SKKN: SỬ DỤNG VÉC TƠ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC

SỬ DỤNG VÉC TƠ GIẢI TỐN HÌNH HỌC
________________________________________________

BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1. LỜI GIỚI THIỆU
Hình học là mơn học hay và khó đối với các em học sinh THCS. Khi học lên
THPT, các em được cung cấp thêm kiến thức hình học mới như véc tơ để thêm cơng
cụ nghiên cứu hình học. Tuy vậy, do là kiến thức mới mẻ, kĩ năng của học sinh còn
nhiều hạn chế, các tài liệu tham khảo thường chỉ là tập hợp các bài giải có sử dụng
kiến thức véc tơ mà khơng có định hướng kiến thức, kĩ thuật sử dụng... nên ý thức sử
dụng cũng như kĩ năng thực hành giải toán của các em học sinh còn hạn chế, dẫn đến
việc học sinh THPT chỉ đơn thuần biết đến các dạng toán thực hành biến đổi véc tơ
mà ít khi thấy được ứng dụng, sức mạnh của kiến thức mới. Lý do như kiến thức
mới mẻ, các dạng tốn đa dạng nhưng khó mà đơi khi khơng rõ ứng dụng, cách giảng
dạy cịn hànlâm…khiến cho người học là học sinh gặp nhiều khó khăn, lúng túng.
Với tham vọng hướng dẫn cho các em học sinh THPT có thêm một cơng cụ
giải tốn mới đồng thời giúp các em thấy được cái hay cái đẹp của kiến thức mới mẻ
này. Đề tài mong muốn:
- Thể hiện véc tơ có thể ứng dụng giải tốn.
- Rèn luyện kỹ năng sử dụng véc tơ để giải toán: rèn luyện sử dụng các phép
toán véc tơ, xây dựng bộ véc tơ gốc, cách biểu diễn véc tơ.
- Giúp cho học sinh thấy được sức mạnh của phương pháp, ứng dụng của kiến
thức.
Các bài tập sử dụng dưới đây là kết quả sưu tầm của tác giả, hầu hết lời giải đều do
tác giả tự thực hiện.
2. SÁNG KIẾN “ SỬ DỤNG VÉC TƠ GIẢI TỐN HÌNH HỌC ”
3. TÁC GIẢ SÁNG KIẾN:
- Đỗ Xuân Thủy
- Trường THPT Ngô Gia Tự
- Số điện thoại:0914334575

E_mail:
4. LĨNH VỰC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN:
Sáng kiến áp dụng cho học sinh lớp 10 khi bắt đầu học về khái niệm véc tơ,
học sinh lớp 11 khi học về véc tơ trong không gian; nâng cao năng lực tốn học hình
học véc tơ cho các em học sinh, đặc biệt là các em học sinh khá giỏi. Mục tiêu:

1


SỬ DỤNG VÉC TƠ GIẢI TỐN HÌNH HỌC
________________________________________________

♠ Ơn tập kiến thức véc tơ trong mặt phẳng và trong không gian.
♠ Rèn luyện thêm kĩ năng tính tốn, biểu diễn véc tơ.
♠ Kĩ năng chọn bộ véc tơ cơ sở phù hợp.
♠ Cung cấp thêm một phương pháp giải toán mới.
♠ Cung cấp một hệ thống các bài có mức độ từ dễ đến khó.
♠ Gợi ý cho học sinh lớp 10, lớp 11 phương pháp giải tốn hình học bằng kiến
thức véc tơ.
5. NGÀY SÁNG KIẾN ĐƯỢC ÁP DỤNG LẦN ĐẦU HOẶC ÁP DỤNG THỬ
Áp dụng lần đầu vào ngày tháng năm 2016.
6. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN:
CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CƠ BẢN
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ VÉC TƠ
r ur
 a = b
r r
1. Hai véc tơ bằng nhau: a = b ⇔  r
r
a ↑↑ b

r
r
r
r
2. Trong mặt phẳng toạ độ véc tơ u cùng phương với véc tơ v ⇔ ∃k : u = kv.
r
r
r
3. Cho hai véc tơ không cùng phương a và b . Khi đó mọi véc tơ x đều phân
r
r
tích được một cách duy nhất theo hai véc tơ a và b , nghĩa là có duy nhất một
r
r
r
cặp số (h, k) sao cho x = ha + kb .
Bình luận: đây là cơ sở cho phương pháp ứng dụng véc tơ chứng minh hình
học… bằng việc xây dựng một bộ 2 véc tơ không cùng phương hợp lý.
4. Nếu điểm M chia đoạn thẳng
theo
uuu
r AB uu
u
r tỉ số k (khác 0 và khác 1):
uuuu
r OA − kOB
uuur
uuur
Khi
đó

ta
có:
với mọi điểm O.
OM
=
MA = k MB.
1− k
Bình luận: Đây là cơng thức hay được sử dụng trong các tính tốn. GV dạy
SGK
uuu
rcơ bản
uuu
r xây
uuu
rdựng thêm công thức này cho HS.
5. AB = OB − OA với mọi điểm O.
6. Hai tam giác ABC và A’B’C’ cùng trọng tâm lần lượt là G, G’
⇔ AA' + BB' + CC ' = 0.

r r
rr
7. Hai véc tơ a, b vng góc ⇔ a.b = 0.

2


SỬ DỤNG VÉC TƠ GIẢI TỐN HÌNH HỌC
________________________________________________

rr

r r
a.b
8. cos a; b = r r .
| a || b |

( )

II. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN
1) 3 điểm A, B, C thẳng hàngunếu
thoả
mãn một trong các trường hợp sau:
uur
uuur
a) Tồn tại một số k sao cho AB = k AC .
uur
uur
uuu
r
b) Với mọi điếm S, nếu tồn tại đẳng thức: SA = xSB + ySC với x + y = 1 .
uur
uur
uuur
Lưu ý, nếu chỉ có đẳng thức SA = xSB + y AC thì ta chỉ chứng tỏ được rằng 4
điểm S, A, B, C đồng phẳng.
r r
r
r
2) Cho ba véc tơ không đồng phẳng a, b và c . Khi đó mọi véc tơ x đều phân
r r
r

tích được một cách duy nhất theo ba véc tơ a, b và c , nghĩa là có duy nhất một
r
r
r
r
cặp số m,n, k và p sao cho x = ma + nb + pc .
Bình luận: đây là cơ sở cho phương pháp ứng dụng véc tơ chứng minh hình
học… bằng việc xây dựng một bộ 3 véc tơ không đồng phẳng hợp lý.
3) 4 điểm A,uuB,
C, D đồng phẳng nếu thoả mãn một trong các trường hợp sau:
ur uuur uuur
a) 3 véc tơ AB, AC , AD đồng phẳng.
uur
uur
uuu
r uuu
r
b) Với mọi điếm S, nếu tồn tại đẳng thức: SA = xSB + ySC + zSD với x + y + z = 1 .
Ngược lại:
uuu
r uuuur
uur
1) Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng. với một điểm S bất kì, ta có: SA = xSB + ySC
thì x + y = 1.
4a). Chouur4 điểm
A, B, C, D đồng phẳng. với một điểm S bất kì, ta có:
uuu
r uuuur
uuu
r

