Sang kien kinh nghiem

<span class='text_page_counter'>(1)</span>MỤC LỤC MỤC LỤC...........................................................................................................1 A. ĐẶT VẤN ĐỀ.................................................................................................2 B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.................................................................................2 I. Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị hàm số............4 1.Bài toán1: Cho đồ thị (C) : y = f(x) và điểm . Viết phường trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M 0 ( x0 ; y0 )  (C ) .......................................................4 1.1.Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị.......5 1.2 Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hoành độ tiếp điểm....6 1.3 Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tung độ tiếp điểm.......8 1.4 Dạng 4: Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung :.....................................................................................10 1.5 Dạng 5: Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành....................................................................................11 2.Bài toán 2: Lập phương trình khi biết hệ số góc...............................13 2.1 Dạng 1: Lập phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc..................13 2.2 Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết nó song song hoặc vuông góc với đường thẳng cho trước..........................15 II. Viết phương trình tiếp tuyến qua một điểm cho trước.......................24 BÀI TẬP TỔNG HỢP..................................................................................34 C. KẾT LUẬN CỦA SÁNG KIẾN.................................................................36 D.TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................39.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> A. ĐẶT VẤN ĐỀ Giáo dục và đào tạo Việt Nam trong những năm qua đã kịp tiếp cận với xu thế chung của thời đạị Nghị quyết Trung ương II đã chỉ rõ: "Đổi mới mạnh mẽ phương pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn thành nếp tư duy sáng tạo của người học, từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến và phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, đảm bảo thời gian tư học cho học sinh , sinh viên...". Dạy học toán thông qua kiến thức là phải dạy học sinh khả năng tư duy: phân tích, tổng hợp , trừu tượng hoá , cụ thể hoá, khái quát hoá , ..... Trong đo phân tích tổng hợp co vai trò trung tâm. Phải dạy học sinh khả năng tư tìm tòi, tư phát hiện và phát biểu vấn đề, dư đoán được các kết quả, tìm được hướng giải quyết một bài toán, hướng hướng chứng minh một số định lí. Đặc biệt là trong dạy toán về hàm số và các bài toán liên quan đến hàm số trong đo co chủ đề về tiếp tuyến của đồ thị hàm số. Trong sáng kiến kinh nghiệm tôi chỉ tập trung vào bài toán tiếp tuyến của đồ thị hàm số mà không khai thác các dạng tiếp tuyến của các đường côníc. Sáng kiến này cũng chỉ ra các cách khác nhau để giải bài toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số. Hiện nay bài toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã được đưa xuống chương trình lớp 11. Vì vậy đây là tài liệu tham khảo cho giáo viên trong quá trình giảng dạy và là tài liệu co hệ thống đầy đủ để học sinh học tập. Trải qua quá trình tìm tòi và nghiên cứu cũng như trong việc giảng dạy đồng thời nhằm gop phần giảng dạy hiệu quả chủ đề tiếp tuyến của đồ thị hàm số tôi mạnh dạn đề xuất sáng kiến: “ Hướng dẫn học sinh phân loại bài tập về tiếp tuyến của đồ thị hàm số”..

<span class='text_page_counter'>(3)</span> B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ. I. Cơ sở lý luận của vấn đề: Bài toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã được đưa xuống chương trình lớp 11. Vì vậy đây là tài liệu tham khảo cho giáo viên trong quá trình giảng dạy và là tài liệu co hệ thống đầy đủ để học sinh học tập II. Thực trạng của vấn đề: Bài toán về tiếp tuyến của hàm số co nhiều dạng khác nhaụ Học sinh khi học phần này thường không nắm vững phương pháp giải toán trong khi đo loại toán dạng này thường co trong các đề thi tốt nghiệp THPT và thi tuyển sinh vào các trường Đại học, Cao đẳng trong những năm gần đâỵ Do đo cần rèn luyện để học sinh thành thạo với bài toán và khắc phục được những sai lầm khi làm bài tập loại nàỵ Một sai lầm chủ yếu khi học sinh viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số là nhầm giữa hai khái niệm tiếp tuyến đi qua và tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị của hàm số. Vì vậy hệ thống một cách đầy đủ và co phân loại là yêu câu cần thiết đối với chủ đề nàỵ III. Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề: Giáo viên cần nghiên cứu sách giáo khoa môn toán của lớp 11 và 12; đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông và bổ túc trung học phổ thông qua các năm; các tài liệu về đề thi tuyển sinh môn toán, khai thác tài liệu trên mạng.... Từ đo tập hợp và hệ thống các dạng toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số, phân loại thành các dạng khác nhau từ dễ đến kho để phù hợp với đối tượng học sinh. Trong mỗi dạng co phương pháp chung, các ví dụ mẫu cụ thể và hệ thống bài tập hợp lí nhằm dẫn dắt học sinh trong quá trình học tập, tạo ra tinh thần học tập hứng thú cho học sinh..

<span class='text_page_counter'>(4)</span> BÀI TOÁN VỀ TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ I. Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị hàm số. 1.Bài toán1: Cho hàm số y = f(x) co đồ thị (C) và điểm M 0 ( x0 ; y0 )  (C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M 0 ( x0 ; y0 )  (C ) . Phương pháp: Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M 0 ( x0 ; y0 ) co dạng : y  y0  f '( x0 )( x  x0 ) .. y. M0 x0. y = f(x). y0 O. x.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> CÁC DẠNG THƯỜNG GẶP 1.1.Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị Phương pháp -Cho x0 và y0 - Tính y '  f '( x ) sau đo tính f '( x0 ) . - Viết phương trình tiếp tuyến : y  y0  f '( x0 )( x  x0 ) 3 Ví dụ 1: Cho hàm số y  x  3x  2 , co đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến. của (C) tại điểm (0;2). (ĐH DL Đông Đô Khối - 2000) Giải:. - Ta co: x0 0, y0 2. f '( x ) 3x 2  3  f '(0)  3 Vậy phương trình tiếp tuyến là:. y  2  3( x  0)  y  3x  2 Các bài tập tương tự: 3 2 Bài 1: ( Đề thi TN năm 2006-Không PB) Cho hàm số: y  x  6 x  9x. co đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị hàm số (C)..

