Quan hệ vuông góc giữa 2 đường thẳng trong không gian

<span class='text_page_counter'>(1)</span> Tặng . Khóa học: Quan hệ vuông góc trong không gian. Bài giảng số 1: QUAN HỆ VUÔNG GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM . Định nghĩa: Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900 . Nhận xét: Cho hai đường thẳng song song. Đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng thứ nhất thì vuông góc với đường thẳng thứ hai. a  b Tức là:  cb. d c  a. . Định lý: Nếu đường thẳng  d  vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b nằm trong mặt phẳng  P  thì nó. c. vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong  P  .. b a. P . Định lý ba đường vuông góc: Cho đường thẳng a có hình chiếu trên mặt phẳng  P  là đường thẳng a . Khi ấy, một. a. đường thẳng b nằm trong  P  vuông góc với a khi và chỉ khi nó vuông góc với a . Tức là: a  b   P   a  b .. b a'.  B. CÁC VÍ DỤ MẪU  Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc sử dụng việc  tính góc giữa hai đường thẳng Phương pháp áp dụng: Để chứng minh đường thẳng a (với vtcp a ) vuông góc với đường thẳng b (với  vtcp b ), ta lựa chọn theo hướng: Hướng 1: Chứng minh  a, b   900 , trong nhiều trường hợp chúng ta sử dụng tích vô hướng. Hướng 2: Sử dụng kết quả về liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của hai đường thẳng. Ví dụ 1: Cho hai tam giác cân ABC và DBC có chung cạnh đáy BC và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. a) Chứng minh rằng AD vuông góc với BC .. Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân – CN. Nguyễn Thị Trang.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> A. Tặng . Khóa học: Quan hệ vuông góc M trong không gian. b) Gọi M và N là các điểm lần lượt thuộc các đường thẳng AB     và BD sao cho MA  k MB và ND  k NB . Tính góc giữa hai đường thẳng MN và BC . B Giải: a) Cách 1: Gọi I là trung điểm của BC , ta có: BC  IA , BC  ID ,          AD.BC  ID  IA BC  ID.BC  IA.BC  0  AD  BC .. . . N. D. I. Cách 2: Vì các  ABC ,  DBC cân tại A và D nên:  BC  AI  BC   IAD   BC  AD .  C  BC  DI     b) Từ giả thiết MA  k MB và ND  k NB , suy ra MN  AD   MN , BC    AD, BC   900 .. Ví dụ 2: Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a . Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp  BCD . Chứng minh rằng AO vuông góc với CD . Giải: A Qua O dựng đường thẳng song song với CD , cắt BC , BD theo thứ tự tại E và F , M là trung điểm của CD suy ra:  AO, CD    AOF .  EF  CD  BE  BF  Ta có:  BC  BD   MC  MD OE  OF  Xét  ABE và  ABF , ta có:  BE  BF   ABE  ABF  AE  AF  AB chung   0  ABE  ABF  60  AEF cân tại A  AO  EF   AOF  900  AO  CD .. N. F. B. D. O M E. C Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD . Chứng minh rằng:       a) AB.CD  AC.DB  AD.BC  0 . Từ đó, suy ra rằng nếu tứ diện ABCD có AB  CD và AC  DB thì AD  BC . A       b) Nếu AB.AC  AC. AD  AD. AB thì AB  CD , AC  BD , AD  BC . Điều ngược lại có đúng không?   CDA  thì AD  BC , c) Nếu AD  BD  CD và  ADB  BDC AC  DB , AB  CD . Giải: a) Ta lần lượt có:          AB.CD  AB AD  AC  AB.AD  AB. AC  3. . . B. D. Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân – CN. Nguyễn Thị Trang. C.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Tặng    AC.BD  AC    AD.BC  AD.  .    .  