Đa thức duy nhất mạnh cho họ các hàm hữu tỷ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGÔ THỊ HẢI LÝ

ĐA THỨC DUY NHẤT MẠNH
CHO HỌ CÁC HÀM HỮU TỶ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An - 2018


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGÔ THỊ HẢI LÝ

ĐA THỨC DUY NHẤT MẠNH
CHO HỌ CÁC HÀM HỮU TỶ

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mã số: 84 60 104

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học
TS. NGUYỄN THỊ NGỌC DIỆP

Nghệ An - 2018

2

MỤC LỤC

Mục lục

2

Một số ký hiệu thường dùng trong luận văn

3

Mở đầu

4

1 Kiến thức cơ sở

6

1.1. Đa tạp đại số trong không gian afin và không gian xạ ảnh

6

1.2. Đường cong phẳng trong mặt phẳng afin . . . . . . . . .

9

1.3. Phép biến đổi toàn phương . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4. Trường định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Đa thức duy nhất mạnh cho họ các hàm hữu tỷ

17

2.1. Các điểm kỳ dị của đường cong phẳng Gc (X, Y ) . . . . . 17
2.2. Đa thức duy nhất mạnh cho họ các hàm hữu tỷ

. . . . . 23

Kết luận

36

Tài liệu tham khảo

37


3

MỘT SỐ KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG
TRONG LUẬN VĂN

k : Trường
An (k) : Không gian afin n chiều trên trường k
Pn (k) : Không gian xạ ảnh n chiều trên trường k

k[x1 , . . . , xn ] : Vành đa thức n biến trên trường k
deg(f ) : Bậc của đa thức f

Z(S) : Tập nghiệm của hệ đa thức S
∅ : Tập rỗng
A ⊂ B : A là tập con của B
A ⊂ B : A không là tập con của B
A ∪ B : A hợp B
A ∩ B : A giao B


4

MỞ ĐẦU

Trong khoảng thời gian gần đây, vấn đề nghiên cứu đa thức duy
nhất mạnh thực sự đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán
học. Việc nghiên cứu các đa thức duy nhất có liên quan chặt chẽ với
việc nghiên cứu các tập xác định duy nhất. Một số tác giả đã đưa ra
điều kiện để một đa thức là đa thức duy nhất mạnh cho họ các hàm
đa thức, họ các hàm phân hình, . . . như A. Boutabaa, A. Escassut,
L. Hadadd, W. Cherry, C. C. Yang, H. Fujimoto, J. T. Y. Wang,. . .
Trong luận văn này chúng tôi tập trung nghiên cứu đa thức duy
nhất mạnh cho họ các hàm hữu tỷ.
Nội dung chính của luận văn là tìm hiểu và trình bày một cách
chi tiết một số kết quả trong bài báo "Uniqueness polynomials and
bi-unique range sets for rational functions and non-Acsimet meromorphic functions" trên tạp chí Acta Arithmetica của tác giả Julie
Tzu Yueh Wang [10].
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung
chính của luận văn được chia thành hai chương.
Chương 1. Kiến thức cơ sở. Trong chương này chúng tơi trình bày
một số kiến thức cơ sở về Hình học đại số nhằm mục đích làm cơ sở

cho việc trình bày nội dung chương 2. Ngồi ra chúng tơi cịn trích
dẫn một số kết quả đã có nhằm phục vụ cho các chứng minh sau
này.


5

Chương 2. Đa thức duy nhất mạnh cho họ các hàm hữu tỷ. Trong
chương này chúng tơi trình bày một cách chi tiết một số kết quả
trong bài báo [10] của tác giả Julia Tzu Yueh Wang. Cụ thể chúng
tôi trình bày về các điểm kỳ dị của đường cong phẳng xác định bởi
phương trình Gc (x, y) = P (x) − cP (y) = 0, c = 0, 1, trong đó P là
đa thức một biến trên trường đóng đại số k , đầy đủ với giá trị tuyệt
đối khơng Acsimet. Đồng thời chúng tơi trình bày đặc điểm để nhận
biết một đa thức một biến trên trường k là đa thức duy nhất mạnh
cho họ các hàm hữu tỷ.
Để hoàn thành luận văn này tác giả xin chân thành cảm ơn sự
hướng dẫn tận tình chu đáo của TS. Nguyễn Thị Ngọc Diệp và tất
cả các Thầy giáo, Cô giáo khác trong tổ Đại số - Khoa Sư phạm
Tốn học - Trường Đại học Vinh đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ
tác giả trong suốt thời gian học tập. Mặc dù đã có nhiều cố gắng
nhưng luận văn có thể cịn có những sai sót. Tác giả rất mong nhận
được những góp ý chân tình của các Thầy, Cơ và các bạn để luận
văn được hồn thiện hơn.

Nghệ An, tháng 05 năm 2018
Tác giả


6

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CƠ SỞ
Trong chương này, chúng tơi trình bày một số kiến thức cơ bản
nhằm mục đích làm cơ sở cho việc trình bày nội dung của chương 2.
Ngồi ra chúng tơi cịn trích dẫn một số kết quả đã có nhằm phục
vụ cho các chứng minh ở phần sau. Các khái niệm và tính chất này
chủ yếu được tham khảo trong các tài liệu [1-3], [10].

