Một số vấn đề về chuỗi số và chuỗi hàm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

CAO YẾN NHI

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ CHUỖI SỐ VÀ CHUỖI HÀM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Bình Định - Năm 2020


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

CAO YẾN NHI

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ CHUỖI SỐ VÀ CHUỖI HÀM

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 8460113

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN
TS. NGUYỄN NGỌC QUỐC THƯƠNG


Mục lục

Mở đầu

1

1 Đại cương về chuỗi số và chuỗi hàm

3

1.1

1.2

1.3

Một số khái niệm cơ bản của dãy số và dãy hàm . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1

Một số khái niệm của dãy số

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2

Một số khái niệm của dãy hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Một số khái niệm và tính chất của chuỗi số . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.1

Một số khái niệm của chuỗi số . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.2

Một số tính chất cơ bản của chuỗi số . . . . . . . . . . . . . . .

6

Một số khái niệm và tính chất của chuỗi hàm . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3.1

Một số khái niệm của chuỗi hàm . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3.2

Tính chất cơ bản của chuỗi hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2 Các định lý hội tụ của chuỗi số và chuỗi hàm

11

2.1

Các định lý hội tụ của chuỗi số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.2

Các định lý hội tụ của chuỗi hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.2.1

Một số tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi hàm . . . . . . . . . . . . .

26

2.2.2

Chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.2.3

Chuỗi Taylor và chuỗi Maclaurin . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

Một số phương pháp tìm tổng của chuỗi vô hạn . . . . . . . . . . . . .

36

2.3.1

Sử dụng phương pháp tổng riêng . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

2.3.2

Sử dụng chuỗi lũy thừa của các hàm số sơ cấp . . . . . . . . . .

38

2.3.3

Phương pháp lấy đạo hàm và tích phân của chuỗi . . . . . . . .

40

2.3.4

Phương pháp Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

2.3

i


ii
3 Một số ứng dụng của chuỗi Taylor

46

3.1

Tính giới hạn hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

3.2

Xấp xỉ tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

3.3

Ứng dụng trong phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

Kết luận

53

Tài liệu tham khảo

54


Mở đầu
Chuỗi số và chuỗi hàm là một trong những chủ đề trọng tâm của giải tích tốn học.
Trong lý thuyết chuỗi số, chuỗi hàm thì người ta ln quan tâm đến sự hội tụ, phân
kỳ của chúng. Trong trường hợp chuỗi hội tụ thì ta cũng quan tâm đến việc tìm tổng
của một chuỗi hội tụ.
Luận văn nhằm nghiên cứu và trình bày một cách có hệ thống các các định lý hội
tụ của chuỗi số, chuỗi hàm và các ứng dụng quan trọng của chúng. Một số phương
pháp đặc biệt để khảo sát sự hội tụ của chuỗi số, chuỗi hàm cũng như tính tổng trong
trường hợp chúng hội tụ cũng được chúng tôi quan tâm nghiên cứu.
Nội dung chính của luận văn được chia thành ba chương. Chương 1 nhắc lại một
số kiến thức cơ bản nhất về dãy số, dãy hàm và chuỗi hàm. Chương 2 trình bày các
định lý hội tụ của chuỗi số và chuỗi hàm, bao gồm các điều kiện cần, điều kiện đủ để
chuỗi số, chuỗi hàm hội tụ. Một số phương pháp tìm tổng của một chuỗi hội tụ cũng
được chúng tơi trình bày chi tiết trong chương này. Chương cuối cùng dành cho việc
giới thiệu một số ứng dụng của chuỗi Taylor trong việc tính giới hạn hàm số, tính gần
đúng tích phân và tìm nghiệm gần đúng của phương trình vi phân.
Luân văn sẽ là tài liệu tham khảo bổ ích cho những ai quan tâm và muốn tìm hiểu
sâu hơn các vấn đề về chuỗi số và chuỗi hàm.

Luận văn được hồn thành tại Khoa Tốn và Thống kê, Trường Đại học Quy Nhơn
dưới sự hướng dẫn tận tình của TS. Nguyễn Ngọc Quốc Thương. Nhân đây tơi xin
được bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến thầy. Tơi cũng biết ơn tất cả các thầy cơ Khoa
Tốn và Thống kê đã dạy dỗ, dìu dắt tơi trong suốt 2 năm học Thạc sỹ. Tôi xin gửi
lời cảm ơn đến tất cả các bạn trong lớp Cao học Tốn K21 (2018-2020) đã quan tâm,
động viên, giúp đỡ tơi trong suốt thời gian qua. Cuối cùng tôi xin được bày tỏ lịng
kính trọng, biết ơn đối với bố, mẹ và gia đình và người thân của tơi.
Mặc dù đã rất cố gắng nhưng do thời gian và kiến thức cịn hạn chế nên luận văn
khơng thể trách khỏi những thiếu sót. Rất mong q thầy cơ, bạn đọc góp ý để luận
văn được hoàn thiện hơn.

1


2
Bịnh Định, tháng 8 năm 2020
Học viên
Cao Yến nhi


Chương 1

Đại cương về chuỗi số và chuỗi hàm
Chương này dành cho việc nhắc lại một số kiến thức cơ bản nhất về dãy số, chuỗi
số, dãy hàm và chuỗi hàm. Các chứng minh chi tiết có thể tham khảo trong tài liệu [1].

