De thi HSG lop 11 THPT Kon Tum

<span class='text_page_counter'>(1)</span>TRƯỜNG THPT KON TUM. THI CHỌN HS GIỎI CẤP TRƯỜNG NH 2012-2013 Môn: TOÁN - Lớp 11 Ngày thi: 31/01/2013 Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề). ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang). ĐỀ BÀI Câu 1. ( 3.0 điểm)  x 2  y 2 2  3 3 Giải hệ phương trình sau  x  2 y  2 x  y 0 .. Câu 2. ( 5.0 điểm) 1. Chứng minh rằng với mọi số thực m , phương trình: x3  m 2  3 x 2  m 2  3 x  1 0. . . . . luôn có ba nghiệm lập thành một cấp số nhân.. M x; y  2. Trong mặt phẳng Oxy xét phép biến hình f biến mỗi điểm  thành điểm M '  2 x  1;  2 y  3. . Chứng minh f là phép đồng dạng.. Câu 3. ( 3.0 điểm) Đặt. 2 f  n   n2  n 1 1. . un . . . Xét dãy số.  un  sao cho. f  1 . f  3 . f  5  ... f  2n  1 , n  * f  2  . f  4  . f  6  ... f  2n . . Tính. lim n un. . .. P  2  12. và. Câu 4. ( 3.0 điểm) Tìm tất cả các đa thức. P  x. có hệ số thực sao cho:. P x2 x 2 x2 1 P  x .  . . . với mọi x   .. Câu 5. ( 3.0 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a  b  c 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu. thức. P. a3 a 2  b2. . Câu 6. ( 3.0 điểm). b3 b2  c 2. . c3 c2  a2 ..

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi. Gọi N, P lần lượt là trung điểm của SB và AD. Gọi I là trung điểm của NP và G là giao điểm của SI với mp(ABCD). Tính tỷ IS số IG .. ----------- HẾT -----------.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM Câu 1. Ý. Nội dung Ta có:. 3. 3. 3. Điểm. 3. x  2 y  2 x  y 0  2 x  4 y  2  2 x  y  0. 0.5.  2 x3  4 y 3  x 2  y 2  2 x  y  0. . . 0.5.  2 x3  4 y 3  2 x3  x 2 y  2 xy 2  y 3 0 2 2  4 x3  x 2 y  2 xy 2  5 y 3 0   x  y  4 x  3 xy  5 y 0  x  y. . 2. 2. 1. . 0.5 0.5. 2. Thay x  y vào PT x  y 2 ta được y 1 .. 0.5. 1;  1 ,   1;1 Vậy hệ có hai nghiệm  .. 0.5. x3  1   m2  3 x  x  1 0  PT đã cho tương đương. 0.5.  x 1  2 2   x  1  x 2  m2  2 x  1 0  x  m  2 x 1   . . . . .  1. 4 2 PT (1) có  m  4m 0 và PT (1) có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn. x1.x2 1 12 .. Suy ra x1,1, x2 lập thành cấp số nhân. Vậy PT ban đầu luôn có ba nghiệm lập thành cấp số nhân. 2. Lấy. N  x1; y1 . thì. f  N   N '  2 x1  1;  2 y1  3. 0.5. .. có M ' N ' 2 MN . Vậy f là phép đồng dạng với tỉ số đồng dạng là 2.. .   . 2. . Do đó. . . 2. . . . 4 n 2  4n  2 4n 2  1 2 f  2n  1 2n  1  1    f  2n  4n 2  1 4n 2  4n  2  2n  1 2  1.  . . . 1.0 1.0 0.5. f  n   n 2  1  n   1  n 2  1  2 n n 2  1  n 2  1   Ta có 2  n 2  1 n2  2n  2  n2  1   n  1  1  . . 0.5 0.5. 2 2 2  2 2 M ' N '2  2 x1  2 x     2 y1  2 y  4   x1  x    y1  y   4MN Ta có: Từ đó suy ra với M, N tùy ý và M’, N’ lần lượt là ảnh của chúng qua f ta. 3. 0.5.  . 0.5 0.5 0.5. 2. un . Suy ra. 12  1 52  1 92  1  2n  1  1 1 . . ...  52  1 92  1 132  1  2n  1 2  1 2n 2  2n  1. n un . Suy ra Vậy 4. lim n un . 0.5 .. n 2n 2  2n  1 . 1 2. P  0  0. Cho x 0 ta được. 0.5 0.5. P 1 2 P  1  P  1 0 , cho x 1 ta được  . 0.5.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> và. P   1 0. Giả sử Ta có đến 1 .. P  x. . có nghiệm khác 0 và khác 1 .. P t 2 t 2 t 2  1 P  t  0.  . P  x. . . 2 suy ra t cũng là nghiệm. Điều này dẫn. có vô số nghiệm thực, vô lí. Vậy. P  x. chỉ có ba nghiệm là 0 và. P x2.   có bậc là 2n và x2  x2 1 P  x  có. P  x. Gọi n là bậc của . Khi đó bậc là n + 4. Suy ra 2n n  4  n 4 . P  x. Như thế đa thức 2. P  x  a  x  1 x  x  1. 2. hoặc. P  x  a  x  1 x 2  x  1. hoặc. Hay a 2 hoặc a 1 hoặc. Vậy 5. a3 2 2 Ta có: a  b. a. 2 3. P  x   x  1 x 2  x  1. P  x   x  1 x. . a  b. thỏa mãn.. . 0.5. a 2  b2 ab. 0.5. a 2  b2. a2  b2 b 2 a  b a  2 a2  b2 b3. Tương tự. b2  c2. b . 0.5 c3. c 2,. P. c2  a2 a3 2. a b. 2. . c . b3 2. b c 1 1 P a b c  2 khi 3. Vậy GTNN của. Cộng vế theo vế ta được. 0.5. 0.5.  x  1. a a 2  b 2  b2 . 0.5. .. P 2 12 Thay x 2 ta có   suy ra 6a 12 hoặc 12a 12 hoặc 18a 12. 2. 0.5. có một trong các dạng sau:. P  x  a  x  1 x  x  1. Thử lại ta thấy. 0.5. 2. . a 2. 0.5 c3 2. c a. 2. . a b c 1  2 2. 0.5 0.5. 6. 0.5. Qua N dựng đường thẳng song song với SG cắt BP tại H Suy ra G là trung điểm PH. 0.5 0.5.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Và H là trung điểm BG 1 1 IG  NH , NH  SG 2 2 Suy ra SI 3 Suy ra IG .. 0.5 0.5 0.5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>