SA = xSB + ySC + zSD thì x + y + z = 1.
r
r
r
r rr
4b). 3 véc tơ a, b,c đồng phẳng ⇔ ∃(x, y) : a = xb + yc.
CHƯƠNG II: MỘT VÀI KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
I. PHƯƠNG PHÁP VÉC TƠ TRÊN MẶT PHẲNG
Khi dạy và học về véc tơ, ta thấy được một số ứng dụng của véc tơ như
chứng minh hai tam giác cùng trọng tâm, CM thẳng hàng, vng góc. Các ví dụ đưa
ra đều quen thuộc, người HS ít đột phá sử dụng véc tơ để giải những bài toán hình
học vốn đã được giải bằng một phương pháp khác.
Đành rằng phương pháp véc tơ khơng hẳn có ưu điểm hơn các phương pháp
khác, nhưng người HS cần có ý thức bồi dưỡng tư duy, ý thức tránh lối mòn trong tư
duy, tìm hiểu khám phá vẻ đẹp của phương pháp. Các dạng toán sau đây rất quen
thuộc với học sinh u hình học, nhưng đã có khi nào ta nghĩ rằng có thể sử dụng véc
3


SỬ DỤNG VÉC TƠ GIẢI TỐN HÌNH HỌC
________________________________________________

tơ để giải nó chưa.
1. Tính góc. Chứng minh quan hệ vng góc
Bài 1. (THTT

T9/257) Chứng minh rằng trong một tam giác vuông 2 trung tuyến
thuộc hai cạnh góc vng cắt nhau theo một góc nhọn có giá trị cơsin khơng nhỏ
hơn 0,8.

Hướng dẫn: Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và AC, G là trọng tâm tam giác
ABC. Đặt AB = c, AC = b.
Phương pháp véc tơ:
Việc đầu tiên HS phải chọn một bộ véc tơ cơ sở (VTCS) gồm hai véc tơ không
cùng phương. Kinh nghiệm chọn là:
+ Hai véc tơ cùng gốc (dễ biểu diễn véc tơ)
+ Hai véc tơ vng góc hoặc tính được tích vơ hướng.

uuur 2 uur
r uuur
2 uuu
AG
=
AI
⇒
AB
+ AC
Ta có
3
3
uuu
r uuu
r uuur 1 uuu
r 2 uuur uuur uuur uuur
r 1 uuur
2 uuu
GB = AB − AG = AB − AC ; GC = AC − AG = − AB + AC
3
3
3

3
uuu
r uuur
GB.GC
uuu
r uuuu
r
2 ( b2 + c2 )
cos(GB, GC ) = cos(GB, GE ) = uuu
.
r uuur =
2
2
2
2
GB . GC
( 4b + c ) ( 4c + b )

(

Áp dụng BĐT Caushy,
Vậy cos(GB, GC ) ≥ 0,8.

)

( 4b

2 ( b2 + c2 )

2

+ c 2 ) ( 4c 2 + b 2 )

4

≥

( 4b

4 ( b2 + c2 )

2

+ c 2 ) + ( 4c 2 + b 2 )

=

4
= 0,8
5


SỬ DỤNG VÉC TƠ GIẢI TỐN HÌNH HỌC
________________________________________________

Bài 2. Gọi

K là trung điểm của cạnh AB của hình vng ABCD, L là điểm chia trong

đường chéo AC theo tỉ số

AL 3
·
= . Chứng minh rằng: KLD
= 900.
LC 1

Hướng dẫn.
Phương pháp véc tơ:
uuu
r uuur
B1- Bài tập này ta có thể chọn bộ véc tơ gốc AB, AD chung gốc và vuông góc.
uuur 1 uuu
r uuu
r 3 uuu
r uuur
B2- Biểu diễn các véc tơ AK = AB, AL = AB + AD (chú ý chúng chung gốc).
2
4
uuu
r uuur uuu
r
u
u
u
r
u
r
r 1 uuur
1

3 uur uuur uuur uuu
3 uuu
B3- Biểu diễn KL = AK − AL = − AB − AD; KD = AD − AL = − AB + AD .
4
4
4
uuur uuur 4
B4- Lấy tích vơ hướng LK .LD = 0.

(

)

BÌNH LUẬN: Bài tập trên khơng khó giải với nhiều HS lớp 10. Ở đây ta rèn luyện 3
kĩ năng: chọn bộ véc tơ gốc, biểu diễn véc tơ và tính tích vơ hướng. Những kĩ năng
này cần thiết cho nội dung véc tơ trong khơng gian học ở lớp 11, 12.
Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ BH vng góc với AC, H thuộc đoạn AC. Gọi
M, N lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng AH và DC. Chứng minh rằng: BM ⊥
MN.

Bài 3.

Hướng dẫn
Phương pháp véc tơ:

AB = 1, AD = d .
Khơng giảm tổng qt tauchọn
hình
uu
r uuu

r chữ nhật ABCD sao cho
B1- Chọn bộ véc tơ gốc AB, AD chung gốc và vng góc.
HA BA2
1
Ta có tính chất trong tam giác vuông:
=
=
HC BC 2 d 2
B2- Biểu diễn các véc tơ qua bộ véc tơ gốc:

5


SỬ DỤNG VÉC TƠ GIẢI TỐN HÌNH HỌC
________________________________________________

uuur
r uuur
1 uuur uuur
1 uuur
1 uuu
AC
=
AB
+ AD (Điểm H chia AC theo tỉ số
+ HA = − 2 HC ⇒ AH =
d
1+ d2
1+ d 2
1

− 2 )
d
uuuu
r 1 uuur
uuu
r uuur
1
AM
=
AH
=
AB
+ AD
+
2
2(1 + d 2 )
uuur uuur uuur 1 uuu
r uuur
+ AN = AD + DN = AB + AD .
2
uuur uuu
r uuuu
r 2d 2 + 1 uuu
r
uuur
1
AB
−
AD
B3- Biểu diễn MB = AB − AM =

2(1 + d 2 )
2(1 + d 2 )
uuuu
r uuur uuuu
r
uuu
r 2d 2 + 1 uuur
d2
MN = AN − AM =
AB +
AD .
2(1 + d 2 )
2(1 + d 2 )
uuur uuuu
r
B4- Lấy tích vơ hướng MB.MN = 0.

