Phan tich da thuc thanh nhan tu 2

<span class='text_page_counter'>(1)</span>PhÇn chung 1. Lí do chọn đề tài 1.1. C¬ së ph¸p chÕ Đào tạo bồi dỡng học sinh giỏi là một công tác mũi nhọn của ngành giáo dục & đào tạo. Trong xu thế phát triển hiện nay, việc đào tạo, bồi dỡng học sinh giỏi là một nhu cầu cấp thiết của xã hội, nó góp phần không nhỏ vào việc đào tạo, bồi dỡng nhân tài cho đất nớc. Chính vì vậy, trong những năm gần đây, việc đào tạo, bồi dỡng học sinh giỏi đợc ngành giáo dục hết søc chó träng. 1.2. C¬ së lý luËn To¸n häc lµ m«n häc gi÷ vai trß quan träng trong suèt bËc häc phæ th«ng. Lµ mét m«n häc khó, đòi hỏi ở mỗi học sinh phải có một sự nỗ lực rất lớn để chiếm lĩnh những tri thức cho mình. Chính vì vậy, việc tìm hiểu cấu trúc của chơng trình, nội dung của SGK, nắm vững phơng pháp dạy học, để từ đó tìm ra những biện pháp dạy học có hiệu quả là một công việc mà b¶n th©n mçi gi¸o viªn ®ang trùc tiÕp gi¶ng d¹y bé m«n to¸n thêng xuyªn ph¶i lµm. Trong công tác giảng dạy bộ môn Toán, việc đào tạo, bồi dỡng những học sinh có năng khiÕu vÒ bé m«n To¸n. Gióp cho c¸c em trë thµnh nh÷ng häc sinh giái thùc sù vÒ bé m«n to¸n là một công tác mũi nhọn trong công tác chuyên môn đợc ngành giáo dục hết sức chú trọng. Các cuộc thi học sinh giỏi các cấp đợc tổ chức thờng xuyên mỗi năm một lần đã thể hiện rõ điều đó. Chơng trình Toán bậc THCS có rất nhiều chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi, trong đó chuyên đề “Phân tích đa thức thành nhân tử” là một trong những chuyên đề giữ một vai trò quan trọng, nó giúp cho học sinh hình thành kỹ năng biến đổi đồng nhất trên các biểu thức đại số. Chẳng hạn, để thực hiện rút gọn một biểu thức đại số thì không thể thiếu việc phân tích đa thøc thµnh nh©n tö, hay viÖc gi¶i mét ph¬ng tr×nh bËc cao sÏ gÆp rÊt nhiÒu khã kh¨n nÕu häc sinh không thành thạo phân tích biểu thức vế trái thành nhân tử, thậm chí trong nhiều đề thi học sinh giỏi cấp huyện ,tỉnh, thành phố, ... nhiều năm cũng có những bài toán về chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử, ... Chính vì vậy, việc bồi dỡng cho học sinh chuyên đề về phân tích đa thức thành nhân tử là một trong những vấn đề mà bản thân tôi hết sức quan tâm. 1.3. C¬ së thùc tiÔn Năm học này, bản thân tôi đợc Nhà trờng và Phòng giáo dục giao cho nhiệm vụ đào tạo bồi dỡng học sinh giỏi môn Giải toán trên máy tính Casio. Đây là cơ hội để tôi đa đề tài này áp dụng vào công tác đào tạo bồi dỡng học sinh giỏi. Với tất cả những lý do nêu trên, tôi quyết định chọn đề tài này. 2. Nhiệm vụ của đề tài - Nghiªn cøu lÝ luËn vÒ ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. - X©y dùng hÖ thèng bµi tËp ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö víi c¸c ph¬ng ph¸p gi¶i bµi tËp thÝch hîp cho tõng bµi . - Thùc nghiÖm viÖc sö dông c¸c ph¬ng ph¸p gi¶i bµi tËp ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö trong gi¶ng d¹y. - §Ò xuÊt mét sè bµi häc kinh nghiÖm trong qu¸ tr×nh nghiªn cøu. 3. Giới hạn của đề tài §Ò tµi nµy t«i chØ ®em ra ¸p dông t¹i hai trêng: Trêng THCS NguyÔn Th¸i Häc vµ Trêng THCS Dân tộc Nội trú và dành cho đối tợng là học sinh giỏi bộ môn Toán lớp 9 4. §èi tîng nghiªn cøu Häc sinh giái líp 9 cña Trêng THCS D©n téc néi tró vµ Trêng THCS NguyÔn Th¸i Häc. 5. Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu Để thực hiện đề tài này, tôi sử dụng những phơng pháp sau đây: a) Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu lý luËn. b) Ph¬ng ph¸p kh¶o s¸t thùc tiÔn. c) Ph¬ng ph¸p quan s¸t. d) Ph¬ng ph¸p ph©n tÝch, tæng hîp, kh¸i qu¸t hãa. e) Ph¬ng ph¸p tæng kÕt kinh nghiÖm. 6. Thêi gian nghiªn cøu Từ ngày 5 / 9 / 2007 đến hết ngày 30 /12 / 2007 7. Tµi liÖu tham kh¶o Để thực hiện đề tài này, tôi đã sử dụng một số tài liệu sau: - S¸ch gi¸o khoa, s¸ch gi¸o viªn To¸n 8, To¸n 9. - Chuyên đề bồi dỡng Đại số 8 (Nguyễn Đức Tấn) - “23 chuyên đề giải 1001 bài toán sơ cấp” của Nhóm tác giả: Nguyễn Văn Vĩnh – Chủ biên, Nguyễn Đức Đồng và một số đồng nghiệp (NKTH).. Nội dung đề tài 1. Néi dung thùc hiÖn.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 1.1. C¬ së lÝ luËn 1.1.1. §Þnh nghÜa ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) §Þnh nghÜa 1 + Nếu một đa thức đợc viết dới dạng tích của hai hay nhiều đa thức thì ta nói rằng đa thức đã cho đợc phân tích thành nhân tử. + Víi bÊt k× ®a thøc ( kh¸c 0 ) nµo ta còng cã thÓ biÓu diÔn thµnh tÝch cña mét nh©n tö kh¸c 0 víi mét ®a thøc kh¸c. ThËt vËy: a an −1 n – 1 a0 anxn + an-1xn-1 + … + a0 = c( n xn + x + …..