Lý thuyết, phương pháp giải toán và bài tập phép quay
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.28 MB, 23 trang )
Chun đề PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG
Chủ đề 2:
Hình Học 11
PHÉP QUAY
I- LÝ THUYẾT:
1. Định nghĩa: Cho điểm O và góc lượng giác .
Phép biến hình biến O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành
điểm M’ sao cho OM OM ' và góc lượng giác OM ; OM ' .
Ký hiệu: Q O;
2. Nhận xét:
a) PhÐp quay t©m O gãc quay a k 2 , k
M'
O
(+)
M
lµ phÐp ®ång nhÊt.
b) PhÐp quay t©m O gãc quay a 2k 1 , k lµ phÐp ®èi xøng t©m O.
3. Tính chất:
B'
Tính chất 1:
(+)
A'
QO; A A '
A, B:
A ' B ' AB
B
QO; B B '
Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kú PhÐp dêi h×nh O
A
Tính chất 2: Phép quay:
1. Bảo tồn tính thẳng hàng và thứ tự của các điểm tương ứng.
2. Biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.
3. Biến đường thẳng thành đường thẳng.
trực tâm, trọng tâm
trọng
4. Biến tam giác thành tam giác bằng nó.( trực tâm
tâm). Góc thành góc bằng nó.
I
I'
5. Biến đường trịn thành đường trịn có cùng bán kính (
).
d'
R R ' B'
B'
I'
(+)
A'
O
(+)
C'
d
B
R'
O
A
A'
(+)
B
I
R
R = R'
4. Một số kết quả và dấu hiệu sử dụng phép quay để giải toán
C
O
A
ABC = A'B'C'
Q A;900 ( B ) C
a. ABC cân tại A: Q A; ( B) C. Đặc biệt: ABC vuông cân tại A:
Q
0 ( B) C
A;90
Q A;600 ( B ) C
b. Chøng minh ABC ®Ịu:
Q 0 (C ) A
B ;60
Q O;450 ( A) B
c. Chøng minh ABCD với O là gđiểm 2 đường chéo là hình vuông:
QO;450 ( B ) C
Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO - Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm KM10 Hương Trà 0935.785.115 1
Chun đề PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG
Hình Học 11
* MỘT SỐ KẾT QUẢ CẦN LƯU Ý:
1) Ảnh của điểm qua phép quay Q O;900 , Q O;900 :
x ' yM
QO;900 ( M ) M '( x '; y ') :
y ' xM
Điểm M xM ; yM :
x ' yM
Q
0 ( M ) M '( x '; y ') :
O;90
y ' xM
2) Giả sử phép quay Q I ; biến đường thẳng d thành d’:
0 900 d ; d '
Khi đó: 0
0
0
90 180 d ; d ' 180
3) Các phương pháp xác định ảnh của đường thẳng d qua Q I ; :
Phương pháp 1: Chọn 2 điểm bất kì. Đường thẳng ảnh đi qua 2 ảnh tương ứng.
Q I ; ( A) A '
A, B d :
Q I ; (d ) d ' A ' B '
Q I ; ( B ) B '
Phương pháp 2: Chọn 1 điểm A thuộc đường thẳng. Xác định ảnh A’. d
Đường thẳng ảnh d’ đi qua A’ và hợp với d một góc .
Phương pháp 3:
H
Gồm 2 bước:
Bước 1: Chọn H d với IH d . Xác định Q I ; ( H ) H ' .
I
d'
H'
Bước 2: Đường thẳng d’ cần tìm đi qua H’ và vng góc với IH’.
II- LUYỆN TẬP :
Bài tập 1: Cho điểm M(1;2), : x y 1 0, (C): x 2 y 2 2 x 4 y 1 0 . Xác định tọa độ điểm A’,
/ , (C / ) lần lượt là ảnh của M, , (C) qua:
a) Phép quay tâm O, góc quay 900 .
b) Phép quay tâm O, góc quay 900 .
Gợi ý:
a) Ta có: Q O;900 ( M ) M / (2;1) .
Dễ thấy :
Qua phép quay Q O;900 , hình chữ nhật OAMB có ảnh
y
2
B
M
Là hình chữ nhật OA’M’B’.
A'
M'
1
Q 0 ( A) A / (0;1)
O;90
x
-2
1
Q O;900 ( M ) M / (2;1)
Ta có:
O
A
/
B'
QO;900 ( B ) B (2;0)
* Kỷ năng xác định ảnh của đường thẳng qua phép quay tâm O, góc quay 900 .
Phương pháp 1: Chọn 2 điểm bất kì trên , xác định ảnh tương ứng. Đường thẳng / cần tìm là
đường thẳng qua hai ảnh.
Chọn M (1;2), B (0;1)
Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO - Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm KM10 Hương Trà 0935.785.115 2
Chun đề PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG
Hình Học 11
Q 0 ( M ) M (2;1)
O;90
Ta có:
/ M / N / .
/
/
QO;900 ( N ) N (1;0)
Đường thẳng / đi qua điểm M '(2;1) và có 1 vtcp M ' N ' (1; 1)
x 2 t
Vậy / :
t
y
1
t
Phương pháp 2: Sử dụng mối quan hệ về góc giữa d và d’
Gọi / là ảnh của đường thẳng qua Q O ;900 . Suy ra: / / : x y m 0
/
/
Chọn M (1;2) Q O;900 ( M ) M (2;1) /
/
Ta có: 2 1 m 0 m 1 .
Vậy / : x y 1 0
Phương pháp 3: Sử dụng quỹ tích:
M Q O;900 ( M ) M ' '
x ' y
x y '
Gọi M ( x; y ) Q O;900 ( M ) M / ( x '; y ') :
y' x
y x '
Lúc đó: M y '; x ' y ' x ' 1 0 x ' y ' 1 0
Vậy / : x y 1 0
Nhận xét: Trong 3 phương pháp trên,
- Phương pháp 1 tỏ ra hiệu quả cho tất cả các phép biến hình (dù dài dòng).
* Xác định ảnh của đường tròn:
Phương pháp 1: Theo tính chất của phép quay: Biến đường trịn thành đường trịn có cùng bán kính.
M (1;2)
Ta có C M ; R :
R 2
Q O;900 ( M ) M / (2;1) là tâm của đường tròn ảnh C / .
Vậy đường tròn C / : x 2 y 1 4
2
2
Phương pháp 2: Sử dụng quỹ tích.
x ' y
x y '
Gọi M ( x; y ) C Q O;900 ( M ) M / ( x '; y ') :
y' x
y x '
2
2
Lúc đó: M y '; x ' C y ' x ' 2 y ' 4 x ' 1 0
( x ') 2 ( y ') 2 4 x ' 2 y ' 1 0
Vậy C / : x 2 y 2 4 x 2 y 1 0
Hoàn toàn tương tự, giải quyết yêu cầu b.
PHẦN KIẾN THỨC ĐỌC THÊM:
CÔNG THỨC TỌA ĐỘ VỚI PHÉP QUAY VỚI
TÂM VÀ GĨC QUAY BẤT KÌ
Đặt vấn đề:
Trong Hình học 10, Đai số 10 và 11, lý thuyết về lượng giác một cách cơ bản thì chúng ta đã
thừa nhận:
Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO - Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm KM10 Hương Trà 0935.785.115 3
Chun đề PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG
Với mỗi góc lượng giác bất kì.
