Định lý pick và áp dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

HÀ DIỆU LINH

ĐỊNH LÝ PICK VÀ ÁP DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Bình Định - 2020


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

HÀ DIỆU LINH

ĐỊNH LÝ PICK VÀ ÁP DỤNG

Chuyên ngành: Phương pháp Tốn sơ cấp
Mã số: 8460113

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGƠ LÂM XN CHÂU

Bình Định - 2020


Mục lục

MỞ ĐẦU

1

1 Định lý Pick

3

1.1 Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1

Lưới và điểm lưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2

Đa giác lưới, điểm biên và điểm trong . . . . . . . . . . .

5

1.2 Định lý Pick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.1

Sơ lược về việc chứng minh định lý Pick . . . . . . . . .

1.2.2

Chứng minh định lý Pick dựa vào phép phân chia đa

6

giác thành các tam giác nguyên thủy (Honsberger(1970)) 11
1.2.3

Chứng minh định lý Pick dựa vào định lý Euler (Funkenbusch (1974), Gaskell et al. 1976) . . . . . . . . . . . . . .

12

1.3 Một số dạng tổng quát của định lý Pick . . . . . . . . . . . . . .

13

1.3.1

Đối với hình đa liên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.3.2

Đối với hình đa diện trong không gian ba chiều . . . . .

16

2 Một số áp dụng của định lý Pick

31

2.1 Dãy Farey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.2 Đường tròn Ford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

2.3 Một số bài toán khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

TÀI LIỆU THAM KHẢO
QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao) . . . . . . . . . . .

i


MỞ ĐẦU
Trong mặt phẳng lưới Z2 cho một đa giác đơn P có các đỉnh tại các điểm
lưới. Làm thế nào để xác định diện tích của hình đa giác P ?

Năm 1899, Georg Alexander Pick - nhà toán học người Áo (1859-1942) đã
đưa ra một công thức thú vị và đáng chú ý để tính diện tích của một đa giác
đơn trong khơng gian Euclide 2 chiều và có các đỉnh tại các điểm lưới:

Area =

B
+ I − 1,
2

trong đó B và I tương ứng là số các điểm lưới trên biên và bên trong của đa
giác P . Định lý Pick được nhiều người biết đến từ khi nó được xuất bản trong
cuốn sách Mathematical Snapshots (1969) của Hugo Steinhaus.
Năm 1957, Reeve đã đưa ra một phát biểu tương tự định lý Pick cho hình
đa diện trong khơng gian Euclide 3 chiều. Nghiên cứu của Reeve cho thấy
không thể đưa ra một cơng thức tính thể tích của hình đa diện lồi chỉ dựa
vào số các điểm lưới bên trong và trên biên của đa diện. Cụ thể, Reeve đã
1


2
xét tứ diện có các đỉnh có tọa độ (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, r) với r là một số
nguyên dương. Khi đó tứ diện này chỉ có 4 điểm có tọa độ nguyên và có thể
thay đổi giá trị của r để thể tích của tứ diện đạt được giá trị lớn tùy ý.
Định lý Pick được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu tổng quát
theo nhiều khía cạnh khác nhau, chẳng hạn Krzysztof Kolodziejczyka (2008).
Với mục đích nghiên cứu về định lý Pick và các vấn đề có liên quan, chúng
tơi chọn đề tài “Định lý Pick và áp dụng ”. Đề tài đi sâu nghiên cứu về định
lý Pick, các phép chứng minh của định lý từ dạng đơn giản đến dạng có thể
tổng quát hóa cho các đa diện lồi trong khơng gian Euclide 3 chiều. Bên cạnh
đó, đề tài cũng tìm hiểu về lịch sử phát triển của định lý Pick, một số áp dụng
của định lý trong dãy Farey, đường tròn Ford và trong một số bài toán khác.
Sau khi đọc hiểu tài liệu, tác giả cố gắng trình bày lại một cách rõ ràng,
hệ thống và chi tiết nội dung đề tài với bố cục gồm 2 chương:

Chương 1: Trình bày sơ lược lịch sử phát triển của định lý Pick, nội dung
định lý Pick và các phép chứng minh dựa vào phép phân chia đa giác thành
các tam giác nguyên thủy (Honsberger (1970)) và dựa vào định lý Euler (Funkenbusch (1974), Gaskell et al. 1976). Trình bày một số dạng tổng quát của
định lý Pick cho hình đa giác đa liên, hình đa diện trong khơng gian 3 chiều.
Chương 2: Trình bày áp dụng của định lý Pick vào các bài tốn: dãy Farey,
đường trịn Ford và một số bài toán khác.
Luận văn này được hồn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của TS. Ngô
Lâm Xuân Châu. Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành của mình đến Thầy.
Cảm ơn Thầy đã dành nhiều thời gian, công sức hướng dẫn em trong suốt
quá trình thực hiện nghiên cứu và hồn thành đề tài. Tác giả cũng xin gửi lời
cảm ơn đến toàn thể q thầy cơ giáo trong Khoa Tốn và Thống kê, Trường
Đại Học Quy Nhơn, cùng các thành viên lớp Cao học Toán K21 đã quan tâm,
giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu.
Cảm ơn gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã ln khích lệ, động viên và giúp
đỡ tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Mặc dù đã cố gắng hết sức, nhưng do điều kiện thời gian có hạn, trình độ
và kinh nghiệm nghiên cứu khoa học cịn nhiều hạn chế nên luận văn khó
tránh khỏi thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được sự thông cảm, chỉ dẫn, góp
ý tận tình của q thầy cơ và bạn bè để luận văn được hoàn thiện hơn.


