HINH CUC TRI TRONG KHONG GIAN

<span class='text_page_counter'>(1)</span>HÌNH CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN. ÔN THI ĐẠI HỌC HÌNH HỌC GIẢI TÍCH A.Lí Thuyết :. uur uur u1.u2 uur uur − Công thức tính góc giữa hai đường thẳng cosj = uur uur trong đó u1, u2 lần lượt là hai u1 . u2. VTCP của hai đường thẳng. rr n.u r r − Công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng sin Y = r r trong đó n, u lần u .u. lượt là hai VTPT và VTCP của mặt phẳng và đường thẳng. uur uur n1.n2 uur uur − Công thức tính góc giữa hai đường thẳng cosj = uur uur trong đó n1, n2 lần lượt là hai n1 . n2. VTPT của hai mặt thẳng − Công thức tính khoảng cách giữa hai điểm A( x A ; y A ; z A ); B ( xB ; yB ; z B ) AB=. ( x B -x A ) + ( y B -yA ) + ( z B -z A ) 2. 2. 2. − Khoảng cách từ điểm M0(x0;y0z0) đến mặt phẳng () có phương trình Ax+by+Cz+D=0 là: d ( M 0 ,(α) ) =. Ax 0 +By 0 +Cz 0 +D A 2 +B2 +C2. ur. − Khoảng cách từ điểm M1 đến đường thẳng  đi qua M0 và có vectơ chỉ phương u là: uuuuuuuur ur é M M ,u ù êë 0 1 úû d(M1 ,Δ)= ur. u. − Khoảng cách giữa hai đường thẳng  và ’, trong đó  đi qua điểm M0, có vectơ chỉ r ur ' phương u và đường thẳng ’ đi qua điểm M 0 , có vectơ chỉ phương u' là: r ur uuuuuur é u,u'ù .M 0 M 0' ë û d(D,Δ')= r ur é u,u'ù ë û. uuur uuur. − Công thức tính diện tích hình bình hành : SABCD = éë AB,AD ùû. 1 uuur uuur é AB,AC ù û 2 ë uuur uuur uuur VABCD.A'B'C'D' = éë AB,AD ùû .AA' 1 uuur uuur uuur é AB,AC ù .AD VABCD = û 6 ë. − Công thức tính diện tích tam giác : SABC = − Công thức tính thể tích hình hộp : − Công thức tính thể tích tứ diện : Chú ý :. Các công thức tính góc nêu trên có điều kiện : 0 £ j , Y £. Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. p 2. 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> HÌNH CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN. B.VÍ DỤ : x 1. Ví dụ 1: Cho đường thẳng ( d ) : = Tìm tọa độ điểm M Î ( d ) sao cho: 1) MA + MB nhỏ nhất. 2) MA2 + 2 MB 2 nhỏ nhất. uuur. y z = và hai điểm A ( 0;0;3) , B ( 0;3;3) . 1 1. uuur. 3) MA - 3MB nhỏ nhất. 4) MA - MB lớn nhất. Hướng dẫn: ́x = t ï 1) Chuyển p/trình của ( d ) sang dạng tham số ( d ) : í y = t ïz = t î Gọi tọa độ của M Î ( d ) có dạng M ( t ; t ; t ) , t Î ¡ .. Ta có P = MA + MB =. ( 0 - t ) 2 + ( 0 - t ) 2 + ( 3 - t ) 2 + ( 0 - t ) 2 + ( 3 - t )2 + ( 3 - t ) 2. P = 3t 2 - 6t + 9 + 3t 2 - 12t + 18 = 3 P = 3 æç è æ P = 3ç è. (. t 2 - 2t + 3 + t 2 - 4t + 6. ). ( t - 1)2 + 2 + (t - 2 )2 + 2 ö÷ ø. ö ÷ ø Trong mặt phẳng Oxy xét các điểm N ( t ;0 ) Î Ox ; H 1; 2 ; K 2; 2. ( t - 1)2 + ( 0 -. (. Gọi H ¢ 1; -. 2. ). 2. ( t - 2 )2 + ( 0 -. +. 2. ). 2. ( ) ( ) 2 ) là điểm đối xứng của điểm H (1; 2 ) qua trục Ox..  Ta có P = 3 ( NH + NK ) = 3 ( NH ¢ + NK ) ³ 3H ¢K . Dấu “=” xảy ra Û H ¢, N , K thẳng hàng Û N = H ¢K Ç Ox . uuuur ¢ Đường thẳng H K có vecto chỉ phương H ¢K = 1;2 2. (. ). nên có vecto pháp tuyến. r n = 2 2; -1 và đi qua H ¢ 1; - 2 nên có phương trình tổng quát. (. ). (. ). (. ). 2 2 ( x - 1) - 1 y + 2 = 0 Û 2 2 x - y - 3 2 = 0 .. Tọa độ giao điểm N của đường thẳng H ¢K và trục Ox là nghiệm của hệ 3 ́ ́ï2 2 x - y - 3 2 = 0 ïx = æ 3 ö Ûí 2 . Vậy N ç - ;0 ÷ . í è 2 ø ïî y = 0 ïî y = 0. (. Vậy min P = 3H ¢K = 3. 12 + 2 2 æ3 è. ö ø. ). 2. =3 3. 