Xác định trên (C) điểm M sao cho: xOM
Lúc đó: M xM ; yM , ta thừa nhận:
y
M
H
K
Hình Học 11
x
O
sin yM ; cos xM ; tan =
yM
x
; cot = M
xM
yM
Hay: M cos ;sin (*)
Sở dĩ có cách biễu diễn (*) vì đường trịn lượng giác có bán kính R 1 .
Và thực chất đây là cách biểu diễn đơn giản nhất đối với hệ tọa độ cực gốc O, có góc và bán kính R
bất kì.
TỔNG QT: Đối với hệ tọa độ cực: gốc O có góc và bán kính R bất kì.
Điểm M với góc lượng giác xOM , thì ta có: M Rcos ; R sin
Bài tập 2: Cho điểm M(1;2), : x y 1 0, (C): x 2 y 2 2 x 4 y 1 0 . Xác định tọa độ điểm M’,
/ , (C / ) lần lượt là ảnh của M, , (C) qua phép quay tâm O, góc quay k 2 .
Gợi ý:
Giả sử góc lượng giác Ox; OM 0 . Khi đó, góc lượng giác Ox; OM / 0
Vậy điểm M
5cos0 ; 5 sin 0
1
cos
0
5cos0 1
5
Do đó:
và điểm M / 5cos(0 ); 5 sin(0 )
2
sin
5 sin 0 2
0
5
5cos(0 ) 5 cos0 .cos sin 0 .sin cos 2sin
nên:
5 sin(0 ) 5 sin 0 .cos cos0 .sin 2cos sin
Vậy điểm M / cos 2sin ;2cos sin (y.c.b.t)
Hoàn toàn tương tự như yêu cầu trên, độc giả tự giải quyết.
Bài tập 3: Cho điểm I (1;2), M ( 2;3) . Xác định tọa độ điểm M’ là ảnh của M qua phép quay tâm I,
góc quay k 2 .
Gợi ý:
* Trước hết ta tìm điểm N sao cho ON IM :
x 2 1
Giả sử điểm N ( x; y ) , khi đó: ON IM
N (3;1)
y 3 2
* Gọi N’ là ảnh của N ( 3;1) qua Q I ; , khi đó do M’ là ảnh của M qua Q I ; và ON IM nên
ON / IM / .
* Bây giờ, ta tính tọa độ của điểm N’. Giả sử, góc lượng giác Ox; ON 0 . Khi đó, góc lượng giác
Ox; OM
/
Vậy điểm M
0
.
5cos0 ; 5 sin 0
Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO - Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm KM10 Hương Trà 0935.785.115 4
Chun đề PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG
Hình Học 11
3
cos0
10cos0 3
10
Do đó:
và điểm N / 10cos(0 ); 10 sin(0 )
10 sin 0 1
sin 1
0
10
10cos(0 ) 10 cos0 .cos sin 0 .sin 3cos sin
nên:
10 sin(0 ) 10 sin 0 .cos cos0 .sin cos 3sin
Suy ra: điểm N / 3cos sin ; cos 3sin
* Giả sử: M / ( x '; y ') thì IM / ( x 1; y 2)
x 1 3cos sin
Do ON / IM /
. Do đó: M / 1 3cos sin ;2 cos 3sin (y.c.b.t)
y 2 os 3sin
Bi tp 4: Cho đường thẳng d và điểm O cố định không thuộc d, M là điểm di động trên d.
HÃy tìm tập hợp các điểm N sao cho OMN ®Ịu.
Gợi ý: Biểu diễn điểm N theo M thông qua phép quay 600
Do tam giác OMN đều nên tồn tại hai phép quay:
Q O;600 ( M ) N
Q
0 ( M) N
O;60
Do M thuộc đường thẳng d nên N thuộc vào
đường thẳng d’, d’’ lần lượt là ảnh của d qua Q O;600 và Q O;600 .
d
d'
N
M
d''
600
600
O
N
Vậy quỹ tích cần tìm là 2 đường thẳng d’ và d’’.
Tương tự:
Bài tập 5: Cho đtròn (C) và điểm O cố định không thuộc (C), M là điểm di động trên (C).
HÃy tìm tập hợp các điểm N sao cho OMN vuông cân tại O.
Gợi ý: Biểu diễn điểm N theo M thông qua phép quay 900
Bài tập 6: Cho 2 tam giác vuông cân ABC và ADE (như hình vẽ). Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm
các tam giác ABD và ACE. Chứng minh tam giác AGG’ vuông cân.
C
Gợi ý: Xây dựng phép quay tâm A góc quay 900 biến G thành G’.
Q A;900 ( B ) C
D
Xét phép quay: Q A;900 có :
Q A;900 ( D) E
E
B
A
Suy ra: Q A;900 (ABD) ACE . Do G và G’ lần lượt là trọng tâm các tam giác ABD và ACE nên
C
AG AG '
theo tính chất của phép quay: Q A;900 ( G ) G '
0
GAG ' 90
Vậy tam giác AGG’ vng cân. (đ.p.c.m)
D
G'
G
E
A
B
Lớp Tốn thầy LÊ BÁ BẢO - Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm KM10 Hương Trà 0935.785.115 5
Chun đề PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG
Hình Học 11
Bài tập 7: Cho ba ®iĨm A, B, C theo thø tự trên thẳng hàng. Vẽ cùng một phía hai tam giác
đều ABE, BCF. Gọi M và N tương ứng là hai trung điểm của AF và CE. Chứng minh rằng:
BMN là tam giác đều.
Gi ý: Xõy dng phộp quay tõm B góc quay 600 biến N thành M.
Q B ;600 (C) F
Xét phép quay: Q B ;600 có :
Q B ;600 ( E ) A
Suy ra: Q B ;600 (CE ) FA .
E
F
N
M
Do N và M lần lượt là trung điểm các cạnh CE và AF nên theo
BN BM
tính chất của phép quay: Q B ;600 (N ) M
0
MBN 60
Vậy tam giác BMN đều. (đ.p.c.m)
A
C
B
Bài tập 8: Cho tam giác ABC. Dựng về phía ngồi tam giác các hình vng BCIJ, ACMN, ABEF và
gọi O, P, Q lần lượt là tâm của của chúng.
a) Gọi D là trung điểm của AB. Chứng minh rằng: DOP vuông cân tại D.
b) Chứng minh rằng: AO PQ vµ AO=PQ.
Gợi ý: Xây dựng phép quay tâm D góc quay 900 biến O thành P, hoặc sử dụng mối quan hệ hình học
liên quan.
a) Xét phép quay Q C ;900
Q C ;900 ( M ) A
MB AI
Q C ;900 ( MB ) MI
(1)
Q
(
B
)
I
MB
AI
0
C ;90
Dễ thấy, DP là đường trung bình của các tamgiác ABM
1
DP BM
nên:
(2)
2
DP // BM
F
Tương tự, DO là đường trung bình của tam giác ABI nên:
Q
1
DO AI
E
(3)
2
DO // AI
DO DP
Từ (1), (2) và (3) suy ra:
hay DOP vuông cân tại D. (đ.p.c.m)
DO DP
b) Theo câu a, DOP vuông cân tại D nên Q D;900 (O) P (*)
Mặt khác: Q D;900 ( A) Q
N
M
P
A
D
C
B
O
J
I
(**)
AO QP
Từ (*) và (**) suy ra: Q D;900 ( AO) QP
(đ.p.c.m)
AO
QP
Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO - Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm KM10 Hương Trà 0935.785.115 6
Chun đề PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG
Hình Học 11
Bài tp 9: Cho tứ giác lồi ABCD. Về phía ngoài tứ giác dựng các tam giác đều ABM, CDP.