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Bài 2: ( Đề thi TN năm 2007 –Không PB) Cho hàm số. y x  1 . 2 x  1 , co đồ thị (H). Lập phương trình tiếp tuyến của. (H) tại điểm A  0;3 . Bài 3: (ĐH Thương Mại-2000) 3 Cho hàm số y x  3x  1 , co đồ thị (C). Cho điểm A(x0;y0) thuộc (C),. tiếp tuyến với (C) tại A cắt (C) tại điểm B khác điểm A. Tìm hoành độ B theo x0 . Bài 4: (ĐH Thái Nguyên D2001) 4 2 Cho hàm số y  x  2 x , co đồ thị (C). Lập phương trình tiếp tuyến của. (C) tại điểm A( 2;0). Bài 5: (ĐH Khối D- 2007) : y. 2x x 1. Cho hàm số co đồ thị (C). Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai trục Ox, Oy tại A, B và tam giác OAB co diện 1 tích bằng 4 . 1.2 Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hoành độ tiếp điểm. Phương pháp: - Cho x0 tính tung độ y0  f ( x0 ) (bằng cách thay x0 vào biểu thức của hàm số để tính y0 ..

<span class='text_page_counter'>(7)</span> -Tính y '  f '( x )  f '( x0 ) . - Viết phương trình tiếp tuyến y  y0  f '( x0 )( x  x0 ) . Ví dụ 2: 2 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y ( x  1) ( x  2) tại các. điểm co hoành độ bằng - 2 và 1. (ĐH BK năm 1983-1984). Giải: 2 3 Ta co y ( x 1) ( x  2) x  3x  2. Từ x0  2  y0  4; x0 0  y0  2 2 Ta co: f '( x) 3x  3 .. Với: x0  2  f '( 2) 9 Phương trình tiếp tuyến là: y  4 9( x  2)  y 9x  14 Với: x0 1  f '(1) 0 Phương trình tiếp tuyến là: y  2 0.( x  1)  y  2 Các bài tập tương tự: Bài 1: (CĐSP Cần Thơ khối A 2001).

<span class='text_page_counter'>(8)</span> y. Cho hàm số. x2  x  1 x  2 , co đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của. (C) tại điểm x0  1 . Bài 2: (CĐ BC Marketing khối A 2001) Cho hàm số. y x  1 . 4 x  1 , co đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến với. (C) tại điểm x0 2 . Bài 3: (ĐH Tổng hợp 83-84). Cho hàm số. y. x2  x 1 x 2  x  2 , co đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến với. (C) tại điểm co hoành độ bằng 1. Bài 4: ( Đề thi TN năm 2008-Không PB) 4 2 Cho hàm số y  x  2x , co đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến với. (C) tại điểm x0  2 . 1.3 Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tung độ tiếp điểm Phương pháp: - Cho y0 tính hoành độ x0 bằng cách giải phương trình f ( x0 )  y0. . - Tính y '  f '( x ) sau đo tính f '( x0 ).

<span class='text_page_counter'>(9)</span> - Viết phương trình tiếp tuyến: y  y0  f '( x0 )( x  x0 ) tại mỗi điểm ( x0; y0 ) vừa tìm được.. Ví dụ 3: Cho hàm số. y. x2  x 1 x  1 , co đồ thị (C). Lập phương trình tiếp tuyến. với (C) tại điểm co tung độ bằng 1. Giải: Gọi x0 là hoành độ của tiếp tuyến, ta co phương trình: x0 2  x0  1 1  x0  1. Ta co:. f '( x) .  x0 0  x 2  0. x 2  2x  2 ( x  1)2. Với : x0 0  f '(0)  2 Phương trình tiếp tuyến là: y  1  2( x  0)  y  2x 1. Với:. x0 2  f '(2) . 2 3. Phương trình tiếp tuyến là: Các bài tập tương tự:. 2 3. 2 3. y  1  ( x  2)  y  x-. 1 3.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> 3 2 Bài 1: Cho hàm số y x  3x  2x+3 , co đồ thị (C). Lập phương trình. tiếp tuyến của (C) tại điểm co tung độ bằng 3.. y Bài 2: Cho hàm số. x. 4. 4.  2 x2  2 , co đồ thị (C). Lập phương trình. tiếp tuyến với (C) tại điểm co tung độ bằng 2.. Bài 3: ( Đề thi TN lần 2 năm 2008). Cho hàm số. y. 3x  2 x  1 , gọi đồ thị là hàm số (C). Viết phương trình tiếp. tuyến của đồ thị (C) tại điểm co tung độ bằng – 2.. y. Bài 4: Cho hàm số. x 2 2x+2 x 2 , co đồ thị (C). Lập phương trình tiếp. tuyến của (C) tại điểm y0 1 . 1.4 Dạng 4: Viết phương trình tiếp tuyến của dồ thị tại giao điểm của đồ thị với trục tung: Phương pháp - Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị với trục Oy: Cho và x0 0 tính y0 ; - Tính y '  f '( x ) sau đo tính f '( x0 ) - Viết phương trình tiếp tuyến: y  y0  f '(0)( x  0).