Chương 1
Định lý Pick
Trong chương này, chúng tơi sẽ trình bày sơ lược lịch sử phát triển cũng
như nội dung của định lý Pick và một số phép chứng minh định lý Pick. Nội
dung này được tham khảo từ các tài liệu [1], [5], [6],[8].

1.1

Kiến thức chuẩn bị

Trước khi đến với nội dung của định lý Pick và chứng minh, chúng ta cần
một số định nghĩa được trình bày ngay sau đây:

1.1.1

Lưới và điểm lưới

Trong không gian Euclide 2 chiều, tọa độ (x; y) được gọi là tọa độ nguyên
nếu x ∈ Z và y ∈ Z.
−
−
−
Cho điểm M (khác gốc tọa độ O) và 2 vectơ →
u,→
v có tọa độ nguyên, →
u và
→
−
v không cùng phương. Tập tất cả các ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến
→
→
Tk−
u +t−
v (k, t ∈ Z) là một lưới. Mỗi lưới khác nhau có hình cơ sở là các hình

bình hành khác nhau về kích thước (Hình 1.1).
−
−
Với trường hợp hai vectơ →

u và →
v vng góc và có cùng độ dài thì ta được

một lưới vng. Lưới vng có hình cơ sở là hình vng (ơ vng). Với hệ
trục tọa độ song song với các cạnh của các hình vng cơ sở, các đỉnh hình
vng là các điểm có tọa độ nguyên, có đơn vị độ dài là độ dài cạnh hình
−
−
vng cơ sở (|→
u |, |→
v |) (Hình 1.2).

Mỗi vị trí ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến nói trên là một điểm lưới.
Hiển nhiên các điểm lưới có tọa độ nguyên.
3


4

→
−
u
→
−
v
M

Hình 1.1: Lưới

→

−
u

M

→
−
v

Hình 1.2: Lưới vng

Lưới nói chung và lưới vng nói riêng có các tính chất sau:
• Trùng với chính nó khi điểm lưới này dịch chuyển đến điểm lưới kia
bằng sự dịch chuyển song song.
• Trùng với chính nó khi xoay 180o xung quanh một điểm lưới bất kỳ của
nó.
Trong phạm vi nội dung bài luận, chúng tơi sử dụng lưới vuông để nghiên
cứu về định lý Pick.


5

1.1.2

Đa giác lưới, điểm biên và điểm trong

Đa giác lưới là các đa giác đơn (khơng tự cắt) và có tất cả các đỉnh là các
điểm lưới.
Điểm biên là điểm lưới nằm trên các cạnh, bao gồm các đỉnh của đa giác
lưới.

Điểm trong là điểm lưới nằm trên vùng bên trong của đa giác lưới.

B
C
A

Hình 1.3: A và B là hai điểm biên, C là một điểm trong của đa giác lưới P .

1.2

Định lý Pick

Định lý Pick là một phương pháp để xác định diện tích của một đa giác
lưới bất kỳ. Mặc dù diện tích của một hình có thể được tính bằng nhiều cách
khác nhau (ví dụ: phân vùng đa giác và tính tổng diện tích các vùng hoặc sử
dụng hình chữ nhật xung quanh,...) nhưng vào năm 1899, Georg Alexander
Pick đã đưa ra một công thức thú vị và đáng chú ý về tính diện tích của một
đa giác đơn trong không gian Euclide 2 chiều. Công thức này được biết đến
như là định lý Pick. Tuy nhiên, cho đến khi Steinhau phát biểu trong quyển
sách Mathematical Snapshots (1969) thì định lý Pick mới được biết đến một
cách rộng rãi hơn.


6
Định lý 1.2.1. Diện tích A của một đa giác lưới có B điểm biên và I điểm trong
là
A=

B
+ I − 1.

2

Ví dụ 1.2.1. Đa giác lưới P ở Hình 1.3 có 9 điểm biên và 6 điểm trong. Diện
tích của đa giác P là
A(P ) =

1.2.1

9
+ 6 − 1 = 9.5.
2

Sơ lược về việc chứng minh định lý Pick

Kể từ khi định lý Pick được biết đến rộng rãi hơn, có khá nhiều phép
chứng minh được đưa ra. Một vài phép chứng minh nổi tiếng như: chứng
minh dựa vào phép phân chia đa giác thành các tam giác nguyên thủy theo
Honsberger; chứng minh dựa vào định lý Euler của Funkenbusch;...
Để việc trình bày các phép chứng minh được ngắn gọn và tường minh
hơn về ý tưởng, tác giả xin được trình bày một số đơn vị kiến thức cần thiết
như sau:
Tam giác nguyên thủy

Một tam giác có các đỉnh là các điểm lưới và khơng có điểm lưới nào khác
nằm trên các cạnh và vùng bên trong của nó được gọi là tam giác nguyên
thủy.
1
2

Mệnh đề 1.1. Tam giác ngun thủy có diện tích bằng .