1.1
1.1.1

Một số khái niệm cơ bản của dãy số và dãy hàm

Một số khái niệm của dãy số

Định nghĩa 1.1. Dãy số là một ánh xạ a : N Đ R được cho bởi n ÞĐ apnq :“ an . Dãy
số thường được ký hiệu là tan u, hoặc pan q, hoặc a1 , a2 , ..., an , ... Trong luận văn này ta
sẽ dùng ký hiệu pan q.
Định nghĩa 1.2. Ta nói dãy số pan q có giới hạn là L P R nếu với mọi ε ą 0, tồn tại
N “ N pεq P N sao cho với mọi n ě N ta có
|an ´ L| ă ε.
Ta ký hiệu lim an “ L, hoặc an Ñ L khi n Ñ 8.
nÑ8

Nếu dãy số pan q có giới hạn là L P R thì ta nói dãy pan q hội tụ, ngược lại ta nói
dãy pan q phân kỳ.
Định lý 1.3 (Định lý hội tụ đơn điệu, [1]). Cho dãy số pan q.
1. Nếu pan q tăng và bị chặn trên thì pan q hội tụ, và hơn nữa ta có
lim an “ suptan : n P Nu.

nÑ8

3


4
2. Nếu pan q giảm và bị chặn dưới thì pan q hội tụ, và hơn nữa ta có
lim an “ inftan : n P Nu.

nÑ8

Định nghĩa 1.4 (Dãy Cauchy, [1]). Dãy số pan q được gọi là dãy Cauchy (hay dãy cơ
bản) nếu với mọi ε ą 0, tồn tại N “ N pεq P N sao cho với mọi m ě n ě N ta có

|am ´ an | ă ε.
Định lý 1.5 ([1]). Dãy pan q hội tụ khi và chỉ khi pan q là dãy Cauchy.

1.1.2

Một số khái niệm của dãy hàm

Định nghĩa 1.6 (Hội tụ điểm, [1]). Dãy hàm tfn pxqu xác định trên A Ă R được
gọi là hội tụ điểm đến hàm số f pxq trên A nếu với mọi ε ą 0 và mọi x P A, tồn tại
N “ N pε, xq P N sao cho với mọi n ě N ta có
ˇ
ˇ
ˇfn pxq ´ f pxqˇ ă ε.
Ký hiệu:
fn pxq Ñ f pxq,

x P A.

Định nghĩa 1.7 (Hội tụ đều, [1]). Dãy hàm tfn pxqu xác định trên A Ă R được gọi là
hội tụ đều đến hàm số f pxq trên A nếu với mọi ε ą 0, tồn tại N “ N pεq P N sao cho
với mọi n ě N và mọi x P A ta có
ˇ
ˇ
ˇfn pxq ´ f pxqˇ ă ε.
Ký hiệu:
fn pxq Ñ f pxq,

x P A.

Nhận xét 1.8. Từ hai định nghĩa trên, ta dễ dàng suy ra nhận xét quan trọng sau:

Nếu dãy hàm tfn pxqu hội tụ đều đến hàm số f pxq trên A thì tfn pxqu hội tụ điểm đến
hàm số f pxq trên A.
Định lý 1.9 ([1]). Dãy hàm tfn pxqu xác định trên A Ă R hội tụ đều đến hàm số f pxq
trên A khi và chỉ khi
ˇ
ˇ
sup ˇfn pxq ´ f pxqˇ Ñ 0, khi n Ñ 8.
xPA

Định lý 1.10 ([1]). Dãy hàm tfn pxqu xác định trên A Ă R hội tụ đều đến hàm số f pxq
trên A khi và chỉ khi với mọi ε ą 0, tồn tại N “ N pεq P N sao cho với mọi m ě n ě N
và mọi x P A ta có
ˇ
ˇ
ˇfm pxq ´ fn pxqˇ ă ε.


5
Định lý 1.11 ([1]). Dãy hàm tfn pxqu xác định trên A Ă R hội tụ điểm đến hàm số
f pxq trên A khi và chỉ khi với mọi ε ą 0 và mọi x P A, tồn tại N “ N pε, xq P N sao
cho với mọi m ě n ě N ta có
ˇ
ˇ
ˇfm pxq ´ fn pxqˇ ă ε.
Định lý 1.12 ([1]). Cho dãy hàm tfn pxqu xác định trên A Ă R và giả sử với mỗi
n P N, hàm số fn pxq liên tục tại điểm x0 P A. Nếu dãy hàm tfn pxqu hội tụ đều đến
hàm số f pxq trên A thì hàm số f pxq liên tục tại điểm x0 .
Nhận xét 1.13. Từ định lý trên ta suy ra nếu tfn pxqu liên tục trên A và tfn pxqu hội
tụ đều đến f pxq trên A thì f pxq liên tục trên A.

1.2
1.2.1

Một số khái niệm và tính chất của chuỗi số
Một số khái niệm của chuỗi số

Định nghĩa 1.14 ([2]). Cho dãy số thực tan u. Một tổng có dạng
a1 ` a2 ` ă ă ă ` an ` ă ¨ ¨
được gọi là một chuỗi số. Chuỗi số được ký hiu l
a1 ` a2 ` ă ă ă ` an ` ă ă ă

8


an .

(1.1)

n1

õy tan u “ a1 , a2 , . . . , an , . . . được gọi là một chuỗi số và an là số hạng thứ n của
chuỗi. Một chuỗi được coi là được xác định nếu xem từng số hạng của chuỗi đã biết
như một hàm số của n, an “ f pnq.
1
Ví dụ 1.1. Xét dãy số tan u với an “
. Khi đó ta nhận được chuỗi s
npn ` 1q
8

n1

an

1
1
1
`
` ăăă `
` ăăă
1.2 2.3
npn ` 1q

nh nghĩa 1.15. Xét chuỗi số (1.1). Ta đặt
S1 “ a1 ,
S2 a1 ` a2 ,
ăăă
Sn a1 ` a2 ` ă ă ă ` an .
Khi ú ta nhn được dãy số tSn u và dãy này được gọi là dãy tổng riêng thứ n của chuỗi
số (1.1).


6
Định nghĩa 1.16 ([2]). Xét chuỗi số (1.1) và gọi tSn u là dãy tổng riêng thứ n của
chuỗi số.
• Nếu dãy số tSn u hội tụ về số thực S thì ta nói chuỗi số (1.1) hội tụ và có tổng là
S, và ta viết
8
ÿ
an “ S.
n“1

• Nếu dãy số tSn u phân kỳ thì ta nói chuỗi số (1.1) phân kỳ (hay khơng hội tụ).
8
ÿ

1
1
. Ta tính được Sn “ 1 ´
, do đó
npn ` 1q
n`1
n“1
lim Sn “ 1. Vậy chuỗi đã cho hội tụ và có tổng bằng 1.

