Ôn hè toán 8 đơn thức, đa thức, hằng đẳng thức 2021

NỘI DUNG ÔN TẬP CHƯƠNG I
NHÂN ĐƠN THỨC, ĐA THỨC.
CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ.
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ.
CHIA ĐA THỨC


NỘI DUNG ÔN TẬP (Buổi 1)
PHÉP NHÂN ĐƠN THỨC, ĐA THỨC.
CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ.


I- Phép nhân đơn thức, đa thức:
1. Nhân đơn thức với đơn thức:
* Quy tắc: Muốn nhân một đơn thức với một đơn thức, ta nhân các
hệ số với nhau, nhân phần biến với nhau.


2. Nhân đơn thức với đa thức:
* Quy tắc: Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta
nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng
các tích với nhau.
* Tổng quát: A(B + C) = A.B + A.C
* Ví dụ: Làm tính nhân
5x2.(3x2 – 7x + 2)

= 5 x 2 .3x 2 − 5 x 2 .7 x + 5 x 2 .2
= 15 x 4 − 35 x3 + 10 x 2


3. Nhân đa thức với đa thức:

* Quy tắc: Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta
nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của
đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.
* Tổng quát: (A + B).(C + D) = A.C + A.D + B.C + B.D
* Ví dụ: Làm tính nhân
(2x2 – 3x).(5x2 – 2x + 1)

= 10 x 4 − 4 x3 + 2 x 2 − 15 x3 + 6 x 2 − 3x
= 10 x 4 − 19 x3 + 8 x 2 − 3x


Bài tập 1: Làm tính nhân:
a) -2x3.(5x2 + 3x - 4)

b) (x2 + 2).(3x2 – 0,5x - 4)


Bài tập 2: Rút gọn biểu thức:


II. Những hằng đẳng thức đáng nhớ:
Điền vào chỗ các dấu “ ? ” sau đây để có các hằng đẳng thức đúng:
1) ( A
? + ?B )2 = A2 + 2AB
? + B2
? - B? )2 = A2 - 2AB + B
?2
2) ( A
? )(A - B?) = A?2 – B2
3) (A + B

? )3 = A3 + 3A2B
? + 3AB2 + B3
4) (A + B
5) ( A? - B )3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B?3
6) ( A + ?B )( A2 – AB + B2) = A3 + B?3
7) ( A - B )( A2 + AB + B2) = A
?3– B3
Ví dụ: Tính

a) (2 - y)2
b) (x – 1)(x + 1)
c) (x + 3)(x2 – 3x + 9)


Bài tập 3:
Điền vào chỗ trống(….) để được một hằng đẳng thức đúng:
x4
6xa)2 (x2 – 3 )2 = …. –……. + 9
1
3x
b) (x +…)3 = x3 + 3x2 +
x3
4
……. + 1
c) (
2x….) = …….+ 8
x + 2) ( x29y–2 2x +
d) 4x2 - …. .= (……+ 3y ) ( 2x – 3y )

Bài tập 4: Cho biểu thức:
A = (2x + 1)2 + (3x -1)2 + 2 (2x + 1)(3x -1)
Tính giá trị của A tại x = 2

.


Bài tập 4: Cho biểu thức:
A = (2x + 1)2 + (3x -1)2 + 2 (2x + 1)(3x -1)
Tính giá trị của A tại x = 2
Giải:

Ta có: A = (2x + 1)2 + (3x -1)2 + 2 (2x + 1)(3x -1)
A = (2x + 1)2 + 2(2x + 1)(3x -1) + (3x -1)2
. 2
A = [(2x + 1) + (3x -1)]
A = (2x + 1 + 3x -1 )2 = (5x)2 = 25x2
Thay x = 2 vào A ta được: A = 25.22 = 25.4 = 100
Vậy với x = 2 thì giá trị của A = 100


Bài tập 5: Tìm x, biết:
2x.(3x - 5) – (x - 3).(5x - 1) – (x + 2)2 = 11
Giải
Ta có: 2x.(3x - 5) – (x - 3).(5x - 1) – (x + 2)2 = 11
=> 6x2 – 10x – (5x2 – x – 15x + 3) – (x2 + 4x + 4) = 11
=> 6x2 – 10x – 5x2 + x + 15x - 3 – x2 - 4x - 4 = 11
=> 2x – 7 = 11
=> 2x = 18

=> x = 9


Bài tập 6: Biến đổi đa thức
về dạng P2 hoặc P2 + k :

Nhân đa thức với đa thức

A = x2 - 6x + 9
B = x2 - 6x + 19
C = x2 + 8x - 5
D = 16x2 – 8x + 3

Dùng hằng đẳng thức
phân tích thành nhân tử


Bµi tập
7:
Chøng minh: x2 -2xy + y2 + 1 > 0
với mọi
số thực
x
và
y
Giải:
Ta thấy:x2 - 2xy + y2 + 1

= (x2 -2xy +
y=2)+

1 2+ 1
( x-y)
V× ( x-y)2 víi mäi x, y
≥Mà
0 1>0
víi mäi x, y
⇒ ( x-y)2+ 1 >víi
0 mäi sè thùc x, y


Bài 3 (BTVN):
Rút gọn các biểu thức sau:
a) (x 1)3 – (x + 1)(x2 – x + 1) – (3x + 1)(1 – 3x)
b) (x2 + 1)(x – 3) – (x – 3)(x2 + 3x + 9)
c) (3x + 2)2 + (3x - 2)2 – 2(3x + 2)(3x - 2) + x