3. Đạt được khi N ( t ;0 ) º N ç ;0 ÷ Û t = . 2 2 æ3 3 3ö. Suy ra MA + MB nhỏ nhất bằng 3 3 khi M ç ; ; ÷ è2 2 2ø Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> HÌNH CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN. Cách 2: æ  Làm như cách 1, đến đoạn P = 3 ç è. Xét hàm số f ( t ) = Ta có f ¢ ( t ) = f ¢(t ) = 0 Û. ( t - 1)2 + 2 + ( t - 2 )2 + 2 ö÷ . ø. ( t - 1)2 + 2 + ( t - 2 )2 + 2. t -1. ( t - 1)2 + 2 t -1. ( t - 1)2 + 2.  Xét hàm số g ( u ) =. +. =u. u2 + 2. t -2. ( t - 2 )2 + 2 t -2. ( t - 2 )2 + 2. Û. t -1. ( t - 1)2 + 2. =. - (t - 2) 2. éë ( t - 2 ) ùû + 2. (*). ,. æ ö 1 u g ¢ ( u ) = ç u 2 + 2 - u. = ÷÷ . 2 ç Ta có 2 u + 2 u + 2 è ø. 2. (u. 2. +2. ). 3. >0. nên hàm số g đồng biến. trên ¡ .  Do đó từ (*) ta có g ( t - 1) = g éë ( t - 2 ) ùû Û t - 1 = -t + 2 Û t =. 3 2. Bảng biến thiên của hàm số f : 3. -¥. t f ¢(t ). -. 0. +¥. +¥. 2. + +¥. f (t ). 3 æ3ö. Từ bảng biến thiên suy ra min f ( t ) = f ç ÷ = 3 . è2ø 3. æ3 3 3ö. Vậy min ( MA + MB ) = 3 3 đạt được tại t = , tức là M ç ; ; ÷ . 2 è2 2 2ø Cách 3: Bước 1 : Tìm tọa độ H và H’ Bước 2 : Tính AH và BH’ uuuur. Bước 3 : Tìm M thỏa mãn MH = -. AH uuuuur MH ' =>ycbt BH '. Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> HÌNH CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN. 2). Làm tương tự câu 1), ta tính được. (. ). Q = MA2 + 2MB 2 = 3t 2 - 6t + 9 + 2 3t 2 - 12t + 18 = 9t 2 - 30t + 45 . Biểu thức này là tam thức bậc hai với hệ số a = 9 > 0 nên đạt giá trị nhỏ nhất khi -30 5 æ5 5 5ö t== . Tức là M ç ; ; ÷ . 2.9 3 è2 2 2ø. Nhận xét: nếu không nhớ tính chất về đồ thị bậc hai thì có thể khảo sát hàm số f ( t ) = 9t 2 - 30t + 45 để tìm giá trị hỏ nhất. 3). Theo câu 1) , gọi M ( t ; t; t ) . uuur uuur Ta có MA = ( -t; -t ;3 - t ) , MB = ( -t;3 - t;3 - t ) . uuur. uuur. Suy ra MA - 2MB = ( -t - 2 ( -t ) ; -t - 2 ( 3 - t ) ;3 - t - 2 ( 3 - t ) ) = ( t ; t - 6; t - 3) . uuur uuur 2 2 ̃-MA 2MB = t 2 + ( t - 6 ) + ( t - 3) = 3t 2 - 18t + 45 uuur uuur 2 ̃-MA 2MB = 3 ( t - 3) + 18 ³ 18 = 3 2 .. Dấu “=” xảy ra Û t - 3 = 0 Û t = 3 hay M ( 3;3;3) . uuur. uuur. Vậy min MA - 2 MB = 3 2 đạt được tại M ( 3;3;3) . uuur. uuur. Nhận xét: nếu không phân tích được MA - 2MB = 3 ( t - 3) + 18 thì có thể khảo sát 2. hàm số f ( t ) = 3t 2 - 18t + 45 để tìm giá trị nhỏ nhất. 4). Tương tự câu 1), ta tính được MA - MB = 3 MA - MB =. 3 æç è. (. t 2 - 2t + 3 - t 2 - 4t + 6. ). ( t - 1)2 + 2 - ( t - 2 )2 + 2 ö÷ ø. (. ) (. ). Trong mặt phẳng Oxy xét các điểm N ( t ;0 ) Î Ox ; H 1; 2 ; K 2; 2 . Khi đó MA - MB = 3 NH - NK Nhận thấy H, K nằm cùng phía so với trục Ox. Suy ra MA - MB = 3 NH - NK £ 3HK . Bài toán này vô nghiệm vì KH || Ox . Cách 2: Khảo sát hàm số như cách 2 ở câu 1  Hàm số không có GTLN. Ví dụ 2: Cho mặt phẳng ( P ) : x + y + z - 4 = 0 . Tìm điểm M Î ( P ) sao cho: 1). MA + MB nhỏ nhất, biết A (1;0;0 ) , B (1;2;0 ) . 2). MA - MB lớn nhất, biết A (1;2;1) , B ( 0;1;2 ) . 3). MA2 + 3MB 2 nhỏ nhất, biết A (1;2;1) , B ( 0;1;2 ) . 4). MA2 + 3MB 2 + 2MC 2 nhỏ nhất, biết A (1;2;1) , B ( 0;1;2 ) , C ( 0;0;3) . uuur. uuur. uuuur. 5). MA + 3MB + 4MC nhỏ nhất, biết A (1;2;1) , B ( 0;1;2 ) , C ( 0;0;3) . Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> HÌNH CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN. Hướng dẫn : 1). Cách giải  Xét vị trí tương đối của A, B so với (P). Đặt f ( x; y; z ) = x + y + z - 4 . Thay tọa độ của A, B vào và tính f ( x A ; y A ; z A ) . f ( xB ; y B ; z B ) . - Nếu f ( x A ; y A ; z A ) . f ( xB ; yB ; z B ) < 0 thì A, B ở hai phần không gian khác nhau ngăn cách bởi (P). - Nếu f ( x A ; y A ; z A ) . f ( xB ; yB ; z B ) > 0 thì A, B ở cùng phía so với (P).  Nếu A, B ở khác phía so với (P) thì với M Î ( P ) tùy ý ta có MA + MB ³ AB . Suy ra min ( MA + MB ) = AB đạt được khi M = AB Ç ( P ) . - Viết p/trình đường thẳng AB. - Tìm giao điểm M của AB Ç ( P ) . (Giải hệ p/trình của AB và (P)) - Kết luận.  Nếu A, B ở trong cùng phía so với (P) , ta lấy điểm A¢ đối xứng với A qua (P). ̃+ MB = MA¢ + MB ³ A¢B Khi đó MA¢ = MA MA ̃+min ( MA MB ) = A¢B đạt được khi M = A¢B Ç ( P )  Tính tọa độ A¢ : - Viết phương trình đường thẳng ( d ) qua A và ( d ) ^ ( P ) - Giải hệ {( d ) ; ( P )} tìm được tọa độ của H = ( d ) Ç ( P ) là hình chiếu vuông góc của A trên (P). - H là trung điểm của A¢A . Biết tọa độ của A, H suy ra tọa độ của A¢ .  Viết p/trình đường thẳng A¢B .  Giải hệ { A¢B; ( P )} tìm được tọa độ của M = A¢B Ç ( P ) . A’. A M. M B. H B A. Tr.Hợp 2. Tr.Hợp 1. 2). Làm ngược lại của hai trường hợp trên câu 1.  Nếu A, B ở trong cùng phía so với (P) thì MA - MB £ AB  Nếu A, B ở trong cùng phía so với (P), ta lấy điểm A¢ đối xứng với A qua (P). ̃- MB = MA¢ - MB £ A¢B Khi đó MA¢ = MA MA Cách làm mỗi trường hợp như câu 1. uuur 2. (. uuur uur. ). 2. uuur 2. uur 2. uuur uur. 3). Xét điểm I tùy ý, ta có MA2 = MA = MI + IA = MI + IA + 2MI .IA uuur 2 uuur uur MB 2 = MB = MI + IB. (. ). 2. uuur 2 uur 2 uuur uur = MI + IB + 2MI .IB. Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> HÌNH CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN. uuur 2 uur 2 uuur uur uuur 2 uur 2 uuur uur 2 2 MA + 2 MB = MI + IA + 2 MI . IA + 2 MI + IB + 2 MI .IB Suy ra uuur 2 uur 2 uur 2 uuur uur uur ̃+MA2 2MB 2 = 3MI + IA + 2 IB + 2 MI IA + 2 IB uuur uur uur ̃+MA2 2MB 2 = 3MI 2 + IA2 + 2 IB 2 + 2 MI IA + 2 IB uur uur r uur uur Giả sử IA + 2 IB = 0 Û IA = -2 IB , ta có tọa độ của I là: x A + 2 xB 1 + 2.0 1 ́ ïx = 1+ 2 = 3 = 3 ï y + 2 y B 2 + 2.1 4 ï æ1 4 5ö I íy = A = = . Hay I ç ; ; ÷ 1+ 2 3 3 è3 3 3ø ï z A + 2 zB 1 + 2.2 5 ï ïz = 1+ 2 = 3 = 3 î uur uur r æ1 4 5ö Vậy, với I ç ; ; ÷ , ta có IA + 2 IB = 0 nên MA2 + 2 MB 2 = 3MI 2 + IA2 + 2 IB 2 . è3 3 3ø. ( (. (. ). ) ). Do I cố định nên IA2 , IB 2 không đổi. Vậy MA2 + 2 MB 2 nhỏ nhất Û MI 2 nhỏ nhất Û MI nhỏ nhất Û M là hình chiếu của I trên (P). æ1 4 5ö  Đường thẳng ( d ) qua I ç ; ; ÷ và vuông góc với (P) nhận vecto pháp tuyến è3 3 3ø r n = (1;1;1) của (P) làm vecto chỉ phương nên có p/trình. ́x = 1 + t 3 ï ï (d ) : íy = 4 3 + t ï ïî z = 5 3 + t æ 5 14 17 ö - Tọa độ giao điểm H của ( d ) Ç ( P ) là: H ç ; ; ÷ . è9 9 9 ø. - H là hình chiếu của I trên (P).  Vậy M là hình chiếu của I trên (P) nên M º H æ 5 14 17 ö. Kết luận: MA2 + 2MB 2 nhỏ nhất khi M ç ; ; ÷ è9 9 9 ø 4). Làm tương tự câuuuur 3) uuur uuuur uuuur 5). Cần rút gọn tổng MA + 3MB + 4MC thành một vecto MH . uuur. uuur. uuuur. uuuur. Khi đó MA + 3MB + 4MC = MH = MH nhỏ nhất Û M là hình chiếu của H trên (P). Làm như câu 3). uuur uuur uuuur uuur uur uuur uur uuur uur Bằng cách phân tích MA + 3MB + 4MC = MI + IA + 3 MI + IB + 4 MI + IC. (. uuur uur uur uur = 8MI + IA + 3IB + 4 IC. uur. uur. ) (. uur. ). r. Đến đây chỉ việc tìm tọa độ điểm I sao cho IA + 3IB + 4 IC = 0 rồi làm tiếp theo hướng dẫn trên. uur uur uur r uur 1 uuur uuur uuur IA + 3 IB + 4 IC = 0 Û OI = OA + 3OB + 4OC Chú ý: 8. (. ). Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 6.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> HÌNH CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN. 1 ́ ï xI = 8 ( x A + 3xB + 4 xC ) ï 1 ï Suy ra tọa độ của I là í yI = ( y A + 3 yB + 4 yC ) . 8 ï 1 ï z = ( z A + 3zB + 4 zC ) I ï 8 î x -1 y z - 2 = = . Lập phương trình 2 1 2 mặt phẳng ( a ) chứa d sao cho khoảng cách từ A(2;5;3) tới ( a ) là lớn nhất. Ví dụ 3:(ĐH – A2008) Cho mặt phẳng d :. Hướng dẫn : r 1) Phương trình mặt phẳng ( a ) chứa d có VTPT : n( A; B; C ), A2 + B 2 + C 2 > 0 có dạng : A( x - 1) + By + C ( z - 2) = 0 uur uur Ta có : d ̀ (a ) Û ud .na = 0 Û B = -2 A - 2C 9 A+C. ( A + C )2 = 9. => d ( A,(a )) = 5 A2 + 8 AB + 5C 2 5 A2 + 8 AB + 5C 2. − TH1: Nếu C = 0 d ( A,(a )) =. 9 5. − TH1: Nếu C ¹ 0 ,Đặt t =. A C. (t + 1) 2 = 9 f (t ) 5t 2 + 8t + 5 2 (t + 1) 2 Xét hàm số f (t ) = 2 => f '(t ) = 0 Û t = ±1 ; f (-1) = 0; f (1) = 9 5t + 8t + 5 1 lim f (t ) = t ®±¥ 5 2 A Lập bảng biến thiên => M axf (t ) = tại t =1 . Vậy M axd(A,(a )) = 3 2 khi = 1 5 C d ( A,(a )) = 9.. So sánh TH1 và TH2 : ycbt <=>A=C và B=−4C => Phương trình mặt phẳng cần tìm là : x - 4y + z – 3 = 0 Nhận xét : − Có thế mở rộng ra các bài toán như sau : +) Lập phương trình mặt phẳng ( a ) chứa d sao cho khoảng cách từ A tới ( a ) là nhỏ nhất hoặc khoảng cách đó là hằng số − Có thể sử dụng hình học thuần túy để làm bài này. Ví dụ 4: Cho đường thẳng d :. x -1 y + 2 z x + 2 y -1 z = = = = , và d ' : 1 2 -1 2 -1 2. (Q): x + 2y +2z – 3 =0 . Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 7.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> HÌNH CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN. 1) Góc giữa hai mặt phẳng (Q) nhỏ nhất 2) Góc giữa mặt phẳng (P) và đường thẳng d’ lớn nhất Hướng dẫn : r 1) Phương trình mặt phẳng ( a ) chứa d có VTPT : n( A; B; C ), A2 + B 2 + C 2 > 0 có dạng : A( x - 1) + B ( y + 2) + Cz = 0 uur uur Ta có : d ̀ (a ) Û ud .na = 0 Û C = A + 2B p Gọi góc giữa hai mặt phẳng là j ,(0 £ j £ ) 2 A + 2B. ( A + 2B)2 = 9. => cos(j ) = 2 A2 + 4 AB + 5B 2 2 A2 + 4 AB + 5 B 2. − TH1: Nếu B = 0 cos(j ) =. 2 (1) 2. − TH2: Nếu B ¹ 0 ,Đặt t =. A B. (t + 2)2 2t 2 + 4t + 5 (t + 2) 2 Xét hàm số f (t ) = 2 2t + 4t + 5 cos(j ) =. => M axf (t ) =. 30 5 A 1 ax cosj = tại t =1 hay = . Vậy M æ pö 6 (2) 6 B 2 ç 0; ÷ 2 è. So sánh TH1 và TH2 => jmin Û cosj =. ø. A 1 30 với = B 2 6. => Phương trình mặt phẳng cần tìm là : x + 2y + 5zr + 3 = 0 2) Phương trình mặt phẳng ( a ) chứa d có VTPT : n( A; B; C ), A2 + B 2 + C 2 > 0 có dạng : A( x - 1) + B ( y + 2) + Cz = 0 uur uur Ta có : d ̀ (a ) Û ud .na = 0 Û C = A + 2B. p Gọi góc giữa mặt phẳng (P) và đường thẳng d’ là : Y ,(0 £ Y £ ) 2. 4 A + 3B. 1 (4 A + 3B) 2 = . => sin(Y ) = 2 2 3. 2 A2 + 4 AB + 5B 2 3 2 A + 4 AB + 5 B. − TH1: Nếu B = 0 sin (Y ) =. 2 2 (1) 3. − TH2: Nếu B ¹ 0 ,Đặt t =. A B. 1 (4t + 3)2 sin (Y ) = . 3 2t 2 + 4t + 5. Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 8.