 )dx. I 36 =∫ tan x tan x + 0. π 2. I 37 =∫ π 6 π 3. I 38 =∫ π 4. cos x+ sin x dx ( e x sin x+ 1 ) sin x. 1− tan x dx e cos2 x+1 2x. π 2. 1. cos x ( 2 cot 2 x+3 cot x +1 ) sin I 39 =∫ 3 e π sin x. 2. x. +cot x. dx. 4 π 3. I 40=∫ π 4. π 2. sin 2 x +2 dx sin 2 x ( e x tan x+ 1 ). 3. I 41=∫ 0. cos x dx . √ 3 sin x+1+2. π 2 2013. sin 2013 x − sin2011 x √ I 42=∫ 5 .cot xdx sin x π 4. π 4. sin 2 x I 43= ∫ 2 dx 2 3 4 π sin x cos x −2 sin x cos x +5 cos x − 4. π 8. I 44=∫ 0. ( 1+sin 4 x ) cos 4 x dx cos 4 x −sin 4 x.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> π 3. I 45=∫ 0 π. I 46=∫ 0. π 4. tan x dx e2 x ( 1+cos 2 x ) 3. 3. sin x+ cos x dx 3+ sin 2 x. 0. sin 3 x+cos 3 x dx (1+2 sin 2 x ) ( 1+sin 2 x ). π 2. 1+2 √ 2sin. I 47=∫. I 48=∫ π 6 π 6. I 49=∫ 0. π 6. I 50 =∫ 0. ( x2 + π4 ) cos 2x dx. sin x+ cos x. 4 cos 5 x sin2 x dx x 1+ tan x tan 2. (. tan x −. π 4. cos 2 x. ) dx. π 8. sin 2 x I 51 =∫ dx π sin 3 x 6. ❑. I 52 =∫ ❑ π 4. I 53 =∫ 0. ( π8 ). cos 2 x +. sin 2 x+ cos 2 x+ √ 2 sin 4 x 2. π 3. sin3 2 x I 54 =∫ √ 5 dx π cos x 4 ❑. 4. cos x √ 1+ tan x. I =∫ ❑ ❑ ❑. dx. dx.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> π 3. tan. I 56 =∫ 0. π 4. I 57 =∫ 0. π 2. I 58 =∫. cos3 x 1+sin 2 x dx 2 cos x ( sin 2 x+ cos x ) 2. sin x +cos x. I 59 =∫ π 4. π 2. (. π π 3 cos x − +cos 3 x+ 4 4. (. √. π 3. I 61 =∫ 0. 1 cot xdx sin 2 x. ( π4 ) sin 2 x dx. π 12. 2+ sin2 x. π 3. I 63 = ∫ cos 3 x cos π 4. π 2. I 64 =∫ 0. π 4. I 65 =∫ 0. ). cot x +. I 62 = ∫. −. ) (. dx. sin x ( 4 cos2 x −1 ) dx cos 3 x + 4 cos x. 0. −. ). cos x cot x. I 60 =∫ 3 1 − π 3. dx. π 4+cos 2 x tan x − 4. π 4. π 3. ( 2x + π4 ) sin x ( 1 −sin x ) dx. ( π3 − x ) cos( π3 + x ) dx. cos 3 x − cos x. √ 4 sin2 x +3 cos 2 x. dx. ( sin x +cos x ) √ sin 2 x dx ( sin x −cos x )3.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> π 8. I 66 =∫ 0. π 3. I 67 =∫ π 4. 3 sin 8 x+ 5 sin 4 x dx sin 4 x+ cos 4 x cos x dx sin x ( 3+ 4 sin4 x ). III.Tích phân các hàm mũ và logarit e. I 1 =∫ √ 1. 2 ln 2. I= ∫. ln 2 3. I 3 =∫ 1. dx √ e x −1. dx e x −1. ln 5. I 4=∫. ln 3 e. ex. ( 3+ e x ) √ e x −1. I 5 =∫ √ 1 e. I 6 =∫ 1. ln 2. I 7 =∫ 0. ln 3. I 8=∫. ln 2 ln 3. I 9=∫ 0. 1+ln x dx x. dx. 1+3 ln x . ln x dx x. x+ 1 dx x ( 1+xe x ) ex dx ( ex − 9) √ 3 ex − 2 e2 x dx e x − 1+ √ e x −2 2e 3 x −e 2 x dx e x √ 4 e x − 3+1.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> 1 ln 3 2. I 10=. ∫. 1 − ln 3 2 ln 2. 2 e x +3 dx e x +2 e− x +3. I 11 =∫ 0. e. 3. ln x √ 2+ ln x dx x. I 12 =∫ 1. e. log 2 x 3. I 13 =∫. 2. x √ 1+3 ln x. 1. 3 ln 2. I 14 = ∫ ln 6 0. ln 15. I 16 = ∫. 3 ln2. e 2 x − 24 e x dx e x √ e x + 1+ 5 e x −3 √ e x +1 −15. √ e2 −1. ∫ 0. I 18 =∫ 0. e. I 19 =∫ 1. 2. x ln 2 ( x 2 +1 ) dx x 2 +1. x 2+ e x +2 x 2 e x dx 1+ 2e x. ( lnx √x1+ln x + ln x) dx 2. (. I 20 =∫ x 1 − 1. 2. ex dx 3 √ 3+e x +2 e x +7. I 15 = ∫. 