SKKN một số biện pháp rèn luyện khả năng tư duy lôgic cho học sinh thông qua dạy học chứng minh toán học ở trường THCS ABung

MỤC LỤC
NỘI DUNG

TRANG

MỤC LỤC

1

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT

2

MỞ ĐẦU

3-5

1. Lý do chọn đề tài

3

2. Mục đích nghiên cứu và nhiệm vụ nghiên cứu

3-4

3. Đối tượng nghiên cứu

4

4. Đối tượng khảo sát thực nghiệm

4

5. Phương pháp nghiên cứu

4

6. Phạm vi và kế hoạch nghiên cứu

4-5

NỘI DUNG

6-17

Chương 1. Cơ sở lý luận:

6

Chương 2. Thực trạng vấn đề nghiên cứu

6-8

Chương 3. Các giải pháp và kết quả thực hiện

9-17

3.1. Các giải pháp

9-16

3.1.1. Cho học sinh tiếp cận với phương pháp chứng minh trực
tiếp.

9-12

3.1.1.1. Rèn luyện khả năng chuyển đổi ngôn ngữ của bài tốn từ
lời sang kí hiệu, hình vẽ và ngược lại.

9-10

3.1.1.2. Giúp học sinh nắm vững bản chất lơgic của loại tốn
chứng minh trực tiếp.

10-11

3.1.1.3. Hướng dẫn học sinh thiết lập sơ đồ phân tích bài tốn.

11-12

3.1.2. Hướng dẫn học sinh phương pháp bác bỏ mệnh đề.

12

3.1.3. Hướng dẫn học sinh phương pháp chứng minh phản chứng.

12-15

3.1.4. Giúp học sinh tránh mắc sai lầm trong sử dụng các quy tắc
lơgic khi giải tốn.

15-16

3.2. Kết quả thực hiện

16-17

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

17-18

1. Kết luận

17-18

2. Kiến nghị

18

Tài liệu tham khảo

19

Phụ lục

20-22
1


DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT

CHUỔI KÝ HIỆU,
CHỮ CÁI VIẾT TẮT

CỤM TỪ, KÝ HIỆU ĐƯỢC VIẾT TẮT

THCS

Trung học cơ sở

GT

Giả thiết

KL

Kết luận

HS

Học sinh

SL

Số lượng

VD

Ví dụ

c.g.c

Cạnh-Góc-Cạnh

c.c.c

Cạnh- Cạnh -Cạnh



Với mọi


�

Tồn tại

�

Tương đương

�

Suy ra
Thuộc
Căn bậc hai

�

Hội

//

Song song

%

Phần trăm

2


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Xu thế hội nhập và phát triển đòi hỏi Giáo dục và Đào tạo phải đổi mới để
đào tạo nên những người lao động có tư duy sáng tạo, có khả năng giải quyết
các vấn đề trong xã hội; mà muốn có tư duy sáng tạo thì phải rèn luyện cho học
sinh biết tư duy, suy luận một cách lôgic. Như vậy việc bồi dưỡng và rèn luyện
tư duy logic cho học sinh là một nhiệm vụ quan trọng của nhà trường phổ thông.
Nhận thức rỏ vai trò to lớn, tầm quan trọng hàng đầu của tư duy lôgic đối
với hiệu quả học tập mơn Tốn của học sinh phổ thơng nói chung, học sinh
THCS nói riêng nên trong q trình dạy học mơn Tốn đặc biệt là loại tốn
chứng minh, tơi ln để ý đến khả năng tư duy lôgic của các em và so sánh các
cách làm khác nhau của giáo viên tác động như thế nào đến khả năng ấy. Tôi đả
phát hiện ra rằng khi học loại toán chứng minh địi hỏi các em phải có kỹ năng
tư duy lơgic chặt chẽ và đó cũng là mơi trường thuận lợi để rèn luyện tốt kỹ
năng này cho các em. Vì vậy, tôi chọn lựa đề tài "Một số biện pháp rèn luyện
khả năng tư duy lôgic cho học sinh thông qua dạy học chứng minh toán học
ở trường THCS ABung".
2. Mục đích nghiên cứu và nhiệm vụ nghiên cứu
a. Mục đích nghiên cứu:

Tơi chọn đề tài này nhằm góp thêm một hướng đi, một cách làm có hiệu
quả đối với nhiệm vụ rèn luyện cho học sinh kỹ năng tư duy lơgic nói chung, kỹ
năng tư duy lơgic tốn học nói riêng thơng qua loại tốn chứng minh ở THCS.
Đồng thời với cách làm này khi học sinh có được khả năng tư duy lơgic tốt thì
càng góp phần kích thích sự hứng thú và làm tăng lịng say mê mơn Tốn ở các
em.
b. Nhiệm vụ nghiên cứu:
Nghiên cứu về mặt lý luận các khái niệm liên quan đến khả năng tư duy
lơgic, tư duy lơgic tốn học;
Tìm hiểu thực trạng về khả năng tư duy lơgic tốn học trong học sinh
THCS ABung;
3


