Thực hiện dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học bộ môn toán thể hiện qua nội dung hệ thức lượng trong tam giác hình học 10 luận văn thạc sỹ

1
Bộ GIáO DụC Và ĐàO TạO
Trờng đại học vinh

đặng thị thùy dung

Thực hiện dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề
Trong dạy học bộ môn toán thể hiện qua nội dung
Hệ thức lợng trong tam giác - hình học 10
CHUYÊN Ngành: lý luận và phơng pháp dạy học bộ môn toán
MÃ số: 60.14.10

Luận văN THạC Sỹ GIáO DụC HọC

Ngời híng dÉn khoa häc: TS. Ngun ®inh hïng

VINH - 2011
4Më Đầu
1. Lý do chọn đề tài
1.1. Do nhu cầu của sự phát triển xà hội đối với việc đào tạo nguồn nhân
lực trong giai đoạn mới, do sự phát triển mạnh mẽ có tính chất bùng nổ của khoa
học công nghệ, do có những thay đổi trong đối tợng giáo dơc, do xu thÕ héi nhËp
trªn thÕ giíi nªn níc ta hiện nay đang tiến hành đổi mới giáo dục và đặt trọng
tâm vào việc đổi mới phơng pháp dạy học, trong đó có phơng pháp dạy học môn
Toán.


2
1.2. Nghị quyết Hội nghị lần thứ V Ban chấp hành Trung ơng Đảng Cộng
sản Việt Nam (khóa VIII, 1997) khẳng định: Phải đổi mới phơng pháp giáo
dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp t duy sáng

tạo của ngời học. Từng bớc áp dụng những phơng pháp tiên tiến và phơng tiện
hiện đại vào quá trình dạy học, bảo đảm điều kiện và thời gian tự học, tự nghiên
cứu cho HS".
Luật Giáo dục níc Céng hßa x· héi chđ nghÜa ViƯt Nam (2005) quy định:
Phơng pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động,
sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dỡng
phơng pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn".
1.3. ở nớc ta hiện nay phơng pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề
đà đợc vận dụng rộng rÃi trong các nhà trờng phổ thông nhng nói chung còn đơn
điệu, với kiểu dạy học thầy truyền thụ kiến thức còn trò thụ động ngồi nghe. Một
trong những nguyên nhân dẫn tới điều đó có thể là do giáo viên cha nắm vững
phần lý luận, giảng dạy mang tính tự phát, dựa vào kinh nghiệm, không xuất
phát từ mục tiêu đào tạo làm cho quá trình dạy học trở nên nghèo nàn, làm
giảm ý nghĩa giáo dục cũng nh hiệu quả bài giảng.
1.4. ĐÃ có nhiều tác giả nghiên cứu về dạy học phát hiện và giải quyết vấn
đề nhng cha kết hợp với việc quán triệt quan điểm hoạt động thể hiện trên một số
nội dung cụ thể. Với những lý do trên chúng tôi chọn đề tài là: "Thực hiện dạy
học phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học bộ môn Toán thể hiện qua
nội dung Hệ thức lợng trong tam giác - Hình học 10".
2. mục đích nghiên cứu
Góp phần làm sáng tỏ một số vấn đề cơ sở lý luận và thực tiễn về Quán
triệt quan điểm hoạt động trong dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề thông
qua nội dung Hệ thức lợng trong tam giác nhằm nâng cao hiệu quả giảng dạy.
3.Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu về các xu hớng dạy học hiện đại, đặc biệt là PPDH Phát hiện
và giải quyết vấn đề.
- Nghiên cứu về định hớng đổi mới PPDH trong giai đoạn hiện nay.
- Nghiên cứu việc quán triệt quan điểm hoạt động trong dạy học môn
Toán.
- Nghiên cứu về thực trạng dạy học Toán ở trờng THPT.

- Xây dung các quan điểm chủ đạo trong việc tổ choc thực hiện DH phát
hiện và giải quyết vấn đề.
4. Giả thuyết khoa học
Trong dạy học Toán nói chung và dạy học Hệ thức lợng trong tam giác nói
riêng nếu quan tâm đúng mức đến việc quán triệt quan điểm hoạt động trong dạy


3
học phát hiện và giải quyết vấn đề thì sẽ góp phần đổi mới phơng pháp dạy học
và nâng cao chất lợng dạy học môn Toán.
5. Phơng pháp nghiên cứu
5.1. Nghiên cứu lý luận
Tìm hiểu nghiên cứu các tài liệu về các vấn đề có liên quan đến đề tài luận văn.
5.2. Quan sát:
Dự giờ, quan sát biểu hiện của GV và HS (về nhận thức, thái độ, hành vi)
trong hoạt động dạy và học Toán (trớc và trong khi thực nghiệm).
5.3. Điều tra thực tiễn:
- Thực trạng tình hình dạy học Toán ở trờng Phổ thông.
- Nhận thức của GV và HS về quan điểm hoạt động trong dạy học phát
hiện và giải quyết vấn đề.
5.4. Thực nghiệm s phạm:
Tổ chức thực nghiệm s phạm để kiểm chứng tính khả thi và hiệu quả của
đề tài.
6. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo luận văn gồm có 3 chơng :
Chơng 1: Cơ sơ lý luận và thực tiễn
1.1. Quan điểm hoạt động trong dạy học.
1.1.1. Khái niệm hoạt động
1.1.2. Quan điểm hoạt động trong dạy học toán.
1.1.3. Các t tởng chủ đạo của quan điểm hoạt động.

