Bien doi Luong giac Phuong Trinh Luong Giac

<span class='text_page_counter'>(1)</span>I. hµm sè lîng gi¸c 1) §Þnh nghÜa c¸c gi¸ trÞ luîng gi¸c 2) Bảng các giá trị lợng giác đặc biệt sin cos tan cot Cho đường tròn lượng giác tâm O bán kính 1,      gắn với hệ trục toạ độ Oxy. Mỗi cung  biểu diễn 0 0 1 0 || bởi mét điểm M nằm trên (O). Ta có: 1  1 3 3  sin = y (tung độ của điểm M) 6 2 3 2 cos  = x (hoành độ của điểm M)  2 2 y sin  1 1  4 2 2 tan  = x cos  ( cos  0 ). 1  1 3 x cos  3  3 2 3 2 y sin  ( sin  0 ).  cot =  1 0 || 0 2. 3) Giá trị lợng giác của các cung có liên quan đặc biệt   + k2   - x= - 2 - sinx sin  - sin  sin  cos     cosx cos cos - cos sin  tanx tan  - tan  - tan  cot  cotx cot  - cot  - cot  tan  II. c¸c c«ng thøc lîng gi¸c 1) C¸c c«ng thøc c¬ b¶n sin2x + cos2x = 1 k 1 . ,k Z. 2.  +. - sin  - cos  tan  cot .  2 + cos  - sin  - cot  -tan . 1 2 1 + cot2x = sin x. 2 tanx.cotx = 1; víi x . 1 + tan2x = cos x . 2) C«ng thøc céng 3) Công thức nhân đôi, công thức hạ bậc cos(a -b) = cosa.cosb + sina.sinb cos2a = cos2a - sin2a = 2cos2a - 1 = 1 - 2sin2a cos(a+b) = cosa.cosb - sina.sinb 1  cos 2a 1  cos 2a sin(a+b) = sina.cosb + cosa.sinb 2 2 cos2a = ; sin2a = sin(a -b) = sina.cosb - cosa.sinb tan a  tan b tan(a+b) = 1  tan a.tan b. 1 sin 2a sin2a = 2sina.cosa; sina.cosa = 2 2 tan a 1  cos 2 a 2 tan2a = 1  tan a ; tan2a = 1  cos 2a. 4) Công thức biến đổi Tæng thµnh tÝch. TÝch thµnh tæng. xy x y cos x  cos y 2cos .cos 2 2 x y x y cos x  cos y  2sin .sin 2 2 xy x y sin x  sin y 2sin .cos 2 2 x y x y sin x  sin y 2 cos .sin 2 2. 1  cos(a  b)  cos(a  b) 2 1 sin a.sin b   cos(a  b)  cos(a  b)  2 1 sin a.cos b   sin(a  b)  sin( a  b)  2 1 cos a.sin b   sin(a  b)  sin(a  b)  2. 5) C¸c ph¬ng tr×nh lîng gi¸c c¬ b¶n  x   k 2   x     k 2 sinx = sin  tanx = tan   x =  + k . cos a.cos b .  x   k 2  ; k  Z. x    k 2    cosx = cos cotx = cot   x =  + k  ; k  Z ..