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> HÌNH CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN. Xét hàm số f (t ) =. (4t + 3) 2 2t 2 + 4t + 5. 5 3 25 A M ax sin y = => M axf (t ) = tại t =-7 hay = -7 . Vậy æ p ö 9 7 B ç 0; ÷ 2 è. So sánh TH1 và TH2 => Y m ax Û sinY =. ø. A 5 3 với = -7 B 9. => Phương trình mặt phẳng cần tìm là : 7x - y + 5z - 9 = 0 Nhận xét : − Có thế mở rộng ra các bài toán như sau : +) Lập phương trình mặt phẳng ( a ) chứa d sao cho góc giữa hai mặt phẳng hoặc góc giữa đường thẳng và mặt phẳng thỏa mãn một điều kiện nào đấy − Có thể sử dụng hình học thuần túy để làm bài này Ví dụ 5: Cho mặt phẳng ( P) : x + 3 y - z - 1 = 0 . Và các điểm A(1;0;0) ; B(0; -2;3) . Lập phương trình đường thẳng d nằm trong (P) đi qua A và cách B một khoảng lớn nhất , nhỏ nhất Hướng dẫn : r Gọi VTCP của đường thẳng d là: u (a; b; c), a 2 + b 2 + c 2 > 0 uur uur d ̀ ( P) Û ud .nP = 0 Û c = a + 2b uur uuur uuur é u AB (-1;2; -3) ; ë d , AB ùû = ( -2a - 7b;2a - 2b;2a + b) uur uuur éud , AB ù 12a 2 + 24ab + 54b 2 ë û = uur => d ( B, d ) = 2a 2 + 4ab + 5b 2 ud. − TH1: Nếu b = 0 d ( B, d ) = 6. − TH2: Nếu b ¹ 0 ,Đặt t =. a b. 12t 2 + 24t + 54 d ( B, d ) = = 2t 2 + 4t + 5 => 6 < d ( B, d ) £ 14. f (t ) ;Xét hàm số f (t ) =. 12t 2 + 24t + 54 2t 2 + 4t + 5. So sánh TH1 và TH2 => 6 £ d ( B, d ) £ 14 +) Min(d ( B, d )) = 6 Û b = 0 chọn a =1 => c= 1 ́x = 1+ t ï => Phương trình đường thẳng cần tìm là : í y = 0 ïz = t î. +) M ax(d ( B, d )) = 14 Û a = -b chọn b = -1 => a =1 , c =-1 ́ x = -1 - t ï => Phương trình đường thẳng cần tìm là : í y = t ïz = t î. Nhận xét : Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 9.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> HÌNH CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN. − Có thế mở rộng ra các bài toán như sau : +) Lập phương trình đường thẳng d nằm trong (P) đi qua A và cách B một khoảng thỏa mãn một điều kiện nào đấy − Có thể sử dụng hình học thuần túy để làm bài này Ví dụ 6: Lập phương trình đường thẳng d đi qua A (1;-1;2),song song với mặt phẳng (Q) : 2 x - y - z + 3 = 0 ,đồng thời d tạo với đường thẳng d ' :. x +1 y -1 z = = một góc lớn 1 -2 2. nhất , nhỏ nhất Hướng dẫn : r Gọi VTCP của đường thẳng d là: u (a; b; c), a 2 + b 2 + c 2 > 0 uur uur d / /( P) Û ud .nQ = 0 Û c = 2a - b ;. uur ud ' (1; -2;2). p Gọi góc giữa hai mặt phẳng là j ,(0 £ j £ ) 2. 5a - 4b. 1 (5a - 4b) 2 = . => cos(j ) = 2 2 3 5a 2 - 4ab + 2b2 3 5a - 4ab + 2b. − TH1: Nếu b = 0 1 cos(j ) = . 5 3. − TH2: Nếu b ¹ 0 ,Đặt t =. a b. 1 (5t - 4)2 1 cos(j ) = . = . f (t ) 3 5t 2 - 4t + 2 3 5 3 => 0 £ cos(j ) £ 9. ;Xét hàm số f (t ) =. 5 3 9 a 4 = 900 Û = b 5. (5t - 4)2 5t 2 - 4t + 2. So sánh TH1 và TH2 => 0 £ cos(j ) £ +) Min(cos(j )) = 0 => jmax. => Phương trình đường thẳng cần tìm là : +) M ax(cos(j )) =. a 1 5 3 => jmin Û = b 5 9. => Phương trình đường thẳng cần tìm là :. x -1 y +1 z - 2 = = 4 5 3. x -1 y +1 z - 2 = = 1 -5 7. Nhận xét : − Có thế mở rộng ra các bài toán như sau : +) Lập phương trình đường thẳng d đi qua A ,song song với mặt phẳng (Q) ,đồng thời d tạo với đường thẳng d ' một góc thỏa mãn một điều kiện nào đấy − Có thể sử dụng hình học thuần túy để làm bài này. Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 10.