Một số mở rộng của bất đẳng thức bellman và ứng dụng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (299.8 KB, 52 trang )
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN
NGUYỄN KHẢI HOÀN
MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA BẤT ĐẲNG
THỨC BELLMAN VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC
BÌNH ĐỊNH - NĂM 2020
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN
NGUYỄN KHẢI HOÀN
MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA BẤT ĐẲNG
THỨC BELLMAN VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 8 46 01 13
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn:
TS. LÊ QUANG THUẬN
BÌNH ĐỊNH - NĂM 2020
LỜI CAM ĐOAN
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số
liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai cơng
bố trên bất kì cơng trình nào.
Bình Định, ngày 5 tháng 8 năm 2020
Tác giả
Nguyễn Khải Hoàn
LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, em xin bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc tới TS Lê Quang Thuận người đã tận tình hướng dẫn để
em có thể hồn thành luận văn này.
Em cũng xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới tồn thể các thầy cơ
giáo trong khoa Tốn, Phịng sau Đại học Đại học Quy Nhơn đã dạy bảo
em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa.
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia
đình, bạn bè cùng các anh chị trong lớp Cao học Toán K21 đã giúp đỡ em
trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn.
Trong quá trình học tập nghiên cứu viết luận văn, chắc chắn không
thể tránh khỏi những thiếu sót, rất mong nhận được sự thơng cảm và ý
kiến đóng góp của Thầy cơ.
Xin trân trọng cảm ơn.
Mc lc
M u
1
1 Kin thc chun b
4
1.1
Bt ng thc Hăolder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2
Bất đẳng thức Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.3
Bất đẳng thức Aczél . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2 Bất đẳng thức Bellman
10
2.1
Bất đẳng thức Bellman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2
Làm mịn bất đẳng thức Bellman . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Một số mở rộng của bất đẳng thức Bellman và ứng dụng 16
3.1
Dạng mở rộng thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2
Dạng mở rộng thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3
Dạng mở rộng thứ ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4
Bất đẳng thức Bellman dạng tích phân . . . . . . . . . . . 29
3.5
Sự tổng quát dạng hàm của bất đẳng thức Bellman . . . . . 32
4 Bất đẳng thức Bellman đảo
38
i
ii
4.1
Bất đẳng thức Bellman đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.2
Làm mịn bất đẳng thức Bellman đảo . . . . . . . . . . . . 40
4.3
Bất đẳng thức Bellman đảo dạng tích phân . . . . . . . . . 41
Kết luận
44
Tài liệu tham khảo
45
Mở đầu
Bất đẳng thức là một trong những vấn đề khó, hấp dẫn và thu hút sự
quan tâm của đơng đảo những người giảng dạy tốn từ bậc phổ thơng đến
đại học và các nhà nghiên cứu toán. Hiện nay, lý thuyết về bất đẳng thức
là một lý thuyết toán học đồ sộ, phát triển rất rộng và rất sâu. Các bất
đẳng thức đã và đang là một công cụ rất quan trong để phát triển nhiều
lĩnh vực toán học khác. Ở tốn phổ thơng, chủ đề về các bất đẳng thức
được gặp thường xuyên và các bất đẳng thức hay xuất hiện trong các kỳ
thi học sinh giỏi, kỳ thi Olympic để đánh giá tư duy của học sinh.
Trong các bất đẳng thức kinh điển, bất đẳng thức Bellman phát
biểu rằng với các số thực dương ai , bi (i = 1, 2, . . . , n) và p > 1 sao cho
ap1 −
n
p
i=2 ai
> 0 và bp1 −
1
p
n
ap1 −
api
i=2
n
p
i=2 bi
1
p
n
+ bp1 −
> 0, ta có
1
p
n
(a1 + b1 )p −
bpi
i=2
(ai + bi )p
(1)
i=2
trong đó dấu đẳng thức xảy ra nếu và chỉ nếu ai = µbi với µ là một hằng số.