1.1

Đa tạp đại số trong không gian afin và không
gian xạ ảnh

1.1.1 Định nghĩa. Cho k là trường tùy ý và H(x1 , x2 . . . , xn ) ∈

k[x1 , x2 , . . . , xn ]. Một điểm U = (u1 , u2 , . . . , un ) ∈ An (k) được gọi là
không điểm của H nếu

H(U ) = H(u1 , u2 , . . . , un ) = 0.
Nếu H không là hằng thì tập hợp các khơng điểm của H được
gọi là siêu mặt xác định bởi H , và được ký hiệu là Z(H). Một siêu
mặt trong A2 (k) được gọi là một đường cong phẳng.
1.1.2 Định nghĩa. Nếu M là tập hợp các đa thức bất kỳ trong

k[x1 , x2 , . . . , xn ] thì
Z(M ) = U ∈ An (k) | H(U ) = 0 với mọi H ∈ M

7

được gọi là tập đại số trong An (k).
1.1.3 Ví dụ.
(1) Tập rỗng ∅ là một tập đại số vì nó là tập nghiệm của phương
trình f = 0 với mọi f ∈ k, f = 0.
(2) Một điểm U = (u1 , u2 , . . . , un ) trong không gian afin An (k) là
một tập đại số vì nó là tập nghiệm của hệ phương trình sau đây


x1 − u1





x2 − u2


...





xn − un

=0
=0

=0

và ta có thể viết

(u1 , u2 , . . . , un ) = V (x1 − a1 , x2 − a2 , . . . , xn − an ).
(3) Tập hợp nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính được gọi là
đa tạp tuyến tính.
(4) An (k) là tập đại số trong An (k) vì nó là tập nghiệm của phương
trình 0 = 0.
1.1.4 Mệnh đề. (1) Cho M1 , M2 là các hệ đa thức trong vành đa
thức k[x1 , x2 , . . . , xn ]. Nếu M2 ⊆ M1 thì Z(M1 ) ⊆ Z(M2 ).
(2) Hợp của hai tập đại số cũng là một tập đại số. Nghĩa là: Cho

M1 , M2 là các hệ đa thức trong vành đa thức k[x1 , x2 , . . . , xn ]. Khi
đó

Z(M1 ) ∪ Z(M2 ) = Z(M )
với M = {f g | f ∈ M1 , g ∈ M2 } .
(3) Giao của một họ tùy ý các tập đại số là một tập đại số. Nghĩa là:


8

Cho {Mi } là một họ các hệ đa thức trong vành đa thức k[x1 , x2 , . . . , xn ].
Khi đó

∩Z(Mi ) = Z(∪Mi ).
Như vậy hợp của hai tập đại số là một tập đại số, giao của họ
tùy ý các tập đại số là một tập đại số, tập rỗng và tồn bộ khơng
gian An (k) là các tập đại số. Do đó ta có thể trang bị một tơpơ gọi

là tơpơ Zariski trên không gian afin An (k) bằng cách coi các tập đại
số là các tập đóng.
1.1.5 Định nghĩa. (1) Một tập đại số V ⊂ An (k) được gọi là khả
quy nếu V = V1 ∪ V2 trong đó V1 , V2 là các tập đại số trong An (k)
và Vi = V, i = 1, 2. Ngược lại, V được gọi là bất khả quy.
(2) Một tập đại số bất khả quy trong An (k) được gọi là một đa tạp
afin.
(3) Một tập con mở của một đa tạp afin gọi là đa tạp tựa afin.
1.1.6 Định lý. Giả sử V là tập đại số trong An (k). Khi đó, tồn tại
duy nhất các tập đại số bất khả quy V1 , V2 , . . . , Vm sao cho

V = V 1 ∪ V2 ∪ . . . ∪ Vm
và Vi ⊂ Vj với mọi i = j .
Các Vi được gọi là các thành phần bất khả quy của V ; V = V1 ∪

V2 ∪ . . . ∪ Vm là sự phân tích V thành các thành phần bất khả quy.
Giả sử F là đa thức thuần nhất bậc d trong k[x1 , x2 , . . . , xn+1 ].
Ta có

F (λa1 , λa2 , . . . , λan+1 ) = λd F (a1 , a2 , . . . , an+1 )
với mọi điểm a = (a1 , a2 , . . . , an+1 ) ∈ An+1 (k) và λ ∈ k . Vì vậy, nếu

a là nghiệm của F thì λa cũng là nghiệm của F . Đặc biệt, điểm 0 là
nghiệm của mọi đa thức thuần nhất.


9

Để xét nghiệm của đa thức thuần nhất ta chia tập An+1 (k) \ {0}
theo quan hệ tương đương: a ∼ b nếu tồn tại λ = 0 sao cho b = λa.