Về phía trong tứ giác dựng hai tam giác đều BCN và ADK.CMR: MNPK là hình bình hành.
Gi ý:
Q B ;600 ( M ) A
B
C
Xét phép quay Q B ;600 :
M
Q 0 (N ) C
K
B ;60
Q B;600 ( MN ) AC MN AC
(1)
Q D;600 ( K ) A
Xét phép quay Q D;600 :
Q 0 ( P) C
D;60
Q D;600 ( KP) AC KP AC
N
P
A
D
(2)
Từ (1) và (2) suy ra: MN KP
(*)
Tương tự, chứng minh được MK PN
(**)
Từ (*) và (**) suy ra: MKNP là hình bình hành (đ.p.c.m)
Bài tập 10: Cho 2 hình vng ABCD và BEFG. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AG và CE.
Chứng minh rằng: Tam giác BMN vng cân.
Gợi ý: Xây dựng phép quay tâm B góc quay 900 biến N thành M.
C
Q B ;90 0 (C) A
B
Xét phép quay: Q B ;900 có :
N
Q B ;90 0 ( E ) G
D
Suy ra: Q B;900 (CE ) AG .
E
A
M
F
G
Do N và M lần lượt là trung điểm các cạnh CE và AG
nên theo tính chất của phép quay:
BN BM
Q B ;900 (N ) M
0
MBN 90
Vậy tam giác MBN vuông cân. (đ.p.c.m)
Bài tp 11: Về phía ngoài tam giác ABC, dựng ba tam giác đều BCA1 , ACB1 , ABC1.
Chứng minh rằng: AA1 , BB1 , CC1 ®ång quy.
Gợi ý: Sử dụng tính chất phép quay: Bảo tồn tính thẳng hàng và thứ tự của 3 điểm bất kì.
Giả sử: AA1 CC1 I . Cần chỉ rõ: I BB1 hay B, I , B1 thẳng hàng.
Q B ;600 ( A1 ) C
A
Thật vậy, xét phép quay Q B ;600 :
C
Q 0 ( A) C1
E
B ;60
I
AA1 CC1
B
0
AIC
60
(1)
1
0
AA1 ; CC1 60
Lấy trên IC1 điểm E sao cho: AI EI
(2)
Từ (1) và (2) suy ra: AEI là tam giác đều.
A
B1
1
C
1
Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO - Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm KM10 Hương Trà 0935.785.115 7
Chun đề PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG
Hình Học 11
Q
(E) I
A;600
Lúc đó, xét phép quay Q A;600 : Q A;600 (C1 ) B
Q A;600 (C ) B1
Do E, C, C1 thẳng hàng nên theo tính chất của phép quay: I , B1 , B thẳng hàng. Điều này chứng tỏ
AA1 , BB1 , CC1 ®ång quy. (đ.p.c.m)
Bài tập 12: Cho tam giác ABC. Trên các cạnh AB và BC, về phía ngồi tam giác, dựng 2 hình vng
ABMN và BCPQ. Chứng minh rằng: Các tâm của hình vng này cùng với 2 trung điểm của MQ,
AC tạo thành 1 hình vuông.
Gợi ý:
Gọi O1 và O3 lần lượt là tâm 2 hình vng ABMN và BCPQ, cịn O2 và O4 lần lượt là trung điểm
của AC , MQ.
Q B ;900 ( M ) A
MC AQ
Xét phép quay Q B ;900 :
(1)
Q B ;900 ( MC) AQ
Q 0 (C ) Q
MC
AQ
B ;90
Dễ thấy: O1O2 , O2O3 , O3O4 , O4O1 lần lượt là đường
M
trung bình của các tam giác MAC, ACQ, MCQ, MAQ.
O4
O1O2 // MC
O2O3 // AQ
N
Suy ra:
(2) và
(3)
Q
1
1
O
O
AQ
O
O
MC
2 3 2
1 2 2
O1
O1O2 O2O3
(*)
Từ (1), (2) và (3) suy ra:
O
O
O
O
2 3
1 2
O3O4 // MC
O4O1 // AQ
Tương tự, do
(4) và
(5)
1
1
O
O
MC
O
O
AQ
3 4 2
4 1 2
O3
B
A
P
C
O2
O3O4 O4O1
(**)
Từ (1), (4) và (5) suy ra:
O
O
O
O
4 1
3 4
Từ (*), (**) suy ra: O1O2O3O4 là hình vng. (đ.p.c.m)
Bài tập 13: Cho điểm A và 2 đường tròn (C), (C’) phân biệt. Dựng theo chiều dương tam giác đều
ABC, biết đỉnh B, C lần lượt nằm trên (C) và (C’).
Gợi ý:
Phân tích: Do tam giác ABC đều nên:
A
AB AC
Q A;600 ( B ) C
0
AB
;
AC
60
B
(C'')
(C')
O'
C
Cách dựng:
- Dựng đường tròn (C’’) là ảnh của (C) qua Q A;600 .
-
Xác định giao điểm C (C ') (C '') .
Thực hiện phép quay Q A;600 (C) B
O
B'
(C)
C'
Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO - Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm KM10 Hương Trà 0935.785.115 8
Chun đề PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG
Hình Học 11
Biện luận: Nghiệm bài toán tùy thuộc số giao điểm của (C’’) và (C’).
Bài tập 14: Cho 2 đường thẳng a, b song song và một điểm G không nằm trên chúng. Xác định tam
giác đều ABC có A a, B b và G là trọng tâm tam giác ABC.
Gợi ý:
Phân tích: Giả sử đã dựng được ABC thỏa đk.
a'
GA GB GC
Ta có:
A
a
0
AGB BGC CGA 120
Suy ra: Q G ;1200 ( A) B
1200
C
G
Cách dựng:
- Dựng a’ là ảnh của a qua Q G ;1200 .
b
Xác định B a ' b .
Các đỉnh A, C là ảnh của B qua Q G ;1200 , Q G ;1200
-
B
Biện luận: Bài tốn ln có 1 nghiệm hình.
Bài tập 15: Cho tam giác ABC và vẽ phía ngồi hai hình vng ABMN, ACPQ.
a) Chứng minh : BQ CN và BQ CN .
b) Gọi O, O’ lần lượt là tâm của các hình vng ABMN, ACPQ. Chứng minh rằng: Tam giác
OIO’ vuông cân.
Gợi ý:
N
Q A;900 ( B ) N
a) Xét phép quay Q A;900 :
Q
A;900 (Q) C
M
Q
O
BQ
NC
(đ.p.c.m)
Q A;900 ( BQ) NC
A
BQ NC
P
O'
b) Ta có: OI và O’I lần lượt là đường trung bình của
các tam giác BNC và BCQ nên suy ra:
C
B
I
OI // NC
O ' I // BQ
(1) và
(2)
1
1
OI
NC
O
'
I
BQ
2
2
OI O ' I
Theo câu a, và từ (1), (2) suy ra:
. Vậy tam giác OIO’ vuông cân. (đ.p.c.m)
OI O ' I
Bài tập 16: Cho 2 đường tròn (O) và (O’) bằng nhau và cắt nhau ở A và B. Từ điểm I cố định kẻ cát
tuyến di động IMN với (O), MB và NB cắt (O’) tại M’, N’.
Chứng minh rằng: Đường thẳng M’N’ luôn đi qua 1 điểm cố định.