Chứng minh. Theo hình học giải tích, diện tích tam giác với các đỉnh (x1 ; y1 ),
(x2 ; y2 ), (x3 ; y3 ) là
x1 y 1 1
1
1
1
x2 y2 1 = |x1 y2 + x2 y3 + x3 y1 − x1 y3 − x2 y1 − x3 y2 | = P.
2
2
2
x3 y 3 1

Vì các đỉnh của tam giác nguyên thủy là các điểm lưới nên các giá trị x và
y ở đây đều là các số nguyên. Do đó, giá trị của P là số nguyên dương hoặc

bé nhất là bằng 0. Nếu P = 0 thì 3 điểm lưới (3 đỉnh) trùng nhau hoặc thẳng


7
hàng, trong trường hợp này ta khơng có được tam giác. Vậy, P có giá trị bé
1
2

nhất là 1. Từ đó suy ra, diện tích của một tam giác ngun thủy bé nhất là .
1
2

Để chỉ ra rằng nó chính xác bằng , ta đặt tam giác nguyên thủy T vào
một hình chữ nhật R theo cách sau: Một cặp cạnh của hình chữ nhật nằm
trên 2 đường thẳng đi qua đỉnh bên trái nhất và đỉnh bên phải nhất của T .

Cặp cạnh cịn lại của hình chữ nhật nằm trên 2 đường thẳng đi qua đỉnh cao
nhất và đỉnh thấp nhất của T (Hình 1.4).
T
R

Hình 1.4: Tam giác nguyên thủy T trong hình chữ nhật R

Hình chữ nhật R thu được có k điểm trong và l điểm biên (trong đó có
4 điểm biên là đỉnh). R có thể được phân vùng thành các tam giác nguyên
thủy. Giả sử sự phân vùng R chứa n tam giác nguyên thủy, một trong số đó
là T . Chúng tơi khẳng định rằng, bất kỳ sự phân vùng nào của R cũng chứa
số tam giác nguyên thủy như nhau. Chúng tôi thiết lập điều này bằng một
số góc như sau:
360o
180o

(a)

(b)

90o

(c)

Hình 1.5: Góc nhìn từ các điểm lưới trong hình chữ nhật

• Dễ thấy rằng, mỗi điểm trong của R là đỉnh chung của một vài tam giác
nguyên thủy nào đó. Góc ở đỉnh tại một điểm như vậy lên tới 360o . Từ
đó, với k điểm trong cho ta góc k.360o (Hình 1.5(a)).
• Tại mỗi điểm biên khơng là đỉnh của R (có l − 4 điểm như thế), tam

giác nguyên thủy đóng góp một góc là 180o . Vậy, từ l − 4 điểm cho ta góc
(l − 4)180o (Hình 1.5(b)).


8
• Tại mỗi điểm biên là đỉnh của R, tam giác nguyên thủy đóng góp 90o
nên từ 4 đỉnh cho ta góc 4.90o (Hình 1.5(c)).
Do đó, tính tốn tất cả các góc của n tam giác nguyên thủy trong một phân
vùng nhất định, ta có tổng sau
k.360o + (l − 4)180o + 4.90o .

Mặt khác, tổng các góc trong một tam giác là 180o nên với n tam giác ta có
180no = k.360o + (l − 4)180o + 4.90o
⇔ n = 2k + l − 2.

Do đó, n chỉ phụ thuộc vào k và l mà không phụ thuộc vào cách phân vùng
R thành các tam giác nguyên thủy. Như vậy, bất kỳ sự phân vùng nào của R

cũng chứa số tam giác nguyên thủy như nhau.
Bây giờ ta phân vùng R thành các tam giác nguyên thủy đồng dạng bằng
cách vẽ các ô vuông cơ sở và tất cả các đường chéo của chúng (Hình 1.6),
hiển nhiên phân vùng này gồm n tam giác nguyên thủy, diện tích mỗi tam
1
2

giác là . Khi đó ta có diện tích của hình chữ nhật R là
A(R) =

n
.

2

R

Hình 1.6: R được phân vùng thành các tam giác nguyên thủy đồng dạng

Đặt T1 , T2 , ..., Tn là n tam giác nguyên thủy trong sự phân vùng (một trong
số đó là tam giác nguyên thủy T ). Diện tích của tam giác Ti (i = 1, n) là A(Ti ).
Từ kết quả chứng minh trên ta có
1
A(Ti ) ≥ , (i = 1, n).
2

(1.1)

Mặt khác, khi điền các tam giác Ti vào R lại có
n

A(Ti ) = A(T1 ) + A(T2 ) + ... + A(Tn ) =
i=1

n
.
2

(1.2)


9
Từ (1.1) và (1.2) suy ra

1
A(T1 ) = A(T2 ) = ... = A(Tn ) = .
2

Vậy
1
A(T ) = .
2
1
2

Hay, mọi tam giác ngun thủy đều có diện tích là .
Tổng số đo các góc trong của đa giác có n cạnh

Mệnh đề 1.2. Tổng số đo các góc trong của đa giác có n cạnh (n ∈ N, n ≥ 3) là
(n − 2)1800 .