Tập các lớp tương đương này được gọi là không gian xạ ảnh n chiều,
ký hiệu là Pn (k).
Với mỗi điểm a ∈ An+1 (k) \ {0} ta cũng dùng ký hiệu a để chỉ
lớp các điểm tương đương với a. Khi đó ta coi a như là điểm của
Pn (k). Điểm a ∈ Pn (k) được gọi là nghiệm xạ ảnh của đa thức F
nếu F (λa) = 0 với mọi λ ∈ k .
1.1.7 Định nghĩa. (1) Với mỗi tập M không rỗng gồm các đa thức
thuần nhất trong vành đa thức k[x1 , x2 , . . . , xn+1 ] thì

Z(M ) = U ∈ Pn (k) | H(U ) = 0 với mọi H ∈ M
được gọi là tập đại số xạ ảnh trong không gian xạ ảnh Pn (k).
(2) Một tập đại số V ⊂ Pn (k) được gọi là bất khả quy nếu nó khơng
là hợp của hai tập đại số bé hơn thực sự.
(3) Một tập đại số bất khả quy trong Pn (k) được gọi là một đa tạp
xạ ảnh.
(4) Một tập con mở của một đa tạp xạ ảnh gọi là đa tạp tựa afin.

1.2

Đường cong phẳng trong mặt phẳng afin

Đường cong phẳng C trong A2 (k) xác định bởi đa thức H (x, y)
là

C = (x, y) ∈ A2 (k) | H (x, y) = 0 .
Đường cong C là bất khả quy nếu F (x, y) bất khả quy. Bậc của
đường cong xác định bởi đa thức H(x, y) là bậc của đa thức H(x, y).
Giả sử rằng

H=

Hiei


10

trong đó Hi là các nhân tử bất khả quy của H và ei ≥ 1. Ta nói
rằng các Hi là các thành phần của H và ei là bội của thành phần Hi .
Ta nói Hi là thành phần đơn nếu ei = 1, và là thành phần bội nếu

ei > 1.
Vì vành đa thức k [x, y] là vành nhân tử hóa nên mọi đa thức

H(x, y) ∈ k [x, y] đều có thể phân tích duy nhất thành nhân tử bất
khả quy như sau
pm
H = H1p1 H2p2 . . . Hm

trong đó H1 , H2 , . . . , Hm là các đa thức bất khả quy phân biệt và

p1 , p2 , ..., pm là các số tự nhiên. Ta ký hiệu
Ci = (x, y) ∈ A2 (k) | Hi (x, y) = 0 , i = 1, 2, . . . , m.
Thế thì Ci , i = 1, 2, . . . , m, là các thành phần bất khả quy của đường
cong C và đường cong C có sự phân tích thành các thành phần bất
khả quy như sau

C = C1 ∪ C2 ∪ ... ∪ Cm .
Giả sử H(x, y) là đa thức bậc n của vành đa thức k [x, y]. Ta ký hiệu

x y

H(x, y, z) := z n H( , ).
z z
Khi đó, H(x, y, z) là một đa thức thuần nhất bậc n thuộc vành đa
thức k [x, y, z] và được gọi là sự thuần nhất của đa thức H(x, y). Ta
ký hiệu

C := (x : y : z) ∈ P2 (k) | H(x, y, z) = 0
thì C được gọi là đường cong xạ ảnh tương ứng của đường cong C .
Điểm (x, y) thuộc đường cong C khi và chỉ khi điểm (x, y, 1) thuộc
đường cong C . Đường cong C bất khả quy khi và chỉ khi đường cong

C bất khả quy. Nếu đường cong C có sự phân tích thành các thành


11

phần bất khả quy

C = C1 ∪ C2 ∪ ... ∪ Cm
thì đường cong C cũng có sự phân tích thành các thành phần bất
khả quy tương ứng

C = C1 ∪ C2 ∪ ... ∪ Cm .
1.2.1 Định nghĩa. Cho đường cong phẳng C trong A2 (k) xác định
bởi phương trình H(x, y) = 0 và P = (a, b) ∈ C . Điểm P được gọi
∂H
∂H
(P ) = 0 hoặc
(P ) = 0.
là điểm đơn của đường cong C nếu

∂x
∂y
Khi đó đường thẳng xác định bởi phương trình

∂H
∂x

(x − a) +
P

∂H
∂y

(y − b) = 0
P

được gọi là đường tiếp tuyến với đường cong C tại P . Một điểm
không phải là điểm đơn thì được gọi là điểm kỳ dị. Đường cong được
gọi là trơn nếu mọi điểm của đường cong là điểm đơn.
1.2.2 Định nghĩa. Cho đường cong phẳng C trong A2 (k) xác định
bởi đa thức H(x, y), P = (0, 0). Ta viết

H = Hm + Hm+1 + ... + Hn
trong đó Hi là đa thức thuần nhất bậc i trong vành đa thức k [x, y],

Hm = 0. Ta gọi m là số bội của đường cong C tại P = (0, 0) và viết
m = mP (H) = mP (C).
Vì Hm là đa thức thuần nhất hai biến trên trường đóng đại số
nên ta có thể viết Hm =

Gri i trong đó Gi là các nhân tử tuyến

tính. Các Gi được gọi là các đường tiếp tuyến của đường cong C tại

P = (0, 0); ri gọi là số bội của tiếp tuyến. Gi gọi là tiếp tuyến đơn


12

(kép,. . . ) nếu ri = 1(2, . . .).
Nếu đường cong C có m tiếp tuyến đơn phân biệt tại P thì ta nói

P là điểm kỳ dị chính tắc của đường cong C .
Giả sử H =

Hiei là sự phân tích H thành các thành phần bất

khả quy. Khi đó mP (H) =

ei mP (Hi ). Nếu G là đường tiếp tuyến

của Hi với số bội ri thì G là tiếp tuyến của H với số bội

ei ri .

