SKKN một số giải pháp dạy học sinh yếu kém môn toán lớp 12

1
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN
Kính gửi:
-

Hội đồng Sáng kiến Trường THPT DTNT Huỳnh Cương;

-

Hội đồng Sáng kiến Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Sóc Trăng;

I. THƠNG TIN CHUNG
Tơi ghi tên dưới đây:

Số

H

TT

1

Trầ

Là tác giả đề nghị xét công nhận sáng kiến: “Một số
yếu - kém mơn Tốn lớp 12”.
-

Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giáo dục ( Toán học 12)

-

Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: 17/8/2020.

AI.

MÔ TẢ BẢN CHẤT CỦA SÁNG KIẾN
1. Tính mới của giải pháp:

Việc phụ đạo học sinh yếu kém bộ môn là một trong những vấn đề rất quan
trọng, cấp bách, cần thiết và không thể thiếu trong mỗi môn học ở các cấp học nói
chung và ở cấp Trung học phổ thơng nói riêng đặc biệt là đối với mơn Tốn 12. Ở
lớp 12 này học sinh phải chuẩn bị kiến thức, kĩ năng vững vàng để chuẩn bị cho kì
thi tốt nghiệp THPT. Vì thế với đề tài này, học sinh sẽ nhanh chóng ơn tập lại được
các kiến thức cơ bản đồng thời tiếp cận được phương pháp dạy học mới đang được
triển khai. Học sinh học theo hướng tích cực, độc lập, chủ động nghiên cứu, tìm
tịi, sáng tạo,... để lĩnh hội và vận dụng kiến thức tốt hơn trong các kì kiểm tra sắp
tới.


2

2. Nội dung sáng kiến:
Trường THPT DTNT Huỳnh Cương là ngôi trường giáo dục, đào tạo các con
em người dân tộc, do đó đa số các em là học sinh nghèo ở vùng sâu, vùng xa, vùng
đặc biệt khó khăn và đặc biệt đầu vào của trường tôi là thi tuyển 60% , xét tuyển
40% nên sự chênh lệch về trình độ của các em học sinh rất rõ và rất đông học sinh
yếu, kém, đặc biệt là từ năm học 2017 – 2018 trường lại bị giới hạn khu vực tuyển

sinh. Do đó, số lượng học sinh yếu kém ngày một đông hơn.
Thông qua điểm khảo sát đầu năm, Nhà trường đã chọn ra được 32 học sinh
yếu, kém mơn Tốn trên tổng số là 206học sinh của khối 12 để phụ đạo thêm cho
các em. Với vài tiết phụ đạo đầu tiên tôi cũng nắm được lực học của từng học sinh
và qua nhiều năm giảng dạy tôi thấy đa số các em học yếu là do các nguyên nhân
sau:
-

Xuất phát từ phía giáo viên

-

Xuất phát từ gia đình

-

Do chưa có phương pháp học phù hợp

-

Do lười học, ham chơi,ghiền game, không xác định được nhiệm vụ học tập.

-

Do mất căn bản.

Các nguyên nhân trên tác động vào quá trình học tập của học sinh đã dẫn
đến các em học tập sa sút đi dẫn đến yếu kém. Mà đã học yếu thì các em sẽ tự ti và
khơng cịn thiết học mơn học đó nữa. Đặc biệt là mơn Tốn các kiến thức được gắn
với nhau thành một chuỗi liên kết, kiến thức trước làm tiền đề để vận dụng học