1.2. Phơng pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề.
1.2.1. Khái niệm về dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề.
1.2.2. Cơ sở khoa học của phát hiện và giải quyết vấn đề.
1.2.3. Hoạt động phát hiện và giải quyết vấn đề
1.2.4. Gợi động cơ và hớng đích cho các hoạt động.
1.2.5. Những cách thông dụng để tạo tình huống gợi vấn đề
1.3. Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề theo tinh thần quán triệt quan điểm
hoạt động
1.3.1. Dạy học khái niệm
1.3.2. Dạy học định lý
1.3.3. Dạy học quy tắc, phơng pháp
1.3.4. Dạy học giải bài tập
1.4. Thực trạng của việc đổi mới phơng pháp dạy học ở trờng phổ thông
hiện nay.
Chơng 2: Thực hiện Dạy học phát hiện và giải quyết
vấn đề phần hệ thức lợng trong tam giác
2.1.định hớng đổi mới phơng pháp dạy học trong giai đoạn hiện nay.


4
2.2. Một số quan điểm chủ đạo trong việc tổ chức thực hiện dạy học phát
hiện và giải quyết vấn đề phần Hệ thức lợng trong tam giác.
2.2.1. Quan điểm 1: Trong quá trình dạy học cần tạo động cơ, nhu cầu và
hứng thú cho HS phát hiện tri thức mới.
2.2.2. Quan điểm 2: Xây dựng hệ thống câu hỏi để chun b dạy học mỗi
một nội dung trong đó mỗi câu hỏi là một tình huống gợi vấn .
2.2.3. Quan điểm 3: Tăng cờng hoạt động nhận dạng, thể hiện, hoạt động
ngôn ngữ nhằm hình thành và củng cố tri thức mới.
2.2.4. Quan điểm 4: Tạo tình huống để HS rèn luyện kỹ năng phát hiện và
giải quyết vấn đề.

2.2.5. Quan điểm 5: Hình thành cho hc sinh năng lực d oán tính chất,
lời giải bài toán thông qua các hoạt động: Quy lạ về quen, xét bài toán tơng tự,
khái quát hoá, nhìn nhận bài toán dới nhiều cách giải...
Chơng 3 : thực nghiệm s phạm
3.1. Mục đích thực nghiệm
3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm
3.4. Kết luận
7. Đóng góp của luận văn
7.1. Về lí luận.
Luận văn làm rõ quan điểm hoạt động trong dạy học và cơ sở lý luận của
PPDH phát hiện và giải quyết vấn đề theo tinh thần quán triệt quan điểm hoạt
động.
7.2. Về thực tiễn.
Luận văn đà xây dựng 5 quan điểm chủ đạo trong việc tổ chức thực hiện
dạy học PH và GQVĐ, 5 quan điểm này có thể vận dụng tốt trong DH môn toán
ở trờng THPT góp phần đổi mới PPDH trong giai đoạn hiện nay.

Chơng 1: cơ sở lý luận và thực tiễn
1.1. Quan điểm hoạt động trong dạy học
1.1.1. Khái niệm hoạt động


5
- Dới góc độ triết học, HĐ là quan hệ biện chứng của chủ thể và khách
thể. Trong quan hệ đó, chủ thể là con ngời, khách thể là hiện thực khách quan.
ở góc độ này, HĐ đợc xem là quá trình mà trong đó có sự chuyển hóa lẫn
nhau giữa hai cực chủ thể - khách thể.
- Dới góc độ sinh học, HĐ là sự tiêu hao năng lợng thần kinh và bắp thịt
của con ngời khi tác động vào hiện thực khách quan nhằm thỏa mÃn nhu cầu vật

chất và tinh thần của con ngời.
- Dới góc độ tâm lý học, xuất phát từ quan điểm: Cuộc sống của con ngời
là chuỗi các HĐ, giao tiếp kế tiếp nhau, đan xen vào nhau.
HĐ là mối quan hệ tác động qua lại giữa con ngời và thế giới (khách thể)
để tạo ra sản phẩm về phía thế giới và cả về phía con ngời (chủ thể) [37, tr55].
HĐ là quy lt chung nhÊt cđa t©m lý häc con ngêi. Nó là phơng thức tồn
tại của cuộc sống chủ thể. HĐ sinh ra từ nhu cầu nhng lại đợc điều chỉnh bởi
mục tiêu mà chủ thể nhận thức đợc.
Theo L.S. Vgôtsky, HĐ có hai chiều:
- Chiều thứ nhất là gửi vào trong sản phẩm (lời giải một bài toán chẳng
hạn) những phẩm chất và năng lực của mình, kể cả năng lực thẩm mỹ
- Chiều ngợc lại là con ngời có thể lấy ra những gì đà gửi vào sản
phẩm và trở thành tri thức, vốn liếng riêng của chính mình (ví dụ những phơng
pháp vận dụng sáng tạo để giải bài toán) để tiếp tục sử dụng nó. Theo đó ta có
thể biểu diễn cơ chế phát sinh HĐ bằng sơ đồ sau:

Nhu cầu ca chủ th

Nhu cu c chủ th nhận thức v biến
thành lòng mong muốn thoả mÃn nhu cầu =
ng c hoạt ộng

i tng khách quan có
khả năng thoả mÃn nhu
cầu v c chủ thể
chọn

Mô hình lÝ tưởng của đối tượng bị biÕn đổi,
tøc là của kết quả dự kiến ca hoạt ộng =
Mục ích ca hoạt ộng

Pha 1

Pha 2

Theo trên, hoạt ng là một h ton vn gm có hai thành t c bản là chủ
thể và i tợng. Chúng tác ng ln nhau, thâm nhp vào nhau và sinh thành ra
nhau tạo ra sự phát triển của HĐ.