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Ví dụ 4: Cho hàm số. y. x 3 2x  1 co đồ thị (C), viết phương trình tiếp tuyến với. đồ thị (C) tại điểm giao với trục tung. Giải: Cho x0 0  y0  3. Ta co:. f '( x ) . 7  f '(0)  7 (2x  1) 2. Vậy phương trình tiếp tuyến là: y  3  7( x  0)  y  7x-3 Các bài tập tương tự:. Bài 1: Cho hàm số. y. 3x  2 x  1 , co đồ thị hàm số là (C). Viết phương trình tiếp. tuyến của đồ thị (C) tại điểm giao với trục tung. 3 2 Bài 2: Cho hàm số y = x -3x + 2 , co đồ thị hàm số là (C). Viết phương. trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm giao với trục Oy. Bài 3: Cho hàm số. y. x4  2x 2  2 4 , co đồ thị hàm số là (C). Viết phương. trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm giao với trục tung. Bài 4: (Đề thi TN năm 2007 Phân ban – Lần 2 ).

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Cho hàm số. y. x 1 x  2 , co đồ thị hàm số là (C). Viết phương trình tiếp. tuyến của đồ thị (C) tại điểm giao với trục tung. 1.5 Dạng 5: Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị với trục hoành. Phương pháp: -. Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị với trục Ox: Cho y0 0 và tính x0 ;. -. Tính y '  f '( x ) sau đo tính f '( x0 ) tại các giá trị x0 vừa tìm được;. -. Viết phương trình tiếp tuyến:. Ví dụ 5: Cho. y. y  0  f '(0)( x  x ) 0 ..  x2  x x 1 , co đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C). tại giao điểm của (C) với trục Ox. (CĐSP KonTum2005).  x 2 x 0 0  y 0  0 0 x 1 0 Giải: Cho f '( x)  Ta co:.  x 0  0  x 1  0.  x 2  2 x 1 ( x 1)2. Với: x0 0  f '(0) 1 Phương trình tiếp tuyến là: y  0 1( x  0)  y x.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Với:. x0 1  f '(2) . 1 2. Phương trình tiếp tuyến là:. 1 2. y  0  ( x  1)  y . 1 1 x+ 2 2. Các bài tập tương tự: Bài 1: (ĐH Bách Khoa Năm1976) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị. y. x2  2 x  2 x 1 tại các giao điểm. của đồ thị với trục hoành. 3 2 Bài 2: (CĐ Y tế Nam Định năm 2001) Cho hàm số y x  3x  4 , co. đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của (C) với trục hoành .. Bài 3: Cho hàm số. y. x 1 x  1 , co đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến. tại giao điểm của (C) với trục Ox. Bài 4: ( Đề DB ĐH khối D- 2007) Cho hàm số. − x+1 , co đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến với 2 x +1. (C), biết tiếp tuyến đo qua giao điểm của đồ thị với trục Ox. 2.Bài toán 2: Lập phương trình khi biết hệ số góc. 2.1 Dạng 1: Lập phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc Phương pháp:.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> - Giải phương trình:. f '( x ) k  x 0 0. - Tìm y0 tương ứng với x0 vừa tìm được. - Viết phương trình tiếp tuyến:. y  y  f '( x )( x  x ) 0 0 0. Ví dụ 6: (Đề thi tốt nghiệp 2009) Cho hàm số. y. 2 x 1 x  2 . Viết phương trình. tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết hệ số goc bằng -5. Giải Gọi. M (x ; y ) 0 0 0 là tọa độ tiếp điểm. Hệ số goc bằng – 5 khi f '( x0 )  4 5   5  ( x  2)2 0.  x 1  0  x 3  0. x0 1  y0  3. Với. x0 3  y0 7. Ta co, các tiếp tuyến thỏa mãn bài ra là: y  5x  2 và y  5x  22 Ví dụ 7: 3 2 Cho hàm số y  x  3x  9 x  3 (C). Chứng minh rằng trong số các tiếp. tuyến của (C) thì tiếp tuyến tại điểm uốn co hệ số goc nhỏ nhất. Giải: Ta co hệ số goc của tiếp tuyến tại điểm bất kì của đồ thị (C) là: 2 k = y ' 3 x  6 x  9.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> y '' 6 x  6  y '' 0  6 x  6 0  x  1. Xét dấu y” tìm được điểm uốn U(-1; 14). Hệ số goc của tiếp tuyến tại điểm uốn là: k1 = -12. 2 Bảng biến thiên của hàm số y ' 3x  6 x  9. x y’. . . -1 0. . + . y -12 Từ bảng biến thiên suy ra k  12 . Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi x = -1 (ĐPCM).. Các bài tập tương tự: Bài 1: ( Đề thi TN năm 2012). 1 y  f ( x)  x 4  2 x 2 4 Cho hàm số co đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của f ''( x )  1. 0 đồ thị (C) tại điểm x0 , biết 3 2 Bài 2: Cho hàm số y  f ( x) x  2x  2x co đồ thị (C). Viết phương trình tiếp. tuyến của đồ thị (C) biết hệ số goc bằng -1..

<span class='text_page_counter'>(16)</span>  x 1 y 3x  4 co đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ Bài 3: Cho hàm số f '( x ) 7. 0 thị (C) tại điểm x0 , biết. Bài 4: (ĐH Khối B - 2004). 1 y  f ( x )  x 3  2 x 2  3x 3 Cho hàm số co đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm uốn và chứng minh rằng tiếp tuyến tại đo co hệ số goc nhỏ nhất. Bài 5: (ĐH Khối A - 2011) y.  x 1 . 2 x  1 co đồ thị (C). Chứng minh rằng với mọi m đường. Cho hàm số thẳng y = x + m luôn cắt đồ thì (C ) tại 2 điểm phân biệt A và B . Gọi k 1 và k1 lần lượt là hệ số goc của các tiếp tuyến với ( C ) tại A và B . Tìm m để tổng k1 + k1 đạt giá trị lớn nhất. 2.2 Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết nó song song hoặc vuông góc với đường thẳng cho trước. Phương pháp: . Tính y’.. . Giải phương trình f '( x0 ) k  x0. . Tính y0. . Thay vào phương trình y  y0  f '( x0 )( x  x0 ) ..