<span class='text_page_counter'>(2)</span> III. Mét sè ph¬ng tr×nh lîng gi¸c thêng gÆp 1) Phơng trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lợng giác 2) Phơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx Lµ ph¬ng tr×nh cã d¹ng: a.sinx + b.cosx = c ab  0, §iÒu kiÖn cã nghiÖm : a2 + b2  c2 . a 2  b2 (. Cách giải: biến đổi (1) cos  . a 2. 2. ;sin  . a a b. b 2. 2. 2. 2. sin x . b 2. a  b2. (1) cos x) c.  sin( x   ) . a b a  b  (1) §Æt 3) Ph¬ng tr×nh d¹ng: a.sin2x + b.sinx.cosx + c.cos2x = d C¸ch gi¶i: Víi cosx = 0 th× (2)  a.sin2x = d  a = d.. c 2. a  b2. (2). cos x 0    (a  c) cos x b.sin x NÕu a = d th× (2) Với cosx 0 . Chia hai vế cho cos2x ta đợc:  a.. sin 2 x sin x d  b.  c  2 d (1  tan 2 x) 2  (a-d)tan2x + b.tanx + c - d = 0. cos x cos x cos x. (2) 4) Ph¬ng tr×nh d¹ng: a(sinx + cosx) + b.sinx.cosx + c = 0 C¸ch gi¶i: §Æt t = sinx + cosx =. (3).   x  4  , ®iÒu kiÖn 2 sin . 2 t . 2.. 2. t 1 Ta cã sinx.cosx = 2 . Suy ra (3)  bt2 + 2at + 2c - b = 0. 5) Ph¬ng tr×nh d¹ng: a(sinx - cosx) + b.sinx.cosx + c = 0 C¸ch gi¶i: §Æt t = sinx - cosx =. (4)..   x  4  , ®iÒu kiÖn 2 sin . 2 t  2.. 1 t2 Ta cã sinx.cosx = 2 , suy ra (3)  bt2 - 2at - 2c - b = 0. 6) Ph¬ng tr×nh d¹ng: a.sin3x + b.sin2xcosx + c.sinx.cos2x + d.sinx.cos2x + c.cos3x = 0 (5) (đẳng cấp bậc ba đối với sinx và cosx) C¸ch gi¶i: Víi cosx = 0 th× pt (5)  a.sin3x = 0 (lo¹i) 1 1  tan 2 x 2 3  0 cos x Víi cosx . Ta chia hai vÕ cña (5) cho cos x víi chó ý Ta đa đợc pt (5) về dạng pt bậc 3 đối với tanx (a 0 ).. VÝ dô: Gi¶i PT: 6sinx - 2cos3x = 5sin2xcosx. cos3x - 4sin3x- 3sin2xcosx + sinx = 0. IV. Mét sè kÜ n¨ng gi¶i ph¬ng tr×nh lîng gi¸c: 1) Kĩ năng nhận dạng và giải những phơng trình lợng giác cơ bản, và phơng trình lợng giác thờng gặp. Kĩ năng đặt ẩn phụ. . . 2) Kĩ năng biến đổi đa về phơng trình cơ bản, PTLG thờng gặp - KÜ n¨ng rót gän, chó ý ®iÒu kiÖn - KÜ n¨ng vËn dông c«ng thøc céng cung, công thức biến đổi. 3) Kĩ năng biến đổi đa về dạng PT tích - Vận dụng các công thức cơ bản, công thức cộng, nhân đôi, hạ bậc - Nhóm các số hạng để áp dụng công thức biến đổi Tổng thành tích - Biến đổi tích thành tổng để giản ớc hay kết hợp với các số hạng 4) Kĩ năng đánh giá các phơng trình đặc biệt - §¸nh gi¸ hai vÕ (theo tËp gi¸ trÞ) - §a vÒ d¹ng tæng c¸c b×nh ph¬ng 5) KÜ n¨ng kÕt hîp nghiÖm (thu gän), kÜ n¨ng lo¹i nghiÖm (theo ®iÒu kiÖn)..

<span class='text_page_counter'>(3)</span> BÀI TẬP. Bài tập 1. Chứng minh các đẳng thức sau: 1) sin3x = 3sinx – 4sin3x. 6) cos3x = 4cos3x – 3cosx.   1  t anx tan   x   4  1  t anx . 2)   sinx  3 cos x 2sin  x   3 .  3)   cosx - 3 sin x 2cos  x   3 .  4) 3 sin 4 x 3 3 4 5) cos xsin3x + sin xcos3x = .. Bài tập 2. Rút gọn các biểu thức sau:   2 2 cos   x   cos   x  4  4 . 1)     cos xcos   x  cos   x  . 3  3  2). 7) cos3xcos3x + sin3xsin3x = cos32x.  . 2 sin  x   4.  8) sinx + cosx =   2 sin  x   4.  9) sinx - cosx = 1 2 sin 2 x 4 4 2 10) sin x + cos x = 1 .. 1  sin2x-cos2 x 4) 1  sin 2 x  cos2 x .. sin 3 x 5) cos3 x  2cosx . 3) cotx – tanx – 2tan2x – 4tan4x. 6) sin 2500 + sin2700 - cos500cos700. Bài tập 3. Chứng minh các đẳng thức lượng giác trong tam giác: Cho A, B, C là các góc của một tam giác. Chứng minh: A B C cos cos 2 2 2. 1) sinA + sinB + sinC = A B C 1  4sin sin sin 2 2 2. 2) cosA + cosB + cosC = 4cos. 3) 4) 5) 6). cos2A + cos2B + cos2C = –1 – 4cosAcosBcosC. sin2A + sin2B + sin2C = 2(1 + cosAcosBcosC). cos2A + cos2B + cos2C = 1 – 2cosAcosBcosC. tanA + tanB + tanC = tanAtanBtanC.. Bài tập 4. Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau: a) y = 2tanx + 3co2x.. c) y = tan2x + 3cotx.. 1  cot x b) y = sinx  cos x .. 1  tan x d) y = cot 2 x  3 .. Bài tập 5. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của mỗi hàm số sau: sinx a) y = 2  sinx .. cos x  2sin x  3 c) y = 2cos x  sinx  4 .. 2 b) y = 2sin2x + sin2x – 4cos2x. d) y = sinx+ 2  sin x. Bài tập 6. Giải các phương trình sau :     1 sin  2 x    sin  x   0  5 5   1) sin2x = 2 . 5) .. 2) 2cosx+ 3=0 . 3) sin3x + cos2x = 0.. 6) 2sinx + sin2x = 0. 7) tanx(sinx + cotx) = 1..

