Luận văn thạc sĩ ứng dụng phương pháp aladin để giải bài toán tối ưu trong đánh giá tính bền vững của mạng truyền thông

..

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

TRẦN VĂN HOÀN

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP ALADIN ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN
TỐI ƯU TRONG ĐÁNH GIÁ TÍNH BỀN VỮNG CỦA MẠNG
TRUYỀN THƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ
KỸ THUẬT ĐIỀU KHIỂN VÀ TỰ ĐỘNG HÓA

Đà Nẵng, Năm 2020


ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
------------------------------------

TRẦN VĂN HOÀN

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP ALADIN ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN
TỐI ƯU TRONG ĐÁNH GIÁ TÍNH BỀN VỮNG CỦA MẠNG
TRUYỀN THƠNG

Chun ngành: KỸ THUẬT ĐIỀU KHIỂN VÀ TỰ ĐỘNG HÓA
Mã số: 8520216

LUẬN VĂN THẠC SĨ

Người hướng dẫn khoa học: TS. Trần Thị Minh Dung

Đà Nẵng, Năm 2020


i

LỜI CAM ĐOAN
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của bản thân tôi. Các kết quả nghiên
cứu và các kết luận trong luận văn này là trung thực, không sao chép từ bất kỳ một nguồn
nào và dưới bất kỳ hình thức nào. Việc tham khảo các bài báo và nguồn tài liệu đã được
thực hiện trích dẫn và ghi nguồn tài liệu tham khảo đúng quy định.
Tác giả

Trần Văn Hoàn


ii

MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN .......................................................................................................... I
MỤC LỤC .....................................................................................................................II
TÓM TẮT LUẬN VĂN .............................. ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED.
ABSTRACT ................................................. ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED.
LỜI CẢM ƠN ............................................................................................................... V
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT ........................................... VI
DANH MỤC CÁC HÌNH ....................................................................................... VIII
MỞ ĐẦU .........................................................................................................................1
1. Đặt vấn đề ...............................................................................................................1

2. Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu ........................................................................1
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ........................................................................2
4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài.............................................................2
5. Bố cục luận văn ......................................................................................................3
NGHIÊN CỨU TỔNG QUAN VỀ HỆ THỐNG ĐA ĐỐI TƯỢNG
VÀ MẠNG TRUYỀN THÔNG ....................................................................................4
1.1. Giới thiệu về hệ thống đa đối tượng (MAS) .....................................................4
1.2. Hệ thống mạng truyền thông .............................................................................6
1.3. Điều khiển hợp tác .............................................................................................. 7
1.4. Thuật toán đồng thuận .......................................................................................8
1.4.1. Giao thức đồng thuận...................................................................................9
1.4.2. Vấn đề đồng thuận trong thời gian tuyến tính ..........................................11
1.4.3. Thiết kế ma trận đồng thuận......................................................................11
1.4.4. Thiết kế ma trận trọng số ...........................................................................11
1.4.4.1. Trọng số có bậc lớn nhất ......................................................................11
1.4.4.2. Trọng số có cạnh là hằng số ................................................................ 12
1.4.4.3. Trọng số Metropolis .............................................................................12
1.4.5. Tối ưu hóa ...................................................................................................12
1.5. Lý thuyết đồ thị .................................................................................................13
1.5.1. Định nghĩa ..................................................................................................13
1.5.2. Biểu diễn đồ thị ...........................................................................................14
1.5.3. Đồ thị có hướng và đồ thị vô hướng ..........................................................14
1.5.4. Đơn đồ thị và đa đồ thị ...............................................................................16
1.5.5. Tính kết nối của đồ thị ...............................................................................16
1.5.6. Đặc tính đồ thị đại số ..................................................................................18


iii
1.5.7. Quang phổ ma trận Laplacian ...................................................................20
1.5.8. Các loại đồ thị tiêu chuẩn ..........................................................................21

1.6. Tính bền vững của mạng truyền thông ..........................................................23
1.6.1. Độ liên kết của nút......................................................................................24
1.6.2. Độ kết nối đại số .........................................................................................24
1.6.3. Số spanning tree .........................................................................................24
1.6.4. Độ phản kháng của đồ thị ..........................................................................24
1.7. Tính bền vững của mạng lưới theo hình thức phân tán ............................... 25
1.7.1. Tính tốn các giá trị riêng riêng biệt của ma trận Laplacian ..................27
1.7.2. Tính tốn bội số của mỗi giá trị riêng riêng biệt của ma trận Laplacian 28
PHƯƠNG PHÁP AUGMENTED LAGRANGIAN BASED
ALTERNATING DIRECTION INEXACT NEWTON (ALADIN) .......................30
2.1. Giới thiệu ...........................................................................................................30
2.2. Thuật toán tối ưu hóa hàm khơng lời ............................................................. 31
2.3. Điểm tương đồng và khác biệt so với SQP và phương pháp lagrangian tăng
cường.........................................................................................................................34
2.4. Tính hội tụ của thuật tốn ...............................................................................35
2.5. Phân tích hội tụ cục bộ .....................................................................................40
ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP ALADIN TRONG ĐÁNH GIÁ
TÍNH BỀN VỮNG CỦA MẠNG TRUYỀN THƠNG .............................................44
3.1. Tính bền vững của mạng truyền thơng ..........................................................44
3.2. Ứng dụng phương pháp ALADIN ..................................................................46
KẾT QUẢ MÔ PHỎNG VÀ NHẬN XÉT .........................................48
4.1. Kết quả mô phỏng ............................................................................................ 48
4.1.1. Trường hợp 1 .............................................................................................. 48
4.1.2. Trường hợp 2 .............................................................................................. 51
4.2. Nhận xét .............................................................................................................54
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ .....................................................................................55
TÀI LIỆU THAM KHẢO...........................................................................................56