6
Tính chủ thể đó là con ngời HS, có nhu cầu hiểu biết, khám phá, giải
quyết một i tợng khách quan (VÝ dụ: định nghÜa mét kh¸i niệm, chøng minh
mét nh lí....). Đây chính là tính có i tợng của HĐ, là mục tiêu của chủ thể,
nhm thỏa mÃn nhu cÇu (vật chÊt hay tinh thần) cđa chđ thĨ. Do ®ã nã mang tÝnh
cuốn hót, hấp dẫn đồng thêi chịu sù chi phối, lµm biÕn đổi cđa chđ thĨ trong c
quá trình HĐ cho n khi kết thúc.
1.1.2. Quan iểm hoạt động trong dạy hc Toán
Con ngời sống trong HĐ, học tập din ra trong HĐ. Vn dng iu đó
trong dạy hc môn Toán gi là học tập trong HĐ và bằng HĐ.
Jean Piaget (1896 - 1980) - Nh tâm lý häc, nhà sinh häc, ngêi Thụy Sỹ đ·
nghiªn cøu và i n kết luận: Tri thức không phi truyn thơ tõ ngêi biÕt tíi ngêi
kh«ng biÕt, mà tri thøc c chính cá thể xây dựng, thông qua HĐ.
Những nm 1925 - 1940, L.S. Vgôtsky (1896 1934) - Nh tâm lý hc Xô
Viết, đà ra những luận im c bản xây dựng nn tâm lý hc kiu mi.
- T©m lý học Macxit, phủ nhËn t©m lý học duy tâm thn bí. Xuất phát từ
những luận im của L.S. Vgôtsk , A.N. Leonchiev (1893 - 1979) - Nh tâm lý
hc Macxit kiệt xuất, cùng các cộng sự, đà nghiên cứu, i n kết luận quan trọng
là HĐ là bản thể của tâm lý, nghĩa là HĐ có i tợng của con ngời chính là nơi
sản sinh ra tâm lý con ngời. Bằng HĐ và thông qua HĐ, mỗi ngời tự sinh thành ra

mình, tạo dựng và phát triển ý thức của mình.
Cống hiến to lớn của Leonchiev là chỉ ra bản chất của tâm lý, với các luận
iểm sau:
- HĐ là bản thể của tâm lý.
- Tâm lý, ý thức là sản phẩm của HĐ và làm khâu trung gian con ngời
tác ng vào i tợng; các hiện tợng tâm lý u có bản chất HĐ.
- Quan h giữa tâm lý và HĐ là quan h giữa một bên là iu kiện, mục
đích, ng c và một bên là thao tác, hnh ng, HĐ. [23, tr17]
Về vai trò của HĐ học tập trong qúa trình nhận thức, tâm lý hc hiện i
cho rằng nhân cách của HS c hình thành và phát triển thông qua các HĐ chủ
ng, cã ý thøc. Ngay tõ xa xưa, trong d©n gian ta đà có câu trm hay không
bằng tay quen. Nhiều danh nhân cng đà từng nói những câu bt h, như “Suy


7
nghĩ tc là hnh ng (Jean Piaget), Cách tt nhất để hiĨu lµ lµm” (Kant),
“Học để hành, học vµ hành phi i ôi (H Chí Minh)...
Theo Nguyn Bá Kim, có thể nói vn tt về quan im HĐ trong dạy hc
là: Tổ chức cho HS học tập trong HĐ và Bằng HĐ tự giác, tích cực, sáng tạo. Các
thành t c sở của PPDH là ng c HĐ, các HĐ và HĐ thành phần, tri thức
trong HĐ, phân bậc hoạt ộng.
nh hớng hoạt động hóa ngời học thực chất là làm tốt mối quan hệ giữa 3
thành phần: Mục ích, nội dung, và phng pháp dạy hc. Bi vì:
- HĐ cđa HS vừa thĨ hiƯn mơc đÝch d¹y học, vừa thể hiện con ng t
mục đích và cách thức kiểm tra vic đạt mục ích.
- HĐ của HS thể hiện sự thng nhất của những mục ích thành phần (4
phng din: tri thức b môn, k năng b môn, năng lùc trÝ tuệ chung vµ phẩm
chÊt, tư tưởng, đạo đức, thm m theo 3 mt: tri thức, k năng, thái độ).
Định híng H§ hãa ngêi học bao hàm mét số lot những ý tng lớn c
trng cho các phng pháp dạy hc hiện i.

- Xác lập v trí chủ thể của ngời hc.
- Dạy vic hc, dạy cách hc thông qua ton b quá trình dạy hc.
- Biến quá trình o tạo thành quá trình tự o tạo.
- Phát huy tính tự giác, tích cực, sáng tạo của ngời hc.
Trong dạy hc, mỗi HĐ có thể có một hay nhiều chức năng, có thể là tạo
tin xuất phát, có thĨ lµ lµm việc víi néi dung mới, cã thĨ là cng c...
Những HĐ nh: Phát hiện và sửa chữa sai lầm cho HS, vn dng toán hc
vào thực tin là những HĐ rt áng lu ý.
Mỗi nội dung dạy hc u liên h với những HĐ nhất nh, ó là các HĐ
c thực hiện trong quá trình hình thành hoc vn dng nội dung đó.
Nội dung dạy hc môn toán thờng liên quan n các dng HĐ sau:
- Nhận dng và thể hiện một khái nim; một phng pháp, một quy tc,
một nh lý.
- Những HĐ toán hc phức hợp: chứng minh, nh nghĩa, giải toán Bằng
cách lập phng trình, giải toán dựng hình, giải toán qu tích...


