Bài giảng tích phân và phương pháp tính tích phân
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.25 MB, 70 trang )
CHUYÊN ĐỀ 3 NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
BÀI 2: TÍCH PHÂN
Mục tiêu
Kiến thức
+ Nắm được định nghĩa và các tính chất của tích phân.
+ Nắm vững các phương pháp tính nguyên hàm và bảng nguyên hàm cơ bản để áp dụng tính tích
phân.
+ Nắm vững các tính chất tích phân của các hàm số chẵn, hàm số lẻ và các quy tắc đạo hàm của
hàm số hợp.
+ Nắm vững các ý nghĩa vật lí của đạo hàm, từ dó giải quyết các bài tốn thực tế sử dụng tích
phân.
Kĩ năng
+
Hiểu rõ định nghĩa và tính chất của tích phân để vận dụng vào việc tính tích phân.
+
Sử dụng thành thạo bảng nguyên hàm và các phương pháp tính tích phân.
+
Vận dụng tích phân vào các bài toán thực tế.
TOANMATH.com
Trang 1
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
I. ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN
1. Định nghĩa tích phân
Chẳng hạn: F x x 3 C là một nguyên
Định nghĩa
Cho hàm số f x liên tục trên đoạn a; b , với a b.
Nếu F x là nguyên hàm của hàm số f x trên đoạn
a; b
thì giá trị F b F a được gọi là tích phân của
b
1
f x dx F x F 1 F 0
0
0
b
Lưu ý: Giá trị của tích phân khơng phụ thuộc
a
vào hằng số C.
f x dx F x F b F a (1)
a
1
13 C 03 C 1.
hàm số f x trên đoạn a; b .
Kí hiệu
hàm của hàm số f x 3x 2 nên tích phân
Cơng thức (1) cịn được gọi là cơng thức Newton –
Trong tính tốn, ta thường chọn C 0.
Leibnitz; a và b được gọi là cận dưới và cận trên của
tích phân.
Ý nghĩa hình học của tích phân
Giả sử hàm số y f x là hàm số liên tục và không âm
Chẳng hạn: Hàm số f x x 2 2 x 1 có đồ
thị C và f x x 1 0 , với x .
2
trên đoạn a; b . Khi đó, tích phân
b
f x dx
chính là
a
diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y f x ,
trục hoành Ox và hai đường thẳng x a, x b, với
a b.
Diện tích “tam giác cong” giới hạn bởi C ,
trục Ox và hai đường thẳng x 1 và x 1
1
là S
f x dx
1
b
S f x dx
a
x3
x2 x
3
1
x
2
2 x 1 dx
1
1
8
.
3
1
Lưu ý: Ta cịn gọi hình phẳng trên là “hình
thang cong”.
2. Tính chất cơ bản của tích phân
Cho hàm số f x và g x là hai hàm số liên tục trên
khoảng K, trong đó K có thể là khoảng, nửa khoảng
TOANMATH.com
Trang 2
hoặc đoạn và a, b, c K , khi đó:
a. Nếu b a thì
a
f x dx 0
Chẳng hạn: Cho hàm số f x liên tục, có
a
b. Nếu f x có đạo hàm liên tục trên đoạn a; b thì đạo hàm trên đoạn
1; 2
thỏa mãn
f 1 8 và f 2 1.
ta có:
b
Khi đó
b
f x dx f x f b f a
2
a
a
2
f x dx f x
1
1
f 2 f 1 9
Lưu ý: Từ đó ta cũng có
b
f b f a f x dx
a
b
và f a f b f x dx
a
c. Tính chất tuyến tính
b
b
b
a
a
a
k. f x h.g x dx k f x dx h. g x dx
Với mọi k , h .
d. Tính chất trung cận
b
c
b
a
a
c
f x dx f x dx f x dx , với c a; b
e. Đảo cận tích phân
a
b
b
f x dx f x dx
a
f. Nếu f x 0, x a; b thì
b
f x dx 0
và
a
b
f x dx 0 khi f x 0 .
a
g. Nếu f x g x , x a; b thì
b
b
a
a
f x dx g x dx
h. Nếu m min f x và M max f x thì
a ;b
TOANMATH.com
a ;b
Trang 3
b
m b a f x dx M b a
a
i. Tích phân khơng phụ thuộc vào biến, tức là ta ln
có
b
a
b
b
b
a
a
a
f x dx f t dt f u du f y dy ...
II. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
1. Phương pháp đổi biến số
Đổi biến dạng 1
b
Bài tốn: Giả sử ta cần tính tích phân I f x dx , trong đó
a
ta có thể phân tích f x g u x u x thì ta thực hiện
phép đổi biến số.
Lưu ý: Phương pháp đổi biến số trong
tích phân cơ bản giống như đổi biến số
Phương pháp:
trong nguyên hàm, ở đây chỉ thêm bước
+ Đặt u u x , suy ra du u x dx.
đổi cận.
+ Đổi cận:
x
a
b
u
u a
u b
b
ub
a
ua
+ Khi đó I f x dx
g u du G u
u b
ua
, với G u
là nguyên hàm của g u .