iv

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP ALADIN ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN
TỐI ƯU TRONG ĐÁNH GIÁ TÍNH BỀN VỮNG CỦA MẠNG
TRUYỀN THƠNG
Học viên: Trần Văn Hoàn Chuyên ngành: Kỹ thuật điều khiển và tự động hố
Mã số: 8520216
Khóa: 36
Trường Đại học Bách khoa ĐHĐN
Tóm tắt - Ngày nay với tốc độ phát triển nhanh chóng của khoa học cơng nghệ,
con người ngày càng nghiên cứu và chế tạo ra nhiều hệ thống có độ phức tạp và chính
xác cao, với rất nhiều đối tượng cùng tham gia để hoàn thành những nhiệm vụ khó, nguy
hiểm với tốc độ nhanh và độ chính xác cao. Để điều khiển được một hệ đa đối tượng đạt
hiệu quả tối đa thì ngồi tốc độ điều khiển nhanh, chính xác ra thì tính bền vững của
mạng truyền thơng hay là khả năng chịu đựng của nó khi hệ thống ngẫu nhiên xảy ra
một vài sự cố là rất quan trọng. Nó thể hiện tính an tồn, hiệu quả kinh tế trong q trình
hoạt động, sản xuất. Ngồi ra sự hiểu biết về tính bền vững của mạng điều khiển có thể
bảo vệ và cải thiện hiệu suất của mạng một cách hiệu quả. Nghiên cứu này nhằm đánh
giá tính bền vững của mạng truyền thơng trong hệ thống đa đối tượng bằng cách sử dụng
thuật toán đồng thuận dựa trên lý thuyết đồ thị và ứng dụng phương pháp “Augmented
Lagrangian based Alternating Direction Inexact Newton” (ALADIN) để đánh giá.
Từ khóa: Phương pháp ALADIN, tính bền vững của mạng, thuật toán đồng thuận,
hệ đa đối tượng, lý thuyết đồ thị

APPLICATION OF ALADIN METHOD TO SOLVE THE
OPTIMAL PROBLEM IN EVALUATING THE
SUSTAINABILITY OF COMMUNICATION NETWORK
Abstract - Today, with the rapid development of science and technology, people
are increasingly researching and manufacturing many systems with high complexity and
precision, with many participants joining them to complete the tasks. Difficult and
dangerous service with high speed and high accuracy. In order to control a multi agent

systems effectively, in addition to the fast control speed, the robustness of the
communication network or its ability to withstand when the system randomly occurs a
few. Incident is very important. It shows the safety and economic efficiency during
operation and production. In addition, understanding the sustainability of a control
network can effectively protect and improve its performance. This research aims to
evaluate the robustness of communication networks in multi agent systems by using
consensus algorithms based on graph theory and applying Augmented Lagrangian based
Alternating Direction Inexact Newton (ALADIN) method to evaluate.
Key words: ALADIN method, network robustness, consensus algorithms, multi
agent systems, graph theory.


v

LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Trần Thị Minh Dung.
Em xin chân thành cám ơn Cơ đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo, tạo mọi điều kiện thuận
lợi trong suốt quá trình làm Luận văn này.
Em xin chân thành cám ơn các quý Thầy Cô Khoa Điện Trường Đại học Bách Khoa
Đà Nẵng đã nhiệt tình giảng dạy, chỉ bảo và góp ý trong suốt quá trình học tập và làm
Luận văn.
Xin cám ơn các anh chị cùng lớp K36, bạn bè và gia đình đã ln động viên khích
lệ và giúp đỡ tơi trong q trình học tập và nghiên cứu khoa học. Mặc giù đã cố gắng
rất nhiều nhưng Luận văn vẫn khơng tránh được những thiếu sót. Kính mong nhận được
sự đóng góp ý kiến của các quý Thầy Cơ trong Hội đồng Khoa học để Luận văn được
hồn thiện hơn.
Em xin trân trọng cảm ơn!


vi

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

Tập hợp số thực


Tập hợp số thực xác định dương

x

Vec tơ x

xi

Phần tử thứ i của véc tơ x

X

Ma trận X

XT

Chuyển vị của ma trận X

x

Không gian chuẩn x =

xT x

G

Đồ thị G(E, V)

V

Đỉnh của đồ thị, nút hay đối tượng

E

Cạnh của đồ thị, những liên kết

di

Bậc của nút i

d max

Bậc tối đa d max = max d i

Ni

Hàng xóm của nút i

N

Số nút

d(G)

Đường kính của đồ thị G

A

Ma trận kề

D

Bậc của ma trận

L

Ma trận Laplacian

sp(L)

Phổ của Lalacian



Tập hợp các giá trị riêng riêng biệt của Laplacian

i (L)

Giá trị riêng thứ i của ma trận Laplacian

W

Ma trận đồng thuận

wij

Phần tử hàng thứ i và cột thứ j của ma trận W

SG

Tập hợp các ma trận, SG  W 



N N

| w ij  0if (i, j ) E and i  j


vii

1N

Véc tơ cột với tất cả N phần tử bằng 1

JN

11T
Ma trận trung bình, J N 
N

IN

Ma trận đơn vị trong

N N

Kv ( Ke ) Đỉnh (cạnh) kết nối



Số spanning trees

R

Độ phản kháng của đồ thị

MAS

Hệ thống đa đối tượng (multi agent systems)

QP

Quadratic programming

SQP

Sequential quadratic programming

NLP

Nonlinear programming

ADMM Alternating direction method of multiplies

ALADIN Augmented Lagrangian based alternating direction inexact Newton method



Tham số hiệu chỉnh

i

Ma trận tỉ lệ bán xác định dương

KKT

Karush-Kuhn-Tucker


viii

DANH MỤC CÁC HÌNH

Số hiệu

Tên hình vẽ

hình vẽ

Trang

1.1

Cấu trúc chung của một hệ đa đối tượng

5

1.2

Điều khiển giao thông thông minh

5

1.3

Đồng thuận trung bình trong một mạng

8

1.4

Đồ thị có hướng

14

1.5

Đồ thị vơ hướng

14

1.6

Đơn đồ thị vơ hướng

15

1.7

Đa đồ thị có hướng

15

1.8

Đồ thị G1 vô hướng sáu nút a) và đồ thị năm nút có hướng b)