Tìm hiểu mối quan hệ giữa khả năng tư duy lơgic và kết quả học tập mơn
Tốn ở học sinh THCS ABung;
Tìm hiểu cơ chế hình thành và phát triển kỹ năng tư duy lơgic tốn học
trong học tập mơn Tốn;
Nghiên cứu nội dung, mục tiêu, chuẩn chương trình sách giáo khoa và đặc
biệt quan tâm đến nội dung dạy học mơn Tốn mà trong đó ẩn chứa nhiều nhất
khả năng phát triển tốt tư duy lơgic tốn học cho học sinh. Thu thập, phân tích,
tổng hợp và tiến hành thể nghiệm các biện pháp trên đối tượng học sinh THCS
tại các lớp mình giảng dạy;
Phân tích những thành cơng, thất bại và nguyên nhân của những thành công
thất bại đó từ đó rút kinh nghiệm, lựa chọn và cải tạo các biện pháp hình thành
và phát triển khả năng tư duy lơgic tốn học cho học sinh sao cho hiệu quả nhất.
3. Đối tượng nghiên cứu
Biện pháp rèn luyện khả năng tư duy lôgic cho học sinh THCS thông qua
dạy học chứng minh toán học ở trường THCS ABung.
4. Đối tượng khảo sát thực nghiệm

Học sinh lớp 7A, 7B của trường THCS ABung – Đakrông – Quảng Trị
được thực hiện từ tháng 9 năm 2012 đến tháng 3 năm 2017.
5. Phương pháp nghiên cứu
Để hoàn thành đề tài của mình tơi đã sử dụng kết hợp nhiều phương pháp
cụ thể là:
Phương pháp chủ đạo là phương pháp điều tra sư phạm.
Phương pháp bổ trợ:
Quan sát theo dõi học sinh;
Phương pháp tổng kết kinh nghiệm;
Phương pháp đọc sách và tài liệu;
Phương pháp thực nghiệm sư phạm;
Phương pháp đàm thoại nghiên cứu vấn đề.
6. Phạm vi và kế hoạch nghiên cứu
4


a. Phạm vi nghiên cứu:
Mọi bài toán, mọi đối tượng tốn học đều ẩn chứa trong đó yếu tố lơgic
học. Vì vậy trong mọi giờ học tốn dù chính khố hay ngoại khoá, dù dạy kiến
thức mới hay luyện tập, ôn tập, dù với đối tượng học sinh khá giỏi hay yếu kém
đều có thể thực hiện được vấn đề rèn tư duy lơgic. Tuy nhiên để có điều kiện
nghiên cứu sâu, tìm hiểu kỹ thì trong đề tài này tôi tập trung nghiên cứu và thể
nghiệm chủ yếu trong loại toán chứng minh ở trường THCS ABung từ tháng 9
năm 2012 đến tháng 3 năm 2017. Bởi vì khi học loại tốn chứng minh thì khả
năng tư duy của các em được bộc lộ rõ nhất và cũng ở dạng toán này rất thuận
lợi cho việc kiểm tra kết quả thực nghiệm. Để đảm bảo yêu cầu sư phạm và tính
phổ dụng rộng rãi của đề tài, các bài toán, các vấn đề được sử dụng trong đề tài
mang tính vừa sức với đối tượng học sinh THCS.
b. Kế hoạch nghiên cứu:
Từ tháng 9 năm 2012 đến tháng 3 năm 2013: Nghiên cứu về mặt lý luận

các khái niệm liên quan đến khả năng tư duy lôgic, tư duy lơgic tốn học;
Từ tháng 4 năm 2013 đến tháng 9 năm 2013: Tìm hiểu cơ chế hình thành
và phát triển kỹ năng tư duy lơgic tốn học trong học tập mơn Tốn;
Từ tháng 10 năm 2013 đến tháng 6 năm 2014: Tìm hiểu thực trạng về khả
năng tư duy lơgic toán học trong học sinh THCS ABung;
Từ tháng 7 năm 2014 đến tháng 8 năm 2015: Tìm hiểu mối quan hệ giữa
khả năng tư duy lôgic và kết quả học tập mơn Tốn ở học sinh THCS ABung;
Từ tháng 9 năm 2015 đến tháng 8 năm 2016: Nghiên cứu nội dung, mục
tiêu, chuẩn chương trình sách giáo khoa và đặc biệt quan tâm đến nội dung dạy
học mơn Tốn mà trong đó ẩn chứa nhiều nhất khả năng phát triển tốt tư duy
lơgic tốn học cho học sinh. Thu thập, phân tích, tổng hợp và tiến hành thể
nghiệm các biện pháp trên đối tượng học sinh THCS tại các lớp mình giảng dạy;
Từ tháng 9 năm 2016 đến tháng 3 năm 2017: Phân tích những thành cơng,
thất bại và ngun nhân của những thành cơng thất bại đó từ đó rút kinh nghiệm,
lựa chọn và cải tạo các biện pháp hình thành và phát triển khả năng tư duy lơgic
tốn học cho học sinh sao cho hiệu quả nhất.
5