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Đặc biệt: +) Tiếp tuyến song song với đường thẳng y ax  b khi đo tiếp tuyến co hệ số goc là k = a . +) Tiếp tuyến vuông goc với đường thẳng y ax  b khi đo tiếp. tuyến co hệ số goc là. k=. - 1 a .. 3 2 Ví dụ 8: Cho hàm số y  x  3 x co đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến với. (C), biết no song song với đường thẳng y 9 x  1 Giải Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng. y 9 x 1 nên tiếp tuyến co. dạng y 9 x  m. Gọi. ( x0 ; y0 ). là tiếp điểm của đồ thị hàm số, hệ số goc bằng 9 nên. f '( x0 ) 9.  x0  1  3x 2  6x 9    x0 3. x0  1  y0  4 Với x0 3  y0 0 Ta co, các tiếp tuyến thỏa mãn bài ra là: y 9x  5 và y 9x-27 ..

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Ví dụ 9: ( ĐH Cần Thơ -2000). 3 Cho hàm số y  x  3x  2 , co đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến. của (C) , biết tiếp tuyến đo vuông goc với đường thẳng. y . 1 x 9 .. Giải : 2 Ta co : y '  f '( x ) 3x  3. Vì tiếp tuyến vuông goc với đường thẳng. y . 1 x 9 nên tiếp tuyến co hệ số. goc bằng 9.  x 2 f '( x0 ) 9  3x 20  3 9   0  x0  2 Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm ta co:. x0  2  y0 0 Với x0 2  y0 4 Ta co, các tiếp tuyến thỏa mãn bài ra là: y 9x-14 và y 9x+18. Các bài tập tương tự: Bài 1: (ĐH Luật - 1999) Cho hàm số. y. 2x2  7x  7 x 2 co đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến. với (C), biết no song song với đường thẳng y  x  4 Bài 2: ( Đề thi TN năm 2006).

<span class='text_page_counter'>(19)</span> x2  5x  4 y x 2 Viết phương trình các tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết các tiếp tuyến đo song song với đường thẳng y = 3x + 2006. Bài 3: ( ĐH khối D - 2010) 4 2 Cho hàm số y  x  x  6 , co đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến. 1 y  x 1 6 của (C), biết tiếp tuyến đo vuông goc với đường thẳng .. Bài 4: ( ĐH khối B - 2006). Cho hàm số. y. x2  x  1 x  2 , co đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của. (C), biết tiếp tuyến đo vuông goc với đường tiệm cận xiên của (C). 1 3 2 y  x  2 x  3x  1 3 Bài 5: Cho hàm số co đồ thị (C). Viết phương trình tiếp. tuyến của (C), biết tiếp tuyến đo vuông goc với đường thẳng x  8 y  16 0 . Bài 6: ( ĐH D – 2005) 1 m 1 y  x3  x 2  (C m) 3 2 3 co đồ thị Cho hàm số: . Gọi M là điểm thuộc. (C m). co hoành độ bằng -1. Tìm m để tiếp tuyến của. (C m). tại M song song với. đường thẳng 5x - y = 0. Bài 7: ( CĐ - 2012) Cho hàm số:. y. 2x  3 x  1 co đồ thị (1) . Viết phương trình tiếp tuyến d của. (1), biết d vuông goc với đường thẳng x  8 y  16 0 ..

<span class='text_page_counter'>(20)</span> Các bài tập nâng cao có lời giải: Bài tập 1: ( ĐH An Ninh A- 2000) 3 2 Cho hàm số y  x  mx  m  1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C). tại các điểm cố định. Tìm quỹ tích giao điểm của các tiếp tuyến đo khi m thay đổị Giải: Gọi (x0; y0) là điểm cố định của đồ thị hàm số khi đo ta co: y0  x03  mx02  m  1 m  ( x02  1)m  x03  1  y0 0 m   x0 1   x02  1 0   y0 0  3   x0  1  y0 0   x0  1   y0  2. Ta co: y’ = 3x2 + 2mx y’(1) = 3 + 2m. Do đo phương trình tiếp tuyến của (C) tại A(1; 0) là: y  0 (2m  3)( x  1) hay y (2m  3) x  (2m  3). (1). Tương tư phương trình tiếp tuyến của (C) tại B(-1 ; -2 ) là: y (3  2m) x 1  2m .. (2). * Tìm quĩ tích giao điểm của hai tiếp tuyến khi m thay đổi: Khử m từ phương trình (1) và phương trình (2) ta được: tích cần tìm. (Đo là một Hypebol). Bài tập 2: ( HVBCVT A - 1998).. y. 3x 2  x  2 x là quỹ.

<span class='text_page_counter'>(21)</span> y. Cho hàm số:. x 1 (C ) x 1 .. a) CMR: Mọi tiếp tuyến của đồ thị (C) đều lập với hai đường tiệm cận một tam giác co diện tích không đổị b) Tìm tất cả các điểm thuộc đồ thị sao cho tiếp tuyến tại đo lập với hai đường tiệm cận một tam giác co chu vi bé nhất. Giải: a) Gọi. M 0 ( x0 ;. x0  1 2 )  (C ) y '( x0 )  x0  1 ( x 0  1) 2 .. Phương trình tiếp tuyến tại điểm M0 co dạng: y. x 1 2 ( x  x0 )  0 2 ( x0  1) x0  1 (d). Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số (C) là: x = 1. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (C) là: y =1. Toạ độ giao điểm của hai đường tiệm cận là A(1; 1). Toạ độ giao điểm của (d) với tiệm cận ngang là nghiệm của hệ: x 1 2  ( x  x0 )  0 y  2 ( x0  1) x0  1    y 1 .  x 2 x0  1   y 1. Gọi C (2 x0  1;1) .. Tương tư, toạ độ giao điểm của (d) với tiệm cận đứng là: Ta co : AB = AC =. B (1;. x0  3 ) x0  1 .. x0  3 4 1 x0  1 x0  1 2 x0  1. Do tam giác ABC vuông tại A nên diện tích của tam giác ABC là:.