Chứng minh. Ta chứng minh điều này bằng phương pháp quy nạp.
Với n = 3, tam giác có tổng các góc trong là (3 − 2)1800 = 1800 (Đúng).
Giả sử nó đúng với n = k (k ∈ N, n > 3), có nghĩa là đa giác có k cạnh thì
có tổng số đo các góc trong là (k − 2)1800 . Ta cần chứng minh nó đúng với
n = k + 1. Thật vậy, với đa giác có k + 1 cạnh thì bằng cách nối hai đỉnh không

liền kề gần nhau nhất, ta có thể phân vùng đa giác ấy thành 2 vùng là một
đa giác có k cạnh và một tam giác. Như vậy, tổng số đo các góc trong của đa
giác có k + 1 cạnh bằng tổng số đo các góc trong đa giác có k cạnh và tổng số
đo các góc trong một tam giác. Có nghĩa là, tổng số đo các góc trong của đa
giác có k + 1 cạnh là
(k − 2)180o + 180o = (k − 1)180o = [(k + 1) − 2]180o .

Vậy, ta có điều cần chứng minh.
Định nghĩa 1.1. Một đa giác đơn là một đa giác có các cạnh khơng tự cắt và
khơng có lỗ hổng (miền của đa giác là một miền đơn liên).
Với mỗi đa giác đơn ta có thể phân hoạch nó thành các vùng bằng tồn
các tam giác. Các tam giác này có các đỉnh hoặc là đỉnh của đa giác hoặc
là một điểm bên trong đa giác. Khi đó hình nhận được là một đồ thị phẳng.
Định lý sau cho phép tính số cạnh của đồ thị thông qua số các đỉnh trên biên
và các đỉnh bên trong.


10
Định lý 1.2.2. (Định lý cạnh) Cho một đa giác đơn và xét một phân hoạch
của đa giác bằng toàn các tam giác. Khi đó số cạnh của đồ thị phẳng nhận
được từ phép phân hoạch là
E = 3I + 2B − 3,

trong đó E là số cạnh, B là số đỉnh biên, I là số đỉnh trong.

Hình 1.7: Đa giác Q có 5 đỉnh biên, 2 đỉnh trong, số cạnh là E = 3.2 + 2.5 − 3 = 13.

Chứng minh. Xét một đa giác đơn với phân hoạch tam giác hồn tồn.
• Nếu B = 3, I = 0 thì E = 3.0 + 2.3 − 3 = 3 (Đúng).
• Nếu chèn thêm vào đa giác một đỉnh trong thì số cạnh E sẽ tăng thêm
3 cạnh. Thật vậy, gọi Et là số cạnh của đa giác sau khi chèn thêm một
đỉnh trong. Khi đó, ta có
E + 3 = (3I + 2B − 3) + 3 = 3(I + 1) + 2B − 3 = Et .

• Nếu chèn thêm vào đa giác một đỉnh biên thì sẽ có x đỉnh biên của đa
giác ban đầu trở thành đỉnh trong của đa giác mới (x có thể bằng 0). Dễ
thấy rằng, số cạnh E sẽ tăng thêm x + 2 cạnh (x cạnh nối đỉnh biên mới

với x đỉnh biên của đa giác cũ trở thành x đỉnh trong của đa giác mới
và 2 cạnh nối với 2 đỉnh biên của đa giác cũ để tạo thành đa giác mới).
Thật vậy, gọi Eb là số cạnh của đa giác sau khi chèn thêm một đỉnh biên.
Khi đó, ta có
E + x + 2 = (3I + 2B − 3) + x + 2 = 3(I + x) + 2(B − x + 1) − 3 = Eb .


11
Định lý được chứng minh.

1.2.2

Chứng minh định lý Pick dựa vào phép phân chia đa giác
thành các tam giác nguyên thủy (Honsberger(1970))

Chứng minh. Đầu tiên, chúng ta xem xét định lý Pick với một tam giác nguyên
thủy. Theo định nghĩa thì một tam giác ngun thủy có số điểm biên B là 3,
số điểm trong I là 0, thay vào cơng thức của định lý Pick ta tính được diện
1
2

tích là . Vậy, định lý Pick tính đúng cho diện tích của tam giác nguyên thủy.
Tiếp theo, ta cần xem xét định lý Pick với một đa giác lưới bất kỳ. Ta chứng
minh rằng, mọi đa giác lưới đều có thể được phân vùng thành các tam giác
nguyên thủy và số lượng tam giác nguyên thủy trong các cách phân vùng
khác nhau là bằng nhau. Chúng ta sẽ chứng minh điều này bằng cách thiết
lập một số góc như khi chứng minh về diện tích tam giác nguyên thủy.
Giả sử có một đa giác lưới có v đỉnh với B điểm biên và I điểm trong. Khi
đó, các tam giác nguyên thủy trong phân vùng đóng góp số đo các góc như
sau:

• Mỗi điểm trong của đa giác đóng góp một góc 360o . Suy ra, với I điểm
trong cho ta góc 360I o .
• Tại mỗi điểm biên khơng là đỉnh của đa giác, tam giác nguyên thủy
đóng góp một góc là 180o . Mà ta có B − v điểm như thế, nên ở đây ta có
góc (B − v)180o .
• Tại mỗi điểm biên là đỉnh của đa giác, tam giác nguyên thủy đóng góp
một góc bằng với góc trong của đa giác tại điểm đó nên từ v đỉnh cho
ta góc (v − 2)180o .
Nếu sự phân vùng đa giác này có n tam giác nguyên thủy thì tổng các góc sẽ
là 180no (vì tổng 3 góc trong mỗi tam giác là 180o ) nên ta có
180no = 360I o + 180(B − v)o + 180(v − 2)o
⇔

n

= 2I + B − v + v − 2

⇔

n

= 2I + B − 2.