kiến thức sau. Do vậy nếu các em lơ là không nắm được kiến thức ở tiết học trước,
lớp trước thì rất khó khăn cho việc tiếp thu và hiểu kiến thức ở tiết học sau đặc biệt
chương trình 12 là chương trình được ứng dụng nhiều kiến thức ở lớp 10 và 11.
Như vậy xây dựng động cơ học tập mơn tốn là giúp cho học sinh hiểu học để làm
gì ? Vì sao phải học ? Và học như thế nào? Là vấn đề mà mỗi giáo viên cần phải
quan tâm hàng đầu.
Các giải pháp tiến hành giải quyết vấn
đề 2.1. phƣơng pháp chung
2.1.1. Giải pháp 1 (Đối với học sinh lƣời học, ham chơi ,không xác định
đƣợc nhiệm vụ học tập).
Những học sinh rơi vào tình trạng trên là do: khơng học bài, khơng làm bài,
quên vở ở nhà, không ghi bài, không tập chung vào bài giảng, hay viện lí do bệnh
để xin nghỉ tiết. Để các em có hứng thú học tập giáo viên phải nắm vững và phối
hợp nhịp nhàng các phương pháp dạy học, thay đổi hình thức trị chơi, sử dụng đồ
dùng dạy học phong phú, đặc biệt nên sử dụng nhiều tiết dạy có ứng dụng cơng
nghệ thơng tin, khai thác triệt để các tiết dạy có liên hệ thực tế …Thu hút sự chú ý
ở tất cả các em, giúp các em hiểu bài có thể giải quyết được các bài tập cơ bản.
Thông qua các bạn học sinh ngồi bên cạnh nhắc nhỡ và giúp đỡ khi các bạn vấp
phải những lỗi trên, ra các bài tập cơ bản và hướng dẫn các em làm. Các em làm
được bài sẽ hứng thú và thích học Tốn hơn.


3

2.1.2. Giải pháp 2 (Đối vớihọc sinh yếu do chƣa có phƣơng pháp học phù hợp)

Phương pháp học tập của từng bộ mơn là khác nhau, có những học sinh rất
chăm chỉ đến lớp chăm chú nghe giảng nhưng khi vận dụng vào làm bài tập thì
khơng làm được hoặc làm thì sơ sài khơng lơgic và thiếu tính khoa học. Nguyên
nhân là do các em chưa có phương pháp học tập phù hợp. Do vậy người giáo viên

cần :
+ Hướng dẫn cho học sinh phương pháp học tập bộ môn ngay từ đầu năm
học.Thu hút tất cả học sinh trong lớp chăm chú nghe khi thầy cô giảng bài.
+ Nhẹ nhàng nhắc nhở, phân tích để học sinh thấy được tại sao mình học
yếu.
+ Bằng ví dụ cụ thể giúp học sinh thấy được sự cần thiết phải trình bày lời
giải một cách lơgic.
+ Phân tích cho học sinh thấy để nắm vững kiến thức cần phải hiểu sâu sắc
kiến thức đó qua các định nghĩa, định lí và thực hành thành thạo các dạng bài tập
cơ bản về vận dụng định nghĩa, định định lí.
+ Giúp học biết sử dụng các tính chất, định lí vào bài tập. Học sinh biết tóm
tắt nội dung định nghĩa, định lí bằng kí hiệu tốn học và thừa nhận kết quả sau khi
chứng minh vào các bài tập mà không cần phải chứng minh lại.
+ Sau khi học xong một chương cần giúp học sinh hệ thống hoá kiến thức
(tốt nhất là bằng bảng hoặc bằng sơ đồ). Tóm tắt kiến thức cơ bản và các công thức
quan trọng cũng như cách giải một số dạng toán cơ bản dán vào góc học tập.
2.1.3. Giải pháp 3(Đối vớihọc sinh học yếu do mất căn bản )
Kiến thức ln cần có sự xuyên suốt. Do mất căn bản học sinh khó mà có
nền tảng vững chắc để tiếp thu kiến thức mới. Để khắc phục tình trạng trên người
giáo viên cần tạo điều kiện để các em lấp lỗ hổng kiến thức, tùy theo từng lớp mà:
- Hệ thống kiến thức theo chương trình.
- Đưa ra nội dung bài tập phù hợp để học sinh luyện tập kiến thức mới và ôn
lại kiến thức cũ.
- Giới hạn kiến thức trọng tâm để học sinh học và làm bài. Bên cạnh đó cần
chú trọng hơn đến việc hướng dẫn bài tập về nhà.
- Chỉ cho học sinh một số mẹo vặt khi làm bài.
-Quansát theo dõi tình hình học tập của các em trong mỗi giờ lên lớp.
- Trong mỗi giờ học cần có các câu hỏi phù hợp với từng đối tượng, tổ chức
thi đua cá nhân,chấm nhanh, thi đua tổ nhóm, đố vui, trò chơi ai nhanh hơn
- Thường xuyên gọi các em trả lời câu hỏi, nhận xét bài của bạn .