Ví dụ 1.2 ([2]). Xét chuỗi số
nĐ8

1.2.2

Một số tính chất cơ bản của chuỗi số
8
ÿ

Tính chất 1.1. Nếu chuỗi số

un hội tụ có tổng là S, chuỗi số

là S 1 thì các chuỗi

vn hội tụ có tổng

n“1

n“1
8
ÿ

8
ÿ

pun ` vn q cũng hội tụ và có tổng là S ` S 1 .

n“1

Chứng minh. Gọi Sn và Sn1 lần lượt là các tổng riêng thứ n của các chuỗi số

8
ÿ

un và

n“1
8
ÿ

vn . Khi đó lim Sn “ S và lim Sn1 “ S. Suy ra lim pSn ` Sn1 q “ S ` S 1 .
nĐ8

n“1

nĐ8

nĐ8

Ta có điều phải chứng minh.
Tính chất 1.2. Nếu chuỗi số

8
ÿ

un hội tụ có tổng là S thì chuỗi số

n“1

8
ÿ

kun cũng hội

n“1

tụ và có tổng là kS.
Chứng minh. Gọi Sn là tổng riêng thứ n của chuỗi số

8
ÿ

un .

n“1

Ta có
lim kSn “ k lim Sn “ kS.

nĐ8

nĐ8

Ta có điều phải chứng minh.
Tính chất 1.3. Tính hội tụ hay phân kỳ của một chuỗi số không thay đổi khi ta ngắt
bỏ đi khỏi chuỗi số đó 1 số hữu hạn các số hạng đầu tiên.


7

Chứng minh. Nếu bớt đi từ

8
ÿ

un m số hạng đầu tiên, ta được chuỗi số

n“1

Gọi Sn và

Sk1

8
ÿ

un .

n“m`1

lần lượt là các tổng riêng thứ n và thứ k của các chuỗi số

8
ÿ

un và

n“1
8
ÿ

un .

n“m`1

Suy ra Sk1 “ Sm`k ´ Sm .
8
ÿ
+ Nếu chuỗi số
un hội tụ
n“1

đ Sm`k Đ S khi m ` k Đ 8
đ Sk1 Đ S ´ Sm khi k Ñ 8
8

ÿ
Suy ra chuỗi số
un hội tụ.
n“m`1

Sm hữu hạn. Do

8
ÿ

un phân kỳ. Suy ra Sm`k khơng
n“1
đó Sk1 khơng có giới hạn khi k Đ 8.
8
ÿ

+ Nếu chuỗi số

có giới hạn khi k Ñ 8 và do

un phân kỳ.

Suy ra chuỗi số

n“m`1

Chứng minh. Gọi Sn và Sn1 lần lượt là các tổng riêng thứ n của các chuỗi số

8
ÿ

un và

n“1
8
ÿ

vn . Khi đó

n“1

lim Sn “ S và lim Sn1 “ S.

nÑ8

Suy ra

nÑ8
lim pSn ` Sn1 q
nÑ8

“ S ` S 1.

Ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 1.3. Xét sự hội tụ của chuỗi số

8
ÿ

1

.
n`3
n“1

Bài giải. Chuỗi này suy ra từ chuỗi điều hòa bằng cách ngắt bỏ đi 3 số hạng dầu tiên.
8
ÿ
1
Mà chuỗi điều hòa phân kỳ nên chuỗi
cũng phân kỳ.
n`3
n“1


8

1.3
1.3.1

Một số khái niệm và tính chất của chuỗi hàm
Một số khái niệm của chuỗi hàm

Định nghĩa 1.17 ([2]). Cho dãy hàm tun pxqu xác định trên D Ă R. Khi đó tổng có
dạng
8
ÿ
un pxq “ u1 pxq ` u2 pxq ` ă ă ă ` un pxq ` ă ¨ ¨
(1.2)
n“1

được gọi là một chuỗi hàm xác định trên D.
Khi cố định x “ x0 P D thì ta nhận được chuỗi số
8
ÿ

un px0 q “ u1 px0 q ` u2 px0 q ` ă ă ă ` un px0 q.

(1.3)

n“1

Nếu chuỗi số (1.3) hội tụ (tương ứng, phân kỳ) thì x0 được gọi là điểm hội tụ (tương
ứng, điểm phân kỳ) của chuỗi hàm (1.2). Tập hợp tất cả các điểm hội tụ (tương ứng,
phân kỳ) được gọi gọi là miền hội tụ (tương ứng, miền phân kỳ) của chuỗi hàm (1.2).
Định nghĩa 1.18. Xét chuỗi hàm (1.2). Ta đặt
S1 pxq “ u1 pxq,
S2 pxq “ u1 pxq ` u2 pxq,
ăăă
Sn pxq u1 pxq ` u2 pxq ` ă ă ă ` un pxq.
Khi ú ta nhn được dãy hàm tSn pxqu và dãy hàm này được gọi là dãy hàm tổng riêng
thứ n của chuỗi hàm (1.2).
Cũng tương tự như trong chuỗi số, đối với chuỗi hàm ta cũng quan tâm đến sự hội
tụ của chuỗi hàm. Sự hội tụ của chuỗi hàm được định nghĩa thông qua sự hội tụ của
dãy hàm tổng riêng thứ n của nó. Ta có định nghĩa sau.
Định nghĩa 1.19. Xét chuỗi hàm (1.2) có dãy tổng riêng thứ n là tSn pxqu.
1. Nếu tSn pxqu hội tụ điểm đến hàm Spxq trên D Ă R thì ta nói chuỗi hàm (1.2)
hội tụ điểm đến hàm Spxq trên D, và được ký hiệu là
8
ÿ
n“1

un pxq Ñ Spxq,

x P D.