Đổi biến dạng 2
Dấu hiệu
Cách đặt
a2 x2
x a sin t ; t ;
2 2
x2 a2
x
; t ; \ 0
sin t
2 2
a
a2 x2
x a tan t ; t ;
2 2
ax
ax
x a.cos 2t; t 0;
2
ax
ax
x a.cos 2t ; t 0;
2
TOANMATH.com
Trang 4
x a b a sin 2 t; t 0;
2
x a b x
2. Phương pháp tích phân từng phần
b
Chú ý: Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí sao
a
cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân
Bài tốn: Tính tích phân I u x .v x dx
b
vdu
a
Hướng dẫn giải
b
u u x
du u x dx
Đặt
dv v x dx v v x
dễ tính hơn udv .
a
b
Khi đó I u.v ba v.du (cơng thức tích phân từng
a
phần)
III. TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ ĐẶC BIỆT
1. Cho hàm số f x liên tục trên a; a . Khi đó
a
Đặc biệt
a
a
f x dx f x f x dx (1)
0
+ Nếu f x là hàm số lẻ thì ta có
a
f x dx 0
(1.1)
a
+ Nếu f x là hàm số chẵn thì ta có
a
a
a
f x
1
dx
f x dx
1 bx
2 0
a
a
và
a
f x dx 2 f x dx (1.2)
0
0 b 1 (1.3)
2. Nếu f x liên tục trên đoạn a; b thì
b
a
b
f x dx f a b x dx
a
Hệ quả: Hàm số f x liên tục trên 0;1 , khi đó:
2
0
3. Nếu f x liên tục trên đoạn a; b và f a b x f x thì
TOANMATH.com
2
f sin x dx f cos x dx
0
b
b
ab
a xf x dx 2 a f x dx
Trang 5
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA
Định nghĩa
Cho hàm số f x liên tục trên đoạn a; b , với a b . Nếu F x là nguyên hàm của hàm số f x
trên đoạn a; b thì giá trị F b F a được gọi là tích phân của hàm số f x trên đoạn a; b .
b
Kí hiệu
f x dx F x
a
b
a
F b F a
Ý nghĩa hình học của tích phân
Giả sử hàm số y f x là hàm số liên tục và không âm trên đoạn a; b . Khi đó, tích phân
b
f x dx
a
chính là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y f x , trục hoành và hai đường thẳng
x a, x b a b .
b
S f x dx
a
Tính chất cơ bản của tích phân
Cho hàm số f x và g x là hai hàm số liên tục trên khoảng K, trong đó K có thể là khoảng, nửa
khoảng hoặc đoạn và a, b, c K , khi đó ta có các tính chất sau
b
f x dx 0 ;
a
b
b
f x dx f x f b f a ;
a
a
b
b
b
a
a
a
k. f x h.g x dx k f x dx h. g x dx , với k , h
b
a
c
b
a
c
f x dx f x dx f x dx , với c a; b ;
a
b
b
f x dx f x dx ;
a
b
f x dx 0
b
b
a
; f x g x , x a; b f x dx g x dx
f x 0, x a; b b
a
a
f x dx 0 f x 0
a
m min f x
b
a ;b
m b a f x dx M b a ;
M max f x
a
a ;b
TOANMATH.com
b
a
b
b
b
a
a
a
f x dx f t dt f u du f y dy ....
Trang 6
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng định nghĩa, tính chất
Phương pháp giải
Ví dụ: Cho hàm số f x có đạo hàm trên đoạn
1; 2 ,
f 1 1
và
f 2 2 .
Tích
phân
2
I f x dx bằng
1
Sử dụng các tính chất của tích phân.
Sử dụng bảng nguyên hàm và định nghĩa tích phân
để tính tích phân.
A. 3.
B. 2.
C. 1.
D. 0.
Hướng dẫn giải
2
2
1
1
I f x dx f x f 2 f 1 2 1 1.
Chọn C.
Ví dụ mẫu
3
Ví dụ 1: Giá trị của dx bằng
0
A. 3.
B. 2.
C. 0.
D. 1.
C. 1.
D.
Hướng dẫn giải
3
Ta có
dx x
3
0
3 0 3.
0
Chọn A.
2
Ví dụ 2: Giá trị của sin xdx bằng
0
A. 0.
B. 1.
2
.
Hướng dẫn giải
2
Ta có
sin xdx cos x
0
2
1.
0
Chọn B.
Ví dụ 3: Cho hàm số f x x 3 có một nguyên hàm là F x . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. F 2 F 0 16. B. F 2 F 0 1.
C. F 2 F 0 8.
D. F 2 F 0 4.
Hướng dẫn giải
TOANMATH.com
Trang 7
2
x4
Ta có x dx
4
0
3
2
0
4 F 2 F 0
Chọn D.
2
Ví dụ 4: Giá trị của I
1
A. I ln 3 1.
1
dx là
2x 1
B. I ln 3.
C. I ln 2 1.
D. I ln 2 1.
Hướng dẫn giải
2
I
1
1
1
dx ln 2 x 1
2x 1
2
2
1
1
1
ln 3 ln1 ln 3 ln 3.
2
2
Chọn B.
Ví dụ 5: Cho
1
1
1
0
0
0
f x dx 2 và g x dx 5 . Giá trị của I f x 2 g x dx là
A. 5.
B. 7.
C. 9.
D. 12.
Hướng dẫn giải
1
1
0
0
I f x dx 2 g x dx 12 .
Chọn D.
2
Ví dụ 6: Cho
f x dx 3 và
2
5
1
A. 2.
5
f x dx 1. Giá trị của I f x dx là
1
B. 4.
D. 2.
C. 3.
Hướng dẫn giải
5
2
5
1
1
2
I f x dx f x dx f x dx
3 1 2.