Bất đẳng thức này được nhà Toán học người Mỹ Richard Ernest Bellman
(1920 - 1984) phát biểu và chứng minh năm 1956. Bất đẳng thức Bellman
được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực Toán học, đặc biệt là lý thuyết hình
học phi-Euclidean. Tuy nhiên, bất đẳng thức Bellman vẫn cịn chưa ứng
dụng phổ biến vào tốn Trung học phổ thơng và tài liệu tiếng Việt vẫn cịn
1
2
hạn chế. Trong những thập niên gần đây, bất đẳng thức Bellman đã được
tổng quát hóa, làm mịn và ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Tìm
hiểu các kết quả này là bổ ích cho cơng việc giảng dạy và nghiên cứu Toán
học sơ cấp ở bậc Trung học phổ thơng. Với mong muốn tìm hiểu bất đẳng
thức Bellman và một số dạng mở rộng, làm mịn nó, học viên đã chọn đề
tài "Một số mở rộng của bất đẳng thức Bellman và ứng dụng" để nghiên
cứu cho luận văn thạc sĩ của mình. Hy vọng luận văn này là tài liệu tham
khảo bổ ích cho học sinh, sinh viên và giáo viên trong quá trình học tập
và giảng dạy.
Trong những năm gần đây, bất đẳng thức Bellman (1) được các nhà
tốn học phát triển theo nhiều hướng:
• Shanhe Wu ([9]) mở rộng bất đẳng thức Bellman với m bộ số và mở
rộng số mũ.
• Trong một tài liệu khác, Shanhe Wu và Debnath ([8]) mở rộng bất
đẳng thức Bellman dựa trên kết quả của bất đẳng thức Chebyshev và
bất đẳng thức Aczél.
• Ch-J Zhao and W-S Cheung ([1]) mở rộng bất đẳng thức Bellman
bằng cách bổ sung thêm các bộ số Xi , Yi .
• Shanhe Wu ([9]) mở rộng bất đẳng thức Bellman cho dạng tích phân.
• X.Zhou ([10]) tổng quát bất đẳng thức Bellman dưới dạng hàm.
• Ti-an ([4]) mở rộng bất đẳng thức Bellman trong trường hợp 0 < p <
1.
Bằng phương pháp sưu tầm, đọc tài liệu về bất đẳng thức Bellman
3
và các bất đẳng thức liên quan, trong luận văn này, chúng tơi trình bày
một cách hệ thống cơ sở lý thuyết về bất đẳng thức Bellman và trình bày
một số mở rộng của bất đẳng thức Bellman. Nội dung hình thành chủ yếu
từ các tài liệu [1], [2], [3],[4], [7], [8], [9], [10].
Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia thành bốn chương
với những nội dung chính sau:
Chương 1 trình bày về các kiến thức chuẩn b v bt ng thc, gm
bt ng thc Hăolder, Minkowski, Aczél và các bất đẳng thức liên quan.
Chương 2 trình bày bất đẳng thức Bellman, làm mịn bất đẳng thức
Bellman.
Chương 3 trình bày một số mở rộng của bất đẳng thức Bellman.
Chương 4 trình bày bất đẳng thức Bellman đảo và dạng làm mịn, mở
rộng của nó.
Bình Định, ngày 5 tháng 8 năm 2020
Học viên thực hiện đề tài
Nguyễn Khải Hoàn
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này của luận văn, chúng tơi xin trình bày mở đầu một số
bất đẳng thc ni ting l bt ng thc Hăolder, bt ng thức Minkowski
và bất đẳng thức Aczél. Đây là những kiến thức nền tảng để chứng minh,
làm rõ bất đẳng thức Bellman và mở rộng bất đẳng thức Bellman. Nội
dung chương này chủ yếu hình thành từ các tài liệu [2],[5], [6], [8].
1.1
Bt ng thc Hă
older
nh lý 1.1 ([2]). Cho ai
0, bi
0, i = 1, 2, . . . , n và
1
p
+
1
q
= 1 với
p > 1. Khi đó
1
p
n
1
q
n
api
n
bqi
i=1
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
i=1
αapi =
ai bi .
(1.1)
i=1
βbqi với i = 1, 2, . . . , n, trong đó α
và β là các số thực thỏa mãn α2 + β 2 > 0.
