Mã nén lecture4 Lý thuyết số

1
Lecture 4: Giớithiệu Lý thuyếtsố
1.
1.
M
M
ộ
ộ
t s
t s
ố
ố
đ
đ
ị
ị
nh ngh
nh ngh
ĩ
ĩ
a
a
2.
2.
C
C
á
á
c s
c s
ố

ố
nguyên t
nguyên t
ố
ố
-
-
Prime Numbers
Prime Numbers
3. Phân tích ra thừa số nguyên tố - Prime Factorisation
4. Các số nguyên tố cùng nhau và greatest common divisor
(GCD)
5. Định lý Ferma nhỏ - Fermat's Little Theorem
6. Hàm Ơle ø(n)
7. Định lý Ole - Euler's Theorem
8. Kiểm tra tính nguyên tố -Thuật toán Miller - Rabin
9. Định lý phần dư Trung Hoa
2
Một số định nghĩa
•Tập số tự nhiên:
– N = {0, 1, 2, 3, 4, . . . }
•Tập số nguyên:
– Z = {0, ±1, ±2, ±3, . . . }
3
Các số nguyên tố - Prime Numbers
• Là các số nguyên dương chỉ có ướcsố là 1 và chính nó.
• Chúng không thểđượcviếtdướidạng tích của các số khác
•1 làsố nguyên tố, nhưng không quan tâm đếnnó
• 2, 3, 5, 7 là số nguyên tố; 4, 6, 8, 9, 10 không phảilàsố nguyên tố
•Cácsố nguyên tố là trung tâm của lý thuyếtsố

• Danh sách các số nguyên tố nhỏ hơn 200
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53
59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109
113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173
179 181 191 193 197 199
4
Phân tích ra thừasố nguyên tố
• Phân tích ra thừasố nguyên tố số N tứclàviếtnó
dướidạng tích của các số nguyên tố: n=a x b x c
–Vídụ: 91=7x13 ; 3600=2
4
x3
2
x5
2
• Bài toán phân tích ra thừa số nguyên tố là bài toán
khó.
5
Các số nguyên tố cùng nhau và greatest
common divisor (GCD)
•Haisố a và b không có ước chung nào ngoài 1, đượcgọi là nguyên
tố cùng nhau
–Vídụ: 8 và 15 là nguyên tố cùng nhau, vì ướccủa 8 là 1, 2, 4, 8,
còn ướccủa 15 là 1, 3, 5, 15. Chỉ có 1 là ước chung
•Ngượclạicóthể xác định ước chung lớnnhất -GCD bằng cách
trong các phân tích ra thừasố của chúng, tìm các thừasố nguyên tố
chung và lấybậclũythừanhỏ nhất.
–Vídụ: 300=2
1
x3

1
x5
2
18=2
1
x3
2
,suy ra
GCD(18,300)=2
1
x3
1
x5
0
=6
6
Định lý Ferma nhỏ
Fermat's Little Theorem
•Giả sử p là số nguyên tố và a là số tự nhiên thì
a
p
=a (mod p)
•Nếu p là số nguyên tố và GCD(a, p) = 1
a
p-1
= 1 (mod p)
–Vídụ:
2
7-1
mod 7 = 2

6
mod 7 = 64 mod 7 = 1
3
5-1
mod 5 = 3
4
mod 5 = 81 mod 5 = 1
• Định lý Fermat nhỏ được dùng trong khoá công khai và kiểm
tra tính nguyên tố:
7
Hàm Ole - ø(n)
•Tập đầy đủ các phầndư theo n là: 0, 1, 2, …, n-1
•Xéttập rút gọncủatậpphầndư trên bao gồm các số nguyên tố cùng
nhau vớin.
•Vídụ với n = 10
–Tập đầy đủ các phầndư là {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
•Tập rút gọn các phầndư nguyên tố cùng nhau với 10 là: {1,3,7,9}
•Số các phầntử củatập rút gọntrênlàgiátrị của hàm Ole ø(n)