+ ) ( víi c 0, c 1 ). c c c b) §Þnh nghÜa 2 Giả sử P(x) P [ x ] là đa thức có bậc lớn hơn 0. Ta nói P(x) là bất khả quy trên trờng P nếu nó không thể phân tích đợc thành tích của hai đa thức bậc khác 0 và nhỏ hơn bậc của P(x). Trờng hợp trái lại thì P(x) đợc gọi là khả quy hoặc phân tích đợc trên P. 1.1.2. Các định lý cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử a)§Þnh lý 1 Mỗi đa thức f(x) trên trờng P đều phân tích đợc thành tích các đa thức bất khả quy, và sự phân tích đó là duy nhất sai khác thứ tự các nhân tử và các nhân tử bậc 0.” b) §Þnh lý 2 Trªn trêng sè thùc R, mét ®a thøc lµ bÊt kh¶ quy khi vµ chØ khi nã lµ bËc nhÊt hoÆc bËc hai với biệt thức Δ < 0. Vậy mọi đa thức trên R có bậc lớn hơn 0 đều phân tích đợc thành tích cña c¸c ®a thøc bËc nhÊt hoÆc bËc hai víi Δ < 0”. c) §Þnh lý 3( Tiªu chuÈn Eisenten ) Gi¶ sö f(x) = a0 + a1x + ….. + anxn , n > 1, an 0, lµ mét ®a thøc hÖ sè nguyªn . NÕu tån t¹i mét sè nguyªn tè p sao cho p kh«ng ph¶i lµ íc cña an nhng p lµ íc cña c¸c hÖ sè cßn l¹i vµ p2 kh«ng ph¶i lµ íc cña c¸c sè h¹ng tù do a0. ThÕ th× ®a thøc f(x) lµ bÊt kh¶ quy trªn Q. 1.2. Mét sè ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö Qua các định lý trên, ta đã chứng tỏ rằng mọi đa thức đều phân tích đợc thành tích các đa thức trên trờng số thực R. Song đó là mặt lí thuyết , còn trong thực hành thì khó khăn hơn nhiều , và đòi hỏi những “kĩ thuật” , những thói quen và kĩ năng “ sơ cấp”. Dới đây qua các ví dụ ta xem xét một số phơng pháp thờng dùng để phân tích một đa thức thành nhân tử. 1.2.1. Phơng pháp đặt nhân tử chung Phơng pháp này vận dụng trực tiếp tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng (theo chiÒu ngîc). Bµi 1 : Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö A = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax - by) Gi¶i: Ta cã : A = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax –by) = 2x2 (ax + 2by + ax – by) =2x2(2ax + by) Bµi 2: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö P = (2a2 – 3ax)(5y + 2b) – (6a2 – 4ax)(5y + 2b) Gi¶i: Ta cã: P = (2a2 – 3ax)(5y +2b) – (6a2 – 4ax)(5y + 2b) = (5y+2b)((2a2 – 3ax) – (6a2 – 4ax)) = (5y + 2b)(- 4a2 + ax) = (5y + 2b)(x – 4a)a Bµi 3: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö B = 3x2(y – 2z ) – 15x(y – 2z)2 Gi¶i: Ta thÊy c¸c h¹ng tö cã nh©n tö chung lµ y – 2z Do đó : B = 3x2(y – 2z) – 15x(y – 2z)2 = 3x(y – 2z)((x – 5(y – 2z)) =3x(y – 2z)(x – 5y + 10z) Bµi 4 : ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö C = (2a2 – 3ax)(5c + 2d) – (6a2 – 4ax)(5c +2d) Gi¶i: Ta cã: C = (2a2 – 3ax)(5c + 2d) – (6a2 – 4ax)(5c + 2d) = (5c + 2d)(2a2 – 3ax – 6a2 + 4ax) = (5c + 2d)(ax – 4a2) = a(5c + 2d)(x – 4a) Bµi 5: ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö Q = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6xy2z – xyz2 + 3xy Gi¶i: Ta cã: Q = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6xy2z – xyz2 + 3xy = 3xy(x2 – 2x –y2 – 2yz – z2 + 1) = 3xy((x2 – 2x + 1) – (y2 + 2yz + z2)) = 3xy((x – 1)2 – (y + z)2) = 3xy((x – 1) –(y + z))((x – 1) + 9 y+ z)) = 3xy(x - y –z –1)(x + y + z – 1) Bµi 6 : Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> A = 16x2(y – 2z) – 10y( y – 2z) Gi¶i: Ta cã : A = 16x2(y – 2z) – 10y( y – 2z) = (y – 2z)(16x2 – 10y) Bµi 7 : Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö B = x3 + 3x2 + 2x + 6 Gi¶i: Ta cã : B = x3 + 3x2 + 2x + 6 = x2(x + 3) + 2( x + 3) = (x2 + 2)(x + 3) Bµi 8 : Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö A = 6z3 + 3z2 + 2z +1 Gi¶i: Ta cã : A = 6z3 + 3z2 + 2z +1 = 3z2(2z + 1) + (2z + 1) = (2z + 1)(3z2 + 1) 1.2.2 . Ph¬ng ph¸p nhãm c¸c h¹ng tö Ph¬ng ph¸p nµy vËn dông mét c¸ch thÝch hîp tÝnh chÊt giao ho¸n, tÝnh chÊt kÕt hîp cña phép cộng, để làm xuất hiện từng nhóm các hạng tử có nhân tử chung, rồi sau đó vận dụng tÝnh chÊt ph©n phèi cña phÐp nh©n víi phÐp céng. Sau ®©y lµ mét sè vÝ dô : Bµi 9: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö B = xy2 – xz2 + yz2 – yx2 + zx2 – zy2 Gi¶i: Ta cã : B = xy2 – xz2 + yz2 – yx2 + zx2 – zy2 = (xy2 – xz2) + (yz2 - zy2) + (zx2 – yx2) = x(y2 – z2) + yz(z – y) + x2(z – y) = x(y – z)(y + z) – yz(y – z) – x2(y – z) = (y – z)((x(y + z) – yz – x2)) = (y – z)((xy – x2) + (xz – yz) = (y – z)(x(y – x) + z(x – y)) = (y – z)(x – y)(z – x) Bµi 10 : Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö A= 4x5 +6x3 +6x2 +9 Gi¶i: Ta cã : A= 4x5 +6x3 +6x2 +9 = 2x3(2x2 + 3) + 3(2x3 + 3) = (2x3 + 3)(2x2 + 3) Bµi 11: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö B = x6 + x4 + x2 + 1 Gi¶: Ta cã : B = x6 + x4 + x2 + 1 = x4(x2 + 1) + ( x2 + 1) = (x2 + 1)(x4 + 1) Bµi 12: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö B = x2 + 2x + 1 – y2 Gi¶i: Ta cã: B = x2 + 2x + 1 – y2 = (x2 + 2x + 1) – y2 = (x + 1)2 – y2 =(x +1 – y)(x + 1 + y ) Bµi 13 : Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö A = x2 + 2xy + y2 – xz - yz Gi¶i: Ta cã : A = x2 + 2xy + y2 – xz - yz = (x2 + 2xy + y2) – (xz + yz) = (x + y)2 – z(x + y) = (x + y)(x + y – z) Bµi 14: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö P = 2xy + z + 2x + yz Gi¶i: Ta cã : P = 2xy + z + 2x + yz = (2xy + 2x) + (z + yz) = 2x(y + 1) + z(y + 1) = (y + 1)(2x + z) Bµi 15: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö A = xm + 4 + xm + 3 – x - 1 Gi¶i: Ta cã : A = xm + 4 + xm + 3 – x – 1 = xm + 3(x + 1) – ( x + 1) = (x + 1)(xm + 3 – 1) Bµi 16: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö P = x2(y – z) + y2(z - x) + z2(x – y) Gi¶i: Khai triÓn hai sè h¹ng cuèi råi nhãm c¸c sè h¹ng lµm xuÊt hiÖn thõa sè chung y - z Ta cã : P = x2(y – z) + y2z – xy2 + xz2 – yz2 = x2(y – z) + yz(y – z) – x(y2 – z2) = x2(y – z) + yz(y – z) – x(y – z)(y + z).