1.2.3 Nhận xét. Để mở rộng các định nghĩa trên đây cho điểm

P = (a, b) = (0, 0), ta thực hiện phép tịnh tiến T (x, y) = (x+a, y+b)
biến (0, 0) thành P . Khi đó H T = H(X + a, Y + b). Ta định nghĩa

mP (H) chính là m(0,0) (H T ).
1.2.4 Định lý. (Định lý Bezzout) Cho F và G là các đường cong
phẳng xạ ảnh có bậc tương ứng là m và n. Giả sử F và G khơng có
thành phần chung. Khi đó

I (P, F ∩ G) = m n.
P

1.2.5 Định lý. Nếu F là đường cong bất khả quy bậc n và mP là số
bội của F tại P thì

mP (mP − 1) (n − 1)(n − 2)
≤
.
2
2

1.3

Phép biến đổi toàn phương

Cho các điểm P = (0, 0, 1), P

= (0, 1, 0), P

= (1, 0, 0) ∈

P2 (k); ta gọi ba điểm này là ba điểm cơ bản. Gọi L = Z(z2 ) =

{z2 = 0} , L = Z(z1 ) = {z1 = 0} , L = Z(z0 ) = {z0 = 0} là các

đường đặc biệt.
Đặt U = P2 (k) \ Z(z0 z1 z2 ). Ta định nghĩa

Q : P2 (k) \ {P, P , P } → P2 (k)


13

xác định bởi

Q(z0 , z1 , z2 ) = (z1 z2 , z0 z2 , z0 z1 ).
Q được gọi là phép biến đổi toàn phương chuẩn.
Nếu (z0 , z1 , z2 ) ∈ U thì

Q(Q(z0 , z1 , z2 )) = Q(z1 z2 , z0 z2 , z0 z1 ) = (z0 z2 z0 z1 , z1 z2 z0 z1 , z1 z2 z0 z2 ).
Cho C là đường cong bất khả quy trong P2 (k). Giả sử C khơng
phải là đường đặc biệt. Khi đó C ∩ U là mở trong C , đóng trong U
và Q−1 (C ∩ U ) = Q(C ∩ U ) đóng trong U . Giả sử C là bao đóng
của Q−1 (C ∩ U ) trong P2 (k).
Giả sử F ∈ k[z0 , z1 , z2 ] là đa thức xác định đường cong C , degF =

n, mP (C) = r. Khi đó F Q = F (z1 z2 , z0 z2 , z0 z1 ) gọi là biến đổi đại
số của F .
1.3.1 Định nghĩa. Ta nói đường cong C có vị trí tốt nếu khơng có
đường đặc biệt là tiếp tuyến của C tại một điểm cơ bản; có vị trí tối
ưu nếu C có vị trí tốt và L giao C tại n điểm không cơ bản phân
biệt, và mỗi đường L và L giao C tại n − r điểm không cơ bản
phân biệt.
1.3.2 Mệnh đề. Nếu C có vị trí tối ưu thì C có các điểm kỳ dị như
sau:

(i) Các điểm kỳ dị trên C ∩ U tương ưng với các điểm kỳ dị trên

C ∩ U , sự tương ứng này bảo toàn các số bội và các điểm kỳ dị chính
tắc.
(ii) P , P và P là các điểm kỳ dị chính tắc trên C với các số bội
tương ứng là n, n − r và n − r.
(iii) Khơng có các điểm không cơ bản trên C ∩ L , C ∩ L , mà chỉ
có các điểm khơng cơ bản trên C ∩ L.


14

1.3.3 Mệnh đề. Cho F là đường cong phẳng xạ ảnh bất khả quy,

P ∗ là một điểm thuộc F . Khi đó, tồn tại phép biến đổi xạ ảnh T sao
cho F T có vị trí tối ưu và T ((0, 0, 1)) = P ∗ .
1.3.4 Định nghĩa. Nếu T là phép biến đổi xạ ảnh bất kỳ, thì Q ◦ T
được gọi là phép biến đổi tồn phương, và F T gọi là phép biến đổi
toàn phương của F .
1.3.5 Định lý. Bằng một dãy hữu hạn các phép biến đổi toàn phương,
mọi đường cong phẳng xạ ảnh bất khả quy đều có thể biến đổi thành
đường cong chỉ có các điểm kỳ dị chính tắc.