Gợi ý: Gọi AO; AO ' .
A
N
N'
O'
O
B
M'
I'
Q A; (O) O '
Q A; (O) (O ')
Xét phép quay Q A; :
R R '
Vì MM’ và NN’ qua B nên:
AO; AO ' AM; AM ' AN; AN '
M
I
Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO - Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm KM10 Hương Trà 0935.785.115 9
Chun đề PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG
Hình Học 11
Q A; ( M ) M '
Lúc đó:
Q A; ( MN ) M ' N '
Q
(
N
)
N
'
A;
Do MN đi qua điểm I cố định nên M’N’ đi qua điểm cố định I’ là ảnh của I qua Q A; .
Bài tập 17: Chứng minh rằng: Các đoạn thẳng nối tâm các hình vng dựng trên các cạnh của một
hình bình hành về phía ngồi, hợp thành một hình vng.
Gợi ý:
Gọi I1 , I2 , I3 , I4 lần lượt là tâm của các hình vng cạnh AB, BC, CD, DA
I2
Xét phép quay Q I ;900 : Q I ;900 ( B) C
(1)
2
2
Do I1 BA I3CD nên I3C BI1 .
I1
(2)
C
B
DCI3 ABI1 450
I3C BI1 (3)
Mặt khác:
DC // AB
I1 I2 I2 I3
Từ (1), (2) và (3) suy ra: Q I ;900 ( I1 ) I3
2
I1 I2 I2 I3
D
A
I3
I4
Lý luận tương tự ta có I1 I4 I4 I3 và I1 I4 I4 I3 . Vậy I1 I2 I3 I4 là hình vng. (đ.p.c.m)
III- BÀI TẬP TỰ LUN - T LUYN:
1) Cho tam giác ABC. Xác định ¶nh cđa ABC qua c¸c phÐp quay:
a) Q( A;900 )
a) Q( A;600 )
2) Cho hình vuông ABCD với O là tâm. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD. Xác
định ảnh của AMN qua phép quay:
a) Q(0;900 )
a) Q( O;900 )
3) Trong mặt phẳng cho các điểm A(0;3), B(-2;0), C(1;4). Xác định toạ độ các điểm A',B', C'
lần lượt là ảnh của A, B, C qua:
a) Q O;900
b) Q O;900
4) Cho đường thẳng : x 4 y 2 0 và đường tròn (C): x 2 y 2 4 x 2 y 0. Xác định
phương trình ', (C') lần lượt là ¶nh cđa vµ (C) qua phÐp quay:
a) Q O;900
b) Q O;900
5) Cho nữa đường tròn tâm O và đường kính BC. Điểm A chạy trên nữa đường tròn đó.
Dựng về phía ngoài của ABC hình vuông ABEF. Chứng minh rằng: E chạy trên nữa đường
tròn cố định.
6) Cho đường thẳng d và điểm O cố định không thuộc d, M là điểm di động trên d. HÃy tìm
tập hợp các điểm N sao cho OMN đều.
7) Cho 2 đường tròn (O) và (O') bằng nhau và cắt nhau tại A, B. Từ 1 điểm I cố định kẻ cát tuyến
di động IMN với (O), MB và NB lần lượt cắt (O') tại M', N'. CMR: M'N' luôn đi qua 1 điểm cố định.
Lp Toỏn thy Lấ B BO - Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm KM10 Hương Trà 0935.785.115 10
Chun đề PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG
Hình Học 11
8) Cho ba điểm A, B, C theo thứ tự trên thẳng hàng. Vẽ cùng một phía, dựng hai tam giác
đều ABE, BCF. Gọi M và N tương ứng là hai trung điểm của AF và CE. Chứng minh rằng:
BMN là tam giác đều.
9) Cho tam giác ABC. Qua điểm A dựng hai tam giác vuông cân ABE và ACF. Gọi M là trung
điểm của BC và giả sử AM FE=H. Chứng minh rằng: AH là đường cao của AEF.
10) Cho tứ giác lồi ABCD. Về phía ngoài tứ giác dựng các tam giác đều ABM, CDP. Về phía
trong tứ giác dựng hai tam giác đều BCN và ADK. Chứng minh: MNPK là hình bình hành.
11) Cho tam giác ABC. Về phía ngoài tam giác, dựng ba tam giác đều BCA1 , ACB1 , ABC1 .
Chøng minh r»ng: AA1 , BB1 , CC1 đồng quy.
12) Cho tam giác ABC. Dựng về phía ngoài tam giác các hình vuông BCIJ, ACMN, ABEF và
gọi O, P, Q lần lượt là tâm của chúng.
a) Gọi D là trung điểm của AB. Chứng minh rằng: DOP vuông cân tại D.
b) Chứng minh rằng: AO PQ và AO=PQ.
13) Cho tam giác ABC. Trên các cạnh AB và BC, về phía ngoài tam giác dựng 2 hình vuông
ABMN, BCPQ. Chứng minh rằng: Các tâm của hình vuông này cùng với 2 trung điểm của
MQ, AC tạo thành 1 hình vuông.
III- BI TP TRC NGHIM
Cõu 1:
Cho hai điểm phân biệt A , B và là góc lượng giác bất kì. Biết QO ; A A1 , QO ; B B1 ,
khẳng định nào sau đây đúng?
A. A1 B1 AB.
B. A1 B1 AB.
Câu 2:
A;
3
Câu 5:
0
0
0
0
Cho hình vng MNPQ (thứ tự các đỉnh cùng chiều quay của kim đồng hồ). Phép quay nào
sau đây biến điểm M thành điểm P .
A. Phép quay tâm Q góc 90.
B. Phép quay tâm Q góc 45.
C. Phép quay tâm Q góc 45.
D. Phép quay tâm Q góc 90.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm A 1; 2 . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Q
A A 2;1 .
B. Q
A A 2; 1 .
C. Q
A A 1; 2 .
D. Q
A A 2; 1 .
3
O;
2
3
O;
2
Câu 6:
A;
3
A;
3
Gọi hình vng ABCD tâm O (các đỉnh theo thứ tự theo chiều ngược chiều kim đồng hồ).
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Q O;90 B A.
B. Q O;90 B C.
C. Q O;90 B O.
D. Q O;90 B D.
Câu 4:
D. A1 B1 AB.
Cho tam giác đều ABC (thứ tự đỉnh theo chiều dương lượng giác), khẳng định nào sau đây sai?
A. Q B C.
B. Q C B.
C. Q 7 C B.
D. Q 7 C B.
A;
3
Câu 3:
C. A1 B1 AB.
Có bao nhiêu phép quay với góc quay
chính nó?
A. 0.
B. 1.
3
O;
2
0
3
O;
2
0
360 0
C. 2.
biến tam giác đều cho trước thành
D. 4.
Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO - Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm KM10 Hương Trà 0935.785.115 11
Chuyên đề PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG
Câu 7:
Biết thực hiện liên tiếp hai phép quay Q I ; và Q I ; , k 2 , k 2 , k , k
đồng nhất. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. k 2 , k .
Câu 9:
Câu 10:
k 2 , k
.
ta được phép
.
k 2 , k .
2
2
Phép biến hình nào sau đây khơng có tính chất: “Biến một đường thẳng thành một đường
thẳng song song hoặc trùng với nó”?
A. Phép đồng nhất.
B. Phép vị tự.
C. Phép quay bất kì. D. Phép tịnh tiến.
Cho đường thẳng và điểm I . Phép quay tâm I với góc quay nào sau đây thì biến
đường thẳng thành chính nó?