12
Lại có diện tích mỗi tam giác ngun thủy đúng bằng
diện tích là
A=

1

nên đa giác sẽ có
2

n
B
= + I − 1.
2
2

Định lý được chứng minh.

1.2.3

Chứng minh định lý Pick dựa vào định lý Euler (Funkenbusch (1974), Gaskell et al. 1976)

Chứng minh. Xét một đa giác lưới bất kỳ được phân vùng thành các tam
giác nguyên thủy. Dễ thấy rằng đây là một đồ thị phẳng (Hình 1.8).

Hình 1.8: Đa giác lưới được phân vùng thành các tam giác nguyên thủy

Theo lý thuyết đồ thị, tất cả các biểu diễn phẳng của cùng một đồ thị có
số vùng bằng nhau. Do đó, ta có số tam giác nguyên thủy trong các cách
phân vùng đa giác khác nhau là như nhau.
Định lý Euler (1758) cho ta mối liên hệ giữa số đỉnh, số cạnh và số vùng
của một đồ thị phẳng: Trong một đồ thị phẳng liên thơng có V đỉnh, E cạnh
và F vùng (một trong các vùng là vùng vô hạn), ta ln có
V − E + F = 2.

Giả sử đa giác lưới này có B điểm biên và I điểm trong. Theo Định lý cạnh
(Định lý 1.2.2) ta có tổng số cạnh trong một phân vùng đa giác là

E = 3I + 2B − 3.


13
Vì V là số đỉnh của đồ thị phẳng (ở đây là đa giác lưới) nên ta có
V = I + B.

Thay thế các giá trị V, E của đa giác vào công thức định lý Euler ta được
(I + B) − (3I + 2B − 3) + F = 2
⇔ I + B − 3I − 2B + 3 + F = 2
⇔ B + 2I = F + 1
⇔ B + 2I − 2 = F − 1
⇔

B
F −1
+I −1=
.
2
2

Đối với đa giác lưới là đồ thị phẳng này ta có F vùng bao gồm các vùng
là tam giác nguyên thủy và một vùng vô hạn. Hơn nữa, ta đã biết rằng diện
1
2
F −1
A=
.
2

tích của một tam giác ngun thủy là . Do đó, diện tích của đa giác sẽ là

Suy ra

F −1
B
+I −1=
= A.
2
2

Định lý được chứng minh.

1.3

Một số dạng tổng quát của định lý Pick

Định lý Pick được nhấn mạnh là một phương pháp để xác định diện tích
của một đa giác lưới đơn (đơn liên) trong khơng gian Euclide 2 chiều. Mặc
dù vậy, liệu có thể sử dụng định lý Pick để tính diện tích của một hình đa liên
trong khơng gian 2 chiều hay thể tích của hình đa diện trong khơng gian 3
chiều được hay không? Dựa trên các tài liệu [3], [4], chúng tơi tìm câu trả lời
cho câu hỏi trên.

1.3.1

Đối với hình đa liên

Hình đa liên trong khơng gian Euclide 2 chiều là một đa giác lưới có các
lỗ hổng ở phần bên trong của nó. Các lỗ hổng này là các đa giác lưới đơn

(Hình 1.9).


14

Q

P

H1
H
H2

(a)

(b)
Hình 1.9: Hình đa liên

Một cách trực quan nhất, ta thấy rằng diện tích của hình đa liên (a) bằng
diện tích của đa giác P trừ đi diện tích của lỗ hổng là tam giác H . Áp dụng
định lý Pick ta có
7
+ 13 − 1 = 15.5,
2
4
A(H) = + 0 − 1 = 1.
2
A(P ) =

Suy ra

A(a) = A(P ) − A(H) = 15.5 − 1 = 14.5.

Vậy, diện tích chính xác của hình đa liên (a) là 14.5.
Mặt khác, nếu áp dụng trực tiếp định lý Pick cho hình đa liên (a) ta được
11
+ 9 − 1 = 13.5.
2

Dễ thấy giá trị này kém diện tích chính xác của nó 1 đơn vị đúng bằng số lỗ
hổng của nó.
Bằng cách tương tự, ta cũng tính được diện tích chính xác của hình đa
liên (b) có hai lỗ hổng H1 , H2 là
A(b) = A(Q) − A(H1 ) − A(H2 ) = 19.5 − 1.5 − 2.5 = 15.5.