8
- Những HĐ trí tu phổ biến trong toán hc: lật ngược vÊn đề, xÐt tÝnh gi¶i
được (cã nghiƯm, nghiƯm duy nhất,...), phân chia trờng hp...
- Những HĐ trí tu chung: phân tích, tổng hp, so sánh, xét tơng tự, tru tợng hóa, khái quát hóa...
- Những HĐ ngôn ng: khi yêu cầu HS phát biu, giải thích một nh
nghĩa, trình by lời giải một bài toán...
1.1.3. Các t tng chủ o của quan im hoạt động
Theo tác gi Nguyn Bá Kim, quan im HĐ trong PPDH c thể hiện
những t tng chủ o sau ây:
a. Phát hiện những hoạt động tơng thích với nội dung.
Một HĐ là tơng thÝch víi mét néi dung nếu nã góp phÇn đem lại kết quả
giúp chủ thể chim lnh hoc vn dng nội dung ó. Từ kết quả ây c
hiểu là sự biến i, phát triển bên trong chủ thể, phân bit với kết quả tạo ra

môi trờng bên ngoi.
Chẳng hạn, tìm nh lý côsin trong tam giác (a2 = b2 + c2 - 2bcosA), GV






cã thÓ đặt ra H§ cho HS: “tõ đẳng thøc vectơ BC  AC  AB , h·y b×nh phương 2
vế để được kÕt quả mi hoc yêu cầu HĐ là di a cần tìm và các di b, c
à cho là di của các vect, từ mi quan h giữa các vect ó hÃy chuyn
thành ng thức di vect tìm ra cách chứng minh hoc hÃy chuyn hóa
từ đẳng thøc thøc độ dài thµnh đẳng thøc vectơ để tìm ra cách chứng minh.
Vic phát hiện những HĐ tơng thích với nội dung cn c một phần quan
trọng vào sự hiểu biết về những HĐ nhm lnh hi những dạng néi dung kh¸c
nhau.
Kh¸i niệm, định lý hay phương ph¸p, về những con ng khác nhau
lnh hi từng dng nội dung, chẳng hạn: con ng quy np hay suy din xây
dựng khái nim, con ng thun túy suy diễn hay cã pha suy đo¸n để häc tËp
định lý…
Trong vic phát hiện những HĐ tơng thích với nội dung, ta cần chú ý xem
xét những dng HĐ khác nhau trên những bình din khác nhau, những dng HĐ
sau ây cÇn được đặc biệt chó ý:


9
- Nhận dng và thể hiện
- Những HĐ toán hc phc hp
- Những HĐ trí tu phổ biến trong toán hc
- Những HĐ trí tu chung

- Những HĐ ngôn ng
Ví d:
*) Hoạt động nhận dạng và thể hiện:
Dạy học Định lý hàm số côsin
- Khi tam giác vuông (chẳng hạn A = 900), định lý trên trở thành định lý
quen thuộc nào ?
- HÃy tính giá trị cosA, cosB, cosC theo a, b, c từ định lý hàm số côsin ?
Thông thờng, những HĐ va nêu trên liên quan mt thiÕt víi nhau, thêng
hay đan kÕt vµo nhau. Céng víi việc thĨ hiƯn mét kh¸i niệm, mét định lÝ hay mét
phương ph¸p, thêng diễn ra sù nhËn dạng víi tư cách là những HĐ kiểm tra.
*) Những hoạt động toán học phức hợp.
ó là các HĐ nh chứng minh, nh nghĩa, giải toán Bằng cách lập
phng trình, giải toán dựng hình, giải toán qu tích,... thờng xuất hiện lp i lp
lại nhiều ln trong SGK toán phổ thông. Cho HS tp luyn những HĐ này s làm
cho h nm vng những nội dung toán hc và phát triển những k năng và năng
lực Toán hc tơng ng.
*) Hoạt động ngôn ngữ.
Sau khi học định lý côsin, HS đà viết đợc c«ng thøc tÝnh cosA, cosB, cosC
theo a, b, c, chóng ta yêu cầu HS phát biểu công thức đó bằng lời của mình.
(*) Những hoạt động trí tuệ chung.
Những HĐ trí tu chung nh phân tích, tổng hp, so sánh, xét tơng tự,
tru tợng hóa, khái quát hóa,... cng c tiến hnh thờng xuyên khi HS học tập
môn toán.
Ví d:
Từ bài toán: Gi G là trọng tâm tam giác ABC.
a) Chøng minh r»ng víi mọi điểm M ta lu«n cã:
MA2 + MB2 +MC2 = 3MG2 + GA2+ GB2 + GC2.

(1)

10
b) T×m tập hợp điểm M sao cho MA2 + MB2 +MC2 = k2, k là một s cho
trc.
ây là bài toán trong SGK Hình hc 10, phần lớn HS d dng giải c
bài toán này nh kiến thức vect. Bằng các HĐ, GV hớng dn HS c bit hóa
bài to¸n trong c¸c trêng hợp sau ta sẽ cã được bài toán mi:
Hoạt động 1: c bit hóa im M i với công thức (1).
GV: Cho điểm M trùng với tâm O đờng tròn ngoại tiếp ABC ta có kết
quả nh thế no?
Mong đợi ở HS:
Kết quả: GA2+ GB2 + GC2 = 3(R2 - OG2).
GV: Từ đó hÃy phát biểu bài toán mới.
Bài toán: Gi G và O ln lt là trọng tâm, tâm ng tròn ngoi tiếp
ABC.
Chứng minh r»ng: GA2+ GB2 + GC2 = 3(R2 - OG2)”.
Hoat ®éng 2: Đặc biệt hãa điểm M để đại lỵng T = MA2 + MB2 +MC2 lớn
nhất, nh nhất.
GV: Đại lỵng T = MA2 + MB2 +MC2 lín nhÊt, nhá nhất khi nào?
Mong đợi ở HS:
T = MA2 + MB2 +MC2 lín nhÊt, nhỏ nhÊt khi vµ chØ khi MG lín nhÊt, nhỏ
nhÊt.
Tõ đã GV đưa ra c¸c vÊn đề:
- Tìm điểm M trên đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC®Ĩ T lín nhÊt, nhá
nhÊt?
Ta cã MG2 = OM2 + OG2 - 2OM.OG.cos ( là góc giữa OM vµ OG, G
 O). Suy ra:
+ MG lín nhÊt khi vµ chØ khi cos  = -1   = 1800  M lµ giao điểm
cđa tia GO víi đường tròn (O).
+ MG bé nhất khi và chỉ khi cos  = 1   = 00  M lµ giao im của

tia OG với ng tròn (O).
-Tìm M trên một cạnh của tam giác ABC (chẳng hạn trên cạnh BC) để T
bé nhất?
M là hình chiu của G lên BC.