A. 60 0.
B. 90 0.
C. 180 0.
D. 360 0.
Phép quay tâm I góc quay 90 biến đường thẳng d thành đường thẳng d . Khẳng định nào
sau đây là đúng?
C.
Câu 8:
B. k 2 , k
Hình Học 11
A. d d .
B. d / / d .
C.
D. d , d 45.
C. d d .
Câu 11: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , ảnh của điểm B 3; 4 qua phép quay tâm O , góc quay
90 0 , có tọa độ là
A. 4; 3 .
B. 4; 3 .
C. 3; 4 .
D. 4; 3 .
Câu 12: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm M 0; 3 . Xác định tọa độ điểm M là ảnh của
điểm M qua phép quay tâm O 0; 0 , góc quay 270 .
A. M 3; 0 .
B. M 3; 3 .
C. M 0; 3 .
D. M 3; 0 .
Câu 13: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , phép quay tâm I 2;1 , góc quay 120 0 , biến điểm M 1; 9
thành điểm M ' có tọa độ là
5 8 3 6 3
1 5 3 2 3 3
A. M
B. M
;
;
.
.
2
2
2
2
5 8 3 2 2 3
1 5 3 6 3
C. M
D. M
;
;
.
.
2
2
2
2
Câu 14: Cho M 3; 4 . Tìm ảnh của điểm M qua phép quay tâm O góc quay 30 0 .
3 3 3
; 2 3.
A. M '
2 2
B. M ' 2; 2 3 .
3 3
3 3
3
;2 3.
2; 2 3 .
C. M '
D. M '
2
2
2
Câu 15: Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm M 1;1 . Hỏi các điểm sau điểm nào là ảnh của M qua phép
quay tâm O , góc 45 ?
A. M –1;1 .
B. M 1;0 .
C. M
2;0 .
D. M 0; 2 .
Câu 16: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng : 2 x y 1 0. Ảnh của đường thẳng
qua phép quay tâm O , góc quay 90 0 là đường thẳng có phương trình
A. x 2 y 1 0.
B. 2 x y 2 0.
C. 2 x y 2 0.
D. x 2 y 1 0.
Câu 17: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , phép quay tâm O , góc quay 90 0 biến đường tròn
C : x
2
y 2 4 x 6 y 3 0 thành đường trịn C có phương trình nào sau đây?
Lớp Tốn thầy LÊ BÁ BẢO - Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm KM10 Hương Trà 0935.785.115 12
Chun đề PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG
Hình Học 11
A. C : x 3 y 2 16.
B. C : x 3 y 2 16.
C. C : x 2 y 3 16.
D. C : x 2 y 3 16.
2
2
2
2
2
2
2
2
Câu 18: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường tròn C : x 1 y 2 5. Xác định phương
2
trình đường trịn C là ảnh của đường tròn C qua phép quay tâm O , góc quay 90 0.
A. x 2 y 1 5.
2
B. x 2 y 1 5.
2
C. x 1 y 1 5. D. x 1 y 2 5.
2
2
2
Câu 19: Cho tam giác đều ABC có G là trọng tâm (hình vẽ bên). Khẳng định
nào sau đây đúng?
A. QG ,120 B A.
B. QG ,60 B A.
C. QG ,120 A B.
A
D. QG ,6 A B.
G
B
C
Câu 20: Có bao nhiêu phép quay với góc quay với ; biến hình vng thành chính nó?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 5.
Câu 21: Trong mặt phẳng, tìm ảnh của điểm A 2; 1 qua phép quay tâm O , góc quay 90.
A. M 1; 2 .
B. N 1; 2 .
C. P 1; 2 .
D. Q 2;1 .
Câu 22: Trong mặt phẳng, cho đường thẳng : x 2 y 1 0 . Xác định ảnh của qua phép quay tâm
O ( O là gốc tọa độ), góc quay 90 .
A. x 2 y 1 0.
B. 2 x y 1 0.
C. 2 x y 1 0.
D. 2 x y 1 0.
Câu 23: Về phía ngồi tam giác ABC , dựng các hình vng
ABMN và ACPQ . Gọi I , J lần lượt là tâm các hình vng
Q
N
ABMN và ACPQ ; E là trung điểm BC (tham khảo hình
vẽ). Khẳng định nào sau đây sai?
A. EIJ vuông cân.
B. BQ CN .
C. AE MP.
D. BQ CN .
A
J
P
I
M
B
E
C
Câu 24: Trong mặt phẳng, cho hai điểm A 1; 3 , B 2;1 . Gọi M , N lần lượt là ảnh của A , B qua phép
dời hình bằng cách thực hiện liếp tiếp phép tịnh tiến theo vectơ v 3; 1 và phép quay tâm
O , góc quay 90 . Viết phương trình đường thẳng MN .
A. x 4 y 20 0.
B. x 4 y 20 0.
C. 4 x y 12 0.
D. 4 x y 5 0.
Câu 25: Cho tam giác đều ABC cạnh a có G là trọng tâm. Gọi tam giác MNP là ảnh của tam giác
ABC qua phép dời hình bằng cách thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo vectơ BC và phép
quay tâm G , góc quay 90 . Tính độ dài GM .
2a 3
a 3
a 7
A.
B.
C.
D. a 7.
.
.
.
3
3
2
Câu 26: Cho tam giác đều ABC . Hãy xác định góc quay của phép quay tâm A biến B thành điểm C .
A. 30 .
B. 90 .
C. 120 .
D. 60 0 hoặc 60 0 .
Câu 27: Cho hai hình vng ABCD và BEFG như hình bên. Tìm
ảnh của tam giác ABG qua phép quay tâm B , góc quay
90 .
A. BCD .
B. CBE .
C. ABD .
D. DCG .
Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO - Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm KM10 Hương Trà 0935.785.115 13
Chun đề PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG
Hình Học 11
Câu 28: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho vectơ v 3; 2 và điểm M 1; 4 . Xác định tọa độ
ảnh của điểm M qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O ,
góc quay 90 0 và phép tịnh tiến theo vectơ v .
A. 1; 3 .
B. 7; 1 .
C. 2; 6 .
D. 4; 2 .
Câu 29: Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng d : 2 x 3 y 9 0 . Viết phương trình của đường thẳng
d ' là ảnh của đường thẳng d qua phép quay tâm O góc 90 0 .
A. 2 x 3 y 9 0 .
B. 3 x 2 y 9 0 .
C. 3 x 2 y 9 0 .
D. 2 x 3 y 9 0 .
Câu 30: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng d : 4 x 3 y 5 0 và d ' : x 7 y 4 0 . Nếu
có phép quay biến đường thẳng này thành đường thẳng kia thì số đo của góc quay với
0 180 là góc nào sau đây?
A. 120 .
B. 60 .
C. 90 .
D. 45 .
Câu 31: Có bao nhiêu điểm biến thành chính nó qua phép quay tâm O góc
với
k 2 ( k là một
số nguyên)?
A. 0 .
B. 1 .
C. 2 .
D. Vơ số.
Câu 32: Cho hình chữ nhật có O là tâm đối xứng. Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm O góc quay ,
0 2 biến hình chữ nhật trên thành chính nó?
A.Khơng có.
B.Hai.
C.Ba.
D.Bốn.
Câu 33: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm B ( 3; 6) . Tìm toạ độ điểm E sao cho B là ảnh của E qua phép
quay tâm O góc quay 900 .