(

(

)

)

Bài 4. (APMO

98) Cho tam giác ABC. Gọi D là chân đường cao hạ từ A. Gọi E, F là
điểm khác D nằm trên một đường thẳng đi qua D sao cho AE vng góc với BE,
AF vng góc với CF. Fọi M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn BC, EF. Chứng

minh rằng đường thẳng AN vng góc NM.

Hướng dẫn
Phương pháp véc tơ:

Không giảm tổng quát, giả sử DA = 1; DC = t . chọn bộ 2 véc tơ gốc
uuur r uuur r
r
r
DA = a, DC = c, đơi một vng góc. Ta có : | a |= 1;| c |= t . Giả sử:
uuur
r uuur
r
r uuur
r
r
DB = b.c, DE = xa + yc; DF = (kx )a + (ky )c (2 véc tơ cùng phương). Khi đó:

6


SỬ DỤNG VÉC TƠ GIẢI TỐN HÌNH HỌC
________________________________________________

uuu
r uuur uuur
r
r
 BE = DE − DB = xa + ( y − 1)c
uuuur

r
+  uuur uuur uuur
 AE = DE − DA = ( x −1)a + yc
uuu
r uuur
uuu
r uuur
BE ⊥ AE ⇔ BE. AE = 0 ⇒ x 2 + ty 2 = x + tby
uuur uuur uuur
r
r
 AF = DF − DA = (kx − 1)a + (ky )c
r
r
+  uuur uuur uuur
CF = DF − DC = (kx )a + (ky − 1)c
uuur uuur
uuur uuur
AF ⊥ CF ⇔ AF .CF = 0 ⇒ k ( x 2 + ty 2 ) = x + ty
Mặt khác
uuur uuur
uuuur DB + DC b + 1 r
DM =
=
c
2
2
uuur uuur
r
r

uuur DE + DF (k + 1) xa + (k + 1) yc
DN =
=
2
2
r
r
 uuuur uuur uuuur (k + 1) xa + (ky + y − b − 1)c
 NM = DN − DM =
2
r
uur

u
u
u
r
u
u
u
r
u
u
u
r
(
kx
+
x
−

2)
a
+
(
ky
+
1)
yc
 AN = DN − DA =

2
uuuu
r uuur
MN . AN = (k + 1)  k ( x 2 + ty 2 ) + ( x 2 + ty 2 ) − 2 x − tby − ty 
Thay x 2 + ty 2 = x + tby , k ( x 2 + ty 2 ) = x + ty vào biểu thức trên ta được:
uuuu
r uuur
MN . AN = 0 , suy ra điều phải chứng minh.
BÌNH LUẬN: Lời giải khơng phụ thuộc hình vẽ, tính tốn nhiều tuy vậy phương
pháp giải tiến hành lại rõ ràng.
2. Chứng minh quan hệ cùng phương, thẳng hàng, song song , đồng quy.
Bài 1. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là các điểm đối xứng với D qua

trung điểm các cạnh của ∆ABC. CMR điểm D và trọng tâm của 2 tam giác ABC,
MNP thẳng hàng.
Hướng dẫn
Phương pháp véc tơ:

7

SỬ DỤNG VÉC TƠ GIẢI TỐN HÌNH HỌC
________________________________________________

Ta có DA + DB + DC = 3DG; DM + DN + DP = 3DG1 . Áp dụng quy tắc hình bình hành ta
uuur uuuur
có 2DG = DG1 suy ra đpcm.
Bài 2. (IMO 23) Trên các đường chéo AC và CE của lục giác đều ABCDEF, ta lần
AM CN
=
= k. Biết rằng B, M, N thẳng hàng. Tìm k.
lượt lấy 2 điểm M, N sao cho
AC CE

Hướng dẫn
Phương pháp véc tơ:

MC NE 1 − k
=
=
⇒ k MC = (1 − k )MA;
MA NC
k
k NE = (1 − k ) NC

Gt ⇒

8

SỬ DỤNG VÉC TƠ GIẢI TỐN HÌNH HỌC
________________________________________________

Mà BE = 2(BA + BC) nên
BM = k BC + (1 − k ) BA
k
1− k
⇒
. Do B, M, N thẳng hàng nên
=
.
k +1
2k
BN = (k + 1) BE + 2k BC
1
Từ đó tính được k =
(0< k< 1).
3
Bài 3. Cho tứ giác ABCD. Đường thẳng đi qua đỉnh A song song với BC cắt BD tại

M, đường thẳng đi qua đỉnh B song song với AD cắt AC tại N. CMR: MN// DC.
Hướng dẫn
Phương pháp véc tơ:

HD. Đặt ON = n OA; OM = mOB ⇒ NM = mnCD.
(Do ON/OA = OB/OD; OM/OB = OA/OC).
Bài 4. Cho ΔABC. Đương tròn nội tiếp tam giác tiếp xúc với AB, AC tại M, N. Vẽ

đường trung bình DE (// AB) của tam giác. Đường phân giác góc B cắt DE tại P.
Chứng minh rằng 3 điểm M, N, P thẳng hàng.

Hướng dẫn
Phương pháp véc tơ:
Đặt AB = c, BC = a, CA = b. e1 , e 2 , e 3 là các véc tơ đơn vị của tia BC, CA và AB.
+ BC + CA + AB = 0 ⇒ a e1 + be 2 + ce 3 = 0.
+ NA = (p − a )e 2 ; AM = (p − a )e 3
suy ra NM = NA + AM = (p − a )(e 2 + e 3 ).

