SKKN hướng dẫn học sinh lớp 12 giải một số bài toán nâng cao về đồ thị hàm số

1.

Lời giới thiệu
Nội dung về hàm số và ứng dụng của hàm số để giải các bài toán chiếm

một phần lớn và có một vị trí vơ cùng quan trọng trong nội dung chương trình
Tốn ở trường Trung học phổ thông cũng như trong các kỳ thi Trung học Phổ
thông Quốc gia, Học sinh giỏi cấp tỉnh.
Bài toán về đồ thị hàm số nằm trong lớp các bài toán về hàm số.
Bài tốn về đồ thị hàm số khơng những rèn luyện tư duy sáng tạo, trí thơng minh
mà cịn đem lại niềm say mê và u thích mơn Tốn cho chính người học.
Khó khăn mà học sinh thường gặp là hệ thống bài tập liên quan đến đồ thị
hàm số rất đa dạng và phong phú nhưng nội dung chưa đề cập một cách liên tục
và có hệ thống trong sách giáo khoa phổ thơng. Mặt khác trong kì thi trung học
Phổ thông Quốc gia, từ năm 2017 môn Tốn lại được ra dưới hình thức trắc
nghiệm, học sinh thiếu tài liệu chuyên sâu về chủ đề này.
Vì vậy để giúp các em học sinh phổ thông trong quá trình học tập, hình thành
cho học sinh những kiến thức và kỹ năng nhất định trong việc giải các bài tốn
nâng cao về đồ thị hàm số. Dưới sự góp ý của đồng nghiệp và trải qua những nhận
xét rút được từ q trình giảng dạy, tơi đã chọn đề tài: “Hướng dẫn học sinh lớp 12
giải một số bài toán nâng cao về đồ thị hàm số”. Với nội dung chính:

- Phân dạng và hướng dẫn học sinh lớp 12 giải một số bài toán nâng cao
về đồ thị hàm số.
- Giới thiệu với học sinh một số bài tốn nâng cao về đồ thị hàm số
dưới hình thức trắc nghiệm.
2. Tên sáng kiến
“Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải một số bài toán nâng cao về đồ thị hàm
số” 3. Tác giả sáng kiến
- Họ và tên: Nguyễn Thị Phương Dịu
- Chức vụ: Chủ tịch Cơng đồn

1


- Địa chỉ: Trường Trung học Phổ thông Lê Xoay, Khu 2, thị trấn Vĩnh Tường,
huyện Vĩnh Tường, tỉnh Vĩnh Phúc
- Số điện thoại: 0936 383 666
- E-mail:
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến
Trường THPT Lê Xoay- huyện Vĩnh Tường- tỉnh Vĩnh Phúc
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến
Giảng dạy và bồi dưỡng kỹ năng giải bài tập tốn giải tích cho học sinh THPT.
6.

Ngày sáng kiến được áp dụng thử Từ tháng 8/2018.

7.

Mô tả bản chất của sáng kiến

7.1. Các bước thực hiện sáng kiến
7.1.1. Nghiên cứu tài liệu
Thu thập các tài liệu liên quan đến chủ đề nghiên cứu: Giáo trình về
phương pháp dạy học Tốn, các tạp chí về khoa học giáo dục, các sách giáo khoa
và các sách tham khảo, các trang web về tốn học.
7.1.2. Điều tra sư phạm
Nghiên cứu, tìm hiểu chất lượng của học sinh, thăm dò ý kiến học sinh về
những khó khăn trong khi giải bài tập tốn về đồ thị hàm số của các em.
7.1.3. Quan sát sư phạm
Ghi nhật kí chi tiết, chính xác theo đúng trình tự thời gian nhằm tìm ra

những ưu khuyết điểm trong quá trình giảng dạy.
7.1.4. Thực nghiệm sư phạm
Nhằm tìm hiệu quả của việc “Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải một số bài
toán nâng cao về đồ thị hàm số” cho học sinh Trung học phổ thông tôi lập kế
hoạch thực nghiệm cho việc nghiên cứu đề tài chia làm các giai đoạn: Thử áp
dụng đề tài cho học sinh 3 lớp 12 ở hai năm học 2018-2019; 2019-2020. So sánh
kết quả thực nghiệm trước khi dạy và sau khi dạy để tìm ra hiệu quả của thực
nghiệm.
2