A. E(6;3).
B. E(3; 6).
C. E(6; 3).
D. E(3; 6).
C. M 1;1 .
D. M 1; 0 .
Câu 34: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho phép quay tâm O biến điểm A 1; 0 thành điểm A 0; 1 .
Khi đó nó biến điểm M 1; 1 thành điểm
A. M 1; 1 .
B. M 1; 1 .
Câu 35: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , phép quay tâm I 4; 3 góc quay 180 biến đường thẳng
d : x y 5 0 thành đường thẳng d có phương trình
A. x y 3 0 .
B. x y 3 0 .
C. x y 5 0 .
Câu 36: Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn
C : x
2
D. x y 3 0 .
y 4 x 10 y 4 0 . Viết phương trình
2
đường trịn C biết C là ảnh của C qua phép quay với tâm quay là gốc tọa độ O và góc
quay bằng 270 .
A. C : x 2 y 2 10 x 4 y 4 0 .
B. C : x 2 y 2 10 x 4 y 4 0 .
C. C : x 2 y 2 10 x 4 y 4 0 .
D. C : x 2 y 2 10 x 4 y 4 0 .
Câu 37: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O như hình bên. Tam giác EOD là ảnh của tam giác AOF qua
phép quay tâm O góc quay . Tìm .
A
B
O
F
E
A.
o
60 .
B.
o
60 .
C
D
C.
120 o.
D.
120 o.
_______________HẾT_______________
Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO - Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm KM10 Hương Trà 0935.785.115 14
Chun đề PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG
Câu 1:
Hình Học 11
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Cho hai điểm phân biệt A , B và là góc lượng giác bất kì. Biết QO ; A A1 , QO ; B B1 ,
khẳng định nào sau đây đúng?
A. A1 B1 AB.
B. A1 B1 AB.
Câu 2:
D. A1 B1 AB.
Lời giải:
Phép quay là phép dời hình nên bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
Chọn đáp án D.
Cho tam giác đều ABC (thứ tự đỉnh theo chiều dương lượng giác), khẳng định nào sau đây sai?
A. Q B C.
B. Q C B.
C. Q 7 C B.
D. Q 7 C B.
A;
3
A;
3
Lời giải:
Ta có: Q
7
A;
3
Câu 3:
C. A1 B1 AB.
A;
3
A;
3
C B. Vậy C sai.
Chọn đáp án C.
Gọi hình vuông ABCD tâm O (các đỉnh theo thứ tự theo chiều ngược chiều kim đồng hồ).
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Q O;900 B A.
B. Q O;900 B C.
C. Q O;900 B O.
D. Q O;900 B D.
Lời giải:
Q O;90
Câu 4:
0
B C vậy B đúng.
Chọn đáp án B.
Cho hình vng MNPQ (thứ tự các đỉnh cùng chiều quay của kim đồng hồ). Phép quay nào
sau đây biến điểm M thành điểm P .
A. Phép quay tâm Q góc 90.
B. Phép quay tâm Q góc 45.
C. Phép quay tâm Q góc 45.
D. Phép quay tâm Q góc 90.
Lời giải:
Dễ thấy QQ ,90 M P.
M
N
Q
P
Chọn đáp án A.
Câu 5:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm A 1; 2 . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Q
A A 2;1 .
B. Q
A A 2; 1 .
C. Q
A A 1; 2 .
D. Q
A A 2; 1 .
3
O;
2
3
O;
2
3
O;
2
3
O;
2
Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO - Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm KM10 Hương Trà 0935.785.115 15
Chun đề PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG
Lời giải:
Ta có: Q
3
O;
2
A Q
O;
2
Hình Học 11
A A 2; 1 .
Chọn đáp án B.
Câu 6:
Có bao nhiêu phép quay với góc quay
chính nó?
A. 0.
B. 1.
Lời giải:
Tồn tại hai phép quay với góc quay
+) Q G ;120
0
+) Q G ;240
0
ABC ABC .
0
0
360 0
biến tam giác đều cho trước thành
C. 2.
0
0
D. 4.
360 0 :
A
ABC ABC .
120
0
G
B
Câu 7:
Với G là trọng tâm tam giác ABC .
Chọn đáp án C.
Biết thực hiện liên tiếp hai phép quay Q I ; và Q I ; , k 2 , k 2 , k , k
đồng nhất. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. k 2 , k .
C.
2
k 2 , k
Lời giải:
Khi k 2 , k
.
B. k 2 , k
C.
2
ta được phép đồng nhất.
Chọn đáp án B.
ta được phép
.
k 2 , k
.
thì thực hiện liên tiếp hai
phép quay Q I ; và Q I ; , k 2 , k 2 , k , k
Câu 8:
C
M'
2π-α
I
α
M≡M''
Phép biến hình nào sau đây khơng có tính chất: “Biến một đường thẳng thành một đường
thẳng song song hoặc trùng với nó”?
A. Phép đồng nhất.
B. Phép vị tự.
C. Phép quay bất kì. D. Phép tịnh tiến.
Lời giải:
Phép quay với góc quay k 2 hoặc k 2 , k biến một đường thẳng thành một
đường thẳng song song hoặc trùng với nó.
Chọn đáp án C.
Câu 9: Cho đường thẳng và điểm I . Phép quay tâm I với góc quay nào sau đây thì biến
đường thẳng thành chính nó?
A. 60 0.
B. 90 0.
C. 180 0.
D. 360 0.
Lời giải:
Q I ; 60 ; 60 . Vậy A sai
QO ; 90 . Vậy B sai
QO ;180 // . Vậy C sai
QO ; 360 . Vậy D đúng
Chọn đáp án D.
Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO - Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm KM10 Hương Trà 0935.785.115 16
Chun đề PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG
Hình Học 11
Câu 10: Phép quay tâm I góc quay 90 biến đường thẳng d thành đường thẳng d . Khẳng định nào
sau đây là đúng?
A. d d .
B. d / / d .
D. d , d 45.
C. d d .
Lời giải:
Chọn đáp án A.
Câu 11: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , ảnh của điểm B 3; 4 qua phép quay tâm O , góc quay
90 0 , có tọa độ là
A. 4; 3 .
B. 4; 3 .
C. 3; 4 .
D. 4; 3 .
Lời giải:
x yB 4
QO ; 90 B B B
B 4; 3 .
yB xB 3
Chọn đáp án B.
Câu 12: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm M 0; 3 . Xác định tọa độ điểm M là ảnh của
điểm M qua phép quay tâm O 0; 0 , góc quay 270 .
A. M 3; 0 .
B. M 3; 3 .
C. M 0; 3 .
D. M 3; 0 .
Lời giải:
Chọn đáp án D.
Câu 13: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , phép quay tâm I 2;1 , góc quay 120 0 , biến điểm M 1; 9
thành điểm M ' có tọa độ là
5 8 3 6 3
1 5 3 2 3 3
A. M
B. M
;
;
.
.
2
2
2
2
5 8 3 2 2 3
1 5 3 6 3
C. M
D. M
;
;
.
.
2
2
2
2
Lời giải:
0
0
x x a cos120 y b sin120 a
Giả sử M ' x; y . Ta có:
.
0
0
y
x
a
sin120
y
b
cos120
b
5 8 3 6 3
Thay x 1; y 9; a 2; b 1 , ta có M
;
.
2
2
Chọn đáp án B.
Câu 14: Cho M 3; 4 . Tìm ảnh của điểm M qua phép quay tâm O góc quay 30 0 .
