CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

ĐỀ CƯƠNG CHI TIẾT
I/ HỆ THỐNG LÝ THUYẾT
1.
2.

Hàm số lượng giác
Phương trình lượng giác ( cơ bản, thường gặp)

II/ HỆ THỐNG CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Hàm số lượng giác
2. Phương trình lượng giác (cơ bản, thường gặp)
III/ BÀI TOÁN THỰC TẾ

NỘI DUNG CỤ THỂ
I/ HỆ THỐNG LÝ THUYẾT
1. Lý thuyết về hàm số lượng giác
1.1. Hàm số sin và hàm số cosin


1.2.

Hàm số tan và hàm số cotang

2. Lý thuyết về phương trình lượng giác
2.1. Phương trình lượng giác cơ bản
2.1.1.
Phương trình
- Trường hợp |a| > 1: Phương trình (1) vơ nghiệm


- Trường hợp |a| ≤ 1: Phương trình (1) có các nghiệm là

+ Nếu số thực α thoả mãn điều kiện

Tổng quát:
+ sin f(x) = sin

+ sin x =

2.1.2.

g(x)

sin β°

Phương trình

- Trường hợp |a| > 1: Phương trình (2) vơ nghiệm
- Trường hợp |a| ≤ 1: Phương trình (2) có các nghiệm là
x = ±α + k2π, k ∈ Z.
+ Nếu số thực α thoả mãn điều kiện:

Tổng quát:
+ cos f(x) = cos g(x) ⇔ f(x) = x = ±g(x) + k2π, k ∈ Z.
+ cos x = cos β° ⇔ x = ±β° + 360°, k ∈ Z.

2.1.3

Phương trình

- Điều kiện của phương trình là x ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z.

- Nghiệm của phương trình tan x = a là:


x = arctan α + kπ, k ∈ Z.
Tổng quát:
+ tan f(x) = tan g(x) ⇒ f(x) = g(x) + kπ, k ∈ Z.
+ tan x = tan β° ⇔ x = β° + k180°, k ∈ Z.
2.1.4

Phương trình

- Điều kiện của phương trình là x ≠ kπ, k ∈ Z.
- Nghiệm của phương trình cot x = a là:
x = arccot α + kπ, k ∈ Z.
Tổng quát:
+ cot f(x) = cot g(x) ⇒ f(x) = g(x) + kπ, k ∈ Z.
+ Phương trình cot x = cot β° có các nghiệm là x = β° + k180° , k ∈ Z.
2.2. Lý thuyết về phương trình lượng giác thường gặp
2.2.1.
Phương trình bậc nhất đối với hàm số
lượng giác
Có dạng:
( trong đó: a,b là hằng số
t là một trong các hàm số lượng giác )
2.2.2.
giác

Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng

Có dạng:

2.2.3. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
Có dạng:
II/ HỆ THỐNG CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Hàm số lượng giác


Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số lượng giác
Phương pháp: tìm điều kiện của biến x để hàm số xác định
và chú ý tới các tập xác định của hàm số lượng giác
Ví dụ: Tìm tập xác định của hàm số:
Giải
Hàm số xác định:
⇔ sinx ≠ 0
⇔ x ≠ kπ, (k ∈ Z).
– Kết luận: Tập xác định của hàm số là D = R{kπ, k ∈ Z}.
Dạng 2: Xác định hàm số là hàm chẵn, hàm lẻ
Phương pháp: Để xác định hàm số y= f(x) là hàm chẵn hay
hàm lẻ ta làm như sau:
B1: Tìm tập xác định D của hàm số
B2: Với x bất kỳ, x D, ta chứng minh –x D
B3: Tính f(-x)
Nếu f(x)=f(-x) thì hàm số y = f(x) là hàm số chẵn
Nếu f(x)=-f(x) thì hàm số y= f (x) là hàm số lẽ
Nếu f(x) f(-x),-f(x) thì hàm số khơng là hàm số chẵn, lẽ
Ví dụ: Khảo sát tính chẵn lẽ của hàm số sau: y = tanx +
3sinx
Giải:
+ Tập xác