9
2. Nếu tSn pxqu hội tụ đều đến hàm Spxq trên D Ă R thì ta nói chuỗi hàm (1.2) hội
tụ đều đến hàm Spxq trên D, và được ký hiệu là
8
ÿ

un pxq Ñ Spxq,

x P D.

n“1

Trong trường hợp chuỗi hàm

8
ÿ

un pxq hội tụ điểm đến hàm Spxq trên D thì ta cũng

n“1

nói chuỗi hàm

8

ÿ

un pxq có tổng là Spxq và ta viết

n“1
8
ÿ

un pxq “ Spxq,

x P D.

n“1

Khi đó ta gọi
rn pxq “ Spxq ´ Sn pxq,
là phần dư của chuỗi hàm

8
ÿ

xPD

un pxq.

n“1

Có hai loại chuỗi hàm quan trọng và có nhiều ứng dụng trong tốn học đó là chuỗi
luỹ thừa và chuỗi lượng giác. Cụ thể là:
1. Chuỗi lũy thừa là chuỗi hàm có dạng

8
ÿ

an xn , trong đó an P R.

n“0

2. Chuỗi lượng giác là chuỗi hàm có dạng a0 `

8
ÿ

pan sin nx ` bn cos nxq, trong đó

n“1

a0 , an , bn P R.
Ví dụ 1.4 ([2]). Xét chuỗi hàm
8
ÿ

xn “ 1 ` x ` x2 ` ¨ ¨ ¨ ` x n ` ¨ ¨ ¨

n“0

Đây là tổng vô hạn của một cấp số nhân với số hạng đầu là 1 và công bội là x. Nếu
|x| ă 1 thì ta có
8
ÿ

n“0

xn “ 1 ` x ` x2 ` ă ă ă ` xn ` ă ¨ ¨ “

1
.
1´x

Vậy chuỗi hàm trên hội tụ trong khoảng p´1, 1q và có tổng Spxq “

1
.
1´x

ř
Định nghĩa 1.20. Chỗi hàm un pxq được gọi là hội tụ đều tới hàm Spxq trên X,
nếu @ε ą 0, Dn0 ą 0 : n ą n0 ñ |Spxq ´ Sn pxq| “ |rn pxq| ă ε, @x P X.


10

1.3.2

Tính chất cơ bản của chuỗi hàm

Tính chất 1.4. Cho chuỗi hàm

ÿ

un pxq hội tụ đều về hàm Spxq trên X. nếu các số

n

hạng un pxq đều liên tục tại x0 P X thì Spxq cũng liên tục tại x0 P X.
Chứng minh. Ta có
lim Spxq “ Spx0 q ơ lim

xÑx0

ÿ

xÑx0

un pxq “

ÿ

un px0 q “

ÿ

n

n

lim un pxq

xÑx0

ÿ sin nx

.
xÑπ
n 2 ` x2
n

Ví dụ 1.5. Tính lim

Bài giải. Ta thấy chuỗi trên hội tụ đều, có các số hạng liên tục tại x “ π.
Do đó

ÿ sin nx
ÿ
sin nx
“
lim 2
“ 0.
2
2
xĐπ
xĐπ n ` x2
n `x
n
n
lim

Tính chất 1.5. Cho chuỗi hàm

ÿ

un pxq hội tụ đều về hàm Spxq trên ra, bs. Nếu các

n

số hạng un pxq đều liên tục trên ra, bs@n ě 1 thì
żb
Spxqdx “
a

ż b”ÿ
a

ı
ÿż b
un pxqdx.
un pxq dx “
n

ÿ

a

un pxq hội tụ trên pa, bq tới Spxq, các số hạng
ÿ
un pxq, u1n pxq liên tục trên pa, bq. Khi đó nếu chuỗi
u1n pxq hội tụ đều trên pa, bq thì
n
ÿ
1
1
Sn pxq khả vi và Sn pxq “

un pxq.
Tính chất 1.6. Cho chuỗi hàm

n

n


Chương 2

Các định lý hội tụ của chuỗi số và
chuỗi hàm
Trong chương này chúng tơi trình bày các định lý hội tụ của chuỗi số, chuỗi hàm
bao gồm các điều kiện cần, điều kiện đủ để chúng hội tụ.

2.1

Các định lý hội tụ của chuỗi số

Định lý 2.1 ([1]). Nếu chuỗi số

8
ÿ

an hội tụ thì lim an “ 0.
nĐ8

n“1

Chứng minh. Nếu chúng ta kí hiệu Sn là tổng từng phần thứ n của chuỗi đã cho. Khi

đó
Sn`1 “ a0 ` a1 ` a2 ` ă ă ă ` an`1 Sn ` an`1 .
Bây giờ ta cho n Ñ 8 thì cả Sn`1 và Sn có cùng giới hạn. Cho nên lim an “ 0.
nÑ8

Từ định lý trên ta rút ra hệ quả quan trọng sau đây (kết quả này thường được gọi
là Tiêu chuẩn phân kỳ).
Hệ quả 2.2 (Tiêu chuẩn phân kỳ). Nếu dãy tan u không hội tụ đến 0 thì chuỗi số
8
ÿ
an phân kỳ.
n“1

Ví dụ 2.1 ([1]). Xét chuỗi số

8
ÿ

n
. Vì
n`1
n“1

lim an “ lim

nĐ8

nĐ8

n

“1‰0
n`1

nên chuỗi đã cho phân kỳ (theo Tiêu chuẩn phân kỳ).
11


12
8
ÿ
1
Ví dụ 2.2 ([1]). Xét chuỗi số
. Mặc dù
n
n“1

1
“0
nĐ8 n

lim an “ lim

nÑ8

nhưng chuỗi số đã cho phân kỳ.
Dựa trên tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ của dãy số, ta nhận được tiêu chuẩn tương
tự cho sự hội tụ của chuỗi số.
Định lý 2.3 (Tiêu chuẩn Cauchy, [1]). Chuỗi số