3 3 3
; 2 3.
A. M '
2 2
3 3
;2 3.
C. M '
2
Lời giải:
B. M ' 2; 2 3 .
3 3
3
2; 2 3 .
D. M '
2
2
Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO - Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm KM10 Hương Trà 0935.785.115 17
Chun đề PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG
Hình Học 11
x ' x cos y sin
Gọi M ' x '; y ' Q O ;300 .Áp dụng biểu thức tọa độ
ta có
y ' x sin y cos
3 3
0
0
2
x ' 3 cos 30 4 sin 30
3 3
3
2
M '
2; 2 3 .
2
2
y ' 3 sin 30 0 4 cos 30 0 3 2 3
2
Câu 15:
Chọn đáp án D.
Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm M 1;1 . Hỏi các điểm sau điểm nào là ảnh của M qua phép
quay tâm O , góc 45 ?
A. M –1;1 .
B. M 1;0 .
C. M
D. M 0; 2 .
2;0 .
Lời giải:
+ Thay biểu thức tọa độ của phép quay tâm O góc quay 45 ta có:
o
o
o
o
x x.cos 45 y.sin 45 cos 45 sin 45 0
.
o
o
o
o
y
x
.sin
45
y
.cos
45
sin
45
cos
45
2
Vậy M 0; 2 .
Câu 16:
Chọn đáp án D.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng : 2 x y 1 0. Ảnh của đường thẳng
qua phép quay tâm O , góc quay 90 0 là đường thẳng có phương trình
A. x 2 y 1 0.
B. 2 x y 2 0.
C. 2 x y 2 0.
D. x 2 y 1 0.
Lời giải:
Gọi M x; y d , QO ; 90 ; QO ; 90 M M M
x yM
y xM
, thay vào phương trình đường thẳng
M
M
y M xM
xM y M
2. y M xM 1 0 : x 2 y 1 0 .
Câu 17:
Chọn đáp án D.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , phép quay tâm O , góc quay 90 0 biến đường trịn
C : x y 4 x 6 y 3 0 thành đường trịn C có phương trình nào sau đây?
A. C : x 3 y 2 16.
B. C : x 3 y 2 16.
C. C : x 2 y 3 16.
D. C : x 2 y 3 16.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Lời giải:
Đường tròn I 2; 3 , bán kính R 4.
Ta có: Q O ;90
Đường
0
I I 3; 2 : Tâm đường tròn C .
C
tròn
x 3 y 2
2
2
có
tâm
I 3; 2 ,
bán
R R 4
kính
nên
có
phương
trình:
16.
Chọn đáp án A.
Câu 18: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường tròn C : x 1 y 2 5. Xác định phương
2
trình đường trịn C là ảnh của đường tròn C qua phép quay tâm O , góc quay 90 0.
A. x 2 y 1 5.
2
B. x 2 y 1 5.
2
C. x 1 y 1 5. D. x 1 y 2 5.
2
2
2
Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO - Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm KM10 Hương Trà 0935.785.115 18
Chun đề PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG
Hình Học 11
Lời giải:
Đường trịn C có tâm I 1; 0 , bán kính R 5.
Ta có: Q O ; 90
0
I I 0;1 .
Đường trịn C có tâm I 0;1 , bán kính R R 5 , có phương trình: x 2 y 1 5.
2
Câu 19:
Chọn đáp án B.
Cho tam giác đều ABC có G là trọng tâm (hình vẽ bên). Khẳng định
nào sau đây đúng?
A. QG ,120 B A.
B. QG ,60 B A.
C. QG ,120 A B.
D. QG ,6 A B.
A
G
B
C
Lời giải:
Ta có QG ,120 A B.
Chọn đáp án C.
Câu 20: Có bao nhiêu phép quay với góc quay với ; biến hình vng thành chính nó?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 5.
Lời giải:
Gọi O là tâm của hình vng. Khi đó phép quay tâm O ,
góc quay với ; ; 0; ; biến hình vng thành
2
2
chính nó.
Chọn đáp án D.
Câu 21: Trong mặt phẳng, tìm ảnh của điểm A 2; 1 qua phép quay tâm O , góc quay 90.
A. M 1; 2 .
B. N 1; 2 .
C. P 1; 2 .
D. Q 2;1 .
Lời giải:
x y
Biểu thức tọa độ của phép quay tâm O , góc quay 90 biến M x; y thành M x; y :
.
y x
Suy ra QO ,90 A N 1; 2 .
Chọn đáp án B.
Câu 22: Trong mặt phẳng, cho đường thẳng : x 2 y 1 0 . Xác định ảnh của qua phép quay tâm
O ( O là gốc tọa độ), góc quay 90 .
A. x 2 y 1 0.
B. 2 x y 1 0.
C. 2 x y 1 0.
D. 2 x y 1 0.
Lời giải:
Lấy M 1; 0 , N 1;1 nằm trên .
x y
Biểu thức tọa độ của phép quay tâm O , góc quay 90 biến M x; y thành M x; y :
.
y x
Khi đó QO ,90 M M 0;1 , QO ,90 N N 1; 1 và QO ,90 .
Suy ra đi qua hai điểm M , N . Do đó : 2 x y 1 0.
Chọn đáp án D.
Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO - Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm KM10 Hương Trà 0935.785.115 19
Chun đề PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG
Câu 23:
Hình Học 11
Về phía ngồi tam giác ABC , dựng các hình vuông
ABMN và ACPQ . Gọi I , J lần lượt là tâm các hình vng
Q
N
ABMN và ACPQ ; E là trung điểm BC (tham khảo hình
vẽ). Khẳng định nào sau đây sai?
A. EIJ vuông cân.
B. BQ CN .
C. AE MP.
D. BQ CN .
A
M
B
Lời giải:
Xét phép quay tâm A , góc quay 90 .
Ta có Q A ,90 N B, Q A ,90 C Q Q A ,90 NC BQ .
C
E
Q
N
Suy ra BQ CN và BQ CN .
BCN có EI là đường trung bình nên EI // CN và
1
EI CN .
2
CBQ có EJ là đường trung bình nên EJ // BQ và
P
J
I
A
P
J
I
M
B
C
E
1
BQ .
2
Suy ra EI EJ và EI EJ EIJ vuông cân tại E.
EJ
Chọn đáp án C.
Câu 24:
Trong mặt phẳng, cho hai điểm A 1; 3 , B 2;1 . Gọi M , N lần lượt là ảnh của A , B qua phép
dời hình bằng cách thực hiện liếp tiếp phép tịnh tiến theo vectơ v 3; 1 và phép quay tâm
O , góc quay 90 . Viết phương trình đường thẳng MN .
A. x 4 y 20 0.
B. x 4 y 20 0.
C. 4 x y 12 0.
D. 4 x y 5 0.
Lời giải:
Ta có Tv A C 4; 4 , Tv B D 5; 0 , QO ,90 C M 4; 4 , QO ,90 D N 0; 5 .
Suy ra MN : x 4 y 20 0.
Chọn đáp án B.
Câu 25: Cho tam giác đều ABC cạnh a có G là trọng tâm. Gọi tam giác MNP là ảnh của tam giác
ABC qua phép dời hình bằng cách thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo vectơ BC và phép
quay tâm G , góc quay 90 . Tính độ dài GM .
2a 3
a 3
a 7
A.
B.
C.
D. a 7.
.
.
.