định:

+ Với x

bất kỳ: x ∈ D, ta cũng có -x ∈ D

+ Ta có: f(-x) = tan(-x) + 3sin(-x) = -tanx – 3sinx = -(tanx +
3sinx) = -f(x), ∀x ∈ D.
⇒ y = tanx + 3sinx là hàm số lẻ.
Dạng 3: Hàm số tuần hồn, xác định chu kì tuần hồn
Phương pháp: Để chứng minh hàm số y= f(x) ( có tập xác
định D) tuần hoàn, ta cần chứng minh T sao cho:
i) xT D,
ii)
f(x+T)=f(x)
Giả sử hàm số tuần hồn, để tìm chu kì tuần hồn ta cần tìm
số dương T nhỏ nhất thỏa mãn i, ii.


Ví dụ: Chứng minh hàm số y = sin2x tuần hoàn với chu
kỳ π.
Giải:
– Hàm số y = f(x) = sin2x
+ TXĐ: D=R; x + π ∈ D, x – π ∈ D, ∀x ∈ D.
+ Ta có: f(x + π) = sin2(x + π) = sin(2x + 2π) = sin2x = f(x).
⇒ Hàm số y = sin2x là hàm số tuần hồn.
+ Giả sử có a, với 0 < a < π sao cho: f(x+a) = f(x), ∀x ∈ D,
tức là:
sin[2(x+a)] = sin2x, ∀x ∈ D.
– Chọn x = 0, ta có: sin2a = 0 ⇒ 2a = kπ (k ∈ Z) ⇒

– Do 0< a <π , nên
– Thử lại: khơng đúng ∀x ∈ D.
Chẳng hạn, khi: thì cịn
Vì vậy, khơng phải chu kỳ của hàm số, chu kỳ của hàm số y
= sin2x là π.
Dạng 4: Vẽ đồ thị hàm số, xác định khoảng đồng biến
và nghịch biến.
Phương pháp:
B1: Vẽ đồ thị của hàm số
B2: Dựa vào đồ thị vẽ các khoảng đồng biến và nghịch biến.
Ví dụ: Dựa vào đồ thị của hàm số y = sinx, vẽ đồ thị của
hàm số y = |sinx|
Giải:
+ Hàm số y = sinx

+ Hàm


⇒ Vậy từ đồ thị hàm số y = sin x ta có thể suy ra đồ thị hàm số y = |sin x|
bằng cách:
– Giữ nguyên phần đồ thị nằm phía trên trục hồnh (sin x > 0).
– Lấy đối xứng phần đồ thị nằm phía dưới trục hồnh qua trục hoành.
⇒ Ta được đồ thị hàm số y = |sinx| là phần nét liền hình phía dưới.

Dạng 5: Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác
Phương pháp: vận dụng tính chất
Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN)
của các hàm số sau:

Giải:

Ta có:

⇒ GTNN của y = -4 đạt được khi:

⇒ GTLN của y = 6 đạt được khi

2. Phương trình lượng giác
Dạng 1: Giải phương trình lượng giác cơ bản
Phương pháp: dùng các cơng thức nghiệm tương ứng với
mỗi phương trình
Ví dụ: Giải phương trình sau:
Giải:


Dạng 2: Giải một số phương trình thường gặp đưa về
phương trình lượng giác cơ bản
Loại 2.1: Phương trình thường gặp có dạng phương
trình thuần nhất :
Phương pháp: dùng các cơng thức biến đổi đưa phương
trình lượng giác đã cho về phương trình lượng giác cơ bản như
Dạng 1
Ví dụ: Giải phương trình sau:
Giải:

Loại 2.2: Phương trình thường gặp có dạng phương
trình khơng thuần nhất :
Phương pháp:
Cách 1: Sử dụng cơng thức biến đổi
Đưa phương trình về phương trình lượng giác cơ bản
hoặc