7.2. Nội dung của sáng kiến
7.2.1. Cơ sở lí luận của vấn đề nghiên cứu
Khi giải bài toán nâng cao về đồ thị hàm số thì vấn đề cơ bản là học sinh
phải nắm được các dạng đồ thị của các hàm số thường gặp, các phép biến đổi đồ
thị hàm số để từ đó có sự linh hoạt trong vận dụng giải bài tập.
7.2.2. Thực trạng của vấn đề mà nội dung của đề tài đề cập đến
Trong chương trình Tốn Trung học phổ thơng, đồ thị hàm số được đề cập
đến từ lớp 10 khi học sinh được học về hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai. Đến lớp
12 thì đồ thị hàm số tiếp tục được đề cập đến khi học sinh được học chương I

- Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số, trong chương trình Giải tích. Đây là kiến
thức cần cho thi THPT Quốc gia và thi học sinh giỏi.
Trong bài viết này, Tôi xin đưa ra cách phân dạng, hướng dẫn Học sinh giải
một số bài tập nâng cao về đồ thị hàm số cùng một số bài tập trắc nghiệm về đồ
thị hàm số để minh hoạ cho Sáng kiến kinh nghiệm: “Hướng dẫn học sinh lớp
12 giải một số bài toán nâng cao về đồ thị hàm số”.
7.2.3. Chuẩn bị thực hiện đề tài
-

Hướng dẫn học sinh sử dụng các tài liệu tham khảo và giới thiệu sách

hay có liên quan để học sinh tìm đọc.
-

Chọn lọc, biên soạn theo hệ thống từng bài dạy.

-

Nghiên cứu các đề thi Trung học phổ thông Quốc gia, đề thi học sinh

giỏi, và trao đổi kinh nghiệm cùng đồng nghiệp.
7.2.4. Những biện pháp, giải pháp đặt ra của đề tài
7.2.4.1. Hình thành thái độ học tập mơn Tốn cho học sinh
Học sinh cấp Trung học phổ thơng đã có ý thức tương đối tốt trong việc
học hành. Nắm bắt được sự phát triển tâm lý này, giáo viên cần khơi gợi sự say
mê, tìm tịi; kích thích hứng thú học tập của học sinh trong q trình học mơn
Tốn.
7.2.4.2. Phân loại và yêu cầu đối tượng
3


-

Giới thiệu tính chất, hướng chứng minh.

-

Đưa ra ví dụ minh hoạ, bài tập áp dụng tính chất.

7.2.4.3. Rèn luyện kỹ năng giải bài tập nâng cao về đồ thị hàm số cho học sinh
7.2.4.3.1– Kiến thức cơ bản:
Để giải các bài tập về đồ thị hàm số ta thường sử dụng các kiến thức cơ bản
sau:


Sách giáo khoa Đại số 10 –NXB Giáo dục nêu khái niệm về đồ thị của

hàm số như sau:
“Đồ thị của hàm số y f ( x) xác định trên tập D là tập hợp tất cả các
điểm Mx; f ( x) trên mặt phẳng toạ độ với mọi x D ”
 Sách giáo khoa Giải tích 12 –NXB Giáo dục nêu nhận xét:
“Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm y f ( x)
xác định trên K.
Nếu hàm số y f ( x) đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải;
Nếu hàm số y f ( x) nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang
phải”.