9


SỬ DỤNG VÉC TƠ GIẢI TỐN HÌNH HỌC
________________________________________________

Tam giác PEB cân tại E nên PE = EB =

(

)

a
a
a
→ PE = e 3 ; EB = − e1 ; BM = (p − b)e 3 và
2
2
2

b
c
b

e1 = − e 2 − e 3 nên PM = e 2 + e 3 . Từ đây suy ra M, N, P thẳng hàng.
a
a
2
Bài 5. Cho tam giác ABC. Trên các cạnh BC, CA, AB lần lượt lấy các điểm D, E, K
DB EC KA
=
=
= k. Giả sử BE cắt AD tại B’, CK cắt BE tại C’, AD cắt
sao cho:
DC EA KB

CK tại A’. Chứng minh rằng 3 tam giác ABC, DKE và A’B’C’ có cùng trọng tâm.
Hướng dẫn
Phương pháp véc tơ:
AB − k AC
... suy ra AD + BE + CF = 0.
1− k
BC − k BA
b) Giả sử BE = x BC'. (1). Gt có; BE =
(2)
1− k
1
BC − y BA = 1 BC −
BA (3). Thay (2)(3)
Giả sử C' C = yC' K ⇒ BC' =
1− y
(1 − y)(1 − k )
1− y

a) Giả thiết suy ra AD =

vào (1) được x =

k2 − k +1
1− k
⇒ BC' = 2
BE. Từ đó
1− k
k − k +1

∑ BC' = ∑ BE = 0.

3. Tính tỉ số đoạn thẳng, tỉ số diện tích

Các bài tập có thể giải bằng phương pháp kẻ đường phụ, định lý Talet…Ở đây ta
dùng phương pháp véc tơ nhằm nêu sự ứng dụng đa dạng của phương pháp, đồng
thời rèn luyện kĩ năng biến đổi, biểu diễn véc tơ cho HS.

10


SỬ DỤNG VÉC TƠ GIẢI TỐN HÌNH HỌC
________________________________________________

Bài 1. Cho tam giác ABC cân tại A, AB = AC = 2;BC = 1. Từ B kẻ đường cao BH.

Tìm tỉ số

HA

.
HC

Hướng dẫn
Phương pháp véc tơ:
uur
uur
uuur
uuu
r uur BA - kBC uuu
r uur uur
Giả sử HA = kHC Þ BH =
; CA = BA - BC
1- k
uur uuu
r
uur uur uur
uur
uur 2
uur 2
uur uur
BH.AC = 0Þ (BA - BC)(BA - kBC) = 0 Û BA + kBC - (1+ k)BA.BC = 0
uur uur uur 2 uur 2 uur uur
uur uur
Mà 2BA.BC = BA + BC - (BA - BC)2 Þ 2BA.BC = 4+1- 4 = 1.
1+ k
= 0Þ k =- 7
Vậy: 4+ k 2
Bài 2. Cho tam giác KLM, trên cạnh KL lấy điểm A sao cho KA/AL = 1/3; trên cạnh
LM lấy điểm B sao cho LB/BM = 4/1. Gọi C là giao điểm của KB và AM. Biết

dt(KLC) = 2(đvdt). Tính diện tích của tam giác KLM.
Hướng dẫn
Phương pháp véc tơ:

11


SỬ DỤNG VÉC TƠ GIẢI TỐN HÌNH HỌC
________________________________________________

Giả sử KC = x KB(0 < x < 1) (1).
dt (KLM) dt (KLM) dt (KLB)
LM KB 5
=
.
=
= x. Ta đi tính x.
dt (KLC) dt (KLB) dt (KLC)
LB KC 4
1
4
Giả thiết suy ra KB = KL + KM (2).
5
5
1
y
1
Giả sử CA = yCM (0 < y < 1). Suy ra KC = 1 − y KA − 1 − y KM mà KA = KL nên
4
x

 1
=

1
y
 4(1 − y) 5
KC =
KL −
KM (3). Từ (1)(2)(3) suy ra 
⇒ x = 5.
4(1 − y )
1− y
y
4
−
= x
 1 − y 5
Bài 3. Cho tam giác ABC. Trên cạnh AC lấy điểm M, trên cạnh BC lấy điểm N sao

cho AM = 3MC, NC = 2NB. Gọi O là giao điểm của AN và BM. Tính diện tích
(ABC) biết diện tích(OBN) bằng 1(đvdt).
Hướng dẫn
Phương pháp véc tơ:
dt (KLM) dt (KLM) dt (KLB) LM KB 5
=
.
=
= x (với AN = xON).
dt (KLC) dt (KLB) dt (KLC) LB KC 4
x

1
2
AN =
AO
(1).
Giả thiết suy ra AN = AC + AB (2). Giả sử
x −1
3
3
1
3y
AB − y AM
OB = yOM ⇒ AO =
= 1 − y AB − 4(1 − y ) AC (3). Thay (2),(3) vào(1) tính
1− y

được x =10.

Bài 4. Cho tam giác ABC. Điểm K chia trung tuyến AD theo tỉ số -3. Đường thẳng

BK chia diện tích tam giác ABC theo tỉ số nào ?
Hướng dẫn
Phương pháp véc tơ:

12


SỬ DỤNG VÉC TƠ GIẢI TỐN HÌNH HỌC
________________________________________________

dt ( ABF ) FA
=
= x Giả sử BF = x BK (1). Giả thiết
dt (CBF ) FC

Mà BF =

BK =

1
3
1
3
BA + BD = BA + BC (2).
4
4
4
8

BA − x BC
(3) nên từ (1)(2)(3) suy ra x = -3/2.
1− x

Bài 5. (TH&TT T6/345) Trên 2 cạnh AB, AC của tam giác ABC lần lượt lấy 2 điểm
AE CD
=
. Gọi M là giao điểm của BD và CE. Xác định vị trí của E, D
E, D sao cho
EB DA

sao cho diện tích tam giác BMC đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị đó theo diện tích
của tam giác ABC.
Hướng dẫn
Phương pháp véc tơ:
dt (ABC) dt (ABC) dt (BDC) AC BD
AE CD 1
=
.
=
.
.
=
= . Ta có
dt (BMC) dt (BDC) dt (BMC) DC BM
EB DA m
BD
dt (ABC)
DA
AC
=x⇒
= (m + 1) x. Ta đi tính x.
=m⇒
= m + 1. Đặt
Ta có
BM
dt (BMC)
DC
DC