1.4

Trường định chuẩn

1.4.1 Định nghĩa. Trường K cùng với ánh xạ ϕ : K → R được gọi
là một trường định chuẩn nếu các điều kiện sau đây thỏa mãn:
(1) ϕ (α) ≥ 0, ∀α ∈ K, ϕ (α) = 0 ⇔ α = 0,

(2) ϕ (α + β) ≤ ϕ (α) + ϕ (β) , ∀α, β ∈ K,
(3) ϕ (αβ) = ϕ (α) ϕ (β) , ∀α, β ∈ K .
Nếu thay điều kiện (2) bởi điều kiện mạnh hơn sau đây:
(4) ϕ (α + β) ≤ max {ϕ (α) , ϕ (β)} , ∀α, β ∈ K.
thì trường định chuẩn (K, ϕ) được gọi là trường định chuẩn không
Acsimet.
1.4.2 Ví dụ.
(1) Các trường số hữu tỷ Q, trường số thực R là những trường định
chuẩn với chuẩn giá trị tuyệt đối thông thường.
(2) Trường số phức C là trường định chuẩn với chuẩn môđun:

ϕ(a + bi) = |a + bi| =

√

a2 + b2 , ∀a + bi ∈ C.


15

1.4.3 Định nghĩa. Cho p là một số nguyên tố cố định. Với mỗi số
hữu tỷ α = 0 ta viết được một cách duy nhất:

a
α = p n ; a , b , n ∈ Z,
b
với a, b không chia hết cho p. Ta định nghĩa chuẩn p-adic | |p trên
trường số hữu tỷ Q:

ϕp (0) = |0|p = 0; ϕp (α) = |α|p = p−n .

Ta có ϕp là chuẩn không Acsimet trên trường số hữu tỷ Q.
1.4.4 Mệnh đề. Cho (K, ϕ) là một trường định chuẩn. Khi đó:
(i) ϕ (1) = ϕ (−1) = 1.
(ii) ϕ (a) = ϕ (−a) , ∀a ∈ K .
(iii) |ϕ (a) − ϕ (b)| ≤ ϕ (a − b) , ∀a, b ∈ K .
n

(iv) ϕ

n

ai
i=1

≤

ϕ (ai ) .
i=1
−1

(v) ϕ a−1 = ϕ (a)
(vi) ϕ ab−1 =

=

1
, ∀a ∈ K, a = 0.
ϕ (a)

ϕ (a)

, ∀a, b ∈ K, b = 0.
ϕ (b)

1.4.5 Định nghĩa. Giả sử (K, ϕ) là một trường định chuẩn.
Một dãy {αn }n∈N các phần tử của K , được gọi là hội tụ về phần
tử α ∈ K theo chuẩn ϕ, nếu với mỗi số thực ε > 0 tùy ý, tồn tại số tự
nhiên n0 sao cho ϕ(αn − α) < ε, ∀n > n0 . Ta kí hiệu: lim αn = α.
n→∞

Dãy {αn }n∈N các phần tử của K được gọi là một dãy không (theo
chuẩn ϕ) nếu lim αn = 0.
n→∞

Một dãy {αn }n∈N các phần tử của K được gọi là dãy cơ bản hay
dãy Cauchy (theo chuẩn ϕ) nếu với mỗi số thực ε > 0 tùy ý, tồn tại
số tự nhiên n0 sao cho ϕ(αn − αm ) < ε, ∀n, m > n0 .
Trường định chuẩn (K, ϕ) được gọi là trường định chuẩn đầy đủ


16

theo chuẩn ϕ nếu mọi dãy cơ bản trong K đều là dãy hội tụ theo
chuẩn ϕ.
1.4.6 Mệnh đề. Mọi dãy hội tụ trong trường định chuẩn (K, ϕ) đều
là dãy cơ bản. Điều ngược lại không đúng.
1.4.7 Định lý. Chuẩn ϕ trên trường K là chuẩn không Acsimet khi
và chỉ khi ϕ(n) ≤ 1, với mọi số tự nhiên n ∈ N.
1.4.8 Định nghĩa. Các chuẩn ϕ và ψ trên cùng một trường K được
gọi là tương đương với nhau và ký hiệu ϕ ∼ ψ nếu chúng xác định
trên K cùng một tính hội tụ, nghĩa là ϕ(xn − x) → 0 khi và chỉ khi

ψ(xn − x) → 0 theo chuẩn giá trị tuyệt đối trong trường số thực R.
1.4.9 Mệnh đề. Giả sử ϕ và ψ là các chuẩn trên trường K . Khi
đó, ϕ và ψ là tương đương với nhau khi và chỉ khi: ∀x ∈ K (ϕ(x) <

1 ⇔ ψ(x) < 1).
1.4.10 Định lý. Trên trường hữu hạn chỉ có duy nhất một chuẩn
tầm thường.
1.4.11 Mệnh đề. Cho ϕ là chuẩn không Acsimet trên K . Nếu các
giá trị thực ϕ(a) và ϕ(b) khác nhau thì

ϕ(a + b) = max {ϕ(a), ϕ(b)} , ∀a, b ∈ K.


17

CHƯƠNG 2

ĐA THỨC DUY NHẤT MẠNH
CHO HỌ CÁC HÀM HỮU TỶ
Trong chương này, chúng tơi trình bày đặc điểm để nhận biết một
đa thức một biến trên trường k đóng đại số, đầy đủ với giá trị tuyệt
đối không Acsimet là đa thức duy nhất mạnh cho họ các hàm hữu
tỷ. Trước hết chúng tơi tìm hiểu về các điểm kỳ dị của đường cong
phẳng xác định bởi phương trình

Gc (X, Y ) = P (X) − cP (Y ) = 0, c = 0, 1,
trong đó P là đa thức một biến trên trường k , thỏa mãn Giả thiết I
của Fujimoto. Nội dung của chương này được tham khảo trong bài
báo [10] của J. T. Y. Wang.