11
- Tìm M trên đờng thẳng D bất kỳ để T bé nhất?
M là hình chiu của G trên d.
Hoạt ®éng 3: Đặc biệt hãa tam gi¸c ABC.
GV: Cho ABC đều cạnh a, G là trọng tâm, khi đó với mọi điểm M công
thức (1) viết lại nh thế nào?
Mong đợi ở HS:
Do ABC u nên GA = GB = GC =

a 3
. Do đã:
3

MA2 + MB2 +MC2 = 3MG2 + a2
GV: Nếu cho M thuộc đờng tròn ngoại tiếp tam giác đều ABCthì công
thức (1) viết lại nh thế nào?
Mong đợi ở HS:
M thuc ng tròn ngoi tiếp tam giác u ABC nên MG =

a 3
. Do ó:
3

MA2 + MB2 +MC2 = 2a2 = 6R2.

Hoạt động 4: Khái quát hóa bài toán, gi thiết tam giác thành t giác
ABCD ta s có các kết quả nh th no?.
- Nếu ta thay đổi giả thiết tam giác thành tứ giác ABCD ta sẽ có kết quả
nh thế nào?
- HÃy khái quát bài toán cho n điểm A1, A2, A3,..., An ?
Trong mặt phẳng cho hệ n điểm A1, A2, A3,..., An:
 
 
a. CMR tồn t¹i duy nhÊt điểm G thỏa m·n: GA1  GA 2  ...  GA n 0
im G c gi là trọng tâm của hệ n điểm.
b. CMR víi mọi điểm M ta lu«n cã:
MA12  MA 2 2  ...  MA n 2 nMG 2  GA12  GA 2 2  ...  GA n 2
c. Víi c¸c số thùc m1, m2,..., mn tháa m·n m1 + m2 +...+ mn 0. CMR tồn


 
t¹i duy nhÊt điểm I thỏa m·n: m1 IA1  m 2 IA 2  ...  m n IA n 0 . I gi là tâm t cự
cđa hệ n điểm A1, A2,..., An. Khi đã víi mọi điểm M ta cã:
m1 MA1 2  m 2 MA 2 2  ...  m n MA n 2
 m1  m 2  ...  m n  MI 2  m1IA1 2  m 2 IA 2 2  ...  m n IA n 2


12
Nh vy xuất phát từ một bài toán n gin, bằng cách tổ chức các HĐ
c bit hóa, khái quát hoá Ã thu c một kết quả khá thú v.
(*) Những hoạt động trí tu phổ biến trong toán học
Những HĐ trí tu phổ biến trong toán hc rt quan trọng trong môn toán,
nhng cng din ra c những môn hc khác na, ó là: lt ngc vấn , xÐt
tÝnh gi¶i được (cã nghiƯm, cã nghiƯm duy nhÊt, nhiỊu nghiệm), phân chia trờng
hp,...

Ví dụ: Hình thành định lý đảo của định lý Pitago.
Đặt vấn đề: Trong tam giác vuông, bình phơng cạnh huyền bẳng tổng
bình phơng của hai cạnh góc vuông.
Vậy, ngợc lại Nếu một tam giác có bình phơng một cạnh bằng tổng bình
phơng của hai cạnh còn lại thì tam giác đó có phải là tam giác vuông không?.
b. Phân tích hoạt động thành những hoạt động thành phần:
Trong quá trình HĐ, nhiều khi một HĐ này có thể xuất hiện nh một
thành phần của một HĐ khác. Phân tích c một HĐ thành những HĐ thành
phần là biết c cách tiến hnh HĐ ton b, nh ó có thể va quan tâm rèn
luyn cho HS HĐ tồn bộ, vừa chó ý cho häc tËp luyện t¸ch riêng những HĐ
thành phần khó hoc quan trọng khi cần thiết.
Ví dụ: Dạy học Định lý về phơng tích của một điểm đối với một đờng tròn.
Định lý về phơng tích của một điểm đối với một đờng tròn đợc phát biểu
nh sau: Cho đờng tròn (O; R) và một điểm M cố định. Một đờng thẳng thay đổi
đi qua M và cắt đờng tròn tại hai điểm A và B, khi đó tích vô hớng
một số không đổi.

MA.MB

là

Để dẫn dắt HS phát hiện và chứng minh định lý này, GV có thể tổ chức
cho HS thực hiện các HĐ thành phần sau:
Hoạt động 1:
- Với điểm M cố định hÃy vẽ tiếp tuyến MT, khi đó những đại lợng nào là
không thay đổi ?
B
Hoạt động 2: Suy đoán (đặc biệt hoá)
- Khi A B T thì

MA.MB

=?

A

Mong đợi ë HS:
MA.MB

.O

M
= MT2 = MO2 - OT2 = d2 - R2.
T


13
- Khi cát tuyến MAB đi qua O thì tích

MA.MB

=?

Mong ®ỵi ë HS:
MA.MB ( MO  OA )( MO  OB)

=

MO OA

M

= d2 - R2

A

.O

B

Hoạt động 3:
- Từ hai trờng hợp trên, hÃy dự đoán kết quả cho trờng hợp cát tuyến MAB
thay đổi bất kỳ.
Mong đợi ở HS dự đoán:

MA.MB

= d2 - R2.