NỘI DUNG
Chương 1. Cơ sở lí luận
Trong cuộc sống hằng ngày, mỗi chúng ta ai cũng có sự so sánh, phán
đoán, suy lý trên cơ sở các ý niệm, khái niệm về hiện tượng sự vật xung quanh.
Đó chính là tư duy lôgic. Tư duy lôgic là suy nghĩ, nhận xét, đánh giá một cách
chính xác, lập luận có căn cứ. Như vậy tính lơgic là bắt buộc đối với mọi khoa
học. Và Toán học là một nghành khoa học lí thuyết được phát triển trên cơ sở
tuân thủ nghiêm ngặt các quy luật của tư duy lơgic hình thức. Có nghĩa là khi
xây dựng Tốn học, người ta dùng suy diễn lơgic, nói rỏ hơn là phương pháp
tiên đề. Theo phương pháp đó, xuất phát từ các khái niệm nguyên thuỷ và các
tiên đề rồi dùng các quy tắc lôgic để định nghĩa các khái niệm khác và chứng

minh các vấn đề khác. Vì thế Tốn học được coi là "mơn thể thao của trí tuệ,
giúp chúng ta nhiều trong việc rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp
suy luận, phương pháp học tập, phương pháp giải quyết các vấn đề, giúp chúng
ta rèn luyện trí thơng minh và sáng tạo" (Phạm Văn Đồng). Bởi vậy, một trong
những nhiệm vụ quan trọng bậc nhất của việc giảng dạy toán học ở trường phổ
thơng đó là "Dạy suy nghĩ". Phải có sự suy nghĩ chính xác thì mọi hoạt động
mới mang lại hiệu quả như mong muốn được. Hoạt động học tập mơn Tốn lại
càng cần đến sự suy nghĩ chính xác tối đa. Như vậy rèn luyện khả năng tư duy
lơgic cho học sinh trong q trình dạy tốn là một vấn đề tối thiểu cần thiết và
rất đáng để đầu tư công sức.
Chương 2. Thực trạng vấn đề nghiên cứu
Khi trình bày mơn Tốn cấp THCS, do đặc điểm lứa tuổi và yêu cầu của
cấp học người ta có phần châm chước, nhân nhượng về tính lơgic. Cụ. Tuy vậy,
nhìn chung chương trình tốn THCS vẫn mang tính lôgic, hệ thống: Tri thức
trước chuẩn bị cho tri thức sau, kiến thức được sắp xếp như một chuỗi mắt xích
liên kết với nhau chặt chẽ. Bởi thế học sinh muốn lĩnh hội được các kiến thức
tốn học thì phải có trình độ phát triển tư duy phù hợp với yêu cầu của chương
trình. Cụ thể là phải nhận thức được mối liên hệ giữa các mệnh đề toán học, biết
suy luận để tìm ra những tính chất mới từ những tính chất đã biết, vận dụng các
6


kiến thức đó để giải các bài tập đa dạng. Như vậy, rõ ràng học sinh phải biết
phân tích cấu trúc của các định nghĩa khái niệm, các mệnh đề, biết vận dụng
kiến thức thông qua việc sử dụng các quy tắc suy luận lôgic mà trong sách giáo
khoa lại thể hiện dưới dạng không tường minh. Bằng chứng cụ thể là trong
chương trình tốn ở trường THCS rất nhiều kí hiệu và ngơn ngữ lơgic tốn đã
được đưa vào sử dụng (Chẳng hạn:  ,  , � , � ,... mệnh đề đảo, phản đảo,
mệnh đề phủ định, chứng minh phản chứng...), tuy nhiên vì lí do sư phạm, trong
chương trình khơng có chương nào, thậm chí khơng có bài nào dạy riêng về vấn

đề lơgic tốn học. Các kí hiệu và ngơn ngữ, liên từ lơgic tốn được giới thiệu và
hình thành dần dần trong quá trình học tập các phần kiến thức liên quan. (Khi
nào cần đến chúng thì giới thiệu, cung cấp và hướng dẫn sử dụng). Các phương
pháp suy luận, chứng minh, các quy tắc kết luận lơgic thơng thường chỉ được
hình thành một cách "ngấm ngầm" thông qua hàng loạt những hoạt động cụ thể
chứa đựng chúng trong quá trình học tập bộ mơn. Do đó, trong điều kiện tơn
trọng nội dung sách giáo khoa và kế hoạch dạy học đã quy định hiện hành, đồng
thời để đảm bảo tính vừa sức với đối tượng học sinh THCS, muốn cho học sinh
học toán có hiệu quả thì người thầy giáo dạy tốn phải khéo léo dạy cho học
sinh cách tư duy lôgic. Khả năng tư duy lơgic khơng chỉ là cái đích cần đạt mà
còn là phương tiện giúp học sinh học tốt mơn Tốn. Tuy nhiên, như đã trình bày,
vì kiến thức về lơgic tốn học chỉ "chạy ngầm" trong sách giáo khoa nên mặc dù
cả thầy và trò đều sử dụng đến một cách thường xun nhưng vì khơng nhấn
mạnh, khơng làm "nổi" lên do đó chưa đọng lại trong trí óc các em và cũng chưa
hình thành được thói quen sử dụng và rèn luyện nó.
Trong mỗi giờ lên lớp ngay từ khi tiếp nhận giảng dạy đầu năm học tôi
thường xuyên quan tâm để ý đến các câu trả lời, cách diễn đạt, trình bày của các
em trong mỗi vấn đề, mỗi câu hỏi mà tôi nêu ra. Kết quả cho thấy ở đa số học
sinh thể hiện rõ sự non yếu, thiếu chặt chẽ. Các em thiếu hẳn kỹ năng phân chia
vấn đề để xem xét một cách đầy đủ các khả năng có thể xảy ra. Đặc biệt là khâu
trình bày tự luận ở các bài tốn đòi hỏi suy luận, chứng minh cho thấy học sinh