2.1

Các điểm kỳ dị của đường cong phẳng Gc(X, Y )

Trong mục này chúng tơi sẽ trình bày về các điểm kỳ dị của đường
cong phẳng xác định bởi phương trình Gc (X, Y ) = 0, trong đó

Gc (X, Y ) = P (X) − cP (Y ) = 0, c = 0, 1,
và trình bày một số kết quả cần cho việc chứng minh về sau.
Trong toàn bộ chương này, ta ký hiệu P (X) là đa thức một biến
bậc n trên trường k đóng đại số, đầy đủ với giá trị tuyệt đối không


18

Acsimet.
Khơng mất tính tổng qt, ta giả thiết rằng đa thức P (X) có hệ
tử cao nhất bằng 1
n

ai X i , ai ∈ k, an = 1.

P (X) =
i=0

Đồng thời, ta ký hiệu u1 , u2 , . . . , ul lần lượt là các nghiệm phân biệt
của P (X) với các số bội tương ứng là p1 , p2 , . . . , pl . Khi đó



nếu p = 0 hoặc
n(X − u1 )p1 . . . (X − ul )pl


P (X) =
p > 0 và p n,



−an−1 (X − u1 )p1 . . . (X − ul )pl
nếu p > 0 và p | n,
2.1.1 Định nghĩa. Đa thức P (X) được gọi là thõa mãn Giả thiết
I nếu P (ui ) = P (uj ) với i = j , i, j = 1, 2, . . . , l. Hay nói cách khác,

P đơn ánh trên tập các không điểm của đạo hàm bậc nhất của P .
Ta kí hiệu Gc (X, Y ) = 0 là phương trình xác định đường cong đại
số trong không gian xạ ảnh P2 (k) thu được bằng cách thuần nhất
hóa đa thức Gc (X, Y ) thành đa thức thuần nhất 3 biến cùng bậc với
đa thức Gc (X, Y ) ban đầu.
Trong phần này, chúng tơi trình bày về các điểm kỳ dị của đường
cong phẳng xác định bởi phương trình Gc (X, Y ) = 0.
Ta có

∂Gc
∂Gc
= P (X),
= −cP (Y ).
∂X
∂Y
Do đó điểm (x, x) thuộc đường cong xác định bởi phương trình

Gc (X, Y ) = 0 khi và chỉ khi P (X) = 0 và (x, x) là điểm kỳ dị
khi và chỉ khi P (X) = 0. Điều này tương đương với x là nghiệm
bội của P (X). Nếu P (X) khơng có nghiệm bội thì (x, x) khơng thể
là điểm kỳ dị. Mặt khác, một điểm (x, y) với x = y của đường cong


19

xác định bởi phương trình Gc (X, Y ) là một điểm kỳ dị khi và chỉ khi

P (x) = cP (y) và P (x) = P (y) = 0. Nếu (ui , uj ) và (ui , uk ) là hai
điểm thuộc đường cong xác định bởi phương trình Gc (X, Y ) = 0,
thì P (uj ) = P (uk ). Nếu P (X) thõa mãn Giả thiết I thì uj = uk . Do
đó đường cong xác định bởi phương trình Gc (X, Y ) = 0 có thể có
nhiều nhất l điểm kỳ dị có dạng (ui , ui(t) ), 1 ≤ i ≤ l, trong đó t là
một hốn vị của {1, 2, . . . , l} , t(i) = i, và số bội của điểm (ui , ut(i) )
bằng 0 hoặc bằng min pi , pi(t) + 1.
Như vậy, ta có mệnh đề sau đây.
2.1.2 Mệnh đề. Giả sử rằng P (X) thỏa mãn Giả thiết I và khơng
có khơng điểm bội. Khi đó đường cong xác định bởi phương trình

Gc (X, Y ) = 0 có nhiều nhất l điểm kỳ dị (ui , ut(i) ), 1 ≤ i ≤ l,
trong đó t là một hoán vị của {1, . . . , l} và t(i) = i. Hơn nữa, số
bội của điểm (ui , ut(i) ) thuộc đường cong xác định bởi phương trình

Gc (X, Y ) = 0 là 0 hoặc bằng min pi , pt(i) + 1.
2.1.3 Mệnh đề. Giả sử P (X) thỏa mãn Giả thiết I và tồn tại cặp
hàm hữu tỷ khác hằng (f, g) sao cho P (f ) = cP (g). Nếu P (ui ) =

cP (ut(i) ) thì |pi − pt(i) | ≤ 1.

Để chứng minh Mệnh đề 2.1.3, chúng ta dùng Định lý cơ bản thứ
hai cho hàm hữu tỷ được phát biểu như sau
2.1.4 Định lý. Giả sử f là một hàm hữu tỷ khác hằng trên k và f
không phải là hàm lũy thừa p với p > 0. Giả sử f được biểu diễn
dưới dạng thương của hai đa thức nguyên tố cùng nhau f1 và f2 . Giả
sử c1 , c2 , . . . , cq là q phần tử phân biệt trong k . Khi đó
q

(q − 2) max {deg(f1 ), deg(f2 )} ≤

N1 (f − ci ) − 1,
i=1

trong đó N1 (f − ci ) là số các không điểm phân biệt của f − ci .