8

ÿ

an hội tụ khi và chỉ khi với mọi

n“1

ε ą 0, tồn tại N P N sao cho với mọi m ě n ě N , ta có
m
ˇ ÿ
ˇ
ˇ
ˇ
ak ˇ ă ε.
ˇ
k“n`1

Chứng minh. Gọi tSn u là dãy tổng riêng thứ n của chuỗi số

8
ÿ

an . Ta biết rằng chuỗi

n“1

số

8
ÿ

an hội tụ khi và chỉ khi dãy tSn u hội tụ. Mà dãy tSn u hội tụkhi và chỉ khi dãy

n“1

tSn u là dãy Cauchy. Điều này tương đương với
m
ˇ ÿ
ˇ
ˇ
ˇ
ak ˇ ă ε.
@ε ą 0 DN P N, @m ě n ě N : |Sm ´ Sn | “ ˇ
k“n`1

Định lý 2.4 ([1]). Giả sử

8
ÿ

an ,

n“1

đó các chuỗi

8
ÿ

αan và

n“1

1.

8
ÿ

pα an q “ α

n“1

2.

8
ÿ

bn là hai chuỗi hội tụ và α là số thực bất kỳ. Khi

n“0

pan ` bn q cũng hội tụ và ta có

n“1
8
ÿ

an ;

n“1

pan ` bn q “

n“1

8
ÿ

8
ÿ

8
ÿ
n“1

an `

8
ÿ

bn .

n“1

Ví dụ 2.3 ([2]). Xét tính hội tụ hoặc phân kỳ của chuỗi

8
ÿ
2n ` n2
.
n

n.2
n“1


13
Lời giải. Chúng ta viết lại số hạng thứ n của chuỗi là tổng hai số hạng như sau
1
n
an “ ` n . Bây giờ chuỗi đã cho là
n 2
8
8
8
ÿ
ÿ
2n ` n2
1 ÿ n
`
“
.
n.2n
n n“1 2n
n“1
n“1

Chuỗi thứ nhất (chuỗi điều hòa) là phân kỳ. Chuỗi thứ hai là hội tụ. Do đó chuỗi đã
cho sẽ phân kỳ.
Tiếp theo ta sẽ khảo sát một số dấu hiệu hội tụ dành cho các chuỗi số mà các số
hạng của nó đều khơng âm. Trước tiên ta phát biểu định nghĩa về chuỗi số dương và
chuỗi số dương thật sự.

Định nghĩa 2.5. Chuỗi số

8
ÿ

an được gọi là

n“1

• chuỗi số dương nếu an ě 0 với mọi n P N;
• chuỗi số dương thật sự (hay chuỗi số dương nghiêm ngặt) nếu an ą 0 với mọi
n P N.
Định lý 2.6 ([1]). Chuỗi số dương

8
ÿ

an hội tụ khi và chỉ khi tồn tại M P R sao cho

n“1

Sn ď M với mọi n P N.
Chứng minh. Vì

8
ÿ

an là chuỗi số dương nên ta có

n“1

an “ Sn ´ Sn´1 ě 0 @n ě 1.
Tức là tSn u là dãy tăng. Do đó chuỗi số dương

8
ÿ

an hội tụ khi và chỉ khi dãy tSn u

n“1

hội tụ. Điều này tương đương với tSn u bị chặn trên.
Định lý 2.7 (Tiêu chuẩn so sánh, [1]). Cho hai chuỗi số dương

8
ÿ
n“1

sử tồn tại N P N sao cho an ď bn với mọi n ě N . Khi đó
1. nếu chuỗi

8
ÿ
n“1

2. nếu chuỗi

8
ÿ
n“1

bn hội tụ thì chuỗi

8
ÿ

an hội tụ;

n“1

an phân kỳ thì chuỗi

8
ÿ
n“1

bn phân kỳ.

an và

8
ÿ
n“1

bn . Giả


14
Chứng minh. Vì hai khẳng định trên là tương đương nhau nên ta chỉ cần chứng minh
8

ÿ
cho khẳng định thứ nhất. Ta kí hiệu tSn u là tổng từng phần của
an , ttn u là tổng
n“0

từng phần của

8
ÿ

bn . Cho M “ maxtSn ´ tn : 1 ď n ă N u. Chú ý rằng, nếu n ě N

n“0

Sn ´ tn “ SN1 `

n
ÿ

´
ak ´ tN1 `

k“N

n
ÿ

¯
bk “ SN1 ´ tN1 `

k“N

n
ÿ

pak ´ bk q ď M `

k“N

n
ÿ

pak ´ bk q.

k“N

Bất đẳng thức an ď bn dẫn đến rằng Sn ď tn ` M trong đó n P N˚ . Dãy ttn u là hội tụ,
do đó bị chặn,cho nên tSn u cũng bị chặn.
8
ÿ
Bằng Định lý 2.6 chuỗi
an là hội tụ.
n“0

Ví dụ 2.4 ([1]). Cho a ą 0. Xét sự hội tụ của chuỗi số

8
ÿ

1

.
1 ` an
n“1

Lời giải. Ta xét các trường hợp sau.
1
“ 1 ‰ 0, do đó chuỗi đã cho phân kỳ.
nĐ8 1 ` an

• Nếu a ă 1 thì lim

1
1
“ ‰ 0, nên chuỗi đã cho phân kỳ.
n
nĐ8 1 ` a
2

• Nếu a “ 1 thì lim

• Nếu a ą 1, ta sử dụng bất đẳng thức
1
1
ă
1 ` an
an

@n ě 1.