7


vấp phải nhiều sai lầm mà nguyên nhân chủ yếu là do khả năng tư duy lơgic tốn
học cịn non kém.
Chẳng hạn: Từ tính chất: "Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau". Nhiều học sinh
đã sai lầm rút ra kết luận: "Hai góc bằng nhau thì đối đỉnh".
Kết quả điều tra qua 40 học sinh lớp 7 của trường THCS ABung năm học

2013-2014 về thái độ đối với các bài tập tốn chứng minh cho thấy:

Rất thích học

Điều tra
40 HS

Thích học

Khơng

Bình thường

thích

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

0

0

6

15

10

25

24

60

Kết quả điều tra qua 40 học sinh lớp 7 của trường THCS ABung trong học
kỳ II năm học 2013-2014, về thời gian tự học ở nhà đối với các bài tập tốn
chứng minh cho thấy:

Thường

Thỉnh

xun

thoảng

Điều tra

40 HS

Khơng bao

Hiếm khi

giờ

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

2

5

4

10

8

20

26

65

Kết quả điều tra qua 40 bài kiểm tra khả năng tư duy lô gic thông qua các
bài tập chứng minh toán 7 ở trường THCS ABung trong năm học 20132014 cho thấy:

Giỏi

Trung

Khá

Điều tra 40
bài kiểm tra

Yếu

bình

Kém

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

0

0

1

2,5

3

7,5

6

15

30

75

Chương 3. Các giải pháp và kết quả thực hiện
3.1. Các giải pháp
Bằng kinh nghiệm nhiều năm giảng dạy và nhiệt tình trao đổi học hỏi về
chuyên môn cũng như sự bền bỉ kiên trì tìm kiếm, thể nghiệm, lựa chọn ...tơi rút
8


ra các biện pháp như sau để rèn luyện cho học sinh THCS có tư duy lơgic tốn
học tốt qua loại toán chứng minh:
3.1.1. Cho học sinh tiếp cận với phương pháp chứng minh trực tiếp
Có nhiều phương pháp chứng minh. Tuy nhiên đầu tiên giáo viên cần cho
học sinh tiếp xúc, làm quen và rèn luyện phương pháp chứng minh trực tiếp. Để
có hiệu quả, giáo viên cần chú trọng việc giúp đỡ học sinh rèn khả năng chuyển
đổi ngơn ngữ của bài tốn. Sau đó dần dần hình thành ở các em kỹ năng sử dụng
các kết luận lôgic tuân theo các quy tắc lôgic.
3.1.1.1. Rèn luyện khả năng chuyển đổi ngơn ngữ của bài tốn từ lời
sang kí hiệu, hình vẽ và ngược lại
Việc phiên dịch bài tốn từ ngơn ngữ thơng thường sang kí hiệu tốn học,
hình vẽ và ngược lại có một ý nghĩa hết sức quan trọng. Không những giúp cho
các em nắm chắc cấu trúc của bài toán (cái cho biết, cái phải tìm) mà cịn giúp
các em dễ dàng phân biệt các phần khác nhau của điều kiện, từ đó tìm được
hướng huy động các kiến thức có liên quan. Như vậy cũng góp phần cho việc

rèn luyện khả năng tư duy có lơgic.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng: “Trong một tam giác cân, hai góc ở đáy bằng
nhau”.
Trước hết rèn cho học sinh biết vẽ hình và diễn đạt nội dung bài tốn bằng
A

kí hiệu (ở bài tốn này chính là giả thiết, kết luận)
GT cân tại A
KL
B

C

�C
�
Hay: Nếu ABC cân tại A thì B
Với cách viết đó học sinh thấy rõ cấu trúc bài toán và "Khoanh vùng" kiến
thức cần huy động. Như thế ít nhất các em cũng đả suy nghĩ một cách hợp lí.
3.1.1.2. Giúp học sinh nắm vững bản chất lơgic của loại tốn chứng
minh trực tiếp
9


Các thao tác kết luận lôgic theo những quy tắc thơng thường khơng được
dạy tường minh ở trong chương trình THCS. Vì vậy học sinh lĩnh hội chúng một
cách ẩn tàng thông qua những trường hợp cụ thể. Thường dùng nhiều nhất là
quy tắc có sơ đồ sau:
A  B, A
B

(Nghĩa là: từ A suy ra B, A đúng thì B đúng)

Ví dụ 2: Khi trình bày phần chứng minh bài toán trên giáo viên cần để ý
đến việc vạch rõ tiền đề của từng kết luận lôgic trong lời giải. Chẳng hạn có thể
trình bày lời giải bài tốn trên như sau (đầy đủ và chi tiết, không bỏ qua tiền đề
A

nào), để có điều kiện làm rõ cấu trúc của lời giải:

Gợi ý: Kẻ tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại điểm D

B

1.A1) Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau
A2) ABC cân tại A
A3) Do đó AB = AC
2.A4) Tia phân giác của một góc là tia nằm giữa hai
cạnh của góc và tạo với hai cạnh ấy hai góc bằng nhau
A5) AD là tia phân giác của góc A
�  CAD
�
A6) Do đó BAD
3. A7) Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này