Chứng minh. Nếu
n
p
i=1 ai
= 0 hoặc
thức.
Giả sử
n
p
i=1 ai
> 0 và
n
q
i=1 bi
> 0.
4
n
q
i=1 bi
= 0 thì (1.1) xảy ra đẳng
5
Với mỗi i ∈ {1, 2, . . . , n}, xét các số không âm
ai
a=
1
p
n
,
bi
b=
1
q
n
api
1
p
+
1
q
= 1, p > 1 và a
(1.2)
bqi
i=1
Vì
·
i=1
0, b
0 nên theo bất đẳng thức AM-GM suy
rộng ta có
1 p 1 q
a + b
p
q
ab.
(1.3)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ap = bq .
Thay (1.2) vào (1.3) ta được
1 bpi
1 api
+
p n p q n q
ai
bi
i=1
ai bi
1
p
n
1
q
n
api
i=1
.
(1.4)
bqi
i=1
i=1
Vì (1.4) đúng với mọi i = 1, . . . , n nên cộng theo vế các bất đẳng thức lại
với nhau ta được
n
ai bi
1 1
+
p q
i=1
1
p
n
api
i=1
Vì
1
p
+
1
q
1
q
n
.
(1.5)
bqi
i=1
= 1 nên từ (1.5) suy ra điều phải chứng minh.
Đẳng thức trong (1.5) xảy ra khi và chỉ khi n bất đẳng thức trong
(1.4) đều trở thành đẳng thức. Theo (1.3), có điều này khi và chỉ khi
api
bpi
= q
ap1 + ap2 + · · · + apn
b1 + bq2 + · · · + bqn
với mọi i = 1, 2, . . . , n. Tức là
ap1
ap2
apn
= q = ··· = q ,
bq1
b2
bn
6
với quy ước nếu một bi = 0 với một i nào đó thì ai = 0.
Ngồi ra, với a1 = a2 = · · · = an = 0 hoặc b1 = b2 = · · · = bn = 0
thì (1.1) xảy ra đẳng thức. Kết hợp những điều trên ta suy ra (1.1) xảy
ra đẳng thức khi và chỉ khi tồn tại hai số thực α, β không đồng thời bằng
không sao cho αapi = βbqi , i = 1, 2, . . . , n.
Định lý 1.2 ([2], Bt ng thc Hăolder o ). Cho ai > 0 và bi > 0 với
i = 1, . . . , n và
1
p
+
1
q
= 1 trong đó p < 0 hoặc q < 0. Khi đó
1
p
n
1
q
n
api
n
bqi
n=1
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
ai bi .
(1.6)
i=1
i=1
αapi =
βbqi
với i = 1, . . . , n, trong đó α và
β là các số thực không âm thỏa mãn α2 + β 2 > 0.
nh lý 1.3 ([2], Bt ng thc Hăolder tổng quát ). Cho xij > 0, pj >
0 (i = 1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . . , m) và p1 + p2 + · · · + pm = 1. Khi đó
pj
n
m
m
n
p
xij
j=1
1.2
(1.7)
xnj
xn1
(j = 1, 2, 3, . . . , m).
i=1 j=1
i=1
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
xijj .
x1j
x11
=
x2j
x21
= ··· =
Bất đẳng thức Minkowski
Định lý 1.4 ([2]). Cho ai
0 và bi
1
p
n
0 với i = 1, . . . , n và p > 1. Khi đó
(ai + bi )p
i=1
1
p
n
api
i=1
1
p
n
bpi
+
.
(1.8)
i=1
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = (a1 , . . . , an ) và b = (b1 , . . . , bn ) tỉ lệ.
Chứng minh. Ta có
(ai + bi )p = ai (ai + bi )p−1 + bi (ai + bi )p−1 .
(1.9)
7
Suy ra
n
n
n
p
p−1
(ai + bi ) =
i=1
ai (ai + bi )
bi (ai + bi )p1 .