Cách 2: Sử dụng cơng thức tính sinx và cosx theo
Trong đó: và đưa phương trình trên về phương trình bậc 2
đối với t.
Ví dụ: Giải phương trình sau:
Giải:

Loại 2.3: Phương trình bậc nhất có ẩn là hàm số lượng
giác
Phương pháp: : dùng các cơng thức biến đổi đưa phương
trình lượng giác đã cho về phương trình lượng giác cơ bản như
Dạng 1
Ví dụ:Giải phương trình sau:
Giải: Điều kiện Từ phương trình trên chuyển vế ta có : . Vì
nên phương trình dã cho vơ nghiệm
Loại 2.4: Phương trình bậc hai có ẩn là hàm số lượng
giác
Phương pháp:
B1:Đặt hàm số lượng giác chứa ẩn phụ ta đưa được phương
trình về dạng một phương trình bậc hai.
B2:Giải phương trình bậc hai này.


B3: (áp dụng cho trường hợp phương trình có nghiệm): thế
giá trị của nghiệm tìm được trở lại phép đặt
B4: Giải phương trình lượng giác cơ bản.
Ví dụ: Giải phương trình sau:
Giải: Đặt t=cosx (. Phương trình trên trở thành

Với
Với

Loại 2.6: Phương trình thường gặp có dạng phương
trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx
( trong đó: a,b,c là các hằng số)
Phương pháp:
Cách 1: Đưa về dạng phương trình bậc hai đối với tanx bằng
cách chia phương trình cho cosx ( .
Cách 2: Đưa về dạng phương trình bậc hai đối với cotx bằng
cách chia phương trình cho sinx ( .
Ví dụ: Giải phương trình sau: (1)
Giải:
+ Xét cosx=0 => Phương trình trở thành 2=0 ( loại)
+ Xét . Chia hai vế cho


Dạng 7: Phương trình thường gặp có dạng phương
trình đối xứng với hàm sinx và cosx
Phương pháp:
B1: Đặt t=sinx+cosx. Khi đó sinx.cosx= thay vào phương
trình ta được:
( điều kiện vì
B2: Tìm nghiệm t của phương trình trên và đối chiếu với điều
kiện của t
B3: Thế giá trị t tìm được trở lại phép đặt
B4: Giải phương trình
Ví dụ: Giải phương trình sau:
Giải:
Đặt sinx+cosx=t. Điều kiện => sinx.cosx=

Khi đó phương trình có dạng : => hoặc( loại).
 ,
 hoặc (


III/ BÀI TỐN THỰC TẾ
Bài tốn 1: Trong cuốn tiểu thuyết kinh điển Don Quixote,
nhân vật nổi tiếng trong trận chiến với cốt xay gió. Trong bài
tốn này, chúng ta sẽ mơ hình hóa những gì sẽ xảy ra khi Don
Quixote đấu với cối xay gió và cối xay gió chiến thắng. Giả sử
tâm của cối xay gió cách mặt đất 20 m, và các cánh buồm dài
15 m. Don Quixote bị kẹt trên một đầu của một trong những
cánh buồm. Các cánh buồm đang quay với tốc độ một vòng
quanh ngược chiều kim đồng hồ cứ sau 1 phút. Hãy mơ hình
hóa độ cao của Don Quixote so với mặt đất như một hàm thời
gian.Gọi t=0 là thời điểm người đó ở gần mặt đất nhất.
Bài tốn 2: Một chiếc đu quay có đường kính 17 m. Bạn lên ở
dưới cùng của vòng đu quay từ bệ cách mặt đất 2m. Nếu mất
25 giây để đạt được trên cùng, xác định một phương trình cho
chiều cao cuả người lái theo thời gian.
Bài tốn 3: Một nhóm học sinh đang theo dõi một người đang
chơi đu quay. Họ biết rằng người đó đạt chiều cao tối đa 11 m ở
10 giây và sau đó đạt chiều cao tối thiểu 1 m ở 55s. Xây đựng
phương trình của một hàm hình sine mơ hình độ cao của người
đó so với mặt đất để xác định chiều cao của anh ta ở tuổi 78.