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 4) tanx +. 3 = 0.. 8) cos2x – sin2x = - 1.. Bµi tËp 7. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: 1) 3cos2x - 2cosx = 1 2) sinx +. cos3 x  sin 3x   5  sin x   cos 2 x  3 1  2sin 2 x   16). 3 cosx = -1. 3) cos2x -. 2 cos3x = sin2x. 4) sin3x -. 3 cos3x = 2sin2x 2. x x   sin  cos   3 cos x 2 2 2 5)  3 1  6) 8sinx = cos x sin x 7) sin4x + cos4x = cos2x 8) 4(sin4x + cos4x) +. 3 sin4x = 2. 2 9) cos3xcos3x + sin3xsin3x = 4 10) 4cos32x + 6sin2x – 3 = 0 11) 2 2(sin x  cos x)cos x 3  cos 2 x 12). 3tan x . 1  1 0 sin 2 x. 2 13) cotx - tanx + 4sin2x = sin 2x 14)5sinx - 2 = 3tan2x(1 - sinx) 15)cos23xcos2x - cos2x = 0. 17) 4cos3x + 3 2 sin2x = 8cosx 18) (2cosx - 1)(2sinx + cosx) = sin2x - sinx 19) 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0.  x 7 4sin 2      4 2 2 20) sinxcos4x - sin22x =  1 1  2 2 sin  x     4  sin x cos x  21) 22) 2sin3x - sinx = 2cos3x - cosx + cos2x 23) cos3x + cos2x - cosx - 1 = 0 24) 2sinx(1+cos2x) + sin2x = 1 + 2cosx 25) 5sin3x = 3sin5x. 2 26) 3cot2x + 2 2 sin x (2  3 2)cos x .. 2(cos 6 x  sin 6 x )  sin x cos x 0 2  2sin x 27) . 28) sin2xcosx + sinxcosx = cos2x + sinx + cosx.. 1  sin 2 x  cos 2 x  2 sin x sin 2 x 2 1  cot x 29) 30) (1+cosx)(1+cos2x)(1+cos3x) = 0,5.. Bài tập 8. Giải các phương trình lượng giác trong một số đề thi đ ại học    3  cos 4 x  sin 4 x  cos  x   sin  3 x    0. 4  4 2  1) (ĐH-KD-2005). cos2 x 1 cot x  1   sin 2 x  sin 2 x. 1  t anx 2 2) (ĐH-KA-2003). 2 2 3) (ĐH-KA-2007). (1 + sin x)cosx + (1 + cos x)sinx = 1 + sin2x.. 4) (ĐH-KD-2009). 3cos5 x  2sin 3 x cos 2 x  sinx 0. 5) (ĐH-KB-2010). (sin2x + cos2x)cosx + 2cos2x – sinx = 0. 6) (ĐH-KD-2010). sin2x – cos2x + 3sinx – cosx – 1 = 0. sin 2 x  2cos x  sin x  1 0 tan x  3 7) (ĐH-KD-2011). . 8) (ĐH-KD-2012). sin3x + cos3x – sinx + cosx =. 2 cos2x.. 9) (ĐH-KA-2012). 3 sin 2 x  cos2 x 2cos x  1. Bài tập 9. Giải các phương trình sau: sinx(1  cos x) sin 2 x(cos2 x  cos x)   cot x cos x 1) (TTBDVH TL). ..

<span class='text_page_counter'>(5)</span> x  cos 2    2 4. 2) (TTBDVH TL). sin3x = sin2x – cos2x + 2 1 1  3cos x  cos2 x  (cot x  cot 2 x)sin( x   ) 3) (ĐHSP-HN). 4) (ĐH – Vinh). (1-cosx)cotx + cos2x + sinx = sin2x..

<span class='text_page_counter'>(6)</span>