+
i=1
(1.10)
i=1
p dng bt ng thc Hăolder với
n
1
p
+
1
q
1
p
n
ai (ai + bi )p−1
= 1 và p > 1, ta có
(ai + bi )q(p−1)
api
i=1
n
i=1
n
bi (ai + bi )p−1
i=1
n
1
p
,
i=1
(1.11)
1
q
(ai + bi )q(p−1)
bpi
i=1
1
q
n
.
i=1
Sử dụng q(p − 1) = p và cộng vế theo vế các bất đẳng thức trong (1.11)
ta được
n
(ai + bi )p
1
p
n
api
bpi
+
i=1
i=1
1
p
n
(ai + bi )p
i=1
n
i=1 (ai
Chia cả hai vế của (1.12) cho (
1
q
n
. (1.12)
i=1
1
+ bi )p ) q ta được (1.8). Chứng minh
hoàn thành.
Định lý 1.5 ([2], Bất đẳng thức Minkowski đảo). Cho ai
0, bi
0 với
i = 1, . . . , n. Nếu 0 < p < 1 thì
1
p
n
1
p
n
(ak + bk )p
apk
k=1
1
p
n
bpk
+
k=1
.
(1.13)
k=1
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = (a1 , . . . , an ) và b = (b1 , . . . , bn ) tỉ lệ.
Định lý 1.6 ([5], Bất đẳng thức Minkowski tổng quát). Cho xij > 0 (i =
1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . . , m) và p
n
1. Khi đó
p
m
1
p
m
xpij
xij
i=1
j=1
1
p
n
j=1
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi p = 1 hoặc
.
(1.14)
i=1
x1j
x11
=
x2j
x21
= ··· =
xnj
xn1
1, 2, . . . , m). Với 0 < p < 1, bất đẳng thức (1.14) có chiều ngược lại.
(j =
8
1.3
Bất đẳng thức Aczél
Định lý 1.7 ([2]). Cho n là một số nguyên dương và ai , bi (i = 1, 2, . . . , n)
là các số thực dương sao cho a21 −
đó
1
2
n
a21
a2i
−
n
2
i=2 ai
1
2
n
b21
b2i
−
i=2
> 0 và b21 −
n
2
i=2 bi
> 0. Khi
n
a1 b1 −
ai bi .
(1.15)
i=2
i=2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ai = µbi (i = 1, 2, . . . , n), với µ là một
hằng số.
Chứng minh. Giả sử a = (a1 , a2 , . . . , an ) và b = (b1 , b2 , . . . , bn ) không tỉ lệ
với nhau và b21 − b22 − · · · − b2n > 0. Ta có
f (x) = (b21 − b22 − · · · − b2n )x2 − 2(a1 b1 − a2 b2 − · · · − an bn )x
+ (a21 − a22 − · · · − a2n )
(1.16)
= (b1 x − a1 )2 − (b2 x − a2 )2 − · · · − (bn x − an )2 .
Mặt khác, từ những giả thuyết trên ta có b1 = 0 và
f ( ab11 ) = −(b2 ab11 − a2 )2 − · · · − (bn ab11 − an )2 < 0.
x→+∞
x→−∞
Hơn nữa, vì f (x) −→ +∞ và f (x) −→ +∞ nên đa thức f (x) có hai
nghiệm thuộc khoảng −∞, ab11
và
a1
b1 , +∞
. Vì vậy, biệt thức của f (x)
phải dương, tức là
(a1 b1 − a2 b2 − · · · − an bn )2 − (b21 − b22 − · · · − b2n )(a21 − a22 − · · · − a2n ) > 0.
Từ (1.16) suy ra đẳng thức trong (1.15) xảy ra khi và chỉ khi a và b tỉ lệ
với nhau. Theo tính đối xứng, chứng minh hoàn toàn tương tự nếu ta thay
điều kiện b21 − b22 − · · · − b2n > 0 bởi a21 − a22 − · · · − a2n > 0.
9
Một dạng tổng quát của bất đẳng thức Aczél là bất đẳng thức Popoviciu.
Định lý 1.8 ([2]). Cho p
1, n là một số nguyên dương và ai , bi (i =
n
p
i=2 ai
1, 2, . . . , n) là các số thực dương sao cho ap1 −
> 0 và bp1 −
n
p
i=2 bi
>
0. Khi đó
1
p
n
ap1
api
−
1
p
n
bp1
n
bpi
−
i=2
a1 b1 −
ai bi .