8

ÿ
1
Vì q “ ă 1 nên chuỗi hình học
q n hội tụ, do đó theo tiêu chuẩn so sánh
a
n“1
8
ÿ
1
hội tụ.
(Định lý 2.7), chuỗi
n
1
`
a
n“1

Định lý 2.8 (Tiêu chuẩn so sánh giới hạn, [1]). Cho hai chuỗi số dương thật sự

8
ÿ

an

n“1

và

8
ÿ

bn . Khi đó

n“1
8
8
ÿ
ÿ
an
1. nếu lim
tồn tại thì sự hội tụ của chuỗi
bn suy ra sự hội tụ của chuỗi
an ;
nÑ8 bn
n“1
n“1


15
an
an
tồn tại và khác khơng hoặc nếu lim
“ 8 thì phân kỳ của chuỗi
nÑ8 bn
nÑ8 bn
8
8
ÿ
ÿ
bn suy ra sự phân kỳ của chuỗi

an .

2. nếu lim

n“1

n“1

Chứng minh. 1. Nếu dãy
Nếu

8
ÿ

!a )
n

bn

là hội tụ, nó bị chặn, do đó DM ą 0 sao cho an ď M bn .

bn hội tụ, theo Định lý 2.4, vậy có

n“0

8
ÿ

M bn hội tụ và khẳng định a) từ Định lý

n“0

2.7.
2. Theo giả thiết, dãy
8
ÿ

!a )
n

hội tụ. Áp dụng phần 1) chúng ta thấy rằng sự hội tụ của

bn

an dẫn đến sự hội tụ của

n“0

8
ÿ

bn .

n“0

Bằng sự mâu thuẫn ta được khẳng định 2).
Ví dụ 2.5 ([1]). Xét sự hội tụ của chuỗi số

8
ÿ

´
1¯
ln 1 `
.
n
n“1

´
1¯
1
Lời giải. Ta có an “ ln 1 `
và chúng ta sẽ lấy bn “ . Khi đó
n
n
˘
`
´
´
ln 1 ` n1
1¯
1 ¯n
an
“
n
ln
1
`
“
ln

1
`
.
“
1
bn
n
n
n
an
“ ln e “ 1. Bằng Định lý 2.8 b) có lưu ý rằng chuỗi điều hịa phân kỳ.
nĐ8 bn
8
ÿ
Chúng ta kết luận rằng
an phân kỳ.
Suy ra lim

n“1

Định lý 2.9 (Tiêu chuẩn tích phân, [1]). Cho f là một hàm số dương, liên tục, giảm
8
ÿ
an hội tụ khi và
trên r1, `8q và giả sử an “ f pnq với mọi n P N. Khi đó chuỗi số
n“1
ż8
f ptq dt hội tụ.
chỉ khi tích phân suy rộng
1

Chứng minh. Chúng ta kí hiệu Sn là tổng riêng thứ n của chuỗi

8
ÿ
n“1

ta tổng hợp các bất đẳng thức
ż n`1
f pnq ě

f ptqdt ě f pn ` 1q ě 0
n

cho n “ 1, 2, . . . , N , ta được
ż N `1
SN ě

f ptqdt ě SN `1 ´ a1 .
1

an , và nếu chúng


16
ż8
f ptqdt hội tụ, khi đó bất đẳng thức bên tay phải cho ta thấy rằng

Nếu tích phân
1

8
ÿ

dãy tSN u là bị chặn và theo Định lý 2.6 dẫn đến chuỗi

an hội tụ.

n“1

ż8
f ptqdt phân kỳ, và cho M ą 0. Khi đó, Dx0 ě 1
Mặt khác, giả sử rằng tích phân
1
żx
sao cho F pxq “
f ptqdt thỏa mãn F px0 q ě M . Cho N “ rx0 s, khi đó N ` 1 ě x0
1

tính dương của f dẫn đến rằng F pN ` 1q ě F px0 q ě M. Theo đó Sn ě M và từ M là
8
ÿ
bất kỳ, chúng ta có chuỗi
an phân kỳ.
n“1

Ví dụ 2.6 ([1]). Xét sự hội tụ của chuỗi số

8
ÿ

1
.
n ln n
n“2

1
, và chúng ta chú ý rằng x ě 2, f là liên tục và dương.
x ln x
Hơn nữa
´1 ´
1¯
1 ` ln x
f 1 pxq “
ln
x
`
x
“´
ă 0,
2
px ln xq
x
px ln xq2
1
1
ta thay u “ ln x, khi đó du “ dx
vì f giảm. Cuối cùng, tính cấp ngun hàm của
x ln x
x

ż
ż
dx
du
“
“ ln u ` C “ lnpln xq ` C.
x ln x
u
Lời giải. Ta lấy f pxq “

Cho nên
ż8
2

và chuỗi

ˇb
1
ˇ
dx “ lim lnpln xqˇ “ lim lnpln bq ´ lnpln 2q “ `8
bÑ`8
bÑ`8
x ln x
2

8
ÿ

1
phân kỳ.

n ln n
n“2

Tiếp theo ta sẽ khảo sát hai tiêu chuẩn rất hiệu quả trong việc xét sự hội tụ của
các chuỗi số dương. Cho chuỗi số dương
8
ÿ

an “ a1 ` a2 ` a3 ` ă ă ă

n1

Ta ký hiu
Cn

?
n
an ,

Dn

an`1
.
an

v ta viết
C “ lim Cn ,
nÑ8

D “ lim Dn

nÑ8

trong trường hợp các giới hạn này tồn tại hữu hạn hoặc vô hạn.