<span class='text_page_counter'>(4)</span> = (y – z)((x2 + yz – x(y + z)) = (y – z)(x2 + yz – xy – xz) = (y – z)(x(x – y) – z(x – y)) = (y – z)(x – y)(x – z) NhËn xÐt : dÔ thÊy z – x = -((y – z) + (x – y) nªn : P = x2(y – z) - y2((y – z) + (x – y)) + z2(x – y) =(y – z)(x2 – y2) – (x – y)(z2 – y2) = (y – z) (x – y)(x + y) - (x – y)(z - y)(z + y) = (y – z) (x – y)(x + y – (z + y)) = (y – z) (x – y)(x – z) Bµi 17: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö A = ( a + b + c)(bc + ca + ab) - abc Gi¶i: Ta cã : A = ( a + b + c)(bc + ca + ab) - abc = ( a + b)(bc + ca + ab) + c(bc + ca + ab) - abc = ( a + b)(bc + ca + ab) + bc2 + c2a + abc – abc = ( a + b)(bc + ca + ab) + c2( a + b) = ( a + b)(bc + ca + ab + c2) = ( a + b)( c(b + c) + a(b + c)) = ( a + b)(b + c)(c + a) Bµi 18: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: Q = a2b + ab2 + b2c +bc2 + c2a + ca2 + 3abc Gi¶i: Ta cã : Q = a2b + ab2 + b2c +bc2 + c2a + ca2 + 3abc = (a2b + ab2 + abc) + (b2c +bc2 +abc) + (c2a + ca2 + abc) = ab( a + b + c) + bc( a + b + c) +ca( a + b + c) = ( a + b + c)(ab + bc + ca) Bµi 19: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö A = 2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc Gi¶i: Ta cã : A = 2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc = (2a2b + 4ab2) – (a2c + 2abc) + (ac2+ 2bc2) – (4b2c+ 2abc) = 2ab(a + 2b) – ac(a + 2b) + c2(a + 2b) – 2bc(a + 2b) = (a + 2b)(2ab – ac + c2 – 2bc) = (a + 2b)(a(2b – c) – c(2b –c)) = (a + 2b)(2b – c)(a – c) Bµi 20: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö P = 4x2y2(2x + y) + y2z2(z – y) – 4z2x2(2x + z) Gi¶i: Ta cã : P = 4x2y2(2x + y) + y2z2(z – y) – 4z2x2(2x + z) = 4x2y2(2x + y) + z2(y2(z – y) – 4x2(2x + z) = 4x2y2(2x + y) + z2( y2z – y3 – 8x3 – 4x2z) = 4x2y2(2x + y) + z2(z(y2 – 4x2) – (y3 + 8x3)) = 4x2y2(2x + y) + z2(z(y – 2x)(y + 2x) – (y + 2x)(y2 – 2xy + 4x2)) = (2x + y)( 4x2y2 + z3 – 2xz3 – z2y2 + 2xyz2 – 4x2z2) = (2x + y)(4x2(y2 – z2) – z2y (y – z) +2xz2( y – z)) = (2x + y)(y – z)(4x2y + 4x2z – z2y + 2xz2) = (2x + y)( y – z)(y(4x2 – z2) + 2xz(2x + z)) = (2x + y)( y – z) (2x + z)(2xy – yz + 2xz) 1.2.3. Phơng pháp dùng hằng đẳng thức đáng nhớ Phơng pháp này dùng hằng đẳng thức để đa một đa thức về dạng tích, hoặc luỹ thừa bậc hai, bËc ba cña mét ®a thøc kh¸c. Các hằng đẳng thức thờng dùng là : A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 A2 - 2AB + B2 = (A - B)2 A2 - B2 = (A + B) (A - B) (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 A3 - B3 = (A - B)( A2 + AB + B2) A3 + B3 = (A + B)( A2 - AB + B2) Sau ®©y lµ mét sè bµi tËp cô thÓ: Bµi 21: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö A = x4 + x2y2 + y4 Gi¶i: Ta cã : A = x4 + x2y2 + y4 = (x4 + 2x2y2 + y4) - x2y2 = (x2 + y2)2 - x2y2 = (x2 + y2 + xy)(x2 + y2 – xy) Bµi 22: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö B = a6 – b6 + a4 + a2b2 + b4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Gi¶i: Ta cã : B = a6 – b6 + a4 + a2b2 + b4 = (a6 – b6) + (a4 + a2b2 + b4 ) = (a3 + b3) (a3 - b3) + (a4 + a2b2 + b4 ) = (a + b)( a2 - ab + b2) (a - b)( a2 + ab + b2) + (a4 + 2a2b2 + b4) – a2b2 = (a + b)( a2 - ab + b2) (a - b)( a2 + ab + b2) +(a2 + b2 )2– a2b2 = (a + b)( a2 - ab + b2) (a - b)( a2 + ab + b2) +(a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 ) = (a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 ) ((a – b)(a + b) + 1)) = (a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 )(a2 – b2 + 1) Bµi 23: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö M = x4 + x2 + 1 + (x2 – x + 1)2 Gi¶i: Ta cã : M = x4 + x2 + 1 + (x2 – x + 1)2 = (x4 + 2x2 + 1) – x2 + (x2 – x + 1)2 = (x2 + 1)2 – x2 + (x2 – x + 1)2 = (x2 – x + 1) (x2 + x + 1) + (x2 – x + 1)2 = (x2 – x + 1) (x2 + x + 1 + x2 – x + 1) = 2(x2 – x + 1)(x2 + 1) Bµi 24: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö A = x4 + y4 + z4- 2x2y2 – 2x2z2- 2y2z2 Gi¶i: Ta cã: A = x4 + y4 + z4- 2x2y2 – 2x2z2- 2y2z2 = (x4 + y4 + z4- 2x2y2 – 2x2z2 + 2y2z2) – 4y2z2 = (x2 – y2 – z2)2 – 4y2z2 = (x2 – y2 – z2 – 2yz) (x2 – y2 – z2 + 2yz) = (x2 – (y + z)2 )( x2 – (y - z)2 ) = (x – y – z) (x + y + z) (x – y + z)(x + y – z) Bµi 25: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö A = (x + y)3 +(x - y)3 Giải: Dựa vào đặc điểm của vế trái và áp dụng hằng đẳng thức ta sẽ có cách khác giải nh sau : C¸ch 1: A = (x + y)3 +(x - y)3 = ((x + y) +(x - y))3 – 3((x + y) +(x - y)) (x + y)(x - y) = 8x3 – 3.2x(x2 – y2) = 2x(4x2 – 3(x2 – y2)) = 2x(x2 + 3y2) C¸ch 2: A = (x + y)3 +(x - y)3 = ((x + y) +(x - y))((x + y)2 – (x + y)(x – y) + (x – y)2 = 2x(2(x2 + y2) - (x2 – y2)) = 2x(x2 + 3y2) Bµi 26: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö A = 16x2 + 40x + 25 Gi¶i: Ta cã: A = 16x2 + 40x + 25 = (4x)2 + 2.4.5.x + 52 = (4x + 5)2 Bµi 26: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö B = (x - y)3 +(y - z)3 +(z - x)3 Gi¶i: DÔ thÊy : x – y =(x – z) + (z – y) Từ đó ta có : (x - y)3 = (x – z)3 + (z – y)3 + 3(x – z)(z – y)((x – z) + (z – y)) = - (z - x)3 - (y - z)3 + 3(z – x)(y – z)(x – y) = 3(z – x)(y – z)(x – y) Bµi 27: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö A = (a + b+ c) – (a3 + b3+ c3) Gi¶i: Ta cã: A = (a + b+ c) –(a3 + b3+ c3) = a3 + 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + (b + c)3 - (a3 + b3+ c3) = a3 + 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + b3 + 3b2c + c3 - (a3 + b3+ c3) = 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + 3bc(b + c) = 3(b + c)(a2 + ab + ac + bc) = 3(b + c)(a(a + b) + c(a + b) = 3(b + c)(a + b)(a + c) Bµi 28: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö P = x8 – 28 Gi¶i: Ta cã : P = x8 – 28 = (x4 + 24) (x4 - 24) = (x4 + 24)((x2)2 – (22)2 ) = (x4 + 24)(x2 – 22)(x2 + 22) = (x4 + 24)(x2 + 22)(x – 2)(x + 2) Bµi 29: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö Q = (x3 – 1) + (5x2 – 5) + (3x – 3).