(1.17)
i=2
i=2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ai = µbi (i = 1, 2, . . . , n), với µ là một
hằng số. Nếu p < 1 thì bất đẳng thức (1.17) có chiều ngược lại.
Chú ý 1.9. Trường hợp p < 1 được chứng minh trong tài liệu [5] bởi Vasíc
và Pecaríc.
Trong tài liệu [6], Vasíc và Pecaríc đã tổng quát hóa bất đẳng thức
Aczél (1.15) như sau.
Định lý 1.10 ([6], Bất đẳng thức Aczél tổng quát).
p
n
p
i=2 aij
Cho aij > 0, pj > 0, a1jj −
m
j=1
1, 2, . . . , m và
1
pj
1. Khi đó
m
n
p
a1jj
> 0, i = 1, 2, . . . , n, j =
p
aijj
−
j=1
1
pj
m
m
n
a1j −
j=1
i=2
aij .
(1.18)
i=2 j=1
Trong bài báo [8], năm 2005, Shanhe Wu và Lokenath Debnath phát
biểu bất đẳng thức mở rộng mới của (1.15) như sau:
n
p
i=2 aij
Định lý 1.11 ([8]). Cho aij > 0, pj > 0, ap1j −
1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . . , m và ρ = min
m
p
a1jj
j=1
1
pj
n
apij
−
i=2
m 1
j=1 pj , 1
m
1−ρ
. Khi đó
n
m
a1j −
n
j=1
> 0, i =
aij .
i=2 j=1
(1.19)
Chương 2
Bất đẳng thức Bellman
Trong chương này, chúng tơi trình bày bất đẳng thức Bellman và quá
trình thiết lập bất đẳng thức của Bellman ([7]). Bên cạnh đó, chúng tơi
trình bày dạng làm mịn của bất đẳng thức Bellman được chứng minh bởi
G. Farid, J. Pecaric và Atiq Ur Rehman ([3]) vào năm 2010.
2.1
Bất đẳng thức Bellman
Đầu tiên, ta xét biểu thức
1
φ(x) = (xp1 − xp2 − · · · − xpn ) p ,
với p
(2.1)
1 và x = (x1 , x2 , ..., xn ) thuộc miền D xác định bởi
a. xi
0
1
b. x1 > (xp2 + xp3 + · · · + xpn ) p .
Khi đó x + y ∈ D khi x, y ∈ D.
Thật vậy, vì xi
0, yi
0 nên xi + yi
0 với mọi i = 1, 2, . . . , n.
Ta có
x1 + y1
1
1
(xp2 + xp3 + · · · + xpn ) p + (y2p + y3p + · · · + ynp ) p
1
[(x2 + y2 )p + (x3 + y3 )p + · · · + (xn + yn )p ] p ,
10
11
theo bất đẳng thức Minkowski. Do đó x + y ∈ D.
Tiếp theo, ta chứng minh bất đẳng thức ngược của bất đẳng thức
tam giác
φ(x + y)
φ(x) + φ(y)
(2.2)
với mọi x, y ∈ D.
Để chứng minh bất đẳng thức trên ta cần dựa vào một đại diện cho biểu
thức φ(x). Ta xét bổ đề sau.
Bổ đề 2.1. Với S(z) là tập các số z = (z1 , z2 , . . . , zn ) thỏa mãn
a.
z1
1,
zk
b.
(z2q + · · · + znq )
0,
k = 2, . . . , n,
z1q − 1,
q = p/(p − 1).
Khi đó
n
φ(x) = min
S(z)
xi zi .
i=1
Chng minh. S dng bt ng thc Hăolder cho biểu thức x2 z2 +· · ·+xn zn
ta có
1
p
n
− x2 z2 − · · · − xn zn
1
xpk
x2 z2 + · · · + xn zn
(z1q − 1) q .
k=2
Suy ra
1
p
n
x2 z2 + · · · + xn zn
1
xpk
−
(z1q − 1) q .
k=2
Do đó, giá trị nhỏ nhất của
n
i=1 xi zi
đạt được trên S(z). Vì thế
1
n
φ(x) = min x1 z1 −
z1 1
p
xpk
1
(z1q − 1) q .