Nếu áp dụng trực tiếp định lý Pick cho hình đa liên (b) ta được
15
+ 7 − 1 = 13.5.
2


15
Dễ thấy giá trị này kém diện tích chính xác của nó 2 đơn vị đúng bằng số lỗ
hổng của nó.
Kết quả thực nghiệm về diện tích của hai hình đa liên trên dẫn đến một
phỏng đoán về cách kết hợp số lỗ hổng vào định lý Pick
A=

B
+ I + H − 1,
2

(1.3)

trong đó B là số điểm biên, I là số điểm trong và H là số lỗ hổng của hình đa
liên.
Ta sẽ chứng minh rằng phỏng đốn này là đúng với mọi hình đa liên trong
khơng gian Euclide 2 chiều bằng phương pháp quy nạp. Đầu tiên, với hình
đa liên P có một lỗ hổng H , ta có diện tích chính xác của nó là
A1 = A(P ) − A(H)
BP
BH
+ IP − 1 −
+ IH − 1
2
2
BP − BH
+ IP − IH .
=
2

=

Áp dụng (1.3) ta được
BP + BH
+ (IP − IH − BH ) + 1 − 1
2
BP − BH
=
+ IP − IH .
2

A1 =

là một kết quả đúng.
Giả sử (1.3) đúng với hình đa liên P có k lỗ hổng, có nghĩa là ta có
Bk = BP + BH1 + BH2 + · · · + BHk ,
Ik = IP − IH1 − IH2 − · · · − IHk − BH1 − BH2 − · · · − BHk .

Suy ra
Ak =

BP + BH1 + BH2 + · · · + BHk
2
+ (IP − IH1 − IH2 − · · · − IHk − BH1 − BH2 − · · · − BHk ) + k − 1

là diện tích của hình đa liên P có k lỗ hổng. Ta cần chứng minh (1.3) đúng
với hình đa liên P có k + 1 lỗ hổng. Thật vậy
Ak+1 = Ak − AHk+1


16
=

BP + BH1 + BH2 + · · · + BHk
+ (IP − IH1 − IH2 − · · · − IHk − BH1 − BH2
2
BHk+1
+ IHk+1 − 1
2
+ · · · + BHk + BHk+1

+ (IP − IH1 − IH2 − · · · − IHk
2

− · · · − BHk ) + k − 1 −
=

BP + BH1 + BH2

− IHk+1 − BH1 − BH2 − · · · − BHk − BHk+1 ) + (k + 1) − 1.

Vậy, (1.3) đúng với mọi hình đa liên trong khơng gian Euclide 2 chiều.

1.3.2

Đối với hình đa diện trong không gian ba chiều

Trong phần này, chúng tôi xem xét tính khả thi của cơng thức định lý
Pick khi áp dụng vào tính thể tích các hình đa diện trong không gian Euclide
3 chiều.
Để bắt đầu một cách trực quan, ta kiểm tra một ví dụ cụ thể như sau:
Trong không gian E3 , xét tứ diện τ với 4 đỉnh có tọa độ
(0, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 0, 0), (1, 1, r),

với r là một số nguyên dương (Tứ diện Reeve).
Dễ thấy rằng r cũng chính là chiều cao của τ và đáy của nó là tam giác
1
2

ngun thủy có diện tích . Từ đó ta có thể tích của tứ diện τ là
V =

1 1
1
· · r = r.
3 2
6

Mặt khác, tứ diện τ có 4 điểm biên là 4 đỉnh. Khi r

(1.4)
1, dễ thấy phần trong

tứ diện khơng có điểm ngun nào. Khi r > 1 và càng lớn, tức là chiều cao
của tứ diện càng lớn thì tứ diện càng dẹt đi nên phần trong tứ diện không
thể chứa điểm nguyên nào khác. Vậy tứ diện τ khơng có điểm trong. Giả sử
cơng thức định lý Pick đúng khi sử dụng để tính thể tích của tứ diện. Khi đó
ta được thể tích của tứ diện τ là
V =

4
+ 0 − 1 = 1.
2

(1.5)

Từ (1.4) và (1.5) suy ra công thức định lý Pick chưa thể áp dụng trực tiếp
vào việc tính thể tích các hình đa diện trong khơng gian 3 chiều. Tuy nhiên,
chúng ta có thể thiết lập một vài điều nhằm mục đích mở rộng định lý Pick
trong khơng gian Euclide 3 chiều này.

17
z
(0, 0, 2)

(0, 1, 0)

y

(1, 0, 0)
(1, 1, 0)
x
Hình 1.10: Hai tứ diện tương tự tứ diện Reeve
Lưới cơ bản và lưới thứ cấp

Trong không gian Euclide 3 chiều, tọa độ (x; y; z) được gọi là tọa độ nguyên
nếu x ∈ Z, y ∈ Z và z ∈ Z.
−
−
−
Cho điểm M (khác gốc tọa độ O) và 3 vectơ →
u, →
v,→
w có tọa độ ngun,

3 vectơ này đơi một khơng cùng phương (3 vectơ độc lập tuyến tính). Tập
→
→
→
tất cả các ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến Tk−

u +t−
v +h−
w (k, t, h ∈ Z) là một

lưới cơ bản L. Mỗi lưới cơ bản L có đơn vị thể tích là hình hộp cơ sở tạo bởi 3
−
−
−
vectơ →
u,→
v và →
w.

Với mỗi số nguyên n ta xác định một lưới thứ cấp Ln như sau:
(a, b, c) ∈ Ln ⇔ (na, nb, nc) ∈ L.