-Kiểm tra sự học bài và làm bài trước khi đến lớp của các em .
- Động viên, khích lệ, tuyên dương kịp thời trước lớp nhằm:
+ Xác nhận sự tiến bộ của học sinh.
+ Kích thích sự say mê hứng thú học tập của học sinh.
+ Thúc đẩy hành động theo chuẩn mực.
+ Sửa chữa hành vi sai lệch của học sinh.
+ Kiềm chế sự bộc phát, tập thói quen “chưa học xong bài chưa đi ngủ”


4
- Bên cạnh sự động viên, khích lệ cần có những hình phạt nhẹ khi các em
khơng học bài, khơng làm bài nhưng khơng nên lạm dụng ví dụ như chép bài phạt
nội dung kiến thức mà các em không thuộc.
Trong những tiết học đồng loạt việc luyện tập được thực hiện theo tiến độ
chung đôi khi những em học sinh yếu – kém nắm bắt kiến thức còn hạn chế .Vì
vậythơng qua giờ phụ đạo giáo viên tăng cường luyện tập vừa sức. Cụ thể:
+ Giúp học sinh hiểu rõ đề bài cho gì, yêu cầu gì?
+ Ra những bài tập cơ bản mà các em còn yếu giảng từng bước cho các em
hiểu(xem đây là bài giải mẫu) sau đó cho các bài tập tương tự ( ít nhất 3 bài) cho
các em làm trong một thời gian rồi gọi các em lên bảng, các bạn còn lại làm giáo
viên chấm nhanh (khoảng 5 học sinh/1 bài). Khi sửa bài cần chú ý để các em nhận
xét đúng sai rồi giáo viên cho điểm khích lệ.
2.1.4. Giải pháp 4 ( Đối với giáo viên)
2.1.4.1. Xây dựng môi trƣờng học tập thân thiện
Sự thân thiện của giáo viên là điều kiện cần để những biện pháp đạt hiệu quả
cao. Thơng qua cử chỉ, lời nói, ánh mắt, nụ cười… giáo viên tạo sự gần gũi, cảm
giác an toàn nơi học sinh để các em bày tỏ những khó khăn trong học tập, trong
cuộc sống của bản thân mình.
Giáo viên ln tạo cho bầu khơng khí lớp học thoải mái, nhẹ nhàng, không
mắng hoặc dùng lời thiếu tôn trọng với các em, đừng để cho học sinh cảm thấy sợ

giáo viên mà hãy làm cho học sinh thương yêu và tơn trọng mình.
Bên cạnh đó, giáo viên phải là người đem lại cho các em những phản hồi
tích cực. Ví dụ như giáo viên nên thay chê bai bằng khen ngợi, giáo viên tìm
những việc làm mà em hồn thành dù là những việc nhỏ để khen ngợi các em,hoặc
có thể dùng các phiếu thưởng có in các lời khen phù hợp với từng việc làm của các
em như: “Biết giúp đỡ người khác”, “ Thái độ nhiệt tình và tích cực”…
2.1.4.2. Phân loại đối tƣợng học sinh
Trong q trình thiết kế bài học, giáo viên cần cân nhắc các mục tiêu đề ra
nhằm tạo điều kiện cho các em học sinh yếu được củng cố và luyện tập phù hợp.
Trong dạy học cần phân hóa đối tượng học tập trong từng hoạt động, dành
cho đối tượng này những câu hỏi dễ, những bài tập đơn giản để tạo điều kiện cho
các em được tham gia trình bày trước lớp, từng bước giúp các em tìm được vị trí
đích thực của mình trong tập thể. Yêu cầu luyện tập của một tiết là 4 bài tập, các
em này có thể hoàn thành 1, 2 hoặc 3 bài tuỳ theo khả năng của các em.
Ngồi ra, giáo viên có thể tổ chức phụ đạo cho những học sinh yếu khi các
biện pháp giúp đỡ trên lớp chưa mang lại hiệu quả cao. Có thể tổ chức phụ đạo từ 1
đến 2 buổi trong một tuần.
2.1.4.3. Giáo dục ý thức học tập cho học sinh
Giáo viên phải giáo dục ý thức học tập của học sinh tạo cho học sinh sự
hứng thú trong học tập, từ đó sẽ giúp cho học sinh có ý thức vươn lên. Trong mỗi
tiết dạy giáo viên nên liên hệ nhiều kiến thức vào thực tế để học sinh thấy được
ứng dụng và tầm quan trọng của môn học trong thực tiễn. Từ đây, các em sẽ ham
thích và say mê khám phá tìm tịi trong việc chiếm lĩnh tri thức.
2.1.5. Giải pháp 5 ( Đối với phụ huynh học sinh)