AD  AB   AC.AD  AC.AB        AB  AC   AD.AB  AD.AC. Khóa học: Quan hệ vuông góc trong không gian.  3  3. Cộng theo vế  3  ,  3  và  3  , ta được:       AB.CD  AC.DB  AD.BC  0 . Khi đó, với điều kiện AB  CD và AC  DB thì:       AB.CD  0 và AC.DB  0  AD.BC  0  AD  BC .          b) Ta có: AB.CD  AB AD  AC  AB. AD  AB. AC  0  AB  CD. . . Chứng minh tương tự ta cũng nhận được: AC  BD , AD  BC . Vì các phép biến đổi trên là tương đương nên điều ngược lại cũng đúng.            AD 2 cos  c) Ta có: AD.BC  AD AB  AC  AD. AB  AD. AC  AD 2 cos CDA ADB  0  AD  BC .. . . Chứng minh tương tự ta cũng nhận được: AC  DB , AB  CD . Ví dụ 4: Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình bình hành.  SAB và  SAD là các tam giác vuông tại A . a) Chứng minh rằng SA vuông góc với BC và CD . b) Chứng minh rằng SA vuông góc với AC và BD . Giải: S  BC  AD CD  AB a) Ta có:   BC  SA ,   CD  SA .  AD  SA  AB  SA b) Trên tia SA lấy điểm S  sao cho AS  AS  , ta có: AB , E AD đều là trung trực của SS   BS  BS  và DS  DS   SBD S BD  c.c.c  A D  OS  OS  OSS  cân tại O  OA  SS   AC  SA . O Trong  CSS   kẻ Ox song song với SS  và cắt SC , S C C theo thứ tự tại E , F và là trung điểm của mỗi đường, ta có B F ngay: EF  SA . S' Mặt khác, vì  SBC S BC  c.c.c   BE  BF BEF cân tại B  OB  EF  BD  SA . C'. Ví dụ 5: Trong không gian cho hai hình vuông ABCD và ABC D có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau, lần lượt có tâm O và O . Chứng minh rằng D' AB  OO và tứ giác CDDC  là hình chữ nhật. Giải: a) Giả sử hình vuông có cạnh bằng a , ta có: O'. Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi B Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân – CN. Nguyễn Thị Trang. C O. A. D.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Tặng . Khóa học: Quan hệ vuông góc trong không gian.          AB.OO  AB AO  AO  AB. AO  AB. AO. . . a 2 a 2 .cos 450  a. .cos 450  0 2 2   AB  OO .  a.. . . . b) Nhận xét rằng: CD  AB và C D  AB  C D  CD    DC , CC     AB, OO   900  5  DCC.  5. Từ  5  và  5  suy ra tứ giác CDDC  là hình chữ nhật.  Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau bằng cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, mặt phẳng trung trực. Phương pháp áp dụng: Để chứng minh hai đường thẳng a , b vuông góc với nhau, ta có thể lựa chọn một trong các cách sau: Cách 1: Chứng minh đường thẳng a vuông góc với một mặt phẳng chứa đường thẳng b . Cách 2: Sử dụng định lý ba đường vuông góc. Cách 3: Nếu hai đường thẳng ấy cắt nhau thì có thể áp dụng các phương pháp đã học trong hình học phẳng. Ví dụ 6: Cho tứ diện SABC có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng  ABC  và có  ABC vuông tại B . Trong mặt phẳng  SAB  kẻ AM vuông góc với SB tại M . Trên cạnh SC lấy điểm N sao cho SM SN  . Chứng minh rằng: SB SC a) BC   SAB  và AM   SBC  .. b) MN   SAB  , từ đó suy ra SB  AN . Giải: a) Ta lần lượt có:  BC  SA  AM  SB  BC   SAB  ,   AM   SBC  .   BC  AB  AM  BC SM SN b) Từ giả thiết:   MN  BC SB SC  MN   SAB   MN  SB. S. N M. A.  SB   AMN   SB  AN .. C. B. Ví dụ 7: Cho hình chóp SABC có SA   ABC  , các tam giác  ABC và  SBC không vuông. Gọi H và K lần lượt là trực tâm của các tam giác  ABC và  SBC . Chứng minh rằng: a) AH , SK , BC đồng quy. b) SC   BHK  .. Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân – CN. Nguyễn Thị Trang.