16

1.9

Biểu đồ bị ngắt kết nối

17

1.10

Biểu đồ bị ngắt kết nối được kết nối lại

17

1.11

Biểu đồ hồn chỉnh

18

1.12

Đồ thị trọng số

21

1.13

Đồ thị thơng thường

22

1.14

Đồ thị khoảng cách thông thông thường

22

1.15

Đồ thị Clebsch 5 – đều đặn

23

1.16

Sơ đồ tính tốn bền vững của mạng lưới theo hình thức phân

tán

26

4.1

Cấu trúc của mạng lưới bốn nút tồn diện

48

4.2

Dạng sóng αk của mạng bốn nút tồn diện

50

4.3

Dạng sóng hàm mục tiêu của mạng lưới bốn nút toàn diện

51

4.4

Cấu trúc của mạng lưới bốn nút

51

4.5

Dạng sóng αk của mạng bốn nút

53

4.6

Dạng sóng hàm mục tiêu của mạng lưới bốn nút

54


1

MỞ ĐẦU
1. Đặt vấn đề
Ngày nay với tốc độ phát triển nhanh chóng của khoa học cơng nghệ, con người
ngày càng nghiên cứu và chế tạo ra nhiều hệ thống có độ phức tạp và chính xác cao, với
rất nhiều đối tượng cùng tham gia để hoàn thành những nhiệm vụ khó, nguy hiểm với
tốc độ nhanh và độ chính xác cao. Để điều khiển được một hệ đa đối tượng đạt hiệu quả
tối đa thì ngồi tốc độ điều khiển nhanh, chính xác ra thì độ mạnh, hay là khả năng chịu
đựng của nó khi hệ thống ngẫu nhiên xảy ra một vài sự cố là rất cần thiết. Độ ổn định
và tính bền vững của một mạng điều khiển trong hệ thống là rất quan trọng. Nó thể hiện
tính an tồn, hiệu quả kinh tế trong q trình hoạt động, sản xuất. Ngồi ra sự hiểu biết
về tính bền vững của mạng điều khiển có thể bảo vệ và cải thiện hiệu suất của mạng một
cách hiệu quả.
Lý thuyết đồ thị đã được khoa học phát triển từ rất lâu nhưng lại có nhiều ứng dụng
hiện đại. Đặc biệt trong khoảng vài chục năm trở lại đây, cùng với sự ra đời của máy
tính điện tử và sự phát triển nhanh chóng của Tin học, Lý thuyết đồ thị càng được quan
tâm đến nhiều hơn. Đặc biệt là các thuật tốn trên đồ thị đã có nhiều ứng dụng trong
nhiều lĩnh vực khác nhau như: Mạng máy tính, Lý thuyết mã, Tối ưu hoá, Kinh tế học

v.v...
Đồng thuận (consensus) là dựa trên thông tin địa phương và tương tác giữa các đối
tượng (ở đây là các nút) [6], làm thế nào tất cả các đối tượng có thể đạt được một thỏa
thuận. Đó là thiết kế một giao thức mạng dựa trên thông tin địa phương thu được của
đối tượng để sau đó có một thỏa thuận chung. Các vấn đề về sự đồng thuận của MAS
(multi agent systems) đã nhận được sự quan tâm rất lớn từ các cộng đồng nghiên cứu
khác nhau do các ứng dụng rộng rãi của họ trong nhiều lĩnh vực bao gồm tốn học, vật
lý, sinh học, khoa học máy tính, khoa học xã hội.
Do đó để đánh giá tính bền vững của một mạng điều khiển tác giả sử dụng thuật
toán đồng thuận để kiểm tra sự đồng thuận của các đối tượng (được mơ hình hóa bằng
đồ thị) trong thời gian hữu hạn và ứng dụng phương pháp ALADIN (Augmented
Lagrangian based Alternating Direction Inexact Newton) [1] để đánh giá tính bền vững.

2. Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu
a) mục tiêu tổng quan
 Đề xuất ứng dụng phương pháp ALADIN (Augmented Lagrangian based
Alternating Direction Inexact Newton) trong việc đánh giá tính bền vững mạng
truyền thơng của hệ thống đa đối tượng.


2
 Xây dựng được hàm mục tiêu, điều kiện ràng buộc và thuật tốn trong tính tốn
đánh giá bền vững của mạng điều khiển. Ứng dụng phương pháp ALADIN để
đánh giá mạng truyền thơng.
b) Mục tiêu cụ thể
 Tính tốn đưa ra hàm mục tiêu, điều kiện ràng buộc và thuật tốn, đưa ra kết quả
mơ phỏng đánh giá tính bền vững của một vài mơ hình bằng Matlab.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
a) Đối tượng nghiên cứu

 Đối tượng nghiên cứu là hệ thống điều khiển đa đối tượng dựa trên cơ sở lý thuyết
đồ thị. Coi các đối tượng là các nút trong đồ thị.
 Đề tài chỉ thực hiện nghiên cứu trong phạm vi các đối tượng là các nút trên cơ sở
lý thuyết đồ thị và mô phỏng trên Matlab, không thực hiện trên mơ hình đối tượng
thực tế
 Để đơn giản, Luận văn dựa trên cơ sở lý thuyết đồ thị coi các đối tượng là các nút
(các đỉnh) trong đồ thị, được kết nối với nhau nhờ các cạnh.
b) Nội dung nghiên cứu
 Nghiên cứu lý thuyết: nghiên cứu lý thuyết thuật toán đồng thuận, lý thuyết đồ
thị và xây dụng hàm mục tiêu, thuật toán đồng thuận trong hệ đa đối tượng.
Nghiên cứu ứng dụng phương pháp ALADIN trong đánh giá tính bền vững của
mạng điều khiển.
 Nghiên cứu thực tế: khi đã có đầy đủ cơ sở lý thuyết, tác giả sẽ tiến hành mô
phỏng trên Matlab để kiểm tra và đánh giá tốc độ của thuật tốn, tính bền vững
của một số mơ hình.

4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
a) Ý nghĩa khoa học
Ngoài các phương pháp tối ưu kinh điển như: Lagrange, QP, SQP, Gradient,
Newton-Raphson, Gaus – Newton… đề tài sẽ mang đến thêm một hướng đi bằng cách
ứng dụng phương pháp ALADIN để giải bài toán tối ưu.
b) Ý nghĩa thực tiễn
Đề tài nhằm xây dựng và đánh giá tính bền vững của mạng điều khiển hệ đa đối
tượng bằng cách đồng thuận các đối tượng trong mạng với nhau trong một thời gian hữu
hạn, dùng phương pháp ALADIN đánh giá tính bền vững của mạng truyền thông. Nhằm
đưa ra các giải pháp hoặc cải thiện hệ thống phù hợp, thích nghi với từng chức năng,
nhiệm vụ.