5

Gia đình là mơi trường giáo dục có ảnh hưởng trực tiếp đến trẻ.Trước tiên là
ảnh hưởng của cha mẹ rất sâu sắc .Vì vậy giáo dục gia đình là một “điểm mạnh” là

một bộ phận quan trọng trong sự nghiệp giáo dục học sinh. Song mỗi gia đình có
những điểm riêng của nó nên giáo viên phải biết phối hợp như thế nào để đảm bảo
được tính thống nhất vẹn tồn trong q trình giáo dục để đạt hiệu quả cao.
Không chỉ giáo viên chủ nhiệm mới gặp gỡ phụ huynh học sinh mà giáo
viên bộ môn cũng làm được điều ấy. Cần tạo điều kiện gặp gỡ phụ huynh của
những em học sinh yếu để nắm tình hình học tập ở nhà cũng như tâm tư, nguyện
vọng của các em. Đồng thời thông qua các lần gặp gỡ trao đổi với phụ huynh để
nắm được cách giáo dục con em ở nhà từ đó giáo viên tác động đến phụ huynh một
cách thích hợp để phụ huynh có hướng giáo dục con em mình tốt hơn.
2.2. Phƣơng pháp cụ thể
- Nhà trường lập danh sách học sinh yếu kém thơng qua kết quả lớp 11
( Điểm mơn Tốn dưới 5.0) .
- Điểm danh học sinh mỗi buổi học phụ đạo, ghi nhận và báo với GVCN
những trường hợp học sinh bỏ học phụ đạo để có biện pháp khắc phục.
Xác định kiến thức cơ bản, trọng tâm và cách ghi nhớ
- Xác định rõ kiến thức trọng tâm, kiến thức nền (những kiến thức cơ bản, có
nắm được những kiến thức này mới giải quyết được những câu hỏi và bài tập)
trong tiết dạy cần cung cấp, truyền đạt cho học sinh.
- Đối với học sinh yếu kém không nên mở rộng, chỉ dạy phần trọng tâm, cơ
bản, làm bài tập nhiều lần và nâng dần mức độ của bài tập sau khi các em đã nhuần
nhuyễn dạng bài tập đó.
- Nhắc lại kiến thức kiến thức cơ bản, công thức cần nhớ ở lớp 10, 11 liên
quan đến chương trình 12 mà các em đã hỏng, cho bài tập để học sinh nhớ lâu
Sau đây là một số kiến thức trọng tâm học sinh cần nhớ: DẤU CỦA
NHỊ THỨC BẬC NHẤT
2. Định nghĩa:
Nhị thức bậc nhất là biểu thức được biến đổi về dạng f ( x ) = ax + b (a ≠ 0)
2. Định lý :
Bên trái nghiệm số trái dấu với a, bên phải nghiệm số cùng dấu với a.
x

−∞

f(x)

DẤU TAM THỨC BẬC HAI
1. Định nghĩa: Tam thức bậc hai là biểu thức có dạng f ( x ) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) .
2.

Định lý (về dấu tam thức bậc hai)
Cho tam thức bậc hai f ( x ) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) và ∆ = b 2 −
4ac

+ Nếu ∆ < 0 thì f ( x) cùng dấu với hệ số a với mọix.

trái dấu a


6

+ Nếu ∆ = 0
+ Nếu ∆ > 0

*

Chú ý: Cho f ( x ) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0)
a > 0

f (x ) ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ 


f (x ) ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔

∆≤0

a < 0





∆≤0

* Xét dấu các nghiệm phương trình bậc hai
Giả sử phương trình bậc hai có hai nghiệm x1,x2 thì:
x1 < 0 < x2 ⇔ a.c < 0 (hai nghiệm trái dấu)

x1 ≤ x2 < 0 ⇔ ∆ ≥ 0

0 < x1 ≤ x2

Bài tập: Giải các bất phương trình sau
a) x 2 − 2 x − 3 > 0
d)

x2

− 9x +14

x2

+

9x +14

x+1

g)

x −1

+2>

PHƢƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYẾT ĐỐI
Cách giải: Sử dụng định nghĩa hoặc bình phương hai vế để khử (bỏ) dấu giá trị
tuyệt đối.