<span class='text_page_counter'>(22)</span> 1 1 4 S  AB. AC  . .2 x0  1 4 2 2 x0  1. ( Không đổi) (Điều phải chứng minh).. b) Ta co chu vi của tam giác ABC là: 2 p  AB  AC  BC  AB  AC  AB 2  AC 2 2 AB. AC  2 AC. AB  2 p (2  2) 8 4  4 2 . Dấu. “. =”. khi. và. chỉ. khi. AB.  x0 1  2  ( x0  1)2 2    x0 1  2 .. =. AC. 4 2 x0  1 x0  1. Vậy, những điểm. thuộc (C) co hoành độ thoả mãn x 1  2 thì tiếp tuyến tại đo lập với hai đường tiệm cận một tam giác co chu vi nhỏ nhất. Bài tập 3: (HVBCVT A- 1999) 3 2 Cho hàm số: y  x  3 x  2 (C).Tìm các điểm thuộc (C) mà qua đo kẻ được. một và chỉ một tiếp tuyến đến (C). Giải: 3 2 Gọi M 0 ( x0 ;  x0  3x0  2)  (C ) .. Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M0 co dạng: y k ( x  x0 )  x03  3x02  2 (d). Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (C) tại M 0 khi và chỉ khi hệ sau co nghiệm:  x3  3x 2  2 k ( x  x0 )  x03  3x02  2  2  3 x  6 x k.

<span class='text_page_counter'>(23)</span>  x1  x0 ( x  x0 )( 2 x  3x  xx0  x  3x0 ) 0    x2  3  x0  2 Suy ra 2. 2 0. Điểm M0 thoả mãn yêu cầu bài ra khi và chỉ khi: x1  x2  x0 . 3  x0  x0 1 2 .. Vậy, trên (C) tồn tại duy nhất điểm M 0( 1; 0) mà qua đo kẻ được đúng một và chỉ một tiếp tuyến với đồ thị (C). Bài tập 4: (HVBCVT A - 2001). Cho hàm số: y = x3 - 3x (1). a) CMR: khi m thay đổi đường thẳng cho bởi phương trình : y = m(x + 1) + 2 (d) luôn cắt đồ thị hàm số (1) tại một điểm A cố định. b) Tìm m để (d) cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm A, B, C khác nhau sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại B và C vuông goc với nhaụ Giải: a) Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (1) và đường thẳng (d) là: x 3  3 x m( x  1)  2  x 3  3 x  2 m( x  1)  ( x  1)( x 2  x  2) m( x  1)  ( x  1)( x 2  x  2  m) 0  x  1 0  2  x  x  2  m 0 (*). Ta co x + 1 = 0  x = -1  y = 2. Do đo điểm cố định là A( -1; 2)..

<span class='text_page_counter'>(24)</span> b) Đồ thị (1) cắt đường thẳng (d) tại 3 điểm phân biệt A, B, C khi và chỉ khi phương trình (*) co hai nghiệm phân biệt khác -1.   0   2 ( 1)  ( 1)  2  m 0. 9  1  4(  2  m)  0 m   4 .  m 0 m 0. Gọi B(x1; y1), C(x2; y2) là hai điểm thuộc đồ thị hàm số (1). Ta co: y = 3x2 - 3 y '( x1 ) 3x12  3,. y '( x 2 ) 3x22  3 . Tiếp tuyến tại B và tại C vuông goc với. nhau khi và chỉ khi: 2 2 y’(x1).y’(x2) = -1  9( x1 x2 )  9( x1  x2 )  18 x1 x2  10 0.  x1  x2 1  x1 x2  2  m Mà  (theo định lí viet).. Do đo:. 9( 2  m) 2  18( 2  m)  1 0  9m 2  18m  1 0  m .  3 2 2 3. ( Thoả. mãn).. Kết luận: Vậy. m.  3 2 2 3 thì yêu cầu bài toán được thoả mãn.. Bài tập 5: Cho hàm số:. y. 4x  2 x  1 (C). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi. (C), trục Oy và tiếp tuyến của (C) tại điểm co hoành độ x = 3. Giải:.

<span class='text_page_counter'>(25)</span> x 3  y . Ta co:. y' . 4*3  2 5  3 1 2.. 6 3  y '(3)  2 ( x  1) 8. Pttt của (C) tại điểm. 5 3 5 (3; ) y  ( x  3)  2 là: 8 2. Diện tích hình phẳng cần tính là: 3. 3. 3 5 6 3 3 6 S  ( x  3)   (4  ) dx  ( ( x  3)   )dx 8 2 x 1 8 2 x 1 0 0 3 3 ( x  3)3 x  6 ln x  1 = ( 16 -2 ). =. 12 ln 2 . 99 16. (đvdt).. Bài tập 6: (ĐH Huế A - 2000). Cho hàm số:. y x . 1 x  1 (C). Tìm tất cả các cặp điểm trên đồ thị của hàm. 3. 0. số (C) mà tiếp tuyến tại đo song song với nhaụ Giải: Ta co :. y ' 1 . 1 ( x  1)2. Gọi M 1 ( x1; y1 ), M 2 ( x2 ; y2 )  (C ) Với x1  x2 . Theo giả thiết ta co: y '( x1 )  y '( x2 ).  1.  x  x  2 1 1 1   1 2 2 2 ( x1  1) ( x2  1)  x1 x2 (l ). Vậy M1, M2 đối xứng với nhau qua giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số thì tiếp tuyến tại đo song song với n II. Viết phương trình tiếp tuyến qua một điểm cho trước..