3

5. Bố cục luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và kiến nghị, Luận văn gồm 04 chương chính, nội
dung tóm tắt như sau.
Chương 1: Nghiên cứu tổng quan về hệ thống đa đối tượng và mạng truyền thông
 Nghiên cứu về hệ đa đối tượng và lý thuyết đồ thị.
 Nghiên cứu về thuật tốn đồng thuận, tính tốn đưa ra hàm mục tiêu và điều kiện
ràng buộc.
Chương 2: Phương pháp ALADIN (Augmented Lagrangian based Alternating
Direction Inexact Newton)
 Giới thiệu về phương pháp ALADIN, các thuật toán, hàm mục tiêu và điều kiện
ràng buộc.
 Tính hội tụ tồn cục của ALADIN.
Chương 3: Ứng dụng phương pháp ALADIN (Augmented Lagrangian based
Alternating Direction Inexact Newton) trong giải bài toán tối ưu
 Ứng dụng thuật tốn ALADIN để tính tốn hàm mục tiêu và điều kiện ràng buộc
của hệ đa đối tượng.
 Viết thuật toán cho hệ đa đối tượng dựa theo phương pháp ALADIN.
Chương 4: Kết quả mô phỏng và nhận xét
 Sử dụng Matlab để mô phỏng, đưa ra kết quả.
 Đánh giá tốc độ của thuật tốn và tính bền vững của một số mơ hình.


4

NGHIÊN CỨU TỔNG QUAN VỀ HỆ THỐNG ĐA
ĐỐI TƯỢNG VÀ MẠNG TRUYỀN THÔNG
1.1. Giới thiệu về hệ thống đa đối tượng (MAS)
Hệ thống đa đối tượng MAS (Multi Agent Systems) là một hệ thống bao gồm nhiều
đối tượng thông minh tương tác, làm việc với nhau (cảm biến, nhà máy, robot, phương

tiện…) cùng giải quyết một vấn đề, hoặc kiểm soát một vấn đề phức tạp. Chúng làm
việc cùng nhau để tìm ra câu trả lời cho các vấn đề vượt quá khả năng của một đối tượng.
Các hệ thống đa đối tượng (MAS) ngày càng nhận được nhiều sự quan tâm. Chúng
được phát triển do nhu cầu cấu hình mạnh mẽ và linh hoạt. Xuất hiện trong nhiều lĩnh
vực ứng dụng khác nhau như: sản xuất, hậu cần, lưới điện thơng minh, tự động hóa tịa
nhà, cứu trợ thảm họa, hệ thống giao thông thông minh, giám sát môi trường, an ninh
cơ sở hạ tầng và bảo vệ. Một đối tượng thơng minh sở hữu các đặc điểm chính sau [7]:
 Tự chủ: khả năng hoạt động một phần mà khơng cần sự can thiệp của con người.
 Tính phản ứng: khả năng phản ứng với những thay đổi trong mơi trường của nó
và hành xử đúng để đáp ứng mục tiêu của nó.
 Tính chủ động: khả năng chịu trách nhiệm thiết lập các mục tiêu của riêng mình.
 Khả năng xã hội: khả năng tương tác với con người và các tác nhân khác.
 Quan điểm cục bộ: Khơng có tác nhân nào có cái nhìn tồn cầu về hệ thống, hoặc
hệ thống quá phức tạp để một tác nhân sử dụng thực tế kiến thức như vậy.
Một MAS có thể giải quyết các nhiệm vụ khó khăn hoặc thậm chí khơng thể hồn
thành bởi một tác nhân riêng lẻ. Trong những thập kỷ gần đây, MAS đã đạt được sự
quan tâm rộng rãi trong nhiều ngành như toán học, vật lý, sinh học, khoa học máy tính,
khoa học xã hội. Một loạt các chủ đề nghiên cứu trong MAS bao gồm hợp tác và phối
hợp, tính tốn phân tán, điều khiển tự động, mạng truyền thơng không dây, v.v. Tuy
nhiên, do lưu lượng thông tin cao đến trung tâm, tắc nghẽn có thể phát sinh. Cấu trúc
như vậy rất nhậy cảm đối với lỗi. Ngoài ra, các yêu cầu phần cứng để xây dựng liên lạc
không dây có thể là một trong những lý do làm tăng chi phí của các thiết bị và do đó,
chi phí chung của mạng cao hơn. Vì những lý do này, một cấu trúc tập trung có thể
khơng hiệu quả. Do đó, xu hướng nghiên cứu của MAS đã chuyển sang cấu trúc phi tập
trung trong đó sự tương tác giữa các tác nhân được thực hiện cục bộ mà khơng cần thơng
tin tồn cục. Một ví dụ điển hình là Mạng cảm biến khơng dây (WSN), tìm thấy các lĩnh
vực ứng dụng rộng rãi như ứng dụng quân sự (giám sát chiến trường, giám sát lực lượng
thân thiện, thiết bị và đạn dược, v.v.), ứng dụng môi trường (phát hiện cháy rừng, phát
hiện thực phẩm, v.v.) , các ứng dụng y tế (từ xa dữ liệu sinh lý của con người, v.v.), tự
động hóa nhà, điều khiển hình thành, v.v.

5
Một hệ thống đa đối tượng bao gồm các đối tượng thông minh: robot, cảm biến,
nguồn điện phân tán, phương tiện giao thông, v.v… chúng tương tác qua lại với nhau.