7

Các dạng cơ bản
Dạng 1: f (x) = c (với c ∈ R )
Nếu c < 0 phương trình vơ nghiệm
Nếu c ≥ 0

thì

f (x) = c ⇔

 f ( x ) = c

 f ( x ) = −c

Dạng 2: f (x) = g(x) . Sử dụng phép biến đổi tương đương

f (x) = g(x)
Cách 1:

f (x) = g(x) ⇔ 

Cách 2: f (x) = g(x) ⇔ [f (x)] = [g(x)]
2

f

2

 (x) − g(x)

(bình phương hai vế)

Dạng 3: f (x) = g(x)


g(x) ≥ 0



dùng phép biến đổi tương đương f (x) = g(x) ⇔  f (x) = g(x)

 
  f (x) = −g(x)

Ví dụ 1: Giải phương trình 2x + 5 = 3x − 2
Giải
=

2x + 5

3
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 7; x = − 5 .
Ví dụ 2: Giải phương trình x − 3 = 2x +1

Giải



=

x−3

2x 1



+ ⇔  x − 3



x − 3


Vậy nghiệm của phương trình là : x =

Bài tập làm thêm
Giải các phương trình sau

2

3

a) |2x−3|= x−5

b) |2x+5| = |3x−2|

c) |4x+1| = x2 + 2x−4

d) |x−3|=|2x−1|

e) |3x+2|=x+1

f) |3x−5|= 2x +x−3

PHƢƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƢỚI DẤU CĂN
Cách giải:
- Bình phương hai vế , đặt điều kiện
- Đặt ẩn phụ

2

Các dạng cơ bản
Dạng 1: f (x) = c (c ∈ R)
Nếu c < 0 thì phương trình vơ nghiệm.


8

Nếu c ≥ 0 thì f (x) = c ⇔ f (x) = c 2 .
Dạng 2: f ( x ) = g ( x) , ta sử dụng phép biến đổi tương đương
f(x)=

g ( x) ⇔ 

Dạng 3: f ( x ) = g ( x) , ta sử dụng phép biến đổi tương đương

f (x ) = g (x) ⇔ 

g (x) ≥ 0

f

2
 (x ) = g (x)

Ví dụ: Giải phương trình
Giải

Vậy nghiệm của phương trình là x = 9.

Bài tập làm thêm
Giải các phương trình sau
a) 2x −

4x − 9
3x − 4

d)
3x2−4x−4= 2x+5

g)

ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM VÀ QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa đạo hàm:
Đạo hàm của f (x) tại x0 , kí hiệu
f ' (x
0

Quy tắc tính đạo hàm và cơng thức tính đạo hàm
*Các quy tắc : Cho u = u (x ) ; v = v (x ) ; C : là hằng số .
 (u.v )' = u '.v + v '.u
 (u ± v )' = u '± v '

2.

=




 u  = u '.v − v '.u

 v v 2

• Nếu y = f (u ), u



(C.u )

′

= C.u′

 C ′
C . u′
2
 =−

, (v ≠ 0) ⇒ 

= u (x

)

 u u
⇒ y ′x = yu′ .u′x .

9

*Các cơng thức :
•
•

′

(C )

(x )′ = n. x
n

=0 ;

−

n 1

( x )′ =

•
B. KĨ NĂNG CƠ BẢN
*Cơng thức tính đạo hàm nhanh của hàm hữu tỉ :

c)x + (bc'−b' c)
y’ = (ab'−a'b)x2 + 2(ac'−a'
2
2



Dạng : y =



Dạng : y = ax2 + bx + c ⇒
y’ = ad.x2 + 2ae.x + (be − dc)
2



Dạng : y =



(a' x + b' x + c' )

dx + e(dx + e)

Các bước tính đạo hàm bằng định nghĩa:
B1: Gọi ∆x là số gia của biến số x tại x0
y

= f(x0 + ∆x ) – f(x0)

B2: Lập tỉ số

∆y
∆x

B3: Tính

lim
∆x →0

∆y

= f ' ( x0 )

∆x

ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC
A.