Cách vẽ đồ thị một số hàm đặc biệt
Đồ thị

y f (x)

y f ( x)

y f ( x)

4

y f ( x )

y f ( x) p với

y f ( x) p với

y f ( x q) với

y f ( x q) với q 0

y f ( px) với p1

y f ( px) với 0 p 1


5

y qf ( x) với q 1

Giãn đồ thị hàm số y f ( x) theo chiều
dọc hệ số q

y qf ( x) với 0 q1

Co đồ thị hàm số
hệ số 1/q

y f ( x ) a

Vẽ đồ thị hàm số
tịnh tiến đồ thị hàm số
hoặc xuống dưới tuỳ thuộc dấu của a Vẽ

y f ( x b)

đồ thị hàm số y f ( x) trước, sau đó
tịnh tiến đồ thị hàm số
hoặc sang phải tuỳ thuộc dấu của b

7.2.4.3.2 – Các dạng toán thường gặp:
7.2.4.3.2.1 – Dạng 1: Liên hệ giữa đồ thị hàm số và nghiệm của phương
trình.
7.2.4.3.2.1.1 –Bài toán 1 :
Bài toán : Biết đồ thị của hàm số

y  f (x) . Tìm số nghiệm của phương trình

af ( x ) b,a, b
Cách giải:
+ Đưa phương trình

b
f
.
( x) a

+ Số nghiệm của phương trình af ( x ) b,a, b , a 0 bằng số giao điểm
của đồ thị hàm số y f (x) và đường thẳng
song với trục hoành).

y

(đường thẳng y

song


6

y  f (x) có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Số nghiệm 0

Bài 1. Cho hàm số bậc ba
thực của phương trình 5 f

A. 3 .

+ Phương trình

( x) 2 là

B. 2 .

C. 1 .

D. 0 .

Hướng dẫn

( 2

5 f ( x ) 2 0 f
.
x) 5

+ Số nghiệm của phương trình 5 f ( x) 2 0

bằng số giao điểm của đồ thị hàm

số y f (x) và đường thẳng

Từ hình vẽ và nhận xét đường thẳng

y
giao điểm là 3.
Vậy chọn đáp án A.
Bài 2. (Đề thi THPT QG - Mã đề 102 - 2018)

song song với trục hồnh nên có số

Cho hàm số f ( x ) ax 4 bx 2 c ,a , b, c
vẽ. Số
nghiệm thực của phương trình 4 f ( x) 3 0 là
A. 4.
B. 2.
C. 3.

, a 0 có đồ thị như hình
D. 0.

7


Hướng dẫn
3

+ Phương trình 4 f ( x ) 3 0 f ( x) 4 .
+ Số nghiệm của phương trình 4 f ( x) 3 0
số y f (x) và đường thẳng y
Từ hình vẽ và nhận xét đường thẳng
giao điểm là 4.
Vậy chọn đáp án A.

Bài 3. Cho hàm số y f (x) liên tục trên đoạn2; 2 và có đồ thị như hình vẽ.
Số nghiệm thực của phương trình 2 f ( x) 3 0 trên đoạn2;1 là
A. 2

B. 1 .

C. 4 .

D. 3 .

Hướng dẫn
+ Phương trình 2 f ( x ) 3  1 f ( x)

+ Số nghiệm của phương trình 2 f ( x) 3 0 trên đoạn 2;1 bằng số giao
điểm của đồ thị hàm số y f (x) và đường thẳng y

3

2 trên đoạn2;1.

8


Từ hình vẽ và nhận xét đường thẳng
giao điểm là 2.
Vậy chọn đáp án A.
Bài 4. Cho hàm số y fx xác định và liên tục trên đoạn2; 2 và có đồ thị là
đường cong trong hình vẽ sau.

Tất cả các giá trị thực của tham số
phân biệt trên đoạn2; 2 là
A. m 2;.
Chọn D.
Số nghiệm của phương trình

y fx (hình vẽ) và đường thẳng
Nhìn vào đồ thị ta thấy để phương trình có
Vậy chọn đáp án D.

.


9

7.2.4.3.2.1.2 – Bài toán 2 :
Bài toán : Biết đồ thị của hàm số y  f (x) . Xét các bài tốn liên quan đến
phương trình có dạng f 

x

g m , f ux g

m

, f

x

 f m ,

fux fm  .