20

f1
g1
và g =
trong đó
f2
g2
fi và gi là các đa thức trên k , f1 , f2 nguyên tố cùng nhau và g1 , g2
Chứng minh Mệnh đề 2.1.3. Giả sử f =

nguyên tố cùng nhau. Vì P (f ) = cP (g) nên cấp của cực điểm của f
tại điểm bất kỳ của k bằng cấp của cực điểm của g . Do đó g2 là bội
khác khơng của f2 . Bằng cách điều chỉnh hệ số của g1 , chúng ta có

thể giả thiết rằng g2 = f2 . Do P (f ) = cP (g) nên

f1 n − cg1n + an−1 (f1 n−1 − cg1n−1 )f2 + . . . + a0 (1 − c)f2n = 0.
Nếu deg(f1 ) > deg(f2 ) thì deg(g1 ) = deg(f1 ). Nếu deg(f1 ) ≤

deg(f2 ) thì deg(g1 ) ≤ deg(f2 ). Vì vậy
max {deg(f1 ), deg(f2 )} = max {deg(g1 ), deg(f2 )} .

(2.1)

Nếu P (β) = P (ui ) và β = ui , thì P (β) = 0 vì P (X) thỏa mãn Giả
thiết I. Vì vậy, với mỗi 1 ≤ i ≤ l, ta có

P (X) = P (ui ) + (X − ui )pi +1 (X − βi1 ) . . . (X − βin−pi −1 ).
Nếu P (ui ) = cP (ut(i) ), thì

(f − ui )pi +1 (f − βi1 ) . . . (f − βin−pi −1 )
= (g − ut(i) )pt(i) +1 (g − βt(i)1 ) . . . (g − βt(i)n−pt(i) −1 ).

(2.2)

Vì ui , βi,j , 1 ≤ j ≤ n − pi − 1 là phân biệt, nên f − ui và f − βij , 1 ≤

j ≤ n − pi − 1, đơi một khơng có khơng điểm chung. Tương tự,
g − ut(i) và g − βt(i)j , 1 ≤ j ≤ n − pt(i) − 1, đơi một khơng có khơng
điểm chung.
Theo giả thiết, f khác hằng. Nên khi p > 0, chúng ta có thể viết f
r

dưới dạng f = fp trong đó f khơng là hàm lũy thừa p và r là số

nguyên không âm. Vì trường k đóng đại số nên vế trái của (2.2) là
hàm lũy thừa pr . Vì g − ut(i) và g − βt(i)j , 1 ≤ j ≤ n − pt(i) − 1 đôi


21

một khơng có khơng điểm chung nên g cũng là hàm lũy thừa pr . Giả
r

r

sử g = gp . Với α ∈ k , ký hiệu α1/p là nghiệm duy nhất của phương
r

trình X p = α. Khi đó, theo (2.2), ta có
n−pi −1
1/pr
1/pr
N1 (f−ui )+
N1 (f−βij )
j=1

=

n−pt(i) −1
1/pr
1/pr
N1 (g−ut(i) )+
N1 (g−βt(i)j ).
j=1

Áp dụng Định lý cơ bản thứ hai cho hàm hữu tỷ f khơng có dạng
1/pr

lũy thừa p và n−pi điểm phân biệt ui

1/pr

và βij , j = 1, . . . , n−pi −1,

ta có

(n − pi − 2) p−r max {deg(f1 ), deg(f2 )}
≤ N1 (f −

n−pi −1

1/pr
ui )

1/pr

N1 (f − βij ) − 1

+
j=1

n−pt(i) −1

= N1 (g −

1/pr
ut(i) )

1/pr

N1 (g − βt(i)j ) − 1

+
j=1

≤ (n − pt(i) )p−r max {deg(f1 ), deg(f2 )} − 1.
Từ đây, theo (2.1) suy ra pt(i) − pi ≤ 1. Tương tự, ta có pi − pt(i) ≤ 1.
Khi p = 0 vì f khác hằng, nên áp dụng Định lý cơ bản thứ hai ta có
ngay điều phải chứng minh.
2.1.5 Bổ đề. Cho d > 0 và ei ≥ 2 là số nguyên và (d − 1)(d − 2) =
h

ei (ei − 1) + 2g , trong đó g = 0 hoặc g = 1. Nếu h ≥ 2, thì
i=1
h

ei ≥ d + h − 1 − g ; nếu h = 1 và g = 0, thì e1 = d − 1.
i=1

Chứng minh. Ta có
h

ei (ei − 1) =
i=1

2

h

ei
i=1

h

−

ei − 2
i=1

ei ej .
1≤i

22

Mặt khác

ei ej ≥
1≤i
h−1
ei .
ei ≥ (h − 1)
min {ei }

i
2
1≤i≤h
1≤i≤h

Do đó
h

2

h

ei (ei − 1) ≤
i=1

h

−

ei
i=1

ei − 2(h − 1)
i=1

1≤i≤h

2

h

=

ei

h

− 2(h − 1)