Giả sử

+) BD = x BM ⇒ MD = (1 − x )MB ⇒
CD − (1 − x )CB
1
x −1
=
CA +
CB
1 − (1 − x )
(1 + m) x
x
1
CA. ).
(2) (vì CD =
1+ m

CM =

+) Giả sử

1
y
x −1
y
m2 + m +1
=
m
=
;
⇒

x
=
CM = yCE ⇒
x
1 + m (1 + m) x 1 + m
m(m + 1)

13


SỬ DỤNG VÉC TƠ GIẢI TỐN HÌNH HỌC
________________________________________________

1

dt (ABC)

Từ đây suy ra dt (BMC) = m + m + 1 ≥ 3 ⇒ dt (BMC) ≤

dt (ABC)
.
3

II. PHƯƠNG PHÁP VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN
Từ kinh nghiệm biểu diễn véc tơ trong mặt phẳng, HS có thể mở rộng phương
pháp véc tơ trong khơng gian giải quyết được nhiều dạng tốn như CM đồng phẳng,
CM song song, CM vng góc, tính góc, tính tỉ số đoạn thẳng…
Sau đây là một số minh họa.

Bài 1. (Bài 32-t56, SBTHH11): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình

hành, M là trung điểm của SC, N là trung điểm của OB ( O = BD ∩ AC )
a) Tìm I = SD ∩ ( AMN ).

b) Tính

SI
.
ID

QUAN HỆ SONG SONG
Hướng dẫn:
Phương pháp véc tơ:
1.

s

I
M
D

A

B

N

O
C

a) Xem hình vẽ.

uuu
r uuur r ur
uuu
r r uuu
r r uuur ur
uur AS − x AD s − xd
uu
r
uur
b) Đặt AS = s, AB = b, AD = d . Giả sử IS = xID. Khi đó AI =
=
.
1− x
1− x
uuuu
r 1 r r ur uuur 1 uuu
r uuur
uur uuuu
r uuur
3 r 1 ur
Mặt khác AM = s + b + d , AN = AB + AO = b + d . Do 3 véc tơ AI , AM , AN
2
2
uur
u4uuu
r 2 uuur
đồng phẳng nên tồn tại 2 số m, n sao cho: AI = m AM + n AN hay
1 r ur m r r ur
 3 r 1 ur 

( s − xd ) =
s + b + d + n b + d ÷
1− x
2
2 
4

(

(

)

(

)

)

14


SỬ DỤNG VÉC TƠ GIẢI TỐN HÌNH HỌC
________________________________________________

m
 1
1 − x = 2

1 r ur m r  m 3n  r  m + n  ur

3
 m 3n
⇔
( s − xd ) = s +  + ÷b + 
=0 ⇒x=− .
÷d suy ra  +
1− x
2
5
2 4   2 
2 4
 m + n −x
 2 = 1− x


Bài 2. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’.
a) Hãy xác định đường thẳng (d) cắt cả hai đường thẳng AC’ và BA’ đồng thời song
song với B’D’.
b) Gọi I = (d ) ∩ AC '; J = (d ) ∩ BA '. Tính

AI
.
AC '

Hướng dẫn:
Phương pháp véc tơ:
A’

D’

B’

C’
A

D

B

uuur

C

r uuu
r r uuur

ur

uur

uuu
r uur

uuur

Giả sử AA ' = a, AB = b, AD = d và AI = xIC ', JB = y JA'. Khi đó:

uur
r r r uuu
r

r r
1
AI = x a + b + c , AJ =
− ya + b và
1− y
ur uuu
r uur  − y
uuuuu
r r ur
r  1
r r
I J = AJ − AI = 
− x ÷a + 
− x ÷b − xc. Mặt khác D ' B ' = b − d và IJ song
1− y

1− y

−y
1
− x = 0,
− x = k , − x = k.
song với D’B’ nên tồn tại một số thực k sao cho:
1− y
1− y
1
Ta tính được x = −1; y = . Từ đây suy ra cách dựng đường thẳng (d) và tính được
2

(

)

(

)

AI
1
= .
AC ' 2

15


SỬ DỤNG VÉC TƠ GIẢI TỐN HÌNH HỌC
________________________________________________

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Hai điểm M và N lần lượt
thay đổi trên các đoạn thẳng SB, AC sao cho:

BM NC
=
= x(0 < x ≠ 1). Gọi G là
MS NA

trọng tâm tam giác SCD.
a) CMR MN luôn song song một mặt phẳng cố định khi x thay đổi.
b) Tìm x để (GMN ) //( SAD).
c) Tìm x để NG //( SAB).

Hướng dẫn:
Phương pháp véc tơ:
s
M

C

D

N

A

O
B

uuu
r r uuu
r r uuur

ur

uuur

uuur uuur

uuu
r

a) Đặt AS = s, AB = b, AD = d . Giả thiết suy ra MB = − xMS , NC = − xNA hay

uuu
r
uuu
r r r
uuur r ur
uuuu
r AB + x AS b + xs uuur AC b + d
AM =
=
, AN =
=
1+ x
1+ x
1+ x 1+ x
uuuu
r
r
1 ur r
1 uuur
x uuu
MN =
d − xs =
AD −
AS hay
1+ x
1+ x
1+ x
MN //mp(SAD).

(

)

suy
uuuu
r uuur uuu
r
MN , AD, AS đồng

ra
phẳng

hay

uuuu
r uuur uuu
r

b) Ta tìm x để GM // mp(SAD) hay tìm x sao cho: GM , AD, AS đồng phẳng.

uuur 1 uuu
r uuur uuur 1 r r ur
AG = AS + AD + AC = s + b + 2d .
Từ
đây
ta
có
3
3
uuuu

r uuur uuuu
r  x
1 r  1
1  r 2 ur
GM = AG − AM = 
− ÷s + 
− ÷b − d .
3
1+ x 3  1+ x 3 
uuuu
r uuur uuu
r
uuuu
r
uuur
uuu
r
GM , AD, AS đồng phẳng nên tồn tại 2 số m, n sao cho: GM = m AD + n AS hay
r
ur
1 r  1
1  r 2 ur
 x
− ÷s + 
− ÷b − d = ns + md . Từ đây suy ra x = 2.