Cách giải:
Xét trường hợp f ux gm ta làm như sau:
+

Chặn giá trị của x, ux, f x



u
+ Đặt t ux, phương
trình trở

thành

,

từ đó suy ra điều
kiện của

g

+ Từ đồ thị suy ra điều kiện
của

t gm

f

m.

m

Bài 1. Cho hàm số y fx liên tục trên

và có đồ thị như hình vẽ dưới đây

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình
f

x



D. 6 .

Hướng dẫn

Chọn A
Phương trình đã cho tương đương với
Đặt t

x


Vì với mỗi nghiệm t 0 của phương trình (2) cho đúng một nghiệm x log t của
phương trình (1) nên (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (2) có đúng

10

hai nghiệm phân biệt trên



0 Dựa vào đồ thị ta thấy điều này xảy ra khi và

;.

chỉ khi1
Mà m nguyên nên
m




m

m

0;1

2



1; .

3
Vậy có 3 giá trị của m thoả mãn.
Bài 2. Cho hàm số y fx liên tục trên

\1 và có đồ thị như hình vẽ dưới

đây
y
2
1
O

2

x

f log2 x m có

Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m
nghiệm thuộc4; là

D.

A.
Chọn B
Đặt t log2
Do đó phương trình flog2
phương trình ft m có nghiệm t 2;



\1.

khi và chỉ khi

Quan sát đồ thị ta suy ra điều kiện của tham số m là m0;1.
Bài 3. Cho hàm số

y


f
liên tục trên
( x)

và có đồ thị như hình vẽ dưới đây:


Số các giá trị nguyên của m lớn hơn -10 để phương trình


f



2

x  2 x1 m 5

A. 13.
11


Chọn A
2

 2x1

Đặt t x
Phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt khi phương trình

1 nghiệm dương.

Từ đồ thị hàm số y fx
Do m nguyên và m lớn hơn -10 nên
Vậy có 13 giá trị của m
Bài 4. Cho hàm số

vẽ. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình

.

A. m
Chọn D
Đặt t x2 3 suy ra t 3 , ta có phương trình

D. m

.

7
3 khi và chỉ khi

Từ đồ thị suy ra phương trình
m 2 7 4 m 11 .
Vậy m 11 .

Bài 5. Cho hàm số y fx liên tục trên và có đồ thị là đường cong như hình

x

vẽ. Để phương trình f



 6 x 13  fm có nghiệm thì tất cả các giá

2

trị m thoả mãn là m; a b;. Tính 2020a b ?

12

A. 606 .
6

B. 202 .
5

C. 606 .
4

D. 202 .
4

Hướng dẫn
Chọn C
Đặt t x 2 6 x 13 suy ra t 4 , ta có phương trình f  f
m
t Dựa vào đồ thị phương trình ft fm có
4 khi và chỉ khi
nghiệm t




f

 606 .
4

Suy ra a 3; b 4 2020
a b Vậy 2020 a b
6064 .
Bài 6. Cho hàm số y f ( x) liên tục trên

Tất cả các giá trị của m để phương trình
0; là
A. m1;1.

và có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

f (sin x ) m có nghiệm thuộc khoảng

B. m1;3.


C. m 1;3

Hướng dẫn
Chọn C

Đặt t sin x , do x0; t0;1.
Phương trình trở thành f (t ) m
Phương trình f (sin x ) m có nghiệm thuộc khoảng0; khi và chỉ khi
phương trình f (t ) m có nghiệm t0;1.

13

Dựa vào đồ thị hàm số đã cho ta có giá trị cần tìm của m là
Bài 7. Cho hàm số
Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình
đúng 4 nghiệm thực phân biệt thuộc đoạn

D. 8 .

C. 6 .

A. 9
Hướng dẫn
Chọn D
Đặt t x


Vậy với x



21

Dựa vào BBT ta thấy: với mỗi


4

cho một nghiệm

có đúng 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn

Do đó phương trình




3



2

Dựa vào đồ thị ta có phương trình
2 m 4

t

Vì m m 5
nguyê m f (4)
n nên

m  3, m

;

7


2

 ft m có đúng 2 nghiệm phân



5 . Vậy chọn đáp án D.