Hoạt động 4:
- HÃy chứng minh định lý.
c. Lựa chn hoạt động da vào mục ích:
Nói chung, mỗi nội dung thờng tiềm tàng nhiều HĐ. Tuy nhiên, nếu
khuyến khích tất cả các HĐ nh thế thì có thể sa làm cho HS thêm rối ren. Để
khắc phục tình trạng này, cần sàng lọc những HĐ đà phát hiện đợc để tập trung
vào một số mục đích nhất định. Việc tập trung vào những mục đích nào đó căn
cứ vào tầm quan trọng của mục đích này đối với việc thực hiện những mục đích
còn lại.
Ví dụ:
Với bài toán: Cho 2 điểm A, B cố định. Tìm quỹ tích những điểm M sao

cho: MA2 + MB2 = k2 (k là số cho trớc).
Trong trờng hợp này, thầy giáo cần lựa chọn HS các HĐ tập trung vào
những mục đích chính sau:
- HS nắm vững công thức độ dài đờng trung tuyến, nắm vững định nghĩa
đờng tròn.
- Rèn luyện năng lực dự đoán, phân tích.
d. Tp trung vào những hoạt động toán hc:
Trong khi lựa chọn HĐ, để đảm bảo sự tơng thích của HĐ đối với mục
đích dạy học, ta cần nắm đợc chức năng mục đích và chức năng phơng tiện của
HĐ và mối liên hệ giữa hai chức năng này. Trong môn toán, nhiều HĐ xuất hiện
trớc hết nh phơng tiện để đạt đợc những yêu cầu toán học: Kiến tạo tri thức, rèn
luyện kỹ năng toán học. Một số trong những HĐ nh thế nổi bật lên do tầm quan
trọng của chúng trong toán học, trong các môn học khác cũng nh trong thực tế
và việc thực hiện thành thạo những HĐ này trở thành một trong những mục đích
dạy học. Đối với những HĐ này ta cần phối hợp chức năng mục đích và chức
năng phơng tiện theo công thức của Faust:


14
Thực hiện chức năng mục đích của HĐ trong quá trình thực hiện chức
năng phơng tiện. [21, tr29]
e. ng c hoạt động:
Vic học tập tự giác, tích cực, chủ ng và sáng tạo òi hỏi HS phi có ý
thức về những mục ích t ra và tạo c ng lực bên trong thúc y bản thân h
HĐ t các mục ích ó. iu này c thực hiện trong dạy hc không chỉ n
gin Bằng vic nêu ra mục ích m quan trọng hn là do gợi ng c.
Gợi ng cơ lµ lµm cho HS cã ý thøc vỊ ý nghĩa của những HĐ và của i
tợng HĐ. Gợi ng c nhm làm cho những mục ích s phạm biến thành những
mục ích của cá nhân HS, ch không phi chỉ là sự vào bài, ặt vấn một cách
hình thức.

những lớp dới, thầy giáo thờng dùng những cách nh cho im, khen
chê, thông báo kết quả học tập cho gia ình... gợi ng c. Cng lên lớp cao
cùng với sự trởng thành của HS, với trình nhận thức và giác ng chính tr
ngy cng c nâng cao, có những cách gợi ng c xuất phát từ nội dung, hớng vào những nhu cầu nhận thức, nhu cầu của i sống, trách nhiệm i với xÃ
hi... ngy cng tr nên quan trọng.
Gợi ng c không phi chỉ là vic làm ngn ngi lúc bắt u dạy một tri
thøc nào đã (thêng lµ mét bµi học), mà phải xuyên sut quá trình dạy hc. Vì
vy, có thể phân biệt gỵi động cơ mở đầu, gỵi động cơ trung gian và gợi ng c
kết thúc.
i. Gợi ng c m đầu:
Theo Pietzsch - 1980 (tr 5 - 7)
Gỵi động cơ m u xuất phát từ thực tế hoặc từ nội b toán hc. Khi gợi
ng c xuất phát từ thực tÕ, cã thĨ nªu lªn:
- Thùc tÕ gần gũi xung quanh HS
- Thùc tÕ x©y dùng rộng lín (kinh tÕ, k thut, quc phòng...)
- Thực tế những môn hc và khoa hc khác
Trong vic gợi ng c xuất phát từ thực tế, ta cần chú ý những iu kiện sau:


15
Vấn t ra cần m bo tính chân thực, ng nhiên có thể n gin
hóa vì lý do s phạm trong trờng hp cần thiết.
Vic nêu vấn không òi hỏi quá nhiều tri thức b sung
Con đường tõ lóc nªu đến lóc GQVĐ càng ngắn cng tt
Vic xuất phát từ thực tế không những chỉ có tác dng gợi ng c m còn
giúp phần hoàn thµnh thế giới quan duy vật biƯn chøng. Nhờ đã HS nhận ra vic
nhận thức và ci tạo th gii đà òi hỏi phi suy nghĩ và giải quyết những vấn
về toán hc nh th no, tc là nhận ra toán hc bắt ngun từ những nhu cầu của
i sống thực tế. Vì vy, cần khai thác trit mi kh năng gợi ng c xuất
phát từ thực tế, ng nhiên phi chú ý các iu kiện đà nêu trên.

Tuy nhiên, toán hc phn ánh thực tế một cách ton b và nhiều tng, do
ó không phải bÊt cø néi dung nào, H§ nào cũng cã thĨ c gợi ng c xuất
phát từ thực tế. Vì vậy, ta còn cần tn dng c những khả năng gợi ng c xuất
phát từ nội b toán hc.
Gợi ng c từ nội b toán hc là nêu lên một vấn toán hc xuất phát
từ nhu cầu toán hc, từ vic xây dựng khoa hc toán hc, từ những phng thức
t duy và HĐ toán hc. Gợi ng c theo cách này là cần thiết vì hai l:
Thứ nhất, nh à nêu trên, vic gợi ng c từ thực tÕ kh«ng phải bao
giờ cũng thùc hiƯn được.
Thø hai, nhờ gợi ng c từ nội b toán hc, HS hình dung c úng sự
hình thành và phát triển của toán học cïng víi đặc điểm cđa nã vµ cã thĨ dn
dn tiến tới HĐ toán hc một cách c lập.
Thông thờng khi bắt u một nội dung lớn, chẳng hạn một phân môn hay
một chng, ta nên c gắng gợi ng c xuất phát từ thực tế. Còn i với từng
bài hay từng phần của bài thì cần tính tới những kh năng gợi ng c từ nội b
toán hc mà những cách thông thờng là:
(i) Đáp ứng nhu cầu xoá bỏ một sự hạn chế.
Ví d:


16
Trong hình hc phng ta có bài toán: Cho hai điểm A, B. Quỹ tÝch nh÷ng
điểm M sao cho MA 2 MB2 k 2 là ng tròn tâm O, trung im của AB, và bán
kính là OM =

1
2k 2 a 2 .
2

Trong không gian kết quả bài toán trên s nh th no?