3
1+ x 3  1+ x 3 

Ta

có

(

)

(

16

)


SỬ DỤNG VÉC TƠ GIẢI TỐN HÌNH HỌC
________________________________________________

uuur

uuur uuur

1r  1

1r  1

2  ur

− ÷b + 
− ÷d .
c) GN = AN − AG = − s + 

3 1+ x 3  1+ x 3 
uuur uuu
r uuu
r
đồng
phẳng
hay
NG //( SAB) ⇔ GN , AB, AS

uuur
uuu
r
uuu
r
GN = m AB + n AS

hay

Bài 4. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M là một điểm trên đoạn AB’
sao cho AM/MB’ = 5/4. mp(P) qua M và (P) song song với A’C và BC’ cắt CC’ tại
N. Xác định thiết diện của hình lăng trụ với mp(P). Tính

NC
.
NC '

r
r
1r  1
1r  1

2  ur
1
− s+
− ÷b + 
− ÷d = ns + mb từ đây tính được x = .
3 1+ x 3  1+ x 3 
2

Hướng dẫn:
Phương pháp véc tơ:
C’

A’
B’

N

M

A

C
B

uuur

r uuu
r r uuur

r

uuuur

r r uuuu
r r r r

Đặt AA ' = a, AB = b, AC = c. Dễ dàng tính được A ' C = c − a, BC ' = a − b + c .
uuur
5 uuuur
MA = − MB ' nên
uuur uuuu
r 4
uuur
uuuu
r uuur AC − x AC ' − x r r
NC = xNC ' ⇒ AN =
=
a + c. Ta
1− x
1− x
uuuu
r uuur uuuu
r  −x 5  r 5 r r
MN = AN − AM = 
− ÷a − b + c.
9
1− x 9 

Từ giả thiết ta có:

17

uuuu
r 5 uuuu
r 5 r r
AM = AB ' = (a + b).
9
9

Giả sử
có


SỬ DỤNG VÉC TƠ GIẢI TỐN HÌNH HỌC
________________________________________________

Từ giả thiết ta có MN, A’C, BC’ đồng phẳng hay ta có sự biểu diễn:

r
r
r
uuuu
r
uuuur
uuuu
r
 −x 5  r 5 r r
−
a
−

b
+
c
=
(
−
m
+
n
)
a
−
nb
+
(
m
+
n
)
c
. Từ đây tính
hay
MN = m A ' C + nBC '

÷
9
1− x 9 

được x = -2.
BÌNH LUẬN: Nhiều học sinh khi giải bài tập này rất dễ vẽ nhầm hình do lấy

điểm M trên đoạn AB’ khơng chính xác dẫn tới điểm N nằm ngoài đoạn CC’. Bằng
cách giải trên ta có thể “điều chỉnh” hình vẽ hợp lý dẫn tới thiết diện dựng được
Bài 5. Cho tứ diện SABC có G là trọng tâm tam giác ABC. Một mặt phẳng (P) cắt

các tia SA, SB, SC lần lượt tại A’, B’, C’, G’. Chứng minh rằng:
3

SG SA SB SC
=
+
+
.
SG ' SA ' SB ' SC '

chính xác.
Hướng dẫn:
Phương pháp véc tơ:

uur
uuur uur
uuur uuu
r
uuur uuu
r uuur
SA
SB
SC
SG
= a,
= b,

= c,
= t ⇒ SA = aSA ', SB = bSB ', SC = cSC ', SG = tSG '.
SA
uu'u
r uuSB
r 'uur SC
uuu
r'
uSG
uuur'
uuur uuur uuur
Ta có 3SG = SA + SB + SC ⇒ 3tSG ' = aSA ' + bSB ' + cSC '.
uur uuu
r uuur r
aIA ' + bIB ' + cIC ' = 0,
Trong
mặt
phẳng
xét
điểm
I:
khi
đó
uuur uuur uuur
uur
uuuur
uu
r
aSA ' + bSB ' + cSC ' = (a + b + c ) SI hay 3tSG ' = (a + b + c) SI hay SG’ // SI vậy I thuộc
SG ∩ ( P ) = G '.

đường thẳng
SG hay I =uu
uuuur
ur
Suy ra 3tSG ' = (a + b + c) SG ' hay 3t = a + b + c.

Đặt

Cách khác: Gọi I’, I lần lượt là trung điểm đoạn B’C’ và BC.
SB ' SC ' dt ( SB ' C ') dt ( SB ' I ') dt ( SC ' I ')
.
=
=
+
SB SC
dt ( SBC )
2dt ( SBI ) 2dt ( SCI )

18

Ta có:


SỬ DỤNG VÉC TƠ GIẢI TỐN HÌNH HỌC
________________________________________________

SB ' SC ' SI '  SB ' SC ' 
SB SC
SI
.

=
+
+
=2
(1).

÷⇒
SB SC 2SI  SB SC 
SB ' SC '
SI '
SA ' SI ' dt ( SA ' I ') 2dt ( SA ' G ') dt (SG ' I ')
.
=
=
+
SA SI
dt ( SAI )
3dt ( SAG ) 3dt ( SGI )
SA ' SI ' 1 SG '  2 SA ' SI ' 
SA 2 SI
SG
.
=
+
+
=3
(2). Từ

÷⇒
SA SI 3 SG  SA

SI 
SA ' SI '
SG '

⇒

Mặt

khác:
hay:

(1) và (2) suy ra

Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Điểm M di

động trên cạnh SC, (P) là mặt phẳng qua AM và song song với BD.
a) CMR (P) luôn chứa một đường thẳng cố định.
b) Tìm H : H = ( P) ∩ SB, K : K = ( P) ∩ SD. CMR
3

SB SD SC
+
−
có giá trị khơng đổi.
SH SK SM

SG SA SB SC
=
+
+

.
SG ' SA ' SB ' SC '

Hướng dẫn:
Phương pháp véc tơ:
s

M

K
C

D

H

O
A

B

a) Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua điểm A và song song với BD.
b) Dễ thấy KH // BD. Gọi I là giao điểm của SO với AM. Dễ thấy O’ là trung điểm

uur uur uuu
r uuu
r
uuu
r
SD

SB SC
SO
= d,
=
= b,
= t. Từ SA + SB + SC + SD = 4SO ta có
SH
SK
SO '
uur uuur uuu
r
uSM
uur
uu
ur
SA + bSH + bSK + d SM = 4tSO '.
uu
r uuur uur
uuur r
Gọi I là điểm nằm trên mp(AHMK) thoả mãn: IA + bSH + bIK + d IM = 0. Khi đó
uur uuur uuu
r
uuur
uu
r
SA + bSH + bSK + d SM = (1 + b + c + d ) SI hay SI // SO’ suy ra I = SO ∩ ( AHMK )
uu
r
uuur
hay (1 + 2b + d ) SI = 4tSO ' ⇒ 1 + 2b + d = 4t.

uur uuu
r
uuu
r uuur uuu
r
uu
r
uu
r
uu
r
Mặt khác SB + SD = 2SO, b( SH + SK ) = 2bSI ⇒ 2tSI = 2bSI hay b = t.

của đoạn KH. Đặt

19


SỬ DỤNG VÉC TƠ GIẢI TỐN HÌNH HỌC
________________________________________________

Từ đó suy ra 2t - d = 1 ⇒

SB SD SC
+
−
= 1.
SH SK SM

.