1. dx. dx. ( √3 e x +2 ). 0. I 17 =. e2 x +e x +1 dx e3 x +2 e x ( e x +1 ) +2 e x + e− x. 1 [ ln ( x 2 +1 ) − ln x ] dx 4 x. ). e. x ln x + ln ( xe2 ) I 21=∫ dx x ln x +1 1 1. I 22 =∫ 0. ( x 2+ x ) e x x +e − x. dx.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> 1. ( x 2+ 5 x +6 ) e x. I 23=∫. −x. x +2+2013 e. 0. e. I 24 =∫ 1. ln x dx 2 x ( 2+ln x ). ln 2. 2 e 3 x +e 2 x − 1 dx e 3 x +e 2 x −e x +1. I 25 = ∫ 0. ❑. I 26 =∫ ❑. e. I 27 =∫ 1. e. dx. 2 x. ln ( 1+ x ) +2013 x 2. x +1. [. ln ( ex 2 +e ). ]. dx. ln x −1 dx 2 2 x − ln x. 2. I 28 =∫ e. x 2 ln 3 x +ln x +1 dx 3 3 x ln x 1. 1+e x I 29 =∫ 2 dx ❑ x ❑. e. I 30 =∫ 1 2. I 31 =∫ 1. 1− ln x dx x ( x − ln x ) x 6 − x3 −2 ( 3 ) [ ln x + 1 − 2 ln x ] dx x5. √e+1. I 32 =. ∫ √2. 3. 2. 2 x − x +1 ( 2 ) ln x − 1 dx x2− 1. B.Phương pháp đổi biến số dạng 2 2. I 1 =∫ √ 4 − x 2 dx 0 1. I 2 =∫ 0. dx ( 4 − x2 ) √ 4 − x2.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> 1. I 3 =∫ x2 √ 1− x2 dx 0 1 2. I 4=∫ 0. 1. I 5 =∫ 0. √3. I 6 =∫ 0. 1. I 7 =∫ 0 1 2. I 8=∫ 1 4. x2 2 3. √ ( 1− x ). dx. dx √ x 2+ 1 dx x 2 +3 dx 3. √( x +1 ) 2. dx √ x − x2. 1. I 9=∫ √ 3+2 x − x 2 dx 0. 2. I 10 =∫ x √ 2 x − x 2 dx 0. 1. I 11 =∫ x 2 √ 4 −3 x 2 dx 0. C.Tích phân từng phần 1. 2. I 1 =∫ x3 e x dx 0. 3. I 2 =∫ ln ( x 2 − x ) dx 2. e. I 3 =∫ 1. 2. x +1 ln xdx x.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> π. 2. I 4=∫ √ x sin √ x dx 0 π 2. I 5 =∫ ( e sin x + cos x ) cos xdx 0 e. I 6 =∫ x 3 ln 2 xdx 1 1. I 7 =∫ ( x − 2 ) e 2 x dx 0. π 2. I 8=∫ ( x+ 1 ) sin 2 xdx 0 2. I 9=∫ ( x − 2 ) ln xdx 1. 2. I 10=∫ 1. 3. I 11 =∫ 1. e. ln x dx x3 3+ln x dx ( x+ 1 )2. (. I 12=∫ 2 x − 1. π 3. I 13 =∫ 0. 3. I 14 =∫ 1. 3 ln xdx x. ). 1+ x sin x dx 2 cos x. 1+ ln ( x +1 ) dx x2. π 4. I 15=∫ x ( 1+sin 2 x ) dx 0. π 6. I 16 =∫ x sin x cos 2 xdx 0.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> 1. I 17 =∫ ln ( x+ √1+x 2 ) dx 0. 1. I 18 =∫. x ln ( x+ √1+ x. 2. ). √ 1+ x2. 0. dx. 1. I 19 =∫ e x sin 2 ( πx ) dx 0. π 2. 2. sin x. I 20 =∫ e. 3. sin x cos xdx. 0. −. 1 2. I 21 = ∫ −1 π 4. 1. 1 x− 1+ 2 e x dx x. ( ) tan x. e sin x I 22 =∫ 3 dx 0 cos x π 4. I 23 =∫ 0. 2. I 24 =∫ 1. 2. I 25=∫ 1. x sin x dx cos3 x ln ( 1+ x ) dx x2 x +ln x dx ( x+1 )2. 1. I 26 =∫ e √3 x+1 dx 0 e. I 27 =∫ 1. 2. x + x ln x +1 x e dx x. e. I 28 =∫ ( 2 x +1 ) ln x dx 1. 1. I 29 =∫ ( 2 x − 1 ) ln ( x +2 ) dx 0.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> π 2. 2. I 30 =∫ sin x cos3 xecos x dx 0. ❑. I =∫ ❑ ❑ 1. I 32 =∫ ln ( 1+ √ x ) dx 0. π 2. I 33 =∫ sin 2 x ln ( 2+ cos x ) dx 0. π 4. I 34 =∫ 0. sin x ln (1+ tan x ) dx cos3 x. 2. ( 1x ) dx. I 35 =∫ x 2 ln 1+ 1. 2. I 36 =∫ 1. ln ( 2 x +1 ) dx ( 2 x+1 )2. ln 2. I 37 =∫ e2 x ln ( 1+ e x ) dx 0. 2. I 38 =∫ 1. ln ( x+2 ) dx 2 4 x − 4 x+ 1. π 4. I 39 =∫ x . 0. 1. I 40=∫ 0. 