(ii) Hớng tới sự tiện lợi, hợp lí hoá công việc.
Ví d:
Lập quy trình các bc tính khong cách cho hai ng thng chéo nhau.
Sau đó cho một h to no đó trong không gian ri tiến tới chuyn giao quy
trình này cho máy tính.
(iii) Chính xác hoá một khái niệm.
Có những khái nim m HS đã biÕt nhưng trước kia chưa thÓ cã định
nghÜa chính xác; n một thời im no đó có iu kiện thì thầy giáo gợi lại
vấn và giúp HS chính xác hoá khái nim đó.
Ví d:
Trong Vt lý, những i lợng nh vn tc, gia tc, lực,... c gi là i lợng có hớng. xác nh các i lợng đó, ngoi cng của chúng, ta còn
phi biết hớng của chúng na. Các i lợng có hớng đó là gì? Chúng có tính chất
nh th no? HS cng mi chỉ hiểu một cách trc quan thông qua các hình v
vt lí.
(iv) Hớng tới sự hoàn chỉnh và hƯ thèng
Ở cấp 2 ta chØ xÐt c¸c hệ thøc lợng trong tam giác vuông. Vấn t ra là
trong tam giác bt kì ta có những h thức lợng nào? Tõ đã dẫn tíi hai định lÝ cơ
b¶n trong tam giác là nh lí côsin và nh lí sin.
(v) Lật ngợc vấn đề.
Sau khi chứng minh c một nh lý, ta thờng t câu hỏi là liệu mệnh
ề ảo cđa định lý đã cã đóng kh«ng?
VÝ dơ: Sau khi học định lÝ Ta-let: “Ba mặt phẳng đ«i mét song song chn
ra trên hai cát tuyn bt kì các on thng tơng ng t l. Một câu hỏi tự nhiên
t ra cho HS là hÃy phát biu mệnh o cđa định lÝ? LiƯu nã cã đóng kh«ng?
Tõ đó dẫn đến định lÝ Ta-let đảo.


17
(vi) Xét tơng tự
Chẳng hạn, để gợi động cơ cho việc phát hiện và chứng minh định lý Nếu

G là trọng tâm ABC của thì với mọi điểm O bất kỳ ta có:
thầy giáo có thể dẫn dắt:

3OG OA OB OC

,

Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm O bất kỳ ta
đều có: 2OM OA OB . Bây giờ nếu G là trọng tâm của ABC, ta hÃy phát hiện
xem có đẳng thức véctơ nào tơng tự hay không?.
(vii) Khái quát hoá
Khái quát hoá là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tợng đà cho đến
việc nghiên cứu một tập hợp lớn hơn, bao gồm cả tập hợp ban đầu [21, tr. 21].
Ví dụ:
Sau khi HS đà chứng minh Định lí: Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì
GA GB GC 0 ,

thầy giáo nên đặt vấn đề để HS phát hiện và chứng minh đẳng
thức vectơ đặc trng cho trọng tâm của hệ n điểm trong mặt phẳng.
(viii) Tìm mối liên hệ phụ thuộc giữa các đại lợng, yếu tố
Ví dụ:
t vấn xột xem v trí tơng i giữa mt cầu và mt phng phụ thuc
vào yu t no?
ii. Gợi ng c trung gian:
Gợi ng c trung gian là gợi ng c cho những bc trung gian hoc
cho những HĐ tiến hnh trong những bc đã để đi đến mơc đÝch. Gỵi động cơ
trung gian cã ý nghÜa to lín đối víi sù ph¸t triĨn năng lực c lập giải quyết vấn
đề.
Sau đây là những cách thờng dùng để gợi động cơ trung gian.
(i) Hớng đích.

Hớng đích cho HS là hớng vào những mục đích đặt ra, vào hiệu quả dự
kiến của những HĐ của họ nhằm đạt mục đích đó.
Hớng đích là làm sao cho đối với tất cả những gì HS nói và làm, họ đều
biết rằng những cái đó nhằm mục đích gì và trong quá trình tìm hiểu và mô tả
con ®êng ®i tíi ®Ých, hä lu«n lu«n biÕt híng tíi những quyết định và HĐ của
mình vào mục đích đà đặt ra.
Ví dụ:
Chứng minh rằng nếu G và G' lần lợt là trọng tâm tam giác ABC và A'B'C'
thì 3 GG' AA'  BB'  CC'


18
GV có thể gợi động cơ và hớng đích cho HS nh sau:
- HÃy chuyển giả thiết của bài toán sang ngôn ngữ véctơ và ghi giả thiết,
kết luận của bài toán:
Giả thiết:

GA GB GC 0

G ' A'  G ' B'  G ' C' 0

KÕt luËn:

3GG' AA' BB' CC'

(ii) Quy lạ về quen.
Ví dụ:
Tìm quỹ tích những điểm M có cùng phơng tích đối với 2 đờng tròn (O;
R) và (O'; R').
Bằng cách sử dụng định nghĩa phơng tích của một điểm đối với một đờng

tròn trên ta đi đến đẳng thức: MO2 - MO'2 = R2 - R'2.
- GV có thể gợi ý:
Đẳng thức trên gợi cho em một bài toán quen thuộc nào đà gặp ?
- Mong đợi ở HS:
Bài toán tìm quỹ tích những điểm M thoả mÃn MA 2 + MB2 = k2 với A, B
cố định, k là số cho trớc.
- Từ việc liên tởng đến cách giải bài toán quen thuộc HS dễ dàng có hớng
giải cho bài toán mới: Gọi I là trung điểm của OO' và tìm ra đẳng thức.
MI2 =

2(R 2 R ' 2 )  OO' 2
4

= k' (k' lµ h»ng sè)

Nh vËy quỹ tích điểm M thoả mÃn đề bài đợc quy về bài toán quen thuộc
hơn, đơn giản hơn: Tìm quỹ tích những điểm M sao cho MI 2 = k', k' là số cho trớc, I là điểm cố định.
(iii) Xét tơng tự.
Ví dụ:
Giả sử HS đà giải bài toán: Cho tam giác ABC với trọng tâm G. Chứng
minh rằng víi ®iĨm O bÊt kú ta cã:

 1



OG  (OA OB OC ) .
3

Bằng cách phân tích vectơ nh sau:




OG OA  AG.