Chọn A.
2
Ví dụ 7: Cho
f x dx 2,
1
A. I 17.
2
2
1
1
g x dx 1 . Khi đó I x 2 f x 3g x dx bằng
B. I
17
.
2
C. I
15
.
2
1
D. I .
2
Hướng dẫn giải
2
x2
Ta có I x 2 f x 3 g x dx
2
1
TOANMATH.com
2
1
2
2
1
1
2 f x dx 3 g x dx
Trang 8
3
17
2.2 3 1 .
2
2
Chọn B.
2
Ví dụ 8: Cho
0
2
f x dx 5 . Giá trị của I f x 2 sin x dx là bao nhiêu?
0
A. I 3.
B. I 5.
C. I 6.
D. I 7.
Hướng dẫn giải
2
2
2
0
0
I f x 2 sin x dx f x dx 2 sin xdx 5 2 cos x
0
0
2
7.
Chọn D.
Ví dụ 9: Cho F x là nguyên hàm của hàm số f x
1
B. I .
2
A. I 0.
ln x
. Giá trị của F e F 1 bằng
x
3
C. I .
2
1
D. I .
2
Hướng dẫn giải
e
e
ln x
ln 2 x
dx ln xd ln x
x
2
1
1
Ta có F e F 1
e
1
1
.
2
Chọn D.
1
Ví dụ 10: Tích phân I
0
4
A. I ln .
3
1
dx bằng
x 3x 2
2
3
B. I ln .
2
1
C. I ln .
2
3
D. I ln .
4
Hướng dẫn giải
Ta có
x 2 x 1 1 1
1
x 3x 2 x 1 x 2
x 1 x 2
2
1
1
1
1
1
dx
dx ln x 1 ln x 2 2 ln 2 ln 3.
Suy ra I
x 1
x2
0
0
0
Chọn A.
Ví dụ 11: Tích phân I cos3 x sin xdx bằng
0
A. I 1.
B. I 0.
C. I 3.
D. I 1.
Hướng dẫn giải
1 1
1
Ta có I cos3 xd cos x cos 4 x 0.
4 4
4
0
0
Chọn B.
TOANMATH.com
Trang 9
Ta có cos x sin x nên sin xdx d cos x
2
Ví dụ 12: Biết tích phân I
1
dx
x 1
x x x 1
a 2 b 3 c , với a, b, c . Giá trị biểu thức
P a b c là
A. P 8.
B. P 0.
C. P 2.
D. P 6.
Hướng dẫn giải
Ta có
2
I
1
x 1 x 0, x 1; 2 nên
2
2
x 1 x
1
1
dx
dx
dx 2 x 2 x 1
x. x 1
x
x 1
1
1
2
1
4 2 2 3 2. Suy ra a 4, b c 2 nên P a b c 0.
Chọn B.
Nhân liên hợp
x 1 x.
Ví dụ 13: Cho hàm số f x thỏa mãn f 2
2
1
và f x x f x với mọi x . Giá trị f 1
3
bằng
2
A. f 1 .
3
3
B. f 1 .
2
2
C. f 1 .
3
1
D. f 1 .
3
Hướng dẫn giải
Từ f x x f x (1), suy ra f x 0 với mọi x 1; 2 .
2
Suy ra f x là hàm không giảm trên đoạn 1; 2 nên f x f 2 0 , x 1; 2 .
Chia 2 vế hệ thức (1) cho f x ta được
2
f x
f x
2
x, x 1; 2 . (2)
Lấy tích phân 2 vế trên đoạn 1; 2 hệ thức (2), ta được
f x
2
1
dx
1 f x 2
1 xdx f x
2
Do f 2
2
1
x2 2
1
1
3
.
f 1 f 2 2
2 1
1
2
nên suy ra f 1 .
3
3
Chọn C.
Chú ý rằng đề bài cho f 2 , yêu cầu tính f 1 , ta có thể sử dụng ngun hàm để tìm hằng số C.
Tuy nhiên ta cũng có thể dựa vào định nghĩa của tích phân để xử lí.
TOANMATH.com
Trang 10
2
1
Ví dụ 14: Cho hàm số f x xác định trên \ thỏa mãn f x
và f 0 1, f 1 2 . Khi
2x 1
2
đó f 1 f 3 bằng
A. 1 ln15.
B. 3 ln 5.
C. 2 ln 3.
D. 1 ln15.
Hướng dẫn giải
0
Ta có
1
0
f x dx f 0 f 1 nên suy ra f 1 f 0 f x dx.
1
0
1 f x dx.
1
Tương tự ta cũng có
3
f 3 f 1 f x dx
1
3
2 f x dx .
1
0
3
Vậy f 1 f 3 1 f x dx f x dx 1 ln 2 x 1
1
1
0
1
3
ln 2 x 1 .
1
Vậy f 1 f 3 1 ln15.
Chọn A.
Ví dụ 15: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f 1 0 ,
1
f x
2
dx 7
0
và
1
1
0
0
3
x . f x dx 1. Giá trị I f x dx là
A. 1.
B.
7
.
4
C.
7
.
5
D. 4.
Hướng dẫn giải
1
Ta có
f x
2
dx 7 (1).
0
1
6
x dx
0
1
1
49 x 6 dx 7 (2).
7
0
1
và 14 x 3 . f x dx 14 (3).