(2.3)
k=2
Giá trị nhỏ nhất này đạt tại một điểm duy nhất. Tại điểm đó, đạo hàm
theo z1 bằng 0. Khi đó ta có
12
x1
1
p
n
=
xpk
z1q−1
(z1q − 1)
1− 1q
.
k=2
Suy ra
1q
z1 =
xp1
p
n
xp1 −
n
xpk
k=2
và z1q − 1 =
.
n
xpk
xp1 −
xk
k=2
(2.4)
k=2
Thay (2.4) vào (2.3) và rút gọn (2.3) ta được biểu thức của φ(x).
Từ những kết quả trên, Bellman đã phát biểu định lí sau:
Định lý 2.2. Cho các số thực dương ai , bi (i = 1, 2, . . . , n) và p
n
p
i=2 ai
cho ap1 −
1
p
n
ap1 −
api
n
p
i=2 bi
> 0 và bp1 −
bp1 −
+
i=2
> 0. Ta có
1
p
n
bpi
1 sao
1
p
n
(a1 + b1 )p −
i=2
(ai + bi )p
.
i=2
(2.5)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi p = 1 hoặc ai = µbi với i = 1, 2, . . . , n và
µ là hằng số. Với 0 < p < 1, bất đẳng thức (2.5) có chiều ngược lại.
Chứng minh. Ta chứng minh định lý với trường hợp p > 1. Trường hợp
0 < p < 1 được chứng minh ở Chương 4. Sử dụng Bổ đề 2.1 với x, y ∈ D
ta có
n
φ(x + y) = min
S(z)
n
n
(xi + yi ) zi = min
S(z)
i=1
n
min
S(z)
xi zi +
i=1
n
xi zi
i=1
φ(x) + φ(y).
+ min
S(z)
yi zi
i=1
yi zi
i=1
13
Bất đẳng thức (2.5) được chứng minh xong.
Bằng cách dùng bất đẳng thức Minkowski, ta có thể chứng minh bất
đẳng thức Bellman như sau.
Chứng minh. (Cách 2). Từ giả thiết, ta có
a1
1
(ap2 + ap3 + · · · + apn ) p
1
(bp2 + bp3 + · · · + bpn ) p .
và b1
Áp dụng bất đẳng thức Minkowski ta được
1
1
(a1 + b1 )p
(ap2 + ap3 + · · · + apn ) p + (bp2 + bp3 + · · · + bpb ) p
1
[(a2 + b2 )p + (a3 + b3 )p + · · · + (an + bn )p ] p
= (a2 + b2 )p + (a3 + b3 )p + · · · + (an + bn )p .
Sử dụng bất đẳng thức Minkowski rời rạc với n = 2 ta có
1
1
[(x1 + y1 )p + (x2 + y2 )p ] p
với x1 , x2 , y1 , y2 > 0 và p > 1. Thay
n
xp1
→
ap1
n
api ,
−
y1p
→
bp1
i=2
n
bpi ,
−
xp2
n
api ,
→
i=2
y2p
n
p
api
+
i=2
1
p
n
bp1 −
i=2
bpi
p
i=2
1
p
n
(a1 + b1 )p −
api
(ai + bi )p .
i=2
Từ đó ta có điều phải chứng minh.
bpi
+
i=2
(a1 + b1 )p −
1
p
n
n
bpi
→
i=2
và sử dụng bất đẳng thức Minkowski ta được
1
ap1 −
1
(xp1 + xp2 ) p + (y1p + y2p ) p
i=2
p
p
p
14
2.2
Làm mịn bất đẳng thức Bellman
Năm 2010, G. Farid, J. Pecaric và Atiq Ur Rehman ([3]) làm mịn bất
đẳng thức Bellman và chứng minh bất đẳng thức như sau.