Hình 1.1. Cấu trúc chung của một hệ đa đối tượng

Hình 1.2. Điều khiển giao thơng thơng minh


6

1.2. Hệ thống mạng truyền thông
Truyền thông là hoạt động truyền đạt thông tin thông qua trao đổi ý tưởng, cảm
xúc, ý định, thái độ, mong đợi, nhận thức hoặc các lệnh, như ngôn ngữ, cử chỉ phi ngôn
ngữ, chữ viết, hành vi và có thể bằng các phương tiện khác như thơng qua điện từ, hóa
chất, hiện tượng vật lý và mùi vị. Đó là sự trao đổi có ý nghĩa của thông tin giữa hai
hoặc nhiều đối tượng. Truyền thơng địi hỏi phải có một người gửi, một tin nhắn, một
phương tiện truyển tải và người nhận, mặc dù người nhận khơng cần phải có mặt hoặc
nhận thức về ý định của người gửi để giao tiếp tại thời điểm việc truyền thơng này diễn
ra, do đó thơng tin liên lạc có thể xảy ra trên những khoảng cách lớn trong thời gian và
không gian. Truyền thông yêu cầu các bên giao tiếp chia sẻ một khu vực dành riêng cho
thơng tin được truyền tải. Q trình giao tiếp được coi là hồn thành khi người nhận
hiểu thơng điệp của người gửi. Các phương thức truyền tin là những sự tác động lẫn
nhau qua một trung gian giữa ít nhất hai tác nhân cùng chia sẻ một ký hiệu tin tức hoặc
một quy tắc mang một ý nghĩa nào đó. Truyền tin thường được định nghĩa là "sự truyền
đạt suy nghĩ, ý kiến hoặc thông tin qua lời nói, chữ viết, hoặc dấu hiệu".
Giao thức truyền thơng là một tập hợp các quy tắc chuẩn dành cho việc biểu diễn
dữ liệu, phát tín hiệu, chứng thực và phát hiện lỗi dữ liệu - những việc cần thiết để gửi

thơng tin qua các kênh truyền thơng, nhờ đó mà các đối tượng có thể kết nối và trao
đổi thơng tin với nhau. Các giao thức truyền thông dành cho truyền thơng tín hiệu số
trong mạng máy tính có nhiều tính năng để đảm bảo việc trao đổi dữ liệu một cách đáng
tin cậy qua một kênh truyền thông không hồn hảo. Các giao thức có thể được thực hiện
bằng phần cứng, phần mềm hoặc kết hợp cả hai.
Mạng truyền thông công nghiệp đây là một khái niệm chung chỉ các hệ thống mạng
truyền thông số, truyền bit nối tiếp, được sử dụng để ghép nối các thiết bị công nghiệp.
Các hệ thống truyền thông công nghiệp phổ biến hiện nay cho phép liên kết mạng ở
nhiều mức khác nhau, từ các cảm biến, cơ cấu chấp hành dưới cấp trường cho đến các
máy tính điều khiển, thiết bị quan sát, máy tính điều khiển giám sát và máy tính cấp điều
hành xí nghiệp, quản lý cơng ty. Các mạng truyền thông truyền thống được sử dụng để
cho phép truyền dữ liệu giữa các máy tính, máy tính và các thiết bị ngoại vi của nó và
các thiết bị khác. Mặt khác mạng truyền thông công nghiệp là một loại mạng đặc biệt
được thực hiện để xử lý kiểm soát thời gian thực và tồn vẹn dữ liệu trong mơi trường
khắc nghiệt trên các cài đặt lớn. Các ví dụ về mạng truyền thông công nghiệp bao gồm:
Ethernet, DeviceNet, Modbus, ControlNet, v.v. Các phương tiện truyền dẫn để truyền
dữ liệu và tín hiệu điều khiển có thể là có dây hoặc không dây.
Mạng cảm biến không dây (Wireless Sensor Network - WSN) được mô tả là một
chuỗi các nút mạng có khả năng cảm nhận và điều chỉnh mơi trường, đồng thời cho phép
sự tương tác giữa con người với máy tính và mơi trường xung quanh. Các nút mạng có
thể là cảm biến, bộ chấp hành, cổng giao tiếp hay chính là người dùng. Một lượng lớn


7
cảm biến được triển khai một cách ngẫu nhiên trong khu vực cần giám sát (sensor field)
và cấu thành mạng cảm biến. Dữ liệu sau khi thu thập ở mỗi nút mạng sẽ được truyền
qua các nút mạng khác và cuối cùng là nút quản lý thông qua kĩ thuật định tuyến gián
tiếp đa điểm (multihop routing). Người dùng có thể điều khiển và quản lý mạng WSN
thông qua các dữ liệu thu thập được.
Công nghệ ngày càng phát triển, giá thành của các thiết bị liên quan tới mạng WSN

ngày càng giảm khiến cho các ứng dụng của WSN khơng chỉ giới hạn trong lĩnh vực
qn sự mà cịn được triển khai rộng rãi trong công nghiệp và thương mại. Các giao
thức chuẩn cho WSN cũng được phát triển như Zigbee, WirelessHart, ISA 100.11a, ...
Đồng thời, thị phần của WSN ở các ngành cơng nghiệp và gia đình cũng tăng lên nhanh
chóng. Những cơng nghệ đang góp phần làm cho IoT ngày càng trở nên gần gũi với
cuộc sống hàng ngày.

1.3. Điều khiển hợp tác
Nghiên cứu về kiểm soát các hệ thống đa lớp thực hiện các nhiệm vụ hợp tác có từ
cuối những năm 1980, ban đầu bắt đầu từ lĩnh vực robot di động. Được hỗ trợ bởi sự
phát triển của mạng không dây đáng tin cậy, hệ thống thông tin liên lạc, nghiên cứu
trong lĩnh vực này tăng đáng kể trong những năm 1990. Vào cuối những năm 1990 và
đầu những năm 2000, hợp tác kiểm soát điều khiển nhiều máy bay, đặc biệt là máy bay
không người lái UAV, trở thành lĩnh vực nghiên cứu rất tích cực ở Hoa Kỳ, nhằm thúc
đẩy những tiến bộ hơn nữa. Trong thập kỷ qua, lĩnh vực nghiên cứu này đã nở rộ, với
nhiều hệ thống mới đang được đề xuất trong các lĩnh vực ứng dụng khác nhau, từ hệ
thống chiến đấu quân sự cho các mạng cảm biến di động để thương mại hệ thống giao
thông đường cao tốc và hàng không. Một số thách thức cụ thể của việc kiểm soát hợp
tác các hệ thống đa lớp bao gồm độ tin cậy gây ra bởi thông tin liên lạc giữa các phương
tiện và phân phối vận hành, độ phức tạp của hệ thống do kích thước, sự cố và kết nối
giữa các nhiệm vụ và khả năng mở rộng cho hệ thống lớn.
Điều khiển hợp tác được định nghĩa là nhiều thực thể động chia sẻ thơng tin hoặc
nhiệm vụ để hồn thành một mục tiêu chung. Ví dụ về các hệ thống điều khiển hợp tác
có thể bao gồm: máy bay khơng người lái trong các hoạt động tìm kiếm cứu nạn hoặc
các nhiệm vụ giám sát và tấn công quân sự, các mảng vệ tinh siêu nhỏ tạo thành một
radar khẩu độ lớn phân tán, nhân viên hoạt động trong một tổ chức ... Thuật ngữ thực
thể thường được liên kết với các phương tiện có khả năng chuyển động vật lý như robot,
ô tô, tàu và máy bay, nhưng định nghĩa mở rộng cho bất kỳ khái niệm thực thể nào thể
hiện hành vi phụ thuộc thời gian. Giả định rằng sự hợp tác đang được sử dụng để thực
hiện một số mục đích chung lớn hơn mục đích của mỗi cá nhân, nhưng chúng tơi nhận