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Gi¶i: Ta cã:. Q = (x3 – 1) + (5x2 – 5) + (3x – 3) = (x – 1)(x2 + x + 1) + 5(x – 1) (x + 1) + 3(x – 1) = (x – 1)( x2 + x + 1 + 5x + 5 + 3) = (x – 1)( x2 + 6x + 9) = (x – 1)(x + 3)2 1.2.4. Ph¬ng ph¸p thùc hiÖn phÐp chia: NÕu a lµ mét nghiÖm cña ®a thøc f(x) th× cã sù ph©n tÝch f(x) = (x – a).g(x) ,g(x) lµ mét đa thức. Để tìm g(x), ta chia f(x) cho (x – a). Sau đó lại phân tích tiếp g(x). Sau ®©y lµ mét sè vÝ dô cô thÓ: Bµi 30: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö f(x) = x5 + 6x4 + 13x3 + 14x2 + 12x + 8 Gi¶i: DÔ thÊy: f(-2) = (-2)5 + 6(-2)4 + 13(-2)3 + 14(-2)2 + 12(-2) + 8 = 0 Nên chia f(x) cho (x + 2), ta đợc: f(x) = (x + 2)(x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4) = (x + 2).g(x) DÔ thÊy: g(x) = x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4 cã g(-2) = 0 Nên chia g(x) cho (x + 2), ta đợc: g(x) = (x + 2)(x3 + 2x2 + 2x + 2) §Æt h(x) = x3 + 2x2 + 2x + 2. Ta cã: h(-2) = 0 Nên chia h(x) cho(x + 2), đợc: h(x) = (x + 2)(x2 + 1) VËy: f(x) = (x + 2) (x + 2) (x + 2) (x2 + 1) = (x + 2)3(x2 + 1) Khi thực hiện phép chia f(x), g(x), h(x) cho (x + 2), ta có thể sử dụng sơ đồ Hoocne để thực hiện phép chia đợc nhanh hơn. VÝ dô chia f(x) cho (x + 2) nh sau : -2. 1 1. 6 4. 13 5. 14 4. 12 4. 8 0. VËy f(x) = (x + 2)(x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4) Chia x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4 cho (x + 2) nh sau : -2. 1 1. 4 2. 5 2. 4 2. 4 0. VËy x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4 = (x + 2)(x3 + 2x2 + 2x + 2) Chia x3 + 2x2 + 2x + 2 cho (x + 2) nh sau : -2. 1 1. 2 0. 2 1. 2 0. VËy x3 + 2x2 + 2x + 2 = (x + 2)(x2 + 1) VËy h(x) = (x + 2)3(x2 + 1) Bµi 31: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö P = x4 – 2x3 – 11x2 + 12x + 36 Gi¶i: T×m nghiÖm nguyªn cña ®a thøc (nÕu cã) trong c¸c íc cña 36 : ± 1; ± 2; ± 3; ± 4; ± 6 ; ± 9; ± 12; ± 18; ± 36. Ta thÊy : x = -2 P(-2) = 16 + 16 –44 – 24 +36 = 68 – 68 = 0 Ta cã: P = x4 + 2x3 – 4x3 – 8x2 – 3x2 – 6x + 18x + 36 = x3 (x + 2) – 4x2(x + 2) – 3x(x + 2) + 18(x + 2) = (x + 2)(x3 – 4x2 – 3x + 18) L¹i ph©n tÝch Q = x3 – 4x2 – 3x + 18 thµnh nh©n tö Ta thÊy: Q(-2) = (-2)3 – 4(-2)2 – 3(-2) + 18 = 0 Nên chia Q cho (x + 2), ta đợc : Q = (x + 2)(x2 – 6x + 9) = (x + 2)(x – 3)2 VËy: P = (x + 2)2(x – 3)2 1.2.5. Phơng pháp đặt ẩn phụ Bằng phơng pháp đặt ẩn phụ (hay phơng pháp đổi biến) ta có thể đa một đa thức với ẩn số cồng kềnh , phức tạp về một đa thức có biến mới, mà đa thức này sẽ dễ dàng phân tích đợc thành nhân tử. Sau đây là một số bài toán dùng phơng pháp đặt ẩn phụ. Bµi 30: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö A = (x2 + x) + 4(x2 + x) - 12 Giải: Đặt : y = x2 + x , đa thức đã cho trở thành : A = y2 + 4y – 12.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> = y2 – 2y + 6y – 12 = y(y – 2) + 6(y – 2) = (y – 2)(y + 6) (1) Thay : y = x2 + x vào (1) ta đợc : A = (x2 + x – 2)(x2 + x – 6) = (x – 1)(x + 2)(x2 + x – 6) Bµi 33: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö A = (x2 + x + 1)( x2 + x + 2) - 12 Gi¶i: A = (x2 + x + 1)( x2 + x + 2) - 12 Đặt y = (x2 + x + 1). Đa thức đã cho trở thành : A = y(y + 1) – 12 = y2 + y – 12 = y2 – 3y + 4y – 12 = y(y – 3) + 4(y – 3) = (y – 3)(y + 4) (*) Thay: y = (x2 + x + 1) vào (*) ta đợc : A = (x2 + x + 1 - 3)(x2 + x + 1 + 4) = (x2 + x – 2) (x2 + x + 6) = (x – 1)(x + 2)(x2 + x + 6) Bµi 34: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö B = x12 – 3x6 + 1 Gi¶i: B = x12 – 3x6 + 1 §Æt y = x6 (y 0 ) Đa thức đã cho trở thành : B = y2 – 3y + 1 = y2 – 2y + 1 – y = (y – 1)2 – y = (y – 1 - √ y )(y + 1 + √ y ) (*) Thay : y = x6 vào (*) đợc : B = (x6 – 1 - √ x6 ¿( y+1+ √ x 6 ) = (x6 – 1 – x3)(x6 + 1 + x3) Bµi 3: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö A = x3 - 3 √ 2 x2 + 3x + √ 2 - 2 Gi¶i: §Æt : y = x - √ 2 , ta cã x = y + √ 2 A = (y + √ 2 )3 - 3 √ 2 (y + √ 2 )2 + 3(y + √ 2 ) + √ 2 - 2 = y3 + 3y2 √ 2 + 3y.2 + 2 √ 2 - 3 √ 2 (y2 + 2 √ 2 y + 2) + 3(y + = y3 - 3y – 2 = y3 - y – 2y – 2 = y(y2 – 1) – 2(y + 1) = y(y – 1)(y + 1) – 2(y + 1) = (y + 1)(y(y – 1) – 2) = (y + 1)(y2 – y – 2) = (y + 1)(y + 1)(y – 2) = (y + 1)2(y – 2) (*) Thay : y = x - √ 2 vào (*), đợc : A = (x - √ 2 + 1)2(x - √ 2 - 2) Bµi 36: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö M = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 Gi¶i: Ta cã: M = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 = ((x + 1)( x + 7))((x + 3)(x + 5)) + 15 = (x2 + 8x + 7)( x2 + 8x + 15) + 15 Đặt : y = (x2 + 8x + 7). Đa thức đã cho trở thành : M = y(y + 8) + 15 = y2 + 8y + 15 = y2 + 3y + 5y + 15 = y(y + 3) + 5(y + 3) = ( y + 3)(y + 5) Thay : y = (x2 + 8x + 7), ta đợc : M = (x2 + 8x + 10)(x2 + 8x + 12) = (x2 + 8x + 10)( x2 + 2x + 6x + 12) = (x2 + 8x + 10)((x(x + 2) + 6(x + 2)) = (x2 + 8x + 10)(x + 2)(x + 6). √2 ) + √2 - 2.