Kiến thức cơ bản

Giới hạn của
Bảng đạo hàm hàm số lƣợng giác
Đạo hàm của hàm số lƣợng giác:

(sin x)'

= cos x

(cos x)'

= −sin x

′

(x)

=1


(tan x) =


10

(cot x)

'

)' = −

=−

u'
2

u

(cotn u)' = n cotn−1 u.(cotu)'

sin

Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm tại x là u ' x và hàm số y = f (u) có đạo hàm tại u là y('
u ( x)) thì hàm hợp y = f (g(x)) có đạo hàm tại x là:

y(' x ) = y(u(x))' .u(' x )
BÀI TẬP
Bài 1: Tính đạo hàm các hàm số sau:
3. y = 2 x + 3x + sin x

1.

sin x
x

y = ( x 2 − 3 x + 3) (2 x − 3 6. y =

4.

9. y =

y=

7.

x + 3
4−x

10. y =
Bài 2: Tính đạo hàm các hàm số sau:

3. y = sin3 x

1. y =

6. y = sin 3x
4. y =

9. y = 1−3x

7. y = cos
Hệ thức lƣợng trong tam giác vuông
a2 = b2 + c2

b2 = a.b '

c2 = a.c '
a.h = b.c

h2 = b '.c '

c

=+

1 1 1
b

sin B = cos C = a

h2

b2

c2

tan B = cot C =
c

sin C = cos B = a

B

b
a


Hệ thức lƣợng trong tam giác bất kỳ


11
A
c
B

a

Định lý côsin:
a2

=b2

+ c 2 − 2bc co

b2

=a2

+ c 2 − 2ac co

c2

=a2

+ b 2 − 2ab co

Hệ quả:
cos A =

b 2 + c 2 − a2

cos B =

a

2

cosC =

a

2

2bc
+c

2

2

−b

2ac
+b

2

−c

2

2ab

Độ dài trung tuyến tam giác:
2

A

ma =

c

b

2

mb =

ma
B

M

a

C

2

mc =

Cơng thức tính diện tích tam giác
A
ha
B H
aha

S=

S=

a

b

2

abc

4R R : Bán kính đường trịn ngoại tiếp ∆ABC

r : Bán kính đường trịn nội

S = pr
S =

=

p( p − a )( p − b )( p − c)


* Chú ý: Nếu ∆ABC vng tại A , thì S ∆ABC
Nếu ∆ABC đều cạnh a thì S ∆ABC =
Tam giác đều cạnh a:

a) Đường cao: h =
Đường cao cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực
Tam giác vng:

c)

a)

S=

1

2 ab (a, b là 2 cạnh góc vng)

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền
Tam giác vng cân (nửa hình vng):

b)

1

a) S =

2

Nửa tam giác đều:

a

a) Là tam giác vng có một góc bằng 30o hoặc 60o
b) BC = 2AB

Tam giác cân:
Đường cao hạ từ đỉnh cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường
trung trực

b)

Hình chữ nhật:

S = ab (a, b là các kích thước)

1
Hình thoi: S = 2 d1.d2 (d1, d2 là 2 đường chéo)
Hình vng: a) S = a2

b) Đường chéo bằng a 2

Hình bình hành: S = a.h (h: đường cao; a: cạnh đáy)
h
Hình Thang: S = 2 (a + b)

Xác định góc giữa đường thẳng d và mp(P).



Nếu d ⊥ (P) thì ( d ,( P)) = 900
Nếu khơng vng góc với ( P) thì:

-

Xác định hình chiếu vng góc d’ của d trên (P) .



2

(2 cạnh góc vu

Khi đó : ( d ,( P )) = ( d , d ') = α .
Xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau (P) và (Q).

(

(P ∩ Q) =d 

)
⊥

( P ),a d

a⊂

b ⊂ b = I ∈d 

a∩


13

THỂ TÍCH KHỐIĐA DIỆN
Các cơng thức thể tích của khối đa diện:
Thể tích khối lăng trụ
V = B.h

với B : Diện tích đáy
h : chiều cao

Thể tích khối hộp chữ nhật:

V = a.b.c

với a , b, c là ba kích thước của
khối hộp

Thể tích khối lập phương:
V = a3

với a là độ dài cạnh khối lập
phương
Thể tích khối chóp
1
3 B.h

V=

với B : Diện tích đáy
h : chiều cao

Tỉ số thể tích tứ diện
Cho

khố

A' , B ' , C' là các điểm tùy ý lần lượt
thuộc SA, SB, SC ta có:

VS . A B C

'

' ' '

=

SA


V
S .ABC

S


14

Thể tích khối chóp cụt
V=

1
3 .h

(B + B +
'