ra rằng cá nhân đó cũng có thể có các mục tiêu khác, có lẽ do là thành viên của các tổ
chức khác. Điều này ngụ ý rằng hợp tác cũng có thể đảm nhận các hình thức phân cấp.
Các quy trình ra quyết định (kiểm soát) thường được cho là bị phân phối hoặc phân cấp


8
ở một mức độ nào đó. Nếu khơng, một hệ thống hợp tác ln có thể được mơ hình hóa
thành một thực thể duy nhất. Mức độ hợp tác có thể được biểu thị bằng lượng thông tin
trao đổi giữa các thực thể. Hệ thống hợp tác có thể liên quan đến chia sẻ nhiệm vụ và có
thể bao gồm các thực thể không đồng nhất. Các hệ thống sáng kiến hỗn hợp là các hệ
thống không đồng nhất đặc biệt thú vị vì chúng bao gồm con người và máy móc. Cuối
cùng, người ta thường quan tâm đến cách các hệ thống hợp tác thực hiện trong điều kiện
nguy hiểm hoặc bất lợi.

1.4. Thuật toán đồng thuận
Đồng thuận là nhiều đối tượng cùng đồng ý hoặc hủy bỏ một quyết định, một giá
trị hay một quá trình hành động nào đó. Trong những năm gần đây, người ta đã ứng
dụng ngày càng nhiều trong hệ đa đối tượng với mục đích phối hợp hoạt động giữa một
số lượng lớn của các đối tượng phân tán. Những mạng lưới như vậy, tùy theo những quy
luật ưu tiên, hay còn gọi là giao thức, mỗi nút cập nhật tỉ số của mình dựa vào thơng tin
nhận từ hàng xóm của nó với mục đích là đạt đến sự thống nhất tại một giá trị chung.
Nếu giá trị chung này tương ứng với trung bình của các giá trị ban đầu, ta gọi sự đồng
thuận trung bình. Đây là một vấn đề quan trọng trong các hệ thống phân tán vì nó giúp
hệ thống đạt được tính nhất quán. Một khi các node đồng ý về một giá trị, thì thỏa thuận
đó là cuối cùng và nhờ đó mà dữ liệu của các máy chủ được đồng bộ. Một số node có
thể thất bại hoặc không đáng tin cậy theo những cách khác nhau, vì vậy các giao thức
đồng thuận phải có khả năng chịu lỗi hoặc khả năng phục hồi.
Hãy xem xét một mạng lưới tùy ý 6 đối tượng được giao tiếp như hình vẽ

a) Điều kiện ban đầu

b) Điều kiện xác lập

Hình 1.3. Đồng thuận trung bình trong một mạng
Mỗi nút có một giá trị ban đầu. Giao thức đồng thuận là luật tương tác sao cho
thông tin được trao đổi giữa các đối tượng và tất cả hàng xóm của nó trên mạng nhằm


9
đạt đến sự thống nhất trên một đại lượng nhất định, nó phụ thuộc vào trạng thái của tất
cả các đối tượng.
1.4.1. Giao thức đồng thuận
Cho một đồ thị G(V,E) cho trước, mỗi nút có một giá trị xi là trạng thái của nút i.
Gọi x(0) = [x1(0) x2(0) …xn(0)]T là vector của các trạng thái ban đầu của một mạng lưới
cho trước, với mỗi trạng thái ban đầu cho trước tại mỗi nút xi(0), i ∈ V, nhiệm vụ chính
là tính tốn giá trị đồng thuận cuối cùng sử dụng bước lặp tuyến tính phân tán. Mỗi bước
lặp liên quan đến sự truyền thông cục bộ giữa các nút. Cụ thể, mỗi nút liên tục cập nhật
giá trị của nó dưới dạng kết hợp tuyến tính của giá trị của chính nó và của các nút lân
cận. Lợi ích chính của việc sử dụng sơ đồ lặp tuyến tính là ở mỗi bước thời gian, mỗi
nút chỉ phải truyền một giá trị duy nhất cho mỗi lân cận của nó.
a) Hệ thống thời gian rời rạc
Phương trình cập nhật đồng thuận dựa vào bước lặp tuyến tính [22]

xi ( k  1)  wii ( k )xi ( k )   wij ( k )x j ( k ), i  1,2,...,N

(1.1)

jNi

ở dạng ma trận:

x(k+1) = W(k)x(k)

(1.2)



Trong đó W(k) là ma trận có wij (k )=0 if (i, j )  E and

jNi  i

wij (k )  1

Hệ thống được gọi là đồng thuận phân tán tiệm cận nếu, limk→∞ 𝐱(𝑘 ) = μ𝟏
nghĩa là tất cả các nút đồng nhất tại một giá trị µ. Khi µ là trung bình các giá trị ban đầu:

1 N
   xi (0)
N i 1

Điều kiện hội tụ:
x(k+1) = Wx(k), k = 0, 1, …
x(k) = Wkx(0)

(1.3)

Hệ thống được cho là đạt được sự đồng thuận phân tán nếu:
𝑙𝑖𝑚𝑘→∞ 𝐱(𝑘) = 𝑙𝑖𝑚𝑘→∞ 𝑾𝑘 𝐱(0) = 𝟏𝒄𝑇 𝐱(0)

(1.4)

 Định lý 1 Cho giao thức bước lặp tuyến tính, đồng thuận phân tán đạt được khi
và chỉ khi ma trận đồng thuận trọng số W thỏa mãn điều kiện sau [22]:

W1 = 1
𝜌(𝑾 − 𝟏𝒄𝑇 ) < 1
Với 𝜌(𝑾 − 𝟏𝒄
cho 1Tc = 1

𝑇)

(1.5)

< 1 là bán kính phổ của ma trận (W – 1c ) và c được chọn sao
T


10
Vậy ma trận trọng số có tổng hàng bằng 1 và 1 là một giá tri riêng của ma trận W
và tất cả các giá trị còn lại đều nhỏ hơn 1. Người ta gọi đó là ma trận ngẫu nhiên hàng.
1

Khi c = 1 hệ thống được gọi là đạt được sự đồng thuận trung bình (nghĩa là giá
𝑁

trị đồng thuận là trung bình của tất cả các giá trị ban đầu)
𝑙𝑖𝑚𝑘→∞ 𝑾𝑘 =

1
𝑁

𝟏𝟏𝑇

(1.6)

 Định lý 2 phương trình 1.6 đúng khi và chỉ khi nếu [1]:

1TW = 1T
W1 = 1
1

𝜌 (𝑾 − 𝟏𝟏𝑇 ) < 1
𝑁

Một điều kiện cần và đủ để đảm bảo sự hội tụ của giao thức đồng thuận trung bình
cho các đồ thị khơng bị ảnh hưởng là ma trận đồng thuận trọng số W là một ma trận
ngẫu nhiên kép.

Thuật toán đồng thuận trung bình phân tán
1. Đầu vào:
 Cấu trúc liên kết mạng được mơ hình hóa như một đồ thị G(V, E)
 Giá trị ban đầu x(0)
 Số lần lặp tối đa kmax
2.

Khởi tạo: Xác định ma trận đồng thuận trọng số W(k ), k  0,1,...

3.

Đặt k=0

4.

Trong khi k  kmax tiến hành
 Cập nhật: xi (k 1)  wii (k ) xi (k ) 

 wij (k ) x j (k ), i  1,..., N.

jNi

 k  k 1
5.

Kết thúc

6.

Đầu ra: x(kmax )  1 .

b) Hệ thống thời gian tuyến tính
Chúng ta xem hệ thống mơ hình bởi đồ thị G(V, E) với N nút, trong đó mỗi nút có
giá trị xi ∊ R phương trình cập nhật

ẋ t (t) = − ∑j∊ji(t) aij (t)(xi (t) − xj (t))

(1.7)


11
Trong đó, ji(t) là tập hợp các đối tượng mà thông tin cho phép nút i tại thời gian t

và aij(t) là kí hiệu cho nhân tố dương trọng số biến thiên theo thời gian. Nói cách khác,
quy trình tính tốn được thực hiện tại nút mà tích hợp các giá trị của nó, hoặc là thơng
tin trạng thái của mỗi nút hướng đến trạng thái của các hàng xóm tại mỗi thời điểm.

Phương trình ở dạng ma trận:
𝐱̇ = −𝐋𝐱
Với L là ma trận Laplacian x = [x1, x2, …, xN]T

(1.8)

1.4.2. Vấn đề đồng thuận trong thời gian hữu hạn
Các hệ thống phức tạp trên thực tế, thời gian thực thi càng trở thành nhân tố quyết
định. Chính vì vậy, mục đích của ta bây giờ là thiết kế thuật tốn đồng thuận trung bình
trong thời hữu hạn cho phép tất cả các nút đạt đến giá trị đồng thuận trung bình trong D
bước cho giao thức tự cấu hình hóa.
1

x(D) = 𝟏𝟏𝑇 𝐱(0)
𝑁

(1.9)

Nghĩa là, chúng ta sẽ thiết kế các ma trận đồng thuận W1, W2, ..., WD sao cho:
1

∏1𝑖=𝐷 𝑊𝑖 = 𝟏𝟏𝑇
𝑁

(1.10)

1.4.3. Thiết kế ma trận đồng thuận
Mục tiêu của việc thiết kế ma trận đồng thuận W sao cho thỏa mãn các điều kiện
hội tụ của giao thức đồng thuận.
1.4.4. Thiết kế ma trận trọng số
Trong một số cơng trình đã thiết kế ma trận trọng số W thỏa mãn các điều kiện hội
tụ của các thuật tốn đồng thuận trung bình. Ví dụ, trong [2, 3], người ta đã chứng minh
rằng các ma trận trọng số sau đây thỏa mãn các điều kiện hội tụ được chỉ ra ở trên.
1.4.4.1. Trọng số có bậc lớn nhất
Để thiết kế ma trận trọng số W trong một biểu đồ với cấu trúc liên kết cố định (cấu
trúc liên kết thời gian) bao gồm việc gán một trọng số trên mỗi cạnh bằng với nghịch
đảo của mức độ tối đa của mạng, tức là:
1

𝑤𝑖𝑗 =

𝑑𝑚𝑎𝑥 +1
𝑑𝑖

1−

𝑛ế𝑢 𝑗 ∊ 𝑁𝑖

𝑑𝑚𝑎𝑥 +1

𝑛ế𝑢 𝑖 = 𝑗

(1.11)

{0 𝑡𝑟ườ𝑛𝑔 ℎợ𝑝 𝑘ℎá𝑐
Trong đó dmax = maxdi ≤ N

Thiết kế ma trận trọng số W trong đồ thị với cấu trúc truyền thông định sẵn và phân
bố một trọng số trên mỗi cạnh bằng với bậc lớn nhất của mạng lưới


12
1.4.4.2. Trọng số có cạnh là hằng số
Theo [2] cách tiếp cận đơn giản nhất là đặt tất cả các trọng số cạnh cho các nút lân
cận bằng một số α. Đây là mơ hình được áp dụng rộng rãi cho cả đồ thị có cấu trúc
truyền thơng biến thiên và bất biến theo thời gian.