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> NhËn xÐt: Tõ lêi gi¶i bµi to¸n trªn ta cã thÓ gi¶i bµi to¸n tæng qu¸t sau : ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö : A = (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) + m Nếu a + d = b + c . Ta biến đổi A thành : A = ((x + a)(x + d))((x + b)(x + c)) + m (1) Bằng cách biến đổi tơng tự nh bài 36, ta đa đa thức (1) về đa thức bậc hai và từ đó phân tích đợc đa thức A thành tích các nhân tử. Bµi 37: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö A = x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + 1 Gi¶i: Gi¶ sö x 0 , ta viÕt ®a thøc díi d¹ng : 1 1 A = x2((x2 + ) + 6( x )+7) 2 x x 1 1 §Æt y = x th× x2 + = y2 + 2 x x2 Do đó : A = x2(y2 + 2 + 6y + 7) = x2( y + 3)2 = (xy + 3x) 2 1 Thay y = x , ta đợc x 2 1 A = x ( x − )+ 3 x x = (x2 + 3x – 1)2 Dạng phân tích này cũng đúng với x = 0 NhËn xÐt : Tõ lêi gi¶i bµi tËp nµy, ta cã thÓ gi¶i bµi tËp tæng qu¸t sau : Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö : A = a0x2n + a1xn – 1 +…….+ an – 1xn – 1 +anxn + an – 1xn – 1 + …..+ a1x + a0 B»ng c¸ch ®a xn lµm nh©n tö cña A, hay : a1 a0 an −1 A = xn(a0xn + a1xn – 1 + …….+ an – 1x + an + +…..+ n −1 + x x xn 1 Sau đó đặt y = x + ta sẽ phân tích đợc A thành nhân tử một cách dễ dàng nh bài tập x trªn. Bµi 38: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö A = x2 + 2xy + y2 – x – y - 12 Gi¶i: Ta cã: A = x2 + 2xy + y2 – x – y – 12 = (x + y)2 – (x + y) – 12 - §Æt X = x + y, ®a thøc trªn trë thµnh : A = X2 – X – 12 = X2 - 16 – X + 4 = (X + 4)(X - 4) - (X - 4) = (X - 4)(X + 4 - 1) = (X - 4)(X + 3) (1) - Thay X = x + y vào (1) ta đợc : A = (x + y – 4)( x + y + 3) Bµi 39: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö A = (x2 + y2 + z2)( x + y + z)2 + (xy + yz + zx)2 Gi¶i: A = (x2 + y2 + z2)( x + y + z)2 + (xy + yz + zx)2 §Æt : x2 + y2 + z2 = a xy + yz + zx = b ⇒ ( x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) = a + 2b §a thøc A trë thµnh : A = a(a + 2b) + b2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 (*) Thay : a = x2 + y2 + z2 b = xy + yz + zx vào (*) ta đợc : A = (x2 + y2 + z2 + xy + yz + zx)2 Bµi 40: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö P = (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3. [. ].

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Gi¶i: §Æt : A = x – y ; B = y – z; C = z – x Ta cã : A + B + C = 0. Nªn A+B=-C LËp ph¬ng hai vÕ : (A + B)3 = - C3 ↔ A3 + 3AB(A + B) + B3 = - C3 ↔ A3 + B3 + C3 = - 3AB(A + B) ↔ A3 + B3 + C3 = 3ABC Thay : A = x – y ; B = y – z; C = z – x, ta đợc : (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 = 3(x – y)(y – z)(z – x) 1.2.6. Phơng pháp đề xuất bình phơng đủ ( tách số hạng) Phơng pháp đề xuất bình phơng đủ là phơng pháp thêm, bớt các hạng tử trong đa thức để làm xuất hiện các đa thức có thể đa về hằng đẳng thức đáng nhớ. Sau ®©y lµ mét sè vÝ dô : Bµi 41: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö A = x2 – 6x + 5 Gi¶i: Ta cã thÓ gi¶i bµi to¸n trªn ®©y b»ng mét sè c¸ch nh sau: C¸ch 1: A = x2 – 6x + 5 = x2 – x – 5x + 5 = x(x – 1) – 5(x – 1) = (x – 1)(x – 5) C¸ch 2 : A = x2 – 6x + 5 = (x2 - 2x + 1) – 4x + 4 = (x – 1)2 – 4(x – 1) = (x – 1)(x – 1 - 4) = (x – 1)(x – 5) C¸ch 3 : A = x2 – 6x + 5 = (x2 – 6x + 9) – 4 = (x – 3)2 – 4 = (x – 3 – 2) (x – 3 + 2) = (x – 1)(x – 5) C¸ch 4 : A = x2 – 6x + 5 = (x2 – 1) – 6x + 6 = (x – 1)(x + 1) – 6(x – 1) = (x – 1)( x + 1 – 6) = (x – 1)(x – 5) C¸ch 5 : A = x2 – 6x + 5 = (3x2 – 6x + 3) – 2x2 + 2 = 3(x – 1)2 - 2(x2 – 1) = 3(x – 1)(3(x – 1) – 2 ( x + 1)) = (x – 1)(x – 5) C¸ch 6 : A = x2 – 6x + 5 = (5x2 – 10x + 5) – 4x2 + 4 = (x – 1)2 – 4x(x – 1) = (x – 1)( (5(x – 1) – 4x)) = (x – 1)(x – 5) C¸ch 7 : A = x2 – 6x + 5 = (6x2 – 6x) – 5x2 + 5 = 6x(x – 1) - 5(x – 1) (x + 1) = (x – 1)(6x – 5(x + 1)) = (x – 1)(x – 5) C¸ch 8 : A = x2 – 6x + 5 §Æt f(x) = x2 – 6x + 5 DÔ thÊy tæng c¸c hÖ sè cña f(x) b»ng 0 hay f(x) = 0 nªn f(x) chia hÕt cho (x- 1). Thực hiện phép chia f(x) cho (x –1) đợc thơng là (x – 5). Vậy A = (x – 1)(x – 5) Chó ý: §Ó ph©n tÝch ®a thøc ax 2 + bx + c (c 0) b»ng ph¬ng ph¸p t¸ch sè h¹ng ta lµm nh sau : Bíc 1 : lÊy tÝch a.c = t Bíc 2 : ph©n tÝch t thµnh hai nh©n tö ( xÐt tÊt c¶ c¸c trêng hîp) t = pi.qi B¬c 3 : t×m trong c¸c cÆp nh©n tö pi, qi mét cÆp pa, qa sao cho : pa + qa = b Bíc 4 : viÕt ax2 + bx + c = ax2 + pax + qax + c Bíc 5 : tõ ®©y nhãm c¸c sè h¹ng vµ ®a nh©n tñ chung ra ngoµi dÊu ngoÆc. Bµi 42: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö B = x4 + 2x2 - 3.