(2.1)


17
Định lý 2.10 (Tiêu chuẩn Cauchy, [1]). Cho chuỗi số dương (2.1).
1. Nếu tồn tại r ă 1 và N P N sao cho Cn ď r với mọi n ě N thì chuỗi (2.1) hội tụ.
2. Nếu Cn ě 1 với mọi n ě N thì chuỗi (2.1) phân kỳ.
3. Đặc biệt, chuỗi (2.1) hội tụ nếu C ă 1 và phân kỳ nếu C ą 1.
?
n
n a
n ď r ă 1 với n ě N . Như vậy cho n, an ď r và sự hội
8
ÿ
tụ của chuỗi (2.1) theo từ tiêu chuẩn so sánh, từ chuỗi hình học
rn hội tụ.
Chứng minh. Giả sử rằng

n“1

Nếu C ă 1, khi đó chúng ta lấy một số thực n thỏa mãn C ă r ă 1. Từ C “
?
?
lim n an ă r, ở đó DN P N˚ , n ě N, n an ă r. Sự hội tụ của chuỗi (2.1) bây giờ chứng
minh tiếp phần đầu.
Bất đẳng thức Cn ě 1 dẫn đến an ě 1. Nếu điều này đúng với n ě N , khi đó an

khơng thể có giới hạn 0 và theo tiêu chuẩn phân kỳ chuỗi (2.1) phân kỳ. Đặc biệt, nếu
C ą 1, khi đó DN P N˚ , Cn ě 1, n ě N và chuỗi (2.1) phân kỳ.
Ví dụ 2.7 ([1]). Xét sự hội tụ của chuỗi số

8
ÿ

2
.
pln nqn
n“2

Lời giải. Ta có
d
?
C n “ n an “
Vì C ă 1 chúng ta kết luận rằng chuỗi

n

1
1
“
Đ 0.
n
pln nq
ln n

8
ÿ

1
hội tụ.
pln nqn
n“2

Ví dụ 2.8 ([2]). Xét sự hội tụ của chuỗi số

8 ´
ÿ
n“1

n ¯2n
.
3n ´ 1

Lời giải. Ta có
?
C n “ n an “

c´
n

n ¯2n ´ n ¯2
1
“
Ñ ă 1.
3n ´ 1
3n ´ 1
9

Chuỗi đã cho hội tụ.
Định lý 2.11 (Tiêu chuẩn D’Alembert, [1]). Cho chuỗi số dương (2.1).
1. Nếu tồn tại r ă 1 và N P N sao cho Dn ď r với mọi n ě N thì chuỗi (2.1) hội tụ.
2. Nếu Dn ě 1 với mọi n ě N thì chuỗi (2.1) phân kỳ.


18
3. Đặc biệt, chuỗi (2.1) hội tụ nếu D ă 1 và phân kỳ nếu D ą 1.
Chứng minh. Giả sử rằng

an`1
ď r với n ě N , khi đó
an

aN `1 ď raN , aN `2 ď raN `1 ď r2 aN .
Bằng quy nạp ta được
aN `k ď rk aN ,
cho bất kỳ k P N˚ . Sự hội tụ của chuỗi (2.1) bây giờ từ tiêu chuẩn so sánh, vì

8
ÿ

r k aN

k“1

là một chuỗi hình học với giới hạn ban đầu raN và tỉ số r ă 1. Khi đó D ă 1, chúng
ta lấy một số thực r sao cho D ă r ă 1 khi đó DN P N˚ , sao cho với n ě N, Dn ă r
và vấn đề là rút gọn đến trước 1.

Bất đẳng thức Dn ě 1 dẫn đến rằng an`1 ě an . Nếu điều này đúng với tất cả
n ě N , khi đó dãy tan u khơng thể có giới hạn 0 và bằng tiêu chuẩn phân kỳ, chuỗi
(2.1) phân kỳ.
Trong trường hợp đặc biêt, khi D ą 1, DN P N˚ sao cho với n ě N, Dn ě 1 thì
chuỗi (2.1) phân kỳ.
Ví dụ 2.9 ([1]). Xét sự hội tụ của chuỗi số

8
ÿ
10n
.
n!
n“1

Lời giải. Ta có
an`1
Dn “
“
an
Ta thấy

10n`1
pn`1q!
10n
n!

10
10n`1 n!
. n “
.

“
pn ` 1q! 10
n`1

8
ÿ
10
10n
ă 1, khi đó n ě 10. Vì vậy ta kết luận chuỗi
hội tụ.
n`1
n!
n“1

Định lý sau cho ta mối liên hệ về giới hạn của các dãy Cn “

an`1
?
n a
.
n và Dn “
an

Định lý 2.12 ([1]). Cho tan u là một dãy số dương và giả sử tồn tại lim Dn “ L. Khi
nĐ8

đó dãy tCn u hội tụ và lim Cn “ L.
nÑ8

Chứng minh. Cho ε ą 0, DN P N˚ sao cho n ě N

L´

ε
an`1
ε
ă
ăL` .
2
an
2

Do đó, cho bất kỳ k P N˚ , ta được
´
´
ε ¯k
ε ¯k
L´
aN ă aN `1 ă L `
aN .
2
2


19
Tiếp theo,cho tùy ý k P N˚ , bằng cách lấy căn thứ pN ` kq, chúng ta được
´
ε ¯ Nk`k N 1`k
L´
aN ă
2

´
ε ¯ Nk`k N 1`k
?
aN `1 ă L `
aN .
2

N `k

ε
Điều đó cho ta thấy rằng, khi k Ñ 8, bên trái biểu thức hội tụ đến L ´ và bên phải
2
ε
đến L ` . Điều này dẫn đến DK1 , K2 P N˚ sao cho
2
´
ε ¯ Nk`k N 1`k
k ě K1 ñ L ´
aN ą L ´ ε và
2
´
ε ¯ Nk`k N 1`k
k ě K2 ñ L `
aN ą L ` ε.
2
Đặt K “ maxtK1 , K2 u và k ě K, khi đó
L´εă

?

aN `k ă L ` ε.