Định lý 2.3 ([3]). Cho k, n là các số nguyên dương thỏa mãn 1
n
p
i=2 ai
ai , bi (i = 1, . . . , n) là các số không âm sao cho ap1 −
bp1 −
n
p
i=2 bi
> 0 với p
k < n,
> 0 và
1. Khi đó
1
p
n
ap1 −
api
1
p
n
bp1 −
+
bpi
i=2
i=2
(M + N )p −
1
p
n
i=k+1
1
p
n
api
bpi
+
i=k+1
p p1
1
p
n
(ai + bi )p
p
(M + N ) −
i=k+1
n
1
p
(ai + bi )p
(a1 + b1 )p −
.
i=2
Trong đó
1
p
k
M=
ap1 −
api
1
p
k
,
bp1 −
N=
i=2
bpi
.
i=2
Chứng minh. Dễ thấy M, N > 0. Áp dụng bất đẳng thức Bellman ta có
1
p
k
(ai + bi )p
(a1 + b1 )p −
M +N
i=2
1
p
n
api
Đặt a =
i=k+1
1
p
n
,
bpi
b=
i=k+1
.
.
(2.6)
15
Khi đó
1
p
n
ap1 −
api
1
p
n
+
bp1 −
1
bpi
i=2
1
= (M p − ap ) p + (N p − bp ) p . (2.7)
i=2
Dễ thấy rằng M p − ap > 0 và N p − bp > 0, áp dụng bất đẳng thức
Bellman với n = 2 cho vế phải của (2.7) ta có
1
p
n
ap1 −
api
1
p
n
+
bp1 −
i=2
= (M + N )p −
1
[(M + N )p − (a + b)p ] p
bpi
i=2
1
p
n
api
1
p
n
bpi
+
i=k+1
i=k+1
p p1
.
(2.8)
Áp dụng bất đẳng thức Minkowski,
1
p
n
(ai + bi )p
(M + N )p −
.
(2.9)
i=k+1
Áp dụng bất đẳng thức (2.6),
k
(ai + bi )p −
(a1 + b1 )p −
i=2
n
1
p
(ai + bi )p
= (a1 + b1 )p −
1
p
n
i=2
Từ đó ta có điều phải chứng minh.
(ai + bi )p
i=k+1
.
(2.10)
Chương 3
Một số mở rộng của bất đẳng thức
Bellman và ứng dụng
Trong chương này, chúng tơi trình bày một số dạng mở rộng của bất
đẳng thức Bellman cùng với dạng làm mịn của các mở rộng đó. Nội dung
của chương này được hình thành từ các tài liệu [1],[8], [9], [10].
3.1
Dạng mở rộng thứ nhất
Trong phần này, chúng tơi trình bày một dạng tổng quát của bất đẳng
thức Bellman được Shanhe Wu đưa ra và chứng minh trong bài báo [9]
năm 2010.
1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . . , m). Khi đó ta có
pr
r
m
n
ap1j −
j=1
m
p
apij
i=2
n
p
i=2 aij
r > 0, aij > 0, ap1j −
Định lý 3.1 ([9]). Cho p
ar1j
p
r
n
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi p = r = 0 hoặc
2, 3, . . . , m) với p > r.
16
p
r
m
arij
−
j=1
i=2
a1j
a11
=
> 0 (i =
.
(3.1)
j=1
a2j
a21
= ··· =
anj
an1
(j =
17
Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức Minkowski với 0 < r/p
r
p
r
p
n
m
m
r
arij
i=2
j=1
n
m
n
j=1
p
r
arij
Như vậy, ta có
j=1
r
p
n
ap1j −
apij
pr
n
(3.3)
p
r
arij
j=1
r
p
n
m
apij
+
i=2
j=1
pr
m
i=2
apij
(3.2)
.