2.

QUAN HỆ VNG GĨC

Bài 7. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = a, BC = CA = a 2 Tính góc
giữa các đường thẳng ( SA, BC ),( SB, AC ).
Hướng dẫn
Phương pháp véc tơ:
S

a

a
a

A
a 2

C

a
a 2

B

uur uur uuu
v

HD. Dùng bộ 3 véc tơ gốc: SA, SB, SC dễ thấy đơi một có tích vơ hướng dễ tính
do các góc giữa 2 véc tơ dễ xác định.

uur uur
r uur uuu
r
a 2 uur uuu
2
0
SA.SB = a .cos60 = , SB.SC = SA.SC = 0.
2
uur uuur
uur uuur
| SA.BC |
cos( SA, BC ) =| cos( SA, BC ) |=
.
SA.BC
uur uuu
r uur
a2
uur uuur uur uuu
r uur
SA. SC − SB
1 .
Chú ý: SA.BC = SA( SC − SB) nên cos( SA, BC ) =
= 22 =
a.a 2
a 2 2 2
Tương tự tính góc cịn lại.

(

20

)


SỬ DỤNG VÉC TƠ GIẢI TỐN HÌNH HỌC
________________________________________________

Bài 8. Gọi M, N, I, J, K lần lượt là trung điểm của đoạn AC, CC’, AD, BB’, DD’ của
hình lập phương ABCD.A’B’C’D’.
a) CMR tam giác A’MN là tam giác vuông.
b) CMR IJ ⊥ A ' C.
c) Tính góc (A’B, AC’) và (CK, A’D).

Hướng dẫn

r ur r
uuu
r r uuur ur uuur r
Chọn bộ 3 véc tơ gốc AB = b, AD = d , AA ' = a đơi một vng góc, b = d = a = a. .
uuuuu
r uuuu
r uuur 1 r ur r
a) A ' M = AM − AA ' = (b + d ) − a; ;
2r r
r u
uuuu
r uuur uuuu
r b+d +a
MN = AN − AM =
.

2
uuuuu
r uuuu
r
Ta có A ' M .MN = 0 suy ra tam giác A’MN vuông tại M.
r
ur
ur uur uuu
r −a r d
b) IJ = AI − AJ =
−b+ ;
2
uuuu
r uuur uuur r ur r2
uuuu
r uu
r
.
Suy
ra
A ' C = AC − AA ' = b + d − a
A ' C.IJ = 0 .
c) Việc tính góc thực hiện như bài tập 12.

21


SỬ DỤNG VÉC TƠ GIẢI TỐN HÌNH HỌC
________________________________________________

Bài 9. (KB-03) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là một hình
·
thoi cạnh a, góc BAD
= 600. Gọi M, N lần lượt là trung điểm cạnh AA’ và CC’.
CMR 4 điểm B’, M, N, D cùng thuộc một mặt phẳng. Hãy tính độ dài cạnh AA’
theo a để tứ giác B’MBN là hình vng.
Hướng dẫn.
uuur r uuu
r r uuur ur
r r r ur
ur r a 2 r
+ Đặt AA ' = a, AB = b, AD = d . Ta có a.b = a.d = 0, d .b = ;| a |= x .
2
r
r
uuur r ur a uuuu
r a uuur r r
Ta có biểu diễn: AN = b + d + , AM = , AB ' = a + b.
2
2
B'

C'

B
A'

D'

a

N

a
C

A
M

B

a
C
D

600
A

a

D

uuur
uuur
uuur
uuuu
r
Dễ dàng suy ra : AN = 1. AB ' + 1. AD − 1. AM
Hay 4 điểm N , M , D, B ' đồng phẳng.
Nhận xét: Dễ thấy rtừ giác B’MDN là hình thoi.

r
uuuur uuuu
r uuur a ur uuur uuur uuur a r
DM = AM − AD = − d ; DN = AN − AD = + b .
2
2
2
2
x
a
Ta có DM .DN = 0 ⇔
− = 0 ⇒ AA ' = x = a 2.
4
2
Bài 10. (Vinh, kD-2000) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 2. Gọi
E, F tương ứng là các trung điểm của các cạnh AB và DD’.
1) CMR đường thẳng EF song song với mp(BDC’) và tính độ dài EF.

22


SỬ DỤNG VÉC TƠ GIẢI TỐN HÌNH HỌC
________________________________________________

2) Gọi K là trung điểm của cạnh C’D’. Tính khoảng cách từ đỉnh C tới mp(EKF) và
xác định góc giữa 2 đường thẳng EF và BD.
Hướng dẫn.
r uuur r uuu
r r uuu
r

Đặt a = AA ',b = AB,d = AD , ba véc tơ đơi một vng góc, độ dài bằng 2.
uur uuu
r uuur
1) Ta chứng minh: ba véc tơ. EF,BD,BC' đồng phẳng.
r
r
uuur uuur uuur  a ur  b
EF = AF − AE =  + d ÷− ,
Ta có:
2
 2
uuur uuur uuu
r ur r
BD = AD − AB = d − b,
uuuu
r uuuu
r uuur r ur
BC ' = AC ' − AD = a + d .
K

D'

C'

A'

F

D

C

B'

J

I
A

C

D

E

B

I
A

E

B

uuur 1 uuur 1 uuuu
r
uur uuu
r uuur
Ta có đẳng thức sau: EF = BD − BC ' nên ba véc tơ. EF,BD,BC' đồng phẳng
2

2
suy ra đường thẳng EF song song với mp(BDC’).
r r
2
uuur
 a b ur 
Mặt khác: EF =  − + d ÷ = 6.
2 2

uur uuu
r
EF.BD
6
6.
2) * Trước hết: cos(EF,BD) =
=
=
EF.BD
2
6.2

23


SỬ DỤNG VÉC TƠ GIẢI TỐN HÌNH HỌC
________________________________________________

* Giả sử H là hình chiếu của C lên (EFK). Ta có
uuu
r uur uuu

r uur
uur
uur
CH = CE + EH = CE + mEF + nFK .
uuu
r uur uuu
r uur
Ta tìm m, n sao cho: CH ^ EF,CH ^ FK .
uuu
r 1 r ur uuur m r m r ur uuur n r n r
Ta có CE = b − d ; mEF = a − b + d ; nFK = a + b .
2
2
2
2
2
uuur uuur
uuur uuur
1
1
Suy ra CH .EF = 0 ⇒ 7 m − 3n = 2 ; CH .FK = 0 ⇒ n = ⇒ m =
2
2
r r
2
2
2
uuur
ur
hay CH = a − b − 1 d ⇒ CH = 2 + 2 + 2 = 3.