D

Từ định nghĩa
Giả thiết
Từ A1 và A2
Từ định nghĩa

Cách vẽ
Từ A4 và A5
Trường hợp bằng

bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai

nhau c.g.c của tam

tam đó bằng nhau.
A8) Hai tam giác ADB và ADC có AD cạnh chung

giác đã biết

�  CAD
� , AB = AC
và BAD
A9) Do đó hai tam giác ADB và ADC bằng nhau
4.A10) Nếu hai tam giác bằng nhau thì hai góc tương
ứng của chúng bằng nhau
A11) Hai tam giác bằng nhau ADB và ADC có hai

Theo A3 ,A6
Từ A7 v à A8
Từ định nghĩa
Theo A9

�
� và C
góc tương ứng là B
�C

�
A12) Do đó B

Từ A10 và A11
10

C


�C
�.
5.A) Vậy nếu ABC cân tại A thì B
3.1.1.3. Hướng dẫn học sinh thiết lập sơ đồ phân tích bài tốn
Ngồi ra, khi học sinh bước đầu nắm bắt được tinh thần của phương pháp
chứng minh này giáo viên có thể trình bày dưới dạng một sơ đồ để giúp học sinh
nhìn rõ hơn quá trình suy luận. Và cũng chính từ sơ đồ này học sinh học được kỹ
năng phân tích để trình bày bài giải một cách lơgic. Chẳng hạn có thể thiết lập
sơ đồ phân tích bài toán trên như sau (Sơ đồ 1):
AD là tia phân giác của góc A (cách vẽ)
Định nghĩa

ABC cân tại A (GT)
Định nghĩa

Hai tam giác ADB và
ADC có AD cạnh chung

�  CAD
�
BAD

AB = AC

ΔADB = ΔADC( c.g.c)

�C
� ( KL)
B
Nhờ cách phân tích này, học sinh tìm cách giải bài tốn một cách có cơ sở
hơn, khi trình bày cũng chặt chẽ hơn. Như vậy các em đã bước đầu biết suy
nghĩ, phân tích bài tốn để tìm cách giải một cách lôgic. Sau khi học sinh nắm
được cách tư duy và phân tích bài tốn như hướng dẫn trên giáo viên cho các em
làm các bài tập củng cố kỹ năng.
Cùng với việc nhấn mạnh và làm nổi bật quy tắc thơng dụng là

A  B, A
B

thơng qua các ví dụ cụ thể giúp học sinh lĩnh hội một cách ẩn tàng, giáo viên cần
quan tâm đến việc dùng những ví dụ cụ thể để giúp các em có thêm vốn tri thức
phương pháp về các cách chứng minh khác như bác bỏ một mệnh đề hoặc chứng
minh gián tiếp.
3.1.2. Hướng dẫn học sinh phương pháp bác bỏ mệnh đề
11


Về phương pháp, thì bác bỏ mệnh đề A chính là phải xác định rằng A là sai
bằng cách vạch rõ rằng từ A (và một số mệnh đề đã được thừa nhận là đúng) lấy
làm tiền đề, có thể rút ra kết luận lôgic là một mệnh đề sai B. Mệnh đề B sai do
đó mệnh đề A sai. Tuy nhiên vẫn phải thơng qua hệ thống ví dụ để hình thành

phương pháp.
Ví dụ 3: Chứng tỏ rằng kết luận sau là sai: "Căn bậc hai của mọi số nguyên
dương là số hữu tỉ".
Trước hết cần giúp các em viết gọn bằng kí hiệu: a ��,a  0 ( a ��)
Cho học sinh tìm giá trị cụ thể của a mà tại đó mệnh đề trên sai (chẳng hạn
a=2) khi đó mệnh đề trên là: 2 là số nguyên dương thì
do

2 là số hữu tỉ. Nhưng

2 là số vơ tỉ nên mệnh đề trên là sai.
Ta nói rằng cách làm trên là chỉ ra một phản thí dụ. Trong nhiều trường hơp

để chứng minh mệnh đề Q nào đó, người ta tìm cách bác bỏ mệnh đề phủ định
của Q. Nếu phủ định của Q sai thì Q đúng. Làm như thế có nghĩa là chứng minh
gián tiếp mệnh đề Q hay còn gọi là chứng minh phản chứng.
3.1.3. Hướng dẫn học sinh phương pháp chứng minh phản chứng
Chẳng hạn qua ví dụ sau giáo viên hướng dẫn cho các em cách suy luận
hợp lý trong giải tốn.
Ví dụ 4: Chứng minh rằng: "Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng song với
một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau".
Về mặt lôgic mệnh đề cần chứng minh có dạng : P �Q  R. Vì vậy giáo
viên cần làm cho học sinh thấy rõ cấu trúc: (a // c) �(b // c) � (a // b) thông
qua cách viết : (a // c) và (b // c) suy ra (a // b).
Để chứng minh gián tiếp ta hướng dẫn học sinh phân tích mối quan hệ giữa
a và b. Xét các khả năng xảy ra trong bài toán (hai đường thẳng a và b phân
biệt):
- a // b
- a cắt b
Từ đó lập phủ định của mệnh đề này, tức là:

12


(a//c) và (b//c) suy ra (a không song song với b) (giả sử a cắt b tại I )
a / /c
b / /c

Ta có

 Qua điểm I có hai đường thẳng a, b cùng

a cắt b tại I

song song với c (Mệnh đề S)