0
Cộng hai vế (1), (2) và (3) suy ra
1
3 2
f x 7 x
0
dx 0 mà f x 7 x3 0
TOANMATH.com
2
Trang 11
f x 7 x 3 .
Hay f x
7 x4
C.
4
7
7
f 1 0 C 0 C .
4
4
Do đó f x
1
Vậy
0
7 x4 7
.
4
4
7 x4 7
7
f x dx
dx .
4
4
5
0
1
Chọn C.
Ví dụ 16: Cho f x , g x là hai hàm số liên tục trên đoạn 1;1 và f x là hàm số chẵn, g x là hàm
1
số lẻ. Biết
0
1
f x dx 5; g x dx 7 .
0
1
1
1
1
f x dx g x dx là
Giá trị của A
A. 12.
B. 24.
C. 0.
D. 10.
Hướng dẫn giải
1
Vì f x là hàm số chẵn nên
1
Vì g x là hàm số lẻ nên
1
f x dx 2 f x dx 2.5 10
0
1
g x dx 0 .
1
Vậy A 10.
Chọn D.
1
Ví dụ 17: Cho
xdx
2 x 1
2
a b ln 3 với a, b là các số hữu tỉ. Giá trị của a b bằng
0
A.
5
.
12
1
B. .
3
1
C. .
4
D.
1
.
12
Hướng dẫn giải
1
Ta có
xdx
2 x 1
0
2
1
1
1 2x 11
1 1
1
dx
dx
2 0 2 x 12
2 0 2 x 1 2 x 12
1
1
ln 2 x 1
4 2 x 1 4
1
0
1 1
ln 3.
6 4
1
1
1
Vậy a , b a b .
6
4
12
Chọn D.
TOANMATH.com
Trang 12
2
Ví dụ 18: Cho
x
x 1
2
dx a b.ln 2 c.ln 3 , với a, b, c là các số hữu tỷ. Giá trị của 6a b c bằng
1
A. 2.
B. 1.
D. 1.
C. 2.
Hướng dẫn giải
2
1
1
1
dx
1 x 12
1 x 1 x 12 dx ln x 1 x 1
2
Ta có
x
2
1
1
ln 2 ln 3
6
1
a , b 1, c 1 nên 6a b c 1.
6
Chọn D.
Kĩ thuật tích phân hữu tỉ, ở đây ta tách x
1
2 x 1 1 .
2
3
Ví dụ 19: Cho
2x 3
dx a ln 2 b ln 3, với a, b . Giá trị biểu thức a 2 ab b là
2
x
2
x
A. 11.
B. 21.
C. 31.
D. 41.
Hướng dẫn giải
3
Ta có
3
3
2x 3
2x 1 2
2
2x 1
2 x 2 x dx 2 x 2 x dx 2 x 2 x x 2 x dx
3
2
2x 1 2
2
2
dx ln x x 2 ln x 2ln x 1
x
x
x
x
1
2
3
5ln 2 4 ln 3
2
a 5
a 2 ab b 41.
b
4
Chọn D.
2
Ví dụ 20. Biết rằng tích phân
x
2
1
5x 6
dx a ln 2 b ln 3 c ln 5, với a, b, c là các số nguyên. Giá trị
5x 6
biểu thức S a bc là bao nhiêu?
A. S 62.
B. S 10.
C. S 20.
D. S 10.
Hướng dẫn giải
2
Ta có
2
2
5x 6
5x 6
4
9
1 x 2 5x 6 dx 1 x 2 x 3 dx 1 x 3 x 2 dx
2
9 ln x 3 4 ln x 2 9 ln 5 4 ln 3 26 ln 2.
1
Suy ra a 26, b 4, c 9. Vậy S a bc 26 4.9 10.
Chọn B.
TOANMATH.com
Trang 13
2
sin x
dx bằng
sin x cos x
0
Ví dụ 21: Tích phân A
A.
2
B.
.
16
C.
.
4
D.
.
8
.
Hướng dẫn giải
2
cos x
dx ta có
sin x cos x
0
Xét B
2
A B dx
0
2
.
sin x cos x
dx
sin x cos x
0
2
A B
ln sin x cos x
2
0
ln1 ln1 0.
Từ đó, ta có hệ phương trình
A B
2 AB .
4
A B 0
Chọn C.
cos 2 x sin x.cos x 1
dx a b ln 2 c ln 1 3 , với a, b, c là các số hữu tỉ. Giá trị abc
3
4
cos x sin x.cos x
3
Ví dụ 22: Cho
4
bằng
B. 2.
A. 0.
C. 4.
D. 6.
Hướng dẫn giải
3
cos 2 x sin x.cos x 1
2cos 2 x sin x.cos x sin 2 x
Ta có
dx
dx
4
3
2
2
cos x sin x.cos x
cos x cos x sin x.cos x
3
4
4
3
3
2 tan x tan x
2 tan x tan 2 x
dx
1 tan x d tan x
cos 2 x 1 tan x
2
4
4
2
tan 2 x
tan x
d tan x
2
1 tan x
3
4
TOANMATH.com
3
4
2 ln tan x 1 3
4
Trang 14
1 2 ln 2 2ln
3 1 . Suy ra a 1, b 2, c 2 nên abc 4.
Chọn C.
e x m,
khi x 0
Ví dụ 23: Cho hàm số f x
liên tục trên .