N `k

Cho thấy rằng Cn hội tụ đến L.
Ví dụ 2.10 ([1]). Xét sự hội tụ của chuỗi số

8
ÿ

n ´n

2p´1q

.

n“1

Lời giải. Đầu tiên ta thử tiêu chuẩn D’Alembert
n`1

Dn “

an`1
2p´1q ´pn`1q
n`1
n
n`1
“
“ 2p´1q ´pn`1q´p´1q `n “ 22p´1q ´1

n ´n
p´1q
an
2

1
và D2n´1 “ 21 “ 2.Rõ ràng dãy tDn u không thỏa mãn giả thiết của
8
tiêu chuẩn D’Alembert, vì vậy khơng thể áp dụng nó.
vì D2n “ 2´3 “

Chúng ta sử dụng tiêu chuẩn Cauchy
?
p´1qn ´n
?
n
Cn “ n an “ 2p´1qn ´n “ 2 n Ñ 2´1 ă 1.
Vậy chuỗi đã cho hội tụ.
Định lý 2.13 (Tiêu chuẩn Kummer, [1]). Cho tan u, tcn u là hai dãy số dương thật sự
8
ÿ
1
sao cho chuỗi
phân kỳ. Với mỗi n P N, đặt
c
n“1 n
K n “ cn .

an
´ cn`1

an`1

(2.2)

và giả sử rằng tồn tại r ą 0 và N P N sao cho Kn ě r với n ě N. Khi đó chuỗi
(2.1) hội tụ. Mặt khác, nếu Kn ď 0, n ě N , khi đó chuỗi (2.1) phân kỳ. Đặc biệt, nếu
8
ÿ
lim Kn “ K, chuỗi
an hội tụ nếu K ą 0 và phân kỳ nếu K ă 0.
nÑ8

n“1


20
Chứng minh. Đầu tiên giả sử rằng Kn ě r ą 0, cho n ě N . Theo đó, cho n ě N
cn an ´ cn`1 an`1 ě ran`1 ą 0

(2.3)

Chúng ta thấy rằng dãy tcn an u là một dãy giảm và nó bị chặn dưới bởi 0, nó hội tụ
đến một giới hạn L. Cho nên
n
ÿ

pck ak ´ ck`1 ak`1 q “ c1 a1 ´ cn`1 an`1 Ñ c1 a1 ´ L.

k“1

Vì chuỗi

8
ÿ

pck ak ´ck`1 ak`1 q hội tụ. Bây giờ bất đẳng thức (2.3) cho thấy chuỗi

k“1

hội tụ. Do đó

8
ÿ

rak`1

k“1
8
ÿ

ak hội tụ.

k“1

Nếu Kn ď 0 với n ě N , khi đó
cn
an`1
ě
.
an

cn`1
Vì vậy, chúng ta có một dãy của bất đẳng thức
aN `1
cN
aN `2
cN `1 aN `3
cN `2

;

;

;ăăă .
aN
cN `1 aN `1
cN `2 aN `2
cN `3
Nu ta nhân k ´ 1 bất đẳng thức kế tiếp ta c
aN `1 aN `2
aN `k
cN cN `1
cN `k1
ă
ăăă

ă
ăăă
.
aN aN `1
aN `k´1

cN `1 cN `2
cN `k
Suy ra

aN `k
cN
ě
và do đó
aN
cN `k
aN `k aN cN ă

1
cN `k

.

8


8

1
Bõy gi s phõn k của
an được suy ra từ sự phân kỳ của
.
c
n“1
n“1 n

Trường hợp khi giới hạn K tồn tại và thỏa mãn K ą 0 hoặc K ă 0 còn lại xem
như bài tập.
Định lý 2.14 (Tiêu chuẩn Raabe, [1]). Cho tan u là một dãy số dương thật sự và đặt
´ a
¯
n
Rn “ n
´1 .
an`1
Giả sử rằng tồn tại r ą 1 và N P N sao cho Kn ě r với n ě N . Khi đó chuỗi (2.1) hội
tụ. Mặt khác, nếu Rn ď 1 với n ě N thì chuỗi (2.1) phân kỳ. Đặc biệt, nếu Rn Đ R,
8
ÿ
chuỗi
an hội tụ nếu R ą 1 và phân kỳ nếu R ă 1.
n“1


21
8


n!
, a 0.
pa ` 1qpa ` 2q ă ă ¨ pa ` nq
n“1

Ví dụ 2.11 ([1]). Xét chuỗi

Lời giải. u tiờn chỳng ta th tiờu chun DAlembert

an`1

Dn
an

pn`1q!
pa`1qpa`2qăăăpa`n`1q
n!
pa`1qpa`2qăăăpa`nq



n`1
a`n`1

vỡ D “ 1 và tiêu chuẩn không đem lại kết quả. Tuy nhiên
´ 1
¯
´a ` n ` 1
¯
a ` n ` 1 ´ pn ` 1q
n
Rn “ n
´1 “n
´1 “n
“a
.
Dn
n`1
n`1

n`1
8
ÿ

n!
hội tụ nu a 1 v phõn k nu
pa
`
1qpa
`
2q
ă
ă
ă
pa
`
nq
n1
a 1. Cuối cùng nếu a “ 1

Vì R “ a. Do ú, chui

an

n!
1

p1 ` 1qp1 ` 2q ă ă ă p1 ` nq
n`1

vì vậy ta được chuỗi đã cho là chuỗi điều hịa và nó phân kỳ.
Tiếp theo ta sẽ khảo sát sự hội tụ của chuỗi với số hạng có dấu tuỳ ý. Trước tiên
ta giới thiệu định nghĩa sau.
Định nghĩa 2.15. Chuỗi số

8
ÿ

an được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi số

8
ÿ

|an |
n“1

n“1

hội tụ.
Định lý 2.16 ([1]). Nếu chuỗi

8
ÿ

an hội tụ tuyệt đối thì nó hội tụ.

n“1

Chứng minh. Cho

8
ÿ

|ak | là hội tụ. Ta sẽ sử dụng Định lý 2.3 để chứng minh

k“1

hội tụ. Cho ε ą 0, bằng Định lý 2.3, DN P N˚ sao cho m ě n ě N
ñ |an`1 | ` |an`2 | ` ă ă ă ` |am | . Nh vy m, n
|an`1 ` an`2 ` ă ă ă ` am | |an`1 | ` |an`2 | ` ă ¨ ¨ ` |am | ă ε.
Vì vậy chuỗi

8
ÿ

ak hội tụ.

k“1
8
ÿ
an
Ví dụ 2.12 ([1]). Cho a P R. Xét sự hội tụ của chuỗi số
.
n!
n“1

8
ÿ
k“1

ak