Mệnh đề S sai vì trái với tiên đề Ơ-clit (Qua một điểm ở ngoài một đường
thẳng chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó). Mệnh đề S sai,
nên (a//c) �(b//c) suy ra (a khơng song song với b) là sai. Do đó: (a//c) �(b//c)
suy ra (a không song song với b) là đúng. Tức là: (a // c) và (b // c) suy ra (a // b)
Trong một số trường hợp ta cần hướng dẫn cho học sinh chứng minh trực
tiếp mệnh đề phản đảo của mệnh đề đã cho.
Ví dụ 5: Chứng minh rằng: "Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc
lớn hơn là cạnh lớn hơn".
�C
� )  (AC > AB) (Theo hình vẽ)
Về mặt lơgic ta có thể viết gọn: ( B
Về phương pháp giáo viên hướng dẫn học sinh xét các khả năng xảy ra về
quan hệ giữa AC và AB:

A

- AC = AB
- AC < AB
- AC > AB

C

B

�)
� khơng lớn hơn C
Từ đó suy ra cần chứng minh : (AC không lớn hơn AB)  ( B
Hình thành sơ đồ sau giúp học sinh nắm được q trình suy luận (Sơ đồ 2):
AC khơng lớn hơn AB (AC  AB)
AC < AB

AC = AB
(  ABC cân tại A)

(Định lý thuận)
�C
�
B

�C
�
B

� (B
� �C

�)
� không lớn hơn C
B
13


Lưu ý:
Cần giúp học sinh thấy rỏ phép chứng minh trực tiếp (phản chứng) và phép
chứng minh gián tiếp không tách rời nhau. Trong chứng minh gián tiếp một
mệnh đề nào đó, ta thường phải chứng minh trực tiếp một mệnh đề trung gian,
củng như trong chứng minh trực tiếp một mệnh đề nào đó nhiều khi ta phải
chứng minh một số mệnh đề trung gian bằng phản chứng;
Thông thường phương pháp chứng minh gián tiếp hay được dùng để chứng
minh các định lý đảo (Dựa vào kết quả của định lý thuận) và khi chứng minh các
mệnh đề có dạng " Có ít nhất một .... "...
Sau việc hướng dẫn qua ví dụ cụ thể giáo viên cần cho các em được thử sức
bằng các bài tập tương tự.
Bài tập tương tự:
Hãy trình bày thành sơ đồ phép chứng minh bằng phản chứng các mệnh đề
sau đây và xét xem ta đã dùng hình thức nào (Bác bỏ phủ định của mệnh đề phải
chứng minh hay chứng minh mệnh đề phản đảo):
a) Nếu tích của hai số nguyên là một số lẻ thì tổng của chúng là một số chẳn.
b) Hai đường thẳng phân biệt cùng vng góc với một đường thẳng thứ ba thì
chúng song song với nhau.
Ngồi ra, cũng cần để ý rằng, trong giải toán các em thường mắc nhiều sai
lầm do vận dụng sai quy tắc lơgic. Vì thế khơng thể xem nhẹ vấn đề này, giáo
viên cần thống kê các sai lầm của học sinh qua các bài kiểm tra, các lần trình
bày bài làm của các em và rút ra những sai lầm cơ bản nhất liên quan đến khả
năng tư duy lôgic từ đó giúp các em tránh sai lầm đó.
3.1.4. Giúp học sinh tránh mắc sai lầm trong sử dụng các quy tắc

lơgic khi giải tốn
a c
ab a 2  b 2

Ví dụ 6: Cho tỉ lệ thức
. Chứng minh rằng

b d
cd c 2  d 2
Một học sinh làm như sau:
Thực vậy, từ (1) ta suy ra : ab(c 2  d 2 )  cd(a 2  b 2 )

14

(2)

(1)


Bỏ dấu ngoặc ta được: abc2  abd 2  cda 2  cdb 2 hay acbc – adbd = acad bcbd đúng (vì từ tỉ lệ thức

a c
 ta suy ra ad=bc) (3)
b d

(3) đúng, vậy (1) đúng .(điều phải chứng minh)
Cần phân tích cho học sinh thấy sự suy luận không hợp lôgic: (1)  (3), (3)
đúng, vậy (1) đúng. Ở đây các phép biến đổi là tương đương nên phải nói: (1)
 (3), (3) đúng, vậy (1) đúng. Như thế trong toàn bộ lời giải chỉ cần thay:

"Từ (1) suy ra (2)" bởi " (1) tương đương với (2)"
Ví dụ 7:
Cho hình vẽ sau, M là một điểm tùy ý trên đường thẳng a. Vẽ điểm C sao
cho a là đường trung trực của AC. Hãy so sánh MA+MB với BC
Một học sinh đã giải như sau: Gọi H là giao điểm của đường thẳng a với
AC. ΔMHA = Δ MHC (vì là hai tam giác vng có hai cạnh góc vng HA =
HC và HM cạnh chung). Suy ra MA=MC
Do đó: MA+MB=MC+MB > BC (Bất
đẳng thức trong ΔABC).
Sai lầm của học sinh là trong trường
hợp nếu điểm M trùng với điểm N thì:
MA+MB = NA+NB = NC+NB = BC
Như vậy trong khi hướng dẫn học sinh
giải, cần lưu ý các em phân chia xem xét tất
cả các trường hợp xảy ra rồi mới kết luận.
Tóm lại: Những sai lầm của học sinh trong giải toán là rất nhiều song phổ
biến có thể là do suy luận không hợp lôgic như áp dụng sai quy tắc lôgic (VD 6)
hoặc dùng quy nạp khơng hồn (VD 7)........ Giáo viên cũng có thể cho học sinh
phát hiện ra sai lầm trong cách giải bài tốn để các em khơng chỉ rèn tốt tư duy
lơgic mà cịn tránh được nhiều sai sót trong học tốn và cả trong vận dụng thực
tế.
3.2. Kết quả thực hiện
15