𝛼
𝑛ế𝑢 𝑗 ∊ 𝑁𝑖
𝑤𝑖𝑗 = {1 − 𝛼|𝑁𝑖 | 𝑛ế𝑢 𝑖 = 𝑗
0, 𝑡𝑟ườ𝑛𝑔 ℎợ𝑝 𝑘ℎá𝑐

(1.12)

Ma trận trọng số còn được biểu diễn ở dạng ma trận:

W = IN – αL

(1.13)

Trong đó L và IN là ma trận Laplacian của đồ thị G và ma trận đơn vị N x N tương
ứng.
1.4.4.3. Trọng số Metropolis
Ma trận này được ứng dụng đối với đồ thị với cấu trúc truyền thông bất biến
theo thời gian [2].
1

𝑛ế𝑢 𝑗 ∊ 𝑁𝑖

1+max(𝑑𝑖 ,𝑑𝑗 )

𝑊𝑖𝑗 =

1 − ∑𝑗∊𝑁𝑖

1
1+max(𝑑𝑖 ,𝑑𝑗 )

{0,

𝑛ế𝑢 𝑖 = 𝑗

(1.14)

𝑡𝑟ườ𝑛𝑔 ℎợ𝑝 𝑘ℎá𝑐

Ở đây, các nút không cần bất kỳ thơng tin tồn cục nào của mạng truyền thơng,
thậm chí là số đỉnh N. Nó chỉ cần biết giá trị của chính nó và của hàng xóm để tính trọng
số. Các trọng số Metropolis rất đơn giản để tính toán và phù hợp với việc thực hiện phân
tán.
1.4.5. Tối ưu hóa
Trong phân tích các vấn đề đồng thuận, tốc độ hội tụ là một nhân tố quan trọng để
đánh giá hiệu suất của giao thức đồng thuận. Chính vì vậy, những nghiên cứu có liên
quan đến bài tốn tăng tốc độ hội tụ của thuật toán đồng thuận được giải quyết bằng tối
ưu hóa bằng cách tập trung. Ta có bài tốn tìm ma trận W sao cho đồng thuận trung bình
đạt được trong thời gian ngắn nhất bằng cách giải bài toán lồi [2] (semi-definite convex
programming)

min
w

1

𝜌(𝑾 − 𝟏𝟏𝑇 )
𝑁

(1.15)

Sao cho W ∊ SG, 𝟏𝑇 𝑾 = 𝟏𝑇 , W1=1
Trong đó, W ∊ SG biểu diễn cho ràng buộc trên ma trận W với tập hợp SG,
được xác định như sau:

SG ={𝑾 ∊ 𝑅𝑁×𝑁 |𝑤𝑖𝑗 = 0 𝑛ế𝑢 (𝑖, 𝑗) ∉ 𝐸 𝑣à 𝑖 ≠ 𝑗}

(1.16)


13

1.5. Lý thuyết đồ thị
Đồ thị là một cấu trúc rời rạc bao gồm các đỉnh và các cạnh nối các đỉnh này. Người
ta phân loại đồ thị tùy theo đặc tính và số các cạnh nối các căp đỉnh của đồ thị. Lý thuyết
đồ thị là một ngành khoa học được phát triển từ lâu nhưng lại có nhiều ứng dụng hiện
đại. Những ý tưởng cơ bản của nó được đưa ra từ thế kỹ 18 bởi nhà toán học Thụy Sĩ
tên là Leonhard Euler. Ông đã dùng đồ thị để giải quyết bài toán 7 chiếc cầu Konigsberg
nổi tiếng. Đồ thị được dùng để giải các bài toán trong nhiều lĩnh vực khác nhau ví dụ
như:
 Xác định xem có thực hiện một mạch điện trên một bảng điện phẳng được khơng.

 Xác định hai máy tính có được nối với nhau bằng một đường truyền thông hay
không thơng qua mơ hình đồ thị mạng máy tính.
 Phân biệt hai lớp chất hóa học có cùng cơng thức phân tử nhưng có cấu trúc khác
nhau nhờ đồ thị.
 Giải các bài tốn như bài tốn tìm đường đi ngắn nhất giữa hai thành phố trong
một mạng giao thông (sau khi đã gán các trọng số cho các cạnh của nó).
 Lập lịch và phân chia kênh cho các đài truyền hình.
 Lập sơ đồ tính tốn của một thuật tốn.
 Biểu diễn sự cạnh tranh các lồi trong một mơi trường sinh thái.
 Biểu diễn ai có ảnh hưởng lên ai trong một tổ chức nào đó.
 Biểu diễn các kết cục của cuộc thi đấu thể thao.
 Giải các bài tốn như bài tốn tính số các tập hợp khác nhau của các chuyển bay
giữa hai thành phố trong một mạng hàng không.
1.5.1. Định nghĩa
Đồ thị là một cặp G = (V, E) trong đó: V (vertex/vertices) là tập hợp các đỉnh

E ⊆ V × V (edges) là tập hợp các cạnh
Đồ thị G (E, V) có hai loại: đồ thị có hướng và đồ thị vơ hướng


14

Hình 1.4. Đồ thị có hướng

Hình 1.5. Đồ thị vơ hướng
1.5.2. Biểu diễn đồ thị
Ta có thể biểu diễn hình học cho đồ thị trên mặt phẳng như sau:
 Đỉnh: biểu diễn bằng các vòng tròn nhỏ, chứa tên của đỉnh
 Cạnh:
+ Cạnh vô hướng: biểu diễn bằng đoạn thẳng.

+ Cạnh có hướng: biểu diễn bằng mũi tên nối hai đỉnh của đồ thị.
1.5.3. Đồ thị có hướng và đồ thị vô hướng
Cho đồ thị G = (V, E), G được gọi là đồ thị:
 Vô hướng khi đồ thị chỉ chứa các cạnh vơ hướng (hình 1.6).


15

Hình 1.6. Đơn đồ thị vơ hướng
 Có hướng khi đồ thị chỉ chứa các cạnh có hướng (hình 1.7). Trong đó, V = {1, 2,
…, N} là tập hợp các đỉnh (N nút), E ⊆ V × V là tập hợp các cạnh (liên kết giữa
các nút). Nếu các nút thứ i và j được kết nối, thì liên kết giữa i và j được bao gồm
trong tập hợp E, (i, j) ∈ E và khi đó i và j được gọi là hàng xóm của nhau. Tập
hợp các láng giềng của các nút i là được biểu thị bằng Ni và nó được biểu thị bằng
di = |Ni|, trong đó |.| viết tắt của các nút trong một tập hợp[3].

Hình 1.7. Đa đồ thị có hướng