<span class='text_page_counter'>(26)</span> 2.1.Bài toán: Cho đồ thị (C) : y = f(x) và điểm A(a; b). Viết phường trình tiếp y = f(x). Ăa; b). O. y. x. tuyến của (C) đi qua điểm Ạ. 2.2. Phương pháp: Viết phương trình trình thẳng qua A(a; b) với hệ số goc k dưới dạng: y = k(x - a) + b (d). Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ sau:  f ( x ) k ( x  a )  b   f '( x ) k. Giải phương trình. co nghiệm.. f ( x)  f '( x)( x  a )  b  x   x0 ; x1 ;...; xn.  . tính ki = f’(xi) với. i 0; n , thay vào (d) suy ra các tiếp tuyến.. 2.3. Các ví dụ: 3 Ví dụ 10: Cho hàm số: y  x  3x (C). Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ. A(-1; 2) tới đồ thị (C)..

<span class='text_page_counter'>(27)</span> Giải: Phương trình đường thẳng qua A(-1; 2) co dạng: y = k(x +1) + 2 (d). Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ sau: 3  x  3x k ( x  1)  2 (1)  2 3 x  3 k (2). co nghiệm.. Thế k từ (2) vào (1) ta được:. 2 x 3  3 x 2  1 0  x  1   x 1  ( x  1) 2 (2 x  1) 0  2 .. +) Với x = -1 suy ra k = 0. Phương trình tiếp tuyến là: y = 2. 1 9 9 1  k y  x 4 . Phương trình tiếp tuyến là: 4 4. +) Với x = 2. Ví dụ 11: 3 Cho hàm số y 3x  4 x (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) qua A(1; 3).. Giải: Phương trình đường thẳng qua A(1; 3) co dạng: y = k( x -1) +3 (d). Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ sau co nghiệm: 3 3x  4 x k ( x  1)  3  2 3  12 x k.

<span class='text_page_counter'>(28)</span>  3x  4 x 3 (3  12 x 2 )( x  1)  3  3 x  4 x 3 3 x  3  12 x 3  12 x 2  3  x 0  8 x  12 x 0    x 3  2 3. 2. +) x 0  k 3 . Phương trình tiếp tuyến là: y = 3(x- 1) + 3 hay y = 3x. 3 3 x   k 3  12( ) 2  24 2 +) 2 . Phương trình tiếp tuyến là: y = -24(x - 1) + 3 hay. y = -24x + 27. Kết luận: vậy co hai tiếp tuyến của (C) đi qua A(1; 3) là: y = 3x và y = -24x + 27. Ví dụ 12:. 1 3 y  x 4  3x 2  2 2 Cho hàm số. (C ). . Viết phương trình tiếp tuyến. 3 A(0; ). 2 của (C) đi qua Giải: 3 3 y kx  A(0; ) 2 2 co dạng: Phương trình đường thẳng qua. (d ). Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ sau: 3 3 1 4 2  x  3 x  kx  2 2 2 3 2 x  6 x k  co nghiệm.. Suy ra.  x 0  3x 4  6 x 2 0   x  2  x  2 . 3 y . 2 +) Với x = 0  k 0 . Phương trình tiếp tuyến là:.

<span class='text_page_counter'>(29)</span> 3 y  2 2 x  . 2 +) Với x  2  k  2 2 . Phương trình tiếp tuyến là:. +) Với x= - 2  k 2 2 . Phương trình tiếp tuyến là: y =. 2 2x . 3 2.. 3 A(0; ) 2 đến đến thị (C). Kết luận: Vậy co ba tiếp tuyến kẻ từ. * Nhận xét: Đối với bài toán này học sinh thường lầm hai khái niệm tiếp tuyến đi qua và tiếp tuyến tại điểm từ đó dẫn đến việc xác định thiếu tiếp tuyến của đồ thị (C). Vì vậy qua bài tập này phải cho học sinh nhận rõ hai loại tiếp tuyến này có sự khác nhau rõ rệt. Các bài tập tương tự: Bài 1 : (ĐH khối B - 2008) 3 Cho hàm số y 3 x  4 x co đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ. thị (C) biết tiếp tuyến đo đi qua M(-1; -9) . Bài 2 : ( Đề DB ĐH khối B - 2007) 3 2 Cho hàm số y   2x  6x  5 co đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến. của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đo đi qua A(-1;-3). Bài 3 : (Đề DB ĐH khối A - 2006). Cho hàm số. y. x4  2 x2  1 4. . . co đồ thi (C). Viết phương trình đường thẳng. đi qua A(0 ; 2) và tiếp xúc với (C). Bài 4 : ( Đề DB ĐH khối B - 2006).

<span class='text_page_counter'>(30)</span> Cho hàm số. y=. x 2 − x −1 x +1. co đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến. của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đo đi qua A(0;-5). Bài 5 : (Đề DB ĐH khối A - 2005). x2  x  1 y x  1 co đồ thi (C). Viết phương trình đường thẳng đi Cho hàm số qua M(-1;0) và tiếp xúc với (C). Bài 6 : (Đề DB ĐH khối A - 2004). Cho hàm số. y=x +. 1 x. co đồ thi (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C). đi qua điểm M(-1;7). Bài 7: (Đề thi TN năm 2004) 1 y  x3  x 2 3 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến. đi qua điểm A(3;0) . Bài 8 : (Đề DB ĐH khối D - 2005). x2  2x  2 y x 1 Cho hàm số co đồ thi (C). Hai tiệm cận cắt nhau tại I.. Chứng minh rằng không co tiếp tuyến nào của (C) đi qua I. Các bài tập nâng cao có lời giải:. Bài tập 1: (ĐH Dược A- 1999). Cho hàm số:. y. x 2  x 1 x 1. (C ).. A(1; 0) và vuông goc với nhaụ. CMR: Co hai tiếp tuyến của (C) đi qua.