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Gi¶i: C¸ch 1: B = x4 + 2x2 - 3 = x4 – x2+ 3x2 – 3 = x2(x2 – 1) + 3(x2 – 1) = (x2 – 1) (x2 + 3) = (x – 1)(x + 1)(x2 + 3) C¸ch 2: B = x4 + 2x2 - 3 = x4 + 3x2 – x2– 3 = x2(x2 + 3) - (x2 + 3) = (x2 + 3)(x2 – 1) = (x2 + 3)(x – 1)(x + 1) C¸ch 3 : B = x4 + 2x2 - 3 = (x4 ) + 2x2 – 1 – 2 = (x4 – 1) + 2x2– 2 = (x2 – 1)(x2 + 1) + 2(x2 – 1) = (x2 – 1)(x2 + 3) = (x – 1)(x + 1)(x2 + 3) C¸ch 4 : B = x4 + 2x2 - 3 = (x4 + 2x2 + 1) - 4 = (x2 + 1)2 – 4 = (x2 + 1)2 – 22 = (x2 + 1 – 2)(x2 + 1 + 2) = (x2 – 1) (x2 + 3) = (x – 1)(x + 1)(x2 + 3) C¸ch 5 : B = x4 + 2x2 - 3 = (x4 – 9) + 2x2 + 6 = (x2 + 3)(x2 - 3) + 2(x2 + 3) = (x2 + 3)( x2 - 3 + 2) = (x2 + 3)(x2 – 1) = (x2 + 3)(x – 1)(x + 1) C¸ch 6 : B = x4 + 2x2 - 3 = (3x4 – 3) – 2x4 + 2x2 = 3(x4 – 1) – 2x2(x2 – 1) = 3(x2 – 1)(x2 + 1) - 2x2(x2 – 1) = (x2 – 1)(3( x2 + 1) - 2x2) = (x2 – 1) (x2 + 3) = (x – 1)(x + 1)(x2 + 3) Bµi 43: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö A = x4 + x2 + 1 Gi¶i: C¸ch 1 : A = x4 + x2 + 1 = (x4 + 2x2 + 1) - x2 = (x2 + 1)2 - x2 = (x2 + 1 - x)(x2 + 1 + x) C¸ch 2 : A = x4 + x2 + 1 = (x4 + x3 + x2) – (x3 + x2 + x) + (x2 + x + 1) = (x2 + 1 - x)(x2 + 1 + x) C¸ch 3 : A = x4 + x2 + 1 = (x4 - x3 + x2) + (x3 - x2 + x) + (x2 - x + 1) = x2(x2 - x + 1) + x(x2 - x + 1) + (x2 - x + 1) = (x2 - x + 1)(x2 + x + 1) Bµi 44: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö F = 5x2 + 6xy + y2 Gi¶i: C¸ch 1 : F = 5x2 + 6xy + y2 = (5x2 + 5xy) + (xy + y2) = 5x(x + y) + y(x + y) = (x + y)(5x + y) C¸ch 2 : F = 5x2 + 6xy + y2 = (6x2 + 6xy) – (x2 - y2) = 6x(x + y) – (x – y)(x + y) = (x + y)(6x – x + y) = (x + y)(5x + y) C¸ch 3 : F = 5x2 + 6xy + y2 = (4x2 + 4xy) +(x2 + 2xy + y2 ) = 4x(x + y) + (x + y)2.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> = (x + y)(4x + x + y) = (x + y)(5x + y) C¸ch 4 : F = 5x2 + 6xy + y2 = (3x2 + 6xy + 3y2) + (2x2 – 2y2 ) = 3(x + y)2 + 2(x2 – y2 ) = (x + y)(3x + 3y + 2x – 2y) = (x + y)(5x + y) C¸ch 5 : F = 5x2 + 6xy + y2 = (5x2 + 10xy + y2) – (4xy + 4y2) = 5(x + y)2 – 4y(x + y) = (x + y)(5(x + y) – 4y)) = (x + y)(5x + y) C¸ch 6 : F = 5x2 + 6xy + y2 = (5x2 - 5y2) + (6xy + y2) = 5(x2 – y2) + 6y(x + y) = 5(x – y)(x +y) + 6y(x + y) = (x + y)(5x – 5y + 6y) = (x + y)(5x + y) C¸ch 7 : F = 5x2 + 6xy + y2 = (9x2 + 6xy + y2) – 4x2 =(3x + y)2 – 4x2 = (3x + y – 2x)(3x + y + 2x) = (x + y)(5x + y) Bµi 44: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö P = x4 + x2y2 + y4 Gi¶i: Ta cã : P = x4 + x2y2 + y4 = (x4 + 2x2y2 + y4) – x2y2 = (x2 + y2)2 – (xy)2 = (x2 + y2 – xy)(x2 + y2 + xy) Bµi 45: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö A = x4 + x2 + 1 + (x2 – x + 1)2 Gi¶i: Ta cã : A = x4 + x2 + 1 + (x2 – x + 1)2 = x4 + (x2 – x + 1) + (x2 – x + 1)2 + x = (x2 – x + 1)(x2 – x + 2) + x(x + 1)(x2 – x + 1) = (x2 – x + 1)((x2 – x + 2) + x(x + 1)) = (x2 – x + 1)(2x2 + 2) Bµi 46: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö P = 4x4 + 81 Gi¶i: Ta cã : P = 4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 – 36x2 = (2x2 + 9)2 – (6x)2 =(2x2 + 9 – 6x)(2x2 + 9 + 6x) Bµi 47: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö Q = 3x3 – 7x2 + 17x - 5 Gi¶i: Ta cã : Q = 3x3 – 7x2 + 17x - 5 = 3x3 – x2 – 6x2 + 2x + 15x – 5 = x2(3x – 1) – 2x(3x – 1) + 5(3x – 1) = (3x – 1)(x2 – 2x + 5) Bµi 48: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö A = x3 – x2 – x - 2 Gi¶i: Ta cã : A = x3 – x2 – x - 2 = x3 – 1 – (x2 + x + 1) = (x – 1)(x2 + x + 1) - (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x – 1 – 1) = (x2 + x + 1)(x – 2) Bµi 49: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö B = x3 + x2 – x + 2 Gi¶i: Ta cã : B = x3 + x2 – x + 2 = (x3 + 1) + (x2 - x + 1) = (x + 1)(x2 - x + 1) + (x2 - x + 1) = (x2 - x + 1)(x + 1+ 1) = (x2 - x + 1)(x + 2) Bµi 50: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö C = x3 – 6x2 – x + 30.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Gi¶i: Ta cã : C = x3 – 6x2 – x + 30 = x3 + 2x2 – 8x2 – 16x + 15x + 30 = x2(x + 2) – 8x(x + 2) + 15 ( x + 2) = (x + 2)(x2 – 8x + 16 – 1) = (x + 2)((x – 4)2 – 1)) = (x + 2)(x – 4 – 1)(x – 4 + 1) = (x + 2)(x – 5)(x – 3) 1.2.7. Phơng pháp hệ số bất định Phơng pháp này dựa vào định nghĩa hai đa thức bằng nhau, ta có thể tính đợc các hệ số của sự biểu diễn đòi hỏi bằng cách giải một hệ phơng trình sơ cấp. Sau ®©y lµ mét sè vÝ dô : Bµi 51 : Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö M = x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3 Gi¶i: BiÓu diÔn ®a thøc díi d¹ng : x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3 = (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3 = x4 + (a+c )x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd Đồng nhất hai đa thức, ta đợc hệ điều kiện : ¿ a+c =−16 ac+ b+d=12 ad+ bc=− 14 bd=3 ¿{{{ ¿ XÐt bd = 3 víi b, d Z , b víi b = 3; d = 1 { 1; 3 } HÖ ®iÒu kiÖn trë thµnh : ¿ a+ c=−6 ac=8 a+3 c=−14 ¿{{ ¿ Suy ra 2c = - 14 + 6 = - 8, Do đó c = - 4 , a = -2 VËy M = x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3 = (x2 – 2x + 3)(x2 – 4x + 1) Bµi 52: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö A = 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10 Gi¶i: BiÓu diÔn ®a thøc díi d¹ng : A = ( ax + by + c )( dx + ey + g ) = adx2 + aexy + agx + bdxy + bey2 + bgy + cdx + cey + cg = adx2 + ( ae + bd )xy + ( ag + cd )x + bey2 + ( bg + ce )y + cg = 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10 Đồng nhất hai đa thức, ta đợc hệ điều kiện : ¿ ¿ ad=3 a=3 ae+ bd=22 b=1 ag+ cd=11 c=5 ⇒ be=7 d =1 bg+ce=37 e=7 cg=10 g=2 ¿ { {{ { { ¿{{{{{ ¿ ¿ VËy A = 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10 = ( 3x + y + 5 )( x + 7y + 2 ) Bµi 53: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö B = x4 – 8x + 63 Gi¶i: Ta cã thÓ biÓu diÔn B díi d¹ng : B = x4 – 8x + 63 = (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a+ c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> ¿ ¿ a+c =0 a=− 4 ac+ b+d=0 b=7 Đồng nhất hai đa thức ta đợc hệ điều kiện: ad+ bc=− 8 ⇔ c=4 bd=63 d=9 ¿{{{ ¿{{{ ¿ ¿ VËy : B = x4 – 8x + 63 = (x2 - 4x + 7)(x2 + 4x + 9) 1.2.8. Ph¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ riªng §©y lµ mét ph¬ng ph¸p khã, nhng nÕu ¸p dông nã mét c¸ch “linh ho¹t” th× cã thÓ ph©n tích một đa thức thành nhân tử rất nhanh. Trong phơng pháp này ta xác định dạng các thừa số chứa biến của đa thức, rồi gán cho các biến các giá trị cụ thể để xác định thừa số còn lại. Sau ®©y lµ mét sè vÝ dô : Bµi 54: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö P = x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) Gi¶i: Thö thay x bëi y th× P = y2(y – z) + y2(z – y) = 0 Nh vËy P chøa thõa sè x – y Ta lại thấy nếu thay x bởi y, thay y bởi z, thay z bởi x thì P không đổi ( ta nói đa thức P có thể hoán vị vòng quanh x → y → z → x . Do đó nếu P chứa thừa số x – y thì cũng chøa thõa sè y – z, z – x . VËy P cã d¹ng : k(x – y)(y – z)(z – x) Ta thấy k phải là hằng số, vì P có bậc đối với tập hợp các biến x, y, z, còn các tích (x – y)(y – z)(z – x) cũng có bậc ba đối với tập hợp các biến x, y, z. Vì đẳng thức x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) = k(x – y)(y – z)(z – x) đúng với mäi x, y, z nªn ta g¸n cho c¸c biÕn x, y, z c¸c gi¸ trÞ riªng, ch¼ng h¹n x = 2; y = 1; z = 0 (*), ta đợc: 4.1 + 1.(-2) + 0 = k.1.1.(-2) 2 = -2k k = -1 VËy P = -1(x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)(x – z) Chú ý: (*) các giá trị của x, y, z có thể chọn tuỳ ý chỉ cần chúng đôi một khác nhau để (x – y)(y – z)(z – x) 0. Bµi 55: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö P = x2y2(y – x) + y2z2(z – y) + z2x2(y – z) Gi¶i: Thay x = y th× P = y2z2(z – y) + z2x2(y – z) = 0 Nh vËy P chøa thõa sè x – y. Ta thấy đa thức P có thể hoán vị vòng quanh x → y → z → x. Do đó nếu P chứa thõa sè x – y th× còng chøa thõa sè y – z, z – x . VËy P cã d¹ng : k(x – y)(y – z)(z – x) Mặt khác P là đa thức bậc ba đối với x, y, z, nên trong phép chia A cho (x – y)(y – z)(z – x) th¬ng lµ h»ng sè k, nghÜa lµ : P = k(x – y)(y – z)(z – x) , k lµ h»ng sè. Cho : x = 1; y = -1; z = 0 ta đợc : 12.(-1)2.(-2) + (-1)2.0.(0 + 1) + 02.12.(1 – 0) = k. 2.(-1).(-1) -2 = 2k k = -1 VËy P = -1(x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)(x – z) Bµi 56: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö A = ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a) Gi¶i: Nhận xét: Nếu hoán vị vòng quanh a, b, c, thì A không thay đổi. Thay a=b vào A ta có: A = 0 + bc(b – c) + cb(c – b) = 0 Do đó A ⋮ (a – b) Suy ra A ⋮ (b – c) và A ⋮ (c – a). Từ đó : A ⋮ (a – b)(b – c)(c – a) Mặt khác A là đa thức bậc ba đối với a, b, c, nên trong phép chia A cho (a – b)(b – c)(c – a) th¬ng lµ h»ng sè k, nghÜa lµ : A = k(a – b)(b – c)(c – a) Cho a = 1; b = 0; c = 1 ta đợc 2 = -2k hay k = - 1 A = -1(a – b)(b – c)(c – a) = (a – b)(b – c)(a – c) Bµi 57: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> P = x(y3 – z3) + y(z3 – x3) + z(x3 – y3) Gi¶i: Nhận xét: Nếu hoán vị vòng quanh x, y, z thì P không thay đổi. Thay z = y vào P ta có: P = 0 + z(z3- x3) + z(x3 –z3) = 0 Do đó : P ⋮ (y – z) Suy ra P ⋮ (z – x) và P ⋮ (x – y). Từ đó : P ⋮ (y – z)(z – x)(z – x) Mặt khác P là đa thức bậc ba đối với x, y, z nên trong phép chia P cho (y – z)(z – x)(z – x)đợc thơng là hằng số k, nghĩa là : P = k(y – z)(z – x)(z – x) Cho : x = 2; y = 1; z = 0, ta đợc : 2.13 + 1.(-2)3 + 0 = k.1.