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Tặng . Khóa học: Quan hệ vuông góc trong không gian. c) HK   SBC  .. S. Giải: a) Gọi E   AH  BC , ta có:  BC  AE  BC   SAE   BC  SE   BC  SA  SE là đường cao của  SBC  K  SE . Vậy ba đường thẳng AH , SK , BC đồng quy tại E .  BH  AC b) Ta có:   BH   SAC   BH  SC .  BH  SA Mặt khác, ta có: BK  SC . Do đó SC   BHK  .. K A C. H E. c) Do SC   BHK  nên HK  SC . Mà HK  BC . Do đó HK   SBC  .. B. Ví dụ 8: Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm O trên  ABC  . a) Chứng minh rằng BC   OAH  , CA   OBH  , AB   OCH  . b) Chứng minh rằng H là trực tâm của  ABC . 1 1 1 1 c) Chứng minh rằng    . 2 2 2 OH OA OB OC 2 d) Chứng minh rằng các góc của  ABC đều nhọn. Giải: a) Từ giả thiết OH   ABC   OH  BC .. A. OA  OB Ta có:   OA   OBC   OA  BC . OA  OC Do đó BC   OAH  .. H. Chứng minh tương tự ta nhận được CA   OBH  , AB   OCH  . b) Từ kết quả câu a) ta có: BC   OAH   BC  AH . AC   OBH   AC  BH . Vậy H là trực tâm của  ABC . c) Giả sử AH cắt BC tại K , suy ra OK  BC . B 1 1 1 Trong OBC vuông tại O , ta có:   . OK 2 OB 2 OC 2 1 1 1 1 1 1 Trong OAK vuông tại O , ta có:      . 2 2 2 2 2 OH OA OK OA OB OC 2 d) Giả sử OA  a , OB  b , OC  c .. Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân – CN. Nguyễn Thị Trang. O C K.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Tặng . Khóa học: Quan hệ vuông góc trong không gian. Xét các  ABO ,  BCO ,  ACO đều vuông tại O , ta có: AB 2  OA2  OB 2  a 2  b 2 , BC 2  OB 2  OC 2  b 2  c 2 , AC 2  OA2  OC 2  a 2  c 2 2 2 2 2 2 2 AB 2  AC 2  BC 2 a  b  a  c  b  c  cos BAC   0 2 AB. AC 2 a 2  b2 . a 2  c2  nhọn.  BAC Chứng minh tương tự, ta được các góc  ABC và  ACB đều nhọn.. . . Vậy các góc của  ABC đều nhọn. Ví dụ 9: Hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh SA  a và vuông góc với mặt phẳng  ABCD  . a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông. b) Mặt phẳng   đi qua A và vuông góc với cạnh SC lần lượt cắt SB , SC , SD tại B , C  , D . Chứng minh BD song song với BD và AB vuông S góc với SB . Giải: a) Ta có ngay,  SAB và  SAD vuông tại A . C' Từ giả thiết: SA   ABCD   SA  BC . B' Mặt khác, ta có: AB  BC vì ABCD là hình vuông. D' E Suy ra BC   SAB   BC  SB  SBC vuông tại B . Chứng minh tương tự ta được  SDC vuông tại D . b) Nhận xét rằng:  SAB  SAD  c.g .c   SB  SD . SB SD B Trong  SBD có:   BD  BD . A SB SD Ta có: SC     SC  AB  . Mà BC   SAB   BC  AB . Do đó, AB   SBC   AB   SB .. O. C. D. Ví dụ 10: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , SA vuông góc với mặt phẳng  ABCD  . Gọi H , I , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên SB , SC , SD . a) Chứng minh rằng BC   SAB  , CD   SAD  . S. b) Chứng minh rằng  SAC  là mặt phẳng trung trực của đoạn BD . c) Chứng minh rằng AH , AK cùng vuông góc với SC . Từ đó suy ra ba thẳng AH , AI , AK cùng chứa trong một mặt phẳng. d) Chứng minh rằng  SAC  là mặt phẳng trung trực của đoạn HK . Từ đó suy ra HK  AI . e) Tính diện tích tứ giác AHIK , biết SA  AB  a .. I H K. E. Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi A Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân – CN. Nguyễn Thị Trang. B. O D. C.