<span class='text_page_counter'>(31)</span> Giải: Phương trình đường thẳng qua A(1; 0) với hệ số goc k co dạng: y = k(x -1) (d). Ta co:. y. x 2  x 1 1 x 1  x  1 (C). x 1. Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ sau: 1   x  1  x  1 k ( x  1) (1) (I )  1 1  k (2) 2  ( x  1). Từ (2).  x 1 . co nghiệm.. 1 k ( x  1) (3) x 1. 1  k Lấy (1) – (3) ta được: x  1  1  x  1  k (I )   1 1  k  ( x  1)2 Do đo . Hệ này co nghiệm khi và chỉ khi k 0    k   1  5 (t / m) k  0 k  0    2   1  2 2  1  k  k k  k  1  0      k   1  5 (t / m) 2 2  . Vì k1k2 = -1 nên hai tiếp tuyến của (C) đi qua A(1; 0) vuông goc với nhau. Bài tập 2:.

<span class='text_page_counter'>(32)</span> Cho hàm số:. y. x2 x  1 (C) và điểm (0; a). Xác định a để từ A kẻ được hai tiếp. tuyến đến (C) sao cho hai tiếp điểm tương ứng nằm về hai phía so với trục Ox Giải: Phương trình đường thẳng qua A(0; a) co dạng: y = kx + a (d) Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ sau: x2  x  1 kx  a  3  k  ( x  1) 2 . co nghiệm.. x2 3  x  a  ( a  1) x 2  2(a  2) x  a  2 0 (*) 2 x  1 ( x  1). ( x = 1 không là. nghiệm). Qua A kẻ được 2 tiếp tuyến đến đồ thị (C) khi và chỉ khi phương trình (*) co hai nghiệm phân biệt a  1 0    '  0.  a 1   3(a  2)  0. a 1 (**)  a   2. Gọi x1; x2 là các tiếp điểm. Do hai tiếp điểm nằm về hai phía của trục hoành nên y(x1).y(x2) < 0 . (x1; x2 là các nghiệm của phương trình (*)). x1  2 x2  2 x x  2( x1  x2 )  4 . 0 1 2 0 x1  1 x2  1 x1 x2  ( x1  x2 )  1. 2(a  2)   x1  x2  a  1 2t   x .x  a  2 t 1 2 a 1 Theo định lí viet ta co: .

<span class='text_page_counter'>(33)</span>  t 1 t  4t  4 5t  4  0 0   t.   4 t  2t 1 1 t 5 . +) +). t 1  t. a2 3 1   0  a  1  0  a 1 a 1 a 1 (thoả mãn (**)).. 4 a 2  4 9a  6 2    0  a 1 5 a 1 5 5(a  1) 3 (thoả mãn (**))..  a 1 2   a 1 Vậy,  3 thì yêu cầu bài toán được thoả mãn.. Bài tập 3: (ĐH Ngoại thương A - 2000). 3 2 Cho hàm số y  x  6 x  9 x  1 (C). Từ một điểm bất kì trên đường thẳng. x = 2 co thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến đồ thị (C). Giải Gọi điểm B(2; b) là điểm bất kì nằm trên đường thẳng x = 2. Phương trình đường thẳng qua B(2; b) co dạng: y = k(x - 2) +b (d). Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C ) khi và chỉ khi hệ sau co nghiệm: 3 2  x  6 x  9 x  1 k ( x  2)  b  2 3 x  12 x  9 k.  x3  6 x2  9 x  1 (3 x 2  12 x  9)( x  2)  b   b 2 x3  12 x 2  24 x  17 (*). Số tiếp tuyến cần tìm bằng số nghiệm của phương trình (*) 3 2 Xét hàm số y 2 x  12 x  24 x  17. Tập xác định: D = R. y ' 6 x 2  24 x  24 6( x  2) 2 0x  R . Do đo hàm số đồng biến..

<span class='text_page_counter'>(34)</span> Vì hàm số đã cho luôn đồng biến nên đường thẳng y = - b cắt đồ thị hàm số : y 2 x3  12 x 2  24 x  17 tại duy nhất một điểm hay phương trình (*) co duy nhất. một nghiệm. Vậy, từ một điểm nằm trên đường thẳng x = 2 kẻ được một và chỉ một tiếp tuyến đến đồ thị (C). Bài tập 4: (ĐH Nông nghiệp I A- 1999). Cho hàm số. y. x x  1 (C). Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị. hàm số. CMR: không co tiếp tuyến nào đi qua I. Giải: Ta co tiệm cận đứng x = -1. Tiệm cận ngang y = 1. Do đo toạ độ giao điểm của hai đường tiệm cận là: I(-1; 1). Phương trình đường thẳng qua I(-1; 1) co dạng: y = k(x+ 1) + 1 (d). Đường. thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C ) khi và chỉ khi hệ sau co nghiệm:.  x  x  1 k ( x  1)  1 x 1 x 1   ( x  1)  1    1  x x  2  1 2 x  1 ( x  1) x  1 x  1  k 2  ( x  1). (vô nghiệm).. (điều phải chứng minh). Bài tập 5: Cho hàm số. y. x2  x  1 x 1 (C). Tìm các điểm trên trục tung mà từ đo kẻ được 2. tiếp tuyến đến đồ thị (C)..

<span class='text_page_counter'>(35)</span> Giải: Viết lại y dưới dạng. y x  2 . 1 x  1 (C).. Gọi B(0; b)  Oy , Phương trình đường thẳng qua B co dạng: y = kx + b (d). Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ sau co nghiệm: 1   x  2  x  1 kx  b   1 1   k 2 (I)  ( x 1)   3. 1   x  2  x  1 kx  b   x  1  1 kx  k x 1 . 2 1 b 3 k b  k   x 1 x 1 2. b 3 k  1 (1)  x  1  2  1 1  k (2) 2 Do đo (I)  ( x  1). Hệ co nghiệm khi và chỉ khi (1) co nghiệm thỏa mãn (2) b  3  k 0  2  k b  3   2 2  k  2(b  1)k  (b  3)  4 0 (*) 1  ( b  3  k ) 2 k  2. Yêu cầu bài toán thoả mãn khi phương trình (*) co hai nghiệm khác b + 3  '  0   2 2 (b  3)  2(b  1)(b  3)  (b  3)  4 0. (b  1) 2  ((b  3)2  4)  0 b   1   4b  8 0 b  2. Vậy, Các điểm trên trục tung co tung độ bé hơn -1 và khác -2 thì từ đo kẻ được 2 tiếp tuyến đến đồ thị (C)..