B.B'

)
A

với B, B' : Diện tích hai đáy
h : chiều cao

MẶT NĨN, MẶT TRỤ
1. Mặt nón trịn xoay
+ Diện tích xung quanh của mặt nón:

S xq = πrl

+

của

Diện

tích

tồn

phần

mặt

STP = π rl + π r
+

2

nón:

= π r (l + r

)

1
1
Thể tích của khối nón: Vn = 3 Bh = 3 πr 2h

2. Mặt trụ trịn xoay
+

Diện tích xung quanh của mặt trụ: S xq = 2πrl

+

Diện tích tồn phần của mặt trụ :

STP = 2π rl + 2π r 2 = 2π r (l + r

)

+ Thể tích của khối trụ : VTr = Bh = πr 2h
3. Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu
+ Diện tích của mặt cầu : SC = 4πr2
4
+ Thể tích của khối cầu : VC = 3
πr3 * Chú ý :
- Mặt trụ có độ dài đường sinh bằng chiều cao.
- Diện tích xung quanh của mặt trụ bằng diện tích hình chữ nhật có hai kích thước
là chu vi đường trịn đáy và độ dài đường sinh.

- Tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác đều trùng với trọng tâm của tam
giác đều
- Tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác vng trùng với trung điểm cạnh huyền. Tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp hình vng trùng với tâm của hình vng. Tâm đường trịn ngoại tiếp hình chữ nhật trùng với tâm của hình chữ nhật.
Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp:
a) Cách xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
– Xác định trục ∆ của đáy (∆ là đường thẳng vng góc với đáy tại tâm đường trịn
ngoại tiếp đa giác đáy).
– Xác định mặt phẳng trung trực (P) của một cạnh bên.


15

– Giao điểm của (P) và ∆ là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
b) Cách tìm bán kính của mặt cầu ngoại hình chóp
- Nếu hình chóp có một cạnh bên vng góc với mặt phẳng đáy thì áp dụng cơng
thức Pitago
- Nếu hình chóp là hình chóp đều thì áp dụng tỉ lệ đồng dạng của hai tam giác.
Mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đứng:
- Xác định trục ∆ của hai đáy (∆ là đường thẳng vng góc với đáy tại tâm đường
trịn ngoại tiếp đa giác đáy).
- Trung điểm đoạn nối hai tâm đa giác đáy là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng
trụ đứng
Một số bài tốn minh họa
Bài 1: Tính thể tích của khối tứ diện đều cạnh a
Bài 2:Cho hình chóp đều S . ABC có cạnh đáy bằng a và độ dài cạnh bên bằng
2a . Tính thể tích khối chóp S . ABC .
Bài 3: Cho hình chóp đều S . ABC có cạnh đáy bằng a vàgóc giữa cạnh bên và
mặt đáy bằng 300 . Tính thể tích khối chóp S . ABC .
Bài 4: Cho hình chóp đều S . ABC có cạnh đáy bằng a vàgóc giữamặt bên và
mặt đáy bằng 600 . Tính thể tích khối chóp S . ABC .

Bài 5: Cho hình chóp đều S . ABC có cạnh đáy bằng a vàcạnh SA vng góc
với mặt đáy biết góc giữacạnh SB (SC )với mặt đáy bằng 600 . Tính thể tích khối
chóp S . ABC .
Bài 6: Cho hình chóp đều S . ABC có cạnh đáy bằng a vàcạnh SA vng góc
với mặt đáy biết góc giữamặt bên ( SBC) với mặt đáy bằng 600 . Tính thể tích khối
chóp S . ABC .
Bài 7: Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy bằng a vàđộ dài cạnh
bên bằng 2a . Tính thể tích khối chóp S . ABCD .
Bài 8: Tính thể tích của bát diện đều cạnh 2a .
Bài 9: Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy bằng a vàgóc giữa
cạnh bên và mặt đáy bằng 300 . Tính thể tích khối chóp S . ABCD .
Bài 10: Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy bằng a vàgóc
giữamặt bên và mặt đáy bằng 600 . Tính thể tích khối chóp S . ABCD .
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM , KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ.
Xét tính đơn điệu của hàm số y = f ( x) trên tập xác định
Bước 1.Tìm tập xác định D.
Bước 2. Tính đạo hàm y ′ = f ′( x) .
Bước 3.Tìm nghiệm của f ′( x) hoặc những giá trị x làm cho f ′( x) không xác định.
Bước 4.Lập bảng biến thiên.
Bước 5.Kết luận.
đồng biến, nghịch biến trên
Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y = f ( x)
khoảng ( a; b) cho trước.
Cho hàm số y = f ( x, m) có tập xác định D, khoảng ( a; b ) ⊂ D :
Hàm số nghịch biến trên ( a; b) ⇔ y ' ≤ 0, ∀x ∈( a; b)
Hàm số đồng biến trên ( a; b) ⇔ y ' ≥ 0, ∀x ∈( a; b)