Khi n = 1 ta có lưới thứ cấp L1 trùng với lưới cơ bản L.
Các lưới trong không gian 3 chiều cũng có các tính chất tương tự như
trong khơng gian 2 chiều. Mỗi vị trí ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến nói
trên là một điểm lưới có tọa độ nguyên.
Để mở rộng định lý Pick vào không gian 3 chiều, chúng ta sẽ sử dụng các


18
lưới cơ bản và lưới thứ cấp như định nghĩa trên.
Một số loại đa diện đặc biệt

Một tập con Γ của E3 được gọi là một đa diện kỳ dị nếu nó khác rỗng và
có một phủ đơn hình thẳng hữu hạn.
Bao lồi của một tập hữu hạn điểm trong E3 được gọi là một đa giác lồi

nếu nó có chiều 2. Giao điểm của đa giác lồi γ với một trong các phẳng giá
của nó trong E3 được gọi là một cạnh của γ nếu có chiều 1 hoặc đỉnh của γ
nếu có chiều khơng. Gọi l là một lưới trong E2 . Diện tích của đa giác lưới γ
có biên là đường cong Jordan γ được cho bởi cơng thức
1
A(γ) = l(γ) − l(γ) − 1,
2

(1.6)

trong đó l(γ) là số điểm lưới của l thuộc γ (bao gồm cả điểm biên và điểm
trong), l(γ) là số điểm lưới của l trên γ .
Bao lồi của một tập hữu hạn điểm trong E3 được gọi là một đa diện lồi
nếu nó có chiều 3. Giao điểm của đa diện lồi Γ với một trong các phẳng giá
của nó trong E3 được gọi là một mặt của Γ nếu có chiều 2, cạnh của Γ nếu có
chiều 1 hoặc đỉnh của Γ nếu có chiều khơng.
Biên (tập tất cả các điểm biên) của đa diện lồi Γ là hợp các mặt của nó,
ký hiệu là Γ. Nếu Γ là một đa diện lồi thì các mặt của Γ là các đa giác lồi, mỗi
cạnh hoặc đỉnh của Γ là cạnh hoặc đỉnh của ít nhất một mặt của Γ, ngược
lại, mỗi cạnh hoặc đỉnh của bất kỳ mặt nào trong Γ cũng là cạnh hoặc đỉnh
của chính nó.
Vì mọi đa diện lồi đều có một phủ đơn hình thẳng hữu hạn nên nó là một
đa diện kỳ dị theo định nghĩa trên.
Định nghĩa 1.2. Cho L là một lưới cơ bản trong E3 . Một tập con Π của E3
được gọi là một L-đa diện nếu:
1. Π là một đa diện kỳ dị,
2. Π có chiều 3,
3. Π có một phủ đơn hình phẳng mà tất cả các đỉnh của nó thuộc lưới L.
Biên Π của một đa diện Π là tập tất cả các điểm biên của Π.

19
Một trường hợp đơn giản của L-đa diện là L-tứ diện. Mỗi L-tứ diện là 3đơn hình mà các đỉnh đều thuộc L. Tứ diện cơ bản là tứ diện có các đỉnh là
các điểm lưới và khơng chứa điểm lưới nào khác ngồi các đỉnh của nó.
Định nghĩa 1.3. Một tập con π của E3 được gọi là một L-mặt kỳ dị nếu:
1. π là một đa diện kỳ dị,
2. π có nhiều nhất 2 chiều,
3. Nếu π khác rỗng thì π có một phủ đơn hình thẳng gồm tất cả các đỉnh
thuộc L.
Định nghĩa 1.4. Một tập con π của E3 được gọi là một L-mặt không rẽ nhánh
nếu:
1. π là một L-mặt kỳ dị,
2. π khác rỗng và thuần túy 2 chiều,
3. π có một phủ đơn hình thẳng K mà tất cả các đỉnh của nó thuộc L và
khơng có đơn hình 1 chiều nào của nó liên thuộc với nhiều hơn hai đơn
hình 2 chiều.
Biên của một L-mặt không rẽ nhánh π được ký hiệu là π và được xác định
là hợp của tất cả các đơn hình 1 chiều của K mà chỉ thuộc một 2-đơn hình
của K . Người ta chứng minh được rằng biên theo định nghĩa này không phụ
thuộc vào sự lựa chọn phủ K . Một trường hợp cụ thể của L-mặt không rẽ
nhánh là tam giác. Tam giác là một đơn hình 2 chiều có 3 đỉnh thuộc lưới cơ
bản L.
Định nghĩa 1.5. Một tập con p của E3 được gọi là một L-đường kỳ dị nếu:
1. p là một đa diện kỳ dị,
2. p có nhiều nhất 1 chiều,
3. Nếu p khác rỗng thì p có một phủ đơn hình thẳng mà tất cả các đỉnh
của nó thuộc L.
Một trường hợp đặc biệt của L-đường kỳ dị là một L-đoạn thẳng, đây là
một đơn hình 1 chiều có các điểm cuối thuộc L.

20
Đặc trưng Euler của một đa diện

Đặc trưng Euler của một đa diện là số nguyên được xác định bởi công
thức

n

(−1)i+1 Vi = −V0 + V1 − V2 + V3 − · · · ,
i=0

trong đó Vi là số đơn hình chiều i của đa diện.
Như vậy, đặc trưng Euler của hình tứ diện là
−V0 + V1 − V2 = −4 + 6 − 4 = −2.