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> HÌNH CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN. Ví dụ 7: Lập phương trình đường thẳng d đi qua A(0; -1;2) và cắt đường thẳng x +1 y z - 2 = = sao cho 2 1 -1 1) Khoảng cách từ B(2;1;1) là lớn nhất , nhỏ nhất x +1 y z - 2 = = 2) Khoảng cách giữ d va D : là lớn nhất 2 1 -1 d' :. Hướng dẫn : 1 + 2t ; t ;2 - t ), t Î R 1) d Ç d ' = M => M (-uu r uuuur => VTCP của d : ud = AM (2t - 1; t + 1; -t ). uuur uur uuur é AB (2;2; -1) ; ë AB; ud ùû = (1 - t;1;4 - 2t ) uuur uur é AB, ud ù 12t 2 - 18t + 18 ë û d ( B , d ) = = = uu r => 6t 2 - 2t + 2 ud. Xét hàm số f (t ) =. f (t ). 1 12t 2 + 24t + 54 M axf ( t ) = f (0) = 18; Min f ( t ) = f (2) = => 11 2t 2 + 4t + 5. 1 £ d ( B, d ) £ 18 11 1 Ût=2 +) Min(d ( B, d )) = 11. =>. ́ x = 3t ï => Phương trình đường thẳng cần tìm là : í y = -1 + 3t ï z = 2 - 2t î. +) M ax(d ( B, d )) = 18 Û t = 0 ́ x = -t ï => Phương trình đường thẳng cần tìm là : í y = -1 + t ïz = 2 - t î ; t ;2 - t ), t Î R 2) d Ç d ' = M => M (-1uur+ 2tuuuu r => VTCP của d : ud = AM (2t - 1; t + 1; -t ) uur Từ phương trình  => uD = (2; -2;1) và N = (5;0;0) Î D uur uur uuur AN (5;1; -2) ; éëuD ; ud ùû = (t - 1;4t - 1;6t ) uur uur uuur éuD , ud ù . AN (2 + t )2 ë û = 3. = 3. f (t ) uur uur => d (D, d ) = 53t 2 - 10t + 2 é uD , u d ù ë û 4 26 (2 + t ) 2 Xét hàm số f (t ) = 2 => M axf (t ) = f ( ) = 37 9 53t - 10t + 2 => max(d (D, d )) = 26. Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 11.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> HÌNH CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN. ́ x = 29t ï => Phương trình đường thẳng cần tìm là : í y = -1 - 41t ï z = 2 + 4t î. Nhận xét : − Có thế mở rộng ra các bài toán trên thỏa mãn một điều kiện nào đấy cho trước − Có thể sử dụng hình học thuần túy để làm bài này Ví dụ 8: Lập phương trình đường thẳng d đi qua A (-1;0;-1)và cắt đường thẳng x -1 y - 2 z + 2 = = sao cho góc giữa đường thẳng d và 2 1 -1 x-3 y -2 z +3 D: = = là lớn nhất , nhỏ nhất -1 2 2. d' :. Hướng dẫn :. d Ç d ' = M => M (1 + 2t ;2 + t ; -2 - t ), t Î R uur uuuur => VTCP của d : ud = AM (2t + 2; t + 2; -1 - t ) p Gọi góc giữa hai mặt phẳng là j ,(0 £ j £ ) 2 2 t2 2 => cos(j ) = . 2 . f (t ) 3 6t + 14t + 9 3 t2 Xét hàm số f (t ) = 2 6t + 14t + 9 9 9 => M axf (t ) = f (- ) = ; Minf (t ) = f (0) = 0 7 5 +) Min(cos(j )) = 0 => jmax = 900 Û t = 0 x +1 = => Phương trình đường thẳng cần tìm là : 2 9 2 5 +) M ax(cos(j )) = => jmin Û t = 7 5 x +1 = => Phương trình đường thẳng cần tìm là : 4. y z +1 = 2 -1. y z +1 = 5 2. Nhận xét : − Có thế mở rộng ra các bài toán như sau : +) Có thế mở rộng ra các bài toán trên thỏa mãn một điều kiện nào đấy cho trước − Có thể sử dụng hình học thuần túy để làm bài này. C.Bài Tập. Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 12.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> HÌNH CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN. Bài 1 : Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (α) : x − y + z − 1 = 0 và các điểm A (1 ; 2 ;−1) , B (1 ; 0 ; −1) , C (2 ;1 ; −2) . Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (α) sao cho MA + MB − MC nhỏ nhất ĐS : M ( ; ; ) Bài 2 : Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (α) : x − 3y + 3z − 11 = 0 và các điểm A ( 3 ; −4 ; 5 ) , B (3 ; 3 ; −3) . Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (α) sao cho lớn nhất ĐS : M ( − ; − ; ) Bài 3 : Cho đường thẳng  : và hai điểm A(2 ; −1 ; 1) , B(1 ;−1;0) Tìm điểm M thuộc đường thẳng  để diện tích tam giác AMB đạt giá trị nhỏ nhất ĐS : M ( ; − ; − ) Bài 4 : Trong các mặt phẳng đi qua các điểm A (1 ; 2 ;−1) , B(−1 ; 1 ;2) . Viết phương trình mặtphẳng (α) tạo với mặt phẳng (xOy) một góc nhỏ nhất ĐS : 6x + 3y + 5z − 7 = 0 Bài 5 : Cho đường thăng  : và các điểm A(2 ; 1 ; −1) ,B(−1 ; 2 ; 0) Trong các đường thẳng đi qua B và cắt đường thẳng  , viết phương trình đường thẳng sao cho khoảng cách từ A tới nó là lớn nhất ? bé nhất ? ĐS : Lớn nhất : ; nhỏ nhất : Bài 6 : Trong không gian tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm A(1;2;4) và cắt chiều dương của các trục tọa độ Ox , Oy , Oz lần lượt tại M , N ,P Khác gốc tọa độ sao cho tứ diện OMNP có thể tích nhỏ nhất ĐS : + + =1 Bài 7 : Trong không gian tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M(1;2;3) và cắt các trục tọa độ Ox , Oy , Oz lần lượt tại A,B,C sao cho + + nhỏ nhất ĐS : x + 2y + 3z − 14 = 0 Bài 8 : Trong không gian tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M(2;5;3) và cắt chiều dương của các trục tọa độ Ox , Oy , Oz lần lượt tại A , B ,C sao cho OA + OB +OC nhỏ nhất ĐS : + + = 1 Bài 9 : Cho mặt phẳng (α) : x-y+2z = 0 và các điểm A(1;2;-1),B(3;1;-2), C(1;-2;1) Tìm M thuộc mặt phẳng (α) sao cho a) MA+MB nhỏ nhất b) lớn nhất c) MA - MB - MC lớn nhất d) ++ nhỏ nhất ĐS : a) M( ; 1 ; − ) b) M( ; ; 1) c) M(2 ; −2 ;−2) d) M( ; ; − ) Bài 10 : Cho các đường thẳng  : = =  : Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 13.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> HÌNH CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN. Trong các đường thẳng đi qua A(2 ; −1 ; 2) và cắt đường thẳng  , viết phương trình đường thẳng  sao cho khoảng cách giữa  và  là lớn nhất ĐS : = = Bài 11 : Trong các mặt phẳng đi qua A(2 ;−1 ; 0) và song song với đường thẳng d: = = Viết phương trình mặt phẳng (α) tạo với mặt phẳng (xOy) một góc nhỏ nhất ĐS : x+y+2z−1=0 Bài 12 : Trong các đường thẳng đi qua A(1 ; 1 ; −1) và vuông góc với mặt phẳng (β) : 2x−y+z+2=0 viết phương trình tạo với đường thẳng Oy một góc lớn nhất ĐS : x + y + z −3 = 0 Bài 13 : Cho mặt phẳng (α) : x+y−z+1=0 và đường thẳng d: Trong các đường thẳng đi qua A(1; −1 ; 2) và song song với mặt phẳng (α) viết phương trình đường thẳng  sao cho khoảng cách giữa  và d là lớn nhất ́x = 1 ï ĐS : í y = -1 + t ïz = 2 + t î. Bài 14 : Cho đường thẳng d : = = và hai điểm A (2 ; 1 ; −1) và B(3 ; −2 ; 1) . Trong các đường thẳng đi qua B và cắt d , viết phương trình các đường thẳng sao cho khoảng cách từ A tới nó là lớn nhất , nhỏ nhất ĐS : Lớn nhất : = = ; Nhỏ nhất : = = Bài 15 : Cho đường thẳng  : và hai điểm A(2 ;1 ; 1) và B(−1;2;0) Tìm M thuộc  sao cho MA + MB nhỏ nhất ĐS : M( ; ; ) Bài 17: (THTT 2009) Cho đường thẳng ( d ) :. x -1 y + 2 z x -1 y +1 z -1 = = ; ( d1 ) : = = -1 1 2 2 1 1. và hai điểm A(1 ; 4 ; 2) B(−1 ; 2 ; 4) a) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d sao cho khoảng cách từ A tới (P) là lớn nhất b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (xOy) một góc nhỏ nhất c) Viết phương trình mặt phẳng (R) chứa đường thẳng d và tạo với trục Oy góc lớn nhất d) Trong các đường thẳng đi qua A và cắt đường thẳng d , viết phương trình các đường thẳng sao cho khoảng cách từ B tới nó là lớn nhất , nhỏ nhất e) Trong các đường thẳng đi qua A(2 ; −1 ; 2) và cắt đường thẳng d , viết phương trình đường thẳng sao cho khoảng cách giữa nó và d là lớn nhất ĐS : a) 5x + 13y −4z + 21 = 0 b) x − y + z − 3 = 0 c) x + 5y − z + 9 = 0 d) Lớn nhất :. x -1 y - 4 z - 2 x -1 y - 4 z - 2 = = = = Nhỏ nhất : 1 -4 -3 15 18 19. Bài 18: (THTT 2009) Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 14.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> HÌNH CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN. ́x + y + z - 3 = 0 Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa î2 x + y + z - 4 = 0. Cho đường thẳng ( d ) : í. đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (xOy) một góc bằng 60 ĐS : a) 2 x + y + z - 2 - 2 = 0 và 2 x - y - z - 2 + 2 = 0 Bài 19: (THTT 2009) ́ x = -t ï Cho đường thẳng ( d ) : í y = -1 + 2t Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua đường ïz = 2 + t î thẳng d và tạo với mặt phẳng (P) : 2 x - y - z - 2 = 0 một góc nhỏ nhất ĐS : x + y + z - 3 = 0. Bài 20: (ĐH - B2009) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z - 5 = 0 và hai điểm A(-3;0;1), B(1;-1;3). Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P), hãy viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất. ĐS :. x + 3 y z -1 = = 26 11 -2. x 2. Bài 21: (ĐH - B2010) Trong không gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng Δ: . y 1 z  . 1 2. Xác định tọa độ điểm M trên trục hoành sao cho khoảng cách từ M đến Δ bằng OM. ĐS : M (-1;0;0); M (2;0;0) Bài 22: Trong không gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng Δ:. x -1 y + 2 z = = và hai điểm -1 1 2. A(1;4;2); B(-1;2;4) . Xác định tọa độ điểm M thuộc  sao cho. a) MA + MB nhỏ nhất uuuur uuuur b) 3OM + 2 AM - 4 BM nhỏ nhất c) Diện tích tam giác MAB nhỏ nhất ĐS : a) M (-1;0;4) 5 7 2 2 -12 5 38 ; ; ) c) M ( 7 7 7. b) M ( ; - ;3). x 1. Bài 23: Trong không gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng Δ: =. y + 2 z -1 = và các điểm -1 1. A(1;0;0); B(0;1;1); C (0;0;2) . Xác định tọa độ điểm M thuộc  sao cho Góc giữa hai mặt phẳng (MAB) và (CAB) bằng 300 ĐS : M (0; -2;1). Bài 24: (ĐH - A2009) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z - 1 = 0 và hai đường thẳng D1 :. x +1 y z + 9 x -1 y - 3 z + 1 = = ; D2 : = = . Xác định 1 1 6 2 1 -2. toạ độ điểmM thuộc 1 sao cho khoảng cách từ M đến 2 và khoảng cách từ M đến (P) bằng nhau. Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 15.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> HÌNH CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN. ĐS : M (0;1; -3); M (. 18 53 3 ; ; ) 35 35 35. Bài 25: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm O(0;0;0); A(3;0;0) B(1;2;1); C (2; -1;2). a) Lập phương trình mặt thẳng qua A,B và cắt trục Oz tại M sao cho diện tích tam giác ABM bằng. 9 2. b) Lập phương trình mặt thẳng qua C,Q và cắt trục Oy tại N sao cho thể tích hối tứ diện ABCN bằng 12 ĐS : a) x + 2 y - 2 z - 3 = 0 b) 19 x + 3 y + 18 z - 57 = 0. Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 16.

<span class='text_page_counter'>(17)</span>