2 2 2
2
BÌNH LUẬN: tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng bằng phương pháp
véc tơ rất phức tạp học sinh nên tọa độ hóa để tính thì ngắn gọn.
KẾT LUẬN
Để áp dụng được phương pháp VÉC TƠ cho các quan hệ hình học, ta cần lựa
chọn bộ véc tơ gốc phù hợp, nếu khơng tính tốn sẽ rất phức tạp. Phương pháp thích
hợp cho những bài tốn chứa sẵn yếu tố vng góc lấy từ tam giác cân, vng, hình
chữ nhật hay tứ giác có các đường chéo vng góc với nhau…
Giải bài tốn theo cách này có ưu điểm là thuật tốn đơn giản nhưng tính tốn nhiều
và khơng phải mọi bài tốn hình có thể làm theo cách làm này.
Các bài tốn trên có thể giải bằng phương pháp tọa độ, đơn giản hơn. Tuy vậy
có nhiều bài tốn giải bằng PP véc tơ lại sáng sủa hơn, đặc biệt là những bài toán
chứng minh quan hệ thẳng hàng hay song song.
Số lượng các bài tập cịn ít, đơn điệu. Hy vọng với sự bổ sung của nhiều
người, nội dung này sẽ phong phú hơn.
Học sinh lớp 11, 12 sử dụng phương pháp véc tơ trong HHKG cũng sẽ thu được
kết quả rất tốt.
Phương pháp tọa độ trong không gian có rất nhiều ứng dụng trong luyện thi
đại học, do khuôn khổ đề tài nên không đề cập. GV và HS có thể tìm thấy trong
nhiều tại liệu luyện thi. Ở đây tác giả chỉ dừng lại ở phương pháp véc tơ trong khơng
gian vì nội dung này ít được để ý mặc dù ứng dụng khá rộng rãi và khơng q khó để
thực hiện.
III. BÀI TẬP THỰC HÀNH
Sau đây là một số bài tập tương tự, có thể giải được bằng phương pháp véc tơ. GV
có thể sử dụng làm tư liệu bồi dưỡng HSG.
BÀI TẬP HÌNH HỌC PHẲNG

24

SỬ DỤNG VÉC TƠ GIẢI TỐN HÌNH HỌC
________________________________________________

Bài 1. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Qua 3 đỉnh A, B, C vẽ các
đường thẳng song song với nhau cắt (O) lần lượt tại A1 , B1 , C1 . Chứng minh rằng
trọng tâm của các tam giác ABC1 , BCA1 , CAB1 thẳng hàng.
Bài 2. Cho lục giác ABCDEF. Các điểm M, N, P, Q, R, S lần lượt thay đổi trên các
AM BN CP DQ ER FS
=
=
=
=
=
. Chứng
cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA sao cho:
AB BC CD DE EF FA

minh rằng trọng tâm hai tam giác ANP và CMQ đối xứng nhau qua 1 điểm cố định
O.
HD. O là điểm thoả mãn: OA + OB + OC + OD + OE + OF = 0.
Bài 3. Cho hình bình hành ABCD, gọi I, J, K là các điểm được xác định bởi
AI = p AB; AJ = q AC và AK = r AD. Chứng minh rằng điều kiện để I, J, K thẳng hàng là:
1 1 1
= + .
q p r
Bài 4. Cho hình chữ nhật ABCD. Đường thẳng vng góc với AC qua D cắt BC tại
I. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng DC và CI. Chứng minh rằng AE ⊥

DF.

Bài 5. Trên hai cạnh góc vng AB, AC của tam giác ABC vuông lần lượt lấy các

điểm B’, C’ sao cho AB.AB’ = AC.AC’. Gọi M là trung điểm của đoạn BC. Chứng
minh rằng: AM ⊥ B’C’.
Bài 6. Trên các cạnh BC, CA, AB của tam giác vuông cân ABC tại C, lấy các điểm
MB NC PA
=
=
. Chứng minh rằng: CP ⊥ MN và CP = MN.
MC NA PB
Bài 7. Cho hình vng ABCD. Trên cạnh DC lấy điểm E, kẻ EF ⊥ AC (F thuộc cạnh
BC). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE và DC. Chứng minh rằng: MN ⊥ DF.
Bài 8. Cho hình vng ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm P, trên cạnh AD lấy điểm Q
sao cho AP = AQ. Kẻ AH vng góc DP tại H. Chứng minh rằng CH ⊥ QH.
Bài 9. Cho tam giác ABC, cân tại đỉnh A, đường cao AH. Gọi D là hình chiếu vng

M, N, P sao cho:

góc của H lên AC, M là trung điểm của HD. Chứng minh rằng AM ⊥ BD.
Bài 10. Cho ∆ABC cân tại A. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC, D là trung
điểm cạnh AB, E là trọng tâm ∆ACD. Chứng minh rằng: IE ⊥ CD.
Bài 11. (NamTư 95) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Gọi D là chân đường vng
góc từ C tới AB, E là chân đường vng góc từ D đến AC, F là điểm thuộc đoạn
DE sao cho

DE DA
=
. Chứng minh rằng BE ⊥ CF.
FE DB

Bài 12. (NamTư 83)Trên cung AB của đường trịn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD,

người ta lấy điểm M khác A và B. Gọi P, Q, R, S là hình chiếu của điểm M trên các
đường thẳng AD, AB, BC, CD. Chứng minh rằng PQ ⊥ RS và giao điểm của chúng
nằm trên một đường chéo của hình chữ nhật.

25