Do đó, biên của khối tứ diện là hình tứ diện có đặc trưng Euler bằng -2. Đối
với khối tứ diện thì vì nó có một mặt 3 chiều là chính nó nên có đặc trưng
Euler là
−V0 + V1 − V2 + V3 = −4 + 6 − 4 + 1 = −1.
Một vài bổ đề và hàm số

Ta biết rằng một phép biến đổi đơn modula trong E3 sẽ chuyển một tứ
diện cơ bản τ bất kỳ thành tứ diện cơ bản khác mà cả thể tích và số điểm
lưới ở phần trong của nó khơng đổi.
Bổ đề 1.3.1. Tồn tại một phép biến đổi đơn modula trong E3 biến tứ diện cơ
bản τ thành tứ diện cơ bản với các đỉnh
(0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (p, q, r),

trong đó p, q, r là các số nguyên thỏa

0

p < r, 0

q < r, (p, r) = (q, r) = (p + q − 1, r) = 1.

Chứng minh. Giả sử (x, y, z) là tọa độ của một điểm lưới L trong E3 . Giả sử
một trong các đỉnh của tứ diện τ là gốc tọa độ. Tồn tại phép biến đổi đơn
modula biến τ thành tứ diện cơ bản τ0 với các đỉnh
P0 (0, 0, 0), P1 (p1 , 0, 0), P2 (p2 , q2 , 0), P3 (p3 , q3 , r3 ),

trong đó p1 , p2 , q2 , p3 , q3 , r3 là các số nguyên thỏa
0 < p1 , 0

p2 < q2 , 0

p3 < r3 , 0

q3 < r3 .


21
Vì τ0 là tứ diện cơ bản nên trên cạnh P0 P1 khơng có điểm lưới nào khác ngồi
P0 , P1 . Suy ra p1 = 1.

Tam giác P0 P1 P2 là tam giác ngun thủy nên nó khơng chứa điểm lưới
nào khác ngồi ba đỉnh. Mà theo cơng thức (1.6) ta có diện tích của nó là
A(P0 P1 P2 ) = 3 −

1

1
·3−1=
2
2

nên ta có
1
1
· 1 · q2 = .
2
2

Suy ra
q2 = 1 và p2 = 0 vì 0

p2 < q2 = 1.

Dễ dàng suy ra ba mặt còn lại của τ0 cũng là các tam giác nguyên thủy,
dẫn đến
(p3 , r3 ) = 1, (q3 , r3 ) = 1, (p3 + q3 − 1, r3 ) = 1.

Để chứng minh điều kiện cuối cùng trong các điều kiện này, chúng ta có thể
viết
d = (p3 + q3 − 1, r3 ), a =

r3
p3 + q3 − 1
, c= .
d
d

Khi đó
(a + 1, 0, c) =

1−

1 q3
+
d
d

(1, 0, 0) −

q3
1
(0, 1, 0) + (p3 , q3 , r3 ).
d
d

Tam giác với các đỉnh
(1, 0, 0), (0, 1, 0), (p3 , q3 , r3 ),

và
(1, 0, 0), (0, 1, 0), (a + 1, 0, c)

là các tam giác đồng phẳng. Do đó, nếu tam giác ban đầu là một tam giác cơ
bản thì diện tích của nó khơng thể vượt quá diện tích của tam giác thứ hai.
Bằng cách chiếu lên mặt phẳng x = 0, ta thấy tỷ lệ diện tích của hai tam giác
này là tỷ lệ diện tích của các tam giác có đỉnh là
(0, 0), (1, 0), (q3 , r3 ),

và
(0, 0), (1, 0), (0, c),


22
r3
= d. Do đó d = 1 theo yêu cầu.
c
Viết p = p3 , q = q3 và r = r3 ta được điều kiện cần chứng minh.

trong đó

Với đa diện Γ, n là một số nguyên dương và các ký kiệu
L(Γ)

: Số điểm lưới của L thuộc Γ

Ln (Γ) : Số điểm lưới của Ln thuộc Γ
N (Γ)

: Đặc trưng Euler của Γ

V (Γ)

: Thể tích của đa diện Γ

ta định nghĩa hàm Mn (Γ) như sau:
Mn (Γ) = Ln (Γ) − nL(Γ) − (n − 1)N (Γ).

Bổ đề 1.3.2. Nếu p là một L-đường kỳ dị và n là một số nguyên dương thì
Mn (p) = 0.

Chứng minh. Giả sử p1 và p2 là hai L-đường kỳ dị có giao p∗ là một tập hữu
hạn các điểm thuộc L. Khi đó p1 ∪ p2 lại là một L-đường kỳ dị và ta ký hiệu là
p0 . Dễ dàng ta có
Ln (p0 )

= Ln (p1 ) + Ln (p2 ) − Ln (p∗ ),

L(p0 )

= L(p1 ) + L(p2 ) − L(p∗ ),

và N (p0 )

=

N (p1 ) + N (p2 ) − N (p∗ ).

Do đó
Mn (p0 ) = Mn (p1 ) + Mn (p2 ) − Mn (p∗ ).

Theo định nghĩa
Mn (p∗ ) = Ln (p∗ ) − nL(p∗ ) − (n − 1)N (p∗ )

và p∗ là một tập rời rạc gồm k điểm lưới của L(0

k < ∞) ta có

Ln (p∗ ) = L(p∗ ) = −N (p∗ ) = k.

Theo đó ta được
Mn (p∗ ) = 0.