.

14


Bài 8. Cho hàm số
Có tất cả bao nhiêu giá trị ngun của tham số m để phương trình
fx

3

2

3x

D. Vơ số.
Chọn A
Đặt t x
Vì 1 x 32 t 2
Phương trình
Phương trình có nghiệm



  

2;2.


   





 m 2  3m  2  0
 1  m 1
2 m 2  3m  4  



.
2 2 m 4 m 3m 4 0



Vậy có tất cả 4 giá trị nguyên của tham số m thoả mãn.
Bài 9. Cho hàm số y fx có đồ thị như hình vẽ.

Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình

f
m

cos x

có đúng hai nghiệm thuộc khoảng
D. 4.

A.18 .
Hướng dẫn
Chọn D

 2 m


15

t cos x

Đặt

x0 và

Nhận xét: với mỗi giá trị



  ; .

x0 thuộc khoảng 



2 2

Phương trình f

 Phương trình f
7 m2

Mà: m m3;
Vậy tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để thoả mãn đề bài là (
Bài 10. Cho hàm số y f ( x) liên tục trên và có đồ thị là đường cong như hình vẽ
dưới đây:

( x ) có đúng 2
Có bao nhiêu giá trị âm của tham số m để phương trình f
f
(
m)
nghiệm?
D.
A. 2.
B. 3. C. 4.
1.
Hướng dẫn
Chọn A

Dựa vào đồ thị hàm số thì phương trình
 f ( m)1

 (1).
f ( m) 3

f
( x ) có đúng 2 nghiệm
f ( m)

Số giá trị m thỏa mãn (1) chính là số nghiệm x âm của hệ







16

Lại dựa vào đồ thị thì đường thẳng

y cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm
3

phân biệt, đường thẳng y1 cũng cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân
biệt, 4 điểm này có 2 điểm có hồnh độ âm khác nhau nên hệ (2) có 2 giá trị x
âm thỏa mãn. Vậy có 2 giá trị của tham số m thỏa mãn bài toán.
7.2.4.3.2.1.3–Bài toán 3 :
Bài toán : Biết đồ thị của hàm số y  f (x) . Tìm số nghiệm của phương trình

af ( x ) b c,a, b, c , a 0, c 0
Cách giải 1:

+ Đưa phương trình

bc.

a

a

)
(

+ Từ đồ thị hàm số

 f
x

+ Từ đó tìm được số nghiệm của phương trình
1.

x )
b

b
a

 theo bài tốn
c


17

Cách giải 2:

+ Đưa phương trình

+ Từ đồ thị hàm số
f ( x ) c b ; f ( x)
 c
 b
aa
+ Từ đó tìm được số nghiệm của phương trình af ( x ) b c
Nhận xét :
Làm tương tự khi xét các bài toán :
Biết đồ thị của hàm số y fx, xét các bài toán liên quan đến phương trình
có dạng

x a ;



u

Bài 1. Cho hàm số bậc ba

y f có đồ thị như hình vẽ.
 x

Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m: m 5 để phương trình fx 

m có hai nghiệm phân biệt là

A. 14.

Chọn A


Từ đồ thị hàm số y fx ta suy ra đồ thị hàm số y fx
18

m  5 để phương trình

Từ hình vẽ suy ra tập các giá trị nguyên của tham số m:

f



x



Vậy có tổng các giá trị của m thoả mãn là 14.
Bài 2. Cho đồ thị của hàm số

Tìm số nghiệm phương trình
D. 6.

A. 3.
Chọn D
Cách 1:
Đồ thị hàm y

+ Phần đồ thị
+ Phần đồ thị lấy đối xứng qua
Từ đó ta có đồ thị của của hàm số y fx .

điểm trên trục Ox )

f


19

Từ đồ thị của hàm số
Cách 2:

Dựa vào đồ thị trên:
-Phương trình

-Phương trình
Vậy fx 

3

2 có 6 nghiệm.

có 6 nghiệm.