2
2 x 3 x , khi x 0
Biết
1
f x dx ae b
1
3 c a, b, c . Tổng T a b 3c bằng
B. 10.
A. 15.
C. 19.
D. 17.
Hướng dẫn giải
Do hàm số liên tục trên nên hàm số liên tục tại x 0
lim f x lim f x f 0 1 m 0 m 1.
x0
x0
1
0
1
1
1
0
f x dx f x dx f x dx I
Ta có
0
0
1
1
I1 2 x 3 x 2 dx
1
1
2 2
I2
3 x d 3 x 23 3 x
2
3 x2
2
0
2 3
1
16
.
3
1
I 2 e x 1 dx e x x e 2.
1
0
0
1
f x dx I
Suy ra
1
1
I2 e 2 3
22
22
. Suy ra a 1; b 2; c .
3
3
Vậy T a b 3c 1 2 22 19.
Chọn C.
Ví dụ 24: Biết
cos 2 x
1 3 x dx m . Giá trị của
A. m.
B.
4
cos 2 x
1 3x dx bằng
C. m.
m.
D.
4
m.
Hướng dẫn giải
cos 2 x
cos 2 x
1
2
dx
1 3 x 1 3x dx cos xdx 2 1 cos 2 x dx .
Ta có
cos 2 x
1 3x dx m.
Suy ra
Chọn A.
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Giả sử f x là một hàm số liên tục trên khoảng ; và a, b, c, b c ; . Mệnh đề nào sau
đây sai?
b
A.
a
c
b
f x dx f x dx f x dx.
a
TOANMATH.com
c
b
B.
a
f x dx
b c
a
c
f x dx f x dx.
a
Trang 15
C.
b
bc
b
a
a
b c
f x dx f x dx f x dx.
D.
b
c
c
a
a
b
f x dx f x dx f x dx.
Câu 2: Cho hàm số y x có một nguyên hàm là F x . Khẳng định nào sau đây đúng?
3
A. F 2 F 0 16. B. F 2 F 0 1.
C. F 2 F 0 8.
D. F 2 F 0 4.
C. sin e.
D. cos e.
C. I 2.
D. I 4.
e
Câu 3: Tích phân cos xdx bằng
0
B. cos e.
A. sin e.
2
Câu 4: Tích phân I 2 x 1 dx bằng
0
A. I 5.
B. I 6.
0
Câu 5: Cho
3
f x dx 1; f x dx 3. Tích phân f x dx
1
B. 4.
2
f x dx 1 ,
2
a
4
2
C. I 3.
c
b
B. 0.
D. I 5.
a
f x dx bằng
b
C. 70.
D. 30.
1
1
1
0
0
0
f x 2 g x dx 12 và g x dx 5, khi đó f x dx bằng
A. 2.
B. 12.
5
Câu 9: Cho
D. 0.
f t dt 4. Giá trị của I f y dy là
f x dx 50 và f x dx 20. Giá trị
A. 30.
Câu 8: Cho
C. 2.
B. I 3.
c
Câu 7: Cho
4
2
A. I 5.
bằng
1
0
A. 6.
Câu 6: Cho
3
f x dx 4 và
2
5
g x dx 3, khi đó
2
A. 1.
Câu 10: Cho
B. 12.
D. 2.
5
2 f x 3g x dx bằng
2
D. 1.
C. 7.
2
4
4
4
0
2
0
0
f x dx 3; f x dx 6 và g x dx 8. Khi đó 3 f x g x dx
A. 14.
B. 3.
2
Câu 11: Cho
C. 22.
f x 2 g x dx 5 và
1
A. 14.
B. 3.
D. 1.
C. 17.
2
2 f x 3g x dx 4 . Khi đó
1
6
f x dx 7 ,
0
2
f x g x dx bằng
1
D. 1.
C. 17.
Câu 12: Cho hàm số f x liên tục trên thỏa mãn
bằng
10
3
f x dx 8 và
6
f x dx 9. Giá
3
10
trị của tích phân I f x dx bằng
0
A. I 5.
TOANMATH.com
B. I 6.
C. I 7.
D. I 8.
Trang 16
Câu 13: Cho hàm số f x có đạo hàm trên đoạn 1;3 , f 3 4 và
3
f x dx 7 . Khi đó f 1
bằng
1
A. 3.
B. 11.
C. 3.
D. 11.
C. I 1.
D. I e.
e
1 1
Câu 14: Giá trị của I 2 dx là
x x
1
1
A. I .
e
1
B. I 1.
e
2
Câu 15: Cho e3 x 1dx m e p e q với m, p, q và là các phân số tối giản. Giá trị m p q bằng
1
A. 10.
B. 6.
3
Câu 16: Cho
2
C.
3
f x dx 1, g x dx 5 . Để
2
A. a 2.
22
.
3
D. 8.
3
3
2
2
a 2ax 3 f x dx a 2 g x dx 10 thì
B. a 3.
C. a 1.
D. a 3.
Câu 17: Cho f x , g x là các hàm số có đạo hàm liên tục trên
0;1 và
1
g x . f x dx 1 ,
0
1
1
0
0
g x . f x dx 2. Khi đó I f x .g x dx có giá trị là
A. I 3.
B. I 1.
C. I 2.
D. I 1.
Câu 18: Cho hàm số y f x có đạo hàm là hàm liên tục trên thỏa mãn f 0 2, f 1 6 . Khẳng
định nào sau đây là đúng?
1
A.
f x dx 8.
0
1
B.
C.
0
2
Câu 19: Cho
1
f x dx 4.