ei

ei .
i=1

i=1

Mà theo giả thiết ta có
h

(d − 1)(d − 2) =

ei (ei − 1) + 2g.
i=1

Vì vậy
2

h

(d − 1)(d − 2) ≤

ei

h

− 2(h − 1)

ei + 2g.
i=1

i=1

Nếu g = 1 và h ≥ 2, hoặc g = 0 và h ≥ 1, thì
2

h

(d − 1)(d − 2) ≤

ei

h

− (2h − 1)

i=1
h

ei + h(h − 1)
i=1

h

ei − h + 1

=
i=1

ei − h .
i=1

h

ei ≥ d + h − 2. Khi g = 0 và h ≥ 2 thì bất đẳng thức này

Do đó,
i=1

h

ei ≥ d+h−1.

khơng xảy ra dấu bằng. Trong trường hợp này ta có
i=1


23

h

ei ≥ d + h − 1 − g khi h ≥ 2. Khi h = 1 và g = 0, ta có

Vì vậy
i=1

e 1 = d − 1.

2.2

Đa thức duy nhất mạnh cho họ các hàm
hữu tỷ

Trong mục này, chúng tơi tìm hiểu đặc điểm để nhận biết một đa
thức một biến trên trường đóng đại số k , đầy đủ với giá trị tuyệt đối
không Acsimet, là đa thức duy nhất mạnh cho họ các hàm hữu tỷ.
Ký hiệu M(k) là tập các hàm phân hình trên k . Với f ∈ M(k)
và S là tập con của k , ta đặt

E(f, S)= (z, m) ∈ k × Z+ | f (z) = a ∈ S và f (z) = a với bội m ,
E(f, S∪∞)=E(f, S)∪ (z, m) ∈ k × Z+ |z là cực điểm cấp m của f ,
F là tập con không rỗng của M(k).
2.2.1 Định nghĩa. (i) Tập con S của k được gọi là tập xác định duy
nhất cho họ các hàm F ( ký hiệu là URS) nếu với mọi hàm f, g ∈ F
thỏa mãn E(f, S) = E(g, S) thì f = g .
(ii) Hai tập con S, T khác rỗng, không giao nhau của k được gọi
là 2 - tập xác định duy nhất cho họ các hàm F ( ký hiệu là biURS) nếu với mọi hàm f, g ∈ F thỏa mãn E(f, S) = E(g, S) và

E(f, T ) = E(g, T ) thì f = g .
2.2.2 Định nghĩa. Đa thức một biến P trên trường k được gọi là
đa thức duy nhất mạnh cho họ các hàm F nếu với mọi hàm khác

hằng f, g ∈ F và hằng số c khác không thỏa mãn P (f ) = cP (g) thì

c = 1 và f = g .
Định lý sau đây đưa ra một số đặc điểm để nhận biết một đa
thức một biến trên trường đóng đại số k , đầy đủ với giá trị tuyệt đối


24

không Acsimet, là đa thức duy nhất mạnh cho họ các hàm hữu tỷ.
2.2.3 Định lý. Giả sử P (X) là đa thức bậc n trong k[X] và

P (X) = λ(X − u1 )p1 . . . (X − ul )pl
trong đó λ là hằng số khác khơng. Giả sử rằng P (X) thỏa mãn Giả
thiết I và khơng có các không điểm bội. Hơn nữa, với p > 0 giả sử số
bội của X − ui trong P (X) − P (ui ) là pi + 1, 1 ≤ i ≤ l; với p | n,
giả sử hệ số của X n−1 trong P (X) khác không. Ký hiệu S là tập hợp
các không điểm của đa thức P (X). Khi đó các mệnh đề sau đây là
tương đương:
(i) (S, ∞) là bi-URS cho họ các hàm phân hình trên k ,
(ii) P (X) là đa thức duy nhất mạnh cho họ các hàm phân hình
trên k ,
(iii) P (X) là đa thức duy nhất mạnh cho họ các hàm hữu tỷ trên

k,
(iv) S là tập cứng affin, và một trong các điều kiện sau thỏa mãn:
(a) Nếu p | n thì l ≥ 2;
(b) Nếu p = 0 hoặc p

n, thì hoặc l ≥ 3 nhưng P (X) không thỏa

mãn điều kiện (A), hoặc l = 2 và min {p1 , p2 } ≥ 2 nhưng P (X)
không thỏa mãn điều kiện (B), trong đó các điều kiện (A) và (B)
như sau:
(A) n = 4, p1 = p2 = p3 = 1 và

P (u2 )
P (u3 )
P (u1 )
=
=
= ω,
P (u2 )
P (u3 )
P (u1 )

trong đó ω 2 + ω + 1 = 0;
(B) n = 5, p1 = p2 = 2 và P (u1 ) = −P (u2 ).
Giả sử Q(X, Y ) là một đa thức hai biến trên trường k . Bằng
cách thuần nhất hóa đa thức Q(X, Y ) ta được đa thức thuần nhất
¯
Q(X,
Y, Z) cùng bậc. Để đơn giản ký hiệu, ta thường dùng phương