Qua quá trình thực hiện nêu trên đối với học sinh thuộc các khối lớp tại
trường mà tôi trực tiếp giảng dạy trong những năm qua đã cho thấy kết quả rõ
nét:
Các em bớt lúng túng trước những bài toán đặc biệt là dạng toán chứng
minh (trong các bài kiểm tra, bài thi với dạng toán này các em tỏ ra vận dụng

tốt);
Biết chọn lựa phương pháp giải phù hợp với bài toán sao cho nhắn gọn dễ
hiểu nhất. Chứng tỏ bước đầu các em biết phân loại các bài toán chứng minh;
Khắc phục các lỗi khi phát biểu cũng như trình bày lời giải các bài tốn;
Khả năng tư duy toán học nâng lên rõ rệt. Khả năng tư duy lôgic các vấn đề
trong đời sống hàng ngày cũng được cải thiện;
Hứng thú môn học được ghi nhận rõ nét. Các em tỏ ra mong chờ giờ học
toán hơn trước đây, cụ thể: Kết quả điều tra qua 40 học sinh lớp 7 của trường
THCS ABung trong học kỳ II năm học 2016-2017, về thái độ đối với các bài
tập tốn chứng minh cho thấy:

Rất thích
học

Điều tra
40 HS

Thích học

Bình thường

Khơng thích

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

28

70

10

25

2

5

0

0

Kết quả điều tra qua 40 học sinh lớp 7 của trường THCS ABung trong học
kỳ II năm học 2016-2017, về thời gian tự học ở nhà đối với các bài tập tốn
chứng minh cho thấy:

Điều tra

40 HS

Thường

Thỉnh

xun

thoảng

Hiếm khi

Khơng bao
giờ

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

36

90

4

10

0

0

0

0

16


Các em học sinh ở các lớp thuộc các năm học tôi trực tiếp giảng dạy và áp
dụng cách làm này đều học mơn Tốn rất tốt trong đó các khoá học sinh năm
học 2015-2016, 2016-2017 học sinh đạt kết quả rất cao, cụ thể: Kết quả điều tra
qua 40 bài kiểm tra khả năng tư duy lôgic thông qua các bài tập chứng minh
toán 7 ở trường THCS ABung trong học kỳ II năm học 2016-2017 cho thấy:
Giỏi
Điều tra 40
bài kiểm tra

Khá

Trung bình

Yếu

Kém

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

20

50

12

30

8

20

0

0

0

0

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1. Kết luận
Trên đây tơi mới chỉ trình bày một số phương pháp giúp nâng cao khả năng
tư duy lôgic cho học sinh thơng qua dạy chứng minh tốn học. Các nội dung
tốn học khác hồn tồn có thể làm được điều này nếu giáo viên biết cách khai
thác yếu tố lôgic trong mỗi dạng tốn. Để học sinh có được khả năng tư duy
lơgic tốt thơng qua dạy tốn nhất là loại toán chứng minh giáo viên cần lưu ý các
vấn đề sau:
Tìm hiểu và nắm vững khung chương trình Tốn THCS để từ đó đưa ra cho
học sinh các bài tập, các ví dụ phù hợp đảm bảo tính vừa sức;
Nghiên cứu kỹ các yếu tố lơgic trong chương trình Tốn THCS;
Nắm vững khả năng thực tế của học sinh trong vấn đề tư duy lơgic nói
chung và tư duy lơgic tốn nói riêng. Từ đó có sự điều chỉnh hợp lý các biện

pháp thực hiện nhằm mang lại hiệu quả cao nhất;
Trong quá trình áp dụng các biện pháp cần chú ý nâng dần mức độ khó cho
phù hợp với quá trình phát triển tư duy của học sinh;
Nếu điều kiện cho phép có thể thực hiện như một chuyên đề bồi dưỡng
Toán cho học sinh;
Phương pháp này phải được áp dụng thường xun thì học sinh mới hiểu
và có thói quen sử dụng thường xuyên;

17


Đây là một vấn đề địi hỏi sự tích luỹ lâu dài và bền bỉ do đó cần đến sự
trau dồi thường xuyên của cả thầy và trò, tuyệt đối khơng thể nóng vội.
2. Kiến nghị
Đối với giáo viên: Cần đẩy mạnh triển khai sáng kiến kinh nghiệm và vận
dụng thường xuyên sáng kiến kinh nghiệm này trong dạy học chứng minh toán
học ở Nhà trường trong thời gian từ nay về sau;
Đối với Tổ chuyên môn và Nhà trường: Cần tổ chức các chuyên đề về
“Nâng cao khả năng tư duy lôgic cho học sinh thông qua dạy chứng minh tốn
học” coi đây là nhiệm vụ quan trọng góp quyết định đến việc đổi mới phương
pháp giảng dạy, học tập bộ mơn tốn;
Đối với Sở và Phịng giáo dục: Nên tổ chức nhiều hơn nữa các chuyên đề
về “đổi mới phương pháp dạy học mơn tốn trung học cơ sở” để cho đội ngũ
cán bộ giáo viên có điều kiện trao đổi, giao lưu học hỏi kinh nghiệm nhằm phục
vụ cho công tác giáo dục ngày càng tốt hơn.