+
p
ap1j −
,
i=2
pr
r
n
apij
i=2
m
r
p
n
j=1
m
m
j=1
p
i=2
hay
i=2
p
r
arij
1 ta được
(3.4)
pr
.
i=2
j=1
Tiếp theo, sử dụng bất đẳng thức Minkowski tổng quát với p/r
pr
pr
r
r
n
m
ap1j −
apij
m
p
apij
+
i=2
j=1
n
m
p
ap1j
i=2
j=1
1, ta có
r
p
p
r
.
j=1
(3.5)
Kết hợp (3.4) và (3.5), ta được
pr
r
n
m
ap1j −
p
apij
j=1
i=2
m
n
p
r
m
n
arij
+
i=2
p
r
m
ar1j
j=1
,
j=1
hay
ap1j −
j=1
r
p
apij
i=2
pr
p
r
m
ar1j
j=1
n
p
r
m
arij
−
i=2
j=1
Chứng minh hoàn thành.
Với r = 1 ta được bất đẳng thức Bellman tổng quát sau.
.
18
n
p
i=2 aij
1, aij > 0, ap1j −
Hệ quả 3.2. Cho p
> 0 (i = 1, 2, . . . , n, j =
1, 2, . . . , m). Khi đó ta có
m
1
p
n
ap1j −
p
m
apij
j=1
j=1
1
p
p
m
−
a1j
i=2
n
aij
i=2
.
(3.6)
j=1
Cũng trong bài báo [9], Shanhe Wu làm mịn bất đẳng thức (3.6) như
sau.
n
p
i=2 aij
1, aij > 0, ap1j −
Định lý 3.3 ([9]). Cho p
> 0 (i = 1, 2, . . . , n, j =
1, 2, . . . , m). Khi đó, với 1 < k < n ta có bất đẳng thức
1
p
n
m
apij
ap1j −
Q (a11 , . . . , anm )
i=2
j=1
p
m
−
a1j
j=1
(3.7)
1
p
p
m
n
aij
.
j=1
i=2
Trong đó
1
p
k
m
apij
ap1j −
Q (a11 , . . . , anm ) =
p
−
aij
i=2
j=1
p
m
n
p1
.
j=1
i=k+1
Chứng minh. Từ Hệ quả 3.2 ta có
m
1
p
n
apij
ap1j −
m
i=2
j=1
k
ap1j −
1 p
j=1
n
p
apij
i=2
apij
−
i=2
j=1
m
apij
ap1j −
=
1
p
n
k
i=k+1
p
m
−
aij
(3.8)
p1
j=1
i=k+1
và
m
ap1j −
j=1
1
p
k
apij
i=2
p
p
m
a1j
j=1
k
p
m
−
aij
i=2
Kết hợp (3.8) và (3.9) ta có điều phải chứng minh.
j=1
.
(3.9)
19
Với m = 2 ta được bất đẳng thức làm mịn của bất đẳng thức Bellman.
Hệ quả 3.4. Cho p
sao cho ap1 −
1, và ai, , bi (i = 1, 2, . . . , n) là các số thực dương
n
p
i=2 ai
n
p
i=2 bi
> 0 và bp1 −
có
> 0. Khi đó, với 1 < k < n ta
1
p
n
ap1 −
api
1
p
n
bp1 −
+
bpi
i=2
i=2
1
p
n
(a1 + b1 )p −
Q (a1 , b1 , . . . , an , bn )
(ai + bi )p
.
i=2
Trong đó
Q (a1 , b1 , . . . , an , bn )
1
k
= ap1 −
api
+
bp1 −
i=2
3.2
1
p
k
p
bpi
p
(ai + bi )p .
−
i=2
p1
n
i=k+1
Dạng mở rộng thứ hai
Trong bài báo [8], năm 2007, Shanhe Wu và Lokenath Debnath đã
xây dựng một dạng mở rộng khác của bất đẳng thức Bellman dựa trên
một kết quả mở rộng của bất đẳng thức Aczél.
Trước tiên, ta xét các bổ đề sau.
Bổ đề 3.5 ([8], Bất đẳng thức trung bình lũy thừa). Cho aij > 0 (i =
1, 2, . . . , n) và p > 0. Khi đó
p
n
n
api
n1−min(p,1)
ai
.
i=1
i=1
Bổ đề 3.6 ([8], Bất đẳng thức Chebyshev). Cho aij (i = 1, 2, . . . , n, j =
1, 2, . . . , m) là các số thực thỏa mãn
a1j
a2j
···
anj
hoặc a1j
a2j
···
anj