(-2) - 6 = - 2k k=3 VËy P = 3(y – z)(z – x)(z – x) Hay x(y3 – z3) + y(z3 – x3) + z(x3 – y3) = 3(y – z)(z – x)(z – x) Bµi 58: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö M = a(b +c – a)2 + b(c +a – b)2 + c(a +b – c)2 + (a + b – c)(b +c – a)(c +a – b) Giải: Nếu hoán vị vòng quanh a, b, c, thì M không thay đổi. Thay a = 0 vµo M ta cã : M = 0 + b(c – b)2 + c(b – c)2 + (b – c)(b + c)(c – b) = 0 Do đó M ⋮ a Suy ra M ⋮ b và M ⋮ c. Từ đó : M ⋮ abc Mặt khác M là đa thức bậc ba đối với a, b, c nên trong phép chia M cho abc th ơng là hằng số k, nghÜa lµ : M = k.abc Cho a = b = c = 1, ta đợc : 1.12 + 1.12 + 1.12 + 1.1.1 = k.1.1.1 k=4 VËy M = 4.abc Hay: a(b +c – a)2 + b(c +a – b)2 + c(a +b – c)2+ (a +b – c)(b +c – a)(c +a – b) = 4abc 2. KÕt qu¶ Tôi đã ứng dụng nội dung nêu trên vào việc bồi dỡng học sinh giỏi môn Giải toán trên m¸y tÝnh t¹i Trêng THCS NguyÔn Th¸i Häc vµ Trêng THCS D©n téc Néi tró. KÕt qu¶ mµ t«i đã thu đợc nh sau: - CÊp HuyÖn: Cã 11 häc sinh tham dù. KÕt qu¶: 1 gi¶i nhÊt, 1 gi¶i nh×, 3 gi¶i ba, 4 gi¶i khuyÕn khÝch - CÊp TØnh: Cã 9 häc sinh tham dù. KÕt qu¶: 1 gi¶i nhÊt, 1 gi¶i nh×, 3 gi¶i ba, 4 gi¶i khuyÕn khÝch - CÊp Quèc gia: Cã 3 häc sinh tham dù. KÕt qu¶: 1 gi¶i khuyÕn khÝch 3. Bµi häc kinh nghiÖm vµ gi¶i ph¸p thùc hiÖn Trong quá trình thực hiện đề tài và bản thân tôi là ngời trực tiếp thực hiện việc bồi dỡng học sinh giỏi. Tôi đã rút ra một số bài học kinh nghiệm và giải pháp thực hiện nh sau: - §Ó thùc hiÖn tèt c«ng t¸c båi dìng häc sinh giái, tríc hÕt gi¸o viªn cÇn ph¶i cã mét tr×nh độ chuyên môn vững vàng, nắm vững các thuật toán, giải đợc các bài toán khó một cách thành thạo. Cần phải có một phơng pháp giảng dạy phù hợp kích thích đợc sự tò mò, năng động, s¸ng t¹o, tÝch cùc cña häc sinh. - Toán học là một bộ môn khó, các vấn đề của toán là rất rộng. Chính vì vậy, giáo viên cần phải biết chắt lọc, xây dựng thành một giáo trình ôn tập cơ bản bao gồm tất cả các chuyên đề. Với mỗi chuyên đề cần phải chọn lọc ra những bài toán điển hình, cơ bản nhất để học sinh từ đó phát huy những khả năng của mình, vận dụng một cách sáng tạo vào giải các bài toán khác cïng thÓ lo¹i. - Trong quá trình bồi dỡng học sinh giỏi cần thờng xuyên bám sát đối tợng học sinh, theo dõi và động viên kịp thời sự cố gắng, nỗ lực của từng học sinh. Đồng thời, kích thích các em phát huy tối đa khả năng của mình trong quá trình ôn luyện, học tập. Bên cạnh đó, cần theo dâi kiÓm tra, uèn n¾n kÞp thêi nh÷ng sai sãt mµ häc sinh cã thÓ m¾c ph¶i, gióp c¸c em cã niÒm tin, nghị lực và quyết tâm vợt qua những khó khăn bớc đầu khi học tập các chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi mà giáo viên đa ra. - Trong qu¸ tr×nh båi dìng häc sinh giái còng cÇn hÕt søc tr¸nh cho häc sinh nh÷ng biÓu hiện tự đắc, cho mình là giỏi. Điều này sẽ làm cho các em khó tránh khỏi những thất bại khi tham dù nh÷ng cuéc thi lín. ChÝnh v× vËy, gi¸o viªn cÇn lu«n cã nh÷ng bµi to¸n khã, nh÷ng yêu cầu cao để các em thấy đợc quá trình học bồi dỡng học sinh giỏi là một quá trình không thÓ diÔn ra trong ngµy mét, ngµy hai, mµ lµ c¶ mét qu¸ tr×nh l©u dµi, thêng xuyªn, liªn tôc..

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Tuy nhiên, cũng cần tránh cho học sinh sự tự ti, vì liên tục không giải đợc các bài toán khó sẽ g©y ra cho c¸c em nh÷ng sù n¶n chÝ, mÊt niÒm tin vµo kh¶ n¨ng cña m×nh. 4. KÕt luËn Båi dìng häc sinh giái cho häc sinh bËc THCS lµ c¶ mét qu¸ tr×nh l©u dµi, bÒn bØ. Bëi v× các em đã có cả một quá trình 9 năm học toán. Để có đợc những học sinh giỏi, chúng ta cần ph¶i tËp trung båi dìng cho c¸c em ngay tõ n¨m häc líp 6. Víi 4 n¨m liªn tôc, cïng víi sù nç lực của cả thầy lẫn trò, chắc chắn chúng ta sẽ có đợc những học sinh giỏi thực sự về bộ môn To¸n. Do n¨ng lùc cßn h¹n chÕ, vµ n¨m häc nµy còng lµ n¨m häc thø hai b¶n th©n t«i tham gia việc bồi dỡng học sinh giỏi, nên đề tài của tôi không thể tránh đợc những thiếu sót, bản thân tôi rất mong có sự đóng góp, bổ xung của các bạn đồng nghiệp, các nhà quản lý giáo dục để đề tài của tôi có thể hoàn thiện hơn. Trên đây, đề tài của tôi cũng mới chỉ đề cập đến một vấn đề nhỏ trong quá trình bồi dỡng häc sinh giái – Tuy nhiªn, theo t«i ®©y còng lµ mét trong nh÷ng m¹ch kiÕn thøc rÊt träng t©m cña ch¬ng tr×nh to¸n. Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn tới BGH, các đồng nghiệp của Trờng THCS Nguyễn Thái Học và Trờng THCS Dân tộc Nội trú đã có những ý kiến đóng góp, chỉ đạo thực hiện giúp tôi hoàn thành đề tài này. 5. Kiến nghị đề xuất - T¨ng thªm thêi gian båi dìng cho häc sinh giái m«n To¸n 9 v× thêi gian mét tuÇn 2 buæi không đủ thời gian để thực hiện công tác bồi dỡng. - NÕu cã thÓ khi chän läc tõ ®Çu vµo chóng ta nªn chän ra hai líp: Chuyªn vÒ c¸c m«n tù nhiªn vµ mét líp chuyªn vÒ c¸c m«n x· héi. đánh giá, nhận xét của tổ chuyên môn và nhà trờng.

<span class='text_page_counter'>(16)</span>