Gi¶i:

a) (x – 1)3 – (x + 1)(x2 – x + 1) – (3x + 1)(1 – 3x)
= (x3 –3x2 + 3x - 1) – (x3 + 1) – (1 + 3x)(1 – 3x)
= x3 –3x2 + 3x - 1 – x3 - 1 – (1 – 9x2)
= x3 –3x2 + 3x - 1 – x3 - 1 – 1 + 9x2
= 6x2 + 3x - 3


Bài 3 (BTVN):
Rút gọn các biểu thức sau:
a) (x 1)3 – (x + 1)(x2 – x + 1) – (3x + 1)(1 – 3x)
b) (x2 + 1)(x – 3) – (x – 3)(x2 + 3x + 9)
c) (3x + 2)2 + (3x - 2)2 – 2(3x + 2)(3x - 2) + x

Gi¶i:

b) (x2 + 1)(x – 3) – (x – 3)(x2 + 3x + 9)
= (x3 –3x2 + x - 3) – (x3 - 27)
= x3 –3x2 + x - 3 – x3 + 27
= -3x2 + x +24


Bài 3 (BTVN):
Rút gọn các biểu thức sau:
a) (x 1)3 – (x + 1)(x2 – x + 1) – (3x + 1)(1 – 3x)
b) (x2 + 1)(x – 3) – (x – 3)(x2 + 3x + 9)
c) (3x + 2)2 + (3x - 2)2 – 2(3x + 2)(3x - 2) + x

Gi¶i:

c) (3x + 2)2 + (3x - 2)2 – 2(3x + 2)(3x - 2) + x
= (3x + 2 - 3x + 2)2 + x
= 16 + x


Bµi 4 (BTVN):
Tìm x :
c)(5x + 1)2 - (5x + 3) (5x - 3) = 30.
d) (x - 2)2- (x+3)2 = 5.

Gi¶i:

c) (5x + 1)2 - (5x + 3) (5x - 3) = 30.

⇔ (25x2 + 10x +1) – (25x2 - 9) = 30
⇔ 25x2 + 10x +1 – 25x2 + 9 = 30
⇔ 10x +10 = 30
⇔ 10x = 20
⇔x = 2
Vậy x = 2


Bµi 4 (BTVN):
Tìm x :
c)(5x + 1)2 - (5x + 3) (5x - 3) = 30.
d) (x - 2)2- (x+3)2 = 5.

Gi¶i:

d) (x - 2)2- (x+3)2 = 5.
⇔ (x2 - 4x + 4) – (x2 + 6x + 9) = 5
⇔ x2 - 4x +4 – x2 - 6x - 9 = 5
⇔ -10x - 5 = 5
⇔ -10x = 10
⇔ x = -1

Vậy x = -1


Bài 5 (BTVN):
Chứng minh rằng biểu thức luôn luôn dơng víi
mäi x, y.
A = x2 - 10x + 50
B = x2 + 12x + 37

C = 9x2 – 12x
+5
D = x2 + 4x + 4y2 - 12y + 15
Gi¶i:

A = x2 - 10x + 50
A = x2 – 2.x.5 + 25 – 25 + 50
A = (x2 – 2.x.5 + 25) + 25
A = (x - 5)2 + 25
Có (x - 5)2 ≥ 0 ∀x
Mà 25 > 0 ∀x
=> (x - 5)2 + 25 > 0 ∀x hay A > 0 ∀x
Vậy biểu thức A luôn dương với mọi x


Bài 5 (BTVN):
Chứng minh rằng biểu thức luôn luôn dơng víi
mäi x, y.
A = x2 - 10x + 50
B = x2 + 12x + 37
C = 9x2 – 12x
+5
D = x2 + 4x + 4y2 - 12y + 15
Gi¶i:

C = 9x2 – 12x + 5
C = (3x)2 – 2.3x.2 + 4 – 4 + 5
C = [(3x)2 – 2.3x.2 + 4] + 1
C = (3x - 2)2 + 1
Có (3x - 2)2 ≥ 0 ∀x

Mà 1 > 0 ∀x
=> (3x - 2)2 + 1 > 0 ∀x hay C > 0 ∀x
Vậy biểu thức C luôn dương với mọi x


Bài tp 5: Chứng minh rằng biểu
thức luôn luôn dơng víi mäi x.
P = 25x2 – 10x + 4
Q = x2 + x + 1


Bài tp 5: Chứng minh rằng biểu
thức luôn luôn dơng víi mäi x.
P = 25x2 – 10x + 4
Q = x2 + x + 1

Gi¶i:

P = 25x2 – 10x + 4
P = (5x)2 – 2.5x.1 + 1 – 1 + 4
P = [(5x)2 – 2.5x.1 + 1] + 3
P = (5x - 1)2 + 3
Có (5x - 1)2 ≥ 0 ∀x
Mà 3 > 0 ∀x
=> (5x - 1)2 + 3 > 0 ∀x hay P > 0 ∀x
Vậy biểu thức P luôn dương với mọi x


Bài tp 5: Chứng minh rằng biểu
thức luôn luôn dơng víi mäi x.

P = 25x2 – 10x + 4
Q = x2 + x + 1

Gi¶i:

Q = x2 + x + 1

=> Q > 0 ∀x
Vậy biểu thức Q luôn dương với mọi x


Bµi 6 (BTVN):
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) A = x2 + 6x + 9
b) B = 1– 24y + 9y2

c) C = 4x2 - 12x + 2015.
d) D = 2x2 – 3x - 1