3
3
2
Lời giải:
P
Phép tịnh tiến theo vectơ BC biến ABC thành DCE .
J
Phép quay tâm G , góc quay 90 biến DCE thành MNP .
M
Gọi I , J lần lượt là trọng tâm của DCE và MNP .
D
A
Ta có TBC G I GI a , QG ,90 I J GI GJ a .
2 a 3 a 3
TBC AG DI , QG ,90 DI MJ MJ AG , MJ AG .
.
3 2
3
N
I
G
B
C
E
2
a 3
2a 3
.
Suy ra MG a
3
3
2
Chọn đáp án B.
Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO - Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm KM10 Hương Trà 0935.785.115 20
Chun đề PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG
Hình Học 11
Câu 26: Cho tam giác đều ABC . Hãy xác định góc quay của phép quay tâm A biến B thành điểm C .
A. 30 .
B. 90 .
C. 120 .
D. 60 0 hoặc 60 0 .
Lời giải:
AB AC
Ta có:
nên Q( A ; 60) ( B) C .
( AB, AC ) 60
Chọn đáp án D.
Câu 27: Cho hai hình vng ABCD và BEFG như hình bên. Tìm
ảnh của tam giác ABG qua phép quay tâm B , góc quay
90 .
A. BCD .
B. CBE .
C. ABD .
D. DCG .
Lời giải:
Ta có: Q B ,90 B B, Q B ,90 A C , Q B ,90 G E hay ảnh của tam giác ABG qua phép quay
tâm B , góc quay 90 là tam giác CBE .
Chọn đáp án B.
Câu 28: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho vectơ v 3; 2 và điểm M 1; 4 . Xác định tọa độ
ảnh của điểm M qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O ,
góc quay 90 0 và phép tịnh tiến theo vectơ v .
A. 1; 3 .
B. 7; 1 .
C. 2; 6 .
D. 4; 2 .
Lời giải:
Ta có: Q O ;90
0
M M1 4; 1 và Tv M1 M 2 1; 3 .
Chọn đáp án A.
Câu 29: Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng d : 2 x 3 y 9 0 . Viết phương trình của đường thẳng
d ' là ảnh của đường thẳng d qua phép quay tâm O góc 90 0 .
A. 2 x 3 y 9 0 .
B. 3 x 2 y 9 0 .
C. 3 x 2 y 9 0 .
Lời giải:
Gọi M x; y d ; M '( x '; y ') Q(O;90
0
)
D. 2 x 3 y 9 0 .
M
0
0
x ' y
x y '
x ' x.cos90 y.sin 90
Ta có:
M y '; x ' .
0
0
y ' x.sin 90 y.cos90
y ' x
y x '
Có: M y '; x ' d : 2 x 3 y 9 0 2 y ' 3x ' 9 0
Vậy phương trình d ' cần tìm là : 3 x 2 y 9 0
Câu 30:
Chọn đáp án B.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng d : 4 x 3 y 5 0 và d ' : x 7 y 4 0 . Nếu
có phép quay biến đường thẳng này thành đường thẳng kia thì số đo của góc quay với
0 180 là góc nào sau đây?
A. 120 .
B. 60 .
C. 90 .
D. 45 .
Lời giải:
Hai đường thẳng d và d ' có vecto pháp tuyến lần lượt là nd 4; 3 và nd ' 1;7 .
Ta có: cos d , d ' cos nd , nd '
nd .nd '
nd . nd '
4.1 3.7
5.5 2
2
. Suy ra d , d ' 45 .
2
Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO - Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm KM10 Hương Trà 0935.785.115 21
Chun đề PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG
Hình Học 11
Vì d , d ' hoặc d , d ' 180 nên 45 hoặc 135 .
Chọn đáp án D.
Câu 31: Có bao nhiêu điểm biến thành chính nó qua phép quay tâm O góc
với
k 2 ( k là một
số nguyên)?
A. 0 .
B. 1 .
C. 2 .
D. Vô số.
Lời giải:
Điểm đó chính là tâm quay O .
Chọn đáp án B.
Câu 32: Cho hình chữ nhật có O là tâm đối xứng. Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm O góc quay ,
0 2 biến hình chữ nhật trên thành chính nó?
A.Khơng có.
B.Hai.
C.Ba.
D.Bốn.
Lời giải:
Có 2 phép quay tâm O góc , 0 2 biến tam giác trên thành chính nó là các phép quay
với góc quay bằng: , 2 .
Chọn đáp án B.
Câu 33: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm B ( 3; 6) . Tìm toạ độ điểm E sao cho B là ảnh của E qua phép
quay tâm O góc quay 900 .
A. E(6;3).
B. E(3; 6).
C. E(6; 3).
D. E(3; 6).
Lời giải:
Điểm E (6; 3) .
Chọn đáp án C.
Câu 34: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho phép quay tâm O biến điểm A 1; 0 thành điểm A 0; 1 .
Khi đó nó biến điểm M 1; 1 thành điểm
A. M 1; 1 .
B. M 1; 1 .
C. M 1;1 .
D. M 1; 0 .
Lời giải:
A'
1
y
M'
x
O
-1
A 1
M
Từ giả thiết, kết hợp với hình vẽ ta thấy góc quay là
Khi đó phép quay tâm O góc quay
Câu 35:
.
2
biến điểm M 1; 1 thành điểm M 1; 1 .
2
Chọn đáp án B.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , phép quay tâm I 4; 3 góc quay 180 biến đường thẳng
d : x y 5 0 thành đường thẳng d có phương trình
A. x y 3 0 .
B. x y 3 0 .
C. x y 5 0 .
Lời giải:
D. x y 3 0 .
Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO - Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm KM10 Hương Trà 0935.785.115 22
Chun đề PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG
Hình Học 11
Ta có phép quay Q I ;180o là phép đối xứng tâm I
Vì I d nên nếu ĐI d d thì d / / d , suy ra phương trình d : x y m 0 m 5 .
M 0;5 d
Xét ĐI M M M 8; 11 . Cho M 8; 11 d m 3 . Vậy d : x y 3 0 .
I 4; 3
Chọn đáp án B.
Câu 36: Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn C : x 2 y 2 4 x 10 y 4 0 . Viết phương trình
đường trịn C biết C là ảnh của C qua phép quay với tâm quay là gốc tọa độ O và góc
quay bằng 270 .
A. C : x 2 y 2 10 x 4 y 4 0 .
B. C : x 2 y 2 10 x 4 y 4 0 .
C. C : x 2 y 2 10 x 4 y 4 0 .
D. C : x 2 y 2 10 x 4 y 4 0 .
Lời giải:
Đường trịn C có tâm I 2; 5 , bán kính R 4 25 4 5 .
Ta có C QO ,270 C
C QO, 90 C
C QO,90 C .
xI y I 5
Do đó I QO ,90 I . Vì đây là phép quay 90 nên
, suy ra I 5; 2 .
y I xI 2
Bán kính đường trịn C là R R 5 .
Vậy C : x 5 y 2 25
2
2
C : x 2 y 2 10 x 4 y 4 0 .
Chọn đáp án B.
Câu 37: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O như hình bên. Tam giác EOD là ảnh của tam giác AOF qua
phép quay tâm O góc quay . Tìm .
A
B
O
F
E
A.
60 o.
B.
60 o.
C
D
C.
120 o.
D.
120 o.
Lời giải:
QO;120 O O , QO;120 A F . QO;120 F D .
Chọn đáp án B.
Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO - Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm KM10 Hương Trà 0935.785.115 23