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Tặng . Khóa học: Quan hệ vuông góc trong không gian. Giải: a) Từ giả thiết  SA  BC . Mặt khác, ta có: AB  BC vì ABCD là hình vuông. Suy ra BC   SAB  . Chứng minh tương tự ta được CD   SAD  . b) Từ giả thiết SA   ABCD   SA  BD . Mặt khác, ta có: AC  BD vì ABCD là hình vuông. Do đó BD   SAC  tại trung điểm O của BD . Vậy  SAC  là mặt phẳng trung trực của đoạn BD .  AH  SB c) Từ giả thiết và kết hợp với kết quả câu a), ta được:   AH   SBC   AH  SC .  AH  BC Chứng minh tương tự ta được AK  SC . Như vậy, vì AH , AI , AK cùng vuông góc với SC nên ba đường thẳng AH , AI , AK cùng chứa trong một mặt phẳng qua A và vuông góc với SC . d) Giả sử HK cắt AI tại E . Nhận xét rằng:  SAB  SAD  c.g .c   SH  SK . SH SK   HK  BD và E là trung điểm của HK . SB SD Kết hợp với kết quả ở câu a), suy ra HK   SAC  tại trung điểm E của HK .. Trong  SBD , ta có:. Vậy  SAC  là mặt phẳng trung trực của đoạn HK . Từ kết quả HK   SAC  suy ra HK  AI . e) Ta có: S AHIK . 1 AI .HK . 2. a 6 1 1 1 1 1  2  2  2  AI  . 2 2 AI SA AC a 2a 3 a 2 SH SK 1 Trong  SBD , ta được:    HK là đường trung bình  HK  . SB SD 2 2 1 a 6 a 2 a2 3 Vậy S AHIK  . .  . 2 3 2 6 Trong  SAC vuông tại A , ta được:. C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Cho tứ diện đều ABCD có I là trung điểm của AB. Hãy tính góc giữa các cặp vectơ sau đây:   a) AB và BC ĐS: AB,BC  1200 b) CI và AC.     ĐS:  CI , AC   150. Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân – CN. Nguyễn Thị Trang. 0.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Tặng . Khóa học: Quan hệ vuông góc trong không gian. Bài 2: Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA  OB  OC  a. Gọi M là trung điểm của AB. Tính góc giữa hai vectơ OM và BC  1      HD: Sử dụng OM  OA  OB và BC  OC  OB sau đó sử dụng tính cosin giữa hai vectơ từ đó tính 2 o toán để suy ra 120 .. . . Bài 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. a) Hãy phân tích các vectơ AC ' và BD theo ba vectơ AB , AD và AA' . b) Tính cos( AC ', BD) và từ đó suy ra AC ' và BD vuông góc với nhau. Bài 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau đây: a) AB và B’C’. ĐS:  AB,B' C'   900. b) AC và B’C’. ĐS:  AC,B' C'   450. c) A’C’ và B’C. ĐS:  A' C',B' C   600. Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có SA  SB  SC  AB  AC  a và BC  a 2 . Tính góc giữa hai đường thẳng SC và AB.   CSA  . Chứng minh rằng: Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có SA  SB  SC và  ASB  BSC. a) SA  BC. b) SB  AC. Bài 7: Cho hình tứ diện ABCD. Chứng minh rằng nếu AB  CD, AC  BD, AD  BC . Điều ngược lại có đúng không?. c) SC  AB AB. AC  AC. AD  AD. AB. thì. Bài 8: Cho hình tứ diện ABCD, trong đó AB vuông góc với AC , AB vuông góc với BD. Gọi P, Q là các điểm lần lượt thuộc các đường thẳng AB, CD sao cho PA  k PB , QC  k QD ( k  1 ) . Chứng minh rằng AB và PQ vuông góc với nhau.   Bài 9: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh bằng a và các góc  ABC  B ' BA  B ' BC  600. Tính diện tích tứ giác A’B’CD.. Bài 10: Tính các góc giữa các cặp đường thẳng DA và BC , DB và AC, DC và AB của tứ diện ABCD, biết rằng DA  BC  a, DB  AC  b, DC  AB  c.   BAD   600 , CAD   900. Gọi I và J lần lượt là Bài 11: Cho tứ diện ABCD có AB  AC  AD và BAC trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng:. a) AB  CD. b) IJ  AB,IJ  CD.. Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân – CN. Nguyễn Thị Trang.

<span class='text_page_counter'>(9)</span>