1+sin 2 x dx 1+ tan x. x ln ( x + √ 1+ x. √ 1+ x. 2. 2. e. ln ( 1+ln 2 x ) I 41=∫ dx x 1 ln 2. x. I 42=∫ e x+2 e dx 0. D.Bài tập tổng hợp. ). dx.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> π 4. I 1 =∫ 0. x sin x + ( x +1 ) cos x dx x sin x +cos x. 0. 3. I 2 =∫ x ( e 2 x + √ x +1 ) dx −1 e. 2. I 3 =∫ 1. x + x ln x +1 x e dx x. 2. (. I 4=∫ e − x x+ 1. 1. I 5 =∫ 0. x. e ln ex dx x. ). x ( e x +1 ) + x +1 dx ( x+1 )2. 1. ( x −1 ) e x + x+1 I 6 =∫ dx 1+ e x 0 π 4. I 7 =∫ 0 e. I 8=∫. tan 2 x ( x 2 +1 ) + x 2 dx 1+tan 2 x 2 x 2+ x ( 1+2 ln x ) + ln 2 x. ( x 2 − x ln x ). 1. ln 2. I 9=∫ 4. 1 e. I 11 =∫ 1. e 2 x − e x +1. √. x. 1 √ x +e + dx 4 x √ x e2 x. ( x3 +1 ) ln x +2 x2 +1 2+ x ln x. 1 2+ ( ln x+1 ) x I 12 =∫ dx x+ ln x 1 e. e. I 13=∫ 1. dx. ( x2 +2 ) e 2 x + x 2 ( 1 −e x ) − e x. 0. I 10 =∫. 2. x ln x − 1 x ( e x +ln x ). 2. dx. dx. dx.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> 1. 1+ ( 2+x ) xe 2 x I 14 =∫ dx x 1+xe 0 2. I 15 =∫ 1. π 2. I 16 =∫ π 3. e x ( x ln x +1 ) +xe x + ln x dx 1+ xe x e x sin x ln ( ex ) +e x cos x +ln x dx 1+e x sin x. e. 1 − x ( e x −1 ) I 17 =∫ dx x 1 x ( 1+ xe ln x ) 5. I 18 =∫ 2 e. I 19 =∫ 1. 2. I 20 =∫ 1. π 6. I 21=∫ π 12 π 2. I 22 =∫ 0. ❑. I 23 =∫ ❑ 2. I 24 =∫ 1 e. I 25 =∫ 1. e x ( 3 x −2 ) + √ x − 1 dx e x ( x −1 )+ √ x − 1 x 3 ln 2 x + ( 1+10 x 2) ln x +1 dx x ln x+10. ( x +2 ) ( 1+ 2 xe x ) + 1 dx x ( 1+ xe x ) sin x − cos x − x ( sin x +cos x ) +1 dx x 2 − x ( sin x+ cos x )+ sin x cos x. sin x ( 1+ 14 cos x ) − x sin 4 x dx 7 −2 cos 2 x x ( 3 cot 2 2 x − cos2 x )+ sin x ( cos x − x sin x ) dx 2 cos 4 x +1 2 ( 1+ xe x ) + x 2 e x x 2 ( 2+ xe x ). 2. dx. xe x + 1 dx x ( e x + ln x ). E.Ứng dụng của tích phân 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:. y=x 2 − 2 x. và. y=x.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> 2.Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường: 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:. √. y= 4 −. x2 4. và. y=|x 2 −4 x+3| và y=. y=x +3. x2 4 √2. y=( 1+ e x ) x , y=( e +1 ) x. 5. Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường y=x ln x , khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox 6. Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường 4 y=x 2 , xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox 7.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( P ) : y=− x 2 +4 x. y=0 ,. x=e .Tính thể tích của. y=x .Tính thể tích của khối tròn và đường thẳng d : y=x. 8.Tính thể tích khối tròn xoay được tạo bởi phép quay quanh trục Ox, hình phẳng giới hạn bởi các đường: a,. 2 y=x − 4 x + 4 ,. b,. xe x y= √x , e +1. c,. y=. d,. y=0 ,. y=0 ,. x cos 2. ,. và. x=3. x=1. sin x +cos x , cos x √ sin 2 x +cos 2 x. ( 1+ sin x ) e x √ y=. x=0. y=0 ,. y=0 , x=0 ,. x=0 ,. x=. π 2. x=. π 4.

<span class='text_page_counter'>(20)</span>