<span class='text_page_counter'>(36)</span>

<span class='text_page_counter'>(37)</span> BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài tập 1: Cho hàm số. y x 1 . 2 2 x  1 co đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của. (C) tại (0; 3). Bài tập 2: Cho hàm số:. y. 2x  1 (1) x 1 . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp. tuyến đo song song với đường thẳng y = 3x. Bài tập 3: 3 2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y  x  3 x  2 tại điểm co. hoành độ x = 3. Bài tập 4: 3 2 Cho hàm số y  x  3x  4 (C). Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp. tuyến đo vuông goc với đường thẳng x  9 y  10 0 . Bài tập 5: 3 2 Cho hàm số y  x  3 x  4 (C). Viết phương trình tiếp tuyến (C) tại điểm. A(1; -2). Bài tập 6: (Dự bị khối B-2002) 1 1 4 y  x3  x2  2 x  3 2 3 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) Cho hàm số. biết tiếp tuyến đo song song với đường thẳng y 4 x  2..

<span class='text_page_counter'>(38)</span> Bài tập 7: (ĐH Khối B- 2006). Cho hàm số. y. x2  x  1 x2 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp. tuyến đo vuông goc với tiệm cận xiên của đồ thị (C). Bài tập 8: (ĐH khối B – 2008). 3 Cho hàm số y 4 x  6 x  1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp. tuyến đo đi qua M(-1; -9). Bài tập 9: (ĐH khối D - 2007). Cho hàm số. y. 2x x  1 (C). Tìm toạ độ điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của. (C) tại M cắt hai trục toạ độ Ox và Oy tại A,B sao cho tam giác OAB co diện 1 tích bằng 4 .. Bài tập 10: (Đề thi tốt nghiệp THPT Năm 2008). 4 2 Cho hàm số y  x  2 x (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm co. hoành độ x = -2. Bài tập 11: 3 2 Cho hàm số y ax  bx  cx  d (C). CMR: trong số các tiếp tuyến của (C) thì. tiếp tuyến tại điểm uốn khi a > 0 ( a < 0) co hệ số goc nhỏ nhất (lớn nhất). Bài tập 12: (ĐH kiến trúc Hà Nội A - 1998). 2 x2  x 1 y x 1 Cho hàm số (C). Tìm các điểm trên trục tung sao cho từ đo kẻ. được 2 tiếp tuyến đến đồ thị (C) và hai tiếp tuyến đo vuông goc với nhaụ..

<span class='text_page_counter'>(39)</span> Bài tập 13: ( ĐH Khối A 2009) Cho hàm số. y. x2 (1) 2x  3 . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1),. biết tiếp tuyến đo cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O.. IV. Hiệu quả: Sáng kiến đã giúp cho học sinh và giáo viên dễ dàng hơn trong các bài toán về tiếp tuyến, giúp cho học sinh biết phân biệt các dạng bài tập về tiếp tuyến của đồ thị hàm số, để từ đo co cách giải chính xác nhất, tránh nhầm lẫm sai sot..

<span class='text_page_counter'>(40)</span> C. KẾT LUẬN CỦA SÁNG KIẾN Khi áp dụng sáng kiến này vào dạy thử nghiệm ở các lớp 12A5; 12A6; 12A9 trong năm học 2011 - 2012, cũng như áp dụng ở các lớp 11A2; 11A3... năm học 2012 - 2013 của trường THPT Nguyễn Tất Thành kết quả đạt được như sau: Ị Về phía giáo viên: - Đã dễ dàng hơn trong việc hướng dẫn học sinh tiếp cận các dạng toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số. - Xét ở một goc độ nào đo, đây là tài liệu tham khảo co hệ thống cho giáo viên giảng dạy bộ môn toán. - Hướng dẫn học sinh làm rõ được cách giải toán, tránh nhầm lẫn giữa các khái niệm. IỊ Về phía học sinh: - Tiếp cận được các khái niệm về tiếp tuyến của đồ thị hàm số một cách dễ dàng. - Với hệ thống đầy đủ các dạng về tiếp tuyến của đồ thị hàm số được sắp xếp theo thứ tư từ dễ đến kho làm cho học sinh hứng thú trong học tập. Đặc biệt là giúp cho học sinh nâng cao khả năng tư học, tư nghiên cứu. Kết quả khảo sát cho thấy đa số học sinh sau khi tiếp cận đầy đủ tài liệu này đều làm thành công bài toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số. Mặc dù co nhiều cố gắng nhưng do thời gian co hạn, kinh nghiệm nghiên cứu và ứng dụng sáng kiến còn hạn chế, không liên tục và mang tính đại trà nên.

<span class='text_page_counter'>(41)</span> đề tài không tránh khỏi những thiếu sot và mang tính chủ quan. Tác giả đề tài mong nhận được ý kiến đong gop của quý thầy cô để sáng kiến được hoàn thiện hơn. D.TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Tuyển tập các chuyên đề luyện thi đại học môn toán của Trần Phương (NXB Hà Nội). 2. Tuyển tập các đề thi Đại học, Cao đẳng môn toán. 3. Sách giáo khoa Đại số và Giải tích lớp 11 (NXB Giáo Dục - 2007). 4. Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 12 (NXB Giáo Dục - 2007). 5. Đề thi tốt nghiệp THPT các năm gần đây và tham khảo tài liệu trên mạng..

<span class='text_page_counter'>(42)</span>