4 f x 2 x dx 1 . Khi đó
1
B. 7.
f x dx 12.
0
2
f x dx bằng
1
Câu 20: Cho hàm số f x liên tục trên và
A. 4.
1
D.
0
B. 3.
A. 1.
f x dx 3.
D. 1.
C. 3.
4
0
4
f x dx 10, f x dx 4. Tích phân
3
C. 3.
3x
f x dx bằng
0
D. 6.
b
Câu 21: Với a, b là các tham số thực. Giá trị tích phân
3
2
2ax 1 dx bằng
0
A. b3 b 2 a b.
B. b 3 b 2 a b.
C. b 3 ba 2 b.
D. 3b 2 2ab 1.
C. 5.
D. 6.
1
Câu 22: Tích phân
3x 1 x 3 dx bằng
0
A. 12.
B. 9.
3
Câu 23: Biết
1
x2
dx a b ln c , với a, b, c , c 9. Tổng S a b c là
x
TOANMATH.com
Trang 17
A. S 7.
B. S 5.
1
Câu 24: Tích phân I
0
A. ln 2 1.
C. S 8.
D. S 6.
C. ln 2.
D. 1 ln 2.
1
dx có giá trị bằng
x 1
B. ln 2.
m
Câu 25: Cho số thực m 1 thỏa mãn
2mx 1 dx 1. Khẳng định nào sau đây đúng?
1
A. m 4; 6 .
B. m 2; 4 .
1
Câu 26: Biết rằng tích phân I
0
A. 5.
C. m 3;5 .
D. m 1;3 .
1
a ln 2
dx
, với a, b . Biểu thức P a b có giá trị bằng
x x2
b
2
B. 3.
D. 1.
C. 1.
2
2
0
0
Câu 27: Cho hai tích phân A sin 2 xdx và B cos 2 xdx. Trong các khẳng định sau, khẳng định đúng
là
A. A 2 B.
B. A B.
5
Câu 28: Cho tích phân
1
A. P 36.
C. A B.
D. A B 1.
x2
dx a b ln 2 c ln 3, với a, b, c là các số nguyên. Tích P abc là
x 1
B. P 0.
C. P 18.
Câu 29: Biết rằng hàm số f x mx n thỏa mãn
1
D. P 18.
2
f x dx 3, f x dx 8.
0
Khẳng định nào dưới
0
đây là đúng?
A. m n 4.
B. m n 4.
C. m n 2.
D. m n 2.
2
Câu 30: Biết
x2 5x 2
0 x2 4 x 3dx a b ln 3 c ln 5, a, b, c . Giá trị của abc bằng
A. 8.
B. 10.
C. 12.
D. 16.
a
Câu 31: Cho a là số thực dương, tính tích phân I
x dx theo a.
1
a2 1
A. I
.
2
a2 2
B. I
.
2
2
Câu 32: Biết
2a 2 1
C. I
.
2
D. I
3a 2 1
2
.
dx
x 1 2 x 1 a ln 2 b ln 3 c ln 5. Khi đó giá trị a b c bằng
1
A. 3.
B. 2.
C. 1.
D. 0.
0
Câu 33: Biết I
3x 2 5 x 1
2
1 x 2 dx a ln 3 b, a, b . Khi đó giá trị của a 4b bằng
A. 50.
B. 60.
4
Câu 34: Cho
x
3
2
C. 59.
D. 40.
5x 8
dx a ln 3 b ln 2 c ln 5, với a, b, c là các số hữu tỉ.
3x 2
TOANMATH.com
Trang 18
Giá trị của 2a 3b c bằng
A. 12.
B. 6.
1
Câu 35: Cho
A. a 2b 7.
D. 64.
dx
8
2
a b
a a, b * . Giá trị của a 2b là bao nhiêu?
3
3
x 2 x 1
0
Câu 36: Biết
C. 1.
1
0
B. a 2b 5.
C. a 2b 1.
D. a 2b 8.
x2 2
1
dx
n ln 2, với m, n là các số nguyên. Tổng S m n là
x 1
m
A. S 1.
B. S 4.
C. S 5.
D. S 1.
2
x
10
a
Câu 37: Cho x 2
dx ln , với a, b . Tổng P a b là
x 1
b
b
1
A. P 1.
B. P 5.
3
Câu 38: Cho
9x
C. P 7.
D. P 2.
1 5x
dx a ln b c, với a, b, c là các số hữu tỷ. Giá trị của 9a 11b 22c bằng
24 x 16
2
2
B. 10.
A. 15.
C. 7.
D. 9.
0
Câu 39: Cho
3x 2 5 x 1
2
1 x 2 dx a ln 3 b với a, b là các số hữu tỉ. Giá tị của a 2b bằng
A. 60.
B. 50.
1
Câu 40: Cho
0
C. 30.
4 x 15 x 11
dx a b ln 2 c ln 3 với a, b, c là các số hữu tỷ. Biểu thức T a.c b bằng
2 x2 5x 2
A. 4.
B. 6.
2
4x
Câu 41: Cho
D. 40.
2
C.
1
.
2
D.
1
.
2
2x 1
1
dx ln a ln b c , với a, b, c là các số hữu tỷ. Giá trị của 3a b 10c
4x 1
2
2
0
bằng
B. 15.
A. 15.
1
Câu 42: Cho
x
0
C. 14.
D. 9.
x 3
dx a b ln 2 c ln 3 với a, b, c là các số nguyên. Giá trị của a b c bằng
3x 2
2
2
A. 2.
B. 1.
C. 2.
D. 1.
1 a
Câu 43: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a để tích phân
dx
x x 5 x 4
tồn tại?