OG OB  BG.



OG OC  CG.


19
Khi HS giải bài toán tơng tự đối với trọng tâm G của tứ giác ABCD, có thể
đặt vấn đề để họ phân tích vectơ tơng tự nh đối với trờng hợp tam giác.



OG OA AG.



OG OB BG.



OG OC  CG.




OG OD  DG.

(iv)Kh¸i qu¸t ho¸
VÝ dơ:
Ph¸t triĨn ví dụ ở mục (ii), khi HS giải bài toán tổng quát đối với trọng
tâm G của một hệ n điểm A1; A2;...;An trong mặt phẳng, có thể đặt vấn đề để họ
khái quát hoá cách làm trong trờng hợp tam giác, tứ giác, phân tích vectơ
theo n cách nh sau:


OG




OG OA1  A1G.



OG OA2  A2 G.



OG OA3  A3 G.

...





OG OAn  An G.

(v) XÐt sù biÕn thiªn và phụ thuộc.
Ví d:
Khi giải bài toán qu tích thờng phi phân chia ra các trờng hp i với
các yu t thay i, t vấn ng với mỗi trờng hp s cho các kết quả nh th
no về qũy tích cần tìm.
iii. Gợi ng c kết thúc:
Nhiều khi, ngay từ u hoặc trong khi GQV ta cha thể làm rõ hoặc làm
cho HS hon ton rõ tại sao lại hc nội dung này, tại sao lại thực hiện nội dung
kia. Những câu hỏi này phi i mÃi về sau mi c giải đáp hoc giải đáp trn
vn. Nh vy là ta đà gợi ng c kết thúc, nhn mnh hiệu quả của nội dung
hoc HĐ đó i với vic GQV t ra.
Gợi ng c kết thúc cng có tác dng nâng cao tính tự giác trong HĐ học
tập nh các cách gợi ng c khác. Mc du nó có tác dụng kích thích i với nội
dung đà qua hoặc hoạt ng ó thực hiện, nhng nó góp phần gợi ng c thúc
y hoạt ng hc tập nói chung và nhiỊu khi việc gỵi động cơ kÕt thóc ở trêng
hợp này lại là sự chun b gợi ng c m u cho những trờng hp tơng tự sau
này.


20
Ví dụ: Thông qua gợi động cơ ban đầu HS nắm đợc cách tự hình thành
khái niệm, cách hớng đích, hình thành phát hiện định lý, định hớng giải các bài
toán. Cách gợi động cơ trung gian, gợi động cơ kết thúc nhằm dạy cách tự suy
nghĩ giải quyết vấn đề và phát triển các kiến thức Toán học. Chẳng hạn, để dạy
cho HS hình thành định lí sin trong tam giác, trớc hết GV hớng cho HS từ ABC
vuông ë A, BC = a, CA = b, AB = c vµ cho HS biĨu diƠn sinA, sinB, sinC theo

a
b
c
=
=
= 2R . Tiếp theo,
sinA sinB sinC
GV cho HS giải tơng tự đối với ABC đều. Cuối cùng dự đoán phát biểu cho trờng hợp ABC bất kỳ và hớng dẫn HS chứng minh bằng cách gợi động cơ tạo
mối liên hệ giữa tam giác đà cho và một tam giác vuông ràng buộc 2 tam giác
cùng nội tiếp trong một đờng tròn bán kính R.
a,b,c. Rồi cho BC = a = 2R để HS đi đến

1.2. Phng pháp dạy hc PH vµ GQVĐ
1.2.1. Cơ së lý ln cđa PPDH vµ GQVĐ
1.2.1.1. Cơ së triết học:
Theo Triết học duy vật biÖn chứng: Mâu thun là ng lực thúc y quá
trình phát triển. PPDH PH và GQV đà da vào quy lut trên. Mỗi vấn gợi
cho HS học tập chính là một mâu thuẫn giữa yêu cầu nhiệm vụ nhận thức với
kiến thức và kinh nghiệm sn có.
1.2.1.2. C sở tâm lý hc:
Theo các nhà tâm lý học, con ngời chỉ bắt ầu t duy tích cực khi ny sinh
nhu cầu, t duy tức là khi đứng trớc một khó khăn về nhận thức cần phải khắc
phục, một tình huống gợi vÊn đÒ, hay nãi như X.L. Rubin Stein: “Tư duy sáng
tạo luôn luôn bắt ầu từ một tình huống gợi vấn .
1.2.1.3. C sở giáo dc hc:
Dạy hc PH và GQV phù hp với nguyên tắc tích cực tự giác và tích cực
vì nó khơi gợi cho hoạt ộng, học tËp mà chđ thĨ đỵc híng đÝch, gỵi động cơ
trong quá trình PH và GQV.
Dạy hc PH và GQV cng biu hiện sự thng nhất giữa kiến tạo tri thức,
phát triển năng lực trí tuệ và bi dng phẩm chất. Những trí tu mi (i với

HS) c kiến tạo nh quá trình PH và GQV. Tác dụng phát triển năng lực trí
tuệ của kiu dạy hc này là ch HS hc c cách khám phá tức là rèn luyn