16

 Chú ý: Riêng hàm số y =

a x + b
1

1

thì :

cx + d

Hàm số nghịch biến trên ( a; b) ⇔ y ' < 0, ∀x ∈( a; b)
Hàm số đồng biến trên ( a; b) ⇔ y ' > 0, ∀x ∈( a; b)
Quy tắc tìm cực trị của hàm số
Quy tắc 1:
Bước 1.Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2.Tính f ′(x ) . Tìm các điểm tại đó f ′(x ) bằng 0 hoặc f ′(x ) không xác định.
Bước 3.Lập bảng biến thiên.
Bước 4.Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
Quy tắc 2:
Bước 1.Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2.Tính f ′(x ) . Giải phương trình f ′(x ) và ký hiệu xi (i =1, 2, 3,...) là các nghiệm
của nó.
Bước 3.Tính f ′′(x) và f ′′(xi ) .
Bước 4.Dựa vào dấu của f ′′(xi )suy ra tính chất cực trị của điểm xi .
Quy trình tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sử dụng bảng biến
thiên

′( x) tất
Tính đạo hàm . fTìm

cả các nghiệm
Bước 1.Tính đạo hàm f ( x) .

Bước 2.
Bước 3.
Bước 4.

Tìm các nghiệm
Lập bảng biến
Căn cứ vào bản

Quy trình tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( x) trên [ a; b] Bước 1.

Bước 2.
xi ∈[a;b] của phương trình
điểm αi ∈[a;b] làm cho f ′( x) khơng xác định.
Bước 3. Tính f ( a) , f (b) ,
f (xi ) , f (αi ) .
Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận M = max f ( x) , m = min f ( x) .
[a ;b]

[a ;b]

Đƣờng tiệm cận của đồ thị hàm số
Đƣờng tiệm cận ngang
Cho hàm số y = f ( x) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng ( a; +∞) , ( −∞;
b) hoặc ( −∞; +∞) ). Đường thẳng y = y0 là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận


ngang) của đồ thị hàm số y = f ( x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa

mãn
lim f ( x ) = y0 , lim f ( x ) = y0

x →+∞

x→−∞

Nhận xét: Như vậy để tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số ta chỉ cần tính giới
hạn của hàm số đó tại vô cực.
Đƣờng tiệm cận đứng
Đường thẳng x = x0 là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số
y = f ( x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn


17
lim f ( x) = +∞, lim f ( x) = −∞, lim f ( x) = −∞, lim f ( x) = +∞ .
+

−

x → x0

+

x → x0

x → x0

−

x →x0

Bài tập
Bài 1: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số:
y = x 4 + 8 x2 + 5 ;2/
1/

3/ y =
1

Bài 2:Cho hàm số y = 3 ( m − 1) x 3 + mx 2 + (3m − 2)x (1)
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên tập xác
định của nó.
Bài 3: Tìm cực trị của các hàm số:
1

1) y =

3

x 2 −3

3) y =
5) y =
Bài 4: Tìm m để hàm số:

1) y = mx 3 + 3 x 2 + 5x + m
2)

y=

đạt cực tiểu tại x = 2

1

3
2
3 mx + (m − 2)x + (2 − m)x + 2 đạt cực đại tại x = −1

Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a/ y = f (x) = 3x3 − x 2 − 7x[0;2].+1trênđoan
y = f (x) = x3 − 8x 2 +16x − 9 trên đoan [1;3].
b/
Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
4

a/ y = x +

x
y=x−

c/

Bài 7: Tìm tiệm cận đứng, ngang (nếu có) của đồ thị hàm số

y = x + 2016

.

2) y =

2

x − 2016
4) y = x 2 − 5x + 6
x −3

5) y =

NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG

1
x

, x ∈(0;2)