1
A. 3.
B. 5.
Câu 44: Cho hàm số f x liên tục trên , có
A. I 8.
B. I 16.
C. Vơ số.
1
f x dx 2 và
0
D. 0.
3
f x dx 6. Tính I
1
f 2 x 1 dx.
1
0
3
C. I .
2
D. I 4.
Câu 45: Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
1
1
3
x dx
1
1
x3dx .
TOANMATH.com
B.
2019
1
x 4 x 2 1 dx
2019
1
x
4
x 2 1 dx.
Trang 19
C.
3
2
3
e x x 1 dx e x x 1 dx.
D.
2
4
1
1
a
1
x x 2 dx 4 ln b c , với
Câu 46: Cho
2
2
2
1 cos 2 xdx 2 sin xdx.
2
a, b, c là các số nguyên dương và
3
a
tối giản. Giá trị của
b
a b c bằng
B. 5.
A. 7.
C. 14.
D. 9
4
Câu 47: Cho I
dx
a b 3 với a, b là số thực. Giá trị của a b bằng
cos x.sin 2 x
2
6
1
A. .
3
2
.
3
B.
f x
Câu 48: Cho hàm số
C.
1
.
3
2
D. .
3
a b
2, với a, b là các số hữu tỉ thỏa mãn điều kiện
x2 x
1
f x dx 2 3ln 2. Tổng T a b là
1
2
A. T 1.
B. T 2.
C. T 2.
a
Câu 49: Xác định số a dương sao cho
0
A. a 1.
2
B. a 2.
1
D. T 0.
x 2x 2
a
dx a ln 3 . Giá trị của a là
x 1
2
2
C. a 3.
D. a 4.
2
2x 1
Câu 50: Cho
dx a b ln 2, với a, b là các số hữu tỉ. Giá trị của 2a b bằng
x
1
0
A. 1.
B. 6.
C. 5.
D. 4.
3
Câu 51: Cho
6 x2 x 2
3
5
2 x x 2 1 dx 2ln a 2 ln b 2 ln c, với a, b, c là các số hữu tỷ.
Giá trị của 2a 3b 5c bằng
B. 10.
A. 10.
3 x 2
Câu 52: Cho hàm số y f x
4 x
A.
7
.
2
Câu 53: Cho tích phân
C. 8.
khi 0 x 1
khi 1 x 2
B. 1.
0
cos 2 x cos 4 xdx a b
C.
D. 9.
2
. Tích phân
f x dx bằng
0
5
.
2
D.
3
.
2
3 , trong đó a, b là các hằng số hữu tỉ.
3
Giá trị e a log 2 b bằng
A. 2.
TOANMATH.com
B. 3.
C.
1
.
8
D. 0.
Trang 20
2
Câu 54: Giá trị của tích phân
max sin x,cos x dx bằng
0
A. 0.
B. 1.
C.
D.
2.
1
.
2
3
x2 x 1
a4 b
2 x x 1 dx c , với a, b, c là các số nguyên dương.
Câu 55: Biết rằng
Tổng T a b c bằng
A. 31.
B. 29.
1
Câu 56: Biết
x
C. 33.
D. 27.
x 3x
dx a b ln 2 c ln 3, với a, b, c là các số hữu tỉ. Giá trị của biểu thức
3x 2
3
2
0
S 2a b 2 c 2 bằng
A. S 515.
B. S 164.
C. S 436.
D. S 9.
Câu 57: Cho M, N là các số thực. Xét hàm số f x M .sin x N .cos x thỏa mãn f 1 3 và
1
2
1
f x dx . Giá trị của
0
A.
5 2
.
2
1
f bằng
4
B.
5 2
.
2
C.
2
2
.
D.
2
Câu 58: Gọi S là tập hợp tất cả các số nguyên dương k thỏa mãn
kx
e dx
1
2
2
.
2019.e k 2019
. Số phần tử
k
của tập hợp S bằng.
A. 7.
B. 8.
C. Vô số.
D. 6.
2
Câu 59: Biết I
0
x x cos x sin 3 x
2 b
b
dx
. Trong đó a, b, c là các số nguyên dương. Phân số
1 cos x
a c
c
tối giản. Giá trị của T a 2 b2 c 2 là
A. T 16.
B. T 59.
4
Câu 60: Biết
1
1
4x
C. T 69.
D. T 50.
x ex
dx a eb ec với a, b, c là các số nguyên.
2x
xe
Giá trị của T a b c bằng
A. T 3.
B. T 3.
C. T 4.
D. T 5.
Dạng 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến
Phương pháp giải
Nắm vững phương pháp đổi biến số dạng 1 và dạng 2,
cụ thể:
Đổi biến dạng 1
TOANMATH.com
Trang 21
b
a
0
Bài tốn: Giả sử ta cần tính I f x dx, trong đó ta Ví dụ 1: Giá trị của I cos 2 x.sin xdx là
có thể phân tích f x g u x u x .
A. .
C.
B. 0.
1
.
3
2
.
3
D.
Hướng dẫn giải
Bước 1: Đặt u u x , suy ra du u x dx.
Đặt u cos x du sin x.dx
sin x.dx du.