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Vũ Hữu Bình – Phạm Gia Đức – Trần Luận và Tơn Thân (2005), Sách giáo
khoa tốn 7 tập 1, Nhà xuất bản giáo dục, Hà Nội;
2. Vũ Hữu Bình – Phạm Gia Đức – Trần Luận và Tơn Thân (2005), Sách bài tập

tốn 7 tập 1, Nhà xuất bản giáo dục, Hà Nội;
3. Vũ Hữu Bình – Trần Đình Châu – Trần Kiều và Tơn Thân (2005), Sách giáo
khoa toán 7 tập 2, Nhà xuất bản giáo dục, Hà Nội;
4. Vũ Hữu Bình – Trần Đình Châu – Trần Kiều và Tôn Thân (2005), Sách bài
tập toán 7 tập 2, Nhà xuất bản giáo dục, Hà Nội;
18


5. Nguyễn Văn Cường (2010), Một số vấn đề chung về đổi mới phương pháp
dạy học ở trường phổ thông ,Nhà xuất bản giáo dục, Hà Nội;
6. Hoàng Chúng (2000), Phương pháp dạy học toán ở trường trung học cơ
sở ,Nhà xuất bản giáo dục, Hà Nội;
7. Vương Tất Đạt (2001), Lôgic học đại cương, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia,
Hà Nội;
8. Phạm Văn Hiệu (2005), Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên cho giáo viên THCS
chu kì III quyển 1, Nhà xuất bản giáo dục, Hà Nội;
9. Phạm Văn Hiệu (2007), Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên cho giáo viên THCS
chu kì III quyển 2, Nhà xuất bản giáo dục, Hà Nội.

PHỤ LỤC
PHIẾU ĐIỀU TRA HỌC SINH
Các em hãy đưa ra những cảm nghĩ và nhận xét của em theo các tiêu chí chỉ ra
dưới đây. Với các ơ trống, đánh dấu X vào ô muốn chọn và để trống nếu không
chọn:
Xin chân thành cám ơn.
-------------------------------------------I. Thông tin cá nhân:
Họ và tên:......................................
Lớp:..............................................
19

Trường : THCS ABung
II. Câu hỏi:
Câu hỏi 1: Mức độ tình cảm và sự hứng thú học tập của em đối với các bài tập
tốn chứng minh là :
□Rất thích học

□Thích học

□ Bình thường

□ Khơng thích

Câu hỏi 2: Thời gian tự học ở nhà của em đối với các bài tập tốn chứng minh
là:
□Thường xun

□Thỉnh thoảng

□Hiếm khi

□Khơng bao giờ

-------------------------------------------ĐỀ KIỂM TRA
Mơn: Tốn 7
Bài 1. (3 điểm) Cho tam giác ABC với hai cạnh BC = 1cm, AC = 5cm.
a) Hãy tìm độ dài cạnh AB, biết rằng độ dài này là một số nguyên (cm).
b) Tam giác ABC là tam giác gì ? Vì sao ?
Bài 2. (7 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A với đường trung tuyến AI.
a) Chứng minh  ABI=  ACI.

� .
b) Chứng minh tia AI là tia phân giác của BAC
c) Chứng minh AI  BC.
d) Biết AB = AC = 13cm, BC =10cm, hãy tính độ dài đường trung tuyến AI.

TRƯỜNG THCS ABUNG

HƯỚNG DẪN CHẤM
Mơn: Tốn
Lớp: 7
(Thời gian làm bài: 45 phút, không kể thời gian giao đề)

Bài

1

Câu

a

b

Đáp án

Thang
điểm

Theo bất đẳng thức tam giác :
AC – BC < AB < AC + BC
� 5 – 1 < AB < 5 + 1

� 4 < AB < 6
Do độ dài AB bằng một số nguyên (cm) nên AB = 5cm
Vì AB = AC = 5cm nên tam giác ABC cân tại A

1,0
0,5
0,5
0,5
0,5

20


a
2
b

c

Vẽ hình và ghi GT, KL đúng
Xét ΔABI và ΔACI chúng có:
AB = AC ( ΔABC cân tại A)
BI = CI (AI là đường trung tuyến của ΔABC )
AI: cạnh chung
Do đó ΔABI = ΔACI (c.c.c)
ΔABI = ΔACI (theo câu a)
�  CAI
� (hai góc tương ứng)
� BAI
�

Vậy AI là tia phân giác của BAC

0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
0,5

ΔABI = ΔACI (theo câu a)
��
AIB  �
AIC (hai góc tương ứng)

0,5
0,5

� +AIC
�  900
� = 1800 (hai góc kề bù) nên �
Mà AIB
AIB  AIC
Vậy AI  BC
Vì AI là đường trung tuyến của ΔABC

0,5
0,5

� IB  IC 

d

BC 10
 5
2
2

0,5

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vng AIB có:
AB 2  BI 2  AI 2
� AI 2  AB 2  BI 2  132  52  144
Do đó AI = 12 cm

0,5
0,5
0,5

Mỗi câu có thể có nhiều cách giải khác nhau, trong trường hợp học sinh giải
cách khác nhưng kết quả đúng thì cho điểm tương đương với điểm của bài đó.

21


22