Bước 2: Đổi cận
x
a
B
u
u a
u b
Bước 3: Tính
b
u b
u b
a
ua
ua
I f x dx
x 0 u 1
Đổi cận
x u 1
g u du G u
1
1
1
1
Khi đó I u 2 du u 2 du
u3
3
1
2
.
3
1
Chọn D.
Với G u là một nguyên hàm của g u .
Đổi biến dạng 2
b
Bài toán: Giả sử ta cần tính I f x dx , ta có thể
1
2
a
Ví dụ 2: Giá trị của I 1 x 2 dx là
đổi biến như sau:
0
A.
C.
3
.
8
B.
3
.
4
D.
12
6
12
6
3
.
8
3
.
4
Hướng dẫn giải
Bước 1: Đặt x t , ta có dx t dt.
Đặt x sin t dx cos tdt.
Bước 2: Đổi cận
x
a
b
t
x 0 t 0
Đổi cận
1
x 2 t 6
Bước 3:
6
Tính I f t . t dt g t dt G t
Với G t là một nguyên hàm của g t .
TOANMATH.com
Khi đó I 1 sin 2 t .cos tdt
0
6
cos 2 t.dt
0
16
1 cos 2t .dt
2 0
Trang 22
Dấu hiệu
Cách đặt
a2 x2
x a sin t , t ;
2 2
x2 a2
x
1 1
t sin 2t
2 2
6
0
1
3
.
2 6 4
Chọn A.
a
,t
;
\ 0
sin t
2 2
a2 x2
x a tan t , t ;
2 2
ax
ax
x a.cos 2t , t 0;
2
ax
ax
x a.cos 2t , t 0;
2
x a b x
x a b a sin 2 t , t 0;
2
Ví dụ mẫu
2 3
Ví dụ 1: Giá trị của I
5
A. I
1 3
ln .
4 5
1
x x2 4
B. I
dx là
1 5
ln .
4 3
C. I
1 5
ln .
2 3
D. I
1 3
ln .
2 5
Hướng dẫn giải
Đặt u x 2 4 x 2 u 2 4 nên xdx udu
Đổi cận
x
5
u
3
2 3
Khi đó I
2 3
5
4
1
x2 x2 4
4
4
1
1
.udu 2
du.
2
u 4
3 u 4 u
3
.xdx nên I
4
Suy ra I
4
1 1
1
1
1 5
du
ln
u
2
ln
u
2
ln .
4 3u2 u2
4
4 3
3
Chọn B.
+ Đặt u x 2 4 .
+ Rút x 2 u 2 4 .
+ Đổi cận.
+ Phương pháp tách phân thức hữu tỉ.
TOANMATH.com
Trang 23
2
x
dx là
1
x
1
1
Ví dụ 2: Giá trị của I
A. I
11 1
ln 2.
3 2
B. I
11
2 ln 2.
3
C. I
11
4ln 2.
3
D. I 11 4 ln 2.
C. I
153
.
116
D. I
161
.
135
D. I
34
.
27
Hướng dẫn giải
Đặt u x 1 x u 2 1 nên dx 2udu.
Đổi cận
x
1
2
u
0
1
1
1
u2 1
4
.2udu 2u 2 2u 4
du
1
u
u
1
0
0
Khi đó I
2u 3
1 11
u 2 4u 4 ln u 1 4 ln 2.
3
0 3
Chọn C.
Đổi biến số dạng 1.
Đặt u x 1 .
e
1 3ln x .ln x
dx là
x
Ví dụ 3: Giá trị của I
1
A. I
116
.
135
B. I
116
.
153
Hướng dẫn giải
Đặt u 1 3ln x ln x
u2 1
1
2
nên dx udu .
x
3
3
Đổi cận
x
1
e
u
1
2
2
u. u 2 1 2
2
2 u 5 u 3 2 116
Khi đó I
. udu u 4 u 2 du
.
3
3
91
9 5 3 1 135
1
2
Chọn A.
sin 2 x sin x
dx là
1 3cos x
0
2
Ví dụ 4: Giá trị của I
A. I
16
.
27
B. I
43
.
27
C. I
11
.
27
Hướng dẫn giải
TOANMATH.com
Trang 24
Đặt u 1 3cos x cos x
u2 1
2
nên sin xdx udu .
3
3
Đổi cận
x
0
2
u
2
Ta viết I
2
1
sin x 2 cos x 1
1 3cos x
0
2
dx
0
2 cos x 1
sin xdx.
1 3cos x
u2 1
2
1
1
2
3
4 2u 3
2
4
2
Khi đó I
. udu 2u 1du
u
u
9 3
3
91
2
2
1
34
.
27
Chọn D.
Ví dụ 5: Giá trị của I
2
2
x2
1 x2
0
A. I
1
.
8 4
B. I
dx là
1
.
4 8
C. I
1
.
3 4
D. I
1
.
8 2
Hướng dẫn giải
Đặt x sin t dx cos tdt .
Đổi cận
x
0
2
2
u
0
4
4
Khi đó I
0
2
sin t.cos t
1 sin 2 t
1 1
t sin 2t
2 2
4
0
4
dt sin 2 tdt
0
14
1 cos 2t dt
2 0
1
.
8 4
Chọn A.
Đổi biến số dạng 2:
x sin t , với t ; .
2 2
6
Ví dụ 6: Giá trị của I
3 2
TOANMATH.com
1
x x2 9
dx là
Trang 25
